Свойства одного класса интегралов в пространстве С2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА ТЕМЛЯКОВА-БАВРИНА I РОДА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ В СЛУЧАЕ БИЩЛИНДРА В ПРОСТРАНСТВЕ С2.

§ I. Предварительные сведения.

§ 2. Дифференциальные свойства интегралов типа Темлякова в случае бицилиндра.

§ 3. Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина I родя I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра

ГЛАВА П. СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ МНОЖЕСТВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

§ 4. Интеграл с нулевой характеристикой V = 0.

§ 5. Структура определяющих множеств в общем случае

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА ТЕМЛЯКОВА-БАВРИНА I РОДА I ПОРЯДКА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 6. Свойства оператора^.

§ 7. Операторная связь интегралов в случае нулевой и бесконечной характеристики

§ 8. Операторная связь интегралов в общем случае

ГЛАВА 1У.КЛАСС ФУНКЦИЙ, ПОРОЖДЁННЫЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ

ОПЕРАТОРАМИ В СЛУЧАЕ БИЦИЛИНДРА.

§ 9. Решение некоторых функциональных уравнений и краевых задач в случае бицилиндра

§ 10. Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными операторами в случае бицилиндра.

Теория функций многих комплексных переменных - сравнительно молодая область математики,но уже имеющая богатые связи со многими её разделами. Нашла эта теория и приложения,например,в квантовой теории поля (см. [ill )»в математической статистике (см. [17]).

Интегральные представления играют важную роль в комплексном анализе. Они являются основным аппаратом для исследования свойств голоморфных функций и решения краевых задач. В теории функций многих комплексных переменных известны интегральные представления Мартинелли-Бохнера,А.Вейля и другие. Однако это не снимает задачу получения интегральных представлений и исследования их для специальных классов областей. Так,для функции двух комплексных переменных, аналитических в полных двоякокруговых областях,А.А.Темляковым (см. [33"1 - \3б] ) были получены интегральные представления,которые в математической литературе носят его имя (см. [38] , £43~\ ).

Внутренний интеграл в интегральных представлениях Темлякова есть интеграл Коши одного комплексного переменного. Поэтому интеграл Темлякова и интегралы типа успешно применялись при изучении экстремальных свойств функций (см.работы И.И.Баврина [4] , [б! ), для изучения граничных свойств функций двух комплексных переменных (см.работы Л.А.Айзенберга [i] ),для решения краевых задач для функций двух комплексных переменных (см.работы В.И.Боганова, Г.Л.Луканкина [ю] , \ll\ ) и дифференциальных уравнений в частных производных (см.работы В.Я.Ольхина [30\ ).

В работах Л.А.Айзенберга (см. [2) ),Ли Че Гона (см. [l9] ), Опяля и Сичака (см. 144] ),И.И.Баврина (см. Ы - w ) интегральные представления Темлякова получили распространение на случай rtinr/Z) комплексных переменных.

И.И.Бавриным [б] - ["81 был разработан операторный метод в теории интегральных представлений. Благодаря этому методу удалось решить ряд важных задач в теории интегральных представлений Темлякова. Так (см ) получены обобщённые интегральные представления, восстанавливающие функцию,голоморфную в области по значениям довольно общих операторов от неё на границе или её части (см. [б] , [7] , £83 ). Эти представления хотя и сохранили тесную связь с интегралом Коши,ещё более подчинены специфике определяющей области. Кроме того,поведение интегралов типа,образованных на основе интегральных представлений,входящих в общее интегральное представление Темлякова-Баврина,имеет качественные отличия от поведения интегралов типа Темлякова (см,,например, [13] - [141 ).

Исследования интегралов типа Темлякова-Баврина велись как в направлении увеличения порядка (см. [203 ),так и в направлении расширения классов определяющих областей. Так,интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина с определяющими неограниченными областями изучались в работах [l5l , [211 .

Интегральные представления Темлякова сохраняются и для функций, аналитических в бицилиндре (см. [i] ). Интегралы типа Темлякова хорошо изучены в случае двоякокруговых областей,а именно областей типа ( Т ),учениками Темлякова,например,методом линейных дифференциальных операторов (см. [411 ). Бицилиндр не принадлежит к типу областей ( Т ) в смысле .-определения из [i"] и интегралы типа Темлякова не были изучены для случая бицилиндра.

Применение операторного метода позволило И.И.Баврину (см. [93) получить интегральные представления с фиксированными точками для функций,аналитических в поликруге,которые достаточно полно отражают специфические особ-енности поликруга.В случае двух комплексных переменных для бицилиндра из общих интегральных представлений Темлякова-Баврина с фиксированными точками получается интегральное представление Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой.

Интегральные представления с фиксированной точкой в ядре ранее исследовались для некоторых областей (см,например, ). Случай бицилиндра ранее не рассматривался. Поэтому исследование интегралов Темлякова и интегралов с фиксированной точкой Темлякова-Баврина для случая бицилиндра представляется актуальной задачей.

Цель диссертационной работы. Конкретные задачи исследования состояли в следующем:

1. Исследовать интеграл типа Темлякова для случая бицилиндра, а именно получить формулы для его вычисления вне области аналитичности и применить их для исследования дифференциальных свойств.

2. Установить зависимость свойств интеграла,полученных методом интегро-дифференциальных операторов для бицилиндра,от положер ния фиксированной точки в С .

3. Получить формулы,представляющие интеграл типа Темлякова-Баврина вне области аналитичности.

4. Установить связь между интегралами типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина для случая бицилиндра.

5. Решить с помощью исследуемых интегралов некоторые краевые задачи с краевым условием в операторной форме.

Перейдем к изложению по главам основных результатов работы.

Первая глава (§§ I - 3) посвящена изучению интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в бицилиндре Е и вне его.

В § I приводятся основные сведения из теории интегральных представлений Темлякова,формулы,представляющие интеграл вне бицилиндра Е.

В § 2 интеграл типа Темлякова I рода исследуется методом линейных дифференциальных операторов. Получено дифференциальное уравнение,которому удовлетворяет интеграл типа Темлякова.

В § 3 строятся интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра. Выясняется поведение этих интегралов как в области Е,так и вне её. Установлено, что интеграл с фиксированной точкой в бицилиндре Е представляет аналитическую функцию в области Е. Если фиксированная точка расположена вне области Е,то при нулевой и бесконечнойхарактеристи-к.е в некоторых случаях аналитичность интеграла не теряется. В этом же параграфе установлены формулы,представляющие интеграл ( 3.2 ) вне бицилиндра Е,которые указывают на неголоморфный характер изучаемых интегралов.

Во второй главе ( §§ 4 - 5 ) изучается структура определяющих множеств гч j, ( l = 1,2,3,4) при различных характеристиках интеграла. ^ 2Х)

В § 4 изучается структура множеств К в случае нулевой характеристики ( >) =0). Установлено,что в разбиении прос-2 — транства С \Е на подобласти,в которых справедливо определённое интегральное представление,участвуют и аргументы фиксированной точки. Структура множеств гч i не изменяется,если фиксированная точка принадлежит области Е. Здесь же установлена структура множеств IN l для бесконечной характеристики (V = + <х>).

В § 5 исследуется поведение интегралов типа Темлякова-Бав-рина I рода I порядка с фиксированной точкой в общем случае,то есть характеристика + оо. В разбиении пространства на подобласти участвуют и аргументы и модули фиксированной точки.

Получены формулы,позволяющие вычислять интеграл вне бицилиндра Е.

В третьей главе ( §§ 6 - 8 ) интегралы ( 3.2 ) исследуются методом линейных дифференциальных операторов. В § 6 вводится оператор который для интегралов с фиксированной точкой играет особую роль. Здесь же приводятся его свойства.

В § 7 установлена дифференциальная связь между интегралами типа Темлякова-Баврина с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова для нулевой и бесконечной характеристики. Для исследова

В § 8 получена операторная связь между интегралами с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова в общем случае,то есть характеристика ^ ^ 0, )) Ф Для исследования вводит

О-ст яямймя пр-пр.мрммпй = —. ЛПР

В четвертой главе ( §§ 9 - II ) обобщённые интегральные представления,полученные с помощью интегро-дифференциальных операнию некоторых функциональных уравнений и краевых задач.

В § 9,используя свойства интегро-дифференциальных операторов,решаются функциональные уравнения типа краевых задач,в которых известно не значение функции на остове бицилиндра Е,а значение некоторых операторов от функции. В этом же параграфе решаются краевые задачи с краевым условием в операторной форме. Решением таких торов,специфических для бицилиндра (см. [9^ ).применяются к решезадач являются обобщённые интегральные представления,получающиеся из интегральных представлений,построенных И.И.Бавриным.

В § 10 рассматривается класс функций,порождённый интегро-дифференциальными операторами,специфическими для бицилиндра. Установлены дифференциальные и интегральные связи с интегралом типа Коши для случая двух комплексных переменных. Эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям,играющим такую же роль,как и условие Коши-Римана для аналитических функций.

В § II,используя интегральное представление Темлякова I рода для бицилиндра,определяется значение функции 5[за J в области Е,если известно поведение дифференциального оператора на остове. Интегральное представление ( 3.1 Применяется к решению аналогичной задачи: по значениям на остове некоторого дифференциального оператора с фиксированной точкой восстановить значение функции в области.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа УГЛИ после окончания аспирантуры Московского областного педагогического института имени Н.К.Крупской. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [22] - [2б] и доложены на научно-исследовательском семинаре по теории функций многих комплексных переменных при Московском областном педагогическом институте имени Н.К.Крупской,а также на научных семинарах в Казанском и Саратовском государственных университетах,во П Саратовской зимней школе по теории функций и приближений.

1. АЙЗЕНБЕРГ Л.А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций многих комплексных переменных.-Уч.зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1959, т. 77, вып. 5, с. 13-23.

2. АЙЗЕНБЕРГ Л.А. Интегральные представления функций, аналитических в К- круговых областях ( распространение ядер Сеге).- Матем. сб., 1964, т. 65(107), с. 104-143.

3. АЙЗЕНБЕРГ Л.А. 0 плюригармонических функциях.-Уч. зап./Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, I960, т. 86.

4. БАВРИН И.И. Об усилении оценок для некоторых классов регулярных функций двух комплексных переменных.-Матем. сб., 1963, т. 61(103), № 3, с. 319-333.

5. БАВРИН И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М., 1976, с. 99.

6. БАВРИН И.И. Обобщённые интегральные представления в случае полицилиндра. -Докл. АН СССР, 1971, т.196, № I, с.

7. БАВРИН И.И. Обобщение интегральных формул Коши, Шварца, Пуассона. -Докл. АН СССР, 1972, т. 202, № I, с.

8. БАВРИН И.И. Операторы и интегральные представления.-М., 1974,- 100 с.

9. БАВРИН И.И. Операторы и интегральные представления в случае поликруга.-Сообщения АН Груз. ССР, 1976, т. 84, № 3, с. 537-541.

10. БОГАНОВ В.И., ЛУКАНКИН Г.Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения.-Докл. АН СССР, т. 176, № I, с. 16-19.

11. БОГАНОВ В.И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи. -Уч. зап. /Моск.обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1976, т. 188, с. 57-79.

12. ВЛАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М. , Наука, 1964, -412 с.

13. ГУСАКОВ В.А. Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина.-Докл. АН СССР,' 1968, т. 179, № 6, с. I26I-I263.

14. ГУСАКОВ В.А. О связи интегралов типа Темлякова-Баврина с интегралами типа Темлякова.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1973, вып. 15(1), с. 82-90.

15. ГУЛЯЕВ А.В. 0 функциях, определяемых некоторым интегралом.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1970, т.269, с. 68-76.

16. ГИЛЬМУТДИНОВ Р.З. 0 некоторых классах квазианалитических функций в С ( я ^ D.-C6. тр. Доек. обл. пед. ин-т им. Н.К. Крупской, 1980, Математический анализ и теория функций, с. 5459.

17. ЛИННИК В.Ю. Статистические задачи с мешающими параметрами.-М., Наука, 1962.18. ЛУКАНКИН Г.Л. 0 некоторых краевых задачах для функций двухкомплексных переменных.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1970, т. 269, с. 23-46.

18. ЛИ ЧЕ ГОН Интегральные представления функций комплексных переменных. -Сухакки мулли, 1969, т. 3, § I, с. 27-30.

19. ЛАТЫШЕВ А.В. Поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2-го порядка в случае гиперконуса.-Сб.тр. /Моск. обл.пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1972, вып. 15(2), Теория функций,функциональный анализ и их приложения, с. 177-188.

20. ЛИТВИНЮК В.А. Поведение некоторых интегралов вне области аналитичности. -Сб. тр. Доек. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1973, вып. 15(1), Теория функций, функциональный анализ и их приложения, с. II0-I34.

21. МИЛОВАНОВ В.Ф, 0 некоторых интегральных представлениях с фиксированной точкой.-Респ. сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1978, вып. 9. Математический анализ и теория функций, с. 54-64.

22. МИЛОВАНОВ В.Ф. Интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в случае бицилиндра.-Респ. сб. тр. /Моск.обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1978, вып. 9. Математический анализ и теория функций, с. 65-75.

23. МИЛОВАНОВ В.Ф. Свойства одного класса интегралов с фиксированрной точкой в пространстве С .-М.; 1979.-16 с. -Рукопись представлена Моск. обл. пед. ин-том им. Н.К.Крупской. Деп. в ВИНИТИ 13 июня 1979, № 2153-79.

24. МИЛОВАНОВ В.Ф. Операторная связь интегралов типа Темлякова--Баврина I рода I порядка в случае бицилиндра.-Межвузовский сб. научн. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1980. Математический анализ и теория функций, с. 79-83.

25. МИЛОВАНОВ В.Ф. О решении краевых задач с краевым условием на остове бицилиндра, заданном в операторной форме,-Уссурийск, 1983. -10 с. -Рукопись представлена Уссурийским гос. пед. ин--том. Деп. в ВИНИТИ 8 июля 1983, № 3777-83.

26. МИХЛИН С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.

27. НАТАНСОН И.П. Теория функций вещественной переменной.-М.:Наука, 1974.-480 с.

28. НЕЛАЕВ А.В. Исследование поведения интегралов типа Темляковари интегралов типа Темлякова-Баврина в пространстве С .-Сб.тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1975, вып. 5. Математический анализ и теория функций, с. 75-85.

29. ОЛЬХИН В.Я. 0 дифференциальном операторе Темлякова.-Респ. сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, М., 1976, вып. 6, Математический анализ и теория функций, с. 50-62.

30. ПРИВАЛОВ И.И. Введение в теорию функций одного комплексного переменного.-М.: Гостехиздат, 1967. -444 с.

31. СЕЧКИН Г.И. Группы операторов для выпуклых и звёздных областей и их приложения к решению функциональных уравнений.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1973, вып.2.Математический анализ и теория функций, с. 60-67.

32. ТЕМЛЯКОВ А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных.-Изв. АН СССР. Серия математ., 1957, т.21, с. 89-92.

33. ТЕМЛЯКОВ А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных.-Докл. АН СССР, 1958, т. 120, №51, с. 976-979.

34. ТЕМЛЯКОВ А.А. Интегральные представления.-Докл. АН СССР, 1959, т. 129, № 5, с. 986-988.

35. ТЕМЛЯКОВ А.А. Краевые задачи для уравнений с особыми'плоскоtстями.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1959, т. 77, с. 91-98.

36. УЛЯШЕВ В.Т. Интегральные представления Темлякова-Баврина в случае бесконечных полных двоякокруговых областей.-Сб. тр. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1973, вып. 15(2). Теория функций, функциональный анализ и их приложения,с.145-158.

37. ФУКС Б.А. Введение в теорию функций многих комплексных переменных. -М.: Физматгиз, 1962. -420 с.

38. ХВОСТОВ А.Т. Исследование свойств интегралов типа Темлякова вне области аналитичности.-Уч. зад. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1967, т. 188, с. 137-172.

39. ХВОСТОВ А.Т. Обобщённые условия Коши-Римана интегралов типа Темлякова.-Уч. зап. /Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской, 1967, т. 188, с. 137-172.

40. ХВОСТОВ А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова методом однородных линейных дифференциальных операторов первого порядка.-Докл. АН СССР, 1969, т. 186, № 3, с. 522-525.

41. ШАБАТ Б.В. Введение в комплексный анализ.-М.: Наука, 1976, ч. II. -400 с.

42. История отечественной математики.-Киев.:Наукова думка, 1970.44. . Ojbiagj J. 5ioLouk ^nteytaJl ^.охтиваь ^fox ■^ипьЬиоп-З hjo6o/nozfbkic in oontr&y. n-UxcuZOA do/ru

43. Sicumm-^unSiionam Junti-tioriAh- -/giO. SiLohasch, J}kcucU.yr)Lc cfac WiS-Imitko^ie*, djLL^Xify db&hUhte. Maihju^aiUck-^hLioithe&ectiJe . 6d- /09. Л

44. Tullch&e. И/. faUxoxCbQit-tfeovLto -eint X&juMt jfiAOJLdohotomox^hJUc JuJtAtiohj^J-kadnmic cUlt WLi5e*jJch4-f.-ie*j. du/bZiy. beHchie* McvtlvonatifcA -^haachrk&cuie. Set, ios.