Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций

Хамдамов, Шерали Джумабекович

Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Хамдамов, Шерали Джумабекович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Душанбе МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций»

Автореферат диссертации на тему "Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций"

804616834

На правах рукописи

Хамдамов Шерали Джумабекович

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НАИЛУЧШИХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ . диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ЛЕН 2010

ДУШАНБЕ-2010

004616884

Работа выполнена в Худжандском государственном университете имени академика Б.Гафурова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ Шабозов Мирганд Шабозович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

член корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Таджикский государственный

педагогический университет имени С.Айни

Защита состоится 22 декабря 2010 г. в 11.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни, 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан "¿р" мдаД^а 2010 г.

кандидат физико-математических наук Юсупов Гулзорхон Амиршоевич

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы^ из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В:П.Моторным, А.А.Женсыкбаевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К.И.Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского ,Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1986 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также теория построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.

При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатурных формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.

Рассматривается квадратурная формула

/ д(х)/(х)с1х = £ ркЦхк) + ад), (1)

а к=1

в которой весовая функция д(х) > 0 на отрезке [а, Ъ] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р ~ {рк)к=\ — вектор коэффициентов, X = {хь : а < хI < Х2 < ... < жп-1 < хп < Ь} — вектор узлов, а /?«(/) :== := /?„(/; д; Р, X) — погрешность квадратурной формулы (1) на функции/(х).

Если 71 некоторый класс функций {/(х)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, 6], то через

Дп(Ш;9;Р,Х)=8ир{|ад;д;Р,Х)Г: / С? <Л) (2)

обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе 91

Требуется найти величину

€п(01;= (Р,Х) с Л}, (3)

где Л - множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р°, Х°) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (3), то есть

то квадратурная формула (1) называется наилучшей или оптимальной на классе ОТ, а вектор (Р°,Х°) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = {р£}£=1, который реализует нижнюю грань

£•„(*; 9, X) = т^/да я Р, X) : Р С Л}, (4)

то квадратурная формула (1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X = {хкУк=1.

В литературе задача (3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (4) - задачей Сарда. Задача (3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов рассматривалась многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда д(х) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л.А.Онегова, В.А.Бойкова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабоиева.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики.

Цель работы:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов ^^'¿[а, 6] на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найти наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций

когда область <5 как ограничена, так и не ограничена.

5. Вычислить точные оценки погрешности кубатурных формул на классах функций, определяемых модулями непрерывности.

Метод исследования. В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных

формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости как на конечном, так и на бесконечном отрезке.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.

4. Найдены наилучшие кубатурные формулы для классов функций, определенных в первом квадранте декартовом системы координат.

5. Вычислены точные оценки кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах для классов функций, определяемых модулями непрерывности.

Практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Ходжент, 2007 - 2010 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в ИМ АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (г.Душанбе, 2007 г.), „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" (г.Душанбе, 2007 г.), „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ" в ИМ АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.) в ИМ АН Республики Таджикистан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [40-43, 50], из которых одна статья выполнена в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым и Р.С.Сабоиевым. Из этой статьи в диссертации приведена теорема 2, доказательство которой принадлежит автору диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 53 наименований и занимает 82 страницу машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную

нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введении приводится краткая характеристика изучаемой проблемы и основные результаты диссертационной работы. Приводим краткую характеристику работы с указанием основных результатов. Рассматриваются следующие классы функций: С[а, Ь] - множества непрерывных функций на отрезке [а, 6]; СМ[а, Ъ] - множества функций }{х), у которых J^{x) € С[а, Ь]; W<r)tfw[a,&] (г = 0,1,2,...; 6] = Ны[а,Ь}) - множество функций

f(x) € С'(г_1)[а,6] (г € N), у которых существует кусочно-непрерывная производная r-го порядка f^{x), удовлетворяющая условию

■ |/<г>(х") -/°°(х ) |<Ц|х"-х'|), X, х" € ía,6¡,

где ш(6) - заданный модуль непрерывности. В случае —8a, 0 < a < 1, это класс функций, у которых г-я производная удовлетворяет условию Гельдера порядка a; W^Lp\a,b} (1 < р < оо;г = 0,1,2,...; W^Lp[a,b] s Lp[a,b]) - класс функций f(x), у которых производная /(г~г\х) абсолютно-непрерывна, f^(x) е Ьр\а,Ь] и удовлетворяет условию

/Ь \!/Р

||/(r)IU„ = I/\f{'4x)\pdx\ < 1.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и обозначения общего характера, постановка экстремальной задачи для квадратур в общем случае, а также определение классов функций.

Приводим основной результат второго параграфа.

Теорема 1.2.1. Пусть [а. 6] — [—1,1]. Среди всех квадратурных формул вида (1) с весом q(x) = (1 - х2)-1/2, фиксированными узлами X* — {хк = cos((2A; — l)7r/(2n))}^=1 и произвольными векторами коэффициентов Р = {р*;}£=1 наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой tía классе #"[—1; 1] является квадратурная формула Эрмита

При этом для оценки погрешности формулы (5) на всем классе Нш[-1;1] имеет место равенство

тг/2 п

^(/^[-ljlJííViT?)-1^*) =2n / u(t)dt.

В этом же параграфе доказана следующая

Теорема 1.2.2. Если функция /(я) е 1; 1], то для остаточного

члена квадратурной формулы Эрмита (5) справедливо равенство

Лп(/) = ¿[(1 - 4)/'Ы - ха/(хо)], пеы,

где Хо - некоторая точка интервала (—1; 1).

В третьем параграфе первой главы изучается задача нахождения точной оценки погрешности формулы (5) на классе функций И^1' Нш [—1; 1] в предположении, что формула (5) точна на множестве интерполяционных сплайнов первой степени.

Имеет место следующая

Теорема 1.3.2. Если квадратурная формула (5) точна на интерполяционных сплайнах первой степени, то для погрешности этой формулы на классе функций ]¥^Ни[— 1; 1] справедлива оценка

где

= К 0; 4 Р\ I

(2£-1)7ГГ

Р = Р* = = ,Х={хк = соз X

п)к=г' I, 2г»

(2/с- 1)тг\"

{4 =

2п

Из теоремы 1.3.2 вытекает

Следствие 1.3.1. В условиях теоремы 1.3.2 верно равенство

Йп (И/(ЧН«[-1; 1]; (^/Г^ГМ*,*) < 0 < а < 1.

Четвертый параграф первой главы посвящен отысканию наилучших квадратурных формул вида (1) с весом Якоби — (1 - х)"(1 + ж)/Э,

а,/3 > —1 для классов функций малой гладкости 1], то есть для

которых

||/|иИ;1] = / |/'(*)|¿X < 1.

-1

Доказана следующая общая

Теорема 1.4.1. Пусть а, 0 > —1. Тогда среди всех квадратурных формул вида

} п

/ = Е РкЛхк) + Яп{Л

наилучшей для класса 1] является квадратурная формула, вектор

коэффициентов которой имеет вид

ш оа+т Г(а + 1)Г(/3+1) 1 7 Ь П ~ г !> + /? +2) п

а вектор узлов X = определяется из системы равенств

гдеТ(и) - гамма функция Эйлера.

Для погрешности наилучшей квадратурной формулы на всем классе функций справедлива оценка

Г(а + 1)Г(0 + 1) 1

Г(а + /3 + 2) п

Из теоремы 1.4.1 вытекает ряд следствий

Следствие 1.4.1. Пусть а — ¡3 = —1/2. Тогда наилучшей квадратурной формулой с весом q(x) = (\/1 — х2)~х для класса И^Ц—1; 1] является классическая формула Эрмит.а (5), погрегиность которой на всем классе равна

£п (\¥тЬ[-1) 1]; (ч/Г^)"1) =

Следствие 1.4.2. Пусть а > —1, /3 = 0. Тогда среди всех квадратурных формул вида

}

/ (1 - х)и1(х)йх = £ рк/(хк) + Я„(Л

наилучшей на классе 1;1] является квадратурная формула, векто-

ры коэффициентов и узлов которой имеют вид

2п" 1Г / ; „ (Л 2к —1\ «+г]П

При этом, для погрешности наилучшей квадратурной формулы на всем классе справедлива оценка

па+1 1

Аналогичные следствия имеют место для а — О, Р > -1; а ~ 0 — 1/2; а -■ —1/2,/? = 1/2 и а = 1/2, ,0= -1/2.

В пятом параграфе первой главы решается задача нахождения наилучших весовых квадратурных формул для класса И^'^^+оо) - функций /(ж), определенных на полуоси (0;+оо), имеющих кусочно-непрерывную производную, удовлетворяющих условию

+00

ИЛкв+оо) = / |/ИИ*<1.

Здесь найден ряд наилучших квадратурных формул с различными весовыми функциями. Наиболее важным результатом этого параграфа является

Теорема 1.5.2. Пусть q(x) — хре~1',—1 < р < +оо, 0 < й < Ч-оо. Тогда наилучшая квадратурная формула имеет вид

7х»е~хУ(х)с1х = -Г • - £ /Ы + Яп(Л, (6)

¡/ Я \ 5 ) ПЫ1

узлы которой определяются из системы равенств

I 2 п в \ в )

Погрешность формулы (6) на всем классе 0; +оо) равна

В частности, из квадратурной формулы (6) прир = 0, я = 1 получаем квадратурную формулу

4 £ / (ш и- ад о,

погрешность которой па всем классе И^'Л^О; +оо) равна - 1;1];е-1) =

В заключительном шестом параграфе первой главы рассматривается задача отыскания наилучшей квадратурной формулы для приближенного вычисления двумерного сингулярного интеграла с фиксированной особенностью в начале координаты следующего вида

ДЩи{х)йс, г — г(0,х), 0 < в < 1, (7)

Юо) Г

где }{б) - характеристика интеграла, и(х) = и(х\, хг) - заданная непрерывная плотность, С}о = {(жь хг) : х\ + х\ = г2 < 1} - единичный круг с центром в начале координат. При 5 = 1 для существования интеграла (7) необходимо,

2тг

чтобы выполнялось условие I /(в)йв = 0. Переходя к полярным координатам

в интеграле (7), запишем его в виде

(Qo) о

2тг

где, ради удобства, положено Fu(r) = J f(0)u(r eos 0. г sin в)йв.

Пусть W^L(Qo) - класс функций Fu(r) 6 С[0,1], имеющих кусочно-

непрерывную производную F'u(г), удовлетворяющих условию J\Fu(r)\dr < 1.

W(1)Loc(Qo) = (ВД : ВД € С[0,1], supvrai\FÍ(r)\ < 1 j .

I 0<г<1 J

Для непрерывных в круге Qo функций и(х\, х^) введем в рассмотрение квадратурную формулу специального вида

// Щи{х)йх := J ^dr = £ pkFu(rk) + KiF»; г"'), (8) (Qo) Г 0 *=1

в которой X — {гк : 0 < ri < Гг < ... < rn_i < rn < 1} - некоторый вектор узлов, Р = {pit}£=1 - вектор коэффициентов, Rn{Fu\ r~s) - погрешность формулы (8) на функции Fu(r). Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.6.1. Среди всех квадратурных формул вида (8) наилучшей для класса W^L(Qo) является формула

погрешность которой на все.м классе равна

2(1 -s)n

Теорема 1.6.2. Среди квадратурных формул вида (8) с весовой функций д(г) — г~в, 0 < в < 1 и фиксированными векторами узлов 71 =

У г6

'-''-¿Г

ад +

п-1

+ £

к=1

{гк '■ гь = к/п}'ь_о наилучшая по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова имеет вид

погрешность которой па всем классе И^^Ь^О, 1] равна

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи нахождения наилучших весовых кубатурных формул на различных классах функций двух переменных, произведение которых на произвольной положительной весовой функции <7(а-, у) интегрируемо в прямоугольнике (2 = {а < х < Ь, с< у < где а,Ь,с,с1 е К..

Вводится в рассмотрение кубатурная формула с весом вида

[ г Л 111

У/ я(х,у)/(х,у)йхйу = £ ЕРыЯ^ьМ) + Лтп(/,д), (9)

(С?) к=1 г=1

задаваемая векторами узлов

А" = {х/ь : а < < < .. - < < хт < 6},

V = {г/г : с < у1 < г/г < • ■ • < Уп-1 <Уп<д] и коэффициентов Р = {ры}™?^, Ятп(/,я) = !(„,„(/, д\Р,Х, У) - погрешность кубатурной формулы на функцию /(£, т). Положим

Ятп(Ш; Р, X, У) = виражу, ч- Р, X, У)| : / е ®1}

и пусть, по-прежнему, Л - множество векторов {(Р, X, У)} - коэффициентов и узлов, для которых кубатурная формула (9) имеет смысл. Требуется найти следующие величины

£тп(К-, д) = М{Ятп(Я1; <?; Р, X, У) : (Р, X, У) С Л}, (10)

£тп№х, У) = тцадэл; Р, X, У) : Р С Л}. (И)

Если существуют векторы (Р°; Х°; У0) и Р* из множества Д, для которых соответственно в (10) и (11) нижние грани достигаются, то кубатур-ные формулы с этими векторами, соответственно, называются наилучшей и наилучшей по коэффициентам формулами

Отметим, что наилучшие кубатурные формулы для некоторых важных классов функций и регулярных интегралов найдены в работах Н.П.Корнейчука, В.Ф.Бабенко, И.И.Ибрагимова, Р.М.Алиева, Н.Е.Лушпая и С.В.Переверзева, М.И.Левина и Ю.Г.Гиршовича, М.Ш.Шабозова и многих других.

Пусть W^LP(Q), 1 < р < оо - класс функций }(х, у) € C<'"1-i-1>(Q)1 имеющих в прямоугольнике Q кусочно-непрерывные производные f^r,3)(x, у), j = 0, s — 1; f^''s\x,y),i = 0, г — 1; у), удовлетворяющие условиям

jfm{;y)dy

< 1,

LPW,b]

ff^\x,-)dx

<1,

Lr(Q)

Lp[c,d}

\Up

< 1.

// (x,y)\pdxdy \Q)

Специфика двумерного случая позволяет функции f(x, у) б C(Q) сопоставить как полный модуль непрерывности

<j(/; t.T) = sup{|f(x\y') - f(x",y")I : К - x"| < t, |у' - y"j < r},

где (x1, у'), (x", y") € Q, так и частные модули непрерывности

w(/;i, 0) = sup{|/(.-c',y) -/(х",2/)| : - < i,0 < у < 1},

0, г) = sup{|/(z, у') - /(ж, 2/")| : | у' - у"\ <г,0<х<1},

характеризующие изменения f(t,r) вдоль каждой переменной.

Модулем непрерывности f(x, у) € C(Q) назовем также функцию w»(/;i,r), определяемую равенством

w.U\ t, г) = sup{|/(x', г/') - f(x', у") - f(x", у') + f(x", у")I : : у'), у") € Q, \х' - х"\ < t, \у' - у"\ < г}.

Через Wlr's)HUi>Ui(Q), r,s е Z+ обозначим класс функций f(x,y) € C^'^iQ), r,s > 1, г, s G N, у которых частные производные /W>(ar, у) (/ = 0,1,.... а - 1), /(М(*, у)(к = 0,1,..., г - 1) кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования, существуют кусочно-непрерывные производные /М(ж, у), удовлетворяющие условию

|/(r,4V. У') - /(г'V, ?/)| < - Л) + - 2/"1).

где (х\ у'), (х", у") € Q, a (^(i) и и2(т) - произвольные модули непрерывности, то есть полуаддитивные, возрастающие, соответственно, для 0 < t < Ь — а и 0 < т < d — с функции такие, что в нуле равны нулю wi(0) = 0, (¿2(0) = 0.

Через (г, б' 6 обозначим класс функций, у которых

производная т) кусочно-непрерывна на С] и для любых двух точек

М'(Ь',т'), М"(?',т") € С} удовлетворяет условию

|- /{г'*\М")| < и[р{М', М'%

где р(М',М") = — + |т' — т"| - хэммингово расстояние между точками Л/'(<', г') и Л/"(г", г"). Здесь а/(£) - заданный на отрезке [0,2] модуль непрерывности.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая общая Теорема 2.2.2. Пусть да>0{х) = (1 - *)а(1 + = (1 - у)°

(1 + у)Р,а, Р > —1, С} — {—1 < х,у < 1}. Тогда среди кубатурпых формул вида

. т п

// ЧаАх)ЯаАу)/(х' У)йх(1У - £ £ Ры/(Хк,У1) + Дтп(/) (12) (0) *-1/=1

наилучшей для класса Э) является кубатурная формула, вектор

коэффициентов которой имеет вид

'Г(а + 1)Г(/3 + 1)

Г(а + /3 + 2)

(13)

а вектор узлов для к = 1,т и I — 1,п определяется из системы равенств

}„ 2m~2fc + 1 оч+д+i Г(а + 1)ГСЗ + 1) J qoA*)dx =--^---2 • Г{а + р + 2)~,

Хк 1

/ qa.p{y)dy =

2m 2га - 21 +

2п

1 Г(а + 1)Г(/?+1)

(14)

Г(а + /3 + 2)

Для погрешности кубатурной формулы (12) с вектором коэффициентов (13) и вектором узлов, определяющихся из систелт (Ц) на всем классе функций '[У^'^.Ь^), справедлива оценка

Smn{WWL(Q)]qa.0(x),qaAy)) =

= 2а+у •

Г (а + 1)Т{р + 1)

2 2 4

—+ - + —

т п гпп

Г (а + р + 2)

В частности, из теоремы 2.2.2 вытекает следующее важное Следствие 2.2.1. Пусть а = р = -1/2; Q = {-1 < х,у < 1}. Тогда наилучшая кубатурная формула имеет вид

f(x,y)

(О)

Л1 х)0-~ У2)

dxdy =

7Г ж ™ " , / (2к - 1)тг (2/ - 1)тг\ „ , лч тпйн \ 2т 2 п }

погрешность которой на всем классе Ь(С}) равна

«- (Л1 -^(1-ЛГ1) = у Й + ; +

Аналогичные следствия получаются при а = /? = 1/2; а = 1/2, /? — -1/2; а = -1/2,/7 = 1/2; а > -1,Р = 0; а = 0, /? > -1 и других значениях а и р. Например, для весовой функции <?а,/з(х, у) = (1—х)а(1+у)^, а,р > —1 получаем следующее утверждение

Следствие 2.2.2. Среди кубатурпых формул вида

гг „ т п

//(1 - 4- Уу/(х, = £ ЕР«/(®*. ») +

(д) Ы11=1

наилучшей на классе является кубатурпая формула, векторы

коэффициентов и узлов которой имеют вид

г 2а+/7ь2 1 |

Р=\РкГ- Ры = т—гт7Гд~7ТТ--Г

[ (а+ 1) (0+1) тп)кш

„ I , „Л

-ЯГ = <агл : я* = 1 - 2 11 - ■

2т .

1 п

; ¡=1

При этом

£тп {ш^ьт (1 - (14- УУ) = (- + ! + —).

4 7 (а 4-1)(р + 1) \т п тп/

Третий параграф второй главы посвящен нахождению весовых кубатур-ных формул для классов функций

и^МЦО*), где 0' = {(х,у) : 0 < х,у < 4-оо}.

Здесь доказано несколько теорем о наилучших весовых кубатурных формулах, среди которых основной является

Теорема 2.3.3. Пусть д(х, у) ~ хяуге~<-х"+у°\ г > -1, 0 < р, 5 < 4-оо. Тогда наилучшая кубатурпая формула для класса И^^¿(С^*) имеет вид

1/х3уге-{хР+у"]/(х,у)дхду^ (О*)

= ¿г г (Чг) ё ^ ^ м)+(15)

РЧ \ р ) \ Ч ) к=1 ¡=1 г/злы которой определяются из системы равенств

+?0 , Р 2 т г р. % Лг. —-

2т р

2т р \ р )

Хк +00

2п Ч \ Ч )

где Г(и) - гамма функция Эйлера.

Погрешность кубатурной формулы (15) на всем классе 5")

равна

+ 1\ /г+ П Г 1 1 2 ]

; \ р ) \ ч ) {т п тп)

Из теоремы 2.3.3 при г, 5 > ~1,р = ч = 1 следует утверждение теоремы 2.3.2, а при г = в = 0,р = д = 1 получаем обобщение известной формулы Ю.И.Гиршовича на случай функции двух переменных, а именно имеет место Следствие 2.3.1. Пусть г = з - 0,р = д = 1; д{х,у) — Тогда

наилучшая кубатурная формула на классе {У1-11^имеет вид

Ц е~(х+у^/(х, у)(1х(1у — (<?•)

тп Ь Ьх ^ V 2т - 2^: + 1'1П 2п - 2/ + 1У + Ят4/'

погрешность которой на всем классе равна

В заключительном четвертом параграфе второй главы предполагается, что кубатурная формула (9) при д(х, у) = 1 точна на интерполяционных билинейных сплайнов и доказывается следующая

Теорема 2.4.1 Пусть = {0 < х,у < 1}. Если кубатурная формула (9) при ч(х>У) = 1 точна на множестве интерполяционных билинейных сплайнов, то для оценки погрешности кубатурной формулы на классах функций справедливы равенства

1 /т ^ 1 /п

£шп = - / ид(ОЛ + £ / иъ(т)<1т,

- 1/m А/Т*

£m„ {w^h;(q)) = - J J uj(t + r)dtdr =

" n л

1/m 1/n

0 0

1/n 1 /т 1 /mil /*■>

1 9

lfm i /n 1 /п.д.1 /т.1

l/n 2/n 2

J tu(t)dt + J (--t\u{t)dt, m = n.

m = n.

l/n

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список работ опубликованных по теме диссертации

1. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности квадратурных формул, точных на сплайнах первой степени // Докл. АН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №3, с. 213 - 217.

2. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Ь\[а, 6] // Докл. АН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №1, с. 5 - 9.

3. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности кубатурных формул точных на билинейных сплайнах // Докл. АН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №2, с. 93 - 100.

4. Хамдамов Ш.Дж. Оптимизации приближенного вычисления двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге // Современные проблемы математического анализа и их приложений. Материалы межд. науч. конф., поев. 60-летию академика К.Х.Бойматова. -Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 107 - 108.

5. Хамдамов Ш.Дж. Об оценке погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций //Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53 , №5 , с.333-337.

Сдано 15.11.2010 г. Подписано в печать 18.11.2010 г. Гарнитуара Times Roman. Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84 Тираж 100 экз. Цена договорная. Заказ №31

Отпечатано в ПОО «Офсет-Империя» г.Душанбе, ул. Мирзо Турсунзода, 31 Тел.: (992 37) 221 39 79

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Хамдамов, Шерали Джумабекович

Введение

Глава I. Наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы на классах функций малой гладкости

§1.1. Определение и обозначения общего характера.

§1.2. Об оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита на классе функций Ни[—1\ 1].

§1.3. О погрешности одной квадратурной формулы на классах функций ЦгМНы[-1] 1].

§1.4. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с весом

Якоби на классах функций малой гладкости

§1.5. О наилучших весовых квадратурных формулах класса функций 0, оо)

§1.6. Об оптимизации приближенного вычисления двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге. Приведение к одномерному случаю.

Глава II. О наилучших и наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах на некоторых классах функций

§2.1. Постановка задач и классы функций.

§2.2. О наилучших весовых кубатурных формулах на классах функций (1 < Р < оо).

§2.3. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов функций УУ^Ьр^*), 1<р<оо.

§2.4. Оценки погрешности кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах, для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

Введение диссертация по математике, на тему "Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций"

В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский [33] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард [38]. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В.П.Моторным, А.А.Женсык-баевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К.И.Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского [33]. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.

Рассматривается квадратурная формула п х)Цх)йх = £ Рк/(Хк) + Дп(/), п

0.0.1) в которой весовая функция д(х) > 0 на отрезке [а, 6] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р = 1 - вектор коэффициентов, X = {хь : а < XI < Х2 < . < хп-1 < хп < 6} - вектор узлов, а Яп{1) := ] д\ Р, X) - погрешность квадратурной формулы (0.0.1) на функции

Если ОТ некоторый класс функций {/(ж)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе ЭТ. Требуется найти величину где Л - множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р°, Х°) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (0.0.3), то есть то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей или оптимальной на классе ОТ, а вектор (Р°,Х°) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (0.0.1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = который реализует нижнюю грань М

Дп(ОТ;д,Р,Х)=зпр{|Дп(/;д;Р,Х)| : / £ ОТ} (0.0.2)

П(0Т; д) = ^{^(ОТ; <?; Р, X) : (Р, X) С Л}

0.0.3)

П(0Т; д, X) = Ы{Яп(Ъ1] д\Р,Х): Р С Л}

0.0.4) то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X =

В литературе задача (0.0.3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (0.0.4) - задачей Сарда.

Задача (0.0.3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов решена многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда д(х) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л.А.Онегова, В.А.Войкова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабоиева.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики, целью которой является:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов а, 6] на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.

4. Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций И^1'1^^), когда область (2 как ограничена, так и не ограничена.

В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований диссертационной работы:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости как на конечном, так и на бесконечном интервале.

Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.

Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Ходжент, 2007 - 2010 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в ИМ АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях „Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (г.Душанбе, 2007 г.), „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" (г.Душанбе, 2007 г.), „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ" в ИМ АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), в ИМ АН Республики Таджикистан.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [40 — 43,50], из которых одна статья выполнена в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым и Р.С.Сабоиевым. Из этой статьи в диссертации приведена теорема 2, доказательство которой принадлежит автору диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 53 наименований и занимает 82 страницу машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Хамдамов, Шерали Джумабекович, Душанбе

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, 202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, т. 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, т. 20, №4, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, 3, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

8. Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. -Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.17-21.

9. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

10. Вакарчук К. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990, №47, вып. 5 с.26-29

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена А.Я. Применение полиномов Чебишева в численном анализе.-Рига: Знатне, 1984.-240 с.

12. Великин В.Л. Эрмитовы сплайны и связанные с ними квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функции // Изв. вузов, Математика., 1976, №5, с.15-28.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

14. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.наук, 1975, т.24, т, с.121-123.

15. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле //Изв.вузов. Математика, 2000, №3, с 25-28.

16. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи матем.наук, 1981, т.36, №4, с.107-159.

17. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

18. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.:Наука, 1985 -396с.

19. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 с.-(Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

20. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

21. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

22. Крылов В.И. Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-371 с.

23. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука 1983, 324 с.

24. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных. //Матем.заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

25. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов //Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

26. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, стр.577586.

27. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, т. 236, №6, с.1303-1306.

28. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

29. Лушпай Н.Е. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35-39

30. Лушпай Н.Е., Переверзев C.B. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных // В сб. Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.79

31. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, т. 19, №6, с.913-926.

32. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // У кр. матем .журнал, 1995, т. 47, N9, с. 1205-1208.

33. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. - 256 с.

34. Онегов JI.A. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв.вузов, Математика, 1981, N9, с.76-79.

35. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности // Доклады АН РТ, 2005, т.48, №3-4.

36. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №5, с.412-416.

37. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с.597-603.

38. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

39. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

40. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности квадратурных формул, точных на сплайнах первой степени // Доклады АН РТ, 2007, т.50, №3, с. 213 -217.

41. Хамдамов Ш.Дж. О погрешности кубатурных формул точных на билинейных сплайнах // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №2, с. 93 100.

42. Хамдамов Ш.Дж. Об оценке погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций. // Доклады АН РТ, 2010, т. 53, №5 , с.333-337.

43. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами //Укр. мат. журнал, 1994, т.46, №11, с. 1554-1560.

44. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами.//Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с.142-152.

45. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

46. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, N9, с.1300-1305.

47. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 1998, т.41, N10, с.69-75.

48. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж.ССР, отд.физ.-мат. и геолого-хим.наук, 1980, №4, с.86-90

49. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Li а, Ь. // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №1, с. 5 9.

50. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирующих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6,

51. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности // Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

52. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро осциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с. 14-19.с.17-22