Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003482521

На правах рукописи

САБОИЕВ РИЗО САЛОМАТШОЕВИЧ

НАИЛУЧШИЕ КВАДРАТУРНЫЕ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С ВЕСОМ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ

Ul.01.01 - математический ¡шалю

А ВТОРЕФЕР АТ диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

о С

ДУШАНБЕ-2009

003462521

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математичетких наук.

академик АН Республики Таджикистан Шабозов Миргаид Шабшоиич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физпко-мате.чатнческпх наук,

Псхоков Сулаимон Абупаероиич

диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Ali Республики Таджикистан но адресу: 7340G3. г. Душанбе, ул.Айии 299 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

кандидат физико-математических паук. Хаитов Тельман Имановнч

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: РоссиИско - Таджикский

Славянский университет

Защита состоится 2009 г.

г. 13 lacois па. заседании

Автореферат разослан "J- " QpefycuJ- 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур.

Рассматривается квадратурная формула

/ /(*)?(0<И = t РгЦЬ:) + ЯпЦ; я, р, Т) (1)

а к=1

в которой весовая функция > 0 на отрезке' [а, Ь] и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Римапу.'Р ••• {;>;•} - вектор коэффициентов, Т = {Ьк : а < < г2 < ••■ < и, 1 < ¿п Ь} - вектор узлов, а Я,п(/;д,Р,Т) -погрешность квадратурной формулы (1) на функции/(4).

Если 9Я- некоторый класс функций {/(£)} заданных и определенных на отрезке [а, 6], то через

Яп{Ш-д, Р,Т) =зир

/ №ч№ - ±ркП1к)

/г=]

■ /еал

обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на классе ШТ. Задача состоит в отыскании следующих величин ■.■■>; • <••>'«'

£п(т-,д,Т) = ир1п(Ш-,я,Р,Т), (2)

Квадратурная формула (1) называется оптимальной или наилучшей на классе по коэффициентам Р = {рь} при фиксированных узлах, если существует вектор = для которого

£п(5ОТ,?,Т) = Лп(£Ш;д!-Р°,Г). '.....

Точно также, формула (1) называется оптимальной или наилучшей на, классе ОТ, если существует вектор Р° = {р®} - коэффициентов и вектор Г° = -узлов для которых выполняется равенство

£п(Ш,д) = Пп(Жч,Р°,Т0).

Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А.Н.Колмогорову, а первые основополагающие результаты .принадлежат С.М.Никольскому. Задача построения наилучшей квадратурной

формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах С.М.Никольского. А.Х.Турецского, И.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева, Н.П.Корнейчука, Н.Е.Лушпай, В.П.Моторного, В.М.Алхимова, М.Левина, А.А.Женсыкбаева, Б.Д.Боянова, А.А.Лигуна, В.Ф.Вабенко, Ю.Г.Гиршовича и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н.П.Корнейчуком в дополнение к книге С.М.Никольского "Квадратурные формулы"(Москва, Наука, 1979 г.).

Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (1) с положительным весом q(t) имеющих на концах отрезка [а, ¿>] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б.Г.Габдулхаева, Л.А.Онегова, В.А.Войкова и М.Ш.Шабозова.

Цель работы:

1.Найти наилучшие квадратурные формулы с положительными весами, имеющих на концах отрезка интегрирования фиксированные особенности для классов функций малой гладкости.

2.Вычислить точные оценки погрешности наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формул, для классов функций задаваемых модулями непрерывности.

Метод исследования. В работе используется метод С.М.Никольского нахождение наилучших квадратурных и кубатурных формул и разработанный Н.П.Корнейчуком метод оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований:

-Найдены новые наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы с фиксированными особенностями для сингулярных интегралов на классах функций малой гладкости.

-Найдены новые наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные и кубатурные формулы для вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций на классах функций малой гладкости.

-Найдены наилучшие весовые квадратурные формулы для класса функций W^L^h}.

-Вычислены точные оценки погрешности наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формул на различных классах функций, задаваемых модулями непрерывности.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы при

численном решении сингулярных интегральных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог 2004-2006), на семинарах по вопросам теории функций Института математики АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики"(Душанбе, 2007 г.), "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений"(Душанбе, 2007 г.), "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ"в Институте математики АН Республики Таджикистан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6-и статьях, из которых 3 статьи выполнены з соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым, которому принадлежат постановки задач и выбор метода доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 37 наименований и занимает 84 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введение дается краткая характеристика изучаемой проблемы и приведены основные результаты работы. Приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов первой главы для классов функций малой гладкости. Рассматриваются следующие классы функций: И^ = а, Ь) - класс функций /(£) 6 С[а,Ь] имеющих кусочно -

непрерывную производную /'(£), удовлетворяющих условию зиригт{|/'(£)| : í € [а, Ь]} < 1, Н1 — Н1(1\а, Ь) - класс функций /(£), удовлетворяющих на отрезке [а,й] условию Липщица первого порядка |/((') - /(£")1 < V' ~

е [я,Ь]. Известно, что И'^ = II1.

Через И'^Ь = \*У^Ь[а,Ь\ обозначим класс функций /(¿), у которых почти всюду на отрезке [а. Ь] существует производная/'^), удовлетворяющих условию или := \\Г\\ца,ь] = \m\dt < 1.

В первом параграфе первой главы рассматривается задача нахождения

оптимальной по коэффициентам квадратурной формулы вида

/ =£ р*/^)+я»(/; г5; т)- ° <8 < ^ ■ (4)

о 1 ь=1

задаваемой вектором узлов

Т := Г„ = : 0 < < ¿2 < ... < < < 1}

и вектором коэффициентов Р = {р*}}!=1, Дв(/; *; Р, Т) - погрешность формулы для функций /(¿) из класса Я'. Квадратурную формулу (4) будем рассматривать на классе Н1 при следующих двух предположениях:

а) ¿о = = 1, т.е., когда (1) является формулой типа Маркова;

б) 0 < Ь <12 < ... < £„_1 < < 1.

В зависимости от предположений а) и б) указаны общие виды точной погрешности формулы (4) для произвольных фиксированных узлов Т = {¿А:}"=1. Эти результаты используются во втором параграфе.

Приводим основные результаты второго параграфа первой главы Теорема 1.2.2.Среди квадратурных формул типа Маркова с весом q(t) = < 5 < 1, имеющих вид Ц) с фиксированным вектором уз-

лов Т* = {к/п}%=0 наилучшая по коэффициентам квадратурная формула имеет вид

I Г

Л =

и-1 + £

1 - 5

2А: + 1Л 1'я

2 п

1 А1-"

а т +

1

^ г-.-

2 п

/(1)

2к-1 2 п

1-.5

/ - +Дг,(/;Г8;Г)

погрешность которой на всем классе Н1 равна

6п(Н1-,Г'\Т*) =

1

4(1 — Й) п 24 п2

1 { 1

Теорема 1.2.3.Среди квадратурных формул вида (4) при фиксированном векторе узлов Т** = {(2к — 1)/2п}£=1 наилучшая по коэффициентам квадратурная формула для класса Н1 является формула

V 1-4' П

п-1 + £

/, -у "

п)

:2и

1

21: — 1 2 п.

14 1-' 71

г /2гг - 1\

П-^г'-1-

+ /?„(/; Г 5;Т")

погрешность которой на всем классе. Н1 равна

¿ЦЯ1; Г«; Т") = -А- . I - 1. ij + 0 Ш .

4(1 — s) п 24 n¿ \n¿¡

Из утверждений теорем 1.2.2 и 1.2.3 получаем

Шпинат) = lim nEn{H\t-°-,T") ■= 0 < 5 < 1.

В третьем параграфе вводится в рассмотрение квадратурная формула специального вида для вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций

}

] f{t)smm7Ttdt = Y. Pkfitk) + Rn{f:P,T,m),n > m > 1 (5)

o k=1

задаваемую векторами узлов

T = {tk: 0<íj <t2<... <t„ <1}

И Коэффициентов P — {Pfc}fc=1-

Отметим, что задача приближенного вычисления интегралов от!! -■■'' быстроосцилирующих функций ранее рассматривалась, в монографиях В.И.Крылова, Н.С.Бахвалова, а также в работах К.К.ЗаДирака, Я.М.Жилейкина и А.Б.Кукаркина, Т.Н.Бусарова и др. Решение задачи (2) для квадратурной формулы (5) приводится для класса Я2 [0,1] при фиксированном векторе узлов Т = для случая rn = 1.

В.связи с приближенным вычислением интегралов от быстроосциллиру-ющих функций, возникает задача о точном вычислении погрешности интет

грала - . ■■< v ■■>

i

[ sin 7Tt.f(t)dt Ь

для классов функций малой гладкости. Имеет место следующая

Теорема 1.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (5) наилучшей по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова при фиксированных узлах Т Т* = {tk = k/n}%=0 для класса //' является единственная формула

i

[ f(t) sin ■ntdt „.-.- - п. •

о

-!{Н £) rn ?/ $}+Т-)

погрешность которой на всем классе Н1 равна

А п

В этом же параграфе доказана Теорема 1.3.2. Для вектора узлов 2 к — 1

Т := = {г,; = ———= 0,и = = 1,2,..., п) наилучшая по коэффициентам квадратурная формула имеет вид

I/(*)8Ш7Г/.<Й =

[/(0) + /(!)] + 8Ш £ | вш } + ад; Р; 7Г)

2 ] . 2 7Г = -{эит —

7Г [ 8П П

погрешность которой на всем классе Н1 равна

1гг 4 п 2 п

В последнем четвертом параграфе первой главы задача (3) решается для класса функций И^'^О, 1] для конкретных весовых функций. Приводим основные утверждения данного параграфа Теорема 1.4.2. Среди квадратурных формул вида (5) наилучшей для класса И^ЦО, 1] является формула

/ т ап = — Ё / (- агссоя (1 - —-)) + Дп(/;5ттг/.). (6) ¡5 кп к=1 \тт V п . /У

Для погрешности формулы (6) на всем классе

имеет место точная оценка

¿„(И^КиЬзштгО = —.

ТГП

Теорема 1.4.3. Среда всех квадратурных формул вида (4) с весовой функцией д(£) = (\/1 — £2)" 1,0 < £ < 1, наилучшей на классе 0,1]

является формула

погрешность которой равна

£п(\\^Ь[0,1]; (л/П^) =

В этом же параграфе доказано более общее утверждение для класса \У^Ь\а,Ь} и весовой функции </(/,) = та1, где т > 0, гп ф 1,а - произвольное действительное число.

Теорема 1.4.4. Среди квадратурных формул вида

] тп1№М = £ РкНЬ) + ЗД; ты)

а ' к—1

наилучшей на классе Ь] является формула с вектором коэффициен-

тами

Р = {Рк ■ Рк = -т1— К" - т«а) ■ к = 1,2,п} а 1п т п

и вектором узлами

Т = к : = * - •1п (т^ + , * = !, 2,.... „

I а 1п 7П \ 2 п 2 п )

причем для погрешности формулы на всем классе справедлива оценка

£п№Ч[а,Ь];тп1) = ±- У •

2 п а\пт

В частности, для = е_<,[«, Ь] = [0, +оо) наилучшая квадратурная формула имеет вид

Т'.-ЯЧЛ = 1 ¿/(ы^^), ад, о.

а ее погрешность на всем классе равна

¿п

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи нахождения наилучших весовых кубатурных формул на различных классах функций определенных модулями непрерывности в единичном квадрате С} = {0 < ¿,т < 1}. Как и в одномерном случае через Я'1,1' := обозначим класс функ-

ций /(£, т) для любых двух точек (£', г') £ <5, (£, т) € С^ удовлетворяющих условию г) - /(¿',т')| < - + |г - г'|. Для /(£, т) е С(<5) и (£", г") е (5, (¿', г') 6 С} равенством

Ц/; гх, V) = *ир{|/(^ т') - /(*", т")| : - £"| < и, |г' - т"|;:< г;}

определим полный модуль непрерывности /((., т) в области Са через НШ{С}) обозначим класс, функций /(£;т) £ С((}), для которых выполняется неравенство и(/\и,1') < ш(и,у), где ш(и,у) - заданный модуль непрерывности в

области Q. Обозначим НшЛ := Hu,l{Q) - класс функций /(£,г), для любых двух точек M'(t\ т'), M"(t", т") £ Q удовлетворяющих неравенству

\ПМ')-/(М")\<и[р(М',М'% (7)

где р(М',М") = |i' - t"| + |г' - т"|, a tu(u) - заданный модуль непрерывности. Параллельно будем рассматривать класс Нш2 := Яш'2((5) функций f(t,r) заданных на Q и удовлетворяющих неравенству (7), где р(М',М") = - t")2 + (т' - г")2 - расстояние между точками М'(£',т'), и M"(i", г") G Q.

Пусть для приближенного вычисления интеграла

J(f',q) = JJq(LT)f(t,T)dtdT,

(Q)

Q = {0 < t,T < l},/(f,r) - произвольная функция, q(t,r) - положительная суммируемая функция, применена кубатурная формула

m л

Л/;«)=ЕЕPfc»/(tfc,п) + ДтЛ(/;<?) := £(/;?) + Я™.(/;<?) (8) fc=l t=l

задаваемая векторами узлов

Т = : 0 < ¿1 < ... < im_i <tm< 1},

Г = {т* : 0 < Т! < ... < гп_, < тп < 1},

и коэффициентов Р — {ры}, Rmn{f\q) = Rmn(f;q-,P,T, Т) - погрешность кубатурной формулы на функции /(f, т). Положим

ЯпП(Ш:д-,РТ,Г) = sup{|J(/,e) - ¿(/;д;Р,Т,Г)| : / € ОТ},

где 9Л = {/(х, ?/)} некоторый класс функций, определенный в Q. Требуется найти следующие величины

' q;P,T,T) = inf Дтоп(ЯЛ; q\ Р, Т, Т) (9)

q) = inf Я„Ш(Щ q- Р, Г„Т). (10)

Кубатурная формула (8). с вектором Р° = {р%} для которой в соотношении (9) достигается нижняя грань называется наилучшей по коэффициентам для. класса функций 9Я с весовой функции q(t, г) > 0.

Кубатурная формула (8), с векторами Р° = {р1,},Т° = {tk} и Т° = {г"} для которых в соотношении (10) достигается нижняя грань называется оптимальной для класса функций ЯЛ с весом функции q(t,r) > 0.

Наилучшие кубатурные формулы для различных классов функций приведены в упомянутых монографиях С.М.Никольского, Н.С.Бахвалова, а также в основополагающих работах Н.П.Корнейчука, В.'Ф.Бабенко, М.И.Левина и Ю.Г.Гиршовича, М.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева, Н.Е.Лушпай и С.В.Переверзева, М.Ш.Шабозова и многих других.

В параграфе 2.1. второй главы приведены результаты оптимизации по коэффициентам весовой кубатурной формулы (8) для классов функций малой гладкости. М.Ш.Шабозовым в частности, доказано, что для класса H<-L1)(Q) при фиксированных векторах узлов Т = {tk},T = {rj наилучшей по коэффициентам будет кубатурная формула (8) с коэффициентами \

P°ki = JJ q(t,r)dtdr, ,./v\ WW

где '

Q'ki = ixk-1 < t < Хк, Hi-1 <Г< yj, .; . ..

Xk = {h + ifc+i)/2, к = 1,2,..., m - 1; x0 = 0, xm = 1, Vi = {ri + Ti+\)/2,i = l,2,...,n- 1; 2/o = 0,7/,, = 1, а ее погрешность на классе вычисляется по формуле

m п

- VZ//?('.-){' Ц - ,т - T,}dtdr. ' (11)

Полагая в правой части (11) g(£, т) = qx(t)q2(r) получаем более простой вид погрешности ■:

Лт;1(Я(и);ад2;Р°;Г-Т)= -V*;..

1 m Хк 1 п ■ - ' . , ■

= ¡42 (T)drY: У qi(0\t-- tk\dl-i- J qi{t)dtY. j Чг{т)\т - r,\dj. .. 0 t=bt_i ' 0 »=1»i-i и

При произвольных вектор узлах Г = = {т^} обозначим через

Pi = {<ik},£m{Hl'-4i',T) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса Н1[0,1] квадратурной формулы

\ m

qi(t)f(t)dt = £ akf(tk)^Rm(f\4i;Pi,T),

и h 1

а через Рг = {1^},£п(Н1;(1 г,Т) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса Я1 [0,1] квадратурной формулы

}

• / Ф)Пт)йт = £№<) +Л1(1;Ч2;Р2,Т). о 1=1

Тогда справедлива следующая общая

Теорема 2.1.1.Пусть <7(£, т) = <?1(£)<72("?")• Тогда для погрешности наилучшей по коэффициентам кубатурной формулы (8) для класса справедлива формула

1 1 ' = £т{Н1-,Ч1-Т) I Ч2{т)йт + еп{Н1-,Ч2,Т) I о о

В частности, наилучшая кубатурная формула с равноотстоящими узлами

Т = {Ь : гк = к/т, к = 0,1,..., т}, 7* = {ту : ту = г/п; г = 0,1,2,..., п} и весом т) — ql(t)q2{т) = £г имеет вид

Л г)ЙЙг = ^¿{¿[/(0.0) + /(0,1) + / (1,0) + /(1,1)]+

+-

(<Э)

4п - 1 ^

£ л

а-=1

то / \ТО

+

г/г-1 / * ^

+ £ к-л-/(-,-)

ь=г

чгп. п

погрегиность которой на всем классе Я'1,1^ равна

16 \т

В этом же параграфе доказано следующее утверждение являющееся обобщением теоремы 1.2.2 первой главы.

Теорема 2.1.2.Пусть т) = 0 < в, 7 < 1. ТЬгЛг среди куба-

турных формул вида (8) типа Маркова с фиксированными векторами узлами Т '/]', -■ {АгДн}™. ().7" = = {г/?г}"=0 формула с коэффициентами

(1 — в)(1 — 7) (2^) (аи) '

Ро.о =

1

Ро.п

(1 - 5)(1 -7) \2т

1

1-1

2 п

Рт. О

Pul л

(l-s)(l-7) 1

"-"-¿гГ

Po.i =

(1 -5)(1 -7) 1 / 1

1-1-

(1 -s)(l-7) \2т

1

2т

2 п)

2 п

2i - Р ^

1-1

2п

Pm.i =

1-s'

Pfc.O =

(l-s)(l-7)

1 Г/2Л: Ч- _ /2fc - 1N

i 2m /, V 2?гг J

(2i + 1N1"7

,¿ = 1.2,..., ra — 1; 2¿ — 1\ 1-71

2n

=

Pt, =

(l-s)(l-7) 1

(l-s)(l-7)

, к = 1,2,..., m—1; P1"

1-1-

_V 2 n } i = 1,2,..., rc — 1;

___|'-!1 / n1-'

(1 — s)(l — 7) [l 2m J. { 2m ) J UnJ

1 r/afc + lN1- _ (2k - ÍN1"51 r

\2m~J ~ \ 2 m ) [" Г 2n k= 1,2,.... m — 1; "/2fc + n1'* _ í2k — Г/2г + iy~"'' /2г - ÍN1"7

l 2m J V 2m J j [I 2n J V 2n )

к — 1,..., m — 1; г = 1,.... n — 1;

является наилучшей по коэффициентам для класса погрешность ко-

торой равна 3

1

4(1 — s)(l — 7) \т п) 24 \(1 — 7)m2 (1 Обобщением теоремы 1.3.1. является следующая

Теорема 2.1.3. Среди всех кубатурных формул вида (8) с весовой функцией q(t,r) = sin7r£sin7rr. фиксированными векторами узлами Т* := Т^ = {к/т}'£=й. Т" := Т* = {г/«}"= 0 формула с коэффициентами

4 . > ~ •> г

Ра,о = Р0,п = Pm,0 = Рт-,,. = -j sin — sm —, ; ■ '

7r¿ 4т 4n

4 . 9 7Г . тг . ттг . Pm.i — РО,* — о S111 - Slll Slll , i — 1,2,..., ra 1; 7Г 4m n TI

4 . 7Г . Trfc . O ir , Pt.» = P*:,n = sin —sin — sin —,k = 1,2....,m - 1;

TT^ m ni 4?¿

4 7Г 7rfc 7Г 7T¿

Pt = —z sin — sin — sm — sin —. k = 1.2,.... m — 1; г = 1,2,.... ra — 1; 71 m rn n TI

является наилучшая по коэффициентам для класса Н( 1,1) погрешность которой равна 1 (.!

В параграфе 2.2 второй главы при т) = 1 кубатурная формула (8) исследуется для классов функций: Н'"'(ф) = {/ 6 С(<3);^(/;и,г.') < ш(и,г')}, гд,е и>(и, у) - заданный полный модуль непрерывности.

= {/ е С(<?) : IДМ') - ДМ")I < и;[р(М', М")]}, М\ М" е д,

где р(М', М") = — + |г' — г"|, а ¡¿(и) - заданный модуль непрерывности. Основным результатом параграфа 2.2 является следующая Теорема 2.2.1 .Среди кубатурных формул вида (8) с весовой функцией т) ^ 1, оптимальной для класса функций является формула

///(1,т)йЫ-Ю)

1 » ,(2к-1 2» — 1\ , _ ...

ггот ^ г"Г"1" V 2 т ' 2 п Для погрешности этой формулы справедлива оценка

€тп(Н"Лт =

1/2 т (1/т+1/п)/2

= 4пг?г

['Щг)(И+— [ и;(г)<Й+ / (—--1- —--£) , т<

о 2п1/2П 1/2™ К2т 2п '

1/2 т х 1/2п (1/т+1/л)/2

/ + —- [ и(ЬШ + [ (— +--

О 1/2т 1/2, ^ 2П >

' /2т : 1/т

т. > п.

т = п

.0 ' ' . 1/2т Чт 7

Отметим, что теорема 2.2.1 является аналогом известного результата Н.П.Корнейчука для класса

В последнем параграфе 2.3 диссертации получены наилучшие по коэффициентам весовые кубатурные формулы для классов функций Нш(0) и Я^2(<2) в области С} = {0 < Ь, т< 1}.

Теорема 2.3.1. Среди кубатурных формул вида (8) с весовой функцией Ч^-, т) > 0, фиксированными векторами узлов

Т = {¿А. : 0 = «о < ¿х < ... < <т_1 < 1т = 1},

Т = {ц : 0 = г0 < п < ... < тт_1 < т„ = 1}

и произвольными векторами Р = = 0,1, ...,то; i = 0.1,..., и) наи-

лучшей по коэффициентам кубатурной формулой на классах функций Нш и

H,jJ'2 является формула с коэффициентами

Pki = // Ф, r)dtdT,

где

Qli - {xk < t < xk+u уг<т < yi+x}, xn = O, Xk = (tk-i + tk)¡2, k - 1,2,..., m; xm+i - tm = 1. Уо = О, уг = (r¿_i + rt)/2, i = 1, 2,..., r¿; = rn = 1 « наилучшей оценкой остатка, соответственно, равной .

m п.

Г, Т) = Е Е // 7(í,r)u;(|í - ífc|, |r - T,|)didr, k=0i=0(%) m n . „ _• i ■ •

£mn{H^\T,T) = E E // ?(í,rMV(í-ífc)2 + (7--7-i)2)dtóT-

В частности, Лгл весовой функции q(t, г) — £т ы вектор узлов Т* — {ít : ífc = k/m,k = 0,1,..., m}, Т* = {t¿ : r¿ = i/n,i = 0,1,..., гг} оценки оет.атка на классах Ни, Я"'2 имеют вид

1/2т1/2п

£mn{H";tT;T*,T*)=mn J J. u(t,r)dtdT,

о и ¡ .... .

i /2m 1 J2n

Smn(Hu-2]tT;T*,T*)=mn [ ¡ + T2)dtdr. ..,,■,=.„

о 0

Для весовой функции q(t,r) = sin irt sin тгт из теоремы 2.3.1 получаем следующее утверждение

Теорема 2.3.2 -Среди всех кубатурных формул вида (8) с весовой функцией q{t,r) = sin 7rí sinTrr, фиксированными векторами узлов Т* = {fc/mJ-gLo, 7** = • {г/п}"_0 и произвольными векторами коэффициентов Р = {pin} наилучшей по коэффициентам на классах функций Н^(Q) и H""2{Q) является формула

IJ sin 7TÍ sin 7tt/(í , r)dtdr

(Q)

.. n . ж »£} . for . ш (k г\ 4sm —sm — E E «m — sin —/ —.- + Rmn{S)-2ni 2и Jt=1 ¿=1 m n \m nj

При атом для наилучшей оценки остатка этих классов справедливы равенства

Ет,п{Ны\ sin7r( sinTrr; Г*, Т*) =

4 1/2 т 1/2 п / 1 \

= -—;—тт—. .' ,—т—г / / cos7r t - —- I cosTT (г - —- }¡jj(t,T)dtdT: sin (тг/2т) sin (тг/2п) jj ¿ V 2т) \ 2п) v ' '

£тп(Нш'2] sinTrí sm-лт-Т ,Т*) =

4 ^^ / 1ч / 14 _

= ■ , /0 ч ■ , /0 Ч / / C0S7T Í- — C0S7T Г- — w(Ví2+r2)rfídr.

sm {к/2т) sin (7г/2п) ¿ ¿ \ 2т. J V 2гс/

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с.14-19.

2. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности -Доклады АН РТ, т.48, 2005, №3-4.

3. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости. - Доклады АН РТ, т.49, 2006, №5, с.412-416.

4. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006; №7, с.42-54.

5. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формул для классов функций, задаваемых модулями непрерывности: - Доклады АН РТ, т.49, 2006, №7, с.597-603.

6. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве L\[a, 6]. - Доклады АН РТ, т.52, 2009, №1, с.23-32.

Сдано в набор 26.01.2009. Подписано в печать 29.01.2009. Зак.№ 075. Объем 1п.л. Тираж ЮОэкз. Отпечатано в типографии РТСУ.

Введение

Глава I. Наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

§1.1. Постановка задач о наилучших квадратурных формулах с весом . .'.

§1.2. О наилучших но коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности

§1.3. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций.

§1.4. О наилучших квадратурных формулах с весом для класса функций W^L[0,1].

Глава II. Оптимизация весовых кубатурных формул для некоторых классов функций

§2.1. Постановка задач о наилучших кубатурных формулах с весом.

§2.2. Оптимальные кубатурные формулы для классов функций

H"(Q) и HU^(Q)

§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для классов функций HW(Q) и

Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур. Рассматривается квадратурная формула f(t)q(t)dt = £ Pkf(tk) + Rn(f', g, Р, Г) (0.1) а ' к—1 в которой весовая функция q(t) > 0 на отрезке [а, Ь\ и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {рк} - вектор коэффициентов, Т = {tk : а < t\ < t2 < . < tn-1 < tn < 6} - некоторый вектор узлов, а Rn(f-,q:P,T) - погрешность квадратурной формулы (0.1) на функции f(t).

Если Ш - некоторый класс функций {/(£)} заданных и определенных на [а, 6], то через

Rn(Tl] q, Р, Т) = sup и п

I f{t)q(t)dt - £ pkf(tk) а к=1 fern обозначим погрешность квадратурной формулы (0.1) на классе 9Я. Задача состоит в отыскании следующих величин sn(m-q7T) = MRn(m;q, р, г), (0.2) п(ж- q) = inf g, p, т). (0.3)

Квадратурная формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ по коэффициентам Р = {рк} при фиксированных узлах, если существует вектор Р° = {р(1} Для которой n(m,q,T) = Rn(Wt-1q,P0,T).

Точно также, формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ, если существует вектор Р° = {рк} - коэффициентов и вектор Т = {tk}

- узлов для которых выполняется равенство n(m]q) = Rn(m-q,p°,T0).

Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А.Н.Колмогорову, а первые основополагающие результаты принадлежат С.М.Никольскому [24]. Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом [29]. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах В.М.Алхимова [1], И.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева [14], С.М.Никольского [24], Н.П.Корнейчука [16], Н.Е.Лушпай [20], М.Левина [18], А.А.Женсыкбаева [11], Б.Д.Боянова [8], А.А.Лигуна [22], В.П.Моторного [23], В.Ф.Бабенко [2]и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н.П.Корнейчуком в дополнение к книге С.М.Никольского "Квадратурные формулы"(Москва, Наука, 1979 г.).

Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (0.1) с весом q(t) > 0 имеющих на концах отрезка [а, Ь] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б.Г.Габдулхаева [9], Л.А.Онегова [25], В.А.Бойкова [6] и М.Ш.Шабозова [31].

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Здесь мы приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов для классов функций малой гладкости, а именно рассматриваются следующие классы функций: W^ = оо (1 ;<2, Ь) - класс

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, 20, т, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, 3, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро-осциллирующих функций. // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

8. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

9. Габ дул хаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

10. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, №1, с. 121-123.

11. Женсыкбаев А.А. Успехи матем.наук, 1980, т.78, №1, с.115-140.

12. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

13. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 е.- (Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

14. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

15. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

16. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. Матем.заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

17. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, стр.577586.

18. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, 236, №6, с.1303-1306.

19. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

20. Лушпай Н.Б. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972,с.35-39

21. Лушпай Н.Е., Переверзев С.В. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных //В сб.Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.

22. Лигун А.А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем.заметки, 1976, 19, №6, с.913-926.

23. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, стр. 1205-1208.

24. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. - 256 с.

25. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью.// Изв.Вузов, Математика, 1981, N9, с.76-79.

26. Сабоиев Р.С. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности -Доклады АН РТ, т.48, 2005, №3-4.

27. Сабоиев Р.С. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости. Доклады АН РТ, т.49, 2006, №5, с.412-416.

28. Сабоиев Р.С. О наилучших но коэффициентам весовых кубатурных формул для классов функций, задаваемых модулями непрерывности. Доклады АН РТ, т.49, 2006, №7, с.597-603.83

29. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

30. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

31. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

32. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300-1305.

33. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Докл. АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69-75.

34. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж.ССР, сер.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, №4, с.86-90

35. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6,

36. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

37. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с.14-19.с.17-22