Оценка погрешности экстремальных квадратурных формул на некоторых классах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

0034814ач

На правах рукописи

Романов Марк Анатольевич

Оценка погрешности экстремальных квадратурных формул на некоторых классах функций

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о I. : ( J

/ ■

Хабаровск - 2009

003481494

Работа выполнена в Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН Быковский Виктор Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Ломакина Елена Николаевна

Защита состоится 27.11.2009 в 15.00 на заседании диссертационного совета К 212.294.02 в Тихоокеанском государственном университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ауд. 315л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослан «г-1*- 2009 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Прудников Виталий Яковлевич

Ведущая организация: Дальневосточный государственный

университет, г. Владивосток

"Ученый секретарь диссертационного совета

Вихтенко Э. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При численном интегрировании функций с помощью квадратурных формул становится полезным (при большом объеме вычислений) оптимизировать эти формулы. Эта задача особенно важна для функций многих переменных. Проблема оптимизации квадратурной формулы в современном понимании — это задача минимизации нормы функционала погрешности этой формулы в заданном банаховом пространстве по узлам и весам. Задачи подобного рода восходят к А. Н. Колмогорову и называются экстремальными задачами теории квадратурных формул. Из исследований в этом направлении в первую очередь следует отметить основополагающие работы С.Л. Соболева1, С.М. Никольского2, Н.М. Коробова3, Н. С. Бахвалова, Е. Главки и др.

Экстремальные задачи даже для функций одной переменной относятся к наиболее трудным задачам теории квадратурных формул. Случаи, когда минимум нормы функционала погрешности удается вычислить явно, крайне редки. Ситуация существенно усложняется для функций нескольких переменных. Поэтому часто указанная величина не вычисляется явно, а только оценивается снизу и сверху. Сравнение нижней и верхней оценок характеризует качество квадратурной формулы и в ряде случаев позволяет найти формулы, близкие к оптимальным. Этот прием реализован в работах В. А. Быковского4, В.Н. Темлякова5,

'Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев.

— М.: Наука, 1974.

2Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — 2-е. изд. - М.: Наука, 1974. - 224 с.

3Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н.М. Коробов. - М.: МЦНМО, 2004. - 288 с.

4Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток / В. А. Быковский // Препринт. — Дальневосточный научный центр, Вычислительный центр ДВО РАН, Владивосток, 1985. - 31 с.

5Темляков В. Н. Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул / В. Н. Темляков // Математический сборник.

- 1990. - Т. 181, № 10. - С. 1403-1413.

И. Ф. Шарыгина6 и других авторов.

Для недетерминированных (вероятностных) квадратурных формул, где узлы и веса выбираются случайным образом, имеет смысл минимизировать те или иные статистические характеристики погрешности (математическое ожидание, дисперсию, высшие моменты). Здесь следует отметить работы Н. С. Бахвалова7.

Помимо задач приближенного вычисления интегралов, оптимальные квадратурные формулы применяются при численном решении интегральных уравнений. Они позволяют получить наименьшую оценку погрешности приближенного решения, которая возникает в результате замены интеграла квадратурной суммой.

Цель работы

Целью работы является получение двусторонних оценок оптимальной погрешности детерминированных и оптимального среднеквадратичного значения погрешности недетерминированных квадратурных формул на классах периодических функций нескольких переменных, последовательность коэффициентов Фурье которых ограничена в лебеговой ^р-норме.

Методика исследования

В работе применяются методы функционального анализа, теории рядов Фурье, а также некоторые теоретико-числовые методы, связанные с оценками тригонометрических сумм.

Научная новизна

Новыми являются следующие результаты:

61Парыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций / И. Ф. Шарыгин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — № 3. — С. 370-376.

7Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках скорости сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций / Н.С. Бахвалов // Сб. Числ. методы решения диффер. и интегр. уравнений и квадратурные формулы. — М.: Наука, 1964. — С. 5-63.

1. Получена двусторонняя оценка оптимальной погрешности детерминированных квадратурных формул на классах периодических функций нескольких переменных с ограничением на коэффициенты Фурье в £р - норме при р £ (1,2). Ранее она была известна лишь при р £ [2, оо].

2. Для тех же классов функций получена двусторонняя оценка оптимального среднеквадратичного значения погрешности недетерминированных квадратурных формул при всех р £

(1,оо).

Все оценки неулучшаемы в степенной шкале, и с точностью до логарифмических множителей (в одномерном случае с точностью до констант) совпадают с наилучшими на рассматриваемых классах.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты работы носят теоретический характер и могут применяться для построения квадратурных формул на классах периодических функций.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2004, 2008), на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов (Хабаровск, 2005, 2008), на научном семинаре Хабаровского отделения ИПМ ДВО РАН (Хабаровск, 2007), на межкафедральном научном семинаре «Дифференциальные уравнения» Тихоокеанского государственного университета (Хабаровск, 2009).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, указанных в конце автореферата. Из них первая работа написана в соавторстве с В. А. Быковским. Полученные им результаты также используются в диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 48 страницах и состоит из введения, двух глав (с разбиением на параграфы) и списка литературы из 26 наименований.

Содержание работы

Введение включает в себя обзор проблем и литературы по теме диссертации, краткое описание рассматриваемых в работе задач и полученных результатов.

В первой главе исследуется задача об оценке оптимальной погрешности квадратурных формул с заданным числом узлов N на классах периодических функций, коэффициенты Фурье которых ограничены в £р-яорме при р € (1,2). Пусть для р £ [1, оо] число

1 1 1 а £ 1,оо определяется из условия —1— = 1, и а >--вещего <7 Я ственное. Через Ера\т3) обозначим пространство функций вида

/м=Ее(п)£ф№», (1)

пег* '

определенных на ¿'-мерном торе Т3 = с конечной полунор-

мой

и/н (е'|снрУ-

\rieZ' )

Введем также обозначение &S(N) для множества всех сеток

с N узлами £ Т* и соответствующими им весами

Ль ..., Лдт € К, удовлетворяющими условию нормировки

АН-----Ь А* = 1.

Для функции / £ Epa\Ts) формальное равенство Г N

j f(x)dx=J2 Afc/(x«)+ /?(/?;/) (2)

Тз k=1

называется квадратурной формулой, построенной на сетке Q. Погрешность этой формулы R(i2; /) — линейный функционал на ^a)(Ts) с нормой

R{i2;E^{T)) = sup |Я(Я;/)|,

11/11=1

которая называется погрешностью сетки П на классе ¿^(Т5) Оптимальной погрешностью квадратурных формул с числ' узлов N на классе Ер (Т5) называется величина

Д*(М°>(Г)) = inf

nee,(N) 4 ' v

Двусторонняя оценка этой величины при р е [2, оо] ранее была получена В. Ф. Львом8 в виде

В первой главе диссертации исследуется случай, когда р € (1,2).

Подстановка выражения (1) в (2) дает следующее выражение для погрешности:

Sa(n)

где

N

На{п)'

к=1

8Лев В. Ф. О квадратурных формулах для классов с ограничениями на коэффициенты Фурье / В. Ф. Лев // Математические заметки. — 1991. — Т. 49, вып. 2. - С. 144-147.

— тригонометрическая сумма сетки £1 (штрих у знака суммы означает, что слагаемое с номером п = (0,..., 0) при суммировании опускается). Из этого выражения, с учетом неравенства Гельдера и определения нормы на классе немедленно

следует равенство

выражающее погрешность сетки I? на классе через три-

гонометрическую сумму этой сетки. В §1.1 доказывается нижняя оценка.

Теорема 1. Для всех р € (1,2) и натуральных в, N > 1 выполняется оценка

У а,р,3 ]\1а+2~д

Доказательство основано на следующей лемме. Для вещественного М > 1 положим

Вв{М) =

М ^ 2*1+< 2 М; 0 - целые .

Лемма 1. Пусть (3 £ (1, оо) и Ь = (6Ь ...,Ье)£ В5{ 2//). Тогда для любой сетки П € ©.¡(./V) выполняется оценка

пег» ^'=1 3'

1.

Доказательству нижней оценки предшествуют несколько вспомогательных лемм.

В §1.2 доказывается верхняя оценка.

Теорема 2. Для всех р 6 (1,2) и натуральных в, N > 1

я„ (фСП) « 1 5 1-•

В п. 1.2.1 доказывается верхняя оценка при в = 1. Для натуральных 1,й и £ = (£1, е Т* вводится сетка <Е бх(М) с Ы узлами

х(к„1)1+г = ^ + ^ (Ю < й; 1 г < О и соответствующими им весами

а{1)

\к-\)1+т = -£■ (1 < к < 1 < г < О»

где целые числа аР — решения системы Вандермонда ' + ... + г1 = 1;

Е ^ = 0 (0 < з < I).

,г=1

Далее для целых п ф 0 доказывается оценка

(3)

Натуральное I однозначно выбирается по а из условия а ^ I < а + 1. С помощью оценки (3) доказывается неравенство

Я* (ЯЛО; ¿е « —^-Г. (4)

/ а'р й ■л* /

Если N ^ то в силу соотношения

Я, < Я» (Д<в)СЮ) ^ П, (Я<в)(Т))

верхняя оценка тривиальна, так как речь идет только о константах. При N > I натуральное й выбирается однозначно из условия N — I < Ы ^ N. Теперь сформулированная в теореме 2 оценка при 5=1 следует из (4) и неравенства

Ян (4а)(Г>) ^ Пи (Е(°>(Т)) ^ ( у Д' (ЯЛО; $а)т) ¿е

чТ"*

В п. 1.2.2 полученная в одномерном случае верхняя оценка обобщается на случай размерности я > 1 с помощью конструкции, предложенной С. А. Смоляком9. При этом тригонометрическая сумма сетки из &3(М) строится в виде

1>\Л-----1-1/5=1' ^' = 1

где V ^ э — 1 — целочисленный параметр, определяющий число узлов N, Д*-1 — конечная разность «назад» порядка 5 — 1 по переменной V, числа ц ^ 0 = 1,..., в) — целые, ¿^/л —

тригонометрическая сумма одномерной сетки с числом узлов 2"'. Для количества узлов N выполняется двусторонняя оценка

N х

В качестве

выбираются сетки

с М; = 2"-' и £

Т", введенные для доказательства верхней оценки в одномерном случае. Для к = 1,. .., я положим

М = {(31, ■ ■ ■ ,3к) е 11 ^ п < ■ ■ ■ < Зк < 4

и для каждого набора 3 = Оь- -,^) € -Мс введем множество С 2я \ {(0,..., 0)}, состоящее из векторов п — (п1;..., п3), у которых элементы ,..., п^ не равны 0, а все остальные элементы нулевые. Далее доказывается следующая лемма, выражающая основное свойство суммы (5).

Лемма 2. Пусть J = . ■. ,]к) £ -А4, тогда для любого п 6

Щ

Затем, опираясь на эту лемму и на оценку (4), доказывается утверждение теоремы 1 при й > 1.

9Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций / С. А. Смоляк // ДАН СССР. - 1963. - Т. 148, № 5. - С. 1042-1045.

Применение конструкции С. А. Смоляка позволяет получать неулучшаемые в степенной шкале по N верхние оценки погрешностей многомерных квадратурных формул, используя соответствующие оценки в одномерном случае. Однако при этом возникают логарифмические множители.

Во второй главе рассматривается задача об оценке оптимального среднеквадратичного значения погрешности, которая ранее изучалась Н. С. Бахваловым10 для других классов функций. Пусть на вероятностном пространстве U с мерой р, задано некоторое отображение Q : U —» &S(N). Положим

D{U,Q-E^СГ))= sup ( / |Я(Я(0;/)12М0) И/1М \1 )

и

где нижняя грань берется по всем вероятностным пространствам U и всем отображениям i7, для которых определен интеграл по мере ц. Требуется указать двусторонние оценки по N величины Z>w(£^a)(Ts)) для всех р <Е (1,оо).

Для решения этой задачи применяются те же конструкции и методы, что и в первой главе.

В начале главы выводится соотношение

D (U, S2; Т-)) £ sup fe 2 , (6)

в котором

К{Щи,П)= |у |5я(0(п)|2Ф(0

10Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках скорости сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций / Н. С. Бахвалов // Сб. Числ. методы решения диффер. и интегр. уравнений и квадратурные формулы. — М.: Наука, 1964. — С. 5-63.

Затем доказывается вспомогательная лемма. Лемма 3. Пусть р £ (1, оо) и

Лг-', / м2к2(п-,и,п)

IV = вир^ Е И")'2 '

с||в=1

Тогда

IV = эир

Н2а(п) К(п; и, П)

П62'\{(0,..,0)} На{п)

при р £ (1,2] и

Чпе25

Н2а*'{п)

1

при р £ (2, оо)и(/' = (1- 2р~1)~1.

В §2.1 доказывается нижняя оценка величины 1)^(ЕрП\Т'

Теорема 3. Для всех натуральных з и N > 1

1

Г)) » 1

г прт ре (1,2],

при р £ (2, оо).

№+2 ([оеЛО'"1^-*)

ЛГ+?

В §2.2 доказывается верхняя оценка. Теорема 4. Для всех натуральных в и N > 1

'(к^ЛО^-1^)

^(Е^ОП) «

при ре (1,2], при р £ (2, оо).

Вместо исходных пространства и и сетки .!?(£) с £ €Е и рассматривается пространство [/хГи сетка (£,£), которая отличается от ,!?(£) сдвигом узлов на вектор í € Т*. При этом неравенство (6) переходит в равенство

Далее доказательство проводится с применением леммы 3 и конструкций сеток из главы 1.

Основные результаты работы

1. Получена двусторонняя оценка оптимальной погрешности квадратурных формул на классах периодических функций многих переменных с ограничением на коэффициенты Фурье в £р - норме при ре (1,2). Эта оценка дополняет соответствующий результат В. Ф. Льва для случая р € [2, оо].

2. Получена двусторонняя оценка оптимального среднеквадратичного значения погрешности недетерминированных квадратурных формул на тех же классах функций при всех р 6

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. А. Быковскому за внимание к работе и полезные замечания.

0{и хТ,П+-Е1а){Т)) =

(1,оо).

Работы автора по теме диссертации

1. Романов М.А, Квадратурный фазовый переход / В. А. Быковский, М.А. Романов // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 416. — № 6. — С. 727-731.

2. Романов М. А. О погрешности многомерных квадратурных формул на некоторых классах функций / М. А. Романов // Математические заметки. — 2009.

— Т. 85. — Вып. 3. — С. 433-439.

3. Романов М. А. О погрешности случайных квадратурных формул на некоторых классах функций / М.А. Романов // Дальневосточный математический журнал. — 2007. — Т. 7. — № 1-2.

- С. 91-100.

Романов Марк Анатольевич

Оценка погрешности экстремальных квадратурных формул на некоторых классах функций

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР № 040118 от 15.10.96 г. Подписано в печать 16.10.2009 г. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 0,88. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 100 экз. Заказ № 123.

Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7.

Отпечатано в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 54.

Введение

ГЛАВА 1. Погрешности детерминированных квадратурных формул

1.1. Доказательство нижней оценки

1.2. Доказательство верхней оценки

1.2.1. Одномерный случай

1.2.2. Многомерный случай

ГЛАВА 2. Погрешности случайных квадратурных формул

2.1. Доказательство нижней оценки

2.2. Доказательство верхней оценки

Задача о приближенном интегрировании функций издавна является одной из основных задач теории вычислений. В простейшем случае вычисление определенного интеграла ъ

S = J f(x) dx, а когда функция f(x) задана аналитически и когда может быть найден неопределенный интеграл

J f(x) dx = F(x) + С, производится по формуле ь

S = J f(x) dx = F(b) — F(a). a

В тех случаях, когда неопределенный интеграл найден быть не может, приходится для вычисления определенного интеграла пользоваться приближенными формулами.

Пусть D с Ms - некоторая область, C{D) - пространство непрерывных на D функций и / 6 C(D) - некоторая функция. Для вычисления интеграла пользуются приближенной формулой, называемой квадратурной:

Г N

D k=1 3

Здесь (1о(х) - некоторая мера; обычно предполагают, что существует плотность меры йа{х) = ю(х) йх, где с1х - мера Лебега. Точки е И (к — 1,2,., АГ) называются узлами, а числа А& - весами квадратурной формулы. Набор назовем сеткой квадратурной формулы. Всегда будем требовать, чтобы

Об этом свойстве квадратурной формулы говорят, что она точна на константах. Величина называется погрешностью квадратурной формулы.

Квадратурные формулы для вычисления интеграла от непрерывной функции стали применяться и содержательно исследоваться задолго до того, как собственно появилось само понятие интеграла. К примеру, еще Архимед, рассматривая задачу вычисления площади параболического сегмента, применил для этой цели формулу трапеций и фактически доказал сходимость соответствующего квадратурного процесса. В дальнейшем в создание и развитие теории приближенного интегрирования свой заметный вклад внесли многие видные математики.

0.2)

0.3)

Начиная с конца XVII века в работах основоположников и создателей анализа бесконечно малых интегрирование сформировалось как важнейшее понятие математического анализа. Параллельно развитию теории интегрирования создавался и совершенствовался аналогичный по своему назначению аппарат численного анализа (аппарат именно аналогичный, но не тождественный). Нет сомнения, что римановские интегральные суммы были исходными при возникновении теории квадратурных формул. Именно желание получить приближенную формулу для вычисления интеграла, максимально точную при наименьшем числе узлов, и привело к созданию теории квадратурных формул. Как результат эволюции этой математической ветви возникли и получили широкую известность квадратурные формулы Ньютона - Котеса, Эйлера - Маклорена, Грегори, Гаусса, Симпсона, Чебышева, Маркова и др. К концу прошлого XX века теория квадратурных формул сложилась из нескольких главных ветвей. Вот что писал по этому поводу в 1972 г. академик С. Л. Соболев: «Работы по теории квадратурных формул относятся к различным направлениям. В одном из них, в продолжение классических исследований Радона, отыскиваются формулы, которые могли бы точно интегрировать возможно большее число из данного набора функций, например, многочленов или тригонометрических функций. . Второе направление — направление вероятностных методов Монте-Карло. Здесь проблема состоит в том, чтобы построить алгоритмы не вполне случайные, основанные на некотором регулярном выборе случайных точек. Наконец, третье направление касается изучения формул, использующих в качестве узлов точки правильной решетки. Здесь удается сравнительно далеко продвинуться в изучении нормы функционала погрешности в различных функциональных пространствах, и, в частности, для пространств с ортогонально инвариантной нормой найти зависимость погрешности от решетки».

Функциональные методы стали широко применяться в теории приближенного интегрирования начиная с работ академика С. М. Никольского и первого издания его книги «Квадратурные формулы» [18]. Изложенные в ней результаты относятся, в основном, к квадратурным формулам на класг) сах функций одной переменной. Создание же теории квадратурных формул для функций многих переменных заслуженно связывают с исследованиями академика С. Л. Соболева. В научном наследии С. Л. Соболева работы по теории приближенного интегрирования, выполненные им в «сибирский» период жизни, занимают весьма заметное место: первую работу по кубатурным формулам он опубликовал в 1961 г., последнюю — в 1986 г., всего же их более трех десятков, в том числе фундаментальная монография [23].

Функциональный подход к исследованию формул для приближения многомерных интегралов предполагает, во-первых, использование выбранной или построенной формулы не для какой-то одной конкретной функции, а сразу для целого их семейства, представляющего собой шар в некотором наперед заданном банаховом пространстве Ш.

Во-вторых, погрешность (0.3) квадратурной формулы рассматривается как линейный функционал, действующий на подынтегральную функцию. Этот функционал полностью определяется исходной квадратурной формулой и называется по этой причине ее функционалом погрешности.

В-третьих, исходное банахово пространство Ш предполагается непрерывно вложенным в пространство С {В) функций, непрерывных в замыкании области интегрирования Б. В этом случае функционал погрешности квадратурной формулы ограничен на Ш, его норму в сопряженном пространстве Ш* называют погрешностью этой квадратурной формулы на Ш1. Знание численной мажоранты для этой погрешности позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства Ш гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней квадратурной сумме.

Функциональный подход порождает также критерий качества квадратурной формулы отличный от критерия, порождаемого алгебраическим подходом: в первом случае предпочтение отдается формуле, имеющей меньшую погрешность на Щ, во втором — формуле, точной на возможно большем числе полиномов.

Квадратурные формулы, в которых для всех функций из Ш используется фиксированная сетка П, получили название детерминированных. В рамках функционального подхода теории детерминированных квадратурных формул традиционно ставится ряд задач общего характера, решение которых в частных случаях, собственно, и обеспечивает дальнейшее развитие и совершенствование этого направления. В качестве иллюстрации приведем формулировки некоторых задач.

1. Для заданной области интегрирования описать конструкцию каждой из последовательных квадратурных формул, т.е. указать для каждой из них множество узлов и весов, либо предложить эффективный алгоритм их нахождения. Указать полиномиальную (или тригонометрическую) степень точности рассматриваемой формулы.

2. Для заданного банахова пространства Ш найти асимптотическое разложение погрешности квадратурной формулы на Ш по числу узлов N — важнейшему параметру вычислительного процесса. Вывести эффективные двусторонние оценки для указанной погрешности в виде явных функций от N.

3. Для заданных банахова пространства Ш и числа узлов N найти оптимальную квадратурную формулу, т.е. такую формулу, погрешность которой на Ш минимальна при данном причем минимум берется по всем сеткам квадратурных формул, т.е. по всем узлам и весам. Получить 7 точную оценку оптимальной погрешности. Подобного рода задачи называются экстремальными задачами теории квадратурных формул, их постановка восходит к А. Н. Колмогорову. Качество построенной формулы обычно оценивают сравнением ее погрешности с нижней оценкой для погрешностей любых квадратурных формул на 9Л с тем же числом узлов N. Отыскание и исследование оптимальной квадратурной формулы и получение точной оценки ее погрешности становится особенно сложной задачей в многомерном случае для классов функций, встречающихся в приложениях (например, в вычислительных задачах математической физики), требующей привлечения глубоких и точных фактов теории функций, функционального анализа, теории чисел и т.д.

Другое направление в теории квадратурных формул составляют вероятностные методы типа Монте-Карло, которые при вычислении многомерных интегралов часто оказываются эффективнее детерминированных квадратурных формул. В рамках этого направления рассматриваются недетерминированные (вероятностные) квадратурные формулы, сетки которых являются вектор-функциями на некотором вероятностном пространстве. Систематическое изучение таких формул началось в 60-х годах прошлого столетия и связано в основном с работами Н. С. Ба-хвалова (например, [3]-[6]). В качестве примера приведем следующую задачу.

4. Пусть на вероятностном пространстве I/ с мерой ¡1 задано некоторое семейство сеток с фиксированным числом узлов И, узлы и веса ко/ торых — функции случайного параметра £ € V. В этом случае погрешность соответствующей квадратурной формулы на заданном банаховом пространстве Ш является случайной величиной. Требуется указать двусторонние оценки в зависимости от N для статистических характеристик этой случайной величины (математического ожидания, дисперсии, моментов и др.). По аналогии с задачей 3 построить такое вероятностное 8 пространство U и семейство сеток при которых указанные характеристики минимальны, и получить двусторонние оценки минимумов этих характеристик.

В качестве исходного банахова пространства Ш на практике выбираются самые разнообразные классы функций. Разные авторы рассматривали квадратурные формулы в пространствах Соболева (изотропных и неизотропных, конечного и бесконечного порядков), Бесова, Никольского, в классах Гельдера, пространствах с доминирующей смешанной производной, весовых функциональных пространствах и др. В данной работе приняты следующие обозначения:

1. s-мерный тор TP = Rs/Zs.

2. Для х = Oi,., х8), у = (2/ь ., у3) Е Rs s ¿=1 обычное скалярное произведение.

3. Символы Виноградова <С и Запись X <С Y при Y > 0 означает, что найдется константа С > О, такая что \Х\ ^ С -Y. Аналогично при 0 и Y > 0 определяется символ Символы <С и означат ют, что соответствующие константы в определениях зависят только от указанных под знаком параметров.

4. Запись X х У, где Y > 0, означает, что

Символ х определяется аналогично предыдущему пункту. aß,.

5. Знак суммы со штрихом означает, что при суммировании слагаемое пет,3 с номером п = (0,., 0) опускается.

6. к = тах{1, \к\}.

7. — число элементов конечного множества М. 9

8. — конечная разность <назад» порядка к по переменной у\

А°иаи = аи, Аиар = а„ - = ДуД*-1^.

9. [х] — целая часть х.

10. Если Л — функционал на функциях одной переменной, то запись ■)) или Я(/(-, у)) обозначает результат действия этого функционала на функцию / нескольких переменных по переменной, указанной точкой.

11. ии = Т2".

В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда в равенстве (0.3) da(х) = dx — мера Лебега. С помощью замен переменных и различных методов периодизации (см. [13], гл. 3, §3.2) задача вычисления интеграла сводится к случаю, когда функция / периодична по каждой переменной с периодом 1. Другими словами, функции рассматриваются на торе Ts.

Пусть Ш с C(TS) — некоторое пространство функций с нормой || • ||. Через &S(N) обозначим множество всех сеток с N узлами ., х^ еГи соответствующими им весами Ai,., A ¡v Е R, удовлетворяющими, согласно требованию (0.2), условию нормировки Ai Н-----1- Адг = 1.

В соответствии с описанным выше функциональным подходом, для функции / € Ш формальное равенство N

J f{x) dx = Y, Akf(x{k)) + /) (0.4) называется квадратурной формулой для сетки П. Ее погрешность Я(Г2] /) — линейный функционал на с нормой

R(Q\ Ш) = sup \R(f2-,f)\, ll/ll=i которая называется погрешностью сетки Q на Ш.

Одной из задач данной работы является оценка оптимальной погрешности им(щ= inf ШП]Ж). i2€6s{N) 4

Далее, пусть на вероятностном пространстве U с мерой /л задано некоторое отображение Q : U —&S(N). Для функций / G положим

D(U,Q;ffl) = sup [ f \R(Q{0-,f)\2diJ,(0 ll/ll=i \J

В качестве второй экстремальной задачи рассмотрим оценку оптимального среднеквадратичного значения погрешности на где нижняя грань берется по всем вероятностным пространствам II и всем отображениям /2, для которых определен интеграл по мере ¡л,.

Рассматривая пространства и, состоящие ровно из одной точки, немедленно получаем неравенство

Кроме того,

Ял^ШГ) < Я^Ш),

0.5) оН1{ж) ^ Ш) при N1 ^ ./V", поскольку погрешность квадратурной формулы не меняется при добавлении новых узлов с нулевыми весами.

Порядок по N величин и Ду(!$Т) существенно зависит от дифференциальных свойств функций из ШТ. Поэтому, как правило, классы функций выделяют путем ограничения производной заданного порядка в той или иной норме. Наиболее хорошо изучен класс с р е [1, ос) и а > состоящий из 1-периодических функций вида f(x) = I ip(y)Fa(x - у) dy

Ts с конечной нормой

Здесь ад = Е pdx exp(27ri(n, х))

На(п) и Н(п) = rii. ,ns с щ = max{l, \rij\}. Для оптимальной погрешности на

J1 н этом классе при а > тах < - > известна двусторонняя оценка

2 рJ

Ч^Ь^' (0,)

Верхняя оценка непосредственно следует из результатов К. К. Фролова [25] при р £ [2, оо) и М. М. Скриганова [21] при р е (1, 2). Методы доказательства нижней оценки при любых р е (1,оо) были предложены в работах В. А. Быковского [8], [9] и В.Н. Темлякова [24].

Для второй из сформулированных выше задач Н. С. Бахвалов в работе [5] доказал оценку ад^СГ)) « < к ; лга+1- при ре [1,2],

1оё ЛО^-1)^1^ при р е (2, оо).

1 1

Пусть для р £ [1, оо] число д 6 [1, оо] определяется из условия - + - = 1, 1 и а >--вещественное. В настоящей работе сформулированные выше Я задачи будут изучаться для класса Ер*\Т5), состоящего из функций вида м = £ (* € Г) с последовательностью с = {с(п)}пе^ с С и конечной полунормой

11/11 ник = (Е^мп

Таким образом, в отличие от И^СГ), функции из класса характеризуются скоростью убывания их коэффициентов Фурье. В силу равенства Парсеваля при р = 2 и натуральных а эти классы совпадают.

Класс при р = оо (в литературе используется обозначение Е") был введен Н. М. Коробовым в работе [12], в которой была доказана верхняя оценка оптимальной погрешности й„(£<?>(Г))<<М^. (о.7)

Позднее И. Ф. Шарыгин [26] получил нижнюю оценку

Оценка (0.7) уточнялась Н. С. Бахваловым [4]; в окончательном виде с показателем логарифма 5 — 1 ее получил К. К. Фролов [25]. Тем самым был установлен правильный (с точностью до констант) порядок величины (е{£\Т5)). Позднее В. Ф. Лев [17] распространил этот результат на все р 6 [2, оо] в виде отметив при этом, что вопрос о правильном порядке оптимальной погрешности при р € (1,2) остается открытым. В дополнение к этому результату, в первой главе доказываются следующие две теоремы. теорема 1. Для всехр £ (1,2) и натуральных в, N > 1 выполняется оценка я* (^>(Г)) » а,р,з ДГа+2 д теорема 2. Для всех р е (1,2) и натуральных в, N > 1 выполняется оценка я /»гт-Л «Г ('ое^)'5"1'^1"')

14

По поводу величины Ду во второй главе получены следующие результаты. теорема 3. Для всех натуральных в и N > 1 справедлива оценка О N при р е (1,2], < к^лр^Кн) при р € (2, оо).

Теорема 4. Для всех натуральных в и N > 1 справедлива оценка Б лг < а,р,з к^Ар^М)

ТУ")^-1^ (а+р+1) при ре{ 1,2], при р Е (2, со).

Сравнение теорем 1, 2 и 3, 4 показывает, что полученные оценки точны степенной шкале и отличаются от наилучших только логарифмическими множителями.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М.: Наука, 1965.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Наука, 1986. 744 с.

3. Бахвалов Н. С. Оценка в среднем остаточного члена квадратурных формул / Н.С. Бахвалов // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1961. - Т. 1. - № 1. - С. 64-77.

4. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов / Н. С. Бахвалов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика, астрономия, физика. — 1959. — № 4. — С. 3-18.

5. Бахвалов Н. С. О скорости сходимости недетерминированных квадратурных процессов на классах функций Шр^ /Н.С. Бахвалов. / / Теория вероятностей. — Т. VII. — Вып. 1-2(2).

6. Быковский В. А. Теоретико-числовые решетки в эвклидовых пространствах и их приложения: Дис. . д-ра физ.-матем. наук / В. А. Быковский; Хабаровское отделение ИПМ ДВО РАН. — Хабаровск, 1990.- 117 с.

7. Быковский В. А. Оценки отклонений оптимальных сеток в £р-норме и теория квадратурных формул / В. А. Быковский // Препринт № 02 / Институт прикладной математики ДВО РАН. — Владивосток: Дальна-ука, 1985. — 19 с.

8. Быковский В. А. Квадратурный фазовый переход / В. А. Быковский, М.А. Романов // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 416, № 6. С. 727-731.

9. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Корнейчук. — М.: Наука, 1976.

10. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов с помощью методов теории чисел / Н. М. Коробов // Доклады Академии наук СССР. 1957. - Т. 115, № 6. - С. 1062-1065.

11. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н.М. Коробов. М.: МЦНМО, 2004. - 288 с.

12. Кронрод A.C. Узлы и веса квадратурных формул / A.C. Кронрод.- М.: Наука, 1964.

13. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях / А. Н. Крылов.- 6-е изд. М.: ГИТТЛ, 1954. - 400 с.

14. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов.- М.: Наука, 1967.

15. Лев В. Ф. О квадратурных формулах для классов с ограничениями на коэффициенты Фурье / В.Ф. Лев // Математические заметки. — 1991. Т. 49, вып. 2. - С. 144-147.

16. Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — 2-е. изд. — М.: Наука, 1974. — 224 с.

17. Романов М. А. О погрешности многомерных квадратурных формул на некоторых классах функций / М.А. Романов // Математические заметки. 2009. — Т. 85, вып. 3. — С. 433-439.

18. Романов М. А. О погрешности случайных квадратурных формул на некоторых классах функций / М.А. Романов // Дальневосточный математический журнал. — 2007. Т. 7, № 1-2. - С. 91-100.

19. Skriganov М. М. Constructions of uniform distributions in terms of geometry of numbers / M. M. Скриганов // Алгебра и анализ. — 1994. — Т. 6, № 3. С. 200-230.

20. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций / С. А. Смоляк // Доклады Академии наук СССР. 1963. - Т. 148, № 5. - С. 1042-1045.

21. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. — М.: Наука, 1974.

22. Темляков В. Н. Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул / В.Н. Темляков // Математический сборник. 1990. - Т. 181, № 10. - С. 1403-1413.

23. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. . канд. физ.-матем. наук / К. К. Фролов; ВЦ АН СССР. — М., 1979.

24. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций / И. Ф. Шарыгин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — № 3. — С. 370-376.