Решетчатые кубатурные формулы высокой тригонометрической точности в четырехмерном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Петров Антон Владимирович

РЕШЕТЧАТЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫСОКОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2004

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете (г Красноярск)

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Носков Михаил Валерианович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Белых Владимир Никитич

кандидат физико-математических наук Шатохина Лариса Владимировна Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

университет (г Санкт-Петербург)

Защита состоится 28 декабря 2004 года в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан «¿6 » ноября 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета (/Шиг^/^. Сафонов К. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из актуальных и важных задач вычислительной математики является задача приближения интегралов конечными суммами Формулы приближенного вычисления интеграла имеют вид приближенных равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой — обобщение суммы Римана линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами При п = 1 такие формулы приближенного интегрирования называют квадратурными, а при - кубатурными.

В частности, существенный интерес представляют решетчатые куба-турные формулы, точно интегрирующие все тригонометрические мономы степени не выше й на единичном гиперкубе [0,1)". Решетчатая куба-турная формула с решеткой узлов Л имеет вид

где N — число узлов формулы, {х(,)} = Л П [0,1)п — узлы формулы Построение и изучение решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ё-свойством, с минимально возможным числом узлов является одной из наиболее активно развивающихся в последнее время ветвей теории кубатурных формул.

В настоящей диссертации рассматривается вопрос построения решетчатых кубатурных формул (1), обладающих тригонометрическим й-свойством, для случая п = 4 Мы сосредоточились на случае п = 4 потому, что случаи п =2,3 можно считать практически завершенными в случае п — 2 построены все минимальные формулы для нечетных й, в случае п = 3 построены минимальные серии формул, в то же время, для случая п — 4 построены формулы с минимально возможным числом узлов лишь для й = 2,3...,24, а формулы построенных серий в случае п — 4 имеют относительно большое число узлов

Отдельный интерес в изучении кубатурных формул, в том числе и решетчатых, представляет задача определения нижней границы числа узлов формул. Отметим, что определение нижней границы числа узлов для решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ё-свойством, берет начало в теории числовых решеток Нижняя граница

10,4"

'(1)

числа узлов формулы (1) тесно связана с значением критического определителя — одной из характеристик числовых решеток. В настоящей диссертации рассматривается, в частности, вопрос об уточнении значения критического определителя для гипероктаэдра в 4-х мерном случае.

Цель и задачи исследования. Цель данного исследования состоит в построении решетчатых кубатурных формул высокой тригонометрической точности в 4-х мерном случае и разбивается на ряд задач-

1. Уточнение известной нижней границы числа узлов решетчатых ку-батурных формул в 4-х мерном случае.

2 Построение серий решетчатых кубатурных формул высокой тригонометрической точности в 4-х мерном случае, с числом узлов меньшим, чем в известных ранее сериях.

3. Разработка эффективного алгоритма построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности в 4-х мерном случае.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты: в 4-х мерном случае получена более точная нижняя граница числа узлов решетчатых кубатурных формул, построены серии решетчатых кубатур-ных формул с высоким коэффициентом эффективности, разработан эффективный алгоритм построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности Все результаты, полученные в диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Основные результаты данной работы имеют теоретический и практический характер Теоретическая ценность работы характеризуется уточнением нижней границы числа узлов решетчатых кубатурных формул, а также уточнением значения критического определителя для гипероктаэдра в 4-х мерном случае. Построенные в диссертационной работе кубатурные формулы могут быть использованы для вычислений интегралов на ЭВМ, а также для дискретного преобразования Фурье в 4-х мерном случае.

Методика исследования. При проведении исследований использовались методы математического анализа, вычислительной математики, в частности, теории кубатурных формул, а также численные методы

Апробация работы. Результаты исследования докладывалась на следующих конференциях:

• V международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (г. Красноярск, 1999),

• XXXIII научной студенческой конференции (г. Красноярск, 2000);

• VI международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (г. Уфа, 2001);

• VII международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (г. Красноярск, 2003).

На защиту выносятся:

1. Методика получения нижней границы числа узлов решетчатых ку-батурных формул, используя кубатурные формулы, полученные экспериментально.

2. Серии решетчатых кубатурных формул с высоким коэффициентом эффективности.

3 Эффективный алгоритм построения формул заданной тригонометрической точности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты диссертации содержатся в статьях [4-8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав основного текста. Библиографический список использованной литературы включает 35 наименований. Объем работы составляет 77 листов машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена уточнению известной оценки значения критического определителя для гипероктаэдра

и состоит из шести параграфов.

В первом параграфе речь идет о теоретико-числовых решетках. Множество точек

называется решеткой, А — порождающая матрица решетки Л = А(А), величина с1(А) — | с!е1;(.<4)| называется определителем решет кУ", — дуальная решетка к

Во втором параграфе вводятся понятия критической решетки и критического определителя. Приводятся некоторые примеры множеств, для которых найдены критические решетки

Определение 1. Решетка Л называется допустимой длямножества И, если она не содержит точек внутри множества за исключением, быть может, начала координат

Если решетка Л допустима для некоторого множества 11, то говорят Л является ^-допустимой

Определение 2. Величи^п

Д(7г) = тЫ(Л),

где точная нижняя грань берется по всем И-допустимымрешеткам Л, называетсякритическимопределителеммножества И

В третьем параграфе устанавливается роль критического определителя и критической решетки в построении решетчатых кубатурных формул с минимальным числом узлов

Теорема 1. Решетчатая кубатурная формула с решеткой узлов К обладает тригонометрическим d-свойством тогда и только тогда, когда решетка Лх является допустимой для гипероктаэдра 1).Х„

Число

называется коэффициентом эффективности решетчатой кубатурная формулы (1), обладающей тригонометрическим d-свойством [1] Отметим, что имеет место неравенство

1

А(Х„)

(3)

Значение критического определителя, равно как и предельного значения коэффициента эффективности, для случая п — 4 на настоящий момент неизвестно Наилучшая оценка коэффициента эффективности до .не давнего времени была к < ^ ^ 19 78743961 [3], соответственно, оценка критического определителя Д(Х») ^ щщ и 0.05053711.

В четвертом параграфе описан алгоритм преобразования • Хп~ допустимой решетки М в некоторой окрестности в результате которого можно получить Х„-допустимую решетку с меньшим значением определителя, чем у исходной решетки.

В пятом параграфе приведено подробное описание преобразования конкретной решетки формулы, обладающей тригонометрическим 11-свойством.

Рассмотрим решетчатую формулу с параметрами

Пусть М — дуальная решетка формулы с параметрами (4). Заметим, что на границе гипероктаэдра

лежит в точности 15 пар точек решетки М.

Зададим решетку М матрицей, состоящей из базисных векторов решетки столбцов, лежащих на границе гипероктаэдра (5),

Преобразуем базис решетки М, а именно матрицу В, малым шевелением. Другими словами рассмотрим решетку М с матрицей В — В + С, где С — матрица специального вида, причем элементы матрицы С достаточно малы.

Потребуем, чтобы в результате преобразования образы граничных точек Ь,,г = 1,2,..., 15 оставались на границе гипероктаэдра, это позволит сделать решетку М допустимой для Х4.

В результате получаем, что

- /

С = С (а) =

-2а О —4а 2а

а 0 0

—4а 2а -2а

2а —а 2а

—а а 0

Л

где а е [-1/4,0].

Для преобразованной решетки М имеем

= -16а4 - 64а3 + 336а2 + 152а + 1064 ^ 1064 = | ¿еЬ(В)\ при а £ [-1/4,0].

Тогда при а « —0.121404 имеем оценку для критического определителя

: d(M),

(7)

Д(Х,) <

d(M(a))

124

= 0.05051375005

(8)

а также для коэффициента эффективности и

х < 19.79659002.... (9)

Учитывая (2), (8) имеем, что число узлов N решетчатой кубатурной формулы, обладающей тригонометрическим d-свойством ограничено снизу

N ^ 0.05051375005(d + I)4. (10)

Вторая глава посвящена построению серий решетчатых кубатурных формул в четырехмерном случае и состоит из четырех параграфов.

Понятие серии кубатурых формул ранга 1, то есть задание последовательности кубатурных формул, где все их параметры: узлы, коэффициенты и точность формулы d зависит от одного параметра, четко сформулировано в работе [2].

В первом параграфе рассматриваются подходы к построению серий как с точки зрения понятия серии формул ранга 1, так и с точки зрения более общего понятия серии, которое связано с решетками произвольного ранга.

Определение 3. Говорят, что задана серия S решетчатых кубатурных формул с решеткой узлов Л*, обладающаятригонометрическим д,{к)-свойством, еслирешеткаМ& = порождаетсяматрицейВ+С, где В, С — некоторые фиксированные целочисленные матрицы. Причем при любом k ^ ко, где ко — некоторое неотрицательное число, куба-турная формула (1) обладает тригонометрическим с1(к)-свойством.

Коэффициент эффективности серии 5

Во втором параграфе описан алгоритм построения серии. Рассмотрим решетчатую кубатурную формулу с решеткой узлов Л = М1, обладающую тригонометрическим ¿о = 15-свойством, со следующими параметрами

Фиксируем целое число г в пределах — 1 ^ г ^ 15 и положим ¿(к) = (¿о + 1)*: + г = 16к + г.

Рассмотрим решетку с матрицей целочисленная матрица. Потребуем, чтобы решетка М^ была допустимой для гипероктаэдра

Заметим, что на границе гипероктаэдра '

лежит 15 пар точек ±6, решетки М. Для того чтобы решетка М^ была (с1{к) 4- 1)Х}-допустимой потребуем выполнение 15-ти неравенств

(ИМ ^ ¿(*) + 1, г = 1, -.., 15},

(13)

где Ь, = к(Е + к^СВф^Ь, — образы граничных точек.

Неравенства системы (13) дают следующие соотношения для элементов матрицы С

||£|| = ЩЕ + к-'СВ^М = ||А:Ь1+СВ-1Ь1\\ = + ^ Ж+г+1,

где Ь,} — ,7-я компонента в е к т ^рсак-е.мп о н е н т а вектора С.В_16,. Потребуем, чтобы для элементов матрицы С выполнялись неравенства

п{Ь1})сг} < при всех 1 ^ з ^ 4,1 < г ^ 15, для которых Ь1} ф 0. Тогда при достаточно больших к имеем

4 4

£ += +-

;=1

где

Сц

Ъ13 ф 0, 1 Ь»; = 0

Так как £ = = 16/:, при достаточно больших А неравенства 7=1

(13) переписываются в виде

^ г+ 1,1 = 1, ..,15

3=1

(14)

Таким образом матрицу С необходимо подбирать так, чтобы было выполнено условие (14).

Кроме того, потребуем потребуем, чтобы формула серии с матрицей В(к) = Вок + С обладала тригонометрическим ¿(А;)-свойством при к = 0.

Перебирая все целочисленные матрицы С удовлетворяющие условиям (14) и порождающие (г + 1)Х,}-допустимые решетки, остановимся на той из них, для которой величина

принимает наименьшие значения при достаточно больших к.

В третьем параграфе описаны серии обладающие тригонометрическим для всех

Дуальная решетка матрицы серий имеет вид В (к) = кВо + С, где матрица Во определена как (11), элементы матрицы С для каждого г приведены в таблице.

Коэффициент эффективности всех построенных серий равен коэффициенту эффективности решетки с параметрами (11) и равен 4096/207.

В четвертом параграфе приводится анализ полученных результатов.

Третья глава посвящена построению решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности и состоит из четырех параграфов

В первом параграфе приводится описание и сравнение по числу операций двух алгоритмов построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности

Во втором параграфе приведено описание алгоритма построения формул заданной тригонометрической точности

Анализируя построенные ранее формулы, обладающие тригонометрическим d-свойством, было отмечено, что практически все формулы из [3] для п — 4 при нечетных d обладают следующим свойством дуальные решетки этих формул содержат 15 пар точек на границе гипероктаэдра {в, + 1)ХП В связи с этим для сокращения объема вычислений будем искать формулы с минимальным числом узлов только среди таких формул, решетки которых содержат 15 пар граничных точек

Пусть М — дуальная решетка кубатурной формулы, обладающей тригонометрическим d-свойством Пусть 4 линейно независимых вектора

ЬиЬ2,Ьз,Ь4 (15)

являются базисом решетки М, тогда матрица В составленная из векторов столбцов (15) будет являться порождающей матрицей решетки М

Потребуем, чтобы наряду с базисными векторами решетки М на границе гипероктаэдра лежало 15 пар точек Потребуем, чтобы 6 граничных точек определялись как сумма или разность двух базисных векторов, то есть, чтобы каждая из линейных комбинаций вида

определяло по одной граничной точке гипероктаэдра (¿£ + Анало-

гичным образом потребуем, чтобы каждая из линейных комбинаций трех базисных векторов вида

определяла по одной граничной точке. И, наконец, потребуем, чтобы последняя граничная точка определялась линейной комбинацией базисных векторов (15) вида

Опишем по этапам алгоритм поиска формул. ПЕРВЫЙ ЭТАП. На данном этапе осуществляется ввод начальных данных, а именно тригонометрическая точность с1 и верхняя граница числа узлов N.

ВТОРОЙ ЭТАП. На данном этапе осуществляется перебор порождающих матриц В = [&1, &2> 63,64] дуальных решеток. Причем в переборе участвуют те и только те вектора 15, лежащие на границе гипероктаэдра, которые вместе с линейными комбинациями вида (16-18) определяют 15 пар граничных точек.

ТРЕТИЙ ЭТАП. На данном этапе осуществляется проверка того, что является ли четверка векторов (15), полученная на втором этапе, базисом некоторой решетки. Если (15) является базисом решетки, то определяем является ли решетка, порождаемая матрицей В допустимой для гипероктаэдра В случае если решетка является допустимой и число узлов соответствующей формулы N = |с1е1;(2?)| меньше значения Й, то значению N присваивается значение N, а соответствующая матрица решетки В сохраняется.

В результате работы приведенного алгоритма число узлов наилучшей формулы для заданного d будет равняться N.

Разработанный алгоритм построения формул достаточно эффективен и позволяет строить решетчатые кубатурные формулы, обладающие тригонометрическим d-свойством, с высоким коэффициентом эффективности (2).

В таблице 1 приведены значения числа узлов N формул, полученных в результате реализации разработанного алгоритма для нечетных d.

Таблица 1

в. N Л N й N а N а N

3 16 17 5354 31 52992 45 226514 59 654704

5 68 19 8148 33 67734 47 268272 61 747066

7 212 21 11886 35 85008 49 316286 63 847872

9 516 23 16812 37 105474 51 369604 65 959274

11 1064 25 23178 39 129500 53 429826 67 1080432

13 1958 27 31104 41 157524 55 497252

15 3312 29 41062 43 189400 57 572514

Более подробная таблица параметров построенных формул (с элементами порождающих матриц решеток) приведена в третьем параграфе третьей главы диссертации.

В третьем параграфе наряду с таблицей построенных формул приведен анализ полученных результатов.' Экспериментально установлено, что число операций алгоритма при достаточно больших (I есть 0[йд), где

Заключение. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Уточнена нижняя границы числа узлов решетчатых кубатурных формул в 4-х мерном случае.

2. Построены серий решетчатых кубатурных формул высокой тригонометрической точности в 4-х мерном случае

3. Разработан эффективный алгоритм построения решетчатых куба-турных формул заданной тригонометрической точности, построены формулы для нечетных ё = 3,5,...,67 в 4-х мерном случае.

Список использованных источников

1. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования функций трех переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 10. С. 1583-1586.

2. Носков М.В., Семенова А.Р. О сериях кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Кубатурные ф-лы и их при лож. Красноярск: КГТУ, 1994. С. 68-78.

3. Cools R., Lyness J.N. Three- and four-dimensional K-optimal lattice rules of moderate trigonometric degree // Math. Comput. 2001. V. 70. P. 1549-1567.

Работы автора по теме диссертации

4. Осипов Н.Н., Петров А.В. Серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах от трех переменных // Кубатурные ф-лы и их прилож. VI Междунар. семинар-совещание. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2001. С. 91-95.

5. Осипов Н.Н., Петров А.В. Об оценке критического определителя для гипероктаэдра в R4 // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 122-125.

6. Осипов Н.Н., Петров А.В. Построение серий решетчатых кубатур-ных формул, точных на тригонометрических многочленах четырех переменных // Вычисл. технологии. 2004. Т. 11, №11 С. 102-110.

7. Петров А.В. Таблица минимальных решетчатых кубатурных формул в трехмерном случае// Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ. 1999. С. 29.

8. Петров А.В. Таблица минимальных решетчатых кубатурных формул в трехмерном случае// Информатика и информационные технологии. Красноярск: КГТУ, 1999. С. 151-154.

9. Петров А.В. Алгоритмы построения решетчатых кубатурных формул// Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 125-130.

Подписано в печать 22.11.2004. Формат бумаги 60x84 1/16

Усл. печ. л. 2,0 Ттраж 100 экз. Заказ ¿Сгу.

Отпечатано на ризографе КГТУ 660074, Красноярск, Киренского 26

»2556 4

0 Введение

1 Теоретико—числовые решетки и критические определители

1.1 Краткие сведения о теоретико-числовых решетках.

1.2 Критический определитель.

1.3 Критические решетки и кубатурные формулы.

1.4 Малое шевеление допустимой решетки.

1.5 Преобразование решетки узлов кубатурной формулы

2 Построение серий решетчатых кубатурных формул

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Построение серий для случая п = 4.

2.3 Таблицы серий.

2.4 Анализ полученных результатов.

3 Построение решетчатых кубатурных формул

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Алгоритм построения формул.

3.3 Таблицы формул, анализ результатов.

С развитием вычислительной техники появились новые возможности решения прикладных задач, в которых требуется вычислять интегралы от функций двух, трех и более переменных по различным областям интегрирования.

Основная проблема состоит в том, что далеко не каждый интеграл можно вычислить точно. Поэтому остается актуальной задача приближения интегралов конечными суммами.

Общая задача теории численного интегрирования состоит в построении и исследовании формул вида

Г N Lj(x)f(x)dn~Y,Cif(x®)t (0.1) i i=i где fi С oj(x) — весовая функция, х^ — узлы формулы, Сг — коэффициенты формулы. При n = 1 формулы вида (0.1) называют квадратурными формулами, при п ^ 2 — кубатурными.

В отличии от квадратурных формул, известных со времен Ньютона, разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно.

Теория кубатурных формул сложилась, в основном, из трех ветвей: алгебраически точные формулы; функционально-аналитические методы исследования кубатурных формул, и вероятностные методы приближенного интегрирования.

Одна из задач построения алгебраически точных формул — это построение таких формул вида (0.1), которые точно интегрируют функции некоторого класса, используя возможно меньшее число узлов.

В частности, существенный интерес представляют решетчатые кубатурные формулы, точно интегрирующие все тригонометрические мономы степени не выше d на единичном гиперкубе [0,1)п, исследованию и построению которых, в основном, для 4-х мерного случая посвящена данная диссертация. Эти формулы интересны тем, что помимо прямого вычисления интегралов они тесно связаны с многомерным дискретным преобразованием Фурье [4].

Решетчатой кубатурной формулой называется формула вида

О Д )n 1 2 г

0.2) где 1 ^ г ^ n, N = N1N2. Nr, Р^ € 2" — порождающие векторы, {а:} означает взятие дробных частей от всех компонентов вектора х € Наименьшее из таких чисел г называется рангом данной кубатурной формулы. Коэффициенты решетчатой кубатурной формулы равны между собой, а система узлов определяет некоторую пространственную решетку. Построение и изучение решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d-свойством и имеющих минимально возможное число узлов, является одной из наиболее активно развивающихся в последнее время ветвей теории кубатурных формул.

Особый интерес в изучении кубатурных формул, в том числе и решетчатых, представляет задача определения точной нижней границы числа узлов формул.

Определение точной нижней границы для числа узлов N кубатурной формулы (0.1), обладающей d-свойством, было центральной задачей в 1960-1990 гг. Если для четного d простейшая нижняя граница определяется достаточно просто, то случай нечетного d и симметричной области был далеко не тривиален. Для n-мерной сферы оценку нижней границы впервые дал И. П. Мысовских [5]. Позднее эти результаты Мысовских были обобщены X. Мёллером [33] для широкого класса симметричных областей интегрирования. Найденная им априорная нижняя граница для числа узлов d-точной кубатурной формулы называется границей Мёл-лера. Формулы, число узлов которых совпадают с границей Мёллера, носят название минимальных. Значение границы Мёллера для формул, обладающих тригонометрическим d-свойством, была найдена и в работах М. В. Носкова [10], [13] и И. П. Мысовских [7]. Более того в [10], [12] были получены первые примеры минимальных кубатурных формул с тригонометрическим d-cвойством для п = 2. Позднее в работе [17] были описаны все минимальные формулы для случая п = 2 и нечетного d.

При п ^ 3 исследования и построения кубатурных формул с тригонометрическим d-свойством ведутся исключительно в классе решетчатых кубатурных формул. Таблицы таких формул для п = 3,4 непрерывно улучшаются, то есть в них появляются новые формулы с меньшим числом узлов. Хронологически можно выделить для п = 3 таблицы из [10], [12], [22], [27], для п = 4 таблицы из [13], [27].

Отметим, что, как правило, в основе методов построения формул заданной точности d лежит обработка большого объема экспериментальных данных. Основная проблема известных алгоритмов построения формул, обладающих тригонометрическим rf-свойством, заключается в том, что объем вычислений существенно зависит от тригонометрической точности формулы d, поэтому остается актуальной задача разработки новых, более эффективных алгоритмов построения формул.

Другим не менее важным подходом в построении решетчатых куба-турных формул, является построение серий кубатурных формул [12], то есть задание числа узлов и их координат, а также коэффициентов ку-батурной формулы как функций от тригонометрической точности куба-турной формулы d. Первые серии для п = 3,4,5 построены в работах М. В. Носкова и А. Р. Семеновой: [15], [16], [24], [25]. Однако, все эти серии хотя и описывают формулы сколь угодно высокой тригонометрической точности, но состоят далеко не из минимальных формул. Построению серий для п = 3 также посвящены работы [19], [20], так, например, в [19] получены наилучшие серии решетчатых кубатурных формул в трехмерном случае. Наилучшие серии для n ^ 4 на настоящий момент неизвестны.

Отметим, что из работ, посвященных изучению решетчатых кубатурных формул, стало известно, что минимальные решетчатые формулы, обладающие тригонометрическим d-свойством, существуют лишь для некоторых малых значений d при п ^ 3. Поэтому возник вопрос об уточнении нижней границы числа узлов решетчатой кубатурной формулы (0.2), обладающей тригонометрическим rf-свойством.

Определение уточненной нижней границы числа узлов для решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d-свойством, берет начало в теории числовых решеток, одной из характеристик которых является так называемый критический определитель. Точные определения, связанные с решетками, мы дадим в первой главе, но в целом, ситуация складывается следующим образом. С каждой теоретико-числовой решеткой связан определитель. Если задана некоторая область И, содержащая начало координат, то теоретико-числовая решетка, которая не имеет с V, общих точек, за исключением начала координат, называется допустимой. Определитель, значение которого совпадает с минимальным значением определителей допустимых решеток, называется критическим для Л. Задача построения формул (0.2), обладающих тригонометрическим d-свойством, с минимальным числом узлов тесно связана с задачей отыскания приближенных значений критического определителя для гипероктаэдра (см. [29]).

На сегодняшний день в теории геометрии чисел известны значения критического определителя для некоторых простых симметричных множеств в двумерном случае, в частности и для квадрата, см. [3] глава 3. Также известно точное значение критического определителя для гипероктаэдра в пространстве с размерностью п = 3 (этот результат принадлежит X. Минковскому [32]). Точного значения критического определителя для случая n ^ 4 на настоящий момент неизвестно.

В настоящей диссертации рассматривается вопрос построения решетчатых кубатурных формул (0.2), обладающих тригонометрическим d-свойством, для случая п = 4. Мы сосредоточились на случае п = 4 потому, что случаи п = 2,3 можно считать практически завершенными. Напомним, что в случае п — 2 построены все минимальные формулы для нечетных d, в случае п = 3 построены минимальные серии формул. В то же время, для случая тг = 4 построены так называемые ^-оптимальные формулы лишь для d = 2,3., 24, а формулы известных серий в случае п = 4 имеют относительно большое число узлов.

Цель данной диссертации заключается в уточнении нижней границы числа узлов и построении решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d-свойством, для случая п = 4.

Все результаты диссертации являются новыми. В настоящей работе приведена уточненная оценка для критического определителя и числа узлов решетчатой кубатурной формулы для случая п = 4. Приведены серии решетчатых кубатурных, обладающих тригонометрическим d(k) = 16к + г для всех к е Ъ. Приведена таблица построенных решетчатых кубатурных формул для нечетных d = 3, 5,., 67.

При проведении исследований использовались методы математического анализа, вычислительной математики, в частности, теории кубатурных формул.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена уточнению известной оценки значения критического определителя для гипероктаэдра Хп при п = 4 и состоит из шести параграфов.

В первом параграфе речь идет о теоретико-числовых решетках. Приводится определение решетки, определение дуальной решетки, а также их основные свойства.

Во втором параграфе вводятся понятия критической решетки и критического определителя. Приводятся некоторые примеры множеств, для которых найдены критические решетки.

В третьем параграфе устанавливается роль критического определителя и критической решетки в построении решетчатых кубатурных формул с минимально возможным числом узлов.

В четвертом параграфе описан алгоритм преобразования допустимой для гипероктаэдра Хп решетки М в некоторой окрестности, в результате которого можно получить Хп-допустимую решетку с меньшим значением определителя, чем у исходной решетки.

В пятом параграфе приведено подробное описание преобразования конкретной решетки формулы, обладающей тригонометрическим 11-свой-ством, на основе метода, описанного в четвертом параграфе. В таблице 1 приведены параметры кубатурных формул, полученных в результате преобразования указанной решетки. Получена улучшенная оценка сверху критического определителя для гипероктаэдра Х4. Тем самым получена уточненная нижняя оценка числа узлов решетчатой кубатурной формулы (0.2) для случая п = 4.

Вторая глава посвящена построению серий решетчатых кубатурных формул в четырехмерном случае с коэффициентом эффективности х = 4096/207 и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе приводится описание и сравнение двух методов построения серий решетчатых кубатурных формул. Приведены известные серии построенные ранее для случаев п = 2,3,4. Построена серия при п = 3 с максимально возможным коэффициентом эффективности.

Во втором параграфе на конкретном примере описан алгоритм построения серии для п = 4, обладающей тригонометрическим d(k) = 16к + 2 свойством; в качестве базовой решетки выбрана решетка формулы с коэффициентом эффективности н = 4096/207, обладающая тригонометрическим 15-свойством.

В третьем параграфе описаны серии для п = 4 обладающие тригонометрическим d{k) = 16k + r-свойством для всех г = — 1, 0,., 15. Коэффициент эффективности всех серий равен 4096/207. Число узлов полученных серий в асимпототике меньше числа узлов известных ранее серий (см. [13]) примерно на 20%. Формулы полученных серий незначительно отличаются по числу узлов от .ftT-оптимальных формул, полученных в [27] для соответствующих d.

В четвертом параграфе приводится анализ полученных результатов.

Третья глава посвящена построению решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе приводится описание и сравнение по числу операций двух алгоритмов построения решетчатых кубатурных формул заданной тригонометрической точности.

Во втором параграфе приведено описание алгоритма построения формул заданной тригонометрической точности.

В третьем параграфе приведена таблица построенных формул, полученных в результате реализации описанного алгоритма, для тригонометрической точности d = 3, 5,., 67. Исследовано число операций, приведено время работы программы, реализующей алгоритм, для различных d.

В четвертом параграфе приводится анализ полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в [20], [21], [23]. Они докладывались на V международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1999 г.), XXXIII научной студенческой конференции (г. Красноярск, 2000 г.), на VI международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Уфа, 2001 г ), на VII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 2003 г.), на семинарах в Красноярском государственном техническом университете.

Основные обозначения

В диссертации используются следующие обозначения: Rn — n-мерное вещественное пространство; Zn — n-мерное целочисленное пространство;

IMI = l^il + кг! + • • • + |®п| — норма вектора х\

Хп = {х G 1" : ||х|| < 1} — n-мерный гипероктаэдр; аХп — множество точек ах, где х Е Хп\

Xn = {i £ Шп : ||х|| = 1} — граница гипероктаэдра; — дробная часть числа у\ у] — целая часть числа у.

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М. 1949.

2. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

3. Кашкин В.Б., Носков М.В., Осипов Н.Н. Вариант дискретного преобразования Фурье с узлами на параллелепипедальных сетках //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №3. С. 355-359.

4. Мысовских И.П. Доказательство минимальности числа узлов одной кубатурной формулы для гипершара// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966. Т. 6, N 4.

5. Мысовских И.П. О вычислении интегралов по поверхности сферы// ДАН СССР, 1977. Т. 235, N 2. С. 269-272.

6. Мысовских И.П. О кубатурных формулах, инвариантных относительно групп преобразований // Методы вычислений. Д.: Из-во Ле-нингр. ун-та, 1978. Вып.11. С. 3-21.

7. Мысовских И.П. Кубатурные формулы, точные для тригонометрических многочленов // Методы вычислений. Л.: Издательство Ле-нингр. ун-та. — 1988. Вып. 15. — С. 7 19.

8. Мысовских И. П. К построению кубатурных формул, точных для тригонометрических многочленов / / Numerical analysis and mathematical modelling. Banach Center Publications. Vol.24. Warsaw: PWN-Polish Scienntific Publishers, 1990. P. 29 38.

9. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций // Методы вычислений. JI.: Изд-во ЛГУ, 1985. Вып. 14. С. 15-23.

10. Носков М.В. Формулы приближенного интегрирования периодических функций // Методы вычислений. JL: Изд-во ЛГУ, 1988. Вып. 15. С. 19-22.

11. Носков М.В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования функций трех переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. №10. С. 1583-1586.

12. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности// Методы вычислений, Под редакцией И. П. Мысовских, Л.: 1991. Вып. 16. С. 16-23.

13. Носков М.В., Осипов Н.Н. Серии кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах // Кубатурные ф-лы и их прилож. Материалы V Междунар. семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 132-136.

14. Носков М.В., Семенова А.Р. О сериях кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Кубатурные ф-лы и их прилож. Красноярск: КГТУ, 1994. С. 68-78.

15. Носков М.В., Семенова А.Р. Кубатурные формулы повышенной тригонометрической точности для периодических функций четырех переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 10. С. 5-11.

16. Осипов Н.Н. О построении серий решетчатых кубатурных формул ранга 1, точных на тригонометрических многочленах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 11. С. 1628-1637.

17. Осипов Н.Н., Петров А.В. Серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах от трех переменных // Кубатурные ф-лы и их при лож. VI Междунар. семинар-совещание. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2001. С. 91-95.

18. Осипов Н.Н., Петров А.В. Построение серий решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах четырех переменных // Вычисл. технологии. 2004. Т. 11, №11 С. 102-110.

19. Петров А.В. Таблица минимальных решетчатых кубатурных формул в трехмерном случае// Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ. 1999. С. 29.

20. Петров А.В. Алгоритмы построения решетчатых кубатурных формул// Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 125-130.

21. Семенова А.Р. Серии кубатурных формул для периодических формул пяти переменных // Комплексный анализ, дифференц. ур-ния, числ. методы и прилож. V. Числ. методы. Уфа: ИМ с ВЦ РАН, 1996. С. 137-146.

22. Семенова А.Р. Вычислительные эксперименты при построении кубатурных формул высокой тригонометрической точности / / Кубатурные формулы и их приложения: Материалы III Международного семинара-совещания. Красноярск: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. — 132 с.

23. Соболев C.JI., Васкевич В. JI. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.

24. Cools R., Lyness J.N. Three- and four-dimensional if-optimal lattice rules of moderate trigonometric degree // Math. Comput. 2001. V. 70. P. 1549-1567.

25. Klyuchnikov В. V., Reztsov A relation between cubature formulas and denset lattice packings // East Journal an Approximations. 1995. V. 1. P. 557-570.

26. Lyness J.N. An introduction to lattice rules and their generator matrices // IMA J. of Numer. Analys. 1989. V. 9. P. 405-419.

27. Lyness J.N., S0revik TLattice rules by component scaling // Math. Сотр. 1997. V. 61. P. 799-820.

28. Minkowski H. Geometrie der Zahlen. Leipzig-Berlin, 1896.

29. Minkowski H. Dichteste gitterformige Lagerung kongruenter Korper // Nachr. Koning Ges. Wiss. Gottingen, 1904. P. 311-355.

30. Moller H.M. Lower bounds for the number of nodes in cubature formulae // in: Numerische Integration/ Herausgegeben von. G. Hammerlin, ISNM 45. Basel: Birkhauser Verlag, 1979, p. 221-230.

31. Sloan I.H., Kachoyan P.J. Lattice methods for multiple integration: theory, error analysis and examples // SIAM J. Numer. Analys. 1987. V. 24. P. 116-128.

32. Sloan I.H., Lyness J.N. The representation of lattice quadrature rules as multiple sums // Math. Comput. 1989. V. 52. P. 81-94.