Кубатурные формулы для приближенного интегрирования по поверхности тора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Федотова, Ирина Михайловна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2003 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.07 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Кубатурные формулы для приближенного интегрирования по поверхности тора»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Федотова, Ирина Михайловна

Введение

0.1. Постановка задач численного интегрирования и методы построения формул высокой алгебраической точности.

0.2. О содержании диссертации

0.3. Основные обозначения и определения

1. Минимальные кубатурные формулы для тора точности 2 и

1.1. Предварительные сведения.

1.1.1. Определение и свойства воспроизводящего ядра.

1.1.2. Связь между минимальными формулами и воспроизводящим ядром

1.1.3. Минимальное число узлов для тора

1.2. Построение минимальных кубатурных формул для поверхности тора второй степени точности

1.3. Описание всех минимальных кубатурных формул для тора 3 степени точности

1.4. Анализ результатов и выводы

2. Инвариантные кубатурные формулы для тора.

2.1. Предварительные сведения об инвариантных кубатурных формулах

2.1.1. Краткие сведения об инвариантных формулах

2.1.2. Группы преобразования тора в себя и их инварианты

2.2. Построение инвариантных кубатурных формул для тора

2.2.1. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы С = С\ х

2.2.2. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы С = С\ х

2.2.3. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы С? = Сч х 0\2.

2.3. Анализ результатов и выводы

 
Введение диссертация по математике, на тему "Кубатурные формулы для приближенного интегрирования по поверхности тора"

0.1. Постановка задач численного интегрирования и методы построения формул высокой алгебраической точности

Широкие возможности применения вычислительной техники в практике вычислений способствуют интенсивному развитию теории приближенного интегрирования. Интегрирование является одной из самых распространенных математических операций. В самых различных областях часто приходится вычислять определенные интегралы, для которых невозможно получить точное значение, поэтому задача о приближенном вычислении определенного интеграла является одной из актуальных задач вычислительной математики. Формулы приближенного интегрирования п-кратного интеграла имеют вид приближенных равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой - обобщение суммы Римана: линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами. При п = 1 такие формулы приближенного интегрирования называют квадратурными, а при п > 2 - кубатурными.

Квадратурные формулы применяются со времен Ньютона. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса, Гаусса, Чебышева и другие широко используются в различных областях науки и техники.

Разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно. В общей постановке задачу можно сформулировать следующим образом: для кубатурной формулы = !ш{х)}{х)(т = Jш(xu. ,хп)/(хи. ,хп)с1П ~ п п

N N $>/(*•■) = Х>/(*}>.-. ,<) = (ол)

1 г=1 где С К", . , хп) - весовая функция, подобрать узлы Х{ и коэффициенты сг-, г = 1,. , А^, таким образом, чтобы формула (0.1) удовлетворяла некоторым заданным условиям. В соответствии с этими заданными условиями используются различные постановки задачи приближенного интегрирования и различные методы построения кубатурных формул.

Например, пусть В - некоторое банахово пространство функций, вложенное в пространство непрерывных функций С, тогда погрешность кубатурной формулы (0.1) п/] = дл - т является линейным ограниченным функционалом в сопряженном пространстве В*.

Относительно нормы функционала I в В* можно поставить задачу минимизации (оптимальности) при заданном числе узлов или задачу асимптотической минимизации при неограниченном росте числа узлов. Эти задачи относятся к функциональному подходу к численному интегрированию или, другими словами, к теории кубатурных формул в классах функций.

Теория кубатурных формул в классах функций развивалась в работах С. Л. Соболева /26/, С. Н. Никольского /15/, Н. С. Бахвалова /1/,

М. Д. Рамазанова /24/, В. И. Половинкина /19-21/, Ц. Б. Шойнжурова /30/ и других авторов.

Другой подход к приближенному вычислению интегралов использует вероятностно-статистические методы (в частности, метод Монте-Карло). Этим методам посвящены исследования С. М. Ермакова /3, 4/, Г. А. Михайлова /4/, И. М. Соболя /29/ и других.

Одним из основных разделов теории численного интегрирования является исследования вопросов, связанных с построением кубатурных формул, основанное на их алгебраической точности.

Этот алгебраический подход к проблеме приближенного вычисления интеграла имеет более длинную историю. Его суть состоит в том, чтобы при заданном числе узлов формула была точна (обращалась в точное равенство) на многочленах степени не выше й при возможно большем й. При п = 1 задача построения таких квадратурных формул решена полностью, причем в частном случае весовой функции и(х), тождественно равной 1, ее решил К. Гаусс. Подобная задача минимизации числа узлов ставится и для кубатурных формул. Однако известно, что одной из дополнительных, по отношению к одномерному случаю, сложностей в теории приближенного вычисления кратных интегралов является многообразие областей интегрирования. Поэтому алгебраический подход в ' приближенном интегрировании при п > 1 реализуется, как правило, на "стандартных" областях интегрирования: куб, симплекс, сфера и шар в Кп, либо все пространство Мп. Формулы, построенные при таком под-ходе, называются кубатурными формулами повышенной алгебраической точности или формулами гауссова типа.

В настоящее время интенсивно развиваются два направления теории кубатурных формул, обладающих ¿-свойством. Напомним, что формула (0.1) обладает ¿-свойством или является формулой алгебраической точности d, если она обращается в точное равенство на многочленах степени I не выше d из кольца полиномов P[rci,. ,£„] и в . , я„] найдется хотя бы один полином степени d + 1 для которого она не точна.

Первое направление связано с обобщением на кубатурные формулы основного свойства квадратурных формул гауссова типа: в квадратурной формуле гауссова типа число узлов не больше, чем в любой другой квадратурной формуле той же алгебраической степени точности. Вопрос об уменьшении числа узлов при сохранении алгебраической степени точности становится еще более актуальным при вычислении кратных интегралов с помощью кубатурных формул. Минимизация числа узлов приводит к сокращению объема вычислений и, следовательно, к уменьшению машинной погрешности округлений. Необходимо отметить, что задача сокращения объема вычислений была и остается одной из самых актуальных в вычислительной математике.

Систематическое изучение кубатурных формул гауссова типа началось с результата Радона о кубатурной формуле пятой степени точности с семью узлами для плоских областей интегрирования /42/. В качестве узлов такой формулы выбирались общие корни ортогональных для данной области многочленов. Метод общих корней ортогональных многочленов для построения кубатурных формул был в дальнейшем развит И. П. Мысовских /12, 13/, Н. J. Schmid /44/ и Y. Хи /45/.

Другой метод, метод воспроизводящего ядра, в некотором смысле, близкий к методу общих корней ортогональных многочленов, был разработан также И. П. Мысовских /12/.

С помощью этих методов было построено много кубатурных формул для "стандартных" областей интегрирования (см. например, таблицу кубатурных формул из /12/). Как один из теоретических результатов полученных с их помощью можно указать значение нижней границы числа узлов кубатурных формул алгебраической точности (или степени) <1. Исследуя линейные пространства сужений полиномов степени не выше й на О вначале И. П. Мысовских для шара и сферы, а затем Н. М. МёИег /40/ для произвольной центрально-симметричной области интегрирования, принадлежащей некоторому алгебраическому многообразию, определили нижнюю границу числа узлов N кубатурной формулы алгебраической степени точности (I = 2к + 1. Отметим, что эта граница которую мы будем далее называть границей Мёллера, как правило, достигается только у формул низкой точности. Так например для сферы из К4 такая нижняя граница при й = Ь уже не достигается /12/.

Формулы, у которых число узлов достигает границы Мёллера, называются минимальными. Описанные выше два метода построения формул гауссова типа лучше всего работают при построении минимальных формул. Однако, в связи с тем, что минимальные формулы при больших (I обычно не существуют, для построения формул высокой алгебраической точности используют другой подход.

Этот второй подход к построению кубатурных формул с ¿-свойством связан с методом неопределенных параметров. В 1962 году С. Л. Соболев в /28/ ввел понятие инвариантной кубатурной формулы, доказал теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы инвариантная кубатурная формула обладала ¿-свойством, и построил инвариантные кубатурные формулы для трехмерной сферы. Эта работа позволила использовать результаты теории групп в вычислительной практике и тем самым расширить область применения метода неопределенных параметров.

Метод инвариантных формул успешно развивался усилиями советских математиков, прежде всего И. П. Мысовских и его учениками /13, 14/. И. П. Мысовских указал на важность использования теории инвариантов, в частности, теоремы Шевалле, которая заменила теорию представления групп при построении инвариантных кубатурных формул. Отметим также работы ташкентских математиков, в первую очередь, Г. Н. Салихова /25/ Исследования, проведенные Г. Н. Салиховым, были посвящены теории групп вращений правильных многогранников и построению инвариантных кубатурных формул для вычисления интегралов по поверхности многомерных сфер.

Значительное продвижение в построении кубатурных формул для сферы в ¡К3 получил В. И. Лебедев /9, 10/. Он построил кубатурные формулы типа Гаусса - Маркова, т.е. кубатурные формулы, большая часть узлов которых не фиксируется, а определяется из системы нелинейных алгебраических уравнений. В. И. Лебедев предложил также замену переменных, при которой упрощаются полученные нелинейные системы, возникающие при построении инвариантных кубатурных формул для вычисления интегралов по сфере в трехмерном пространстве. Этот метод развивался в работах С. И. Коняева /6-8/, А. Haegemann /39/ и других авторов.

Для других областей интегрирования результаты применения метода инвариантных формул не так эффективны. Тем не менее, этот метод и здесь позволяет получить неплохие результаты /5/.

В настоящей диссертации при построении кубатурных формул для поверхности тора применяются метод воспроизводящего ядра и метод инвариантных кубатурных формул.

0.2. О содержании диссертации

В данной диссертации рассматривается вопрос построения формул гауссова типа для поверхности тора в R3

X2 + Y2 + Z2 - R2 - а2)2 + 4R2Z2 - AR2a2 = 0.

Есть несколько причин, по которым построение таких формул кажется интересным. Во-первых, в известной монографии А. X. Stroud /43/ имеются формулы для тора 5, 7 степеней точности (имеется в виду не поверхность, а тело). Формулы для приближенного интеграла по поверхности тора здесь не приведены. Отметим, что интегралы по поверхности тора или по некоторым его частям широко используются в механике (см., например /2/). Отдельные работы по построению формул гауссова типа для тора посвящены только формулам третьей степени точности. Причем, в /17/ при использовании некоторой подгруппы группы преобразований тора в себя построена формула с 8 узлами (при границе Мёллера равной шести). В /41/ построена минимальная формула степени 3 с помощью метода корней ортогональных полиномов.

Интересно то, что существование построенных формул зависит от соотношения параметров а и R. Таким образом, тор является таким алгебраическим многообразием, которое является удобной моделью для исследования свойств кубатурных формул на двупараметрических многообразиях. Добавим, что в отличии от сферы или алгебраического тора в К", обладающих одинаковой кривизной, поверхность тора не обладает таким свойством.

Таким образом, построение и исследование кубатурных формул для тора является актуальной задачей теории кубатурных формул гауссова типа.

Цель данной диссертации заключатеся в построении формул гауссова типа для поверхности тора в М3 алгебраической степени точности (I с минимальным или наименьшим возможным числом узлов.

Все результаты диссертации являются новыми. В настоящей работе описаны все минимальные кубатурные формулы для поверхности тора третьей степени точности, построены минимальные формулы второй степени точности. Исследуются и строятся инвариантные кубатурные формулы для тора 4, 5, б, 7, 9, 11, 13 степеней точности.

При проведении исследований использовались методы математического анализа, вычислительной математики, в частности, теории кубатурных формул.

Перейдем теперь к краткому описанию диссертации.

Первая глава посвящена построению минимальных кубатурных формул для тора в М3 второй и третьей степеней точности и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе даются предварительные сведения необходимые для дальнейшего построения мйЪимальных кубатурных формул: определение и свойства воспроизводящего ядра, связь между минимальными формулами и воспроизводящим ядром, а так же приводится нижняя граница числа узлов для тора.

Во втором параграфе проводятся исследования и строятся минимальные кубатурные формулы для поверхности тора второй степени точности методом воспроизводящего ядра. Данные кубатурные формулы существуют только для 1 < г < где г = В конце параграфа приводятся примеры, в которых строятся кубатурные формулы для конкретных радиусов г.

В третьем параграфе дается описание всех минимальных кубатурных формул для поверхности тора третьей степени точности. Отдельно рассматриваются два случая, когда г = 1 (вырожденный тор) и г > 1. Для г = 1 получено однопараметрическое семейство кубатурных формул степени 3. Для г > 1 получено семь типов однопараметрических кубатурных формул степени 3. В конце каждого случая приведены примеры полученных кубатурных формул.

В четвертом параграфе приводится анализ полученных результатов.

Во второй главе (содержащей три параграфа) исследуются инвариантные кубатурные формулы для тора.

В первом параграфе приводятся предварительные сведения об инвариантных кубатурных формулах и рассматриваются преобразования тора в себя и их инварианты.

Второй параграф состоит из примеров, в которых строятся кубатурные формулы для тора различных степеней точности инвариантные относительно преобразований группы <7.

Группа С, порожденная отражениями, переводящими тор в себя, есть прямое произведение подгруппы , порожденной отражениями от плоскости хОу и подгруппы С?2, порожденной отражениями плоскости хОу : С = (?1 х в2.

В качестве группы Ог рассматриваются Д; - группа преобразований правильного треугольников себя, - группа преобразований квадрата в себя, £>12 - группа преобразований правильного шестиугольника в себя.

В отдельных примерах приводятся аналитические выражения для коэффициентов и узлов полученных кубатурных формул, исследуется вопрос о том, для каких радиусов существуют полученные кубатурные формулы. В конце каждого примера приведены таблицы полученных кубатурных формул для конкретных радиусов.

В третьем параграфе приводится анализ полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в /31-38/. Они докладывались на II сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996 г.), на IV семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Улан-Удэ, 1997 г.), на V международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1999 г.), на VI международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Уфа, 2001 г.), на VII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 2003 г.), на семинарах в Красноярском государственном техническом университете.

0.3. Основные обозначения и определения

Пусть К - множество вещественных чисел; Е* - М\ {0}; - гг-мерное вещественное пространство; П С М"- некоторое множество; С К71' -наименьшее алгебраическое многообразие, содержащее П; к - целое неотрицательное число. Введем следующие обозначения:

Р - линейное подпространство многочленов от п переменных с коэффициентами из М;

Рк - подпространство Р, состоящее из многочленов степени < к;

Ьи - подпространство Рь, состоящее из четных многочленов при четном к и нечетных многочленов при нечетном к\ подпространство состоящее из многочленов с нулевым свободным коэффициентом;

V, Рк, С, С\ - линейные пространства сужений на П функций из Р, Рк, 1/ь VI соответственно. т - канонический эпиморфизм Р на V, т(/) = //£} (/ 6 Р).

Пусть : V —> М - некоторый линейный функционал. Введем в V скалярное произведение следующей формулой

Композиция Д) = о г : Р —> М. является линейным функционалом; мы будем рассматривать приближенные представления этого функционала, имеющие вид N х*е ^ е м, 7 = 1,., д^. (0.2)

Определение 0.1. Представление (0.2) называется ¿-точным ((1 6 Л/*), если /«(/) = любого / £ Р,ь

Определение 0.2. Симметричным случаем называется выполнение следующего условия: /а(/) = 0 для любого нечетного многочлена /.

Положим для четного d G Л/*, d = 2к,

Nd = dim П;

0.3) для нечетного d 6 Л/", с? = 2к + 1, пусть

Nd = 2d\mCknNS =

2 dim Ck + 1, к - нечетно, 2 dim + 1, к - четно.

0.4)

Определение 0.3. Пусть d 6 J\f четно. Будем называть d-тпочнос представление (0.2) минимальным, если N = Nj.

Определение 0.4. Пусть d N нечетно. Будем называть d-точное представление (0.2) минимальным, если N = N,i.

Определение 0.5. Приближенное представление (0.2) соответствующего функционала Iq будем называть кубатурной формулой, а параметры х], cj этого представления - соответственно набором узлов и набором коэффициентов (весов) кубатурной формулы.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Федотова, Ирина Михайловна, Красноярск

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы, т. 1./ Н. С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975. - 632 с.

2. Бояршинов, С. В. Основы строительной механики машин / С. В. Бо-яршинов. М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.

3. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков. М.: Наука, 1975.

4. Ермаков, С. М., Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. М.: Наука, 1982.

5. Коняев, С. И. Квадратурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы икосаэдра: Препринт ИАЭ — 2516 / С. И. Коняев. М., 1975.

6. Коняев, С. И. Инвариантные формулы интегрирования на сфере: Препринт ИАЭ 2553 / С. И. Коняев. - М., 1975.

7. Лебедев, В. И. Квадратурные формулы для сферы 25-29-го порядка точности / В. И. Лебедев // Сиб. матем. журнал. 1977. - Т. 18-N 1- С. 132-142.

8. Лебедев, В. И. О квадратурах на сфере / В. И. Лебедев // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ 1976. - Т. 16. - N 2 - С. 293-306.

9. Мысовских, И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мысовских. М.: Наука, 1981. - 336 с.

10. Мысовских, И. П. О вычислении интегралов по поверхности сферы / И. П. Мысовских // ДАН СССР. 1977. - Т. 235. - N 2. - С. 269-272.

11. Мысовских, И. П. О кубатурных формулах, инвариантных относительно групп преобразований / И. П. Мысовских // Методы вычислений. Вып. И. Л.: Из-во Ленингр. ун-та, 1978. - С. 3-21.

12. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. -М.: Наука, 1974. 224 с.

13. Носков, М. В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций / М. В. Носков // Методы вычислений. Вып. 14. Л.: Из-во Ленингр. ун-та, 1985. - С.15-23.

14. Носков, М. В. О приближенном интегрировании по поверхности тора / М. В. Носков // Вест. СПбГУ, Вып. 3. Санкт-Петербург, 1992. -N 15. - Сер. 1. - С. 100-102.

15. Половинкин, В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т / В. И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16. - N 2. -С. 328-335.

16. Половинкин, В. И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул / В. И. Половинкин // Кубатурные формулы и их приложения: Сборник статей семинара-совещания. Красноярск, 1994. С. 79-89.

17. Пономаренко, А. К. Три инвариантные кубатурные формулы девятой степени для гипероктаэдра / А. К. Пономаренко // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. - С. 150-158.

18. Рамазанов, М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования / М. Д. Рамазанов. Уфа: Из-во Башк. ГУ, 1973. - 176 с.

19. Салихов, Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер / Г. Н. Салихов. Ташкент: Фан, 1985. - 104 с.

20. Соболев, С. JI. Введение в теорию кубатурных формул / С. JI. Соболев. М.: Наука, 1974. - 808 с.

21. Соболев, С. JI. Кубатурные формулы / С. JI. Соболев, В. JI. Васке-вич. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

22. Соболев, С. JI. О формулах механических кубатур на поверхности сферы / С. JI. Соболев // Сиб. матем. журнал. 1962. - Т. 3. - N 5. - С. 769-791.

23. Соболь, И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Ха-ара / И. М. Соболь. М.: Наука, 1969.

24. Шойнжуров, Ц. Б. Норма функционала погрешности кубатурных в пространствах W™. / Ц. Б. Шойнжуров // Материалы конференции ВСТИ, 1971. С. 5-8.

25. Носков, М. В. Метод воспроизводящего ядра для тора. / М. В. Носков, И. М. Федотова // Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. Новосибирск, 1996. - С. 78-79.

26. Носков, М. В. Об инвариантных кубатурных формулах для тора в К3 / М. В. Носков, И. М. Федотова // Журнал выч. математики и мат. физики. 2003. - Т. 23. - N 9. - С. 1323-1329.

27. Федотова, И. М. Кубатурные формулы 3 степени точности для тора / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Сборник трудов IV семинара-совещания. Улан-Удэ: ВСГТУ, 1997. -С. 115-123.

28. Федотова, И. М. Минимальные кубатурные формулы для тора второй степени точности / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Тезисы докладов V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999. - С. 37-38.

29. Федотова, И. М. Кубатурные формулы для тора второй степени с минимальным числом узлов / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. - С. 201-206.

30. Федотова, И. М. Инвариантные кубатурные формулы для тора / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VI международного семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БУПУ, 2001. - С. 132-136.

31. Федотова, И. М. Инвариантные кубатурные формулы для тора четвертой степени / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII международного семинара-совещания.- Красноярск: КГТУ, 2003. С. 172-174.

32. Haegemans, A. Construction of cubature formulas of degree eleven for symmetric planar regions, using orthogonal polynomial / A. Haegemans, R. Piessens // Numer. Math. 1976. - N 25 . - P. 139-148.

33. МёПег, H. M. Lower bounds for the number of nodes in cubature formulae / H. M. МёНег // in: Numerische Integration / Herausgegeben von. G. Hammerlin, ISNM 45. Basel: Birkhauser Verlag, 1979. - P. 221230.

34. Noskov, M. V. Minimal Cubature Formulae of Degree 3 for Integrals over the Surface of the Torus / M. V. Noskov, H. J. Schmid // Computing.-1996.-V. 57.-P. 213-223.

35. Radon, J. Zur mechanischen Kubatur / J. Radon // Monatsh. Math. -1948. Vol. 52. - N 4. - P. 286-300.

36. Stroud, A. H. Approximate calculation of multiple integrals. / A. H. Stroud.- Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1974.

37. Schmid, H. J. Interpolatorische Kubaturformeln. Diss. Math. CCXX / H. J. Schmid. 1983. - 122 p.

38. Xu, Y. Orthogonal polynomials of several variables / Y. Xu, C. F. Dunkl // Cambgidge Univ. Press. 2001.