Минимальные кубатурные формулы для тора и сферы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

д о l\h? ^

На праоах рукописи

Осипов Николай Николаевич

УДК 519.644

МИНИМАЛЬНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОРА И СФЕРЫ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата, фишко-математических паук

Красноярск 1997

Рабата выполнена Б Красноярском государственно:»! техническом университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор фшммг математических наук, профессур Носков М.В.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор фнзнко-ми'гсматических наук, цркфп-с/р Ножтишаш В.И., кандидат физико-математических наук Вагкович М.Л.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт математики с ВЦ УНЦ РАН (г. Уфа).

Защита состоится 28 марта 1997 г. и 15 ч. чич-данни днсссртани-ониого совета К 0G-1.61.01 но присуждению уче1,-..-Ц степени капли/нин физико-математических наук в Красноярском государегнепном университете по адресу: п[>. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного униш'рситста.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь ч. ¡' ......

диссертационного совета 4 Е.К. Лейнартас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Изучение кубатурных формул с тташ или иным» заданными свойствами, в ч.зстном случае — ишшмалькнх кубатурных формул, представляет собой шггерееную и актуальную проблему современной вычислительной математики. Несмотря на обширную литературу по этой тематике, многие задачи данного иаправл'-иия еще далеки до своего полного решения; в частности, построение кубмтурных формул, точно интегрирующих .многочлены степени не выше данной и имеющих при этом минимальное число узлоз (а минимальные кубагурные формулы, при условии их существования, являются таковыми), до сих лор остается актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Распространить имеющиеся результаты о минимальных кубатурных формулах, обладающих ^-свойством, на случай нечетной степени точности <1; дать необходимые и достаточные условия существования указанных кубатурных формул. Исследовать минимальные куЗатурные формулы для таких областей интегрирования, как тор в Я4 и сфера в К", где п > 3. Классифтекосвпть минимальные решеточные кубатурные формулы тригонодготрическнм »/-свойством в двумерном случае.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использовались методы математического анализа, теории чисел, компьютерной алгебры. НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

— Распространен метод воспроизводящего ядра на случай нечетной степени точности минимальных кубатурных формул,

— Приведена классификация всех минимальных решеточных кубатурных формул с тригонометрическим ¿-свойством в двумерном случае.

— Дано описание всех минимальных кубатурных формул нечетной степени точности и степени точности 2 для интегрирования по тору в К4, а также введены и исследованы аналитические семейства минимальных кубатурных формул четной степени точности.

— Установлено, что граница Мёллера для числа узлов кубатурных формул с ¿-свойством, аппроксимирующих интеграл по сфере в Н,", не достигается почти для всех степеней точности (1 и размерностей п. Предложен эффективный критерий существования минчмальных кубатурных формул с ¿-свойством для сферы, позволяющий п некоторых случаях доказывать единственность таких формул.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на

1П «чмпнаре-совещакни «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1995 г.), на конференции «Комплиссный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения» (Уфа, 1996 г.), на II сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Но-поспилрек, 1996 г.), на семинарах в ВЦ СО РАН (г. Красноярск) и Красноярском государственном техническом университете,

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2] - [С].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения (2 параграфа) и трех глав (10 параграфов), содержит 86 страниц; имеется два приложения к первой главе (объемом 14 страниц). Библиография — 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 введения формулируются задачи и цели исследований в диссертации, а также приводится ее краткое изложение.

В §2 введения помещен список обозначений, используемых в дальнейшем без пояснений.

Первая глава называется «Минимальные приближенные представления лииейного функционала, точные на алгебраических многочленах» и состоит из 4-х параграфов.

В §1 даются необходимые определения и ставится задача об описании всех минимальных ¿-точных представлений данного линейного функционала (при нечетном d — в симметричном случае, см. ниже).

Пусть f2 С R" — некоторое множество; к — целое неотрицательное число. Введем следующие обозначения:

Р — линейное пространство многочленов от хь...,с вещественными коэффициентами;

Pt — подпространство Р, состоящее из многочленов степени < к ; Lk — подпространство , состоящее из четных многочленов при четном к и нечетных многочленов при нечетном к;

Ll — подпространство Lt, состоящее из многочленов с нулевым свободным коэффициентом:

V., Рь С\ — линейные пространства сужений на П функций из Р, Рь Lk, L\ соответственно;

г — канонический эпиморфизм Р на V, г (/) = /¡п (/ 6 Р); т\с — сужение г на подпространство L С Р.

Пусть, далее, .Тп ■ V —у Т1 — некоторый линейный функшюнал, удовлетворяющий условию

(СО 1а{Ф2) > 0 для всех

Рассматриваются приближенные представления линейного функционала = Гп о г : I* —> К, имеющие вид

= (3)

где:

Е ~ {г-1}*^1 — конечный набор попарно различных точек тп Л"; С — — конечный набор чисел из И*;

.V-!

¡5(Е,С) — линейная комшшапи:: Функционалов^- : Р ~> П., опре-

)

¿«о

делаемых формулой (,(/) — f(xJ) для всех / 6 Р.

Определение 1. Лредетавлепче (1) называется d-тоиньш (d 6 N), если J{i(/) = <?{/) <?,t?r ссег / € />,.

• Определенно 2. Представление (1) называется представлением типа

(I), если 0 ¿ Е.

Определение 3. Представление (1) называется представлением типа

(II), если 0 € Е (а таком случай считаем х" — 0J.

Определение 4. Симметричным, случаем называется выполнение следующего условия:

(Сг) Ia(f) — 0 для любого нечетного многочлена. /.

Положим:

а) для четного d € N, d =s 2k,

N¿ = dira Pt;

б) для нечетного deN, Л = 2k + 1,

.г л »ro í 2 di m Ci +1, если k нечетно,

Nd = 2dxmCk и Щ-{ .. J ' '

" J 2 (/г ni £j -}-1, если « четно.

Определение 5. Пусть ¿ £ N четно. Будем исшивать с1-точное пред-стаалашс (1) минимальным, если N ~ ЛГ^.

Определение б. Пусть г1 6 N нечетно. Будем наяыае.ть ¿-точное представление (1) типа (I) (типа (II}) минимальным, если N = Л1^

(я=т

Сформулируем теперь задачу, решаемую и остальных параграфах первой главы.

Задача. Для данных 0 и Та

А) при фиксированном четном с! £ N описать все минимальные й-то'Шыё представления (1);

Б) при фиксированном нечетном <1 £ N в симметричном случае от.г.иь все минимальные ¿-точные представления (2) каждого типа,

В §2 н §3 рассматриваются соответственно случаи А) в Б). Основные результаты этих параграфов — необходимые, а также некоторые; достаточные условия существования минимальных ¿-точных представлений, линейного функционала. Эти условна формулируются в терминах зос-производящего ядра соответствующего пространства. Необходимо отмстить, что при нечетном с! исследуются оба типа минимальных ¿-точных предстанлшшп. В качестве примера приведем формулировки некоторых теорем из §3.

Фиксируем нечетное число ¿ = 2к + 1 (к > 0) и предположим, что выполнены условий (С\) и (Сг), Пусть — некоторый ортоиор-

мированный базнс а многочлены /, £ Ьь таковы, что г(/г) ~ ф„ (0 < в < N¿/2 - 1). .

Определим функцию К^ ; Я" х К" II формулой

КЛх,х')= £ (х,х'£11п).

1=0

Сужение функции на (5 х П есть не что иное, как воспроизводящее ядро дпа пространства С^.

Теорема 1. Пусть т|г,4 : Ьъ —» V — мономорфизм, тогда ¡{¿{х,х) > О для всех а? 6 Н." \ {О}. Если точки

х> е В." \ {0} (0 <}< N/2 ~ 1)

б

»i числа

С и.* (О < j < N/2 - 1)

удовлетпсряют условию

хП = 0 (0< j<j'<N/2-D,

Ki(xi,xi) = (2с,-)-1 (О < j < N/2 - 1),

причем N = Nd, тео и'¡боры S == {r'Jjig1, С ~ {«*;l^ö11 определяемы* посредством равенств

т/ « -а*-*/», су = c;-_,v/? (N/2 < j < N - 1), (3)

задают минимальное d-точиое представление (1) шипа (I) при четном к и прсдааавлсппе (1) типа (I), гноимое для люоого одночлена g £ P,i степени -/= О при нечетном к.

Пусть fl' С R" — нат.генытгее алгебраическое многообразие, содержащее О.

Теорема 2. > 0 для всех ж G П' \ {!>), Если точки

^ е«'\ {0}' (0 < j < N/2 — 1)

и •числа

cj 6R' (0<j< N/2-l)

удовлетворяют условию (2), причем N ~ JVj, то справедливо заключение теоремы 1.

Замечшше 1. Предположим дополнительно, что г(1) совпадает с некоторой линейной комбинацией вида Yj'j(hi), где /г; £ Д; — одночлены положительной степени.. Тогда б условиях теоремы 2 при нечетном к можно утверждать, что предст« плеиие (1), для которого наборы Е = -fV} £,7/, С = {i.j}jio1 определяются равенствами (3), будет минимальным d-точным представлением типа (I).

В §4 приводатся примеры, иллюстрирующие теоремы предыдущих двух параграфов, а также демонстрируется возможность эффективного

црииекешш этих теорем для отыскания всех или некоторых минимальных ¿-точных представлении (в традиционной терминологии — минимальных кубатуриых формул с ¿-свойством) в случае, когда Тц : V —> II есть интеграл

МФ) = /Ф{х)р{х)<& (ф € V).

О

Здесь П — область в It" или г-мерная (г < п) поверхность в И", dV — элемент объема на П, р : ft —t R+ —■ такал весовая функция, что . существуют все моменты

/xax\..xan"P{x)dV (oj,...,а„ > 0) fi

и выполнено условие

Ja(Ф2) > 0 для всех ф е Р, Ф ф 0.

В качестве области интегрирования Q берутся: круг в R2, поверхности тора и цнлзшдра в R3 и некоторые другие; при этоад d равно двум, трем или пяти. Для вычислений используется система компьютерной алгебры REDUCE и, в частности, Groebner package.

В конце первой главы помещены два приложения. Первое из них содержит доказательство обобщения известной теоремы (принадлежащей X. Мсялеру) о симметричности минимального ¿-точного представления в симметричном случае. Во втором речь вдет об алгоритмах упрощения вложенных вещественных радикалов. Эти алгоритмы могут быть полезны, например, при проверке правильности параметров кубатуриых формул, найденных в процессе решения нелинейных систем алгебраических уравнений (заметим,- что в большинстве современных систем компьютерной алгебры при вычислениях не происходит автоматического упрощения радикальных выражений и поэтому приходится прилагать усилия, чтобы выяснить, равно ли нулю значение данного радикального выражения).

Вторая глава называется «Минимальные кубатурные формулы, точные на тригонометрических многочленах» и содержит 4-е параграфа.

В §1 доказываются утверждения о минимальных кубатуриых формулах с тригонометрическим ¿-свойством, аналогичные тем, что приведены в главе 1.

Пусть Тп = {[ги.... zn) 6 С } \zi\ = 1 (1 < i < n)> — тор bC°S R2".

Определение 7. Тригопометричесюил многочленом от -Г],...,называется функция / : Тп —> С. определяемая формулой

Я*) = 1Х*в (-- = ('1.....гп)егп);

где а — (01,..., <»•„) пробегает конечное подмножество 7лп, аа £ С, za — Степенью тригонометрического многочлена позывается

число тах|а|, где |о{ = ¡а)} 4-... + |ап{. Тригонометрический многочлен

называется четным (нечетным), если четно (нечетно) для всех си, для которых а„ ф О,

Считая к целым неотрицательным числом, вяедем следующие обозначения:

Р* — линейное пространство всех тригонометрических многочленов от

Р1 —: подпространство Рг, состоящее из тригонометрических многочленов степени < к;

Ь1к — подпространство Р[, состоящее из тригонометрических миогочлс-пов, четность которых соппадает с четностью к. Далее, пусть

о о

— интеграл от функции / 6 Р1. Рассматриваются куйатурные формулы вида

/'(/)«(?(/5=3{/.Н,С) </€/*), (4)

где:

Е = — конечны;! па Сор попарно различных точек, принадлежа-

щих Т„;

С = {с/}^1 — конечный набор чисел из С*;

<?(/,н,с) =

]=о

Определение 3. Будем говорить, что кубатурная формула (4) обладает тригонометрические ¿-свойством, или тригонометрически й-точна (с1 € И), если /*(/) = для всех / €

Положим длй d € N

t f Jim сели ¿ = 2к, ' 4 ~ ) .2 dim если ¿ - 2t + 1.

Определение 9. Тригонометрически d-точная нубагнурная формула (4) кизыоается минимальной, если N = iVj.

Из теорем §1 выделим следукмцие.

Теорема 3. Набср узлов Е любой мииим<гиьной гпригонометричеаси 21: -j- 1-точиай кубатурпой формулы (4) ¿в.гмапся симметричным, т.е. (чозмижна, после перс-нумерации)

-U)

tU~W) [N]2 <N~ 1).

Теорема 4. Пусть N ~ N¡j¡. Набор Н — {~'j)}Jk"fj\ удовлетворяющий условию (5) при почетном, d, мвАЛстс.4 набором узлои некоторой muhv-лмАЪиой тригонометрически d-mouwü кубатурпой формул и (,¡) mo-iia и только тогда, когда,

- 0 (0 < з < f < N' ~ i)• гас N' — N при 4éíих-и.1 d и N' = 2V/2 при пастила <1.

Здесь K¿ — воспроизводящее ядро для прострацстеа Р| (при d = 2«), либо для прострааетиа L[. (при d 21: -f-1).

В оставшихся параграфах второй главы исследую гея минимальные тригонометрически ¿-точные кубатурные формулы в двумерном случае или, иначе говоря, минимальные кубатурные формулы с ¿-свойством для T.ipa в R4 я постоянной весовой фуякшш (яредггол.ггается, что узлы последних принадлежат области интегрирования).

Основной результат §2 — классификация всех минимальных регне гоч-Ш4Х тригонометрически ¿-точных кубатурных формул при любом а,

Определение 10. Кубатурнах формула (4) позывается решеточной, если

cj 1/N, ^ = (г{,4) (0 < j < N - 1},

г к..., z„ — нектарые: комплексные числа, по модулю равные 1. Ток~ 1-я — (zi,....zK) € Тп называется образующей решеточной кубатууной ;рор.ъулы.

Теорема 5, 1. При d = 2к (к > 1) существует оссао две минимальные решеточные тригонометрически d-точныг щбатуртн: формулы. Иг. наборы узлов таковы:

(i^V^2^)}^1, (о)

где 6 -■= ±1.

2. При а •= 2к 1 (к > 0) наборы узлов всевозможных мииимыышх решеточных тригонометрически ¿-точных пубатурныг. формул исчерпываются следующими:

где И О Д{г, к + 1) = 1, J = ±l.

В §3 описываются все мшшматыше тригонометрически ¿-точные кубатур ные формулы при любом нечетном d. В §4 это же делается при (1 — 2 н, кроме того, доказывается, что всякое аналитическое семейстпо минимальных тригонометрически 2&-тотпгых кубатурных формул трипи-алыга, если оно содержит решеточную кубатурную формулу. Приведем формулировки соответствующих теорем.

Теорема 6. Пусть d — 2к -)-1, С ~ е'пт (к > 0). Набор ;/злое любой минимальной тригонометрически ¿-точной кубатурной формулы имеет cud

где tо = 1, f ь..., tt — некоторые равные 1 по модулю комплексные числа, S — ¿1 (о предположении, что одним из узлов кубатурной формулы яа.гяется (1,1)).

Теорема 7. Не существует других минимальных тригонометрически 2-точных кубатурных формул с узлом (1,1), кроме указанных в теореме 5 решеточных кубатурных формул.

Пусть U — некоторый открытый интервал действительной прямой.

Определенно 11. Семейство минимальных тригонометрически 2к-точных кубатурных формул с набором узлов

{(1,1), (zjMwjMUf-i1, 11

где и 6 U, называется аналитическим, если в представлении zj(и) — e'2»v>;iu)j Wj(u) = (1 < j < м _ 1) функции ^ Oj : £/ -i B.

являются аналитическими.

Теорема 8. Ilpu k > 1 любое аналитическое семейстчо минимальных тригонометрически 2к-точных кубатурных формул, содержащее щба-турную формулу с набором узлов {€), яеляетел тривиальным, т.е. состоит из одной отой формулы.

Третья (и последняя) глава называется «Минимальные кубатурные формулы для сферы, точные на алгебраических многочленах». Она состоит из 2-х параграфов.

D §1 исследуется сформулированная выше задача в случае, когда Й ~ S,,-! — сфера в R", Iq - J, гд?

/ ФШх)дУ (Ф&-Р), su-1

причем весовая функция р : 5„-i —» R+ такоаа,что существуют все моменты и выполнены условия (Ci) и (Сг)-

Теорема 9. Пусть даны число d £ N, набор Е = {г'}^1 точек, принадлежащих S„-i, и набор С = {tjlylo' пещлевых вещественных чисел, причем N — Nj и при нечетном d имеют место раиенстеа (3). Наборы Е и С определяют минимальную щбатурщю формулу с d-свойсгавом тогда, и только тогда, когда

Щх*, х>') — 0 (0<j </ < N' - 1), Kd{x\ = (¿су)-1 (0 < j < N' -1),.

где N', 5 равны соответственно N, 1 при четном d и JV/2, 2 при нечетном d.

Замечание 2. Теорема 9 дает следующий критерий существований минимальных кубатурных формул с ri-свойством и узлами на Sn-ï. такие кубатурные формулы существуют тогда и только тогда, когда система

А'дН J) =0 (0 < j < У < N' - 1), € Л'„_1 (0 < ; < N' - 1)

с неизвестными х> (0 < ] < IV' — 1) имеет решения. В частности, при (1 = 2, 3 и некоторых дополнительных ограничениях на весовую функцию можно утверждать, что рассматриваемые кубатурные формулы существуют, имеют равные коэффициенты и единственны (здесь и ниже под единственностью понимается единственность с точностью до ортогональных преобразований 5„_1).

Далее весовая функция считается постоянной; в этой ситуации справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Для всех х,х' £ 5„_1 имеет место равенство

А^(х,х') -п(х-х'),

где тд — многочлен с рациональными коэффициентами, имеющий степень (I)2 при четном (1 и (д — 1)/2 при нечетном й.

Замечание 3. При нечетных д многочлены г^ совпадают с многочленами Гегенбауэра

Следствие 1. Любая минимальная кубатурная формула с й-свойством и узлами на 5п-1 должна иметь равные коэффициенты.

В §2 приводятся примеры, показывающие, что сформулированный в замечании 2 критерий существенно проще и конструктивней (если учесть теорему 10), чем полученный ранее Г.Г. Распутиным в рамках теории полиномиальных идеалов. Так, для указанных в таблице значений п и /1

п (I

3 4,7

4 4, 5,7

о 4,5

легко устанавливается отсутствие искомых кубатурных формул, а при п = 3, Л = 5 — их существование и единственность.

Наконец, следствие 1 и факты о точных сферических (/-схемах позволяют заключить: минимальные кубатурные формулы с ^-свойством для 5„_1 (при сделанных предположениях об узлах и весовой функции) не существуют, если п > 3, </ = б или (I > 8, за исключением случая и = 24, д — 11. Таким образом, граница Мёллера в рассматриваемой ситуации почти всегда но является точной.

Статьи автора по теме диссертации

1. Мшшмалыше кубатурные формулы для приближенного интегриро-цания по поверхности сферы. Красноярск, 1996. — 10 с. Деп. в ВИНИТИ, N 3427 - В 96 (совместно с Носковым М.В.).

2. О минимальных кубатурных формулах для интегрирования по 2-мерной сфере // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа: ИМВД РАН, 1996. С. 107-112 (соаместно с Носковым М.В.).

3. О минимальных кубатурных формулах данной тригонометрической точности в 2-мериом случае // Кубатурные формулы и их приложения: Доклады, представленные на III ссминар-совеша.ннс «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВД УНЦ РАН, 1996. С. 52-СО.

4. О минимальных кубатурных формулах для интегрирования по сфере в R" // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике: Тезисы докладов, ч. I. Новосибирск: ИМ СО РАН, 199G. С. 79.

5. О кубатурных формулах наивысшей тригонометрической точности в 2-.uepiio.vi случае // Кубатурные формулы и их приложения: Тезисы докладов, представленных на III семинар-совещание «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВД УНЦ УрО РАН, 1995. С. 23.

6. О семействах минимальных кубатурных формул четной тригонометрической точности в 2-мерном случае // Кубатурные формулы и их приложения: Доклады, представленные на III семинар-совешание «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа: ИМВД УНЦ РАН, 1996. С. 61-СЗ.

Отпечатано на ротапринте КГТУ. Красноярск, ул. Киренского, 26. Заказ jjgg- Тираж 100.