Кубатурные формулы на развёртывающихся поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.?

§1. О содержании диссертации

§2. Обозначения и предварительные сведения

Глава 1. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций

§1. Инвариантные формы групп преобразований тора на

§2. Построение кубатурных форму л.д ля периодических функций

Дополнение

Глава 2. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным.

§1. Декартовы произведения интерполяционных операторов

§2. Формулыдля интегрирования функций, периодических по некоторым переменным

§3. Декартовы произведения кубатурных форьгул

Глава 3. Асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул на решётчатых поверхностях.

§1. Последовательности функционалов на решётчатых поверхностях

§2. Асимптотическая оптимальность последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на решётчатых поверхностях

Дополнение

Задача о построении кубатурных формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач теории вычислений. Суть её состоит в следующем. Пусть Q - ограниченная или неограниченная измеримая область в п -мерном евклидовом пространстве Е11. Кубатурной формулой называется выражение N j(x)f(x)dx ~ Z Cj f(xJ), CD Q где ~ весовая функция, f(x) - интегрируемая функция, xJ -узлы, Cj - коэффициенты, /I/ , /V - число узлов.

Задача приближенного интегрирования состоит в том, чтобы сумму стоящую в правой части (1) подобрать с учётом выполнения тех или иных заранее заданных свойств кубатурной формулы (1).

Например, в классической постановке задачи, выбор узлов XJ и коэффициентов Cj ведётся таким образом, чтобы формула (1) была точна ( обращалась в точное равенство ) для всех функций некоторого множества при минимальном или фиксированном числе узлов N .

Обычно за множество Ф берётся множество алгебраических или тригонометрических многочленов, степени которых не превосходят некоторого фиксированного числа.

Пусть В - некоторое банахово пространство функций , вложенное в пространство непрерывных функций С . Погрешность кубатурной формулы (1)

- А/ f) = I -Z Cjf-(JCJ) (2) Q является функционалом погрешности кубатурной формулы (1) в сопряженном пространстве • Ввиду того, что функционал (2) аддитивный, однородный, а в силу вложения В в С и ограниченный, то погрешность интегрирования оценивается неравенством 3 j а исследование кубатурной формулы проводится с использованием оценки характеризующей, в некотором смысле, качество кубатурной формулы.

Например, можно выбирать узлы и коэффициенты Cj , чтобы достигался по всем удовлетворяющим некоторым требованиям.

При приближенном вычислении кратных интегралов любые задачи осложняются тем, что появляется новый по сравнению с одномерным случаем параметр « форма области интегрирования, Кроме того, внедрение полученных формул затрудняется быстрым ростом необходимых вычислительных операций при увеличении точности формул или кратности интеграла, как при построении формул,так и при их использовании.

Исследованиями формул приближенного вычисления кратных интегралов занимались многие авторы. Например, исследование куба-турных формул в классах функций проводилось в монографиях Бахвалова Н. С. [ 1 ] , Никольского С. М. [ 26 ] , Рамазанова М, Д. [47 ] , Соболева С. Л. [55] ,а также Ермакова С. М. [ 12 ] , Коробова Н, М. [ 19] , Соболя И. М, [ 56] . Близкими в этом направлении к теме диссертации являются работа Блинова Н. И. [ 3 ] и совместно с Войтишек Л, В, [ 5 ] , Васкевича В* Л, [ 7, 8] , Войтишек Л, В, [ 9, 10], 1енсыкбаева А» А. [ 13 ] , Корнейчука Н, П» [ 18 ] , Половинкина В, И, [ 35 - 45] и совместно с Дидур Л, И. [ 46 ] , Рамазанова М. Д» [ 48 ] и совместно с Умархановнм И, [ 50 ] , Шойнжурова Ц, Б. [ 59 « 63] ,а также обзорная работа [49]. Отметим ещё алгоритмн для внчисления кратных интегралов, использующие результаты этого направления [ 4, 58] •

Большое число работ посвящено вычислению интегралов для об' ластей интегрирования, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, для областей, инвариантных относительно некоторых преобразований пространства Е^тлш разложимых в декартовое произведение областей меньшей размерности, Используя эти особенности удаётся построить формулы либо с меньшим числом узлов, либо с более простым способом вычисления коэффициентов, чем в случае произвольной области, Эти работы идут, как правило, в русле классической постановки задачи ( см., например, монографии Мысовских И. П. [ 25] , Крылова В, И. [ 20] и совместно с Шульгиной Л, Т. [21]'.

В данной диссертации построены и исследованы кубатурные формулы для многообразий типа "развёртывающихся" поверхностей. Исследование таких формул тем более необходимо, что существуют важные для приложений задачи, связанные с интегрированием функций,заданных на таких многообразиях. Эти функции можно рассматривать как функции, заданные на некоторых областях из , со специально подобранными граничными условиями.

Такой подход к построению кубатурных формул использовался неявно ранее Соболевым С. Л. [ 55 ] в связи с приближенным интег^ рированием периодических функций, которые можно считать функциями заданными на торе, а также в некоторых работах других авторов, например, [42] . Результаты, относящиеся ко второй главе, продолжают эти исследования,

В настоящей диссертации исследуются кубатурные формулы на традиционных "развёртывающихся" поверхностях и близких к ним по строению многообразий, В наиболее общей постановке построение и исследование формул на этих поверхностях ведётся в главе 3,

Из вопросов, связанных с интегрированием функций по поверхностям, ранее основное внимание уделялось интегрированию по поверхности сферы с использованием инвариантных формул, введённых Соболевым С, Л» [ 54 ] • Исследованиям такого рода посвящены, на* прмер, работы Коняева С. И. [l5 - 17 ] , Лебедева В, И, [ 22 - 24], Салихова Г, Н, [ 51 ] « Использование инвариантных кубатурных формул, развитых в этих и других работах, оказалось весьма полезным также при построении и изучении фор1*ул для периодических функций ( см. главу 1 ).,

В диссертации содержатся результаты, относящиеся кал к классической постановке задачи приближенного интегрирования, так и к исследованию кубатурных формул в классах функций. Причём в последнем случае на нормы последовательностей функционалов накладывается требование асимптотической оптимальности в пространствах типа L ™ , г

Выбор пространств типа L ™ диктуется тем, что, во-первых, это классические и хорошо изученные пространства анализа, исследования в которых для конечной области Q не связаны, как правило, с конкретным видом Q , кроме локальных требований на характер границы. Во-вторых, нормы вне меняются при ортогональных преобразованиях координат и являются степенями интегралов от однородных дифференциальных выражений. Строение нормы в L'p(Q) проще, чем в пространствах типа О) « Кубатурные формулы в пространствах W^(Q)изучались Шойнжуровым Ц. Б,, например, в [59 - 63] , Рамазановым М. Д* [47] и другими авторами. Дадим краткое изложение содержания диссертации, В §2 введения даны обозначения и определения, используемые в диссертации. Кроме того обсуждаются условия выполнение которых будет в дальнейшем требоваться от границ рассматриваемых областей, а также возможность представления периодических функций как функций, заданных на некоторой поверхности,

1. Бахвалов Н.С. Численные методы,т.1.-M.: Наука,1975.-632с.

2. Бесов О.В. Межъячеичные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С.Л.Соболева и их обобщения.-Труды Мат.ин-та АН СССР, 1977, г.143, с.42-57.

3. Блинов Н.И.Приближенное интегрирование двойных интегралов. Аннот.сб.: Алгоритмы и программы, ВНТИцентр.-М., 1974, нз2,3.

4. Ван-дер-Варден Б.Л. Современная алгебра, Ч.1.-М.: ОГИЗ, 1947.- 340 с.

5. Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Эйлера-Мак• лорена на одном классе гладких функций.- Докл. АН СССР,1981, т.260, № 5, с.1040 1043.

6. Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Грегори.-Докл. АН СССР, 1981, т.261, й 5, с.1041-1043.

7. Войтишек Л.В. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем.- Журн.выч.мат. и матем. физ., 1969,г.9, №2, с.417-419.

8. Войтишек Л.В. Некоторые вопросы теории интегрирования функ -ций нескольких переменных: Автореф.дис. . канд.физ.-маг. наук.-Новосибирск,1971. 10 с.

9. Егорычев Г.П. Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм.-Новосибирск: Наука, 1977.- 286с.

10. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.-М.: Наука, 1971,- 328с.

11. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы.- УМН, 1981, т.36, вып.с.107-159.

12. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1.- М.: Наука, I98I.-344c.

13. Коняев С.И. Инвариантные формулы интегрирования на сфере* М.,' 1975.- 24с. (Препринт / ИАЭ: 2553).

14. Коняев С.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы инвариантные относительно группы икосаэдра с инверсией.-Мат. заметки, 1979, т.25, И, с.629 634.

15. Коняев С.И. Формулы численного интегрирования на сфере.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения.Новосибирск: изд. Ин-та математ. ,1982, й I, с.75-82.

16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур. Добавление к кн. j26j.

17. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном ана -лизе,- М.: Физматгиз, 1963. 224с.

18. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967,- 500с.

19. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному . интегрированию.- М.: Наука, 1966.- 372 с.

20. Лебедев В.И, 0 квадратурах на сфере.-, Журн. выч.мат. и мат. физики, 1976, T.I6, №2, с.293-306.

21. Лебедев В.И. Квадратурные формулы для сферы 25 29-го порядка точности,- Сиб.мат.журн.,1977, т.18, ffil, с.132-142,

22. Лебедев В.И. Квадратурная формула 35-го порядка для сферыг В кн.:Теория кубатурных формул и вычислительная математика.Новосибирск: Наука, 1980, с.НО 114,

23. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы.- М.: Наука, 1981,- ЗЗбс.

24. Никольский С.М, Квадратурные формулы.- М,: Наука, 1974.- 224с,

25. Никольский С.М. Курс математического анализа, г.2.- М.: Наука, 1975,- 408с,

26. Носков М.В. Кубатурные формулы на развертывающихся поверхностях.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: РИСО АН УзССР, 1978, вып.51, с.91-96.

27. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул. В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика.Новосибирск: Наука, 1980, с.114-116.

28. Носков М.В. Кубатурные формулы на решетчатых поверхностях. -Красноярск, 1981.- 13с,- Рукопись представлена Красноярским политехи.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 14 ноября 1981, № 5644- 81 Деп.

29. Носков М.В. Приближенное интегрирование функций, периода -ческих по некоторым переменным.- В кн.: Теоремы вложения и их приложения. Новосибирск: изд.Ин-та матемаг.СО АН СССР, 1982, I, с.83 102,

30. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций.- Красноярск, 1983.- Юс.- Ру -копись представлена Красноярским политехи.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 16 августа 1983,'№ 4528 83 Деп.

31. Носков М.В. Асимптотически оптимальные формулы на решетча -тых поверхностях^ В кн.: Применение функционального анализа к уравнениям в частных производных. Новосибирск: изд.Ин-та магемаг. СО АН СССР, 1983, й 2, с. 103 112,

32. Погорелов А.В. Лекции по дифференциальной геометрии.- Харьковского ГУ, 1967.- 164с.

33. Половишшн В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случаев. Маг.заметки, 1968, т.З, К» 3, с.319-326.

34. Половинкин В.И. Некоторые оценки норм функционалов ошибок кубатурных формул.- Маг.заметки, 1969, т.5, №3, с. 317-322.3 7. Половинкин В.И, Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул.- Сиб.мат.журн., 1971, т.12, tel, с.177-196.

35. Половинкин В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем.- Сиб.мат.журн., 1974, т.15, Ш, с.413-429.

36. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в 'U^'(Q). -В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Таш -кент: РИСО АН УзССР, 1975, вып.32, с.99-104.

37. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетныхт . -Сиб.мат.журн., 1975, гД6. №2, с.328 335.

38. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул. Сиб.мат.журн., 1975, г.16, N26. с.1255-1262.

39. Половинкин В.И. Декартовые произведение формул прямоуголь -ников и формул с регулярным пограничным слоем: Тез. докл. 5-е Совегско-чехослов.совещ.по применению функциональных методов. Новосибирск: Наука, 1978, с. 248 -250.

40. Половинкин В.И. Сходимость последовательностей-кубатурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях.- В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, с. I83-I9I.

41. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем.- Дис. . доктора физ.-мат. . наук.- Ленинград, 1979,- 240с.

42. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул с периодическими системами узлов.- Сиб.мат.журн., 1981, т.2, ШЗ, с. 147 155.

43. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: РИСО АН УзССР, 1975, вып.34, с. 3-14.

44. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирова -ния.-Уфа: изд.Башкирского ГУ, 1973.- 176с.

45. Рамазанов М.Д. Порядок сходимости решетчатых кубатурных формул на пространствах с доминирующей производной.- Уфа,1981.- 16с.- Деп. в ВИНИТИ, № 5691 81 Деп.

46. Рамазанов М.Д. и др. Развитие теории кубатурных формул Со -болева.- В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука,' 1980, сД 18-122.

47. Рамазанов М.Д., Умарханов И. Квадратурная формула с простой весовой функцией.- Докл. АН УзССР, 1982, №5, с. 4 -7.

48. Салихов Г.Н. К теории кубатурных формул для многомерных сфер: Автореф.дис. . доктора физ-мат.- наук.- Новосибирск,1978.- 31с,

49. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.Ш, ч.1,- М.: Наука, 1974.- 324с.

50. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1962.- 256 с.

51. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы.-Сиб.мат.журн., 1962, т.З, L°5, с.769-791.

52. Соболев С.Л.Введение в теорию кубатурных формул.- М.:Наука, 1974,- 808с.

53. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаа-ра.-М.: Наука, 1969,- 214с.

54. Спрингер Т. Теория инвариантов.-М.: Мир, 1981.- 192с.

55. Умарханов И. Процедура численного интегрирования многомерных интегралов,- В кн.: Алгоритмы. Ташкент: РЙСО АН УзССР, 1980, вып.41, с.75 82.

56. Шойнжуров Ц.Б. Весовые кубатурные формулы в пространствахбатурных формул и приложения математического анализа к некоторым задачам математической физики (материалы школы-конференции в г.Улан- Удэ, август 1973). Новосибирск: Наука, 1973, с.41-45.

57. Шойнжуров Ц.Б. Об асимптотически оптимальных квадратурныхи кубатурных формулах в конечной области.- В кн.: Математи-тический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, с. 319 329.

58. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы.- Новосибирск, 1979.- 28с.- (.Препринт/ ЙН СО АН СССР).

59. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Авторефер.дис. . доктора физ.-мат.наук.-Улан-Удэ, 1981.- 23с.С.Л.СоболеваТеория ку