Кубатурные формулы для периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Осипов Николай Николаевич

КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск — 2005

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор М. В. Носков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент В. Л Васкевич

доктор физико-математических наук, доцент А. В. Войтишек

доктор физико-математических наук, профессор Я.М. Жилейкин

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ УНЦ УрО РАН, г. Уфа

Защита состоится 11 мая 2005 г. в 15 ча£. на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект Ак. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан «_»_ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

готово

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к задачам приближенного интегрирования с помощью кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах степени не выше некоторого заданного числа d, сильно возрос в последнее десятилетие. Этот факт отчетливо проявляется в увеличившемся числе работ не только российских математиков (И. П. Мысовских, М. В. Носкова и др ), но и ряда зарубежных специалистов (I.H. Sloan, J N. Lyness, R. Cools, Т. Sorevik и др.).

Следует отметить, что в данной тематике прослеживаются по крайней мере три направления. Первое из них является классическим и состоит в построении кубатурных формул с тригонометрическим ef-свойством, число узлов которых является наименьшим (при этом никаких дополнительных ограничений на узлы и коэффициенты кубатурных формул не накладывается). Второе направление характеризуется построением так называемых серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(й)-свойством. Здесь рассматриваются кубатурные формулы, множество узлов которых имеет наиболее простую структуру — решетчатую; решетка узлов таких кубатурных формул зависит от некоторого параметра к. Такие серии строятся для заданной размерности п ^ 3 области интегрирования, причем число узлов к-й кубатурной формулы из серии стремятся сделать по возможности меньшим, но при этом не потерять соответствующее тригонометрическое d(k)-свойство. Впрочем, само понятие «по возможности меньшее число узлов» допускает различные толкования, наиболее распространенным из которых является «асимптотически наименьшее». Третье направление появилось буквально в последние годы и характеризуется построением решетчатых кубатурных формул фиксированной тригонометрической степени точности d, но при произвольном значении размерности п.

В одномерном случае задача построения кубатурных формул наивысшей тригонометрической степени точности изучена полностью (см., например, хорошо известную монографию В. И. Крылова). В двумерном случае также можно говорить о почти завершенном исследовании в рамках первых двух направлений (см. работы М. В. Носкова, И П. Мысовских, R. Cools, I. Н. Sloan, а также автора). Однако при п ^ 3 имевшиеся результаты не были столь внушительными, что и привлекло автора к занятию данной проблематикой, прежде всего при п = 3ип = 4. В указанных размерностях требовалось, по крайней мере, предложить эффективную методику построения кубатурных формул со

3

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С Петербург

сколь угодно большим тригонометрическим (¿-свойством и приемлемым числом узлов (составление таблиц таких кубатурных формул обычно осуществлялось в результате многозатратного компьютерного поиска). Стало актуальным привлечение новых методов исследования, прежде всего теоретико-числового характера, и совершенствование уже имеющихся методик (например, хорошо известного в алгебраическом случае метода воспроизводящего ядра).

Цель работы. Построение и изучение кубатурных формул, обладающих тригонометрическим «¿-свойством и имеющих при этом минимально возможное или близкое к нему число узлов

Методика исследования. В диссертации использовались методы линейной алгебры, теории чисел (геометрия чисел, теория алгебраических чисел и теория диофантовых приближений), функционального анализа, теории кубатурных формул. Для проведения громоздких символьных вычислений применялись системы компьютерной алгебры МАРЬЕ и РАШ/СР.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1) В двумерном случае для произвольного нечетного с! дано описание всех кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством, имеющих минимально возможное число узлов.

2) Построены наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(¿^-свойством для трехмерного случая.

3) Найдена экстремальная решетка для гипероктаэдра в К4 и уточнена оценка его критического определителя. В четырехмерном случае построены серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(¿)-свойством, имеющие высокий коэффициент эффективности

4) Предложена простая методика построения в п-мерном случае серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим й(к)~свойством и высоким коэффициентом эффективности На основе этой методики дан пример серии решетчатых кубатурных формул ранга 1 с коэффициентом эффективности 4п-1/п.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты существенно развивают теорию кубатурных формул для периодических функций. Результаты теоретического характера можно использовать в университетских курсах по вычислительной математике. Отдельные результат

ты имеют значение в прикладном аспекте (например, результаты, относящиеся к дискретному преобразованию Фурье, расширяют диапазон возможных схем его практической реализации).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

Международных семинарах-совещаниях «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1995 г, 1999 г. и 2003 г; Улан-Удэ, 1997 г; Уфа, 2001 г.);

Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1996 г., 1998 г. и 2000 г.);

Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000 г.);

семинарах в ИВМ РАН (Москва), МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва), ИМВЦ УНЦ УрО РАН (Уфа), ИВМ и МГ СО РАН (Новосибирск), ИМ СО РАН им. С. Л. Соболева (Новосибирск), ИВМ СО РАН (Красноярск), КрасГУ (Красноярск), КГТУ (Красноярск).

Часть результатов получена автором в ходе работ по проектам Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 99-01-00765, 03-0100703 и 04-01-00823).

Публикации. По теме диссертации опубликовано свыше 30 работ, наиболее значительные из которых приведены ниже. В работах [3], [8], [10], [12], [16] вклад соавторов одинаков, а работах [4], [18] основные результаты принадлежат автору.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 130 наименований. Объем диссертации — 192 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация носит в основном теоретический характер и содержит результаты исследований автора, начатых в середине 1990-х годов.

Введение состоит из двух параграфов.

В первом параграфе описываются наиболее распространенные направления в теории приближенного вычисления интегралов, рассматриваются различные задачи приближенного интегрирования периодических функций и обсуждаются возникающие трудности в их решении, формулируются цели исследований в диссертации и приводится краткое изложение полученных результатов.

Во втором параграфе сообщается о стандартных обозначениях, принятых в диссертации и используемых на протяжении всего текста без дополнительных пояснений.

Первая глава называется «Метод воспроизводящего ядра и минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством» и состоит из пяти параграфов. Она посвящена главным образом исследованию минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством Основным методом исследования является метод воспроизводящего ядра.

Первый параграф начинается с определения и общих свойств воспроизводящего ядра произвольного функционального пространства со скалярным произведением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть L —• линейное пространство функций

с эрмитовым скалярным произведением (/, д). Воспроизводящим ядром пространства L называется такая функция

KL : fi х fi -> С,

что Ki{ ■ ,у) G L при любом у 6 fi и (/, Ki( ■ ,у)) = f(y) для всех у 6 fi.

Для пространства вещественнозначных функций со скалярным произведением воспроизводящее ядро определяется аналогичным образом В качестве L рассматриваются конечномерные подпространства пространства 7 тригонометрических (пространства У алгебраических) многочленов с комплексными (вещественными) коэффициентами от п переменных х\, ..., хп.

Под тригонометрическим многочленом понимается конечная линейная комбинация с комплексными коэффициентами функций (тригонометрических одночленов) вида

fa(x) = exp (2т(а1х1 + ... + а„хп)),

где х = (х\,..., х„) € К", а = («1,..., а„) Е Z" и i = V—Ï — мнимая единица. Степень тригонометрического одночлена fa{x) есть целое неотрицательное число

1Н| = ы + ... + М;

степень тригонометрического многочлена определяется стандартным образом. Тригонометрический многочлен называется четным (нечетным), если все со-

ставляющие его одночлены имеют четную (нечетную) степень. Областью определения П тригонометрических многочленов с учетом их периодичности можно считать п-мерный тор

т„ = {(«!,... ,хп) 6 К" : 0 ^ х„ < 1, 8 = 1,... ,п}.

При записи тригонометрических многочленов наряду с вещественными используются и комплексные переменные

г„ — ехр (2тх3), 1 < я ^ п. (1)

Через Т° обозначается образ Т„ при отображении (1). Две точки Т„ называются симметричными, если их образы при указанном отображении противоположны (точка, симметричная точке х 6 Т„, обозначается через х&а).

Вводятся следующие обозначения: 7к — подпространство 7, состоящее из всех тригонометрических многочленов степени не выше к\ Т* — подпространство 7к, состоящее из тригонометрических многочленов, четность которых совпадает с четностью к\ обозначения У к, У к имеют аналогичный смысл. Основное внимание уделяется вопросу об отыскании наиболее простой формы записи воспроизводящих ядер пространств 7к и Т* (типичным примером такой записи при п = 1 служит формула Кристоффеля — Дарбу). Предполагается, что скалярное произведение задано при помощи интеграла

ДЯ = //(*)<& (2)

т„

с вещественнозначной весовой функцией р(х), т.е.

и,я) = { (3)

т„

В конце первого параграфа приводится пример ситуации, когда воспроизводящие ядра пространств У к и У к допускают запись через классические ортогональные многочлены одной переменной. В этом примере скалярное произведение определяется формулой

(1,9) = I Д*М*)(1-М2)7<&, \х\ = {х\ + ... + х1?1\ в„

где В„ — шар в К" радиуса 1 с центром в начале координат, а 7 > —1.

ТЕОРЕМА 1. Имеет место представление 14/21 Л

К$М>У) = £ йГ- (! - И'П1 - \У\2)"С££{*1У1 + ■ • • + *»»»)■

1/=о

Здесь Л = п/2 + 7+1,

ь Г(7 + 2^ + 1)

Г(1/ + 1)Г(7 + г/ + 1)' в„

С;т (£) — многочлены Гегенбауэра.

Эта теорема и аналогичное утверждение относительно воспроизводящего ядра пространства могут быть использованы при построении методом воспроизводящего ядра кубатурных формул с (алгебраическим) ¿-свойством для вычисления интеграла по В„ с весовой функцией (1 — |х|2)7.

Во втором параграфе появляется основной объект исследования — куба-турные формулы с тригонометрическим ¿-свойством Речь идет о кубатурных формулах вида

N

= (4)

где х^) £ Т„ и 6 С (с, ^ 0) - соответственно узлы и коэффициенты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что кубатурная формула (4) обладает тригонометрическим ¿-свойством, если она точна для всех тригонометрических многочленов степени не выше ¿, т.е.

/(/) = «(/) (/е^).

При р(х) = 1 качество кубатурной формулы (4), обладающей тригонометрическим ¿-свойством, принято оценивать величиной

(¿+1)" N '

называемой коэффициентом эффективности. Ставится следующая

Задача I. Для данного ¿ описать все кубатурные формулы (4), обладающие тригонометрическим ¿-свойством и имеющие при этом минимально возможное число узлов N.

Первым шагом в решении этой трудной задачи является почти столь же трудное установление точной нижней границы для числа узлов кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством. Естественным ориентиром здесь может быть так называемая нижняя граница Мёллера

J diniTjk, если d= 2к, Nq (а) = < ~

12 dim Tit, если d = 2к + 1.

При нечетных d это вытекает из следующей теоремы, ранее известной лишь в случае симметричной весовой функции:

р(х) = (i£T„).

ТЕОРЕМА 2. Пусть d = 2к + 1 н при некотором s скалярное произведение

(3) невырожденно на пространстве 7к © Если кубатурная формула (4) обладает тригонометрическим ¿-свойством, то

N ^ 2dim5]fc.

Здесь через zs7k обозначено подпространство, состоящее из тригонометрических многочленов вида zsf(x), где / £ Т*.

В третьем параграфе рассматривается задача об описании всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Кубатурная формула (4), обладающая тригонометрическим d-свойством, называется минимальной, если N — No(d).

Ясно, что в случае р(х) — 1 минимальные кубатурные формулы (4) с тригонометрическим d-свойством будут иметь наивысший коэффициент эффективности.

Задача II. Для данного d описать все минимальные кубатурные формулы

(4) с тригонометрическим ¿-свойством.

При непустом множестве минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством решение задачи II автоматически приводит к решению задачи I. Наиболее естественным способом решения задачи II представляется метод воспроизводящего ядра, позволяющий дать теоретически простые

критерии существования минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством. Последовательное изложение этого метода и составляет основное содержание параграфа. Приведем соответствующие теоремы для случая нечетного ¿.

ТЕОРЕМА 3 Пусть д, = 2к + 1, скалярное произведение (3) невырожденно на пространствах 7к ® яа7к при всех е. Кубатурная формула (4) с N = обладает тригонометрическим ¿-свойством тогда и только тогда, когда для любого в

= С7Ч/ (1 ^ ¿>/ ^ Ю-

Эта теорема не имеет аналога в алгебраическом случае и позволяет, в частности, указать первые примеры ситуаций, когда минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим ¿-свойством не существуют.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Кубатурная сумма (}(/) в (4) называется симметричной, если ее можно представить в виде

яи) = Е с>(Я*ь)) + /(*&)), г = N/2. (5)

Здесь а;^, — узел, симметричный узлу

ТЕОРЕМА 4. Пусть ^ = 2А; Ч-1, весовая функция р(х) симметрична и скалярное произведение (3) невырожденно на пространстве 7к- Тогда кубатурная сумма любой минимальной кубатурной формулы (4) с тригонометрическим ¿-свойством обязана быть симметричной.

Утверждение теоремы 4 в форме гипотезы ранее неоднократно высказывав лось И. П. Мысовских.

ТЕОРЕМА 5. В условиях предыдущей теоремы кубатурная формула (4) с симметричной кубатурной суммой (5), в которой ./V* — Щ(<1)/2, обладает тригонометрическим ¿-свойством тогда и только тогда, когда

КфЫ, = (2с,уЧ„, (1 ^ и < ЛГ).

Теорема 5 и ее аналог для случая четного ¿ позволяют установить возможное число положительных и отрицательных коэффициентов минимальной кубатурной формулы (4) с тригонометрическим ¿-свойством. Так, верна

ТЕОРЕМА 6. Пусть d = 2к, скалярное произведение (3) невырожденно на пространстве Т* и имеет сигнатуру (<7+,сг_). Тогда число положительных и отрицательных коэффициентов любой минимальной кубатурной формулы (4) с тригонометрическим d-свойством равно а+ и <т_ соответственно.

Далее рассматривается только случай постоянной весовой функции:

р(х) = 1, /(/) = /„(/) = I f(x)dx.

Т„

В этом случае любая минимальная кубатурная формула с тригонометрическим ¿-свойством имеет равные коэффициенты. Параграф завершается примерами таких кубатурных формул из хорошо известного класса кубатурных формул Коробова с параллелепипедальной сеткой узлов:

({!}), ю

где р — (pi,... ,pn) G Z" — так называемый порождающий вектор, удовлетворяющий условию

НОД (ръ • - •, рп, N) = 1,

{i} означает взятие дробных частей от всех компонент вектора х 6 R". Ку-батурные формулы вида (6) называются также решетчатыми ранга 1.

В четвертом параграфе приводится основной результат главы — описание в двумерном случае всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством для любого нечетного d. Полнота этого описания (см. теорему 7) обеспечивается теоремами 4 и 5. Важным обстоятельством в решении задачи II (а значит, и задачи I) в данной ситуации оказывается удобный для исследования вид воспроизводящего ядра пространства Ук-

При п — 2nd=2k + l всякая минимальная кубатурная формула с тригонометрическим (¿-свойством допускает запись в виде

ш) * E(/(*w)+/(-*ш))> (7)

где z® € Tj и N* = (к +1)2. Будем считать одним из узлов точку (1,1) £ Tj, что не ограничивает общности.

ТЕОРЕМА 7 Пусть ¿ = 2А: + 1 Множество узлов любой минимальной ку-батурной формулы (7) с тригонометрическим ¿-свойством имеет вид

{±(г,£т+,1 {иС~1У) ■ 0 ^ т, I ^ к}, е = 1 или -1.

Здесь £ = ехр (ж г/(к +1)), а параметры ^ (О ^ I ^ к) —- комплексные числа, равные по модулю единице, причем ¿о = 1.

В двумерном случае минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим ¿-свойством существуют и при любом четном ¿ (например, вида (6)), однако вопрос об их полном описании остается открытым.

Пятый параграф содержит полное описание (также при п = 2) минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством в классе решетчатых кубатурных формул ранга 1, но уже для произвольного ¿. В частности, показывается, что с точностью до геометрической эквивалентности при с1 = 2к кубатурная формула (6) с параметрами

N = ^(¿) = 2к2 + 2к + 1, р = (к, к + 1) (8)

является в указанном классе единственной минимальной кубатурной формулой с тригонометрическим ¿-свойством Доказательство проводится на основе метода воспроизводящего ядра На конкретном примере демонстрируется, как этот метод сделать пригодным для описания решетчатых кубатурных формул ранга 1, обладающих тригонометрическим ¿-свойством и имеющих число узлов, близкое к /^(¿).

Глава завершается приложением, основное содержание которого составляет доказательство теоремы о представлении воспроизводящих ядер конечномерных пространств алгебраических многочленов со специальным скалярным произведением (см. выше теорему 1).

Вторая глава названа «Построение серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(&)-свойством» и состоит из семи параграфов. Основным объектом исследования в этой главе являются кубатурные формулы с тригонометрическим ¿-свойством, множество узлов которых имеет наиболее простую структуру — решетчатую Представляется естественным применять здесь методы геометрии чисел — раздела теории чисел, изучающего точечные решетки в их связи с геометрическими фигурами Основными «рабочими» понятиями являются понятие критического определителя и критической (а иногда и просто экстремальной) решетки данной геометрической фигуры.

Определение тригонометрического ¿-свойства содержит в себе намек и на саму эту геометрическую фигуру — гипероктаэдр.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит необходимые для дальнейшего определения и факты из теории решетчатых кубатур-ных формул. Здесь же ставится задача об описании решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством и минимально возможным числом узлов, а также рассматриваются различные варианты этой задачи.

Пусть Л — некоторая решетка интегрирования, т.е. решетка в К", содержащая в себе решетку всех точек с целочисленными координатами: Л Э Р.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 Решетчатой кубатурной формулой с решеткой узлов Л называется кубатурная формула

(9)

}=1

множество узлов которой составляют все точки решетки Л, принадлежащие Т„, т.е.

{1(1>1...,1<*1} = АПТ„.

Для числа узлов решетчатой кубатурной формулы (9) справедливо равенство

ЛГ = с^ (Л"1"),

где Лх — решетка, дуальная к Л. Всякая решетчатая кубатурная формула (9) может быть записана в виде

/1—1 За —1

где и (1 ^ £ ^ сг) — некоторые натуральные числа и целочисленные векторы соответственно, причем N — N1... N0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Наименьшее возможное значение а в записи (10) называется рангом решетчатой кубатурной формулы (9).

Задача III. Для данного ¿ описать все решетчатые кубатурные формулы (9), обладающие тригонометрическим ¿-свойством и имеющие при этом минимально возможное число узлов N.

Задача П^. Для данного ¿ дать примеры решетчатых кубатурных формул (9), обладающих тригонометрическим ¿-свойством и имеющих при этом минимально возможное число узлов N.

Задача НЬ. Для данного ¿ дать примеры решетчатых кубатурных формул (9), обладающих тригонометрическим ¿-свойством и имеющих число узлов N, близкое к минимально возможному.

Отметим, что особый интерес представляет решение этих задач в классе решетчатых кубатурных формул определенного ранга (например, ранга 1).

Второй параграф начинается с хорошо известного критерия, позволяющего определить, обладает ли решетчатая кубатурная формула тригонометрическим ¿-свойством.

Обозначим через Хп стандартный гипероктаэдр в К" радиуса 1 с центром в начале координат, т.е.

Хп = {х е К" : \\х\\ < 1},

где ||а;|| = |х1| + ... + \хп\ — норма вектора х = (гсх,..., х„) £ К".

ТЕОРЕМА 8. Решетчатая кубатурная формула (9) с решеткой узлов Л обладает тригонометрическим ¿-свойством тогда и только тогда, когда решетка М = Лх является допустимой для гипероктаэдра

(ё + 1)Хп = {г £ К" : ||х|| < ¿ + 1}. (И)

Решетка М называется допустимой для множества X С К", если X содержит самое большее одну точку решетки М — точку (0,..., 0). Приведенный критерий открывает путь к применению фактов геометрии чисел, оперирующих понятием критического определителя.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Критическим определителем множества X С К" называется величина

ДрО = т£е1е1;(М),

где нижняя грань взята по всем решеткам М, допустимым для X. Решетка Мс называется критической для множества X, если

Д(Х) = сЩМс).

Решение поставленных задач о решетчатых кубатурных формулах оказывается тесно связанным с решением задачи о вычислении критического опре-

делителя гипероктаэдра. Основанием к этому служит следующий факт: точная нижняя граница для числа узлов решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ¿-свойством, имеет вид

(ДрСп)+о(1))(Л + 1)п, <|-4оо.

Кроме очевидного случая п = 2, точное значение Д(Х„) известно только при п — 3. А именно, как показал Г. Минковский в 1904 году,

Основной результат параграфа — найденный методом «малых шевелений» пример экстремальной (т.е. локально критической) решетки для гипероктаэдра в К4.

Теорема 9. Решетка М(е-о), заданная матрицей

' 1 + Зе0 1 + Зе0 2 - 2е0 2 - 2е0 "

-7-е0 2 — 2е0 -4 6 + 2е0

6-2е0 6-2е0 -6 - 2е0 -2 + 2е0 '

-2 + 2е0 7 + ео 4 -6 - 2е0.

является экстремальной решеткой для гипероктаэдра

X = {х 6 К4 : |И| < 16}. (12)

Здесь ео » —0.04795 — корень уравнения еъ — Зе2 — 21е -1 = 0.

Одним из следствий теоремы 9 является новая оценка для критического определителя гипероктаэдра в К4!

0.05051.

В третьем параграфе приводится окончательное описание в двумерном случае всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством, начатое в пятом параграфе первой главы Применяемая здесь техника приведенных базисов решеток оказывается эффективной не только в рассматриваемой ситуации, но и в несколько более общей — при описании почти минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством. Необходимость в изучении таких кубатурных формул возникает, например, в связи с практической реализацией одного варианта дискретного преобразования Фурье.

В{е о) =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть М С К2 — произвольная решетка. Если ц € М — один из кратчайших ненулевых векторов, а иг £ М - один из кратчайших векторов, неколинеарных вектору а>ь то система {0/1,0/2} называется приведенной системой векторов решетки М.

Здесь термин «кратчайший» означает наименьший по норме ||а:|| = |®1| + Ы, х = (яъ^г) €

ЛЕММА 1. Среди приведенных систем векторов решетки М найдется хотя бы одна, являющаяся базисом этой решетки

С точностью до геометрической эквивалентности можно дать следующее описание всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством.

ТЕОРЕМА 10. При й = 2к существует единственная минимальная решетчатая кубатурная формула с тригонометрическим ¿-свойством (вида (6) с параметрами (8)). При ¿ = 2fe+1 минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим ¿-свойством исчерпываются теми, для которых дуальные к решеткам узлов решетки имеют базис вида

Ь\ = (к + 1, —к — 1), Ь2 = {8 + к + 1,-з + к + 1), (13)

где в — целое число, 0 ^ я ^ к.

Отметим, что при ¿=2к+1 указанные в теореме 10 минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим ¿-свойством будут иметь ранг 1 тогда и только тогда, когда НОД (я, А: + 1) = 1.

Четвертый параграф является наиболее важным с идейной точки зрения. Здесь излагается простой и в то же время эффективный подход к задаче построения так называемых серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(&)-свойством. Как результат, в п-мерном случае легко предъявляется вполне конкретная серия решетчатых кубатурных формул ранга 1, коэффициент эффективности которой существенно больше, чем в ранее известных примерах подобного типа. В предлагаемом способе построения серий предусмотрена возможность оптимизации, что позволяет для конкретных значений 3 получать еще более качественные результаты.

Пусть К — бесконечное множество натуральных чисел, ¿(к) — линейное относительно к выражение, принимающее неотрицательные целые значения при всех к £ К.

В традиционном понимании фраза «на множестве К задана серия решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(k)-свойством» означает выполнение следующих условий.

а) Серия состоит из решетчатых кубатурных формул вида (6), при этом число узлов N, а также компоненты порождающего вектора р = (pj,.. ■ ,Рп) суть некоторые функции параметра к, пробегающего множество К:

N = N{k), р,=р.(к) (1 ^ s < п), (14)

причем НОД (pi(fc), • • • ,рп(к), N(k)) = 1 для всех к & К.

б) При любом фиксированном к = ко € К указанная кубатурная формула обладает тригонометрическим ¿(/^-свойством.

В качестве функций N(k) и р3(к) (1 ^ s < п) обычно используются многочлены с целыми коэффициентами, причем

degN(k) = п, degps(&) ^ n — 1 (l^s^n)

и pt(k) (1 ^ s ^ п) линейно независимы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Коэффициентом эффективности серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(&)-свойством называется предельное значение коэффициентов эффективности

{¿(к) +1)" Щк)

кубатурных формул из серии при к оо (к € К).

Известные ранее методы отыскания «хороших» функциональных зависимостей (14) основывались на многозатратных компьютерных экспериментах и были, как правило, полуэвристическими. В случае n ^ 4 серии, полученные такими методами, имели относительно небольшой коэффициент эффективности. Далее излагается суть нового подхода к построению серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(А;)-свойством и высоким коэффициентом эффективности

Для произвольной решетки McZ" через d(M) будем обозначать наибольшее целое неотрицательное число d, удовлетворяющее условию: решетка М является допустимой для гипероктаэдра (11). Из теоремы 8 следует, что число d(М) есть тригонометрическая степень точности решетчатой кубатурной формулы с решеткой узлов Л = М1.

Пусть В, С — некоторые фиксированные целочисленные квадратные матрицы п-го порядка, причем det (В) ф 0 Выберем число ко так, чтобы

det {кВ + С)ф О

для всех к > ко-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Скажем, что при целых к > к0 задана серия S решетчатых кубатурных формул с решеткой узлов Л*, если Л^ = где решетка Мь определяется матрицей кВ + С.

Базовой для серии S будем называть решетчатую кубатурную формулу с решеткой узлов Л = Мх, где решетка М задана матрицей В. Тригонометрическую степень точности к-й решетчатой кубатурной формулы из серии S — число d(Mjt) — можно оценить следующим образом. Положим

do = d(M)

и пусть ■ф — линейное преобразование пространства Ж" с матрицей СВ~1,

№11 = sup ||V(x)||. »«11=1

Справедливо следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть D — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

£>>(db + l)№||. Тогда при всех к > 11V !1 имеет место оценка

(do + 1)* - D - 1 si d{Uk) ^(do + l)k + D-l.

В частности, коэффициент эффективности серии 5 будет таким же, как и у базовой решетчатой кубатурной формулы. Подбирая подходящим образом последнюю, можно построить серии S с достаточно большим коэффициентом эффективности. При этом свобода в выборе матрицы С позволяет получать серии с некоторыми дополнительными свойствами.

Укажем, например, способ построения в n-мерном случае серий, состоящих только из решетчатых кубатурных формул ранга 1. Положим

' 0 0 ... 0 0 -1'

-1 0 ... 0 0 0

С = 0 -1 ... 0 0 0

• 0 0 ... -1 0 0

0 0 ... 0 -1 0.

и рассмотрим в качестве базовой решетчатую кубатурную формулу вида (6) с числом узлов № и порождающим вектором

где = 1 и 1 ^ р° < № (1 ^ s < п - 1). Взяв теперь

" 1 0 .. 0 0 "

0 1 .. 0 0

0 0 .. 1 0

-PÍ Pi ■■ - -Рп-1 N\

получим серию S решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим ¿(^-свойством, где

d{k) = {do + 1 )к - n(do + 1) - 1,

заданную при всех к > п Число узлов и компоненты порождающего вектора к-й кубатурной формулы из серии S таковы:

п

N(k) = №кп - EPifcn_t. t=i

n-»+l

Ps(k) = £ rf-H-i*""' í1 < s < »)•

t=i

Если, в частности, положить

р° — (2п — 1,2п — 3,..., 1), ЛГ = 4п,

то do = 3 и коэффициент эффективности серии S в этом случае будет равен 4"-1/п.

В пятом параграфе найдены наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(k)~свойством для трехмерного случая. Этот результат является одним из основных результатов данной главы и дает наиболее полное представление об эффективности применяемых методов геометрии чисел. Отметим, что отправным пунктом здесь оказывается точное значение критического определителя Д(Хз), при этом существенно используется факт рациональности критических решеток для октаэдра

Рассматриваются серии S решетчатых кубатурных формул в смысле определения 10. Пусть

d{k) = 6fc + г,

где г — вычет по модулю 6. Ставится следующая задача: для каждого г найти серию с тригонометрическим ¿(/с)-свойством, которая имела бы «мини-

мальное» число узлов iV'mm'(/c). Термин «минимальное» понимается так: для числа узлов N(k) любой серии S с тригонометрическим ¿(^-свойством имеет место неравенство

JV(jfc) > N(min)(k),

как только к достаточно велико. Серии £(mm' далее называются наилучшими по числу узлов (имеется в виду: наилучшие среди прочих серий)

ТЕОРЕМА 11. Фиксируем вычет г е {—4, —3, —2, —1,0,1} и предположим, что при к > ко задана серия S с тригонометрическим ¿(^-свойством. Тогда для всех достаточно больших к справедливо неравенство

N{k) = |det (кВ + С)| ^ Ar<min)(fc),

где выражение N^mm\k) в зависимости от г указано в таблице 1. Наилучшие по числу узлов серии St™™) заданы при к ^ 1 и получаются, если взять

"-2 3 1" ~Xi хз

в = 1 -2 3 , с = Vi У2 Уз

3 1 -2 Z2

(элементы матрицы С в зависимости от г см. в таблице 1).

ТАБЛИЦА 1. Параметры наилучших по числу узлов серий 5'min).

г Xi Х2 Хз 2/1 У2 Уз Z\ Z2 Z3

-4 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 З&к3 - 51 к2 + 24к - 4

-3 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 0 38fc3 - 38F + 14А: - 2

-2 1 0 -1 0 0 0 0 -1 0 38к3 - Ш2 + 4к

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 38Jfc3

0 -1 1 0 -1 0 1 1 0 0 38 fc3 + 25k2 + 8к + 1

1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 38 fc3 + 38fc2 + 14* + 2

Разность между и точной нижней границей для числа узлов ре-

шетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ¿-свойством, где й — <1(к), можно оценить следующим образом:

AN(d) ^ ЛГ<тш>(А;) - Д(Х3)(6*: + г + I)3 = \ О если г нечетно,

\0(<?),

если г четно.

Решетчатые кубатурные формулы из серий £(тт) имеют ранг 1 во всех случаях, кроме г = -1 и г = -4 (при четных к). В этих случаях указываются дополнительные серии 5(юш+)1 ближайшие по числу узлов к наилучшим и состоящие только из решетчатых кубатурных формул ранга 1.

В шестом параграфе построены примеры серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(£)-свойством при п — 4 По коэффициенту эффективности эти серии являются наилучшими из известных на данный момент. Следует подчеркнуть, что полученные здесь результаты не могут быть окончательными — хотя бы по той причине, что указанная во втором параграфе экстремальная решетка для гипероктаэдра в К4 является иррациональной. Именно эта экстремальная (и, что не исключено, даже критическая) решетка может служить источником новых результатов в этом направлении.

Для построения серий при п = 4 используется матрица

В =

11 2 2'

-7 2-4 6 6 6-6-2

-2 7 4 -6

обладающая тем свойством, что решетка М с такой матрицей допустима для гипероктаэдра (12) (отметим, что матрица В(_е), фигурирующая в формулировке теоремы 9, получена «малым шевелением» именно этой матрицы В). Таким образом, базовая решетчатая кубатурная формула имеет коэффициент эффективности

л = —— и 19.78. (15)

с^ (М) 3312 к '

Процедура построения серий состоит в следующем. Положим

й(к) = 16А: + г,

0 0 -1 -1'

3 -2 2 -2

-3 -2 2 1

0 -2 -1 2

где 1— вычет по модулю 16, и для данного г выберем целочисленную матрицу С так, чтобы

~ г + 1 „

При соблюдении некоторых дополнительных ограничений на элементы матрицы С получим искомые серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿(&)-свойством и коэффициентом эффективности (15). Для каждого вычета г € {—14, —13,..., 0,1} приводится соответствующая «оптимальная» (в определенном смысле) матрица С. Все предъявленные серии оказываются заданными при всех к ^ 1.

ПРИМЕР 1. Пусть г - -7, т.е. ¿{к) = 16к - 7. Тогда

С =

при этом N{k) = I det (кВ + С)\ = 3312&4 - ШОк3 + 2802fc2 - 704fc + 66.

В седьмом параграфе рассматривается возможность применения решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством к многомерному дискретному преобразованию Фурье. Предлагается некоторый вариант такого преобразования и обсуждаются различные аспекты его практической реализации в двумерном случае (в частности, описываются некоторые конкретные вычислительные эксперименты).

Третья глава носит название «Решетчатые кубатурные формулы на пространствах функций с доминирующей производной» и состоит из трех параграфов. В этой главе объектом изучения являются решетчатые кубатурные формулы на пространствах W^^'4^ (Л) периодических функций с доминирующей производной.

Первый параграф имеет вспомогательный характер. Здесь сообщаются необходимые определения и факты, относящиеся к геометрическому методу в теории алгебраических чисел (в частности, излагается способ решения так называемых норменных уравнений, основанный на теореме Дирихле о единицах).

Пусть Л — решетка в R", заданная матрицей А. Для s > \ определим пространство W2(i,M)(A) как пространство периодических с решеткой периодов Л

функций

/ : Rn -> С, f{x) = w<* exP (2m(a> aez»

имеющих конечную норму

11/11 = (jjfl(l + da)'il(l + bly/2f(x)\2dxy2.

Здесь П — фундаментальный параллелепипед решетки Л,

я-i-A 1 ( д2 д2 \

da 2п дХа 6 +

причем п = р + 2д. Норма также может быть задана формулой

/ Р Я , v 1/2

- (det (Л) ^Г^ |wa|2 JJ(1 + JJ(1 + Wp+2b-i + Рр+2ь)2)' J -^ aez- o=l '

где /3 = Ba, В — матрица дуальной решетки Лх.

Во втором параграфе исследуется асимптотика при h О нормы функционала погрешности I/, решетчатых кубатурных формул вида

J f{x)dx » det (A)hnJ2f(^]) (16)

на пространствах

VF2("'m)(A) Суммирование в (16) распространено на все точки х^' решетки ЛЛ, попавшие в П; h — шаг решетки узлов — предполагается таким, что Я-1 есть натуральное число Для неизотропных по гладкости пространств (Л) представляет интерес следующая

Задача IV. Указать решетки Л, обеспечивающие наибольший порядок стремления к нулю нормы при h—tO.

Оценка нормы сводится к оценке величины

S(h, м,.) = + *i)> UlJ4 + +

где М = Лх. Основные результаты параграфа относятся к оценке S(h, М, s) в случае, когда решетка М имеет «алгебраическое» происхождение.

Пусть ШТ — полный модуль в поле алгебраических чисел Я = <О>(0), где в — корень неприводимого над (¡3 многочлена степени п, среди корней которого имеется в точности р вещественных и д пар комплексно сопряженных, так что п =р Л-Обозначим через Э кольцо множителей модуля 9И, а через % — группу всех корней из единицы, содержащихся в 5).

ТЕОРЕМА 12. Если М — решетка, изображающая в пространстве К" модуль Ш, то для 5(?1, М, в) при к —¥ 0 справедлива оценка

М,.) = ^ £ ^ (1п Л"1)» + 0((1п Л"1)-1), (17)

С=1

где и — р + д— 1, й = Д — регулятор Э, <Э(с) — число попарно неассоци-ированных решений норменного уравнения |ЛГя(/г)| = с (ц £ ЮТ).

Решетки М, указанные в теореме 12, гипотетически приводят к решению задачи IV (следует положить Л = М1). Эта гипотеза верна по крайней мере при р = п, д = 0, что можно доказать, например, методом Бахвалова.

В третьем параграфе приводятся некоторые дополнительные результаты, связанные с оценкой 1, М, в) в случае р — 2, д = 0. Для их формулировки и доказательства используются понятия и факты теории диофантовых приближений (в частности, понятие плохо приближаемого вещественного числа) Пусть М^, — квадратная решетка в плоскости К2 с базисом

¿1 = (совф, вшф), Ъг = (— зтф, соъф),

где 0 < ф < 7г/4. Требуется указать решетки М^, для которых сумма

имеет наименьший возможный порядок роста при Ь. —> 0. Обозначим 9 — Ь^ф, так что 0 < в < 1. Тогда

для некоторых констант С\, Сг, зависящих только от в (символ (а) обозначает расстояние от числа а до ближайшего целого числа). Следовательно, задача сводится к исследованию суммы

ТЕОРЕМА 13. Справедлива оценка

S{h,e,s) > Cjin/i"1,

где Сз — константа, зависящая только от s Если в — плохо приближаемое число, то

S{h,9,s) «5 Ciln/T1, где Ci — константа, зависящая только от в и s.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Осипов H.H. О минимальных кубатурных формулах данной тригонометрической точности в 2-мерном случае // Кубатурные ф-лы и их прилож. Уфа: ИМВЦ УНЦ УрО РАН, 1996. С. 52-60.

2. Осипов H.H. О семействах минимальных кубатурных формул четной тригонометрической точности в 2-мерном случае // Кубатурные ф-лы и их прилож. Уфа: ИМВЦ УНЦ УрО РАН, 1996. С. 61-63.

3. Носков М.В., Осипов H.H. Минимальные приближенные представления линейных функционалов, точные на алгебраических многочленах // Кубатурные ф-лы и их прилож. Улан-Удэ: ВСГТУ, 1997. С. 57 — 75.

4. Верба М.С., Осипов Н Н. О воспроизводящих ядрах шара // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ:~ 1999 Т. 39. № 2 С. 204 — 207.

5. Осипов H.H. О воспроизводящих ядрах шара // Вопросы матем. анализа. Красноярск' КГТУ, 1999. Вып. 3. С 118-128.

6. Осипов H.H. Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул нечетной тригонометрической степени // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы V Междунар. семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 137-140.

7. Осипов H.H. Оценка некоторых сумм по плоским решеткам // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Ч. IV. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000. С. 53-56.

8. Кашкин В.Б., Носков М.В., Осипов H.H. Вариант дискретного преобразования Фурье с узлами на параллелепипедальных сетках // Журн. вычисл. матем. и матем. физ 2001. Т. 41. № 3. С. 355 — 359.

9. Осипов H.H. Симметрия узлов и коэффициентов минимальных кубатур-ных формул с тригонометрическим d-свойством при нечетном d. // Методы вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. Вып. 19. С. 166 — 171.

10. Осипов H.H., Петров A.B. Серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах от трех переменных // Кубатурные ф-лы и их прилож VI Междунар семинар-совещание. Уфа: ИМ-ВЦУНЦ УрО РАН, БГПУ, 2001. С. 91-95.

11. Осипов H.H. О построении серий решетчатых кубатурных формул ранга 1, точных на тригонометрических многочленах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. JÍ» 11. С. 1628-1637.

12. Kashkin V.B., Noskov M.V., Osipov N.N. Application of Latticed Cubature Formulas to 2D Discrete Fourier Transform // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. V. 12. № 4. P. 397-399

13. Осипов H.H. Оценка некоторых сумм по n-мерным решеткам // Куба-турные ф-лы и их прилож. Труды VI Междунар. семинара-совещания. Уфа: ИМВЦУНЦ УрО РАН, БГПУ, 2002. С 127-134.

14. Осипов H.H. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы VII Междунар. семинара-совещания Красноярск- ИПЦ КГТУ, 2003. С. 111-118.

15. Осипов Н.Н Оценка некоторых сумм по плоским решеткам // Кубатурные ф-лы и их прилож Материалы VII Междунар. семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 105-111.

16. Носков М.В., Осипов H.H. Минимальные и почти минимальные решетчатые кубатурные формулы ранга 1, точные на тригонометрических многочленах двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики. 2004. Т. 7. №2. С. 125-134.

17. Осипов H.H. Асимптотика нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах W¡S™\A) И Вычислительные технологии. 2004. Т. 9 С 95—101

18 Осипов Н.Н, Петров А. В Построение серий решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах четырех переменных // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. С. 102 — 110.

19. Осипов H.H. О минимальных кубатурных формулах с тригонометрическим d-свойством в двумерном случае // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 8-16.

20 Осипов H.H. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 2. С. 212-223.

Тираж 100 экз Заказ № 69. Отпечатано в типографии КГТУ 660074, Красноярск, ул Киренского, 26

РНБ Русский фонд

2005-4 41973

/

\ : 19 МАЙ 2005

Введение.

§1. О содержании диссертации

§2. Об обозначениях

1. Метод воспроизводящего ядра и минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством.

§1. Воспроизводящее ядро функционального пространства со скалярным произведением

§2. Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством.

§3. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством

§4. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим d-свойством при п —

§5. О минимальных решетчатых кубатурных формулах с тригонометрическим ^-свойством при п =

§1. О содержании диссертации

Проблема приближенного вычисления интегралов привлекает к себе внимание математиков уже несколько столетий и, по-видимому, еще долго будет актуальной ввиду как бесконечного разнообразия подынтегральных функций, так и весьма широкого круга постановок задач приближенного интегрирования. Эти задачи находятся, как правило, в русле трех направлений. Первое из них характеризуется построением кубатурных формул (т.е. правил приближенного интегрирования), точных на некотором конечномерном классе функций, при этом на число или расположение узлов кубатурных формул накладываются те или иные ограничения. Второе направление включает в себя изучение нормы функционала погрешности кубатурной формулы в предположении, что рассматриваемый класс интегрируемых функций представляет собой некоторое банахово пространство (обычно кубатурная формула зависит от малого параметра, а изучается поведение нормы ее функционала погрешности при стремлении этого параметра к нулю). Третье направление связано с методами Монте-Карло, в основе которых лежит моделирование случайных величин, а также с методами, использующими различные равномерно распределенные последовательности неслучайных точек (например, ЛПГ последовательности Соболя [91]).

Основное внимание в диссертации уделено первому направлению, причем в качестве класса функций выбрано множество тригонометрических многочленов, степень которых ограничена некоторой фиксированной величиной (вообще говоря, произвольной). Частично затронуто и второе направление, а вот третье по существу осталось за рамками настоящей работы (здесь мы отсылаем заинтересованного читателя к соответствующей литературе, например [4], [92], [25], [37], [38]).

Основная задача, решаемая в диссертации, заключается в построении и исследовании кубатурных формул, точных на указанном классе функций, причем число узлов искомых кубатурных формул либо минимально, либо не слишком сильно отличается от минимального. Выбор такого класса подынтегральных функций связан с исключительно важной ролью, которую играют вопросы приближенного интегрирования периодических функций как в самой теории кубатурных формул, так и в различных ее приложениях (например, в задачах обработки изображений, томографии и т.д.).

В теории приближенного вычисления интегралов естественным образом возникает вопрос об оценке качества конструируемых кубатурных формул. Под кубатурной формулой обычно понимают приближенное равенство г N /ОФМ dx^Y] Cjf{x{:i)),

Jn j=l где x^ и Cj — соответственно узлы и коэффициенты кубатурной формулы, Q — область интегрирования, f(x) — интегрируемая функция, р(х) — фиксированная функция, называемая весовой. Существуют различные критерии качества кубатурной формулы, удовлетворить которые можно за счет соответствующего выбора параметров кубатурной формулы — ее узлов и коэффициентов.

Например, можно исходить из требования точности кубатурной формулы на всех функциях из некоторого конечномерного пространства функций (скажем, пространства алгебраических или тригонометрических многочленов степени не выше данной). Согласно этому критерию, кубатурная формула считается тем лучшей, чем большей является размерность пространства функций, на которых кубатурная формула точна. Дополнительное и естественное с практической точки зрения требование минимальности числа узлов N делает задачу построения таких кубатурных формул вполне содержательной. Эта оценка качества кубатурных формул восходит к К. Ф. Гауссу (1777 — 1855), исследовавшему вопрос о построении квадратурных формул (правил приближенного интегрирования функций одной переменной), дающих точный результат на любом алгебраическом многочлене, степень которого не превосходит заданной величины.

Можно также требовать, чтобы кубатурная формула обеспечивала некую гарантированную оценку погрешности на всех функциях из данного бесконечномерного банахова пространства. С этой точки зрения лучше та кубатурная формула, у которой норма функционала погрешности определяемого равенством N lj)= [ f(x)p(x)dx-J2Cjf(x^)

J n j^i I имеет меньшую величину (т.е. кубатурная формула тем лучше; чем меньше по абсолютной величине значение ее функционала погрешности на «наихудшей» функции из пространства). Такого взгляда придерживался в своих исследованиях С. JI. Соболев (1908 — 1989), один из создателей современной теории кубатурных формул, и его ученики (см. [13], [78], [80], [101]). Мы будем рассматривать кубатурные формулы вида N f(x)p(x)dx^Y/Cjf{x^), (0.1)

0,1)" j=1 причем преимущественно при р(х) = 1, и говорить об их точности на тригонометрических многочленах — линейных комбинациях функций (так называемых тригонометрических одночленов) fQ(x) = ехр (27гг(а, х)), х = (xh .,хп) е Rn, где i = v^—1 — мнимая единица, а = (ац,., ап) Е Zn и а, х) = OL\XI + . + апхп.

Степень тригонометрического одночлена fa(x) есть число

Н| = |ai| + . + |аг„|; степень тригонометрического многочлена определяется стандартным образом.

Будем говорить, что кубатурная формула (0.1) обладает тригонометрическим ^-свойством, если она точна для всех тригонометрических многочленов /(ж), степень которых не превосходит d. Тривиальным примером такой ку-батурной формулы является п-я декартова степень квадратурной формулы прямоугольников: sty)- (0-2)

0,1)"

Здесь N = (d + 1)п.

Число узлов N кубатурной формулы с тригонометрическим ^-свойством не может быть меньше некоторой величины No(d), которую обычно называют нижней границей Мёллера (по аналогии с алгебраическим случаем, см. работу X. Мёллера [121]). Кубатурную формулу (0.1) с тригонометрическим ^-свойством и

N = N0(d) принято называть минимальной. Нижняя граница Мёллера является априорной, ориентировочной границей, поэтому существование минимальных ку-батурных формул не гарантируется (см. пример 1.6).

При п = 1 минимальные квадратурные формулы совпадают с квадратурными формулами наивысшей тригонометрической точности и хорошо изучены (см., например, [36]). Для произвольной неотрицательной весовой функции р(х) простую методику построения таких квадратур указал И. П. Мысов-ских в [40]. Здесь впервые был применен так называемый метод воспроизводящего ядра (об этом методе для алгебраического случая см. в монографии [39]), что позволило, в частности, установить для случая р(х) = 1 единственность минимальных квадратурных формул (с точностью до сдвигов множества узлов по модулю 1).

Отдельные результаты о кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов степени не выше d, имеются в хорошо известных монографиях [32], [89]. Однако впервые постановка задачи о построении минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством была осуществлена в работе М. В. Носкова [51] (депонированный вариант [50]). Здесь же была вычислена нижняя граница Мёллера No(d) и в двумерном случае найдены первые примеры минимальных кубатурных формул для произвольного нечетного d. Последовавшие затем работы Мысовских [41 — 43], [47 — 49], Носкова [52 — 56], [60], [61] (последние две — в соавторстве с А. Р. Семеновой), А. В. Резцова [83], Семеновой [87], а также ряда зарубежных авторов (см., например, [105], [106], [110]), продолжили это направление и ставили своей основной задачей получение минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, либо достаточно близких к ним по числу узлов.

Такую же цель преследовал и автор диссертации в большей части своих работ (см. [63 — 65], [67 — 69], [71], [74], [75]), а также в работах, выполненных совместно с А. В. Петровым [76], [77] и Носковым [58], [59].

Среди перечисленных выше работ других авторов выделим те, которые явились, на наш взгляд, этапными (см. также недавно вышедшую обзорную статью [62]). Все они, за одним исключением, относятся к случаю р(х) = 1.

Прежде всего отметим работу [53], где предъявлены в двумерном случае минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим ^-свойством для любого четного d. Вместе с аналогичными примерами для нечетных d они до сих пор вызывают интерес (см., например, одну из недавних работ [128]).

За ней, несомненно, следует работа [43] (подробный вариант заметки [40]), в которой метод воспроизводящего ядра впервые был приспособлен к тригонометрическому случаю (хотя это и было сделано только лишь при п = 1). Это обстоятельство оказалось исключительно плодотворным. С помощью метода воспроизводящего ядра в 1996 году независимо были получены похожие результаты в работе [110] и в работе автора [63]. В первой из них в двумерном случае было указано некоторое семейство минимальных кубатурных формул для любого нечетного d, а во второй не только сделано то же самое, но и дополнительно показано, что этим семейством, по существу, и исчерпывается все множество рассматриваемых минимальных кубатурных формул. Этот последний результат является главным в первой главе диссертации. Для его получения пришлось существенно развить метод воспроизводящего ядра в тригонометрическом случае. Компактное и в то же время наиболее полное и последовательное изложение этого метода занимает большую часть указанной главы. В частности, здесь дано простое и естественное доказательство гипотезы Мысовских (см. [47], [48]) об узлах и коэффициентах минимальной кубатурной формулы с тригонометрическим d-свойством при нечетном d в случае симметричной весовой функции р(х).

Отметим, что задача описания в двумерном случае всех минимальных кубатурных формул для произвольного четного d до сих пор не решена. Известно только (см. [120]), что для d ^ 30 такие кубатурные формулы могут быть только решетчатыми ранга 1, а значит, исчерпываются кубатурными формулами из работы [53].

О существовании минимальных кубатурных формул с тригонометрическим с?-свойством при п ^ 3 известно значительно меньше, чем в двумерном случае; вероятно, они существуют лишь в редких ситуациях (примеры см. в третьем параграфе первой главы). По ряду причин имеет смысл сосредоточиться на изучении так называемых решетчатых кубатурных формул, наиболее важным примером которых считаются кубатурные формулы Н. М. Коробова (вида (0.1), см. далее), использующие параллелепипедальные сетки узлов [32]. Решетчатые кубатурные формулы являются естественным аналогом сферических дизайнов (обобщение квадратурных формул Чебышёва на случай интегрирования по поверхности сферы) и наиболее перспективны в плане приложений. Как теоретический, так и практический интерес представляет круг задач, связанных с построением решетчатых кубатурных формул произвольно большой тригонометрической степени точности, имеющих приемлемое (близкое к минимально возможному и в идеале — минимальное) число узлов. Здесь, как нам кажется, вполне можно говорить о новом векторе исследований в рамках принятого направления.

В следующей этапной работе [54] объектом исследования являются кубатурные формулы вида /(*)<**« Е/ ({#})• (°-3)

0,1)" -7"1 где р — некоторый целочисленный вектор, называемый порождающим; фигурные скобки обозначают взятие дробных частей от всех компонент вектора. Такие кубатурные формулы называются решетчатыми ранга 1. Предложенная в [54] методика построения кубатурных формул такого вида, имеющих сколь угодно большую тригонометрическую степень точности, заключается в следующем. Сначала нужно построить значительное количество кубатурных формул не слишком большой степени точности d, но с достаточно малым числом узлов. Затем, проанализировав параметры найденных кубатурных формул (в данном случае это число узлов и компоненты порождающего вектора), можно попытаться представить их как некоторые функции переменной степени точности d. При правильном угадывании функциональных зависимостей таким способом могут быть обнаружены бесконечные серии решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим с?(&)-свойством (к — параметр серии). Это особенно хорошо удается сделать в случае, когда выбираемые для численных экспериментов значения d принадлежит одному классу вычетов по некоторому модулю т (в работах [54], [61], например, т = 4).

Этот метод построения серий обладал по крайней мере двумя недостатками (помимо того, что был полуэвристическим и подразумевал существенное привлечение интуиции исследователя). Первый состоял в том, что построение кубатурных формул вида (0.3) заданной тригонометрической степени точности d с наименьшим или близким к нему числом узлов фактически осуществимо только методом полного перебора. Уже при сравнительно малых значениях d даже при п = 3 это оказывается практически неразрешимой проблемой. Второй недостаток связан с самой формой записи решетчатой кубатурной формулы ранга 1 — в виде (0.3), удобном скорее для практического использования, чем для теоретического поиска закономерностей. Отметим, что подобные недостатки характерны и для другой методики построения серий, предложенной в работе [60] и реализованной при п = 4 в [61] и при п = 5 в [87].

Тем не менее в случае п = 3 путем численных экспериментов удалось построить примеры серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим с£(/с)-свойством и асимптотически минимальным числом узлов, где d(k) = вк- 1 см. работу [76], которую тоже можно отнести к разряду этапных — в силу принципиальной новизны предложенного там обоснования корректности построенных серий). Несколько позже аналогичные серии были найдены и для всех остальных классов вычетов по модулю 6, но уже, разумеется, при помощи совершенно иных идей (см. ниже).

Толчком к возникновению новых идей, к изложению которых мы сейчас переходим, для автора послужила работа [108], в которой для решения одной частной задачи теории решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах, привлекались некоторые понятия из геометрии чисел (см. монографию [28]). Одним из основателем этого раздела теории чисел считается Г. Минковский (1864 — 1909). Именно ему, по существу, и принадлежат те классические идеи, которые мы сумели приспособить для решения задач указанного выше направления.

Вообще привлечение теоретико-числовых методов — далеко не редкое явление в приближенном интегрировании периодических функций, но раньше это в основном касалось вопроса о построении кубатурных формул, пригодных для так называемых классов функций с доминирующей производной. Данному вопросу посвящена весьма обширная литература (как российская, так и зарубежная), но мы лишь укажем на приоритетные в этой области работы Коробова и Н. С. Бахвалова, а также на некоторые работы их учеников К. К. Фролова, В. А. Быковского, Н.М. Добровольского (см. список литературы; более подробную библиографию можно найти в [33] — расширенном втором издании монографии [32]). Бывает и так, что использование теоретико-числовых фактов в приближенном интегрировании попросту необходимо. Например, в теории кубатурных формул С. J1. Соболева естественным образом возникает потребность в наиплотнейших решетчатых упаковках шаров (см. [16]). Имеется, конечно, и обратная связь: исследования по куба-турным формулам могут привести к содержательным теоретико-числовым задачам (укажем в качестве таковой задачу Соболева — Ранкина, решением которой занимался С. С. Рышков [84]).

Следует отметить, что наиболее близкой к вопросам, рассматриваемым в диссертации, и, по-видимому, одной из самых первых работ подобного рода оказалась работа [95], написанная еще в 1977 году. В ней уже угадывались некоторые аспекты современного подхода к проблемам, затронутым в диссертации. В частности, было приведено общее понятие решетчатой кубатурной формулы, которое затем в несколько ином и каноническом для нас виде появилось в работе [123].

Пусть А — некоторая решетка интегрирования, т.е.

Под решетчатой кубатурной формулой с решеткой узлов А мы далее понимаем кубатурную формулу множество узлов которой составляют все точки решетки А, принадлежащие [0,1)п. Эта конструкция является естественным обобщением кубатурных формул Коробова (0.3). О применении решетчатых кубатурных формул в приближенном вычислении кратных интегралов см., например, [124].

Привлечение идей из геометрии чисел в очерченный выше круг задач является, на наш взгляд, очень важным моментом. Прежде всего потому, что это

А э Zn. о,*.

0.4) позволяет дать новую и правильную (т.е. в определенном смысле неулучша-емую) нижнюю границу для числа узлов решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, которую можно назвать нижней границей Минковского Ni(d) и которая выражается через так называемый критический определитель А(Хп) стандартного гипероктаэдра xn = {х е Еп : ||ж|| < 1} см. второй параграф второй главы). При этом если п ^ 3, то, вообще говоря, имеет место неравенство

Ni(d) > N0(d).

Главная трудность, однако, состоит в том, что точное значение константы А(Хп) известно пока только при п = 3 (не считая почти очевидного случая п = 2). Название «нижняя граница Минковского» — не только дань уважения классику, но также и напоминание о весьма нетривиальном факте

Д№) = (0.5) установленном самим Минковским в 1904 году (см. его оригинальную работу [1191).

В случае п = 4 наилучшей оценкой для Д(ХП) до недавнего времени считалась указанная в [108] (она уточняла более известную оценку из [113]). Нам удалось несколько улучшить этот результат и, более того, указать экстремальную решетку для гипероктаэдра в R4. Последнее мы считаем одним из главных результатов второй (центральной во всех смыслах) главы диссертации. В перспективе найденная нами экстремальная решетка (претендующая также и на роль критической) сможет послужить источником хороших результатов по составлению таблиц наилучших по числу узлов четырехмерных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством.

В двумерном случае геометрические рассмотрения, основанные на понятии приведенного базиса решетки (идущего из геометрии положительных квадратичных форм, см. [20]), соответствующим образом нами модифицированного, позволили получить полное описание всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством. Этот и аналогичные результаты относительно почти минимальных решетчатых кубатурных формул мы считаем существенными, так как подобные кубатурные формулы могут быть важны для приложений (см., например, [112]).

Другой основной результат второй главы состоит в указании естественного и сравнительно простого в реализации подхода к задаче построения серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим £/(&)-свойством и высоким коэффициентом эффективности. Решетчатые кубатурные формулы вида (0.3) имели и до сих пор имеют первостепенное значение как в вопросах теории (см., например, [32], [33], [2]), так и в различных приложениях (например, к дискретному преобразованию Фурье [12], [29] и задачам обработки изображений [112]). Главное отличие предложенного нами подхода от всех предыдущих состоит в том, что построение серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 осуществляется на основе общей формы записи решетчатой кубатурной формулы (0.4), а не специфической (0.3).

При р(х) = 1 коэффициентом эффективности кубатурной формулы (0.3), обладающей тригонометрическим d-свойством, в работе [54] названа величина показывающая, во сколько раз меньше число узлов этой кубатурной формулы по сравнению с аналогичной простейшей кубатурной формулой (0.2). Если речь идет о серии кубатурных формул с тригонометрическим d(k)~свойством, то коэффициент эффективности определяется как предел таковых для кубатурных формул из серии. Разработанная нами новая методика построения серий решетчатых кубатурных формул ранга 1 в случае произвольной размерности имеет и конкретные результаты: так, например, предъявлена серия с коэффициентом эффективности 4п~1/п (см. четвертый параграф второй главы).

Наибольшего эффекта от использования методов геометрии чисел удалось I • достичь в случае п = 3. Во многом, но не во всем это можно считать следствием формулы Минковского (0.5). Отметим, что последняя достаточно часто цитировалась (см., например, [95], [83], а также некоторые недавние работы [108], [116], [118]), однако, как нам кажется, должного своего применения до сих пор не находила.

Новый подход при построений серий в сочетании с формулой (0.5) привел в трехмерном случае к наилучшим по числу узлов сериям 5(тш) решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим о?(&)-свойством, где d{k) = 6к + г, г — вычет по модулю 6 см. пятый параграф второй главы). Здесь термин «наилучшие по числу узлов» можно объяснить так. Если 7V(min)(/c) обозначает число узлов в серии g(mm) (вычет г фиксирован), а, N (к) — число узлов в произвольной серии S с тригонометрическим с/(&)-свойством, то

N(k) ^ N^Ma\k) для всех достаточно больших к. Поскольку априори N(k) и суть многочлены (третьей степени) от к, это условие можно выразить следующим образом: набор коэффициентов N(k) «лексикографически старше» набора коэффициентов N^mm\k). Разумеется, все серии gt"1111) автоматически оказываются сериями с асимптотически минимальным числом узлов. Отметим также, что они содержат в себе все ранее известные наилучшие по числу узлов решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим (/-свойством (за исключением случаев d = 4 и d = 6), найденные в результате многозатратного компьютерного поиска (см. таблицу 1 в работе [108]).

При некоторых значениях г (именно, при г = 1 и г = 3) возможное отклонение N^mm\k) от точной нижней границы всего лишь пропорционально к, т.е. весьма мало (грубо говоря, из 1000 = 103 узлов самое большее 10 могут быть лишними). Вполне можно допустить, что это отклонение на самом деле просто равно нулю.

Предложенный общий подход к построению серий дает неплохие результаты и в случае п = 4. Нам удалось построить серии решетчатых кубатурных формул с коэффициентом эффективности

164

3312 И 19'78'

Это почти на четверть больше, чем 16 — именно такой коэффициент эффективности имеют серии из работы [61] (последние были получены полуэмпирическими методами, кратко охарактеризованными нами выше). Этот результат мы также относим к основным во второй главе.

Теперь скажем несколько слов о результатах последней, третьей главы диссертации. В ней речь идет об оценке нормы функционала погрешности простейших решетчатых кубатурных формул в классах периодических функций с доминирующей производной. Следует отметить, что основные результаты этой главы — теоремы 3.1 и 3.2 — в другой форме были ранее получены соответственно Фроловым (см. [96], а также [33, гл. 6]) и коллективом соавторов во главе с Добровольским (см. [23]). Однако из-за определенного отличия в постановке задач наш способ доказательства представляется логически более простым и во всяком случае не требует большого количества вспомогательных утверждений технического характера (это относится в первую очередь к теореме 3.2). В принципе, эту главу можно было бы представить как дополнение к диссертации. Тем не менее, учитывая общий в диссертации объект исследования — кубатурные формулы для периодических функций — и преследуя полноту изложения материала, мы предпочли включить ее в основной текст.

Далее для удобства читателя приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

1. Первая глава посвящена главным образом исследованию минимальных кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством. Основным методом исследования является метод воспроизводящего ядра.

Первый параграф начинается с определения и общих свойств воспроизводящего ядра произвольного функционального пространства со скалярным произведением. В качестве основных функциональных пространств выступают конечномерные пространства алгебраических или тригонометрических многочленов нескольких переменных. Главное внимание уделяется вопросу об отыскании наиболее простой формы записи воспроизводящих ядер этих пространств, скалярное произведение в которых обычно задано при помощи интеграла с весовой функцией. Типичным примером такой записи в одномерном случае служит хорошо известная формула Кристоффеля — Дарбу.

Во втором параграфе появляется основной объект исследования — куба-турные формулы, обладающие тригонометрическим d-свойством. Ставится задача об описании кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством и минимально возможным числом узлов. Первым шагом в решении этой трудной задачи является почти столь же трудное установление точной нижней границы для числа узлов таких кубатурных формул. Естественным ориентиром здесь может быть нижняя граница Мёллера No(d).

В третьем параграфе рассматривается задача об описании минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством (т.е. таких, у которых число узлов совпадает с нижней границей Мёллера). Наиболее естественным, на наш взгляд, способом решения этой задачи является метод воспроизводящего ядра, позволяющий дать теоретически простые критерии существования минимальных кубатурных формул с тригонометрическим «/-свойством. Последовательное изложение этого метода и составляет основное содержание параграфа.

В четвертом параграфе приводится основной результат главы — полное описание в двумерном случае всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством для любого нечетного d (теорема 1.11). Это описание получено нами методом воспроизводящего ядра.

Последний, пятый параграф содержит описание (также в двумерном случае) всех минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-свойст-вом в специальном классе решетчатых кубатурных формул ранга 1, но уже для произвольного d (теорема 1.12). Как и выше, результат достигается применением метода воспроизводящего ядра. Кроме того, в конце параграфа на конкретном примере демонстрируется, как этот метод сделать пригодным и для описания решетчатых кубатурных формул ранга 1 с тригонометрическим (/-свойством и числом узлов, близким к нижней границе Мёллера (см. теорему 1.13).

Глава завершается приложением, в которое вынесены доказательства теорем первого параграфа о представлении воспроизводящих ядер конечномерных пространств алгебраических многочленов со скалярным произведением специального вида. Это представление описывается в терминах классических ортогональных многочленов одной переменной (многочленов Гегенбауэра) и может быть использовано при построении методом воспроизводящего ядра кубатурных формул с (алгебраическим) с?-свойством для приближенного вычисления интегралов по n-мерному единичному шару с весом (1 — |#|2)7.

2. Основным объектом исследования во второй главе являются кубатур-ные формулы с тригонометрическим d-свойством, расположение узлов которых имеет наиболее простую структуру — решетчатую. Нам представляется естественным применять здесь методы геометрии чисел — раздела теории чисел, изучающего точечные решетки (центральное понятие геометрии чисел) в их связи с геометрическими фигурами. Основными «рабочими» понятиями для нас являются понятие критического определителя и критической (а иногда и просто экстремальной) решетки данной геометрической фигуры. Определение тригонометрического ^-свойства содержит в себе намек и на саму эту геометрическую фигуру — ею оказывается гипероктаэдр (crosspolytope), обобщение обычного октаэдра на n-мерный случай.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит необходимые для дальнейшего определения и факты из теории решетчатых кубатурных формул. Здесь же ставится задача об описании решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством и минимально возможным числом узлов, а также рассматриваются различные варианты этой задачи.

Второй параграф начинается с критерия, позволяющего определить, обладает ли решетчатая кубатурная формула тригонометрическим d-свойством. Этот критерий открывает путь к применению фактов геометрии чисел, оперирующих понятием критического определителя. Решение поставленных задач о решетчатых кубатурных формулах оказывается тесно связанным с решением задачи о вычислении критического определителя гипероктаэдра. Основным результатом этого параграфа следует считать найденный методом «малых шевелений» пример экстремальной решетки для гипероктаэдра в М4 (теорема 2.2).

В третьем параграфе мы приводим окончательное описание в двумерном случае всех минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством, начатое в пятом параграфе первой главы. Применяемая нами техника приведенных базисов решеток оказывается эффективной не только в рассматриваемой ситуации, но и в чуть более общей — при описании почти минимальных решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством. Необходимость в изучении таких кубатурных формул возникает, например, в связи с практической реализацией одного варианта дискретного преобразования Фурье (см. ниже).

Четвертый параграф является наиболее важным с идейной точки зрения. Здесь мы излагаем простой и в то же время эффективный подход к задаче построения так называемых серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(k)~свойством. Как результат, в n-мерном случае легко предъявляется вполне конкретная серия решетчатых кубатурных формул ранга 1, коэффициент эффективности которой существенно больше, чем в ранее известных примерах подобного типа (см. пример 2.6). В предлагаемом способе построения серий предусмотрена возможность оптимизации, что позволяет для конкретных значений п получать еще более качественные результаты.

В пятом параграфе при п = 3 найдены наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим d(k)~свойством (теорема 2.4). Этот результат является одним из основных результатов данной главы и дает наиболее полное представление об эффективности применяемых нами методов геометрии чисел. Как уже было отмечено выше, отправным пунктом здесь оказывается точное значение критического определителя октаэдра, вычисленное Минковским.

В шестом параграфе построены примеры серий решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим б?(&)-свойством при п = 4 (см. таблицы 12 и 13). По коэффициенту эффективности эти серии являются наилучшими из известных на данный момент. Следует подчеркнуть, что полученный нами результат не может быть окончательным — хотя бы по той причине, что указанная во втором параграфе экстремальная решетка для гипероктаэдра в М4 является иррациональной. Именно эта экстремальная (и, что не исключено, даже критическая) решетка может служить источником новых результатов, некоторые из которых нам уже удалось получить. (Не считая целесообразным излагать в диссертации эти еще нигде не опубликованные факты, мы ограничиваемся лишь указанием перспективы их получения.)

В седьмом (и последнем) параграфе рассматривается возможность применения решетчатых кубатурных формул с тригонометрическим ^-свойством к многомерному дискретному преобразованию Фурье. Предлагается некоторый вариант такого преобразования и обсуждаются различные аспекты его практической реализации в двумерном случае (в частности, описываются некоторые конкретные вычислительные эксперименты).

3. В третьей главе изучаются решетчатые кубатурные формулы на пространствах Жр'р,<^(Л) периодических функций с доминирующей производной (здесь Л — решетка периодов).

Первый параграф носит вспомогательный характер. Во-первых, здесь сообщаются необходимые определения и факты, относящиеся к геометрическому методу в теории алгебраических чисел. Во-вторых, излагается способ решения так называемых норменных уравнений, в основе которого лежат идеи П. Г. JI. Дирихле (1805 — 1859). (Именно теория норменных уравнений послужит для нас главным инструментом при доказательстве теорем следующего

параграфа.) В-третьих, вводятся сами пространства Л).

Второй параграф содержит основные результаты главы — теоремы 3.1 и 3.2. В этих теоремах речь идет об оценке при- h —> О функции через которую легко выражается норма функционала погрешности lh рассматриваемых решетчатых кубатурных формул (в предположении, что М — решетка, дуальная к Л — имеет «алгебраическое» происхождение, т.е. ее конструкция связана с некоторым полем алгебраических чисел).

В третьем параграфе приводятся некоторые дополнительные результаты, касающиеся только случая р = 2, q = 0 (теоремы 3.3 и 3.4). Для их формулировки и доказательства используются понятия и факты теории диофантовых приближений.

В заключение автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность своему научному консультанту д.ф.-м.н., профессору М. В. Носкову за неослабевающее внимание к работе, полезные советы и замечания. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессору С. П. Цареву за предоставленную возможность пользоваться ресурсами его электронной библиотеки, а также за ряд ценных консультаций библиографического характера.

Нумерация формул, принятая в диссертации, является двойной: первый номер обозначает главу, в которой расположена формула, а второй номер есть порядковый номер формулы в главе. Аналогичным образом нумеруются и различные «теоремоподобные» конструкции — определения, теоремы, леммы и т.д. (так, например, «теорема 2.4» означает «четвертая теорема второй главы»). Замечания не нумеруются (как правило, необходимости в ссылках на них не возникает). Текст, набранный мелким шрифтом, играет роль дополнительного комментария и при первом чтении может быть пропущен. 1

§2. Об обозначениях

Без пояснений используются следующие стандартные обозначения: Z, Q, R, С — множества целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел соответственно;

Хп ~ п-я декартова степень множества Х\

Х\ — число элементов (конечного) множества Х\

С* — биномиальный коэффициент (число сочетаний из п по 5); det (Л) — определитель матрицы А\ ехр (а) — показательная функция с основанием е = 2.718.; Г (а) — гамма-функция Эйлера; ^(а) — дзета-функция Римана.

Черта сверху над символом означает комплексное сопряжение (символом может быть число, функция, а также числовая матрица). Для любой матрицы индекс t справа вверху означает транспонирование.

Остальные обозначения либо общеприняты и потому не могут быть неправильно истолкованы (как dimV — размерность пространства V), либо их смысл ясен из контекста (например, на стр. 25: L\ JL L2 — подпространства L\ и Li ортогональны), либо же они носят специальный характер и объясняются по ходу дела.

1. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядер j j Сб. пер. «Математика». М.: ИЛ, 1963. Т. 7. № 2. С. 67-130.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 848 с.

3. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 3 — 18.

4. Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций // Числ. методы решения дифференц. и интегр. ур-ний и квадратурные ф-лы. М.: Изд-во АН СССР, 1964. С. 5-63.

5. Бахвалов Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной // Матем. заметки. 1972. Т. 12. № 6. С. 655-664.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. 296 с.

8. Беленькая О.В., Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. О вычислении оптимальных коэффициентов квадратурных формул методом полного перебора // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. С. 126-129.

9. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989. 448 с.

10. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 504 с.ИБухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960. 376 с.

11. Быковский В.А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Матем. сб. 1988. Т. 136. № 4. С. 451-467.

12. Васкевич В.Л. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2003. 243 с.14. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.

13. Верба М.С., Осипов Н.Н. О воспроизводящих ядрах шара // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 2. С. 204 — 207.

14. Войтишек Л. В. О выборе решеток для интегрирования по формулам С. Л. Соболева // Сиб. матем. журн. 1976. Т. XVII. № 4. С. 774-781.

15. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М.: Физматгиз, 1958.

16. Даугавет И.К. О постоянных Лебега для двойных рядов Фурье // Методы вычислений. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1970. Вып. 6. С. 8 — 13.

17. Даугавет И.К. О представлении некоторых воспроизводящих ядер // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. Вып. 3. С. 53-78.

18. Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм // Успехи матем. наук. 1937. № 3. С. 16 — 62.

19. Делоне Б.Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1940. Т. 11. С. 1-340.

20. Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета-функция. Деп. в ВИНИТИ, 1984. № 6090-84.

21. Добровольский Н.М., Ванъкова B.C., Козлова С.Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ, 1990. № 2327 — В90. 27 с.

22. Дэвенпорт Дж., Сире И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991. 352 с.

23. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

24. Жидков Н.П. Линейные аппроксимации функционалов. М.: Изд-во Мос-ков. ун-та, 1977. 262 с.

25. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИЛ, 1961. 216 с.

26. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 424 с.

27. Кашкин В.Б., Носков М.В., Осипов Н.Н. Вариант дискретного преобразования Фурье с узлами на параллелепипедальных сетках // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 3. С. 355 — 359.

28. Коробов Н.М. О приближенном вычислении кратных интегралов // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207-1210.

29. Коробов Н.М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 19 — 25.

30. Коробов Н.М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.

31. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004. 288 с.34.Костприкии А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496 с.

32. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. 304 с.

33. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

34. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.

35. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 248 с.

36. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

37. Мысовских И.П. Квадратурные формулы наивысшей тригонометрической степени точности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. № 8. С. 1246-1252.

38. Мысовских И. П. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов // Докл. АН СССР. 1987. Т 296. № 1. С. 28-31.

39. Мысовских И.П. Кубатурные формулы, точные для тригонометрических многочленов // Методы вычислений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. Вып. 15. С. 7-19.

40. Мысовских И. П. Алгоритм построения квадратурных формул наивысшей тригонометрической степени точности j j Методы вычислений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. Вып. 16. С. 5-16.

41. Мысовских И.П. О воспроизводящих ядрах шара и сферы // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 6. С. 952-958.

42. Мысовских И. П. Представление воспроизводящего ядра шара // Методы вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. Вып. 17. С. 145-152.

43. Мысовских И. П. Об одном представлении воспроизводящего ядра шара // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 3. С. 28 — 34.

44. Мысовских И. П. К построению кубатурных формул наивысшей тригонометрической степени точности // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. № 22. С. 27—32.

45. Мысовских И. П. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 7. С. 1114-1117.

46. Мысовских И. П. Распространение метода воспроизводящего ядра построения кубатурных формул на тригонометрический случай // Методы вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. Вып. 18. С. 160-178.

47. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций. Деп. в ВИНИТИ, 1983. № 4528-83. 11 с.

48. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций // Методы вычислений. JL: Изд-во ЛГУ, 1985. Вып. 14. С. 15-23.

49. Носков М.В. Приближенное интегрирование периодических функций от двух переменных // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. С. 97-98.

50. Носков М.В. Формулы приближенного интегрирования периодических функций // Методы вычислений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. Вып. 15. С. 19 — 22.

51. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования функций трех переменных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 10. С. 1583-1586.

52. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений. JL: Изд-во ЛГУ, 1991. Вып. 16. С. 16-23.

53. Носков М.В. О кубатурных формулах для функций, периодических по части переменных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 9. С. 1414-1419.

54. Носков М.В. Некоторые вопросы приближенного интегрирования периодических функций. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Красноярск, 1992. 226 с.

55. Носков М.В., Осипов Н.Н. Серии кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы V Междунар. семинара — совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 132-136.

56. Носков М.В., Осипов Н.Н. Минимальные и почти минимальные решетчатые кубатурные формулы ранга 1, точные на тригонометрических многочленах двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики. 2004. Т. 7. К* 2. С. 125-134.

57. Носков М.В., Семенова А.Р. О сериях кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Кубатурные ф-лы и их прилож. Красноярск: КГТУ, 1994. С. 68-78.

58. Носков М.В., Семенова А.Р. Кубатурные формулы повышенной тригонометрической точности для периодических функций четырех переменных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 10. С. 5 — 11.

59. Носков М.В., Schmid H.J. Кубатурные формулы высокой тригонометрической точности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 5. С. 786-795.

60. Осипов Н.Н. О минимальных кубатурных формулах данной тригонометрической точности в 2-мерном случае // Кубатурные ф-лы и их прилож. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. С. 52-60.

61. Осипов Н.Н. О семействах минимальных кубатурных формул четной тригонометрической точности в 2-мерном случае // Кубатурные ф-лы и их прилож. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. С. 61-63.

62. Осипов Н.Н. Почти минимальные решетчатые кубатурные формулы с тригонометрическим (/-свойством в 2-мерном случае // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. Ч. I. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. С. 120.

63. Осипов Н.Н. О воспроизводящих ядрах шара // Вопросы матем. анализа. Красноярск: КГТУ, 1999. Вып. 3. С. 118-128.

64. Осипов Н.Н. Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул нечетной тригонометрической степени // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы V Междунар. семинара — совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 137-140.

65. Осипов Н.Н. Симметрия узлов и коэффициентов минимальных кубатурных формул с тригонометрическим (/-свойством при нечетном d // Методы вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. Вып. 19. С. 166-171.

66. Осипов Н.Н. О построении серий решетчатых кубатурных формул ранга 1, точных на тригонометрических многочленах j j Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 11. С. 1628-1637.

67. Осипов Н.Н. Оценка некоторых сумм по n-мерным решеткам // Кубатурные ф-лы и их прилож. Труды VI Междунар. семинара — совещания. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2002. С. 127-134.

68. Осипов Н.Н. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы VII Междунар. семинара — совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 111 — 118.

69. Осипов Н.Н. Оценка некоторых сумм по плоским решеткам // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы VII Междунар. семинара — совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 105-111.

70. Осипов Н.Н. Асимптотика нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах W^^ (А) // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. С. 95-101.

71. Осипов Н.Н. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 12. С. 2150-2161.

72. Осипов Н.Н. О минимальных кубатурных формулах с тригонометрическим с/-свойством в двумерном случае // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 7-14.

73. Осипов Н.Н., Петров А.В. Серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах от трех переменных // Кубатурные ф-лы и их прилож. VI Междунар. семинар — совещание. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, Б ГПУ, 2001. С. 91-95.

74. Осипов Н.Н., Петров А.В. Построение серий решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах четырех переменных // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. С. 102 — 110.

75. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Ленинград, 1979. 240 с.

76. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

77. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во БашГУ, 1973. 177 с.

78. Рамазанов М.Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. № 3. С. 551-553.

79. Рамазанов М.Д. Решетчатые кубатурные формулы могут дать наилучший порядок точности на пространствах с доминирующими производными // Кубатурные ф-лы и их прилож. Красноярск: КГТУ, 1994. С. 102-113.

80. Резцов А.В. Об оценке для числа узлов кубатурных формул гауссова типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. N® 3. С. 451 — 453.

81. Рышков С. С. К вопросу о финальной ("-оптимальности решеток, дающих наиплотнейщую решетчатую упаковку n-мерных шаров // Сиб. матем. журн. 1973. Т. XIV. № 5. С. 1065-1075.

82. Рышков С. С., Барановский Е.П. Классические методы теории решетчатых упаковок // Успехи матем. наук. 1979. Т. 34. К2 4. С. 3 — 63.

83. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

84. Семенова А.Р. Серии кубатурных формул для периодических функций пяти переменных // Комплексный анализ, дифференц. ур-ния, числ. методы и прилож. V. Числ. методы. Уфа: ИМ с ВЦ РАН, 1996. С. 137 — 146.

85. Соболев C.JI. О формулах механических квадратур на поверхности сферы // Сиб. матем. журн. 1962. Т. III. № 5. С. 769-791.9094