Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно расширенной группы Диэдра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи Р^Б ^ УДК 519.6

- 5 ^и 1Г/Гз

КАЗАКОВ Александр Николаевич

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ТИПА ГАУССА ДЛЯ СФЕРЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО РАСШИРЕННОЙ ГРУППЫ ДИЭДРА

Специальность 01.01.07 .- вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических. наук, профессор ЛЕБЕДЕВ В.И.

Официальные оппоненты: доктор фиаико-математически наук ЖИЛЕЙКИН Я.М., кандидат фиаико-математических наук КОНЯЕВ С.И.

' Ведущая организация - Институт математического моделирования РАН

Защита состоится " 3 * ^о^ч^^т 1995 г. в ^

часов на заседании специализированного совета К 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334, Москва, Ленинский пр-т, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан ' 31 " ^-сЛ&'-^иЛ. 1995 г.

Ученый секретарь специализированного советг кандидат физико-математически

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рост производительности современных ЭВМ делает возможным и целесообразным применение численных методов практически во всех областях науки и техники, во многих из которых требуется приближенное интегрирование по сфере s в пространстве R3. Среда них прежде всего необходимо отметить такие области, как проектирование ядерных реакторов и гармонический анализ на сфера. В связи с этим задача о нахождении эффективных квадратурных формул для интегралов по сфере s в ¡^представляется весьма актуальной.

Исторически, разработка теории квадратурных формул для вычисления кратных интегралов началась сравнительно недавно. Это объясняется тем, что использование таких формул на практика было невозможно до появления ЭВМ. В настоящее время имеется несколько подходов к построению квадратурных формул. Очень важные результаты были получены С.Л.Соболевым в вопросе о построении квадратурных формул оптимальных на классах функций. Эти результаты изложены в его монографии "Введение в теорию кубатурных формул". Большое число результатов получено в вопроса построения квадратурных формул интерполяционного типа, с ними можно ознакомиться в монографии и.П.Мысовских "ИнтерполяциошШе кубатурше формулы". Там же, в частности, систематически изложены результаты о связи ортогональных многочленов области интегрирования и квадратурных формул. Отметши также теоретико-числовые методы построения квадратурных формул, которые развивались в работах Н.М.Коробова и И.М.Соболя, и результаты Н.С.Бахвалова о построении квадратурных формул со случайными узлами (методы Монте-Карло). В монографии А.Строуда "Approximata calculation of múltiple integráis" наряду с вопросами построения квадратурных формул, подробно рассмотрены оценки погрешности квадратурных формул, методы Монте-Карло и теоретико-числовые мзтода. В ней приведена практически полная (к моменту выхода монографии) библиография по обсуждаешм вопросам. Обширные таблицы квадратурных формул для различных областей интегрирования (в частности для куба, пара, сфзры и симплекса) содержатся в уке упоминавшихся нами монографиях И.П.Мысовских и А.Строуда.

1-1

С.Л.Соболев в 1962 г. ввел класс квадратурных формул для сферы, инвариантных относительно конечных груш преобразований в И3 и построил некоторые инвариантные квадратурные формулы (заметим, ччо основные теоремы С.Л.Соболева почти дословно переносятся на произвольные, инвариантные относительно конечных групп преобразований области в Лп (п>1)). Им было показано, что для построения инвариантной относительно группы в квадратурной формулы, точной для всех функций из конечномерного векторного пространства Ф, инвариантного относительно с, необходимо и достаточно, чтобы искомая квадратурная формула была точна для всех инвариантных относительно с функций, образуюпшх подпространство Ф=ф. Поскольку размерность Ф, как правило, значительно меньше размерности Ф, то задача построения инвариантной квадратурной формулы существенно облегчается.

При построении инвариантных квадратурных формул для сферы Б в И3 чаще всего за пространство Ф берут пространство, образованное следами на 8 многочленов от (х,у,г) степени не выше а. В этом случае квадратурную формулу называют алгебраической, а целое, положительное число <1 - ее порядком.

В диссертации рассматриваются в основном алгебраические инвариантные квадратурные формулы для Б. Ясно, что среди них наибольший интерес для приложений представляют квадратурные формулы типа Гаусса, т.е. квадратурные формулы содержащие минимальное или близкое к минимальному число узлов. При построении таких формул и веса и координаты узлов считаются неизвестными, их значения определяются из решения нелинейных систем алгебраических уравнений. Отметим, что исследование и разработка методов решения возникающее при построении инвариантных квадратурных формул типа Гаусса для сферы 8 систем уравнений является довольно сложной задачей (в особенности, когда <1 -велико), которая может иметь также*и самостоятельный интерес.

Качество любой алгебраической квадратурйой формулы порядка а. для сферы Б в И3 мы будем оценивать по степени близости числа ее узлов N к минимальному. Для этого удобно использовать введенный В.И.Лебедевым коэффициент эффективности ^(¿.Ю:

который равен отношению размерности пространства Ф следов на Б

многочленов от (х.у.г) степени не выше <1 ((<1+1 )г) к общему числу параметров определяющих квадратурную формулу (ЗН). Для формул с минимальным числом узлов т)(а,н)«1, поэтому качество алгебраической квадратурной формулы для в можно оценивать по стелет близости ее коэффициента зф&зктивпости к единице.

В настоящее время имеется большое число работ, посвященных построению алгебраических квадратурных формул для сферы й в И3, инвариантных относительно групп правильных многогранников. Среди них прежде всего отметим работы В.И.Лебедева (группа октаэдра с инверсией О*) и С.И.Коняева (группа икосаэдра с инверсией С*0) по нахождению параметров квадратурных формул типа Гаусса. В.И.Лебедеву принадлежат также важные результаты по упрощению возникающих при построении таких формул нелинейных систем алгебраических уравнений. Инвариантные относительно групп правильных многогранников квадратурные формулы для многомерных сфер были получены Г.Н.Салиховым, Ф.Шарипходжае-вой, И.П.Мысовских и В,И.Лебедевым. Инвариантные квадратурные формулы получили также В.А.Диткин и Л.А.Люсгерник, А. Макла-рен, С.Б.Стоянова, Ш.И.Таджиев, Э.А.Шамсиев и др.

В диссертации рассматривается задача о построении инвариантных относительно расширенной группы диэдра Бт (терминология Ф.Клейна) квадратурных формул типа Гаусса для сферы Б в Б3. Напомним, что группа Бт содержит такие преобразования пространства Я3, при которых правильная ш - гранная призма переходит в себя. Актуальность этой задачи обусловлена тем, что инвариантные . квадратурные формулы типа Гаусоа имеют два важных достоинства: 1) при одном и том же порядке <1 они обладают меньшим по сравнению с обычными квадратурными формулами (например формулам, полученными методом повторного применения одномерных квадратурных формул (для них Т)(с1,Ю«|)) числом узлов} и 2) благодаря их инвариантности, вводимая в ЭВМ информация, нужная для задания весов и узлов квадратурной формулы, весьма незначительна. Поэтому их целесообразно использовать во многих областях применения численных методов, например в вычислении коэффициентов Фурье от функции при разложении ее по гармоническим многочленам, для приближенного интегрирования по поверхностям звездного типа и, особенно, в разностных аппрок-1-2

симациях интегральных операторов многомерных уравнений переноса частиц. Узлы этих квадратурных формул можно использовать для конструирования сеток на поверхностях звездного типа.

В задачах численного расчета ядерных реакторов, для ' хорошей и экономичной аппроксимации интегральных операторов многомерных уравнения переноса нейтронов необходимо иметь достаточно эффективные квадратурные формулы для сферы Б в И3. Если известно, что решение задачи переноса обладает определенной симметрией, то учет этого'позволит существенно сократить порядок решаемых систем уравнений и уменьшить время расчета. Для этого необходимо, чтобы применяемая в аппроксимации квадратурная формула была инвариантна относительно соответствующей группы симметрии. Ядерные реакторы состоят из квадратных или шестиугольных ячеек различных типов, расчеты нейтронных полей в которых представляют самостоятельный интерес. Поэтому представляется весьма актуальной задача получения квадратурных формул типа Гаусса, инвариантных относительно расширенных групп диэдра Б4 и Бб.

Цель работы состоит в нахождении параметров .инвариантных относительно расширенной группы диэдра Бт квадратурных формул* типа Гаусса для сферы Б в й3, б изучении свойств и разработке методов решения возникающих при.этом систем нелинейных алгебраических уравнений, и в создании комплекса программ для численной реализации этих методов.

Метода исследования. В диссертации используются результаты и метода теории квадратурных формул, теории групп и симметрических функций, теории инвариантных и ортогональных многочленов, теории моментных систем алгебраических уравнений. А также результаты теории численных методов решения линейных и нелинейных систем уравнений и методов нахождения корней многочленов. Методы компьютерной алгебры.

Научная новизна. Предложен новый класс квадратурных формул для сферы Б в И3, инвариантных относительно расширенной группы диэдра В . Предложен алгоритм нахождения параметров таких формул. Создана программа ОЯ, позволяющая строить инвариантные относительно Бга квадратурные формулы типа Гаусса для Б с весом высокого порядка точности а и асимптотикой (<¡0=8/9

для любого га. Программа имеет удобный пользовательский интерфейс, соответствующий стандарту фирмы Borland. С ее помощью получено большое число эффективных квадратурных формул для сферы s с различными весовыми функциями вплоть до 71-го порядка точности.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации квадратурные формулы могут найти практическое применение во всех задачах, где присутствует симметрия группы Бт и требуется приближенное интегрирование по поверхностям звездного типа в R3 (сфера одна из таких поверхностей). В частности их можно использовать для повышения точности аппроксимации интегральных операторов в уравнениях переноса, что в свою очередь ведет к повышению точности численных решений. Это особенно существенно при рассчетах ядерных реакторов. Максимальное использование принципов самозащщенности и саморегулируемости при разработке ядерных реакторов нового поколения требует значительного повышения точности, математических моделей, используемых для предсказания характеристик сезоиастиости. В ИАЭ юл .Курчатова в 1989 году Л.Н.Ярославцевой разработана двух- и трехмерная программа JAR для решения уравнений переноса нейтронов в системах с гексагональной структурой тепловыделяющие сборок. Полуденные в диссертации квадратурные формулы инвариантные относительно группы D6 были использованы в данной программе при рассчате гексагональных моделей быстрых шщка-металлических реакторов. Инвариантность формул относительно группы Еб позволила рассчитывать ячейки реактора с углом симметрии 60°, значительно повысив точность угловой'аппроксимации при уменьшении вычислительных затрат.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Института вычислительной математики РАН 'и па научных конференциях МСТИ в 1989-1993 гг., на международном симпозиума "Nurserlcal transport theory" в Москве в мае 1992 г., на международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы п их приложение" в Красноярске в апреле 1993 г.'

Публикации. По теме диссертация опубликованы три статьи.

Структура н обгон диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации

1-3

143 страницы. Библиография содержит 59 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приведена общая характеристика диссертационной работы, перечислены существующие в настоящее время подходы к построению квадратурных формул, дано краткое изложение истории развития инвариант, ш квадратурных формул.

В первой главе ставится задача о построении инвариантных относительно группы Вт квадратурных формул для сферы.

В параграфа I приведены определения и известные результаты, которые используются в дальнейшем.

Параграф 2 посвящен собственно постановке задачи. Пусть S={(x,y,z)eR3: x2+y2+z2=1} - единичная сфера и пусть Iii) = Jw(8)í(s)ds,

■ч s

где 8=<x,y,z)€R , ds - элемент поверхности s (в цилиндрической

системе координат г, <р, г: x=rcoscp, y=rsin<p, z=z, dS=d<j>dz),

w(s) - кусочно-непрерывная на s, инвариантная относительно Dm

весовая функция, удовлетворяющая условиям: 1[1]=1, ги/г _1 /г

«»((l-z*) оозф,(1-г ) sincp,2)=q(<p)p(z).

Показано, что произвольную инвариантную относительно рас- •

ширенной группы диэдра Dm> квадратурную формулу для интеграла

I[f] можно записать в виде:

Ití] Sf In[r] = A* (1(-1,0) + f(1,0)) + ro-1 ra-1

♦ в0 l ?(o,2M) + c0 J r(o.|^> +

1=0 1=0

J=1 1=0

• +2 (вa k=1 1 1=0 m-1

♦ s 1 F^frS^vS*2?))+

1=0 N. m-1

d=i i=o

,1/2 ,1/2 где f(a,<p) = f((1-z¿) ooscp, (1 —z ) aincp.z).

Таким образом, для построения квадратурной формулы in порядка п мы должны определить набор параметров

{A, zk, Bu, Ck, DkJ, cp^j. J=1,..,Nk, k=0,. . ,U), (1)

из условия, чтобы I была точна для следов на s . всех многочленов от х, у, г до степени п включительно.

Метод получения квадратурных формул I заданного порядка п основан на использовании теоремы С.Л.Соболева, которая сформулирована здесь применительно к рассматриваемому случаю:

Теорема 1.4. Для того чтобы квадратурная формула i была точна для следов на s всех многочленов до степени п включительно, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для инвариантных относительно üm следов многочленов степени не выше п.

Образующие алгебр инвариантных относительно Dm многочленов в пространство R3 и на s приведены в третьем параграфе.

Теорема 1.5. Алгебра инвариантных относительно группы Dm многочленов в R3 порождается многочленами:

а. = r2+z2 = x2+y2+z2, о- = z2, 2 4 6

о, = r^oos(mcp) = Xго - С х"1-2^ 4- С Xю"V - С х^у6 +••• ,

m ' k mn!

где r, ф, г - цилиндрические координаты, cn= •

Теорема 1.6. Любой инвариантный относительно группы üm многочлен, рассматриваемый как функция на сфере S, является линейной комбинацией с числовыми' коэффициентами следов на s многочленов с^-о*, (J,ix> - целые числа). Многочлены c^-a*, как функции на S, линейно независимы, и их можно выбрать в качестве базиса векторного пространства инвариантных относи-тельйо D^ многочленов, рассматриваемых как функции на Б.

В параграфе 4 теоремы 1.4 и 1.6 использованы для получения системы уравнений, которой должен удовлетворять набор параметров (1) квадратурной формулы 1п. В результате замены переменных эта система имеет блочно-треугольдай вид:

1-4

-10 -

Подсистема Е0: ^ N

гАПоо+ 2 *ок=еоо' 2А+ 1

к=1 к=1

Подсистемы Е1( 1=1,.., 11ШХ:

Я В

Чо+ i Чк=е01' 1

к=1 к=1

где

N ^ (3)

*1к=2тг£1'К+<-1,1ск+г к=1-2.....

1/2

' ^кГ000^к;)*-Параметры вк,ск, вк;(, <рк^, ;Н,..,Лк находятся из системы

®к + >4 + 2 ЗЧ^Ь = т1к- 1=0- • • »V <4>

Л=о

где правые части г1к определяются по найденным в процессе решения системы (2) значениям 1;1к, и^. Значения И, 1к, к=о,..определяются из условия разрешимости системы (2), а значение ик, к£{0,..,Я) выбирается таким, чтобы общее число неизвестных в системе (4) было равно числу уравнений.

При построении квадратурных формул I типа Гаусса мы должны считать неизвестным (т.е. подлежащим определению) весь набор параметров (1). Поэтому в этом случае системы (2) и (4) являются нелинейными системами алгебраических уравнений, и все переменные в левых частях этих систем считаются неизвестными.

В параграфе 5, основываясь' на подходе В.И. Лебедева, конкретизируются введенные ранее на интуитивном уровне понятия квадратурной формулы типа Гаусса для сферы Б и инвариантной относительно группы Вт квадратурной формулы I типа Гаусса.

Определение 1.12. Квадратурную формулу для сферы Б порядка п с числом узлов и назовем квадратурной формулой типа Гаусса или оптимальной (с точки зрения числа узлов), если

N « мопт(п)=[Ц1^-]+81еп((п+1)г(шо(1 3)).

- и -

Определение I.I4. Инвариантную относительно группы Dm

квадратурную формулу I назовем квадратурной формулой ln типа

Гаусса, если при ее построении весь набор параметров (1)

считается неизвестным, и количество этих параметров берется

равным числу независимых уравнений системы (2).

Во второй главе предложены методы нахождения параметров

инвариантных относительно Вп квадратурных формул для сферы s.

Параграф I имеет подготовительный характер. В нем собрат

необходимые сведения из теории одномерных квадратурных формул.

В п. I.I рассматриваются симметричные алгебраические

квадратурные формулы порядка п: 1

Q[v]= Jp(z)v(z)dz a.Q^tv]= v (5)

=А'(v(-1)+v(1))+p0v(0)+ J Pk(v(-z^)+v(z^)),

а п. 1.2 - тригонометрические квадратурные формулы порядка

n=m(l+1)-1, 1=0,1..... специального вида:

г% гп-1

j[v]= f q(<p)v((p)d<p a j-[v]=b £ v[§M] +

о A 1=0

m-1 N m-tf »

i i 2 kv^MV3^] • 1=0 'j=1 i=0L ' В параграфе 2 для построения квадратурных формул 1п использован метод повторного применения одномерных квадратурных формул и Показано, что если для заданных n, m, p(z) и q(<p) известны какие-либо квадратурные формулы Qn и (п>п), то набор параметров (1) квадратурной формулы in=Qn» определяется по формулам:

r=v, nk=n, а=а'с, bk=Pkb, ck=Pkc, zk=z^ (z0=0), DkJ=pkDJ» ^kj^j' k=°"->v' 3=1,..,N,

где C=J[1].

К недостаткам этого метода следует отнести то, что эффективность 1] квадратурных формул 1П=0„"^ сРаыштелыю невелика. Лаже в наиболее благоприятном.случае, когда в качестве с^ берутся формулы Гаусса или Маркова с двумя фиксированными узлами, а в качестве J- - формулы наивысшей тригонометрической степени точности n=m([n/m]+i)-1, для нее справедлива асимптотика ^ т)(п)=|. Однако зачастую это не является пршщипиаль-

ным и с лихвой искупается простотой построения квадратурных формул.

В параграфе 3 исследуются свойства системы (2) и на их основания предлагается общий метод ее решения, приводящий к квадратурным формулам 1п порядка п.

П. 3.1 посвящен вопросам терминологии. Так, подрешением системы (2) ш понимаем любой набор параметров А, 1;10,

1=0,.. к=1,.. который удовлетворяет каждому из

уравнений этой системы и такой, что А, ^ - вещественные, а

- попарно различны и принадлежат интервалу (0,1). Для заданного N систему (2) называем совместной, если она имеет хотя бы одно решение в указанном смысле.

Необходимые и достаточные условия совместности этой системы получены в п. 3.2. Обозначим через Оп - квадратурную формулу (5) порядка п, веса которой вещественны, а узлы попарно различны и принадлежат отрезку [-1,1}.

Теорема 2.2. Для того, чтобы для заданного N система (2) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы существовала квадратурная формула Оп, в которой у=П.

Здесь -же показано, что подсистема Е0 полностью эквивалентна задаче о построении квадратурной формулы Оп. А именно, если набор параметров А, %0]л, и^, к=1,..,Н есть решение подсистемы Е0, то он одновременно определяет квадратурную формулу Оп с набором параметров

у=н, а'=а/с, ро^ад/с, рк=^к/(2с), к=1,..

И обратно, если нам известна какая-либо квадратурная формула с^, то решение подсистемы Е0 можно получить по формулам:

»-V, А=СА' , ^к=2Срк, уг;2, к=1,..,Н. (6)

Отсюда с учетом теоремы 2.2 и хода ее доказательства делается вывод о том, что решение системы (2)'нужно начинать с решения подсистемы Е0 (или, что эквивалентно, с построения квадратурной формулы Од). После этого найденные значения и^ подставляем в подсистемы в1, 1=1,... которые становятся линейными относительно неизвестных 1;1к системами уравнений с матрицами Вандермонда. (Заметим, что в подсистемах е., 1<1<Т, где

I =

- 13

Гп - 2 (R+fc-1 )1

ft

= J0, P°=°

U. P0^0

m

число уравнений больше или равно числу неизвестных, однако эти подсистемы совместны в силу теоремы 2.2.)

В п. 3.3 на основе проведенных в п. 3.2 исследований разработан алгоритм решения системы (2) приводящий к квадратурным формулам I порядка п. Введем следующие обозначения:

а={1-&,..,Ю;

<p(C)={<Bu,Ck.Dk;J,(pkJ, j=1,..,Nk): кШ, Keß;

(Переменные X(T,£), будем обозначать Ж(Т,С)|, если они находятся из решения подсистем Е1( Ш, и Ж(1,Е)1, если они определяются по формулам (3 > >;

i

тах

Я±сЯ, 1=0,...i^i и fij = £1,па1- =0, 1V1

А,. = |й. | - количество элементов множества ß 11 i-1

1'

mai'

й±с£, 1=0..., «0=«!, Vй4 . 1=1 — 1,

Далее множества и Й1, будут гореть следующий смысл:

- ф(й1) определяются после решения подсистем е0,..,е±5

- Х({1},С1) являются неизвестными в подсистеме Е1. Приведем формулировку алгоритма нахождения параметров 1п

в предположении, что" нам известна какая-либо квадратурная формула порядка п.

Алгоритм нахождения параметров квадратурной формулы 1п Входные данные: п, гл, р(г), ^

Шаг I: находим решение подсистемы Е0 Ж({0},£) по формулам (б), на этом шаге нам становятся известны вес А и координаты узлов по оси Ог к=1,..,П);

Шаг 2: ЕЫбираем систему множеств 1=0,.. ,1^; Шаг 3: определяем множества й1, 1=0,. •Лпах по выбранным множествам й±;

Шаг 4: находим параметры !р(£) по схеме:

1<1

inах

l>i

[ i«-i+i |-Параметры ф(й) найдены

Выходные данные: набор парамзтров (1) квадратурной формулы 1п.

Предложенный алгоритм нахождения параметров I мы назвали {с^,¡¿^-алгоритмом. Этим названием мы стремились подчеркнуть ключевую роль, которую в данном алгоритме играет выбор квадратурной формулы Qn и системы множеств fi^

В п. 3.3 были также достаточно подробно рассмотрены вопроси о разрешимости {Оп,£1)-алгоритма, о числе и расположении узлов даваемых им квадратурных формул.

Теорема 2.3. При реализации {Qn,¡^-алгоритма подсистемы Et, 1=1,>ifnax будут разрешимы, если множества 1-0,.., iMaz-i удовлетворяют условиям:

\±=0, 1=0, .. ,1-11 0< 1 \J<fJ+fc-I1+,, 1=1,.. , 1^-1 . - d=I

Teopeua 2.5. Количество узлов N в квадратурных формулах I полученных {Qn,fc1)-алгоритмом удовлетворяет неравенствам

где

*пах

Nmtn(n,(n,Qn)=2sisn|A|+m[£<iT+fe)(I+1 )+2j Vß<ima*+1 О'

i=I+1

Нжже(п.т.0п)=2в1вп|А|+т(гН+6)(11|ИИ+1).

В параграфе 4 предложен метод построения квадратурных формул ln типа Гаусса с асимптотикой *^r)(n,ni)=|, который является частным случаем {Qn,Ü1)-алгоритма, когда в качестве Qn берутся квадратурные формулы Гаусса или Маркова с двумя фиксированными узлами,'а выбор множеств подчинен условию:

'М-г1+1, 1=т

1Гги1'1=1+1 •••• ^х"1 шхх

В третьей главе рассматриваются инвариантные относительно группы 5т квадратурные формулы для поверхностей в И3, точные на заданном множестве фупкций. По существу, материал этой главы является некоторым обобщением результатов предыдущих исследований.

В первом параграфа ставится задача о построении инвариантных относительно группы Вт квадратурных формул для интеграла

1ПШ = /г (о)<1П.

П

где П - произвольная, инвариантная относительно Вт, кусочно-гладкая поверхность в И3, со<еП, ал - элемент поверхности П, точных для всех функций из конечномерного векторного пространства Ф, инвариантного относительно Пт и такого, что 1П[ф] -существует для УфеФ. Получены общий вид квадратурной формулы 1ф[х] и система уравнений для нахождения ее параметров.

В параграфе 2 разобран частный случай, когда в качестве пространства ф берегся линейная оболочка функций

«♦Ё

Гар7(х,у,г) = 1] 2

где а,р,7^о - целые числа, такие что а+р+7<п.

Глава 4 является приложением.

В параграфе I дается описанйе программы <Ш по нахоадению параметров квадратурных формул I типа Гаусса. Отметим, что все вещественные вычисления в программе производятся в арифметике с плавающей точкой с 19-ю значащими цифрами. За один сеанс работы с программой СШ можно построить множество эффективных квадратурных формул. Пользователь шкет перебрать большое число различных квадратурных формул н выбрать те из них, которые более всего отвечают его целям. Имея в распоряжении эту программу, отпадает необходимость хранения таблиц квадратурных формул I в напечатанном виде. Поскольку все вычисления в программа ОИ можно легко повторить, то для применения этих формул в прикладных задачах и-научных исследованиях достаточно

иметь лишь программу ОН и базу данных, содержащую значения е^ и параметры квадратурных формул <Эп Гаусса или Маркова для различных п, ш и весовых функций р(г) и ч(<р).

В параграфе 2 приведены таблицы некоторых наиболее интересных на наш взгляд квадратурных формул 1п типа Гаусса для случая постоянной весовой функции Все таблицы

были рассчитаны по программ оя. Ниже даются основные характеристики (порядок п, группа Бт (ш), число узлов N и коэффициент эффективности Т)) указанных формул. -

п га N Л п m N Т)

7 2 22 0.9697 23 2 206 0.9320

11 2 50 0.9600 31 2 370 0.9225

15 2 90 0.9431 35 3 488 0.8S52

16 1 113 0.8525 43 2 706 0.9141

19 2 142 0.9390 71 6 1982 0.8718

Параграф 3 содержит рисунки, на которых показано располо-кание узлов на сфере квадратурных формул 1п из параграфа 2. Огштнм, что рисунки выполнены такг:э программой QR.

ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лебедев В.И., Казаков А1Н., Скороходов А.Л. The quadrature rules of the Causa type ior the sphere for approximation oi intégral operators in Jhe transport équation// liateriale of international symposium "Numerioal transport theory", May 2628, 1992, Цозоои, Russia, pp.147-149.

2. Казаков A.H., Лебедев В.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для поверхностей в R3, инвариантные относительно расширенной группы диэдра// Материалы международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложение", 5-10 апреля 1993, Красноярск.

3. Казаков А.Н., Лебедев В.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы диэдра// Труды матем. института им. Стеклова, 1994, т.203.

Подписано в печать 11.01.95 Сдано в-набор 11.01.05 Бум. офсетная Фор мае 60 *80 1/16 Печать офсетнаа Усл.леч,л. 1,0 Уч.-изд.л. 0,86 Тир. 60 экз. Зок. 42

Проивводственно-иодательский комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10,'Московский обл., Октябрьский прсопект, 403