Оптимальные кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

1. Определение интеграла Адамара

2. Постановка задачи

3. Классы функций

4. Обзор методов вычисления сингулярных интегралов

5. Обзор методов вычисления интегралов Адамара

6. Обозначения, встречающиеся в диссертации

Глава 1. Оптимальные методы восстановления функций со степенным ростом производных

1.1. Оптимальные методы восстановления функций со степенным ростом производных на классах С^* (О),

Ф^Ф^ЭТ '

1.2. Аппроксимация сплайнами на классе В*7(0) функций многих переменных

Глава 2. Квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов

2.1. Оптимальные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечной прямой на классе функций На)/,(1)

2.2. Оптимальные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечной прямой на классе функций

2.3. Асимптотические по точности алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечной прямой

2.4. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов на классе С^*(0,М)

Глава 3. Оптимальные кубатурные формулы вычисления многомерных интегралов Адамара

3.1. Вычисление многомерных интегралов вида

I I /К- , Щ) -р-ах\.

1 1 Х

3.3. Вычисление многомерных интегралов вида

6. ^ ' '^ч (1x1. с1х1 на классе С[(0,1)

Глава 4. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов

4.1. Вспомогательные утверждения

4.2. Сингулярные интегралы с фиксированной особенностью

4.3. Сингулярные интегралы с ядрами Коши

4.4. Интегралы в смысле главного значения Коши— Адамара с фиксированной особенностью

4.5. Приближенное вычисление интегралов в смысле главного значения Коши — Адамара

Актуальность темы. Сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в теории упругости, электродинамике, аэродинамике, теории автоматического управления, квантовой механике, ядерной физике. Но их вычисление в замкнутом виде возможно только в исключительных случаях. Поэтому возникает задача приближенного вычисления сингулярных интегралов.

Теория квадратурных и кубатурных формул является активно развивающимся направлением в современной математике. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по точности пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями у границы области, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов.

Цель работы. Работа посвящена построению асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов вычисления сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций; построению оптимальных методов восстановления функций со степенным ростом производных.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:

- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций На^р( 1),

- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций Шгр(М),

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций

ЯЖМ),

- построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов на классе функций ]¥Г(£1,М),

- построены оптимальные по порядку алгоритмы восстановления функций многих переменных, имеющих неограниченные производные в окрестностях точки, прямой и поверхности,

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов вычисления сингулярных интегралов и интегралов Адамара с фиксированными и переменными особенностями на конечных и бесконечных контурах интегрирования.

Полученные результаты могут найти применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингуляр-ностями.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных результатов к численному решению прикладных задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, при решении которых необходимо вычисление сингулярных интегралов и интегралов Адамара.

По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных программ вычислений сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций на языке Паскаль.

Защищяемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций Д^Д!.),

- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций Й^(М),

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций

0,АГ),

- построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов на классе функций

- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов,

- построены оптимальные по порядку алгоритмы восстановления функций многих переменных на классах <2*^(0, М), (¡)**у(0, М), <3***(0,М).

Краткое содержание работы. Работа посвящена оптимальным методам вычисления сингулярных интегралов.

В первой главе рассматриваются вопросы аппроксимации локальными сплайнами функций многих переменных, принадлежащих классу, состоящему из функций, производные которых неограниченно возрастают при приближении к границе области. Предлагается способ разбиения области на конечное число кубов и способ аппроксимации в каждом из кубов таков, что точность построенных сплайнов близка к оптимальной.

Во второй главе получены следующие результаты:

1) построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций На}Р(1), Шгр(1),

2) построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций

3) построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций д*8 (о, м),

В третьей главе получены следующие результаты: построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов.

В четвертой главе получены следующие результаты: построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

В приложении приводится пакет прикладных программ вычислений сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций на языке Паскаль.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на итоговых научно-технических конференциях ПГУ (г.Пенза, 1996-1999г.); на V Международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложена" (г. Красноярск, 1999).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано б статей.

1. Бабенко К.И. Несколько замечаний о приближении функций многих переменных // Математический сборник.-1971.-Т.86,N4.-0.179-180.

2. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи математических наук.-1985.-Т.40.Вып.1.-С.3-28.

3. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под редакцией К.И.Бабенко.-Москва: Наука,1979.-296 с.

4. Бабенко К.И. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов весовых кубатурных формул // Математические заметки.-1976.-Т.20,N4.-0.589-595.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. -Москва: Физматгиз, 1961.932 с.

6. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики.-1970.- Т.10.N3.-0.555-568.

7. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1971.-Т.П.N4,-С.1014-1018.

8. Белоцерковский С.М.,Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -Москва: Наука, 1985.-256 с.

9. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмен Р. Аэроупругость.-Москва: Изд-во иностр.лит.,1958.-258 с.

10. Бойков И.В. О вычислении сингулярных интегралов, встречающихся в задачах гравиметрии// Методы обработки гравиметрической информации.-Москва: Институт физики Земли АН СССР.-1978.-С.71-90.

11. Бойков И.В.,Руденко А.К. Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления сингулярных интегралов / / Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Меж-вуз.сб.науч.тр. -Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1979.-ВыпЛ-С.21-30.

12. Бойков И.В. Об оптимальных алгоритмах вычисления одномерных и многомерных сингулярных интегралов// Методы измерений и обработка наблюдений в морской гравиметрии.-Москва:Институт физики Земли АН СССР.-1980.-С.125-155.

13. Бойков И.В. Оптимальные методы приближенного вычисления интегралов и приближенное решение интегральных уравнений.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1981.-106 с.

14. Бойков И.В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1982.-Вып.4-С.3-10.

15. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов.-Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1983.-210 с.

16. Бойков И.В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов/ / Оптимальные методы вычислений и их применение: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т,1983.-Вып.5-С.З-16.

17. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов // Оптимальные методы вычислений и их применение: Межвуз.сб.науч.тр.Пенза: Пенз.политехн.ин-т,1987.-Вып.8-С. 14-22.

18. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1 -Пенза: Издательство государственного технического университета,1995.-214 с.

19. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2 -Пенза: Издательство государственного технического университета,1995.-128 с.

20. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф., Домнин Л.Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решенния гиперсингулярных интегральных уравнений-Пенза: Издательство Пензенского государственного технического университета,1996.-187 с.

21. Бойков И.В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-Т.38.Ш.-С.25-33.

22. Бойков И.В., Нагаева С.Я. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Математические методы решения физико-технических задач: Сборник научных статей.Пенза, ПАИИ, 1999.-117 с.

23. Исраилов М.И.,Максудов Т.С. Кубатурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Гильберта на классе функций // Доклады АН Y3CCP.-1974.-N8.-С.10-12.

24. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Известия АН СССР,Серия математическая,1977.-Т.41 .-N1 .-С.334-351.

25. Крикунов Ю.М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение // Ученые записки Казанского университета,1956.- 116(4).-С.3-30.

26. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. Москва: Наука,1967.-500 с.

27. Лебедев В.И.,Бабурин О.В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965.-Т.5.-Ш.-С.454-462.

28. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей// Прикладная математика и механика. -1979.Т.43-Ш-С.184-188.

29. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперемент. Москва:ТОО "Янус",1995.-520 с.

30. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей для крыла бесконечного размаха и уравнении Прандтля для крыла конечного размаха// Известия вузов. Математика.-1980.-Ш-С.44-51.

31. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // Прикладная математика и механика. -1975.Т.39-К4-С.742-746.

32. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Математический сборник,1972.-Т.87.-Ш.-С.136-142.

33. Маковоз Ю.И.,Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла// Известия АН БССР.-Сер.физ.-мат.наук.-1977.-Ш.-С.36-41.

34. Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи математических наук,1975.-Т.30.-N6.-0.179-180.

35. Нагаева С.Я. Аппроксимация сплйнами на классе В*^ функций многих переменных.-Пенза,1999.-6 с. Рукопись представлена Пензенским государственным университетом. Деп.в ВИНИТИ 29 янв 1999г.,N294-699.

36. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракций на цилиндрических структурах.- Киев: Наукова Думка,1989.- 256 с.

37. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке.-Москва: Изд-во АН СССР,1947.-С.3-65.

38. Никольский С.М. Квадратурные формулы.-Москва: Наука,1979.-224 с.

39. Никольский С.М. Курс математического анализа.- Москва: Наука, 1975.-Т.1.-432 с.

40. Прудников А.П.,Брычков Я.А.,Марычев О.И. Интегралы и ряды. Москва:Наука, 1981.-800 с.

41. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами // Успехи математических наук,1954.-Т.9.-Ш.-С.133-134.

42. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной.- Москва:Наука,1986.-111 с.

43. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений // Успехи математических наук,1960.-Т.15.-N13.-0.81-120.

44. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.- Москва: Наука, 1975.-304 с.

45. Трауб Дж.,Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. Москва: Мир, 1983.-382 с.

46. Hadamard J. Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations // Yale university press,1923.

47. Ioakimidis N.I. Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and three-dimensional elasticity // Acta Mech.,1982.-V.45.-P. 31-47.

48. Ioakimidis N.I. On the Uniform Convergence of Gaussian Quadrature Rules for Canchy Principal Value Integrals and Their Derivatives // Math. comp.,1985.-V.44.-P.191-198.

49. Kaya A.C., Erdogan E. Om the solution of integral equations with strongly singular kernels // Quatery of applied mathematics,1987.-V.45.- N 1.- P.105-122.

50. Kolmogoroff A. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionen klasse//Ann.Math.,1936.-V.37.-P.107-117.

51. Kutt H.R. The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration // Numer.Math., 1975.-V.24.-P.205-210.

52. Kutt H.R. Quadrature formula for finite-part integrals // Special Report WISK, 178,Pretoria,National reseach institute for mathematical sciences,1975.

53. Linkov A.M. and Mogilevskaya S.G. Complex hypersingular integrals and integral equations in plane elasticity // Acta Mechanica,1994.-V.105.-P.189-205.

54. Lynees J.N. and Monegato G. Quadrature error functional expansions for the simplex when the integrand function has singularities at vertices // Mathematics of computation,1980.-V.34(149).-P.213-225.

55. Lynees J.N. The Euler-Maclaurin expansion for the Cauchy principal value integral // Numer.Math.,1985.-V.46.-P.611-622.

56. Lynees J.N. Finite-part integrals and the Euler-Maclaurin expansion // International series of Numerical Mathematics, 1994.- V.119.- P.397-407.

57. Mangier K.W. Improper integrals in theoretical aerodynamics // Royal aireraft establishment, Famborough, Report N 2424.-1951.-106

58. Monegato G. On the weights of certain quadratures for the numerical evaluation of Cauchy principal value integras and their derivatives // Numerical Mathematics,1987.-V.50.-P.273-281.

59. Paget D.F. The numerical evaluation of Hadamard finite-part integrals // Numer. Math.,1981.-V.36.-P.447-453.

60. Winer K. Uber die losing der integralgleichung von Romanovski mit der Methode der lanfenden Funkstionalkorrekturen. Univ.Halle-Wittenberg. // Math.Nachrishten,1969.-V.18.-N6.-j.787-789.

61. Winer K. Uber die losing nichtlineearer integralgleichungen mit Hadamard-integralen // Math.Nachr.,1968.-V.36.- N5-6.-j.289-309.