Построение серий кубатурных формул повышенной тригонометрической точности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГБ 0/1

1 8 ОКТ Г"

па правах рукописи

Семенова Лина Робертовна

ПОСТРОЕНИЕ СЕРИЙ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ПОВЫШЕННОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ

точности

01.Ci.07 - Вычислительная математика

Автореферат длесертацш на «гасстте ученей степени капдпдата физико-иагсетгачсскпх наук

Крссиоярск 1896 г.

Работа, выполнена в Красноярском государственном техническом ушшрслтсте (г.Красноярск)

Научные руководители: доктор физико-математических паук, профессор Носков АЛ Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.профессор Новиков Е.АХВЦ РАН, г.Красноярск)

кандидат фнзпко-матеыатшеских наук, доцеит Васкевич В.Л. (ЯМ СО РАН, г. Новосибирск)

Ведущая организация: Институт математики с вычислительным центром,

Уфимский НЦ РАН.

защита состоится 11)06 г. в /6 час, на заседании

Специализированного cocerá K064.G1.01 при Красноярском государственном университете по адресу: 6G0041, Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться d библиотеке Красноярского государственного университета.

Ю. 08

Автореферат разослан __" _ VQ 1996 г

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук 'О ' * "" Е.К.ЛеШюртас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Функции, периодические по всем или только по песколыспм переменным, широко используются при решении различных научно - технических задач. При птом часто возникает поярос о приближённом интегрировании таких функций. Несмотря па то, что этот вопрос так плп плаче рассматривался в различных работах, например Н.М. Коробова, C.JI. Соболева, В.И. Крылова, многие задачи теории прпблпжспного интегрирования периодических функций ещё далеки от своего полного решения, п построение кубатурпых формул, обладающих тем пли ппым свойством, вызывают затруднения.

Цепь работы. Целтло данной диссертации является построение серий кубатурпых формул повышенной тригонометрической точности для приближённого интегрирования периодических функций с постоянным весом л разработка алгоритма построения таких серий.

Методика исследования. В диссертации используются методы математического анализа, функционального анализа, теории чисел, численные, методы. Качество построенного алгоритма подтверждено вычислительными экспериментами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации - новые и получены лично автором.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенный алгоритм построения серий кубатурпых формуя может быть использовал для построения кубатурпых формул высокой размерности. Ку-батурные формулы, полученные с помощью данного алгоритма, могут быть использованы для численного интегрирования в различных прикладных задачах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па II, III семинарах - созещакиях "Кубатурные формулы и их приложения" {Красноярск, 1993, 1995), па международной школе - семинаре "Вычислительная математика" (Бухара, 1995), на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 1996), па Сибирском конгрессе по "Прикладной и индустриальной математике" (Новосибирск, 1996), на научных семинарах в КГТУ, ВЦ СО РАН (Красноярск), ИМ УНЦ ВЦ РАН (Уфа), ИМ СО РАН (Новосибирск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из 8 параграфов (в том числе, и введение) п списка литературы. Объём работы 97 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В § 1 - во введении рассматриваются различные постановки задачи приближённого интегрирования, формулируются цели исследований и излагается краткое содержание диссертации.

В | 2 показывается, что известнее методы построения кубатурных формул, таких как метод повторного применения квадратурных формул шш метод воспроизводящего ядра, не может привести к успеху в тригонометрическом случае для больших размерностей (п > 3).

В § 3 содержатся сведения о методе, который использовался ранее для получения кубатурных формул. Здесь приводятся необходимые определения, понятия п факты, отталкиваясь от которых, легче .понять переход от теоретпко - числовых 'попятил к их полцпомиапьнъш аналогам, изучаемым в § 4.

В § 4 изучаются свойства -многочленов,'которые можно использовать в качестве параметров кубатурных формул, делается перенос теоретико - числовых терминов, использовавшихся ранее для построения кубатурных формул повышенной тригонометрической точности, на язык многочленов и устанавливаются некоторые свойства вновь определенных объектов. Так например, вводится понятие достижимого многочлена. - '. ' . ... ' . •

Пусть множество М° = пц, ..., те. ...}'— некоторое мно-

жество неотрицательных нелых чисел. Пусть Р\(л), Ра (ж),..., Рг.(-г')> и И(х) — многочлены прштыаюпхао целые положительные значения на множестве М6, то;кдестве!Шо не равны пулю, нричём* Р;(а;), г = 1,2,... ,п - попарно различны и упорядочены по возрастанию степеней. II пусть М1 — конечное множество, состоящее нз корней многочленов Р^я)? Р'Лз), ■ ■ ■, Рв(®)> тогда множество № определим, как разность М° и М1: ' " -

М = М°\М1 = {тщ, г=1,2,,..:]Р(ш;)^0}. Далее рассматриваются все утверждехшя: для х > 0.'-

Определение 1. Многочлен п(х) ' будем называть достижимым для множества многочленов Pt(x), Р?(х), ..., Р„{х) с лесом. d(x) на множестве М, если хотя бы для одного значения m S M существует.целочисленный вектор а — («i, а?, ..., <*„) такой, что

M = Kl + H +•••+ К| < d(m), a,€Z, г = 1,2,..л, (1)

для которых выполняется равенство

aiPi(m) + а2Р2(т) + • ■ • апРп(т) = тг (m). (2)

Определение 2. Множество многочленов Р„ = {Pi (ж), Рг(х),..., Р„(х)} будем называть базисным с весом d(x) на множестве M, если пулевой многочлен не является достижимым для Р„ с весом dix) па множестве M.

В § 5 установлены свойства достижимых многочленов п определено понятие серии кубатурных формул.

Определение 3. Будем говорить, что задана серия кубатурных формул, обладающих тригонометрическим d(m) — свойством, где d(x) — некоторая функция, m € M, если параметры формулы

* ({f}..... M) -

о » ■'=1

(3)

- координаты узлов и число узлов, заданы с помощью функций pi = Pi(m), р2 = Рг(т), ,.., рп — Р„(т) и N — N(m), зависящих от m € M « для каждого m € M формула, определяемая этими napajxtmpajxv,, обладает тригонометрическим d{m) - свойством.

Известно, что кубатур шые формулы обладают тригонометрическим d(m) — свойством, если выполнено (2).

Пусть уже заданы множество М, линейная функция d(x) п некоторое базисное множество многочленов P^-i = {Pt(x),P/_i(x)} со гвойствамп:

1) deg(P,(z)) = 0;

2).deg(P1(ï)) < deg(P2(x)) <-••< deg(Pf_i(r));

3) Для каждого г — 1,2,...,? — 2 разность tieg(Pj+i(s:)) — deg(P¡(a;)) является минимальной среди всех базисных множеств из Pf_i, удовлетворяющих условиям 1) и 2). Базисное множество с такими свойствами называется (d(x),M,Í—l)— комплектом.)

Пусть многочлены P¡(x), г ~ 1,2,С- — 1 описывают параметры pi, ..,, серии кубатурных формул вида (3), обладающей тригонометрическим й'(от) - свойством, т € Л/ при п — I— 1, то есть p¡ = P¿(m) i — 1,..., п. Число узлов N также будет зависеть от т. Тогда для построения кубатурнон формулы размерности п ~ £, обладающей тем же тригонометрическим d(m) — свойством, предполагается параметры pi, р2, ..., i новой формулы описать теми же многочленами Pi(.r), Рг(^),..., P{-i(x), что были использованы для случая меньшей размерности. Многочлен Pt(¿), описывающий параметр pi, выбрать таким образом, чтобы множество многочленов Рi — {Pi(x), P¡(x), ..., было (d(x),M,C)-комплектом, а многочлен N¿{x), опцеы-

вающш! параметр N формулы (3) выбрать так, чтобы он не был достижимым для многочленов, порождённых тройкой (P{,ci(a;), М). Будем всегда считать, что P¡(x) s 1. Более того, оказывается, что целесообразно искать многочлены Р{(х) и Nc(x) в виде

= (4)

>'=i f

ад - £>,(*)(5) i=i

где

+ М = d(x), (б)

¡=i

¿ jc¡(a") + d¡\ =s d(x') + (7)

¿=i

где a¡,b¡,Ci,di € Z при любом значении индекса г. Здесь Z — множество целых чисел.

Этот материал иллюстрирует двумерный случай. В частности доказана теорема о том, что в двумерном случае существует единственная серия кубатурных формул наивысшей тригонометрической точности при d — 2т и только две серил при d = 2т + 1 с полиномиально описываемыми параметрами.

В § G, приведены построенные серии кубатурных формул для: случая, когда размерность задачи равна п ~ 3,4,5. Приведем здесь эти результаты, сформулированные в виде теорем.

Теорема 1. Кубатпурпаж формула

/«•>*» }•{$}). о

П

где х = (rj, я2, ^з), dx - dxi dx^ dx3, S3 = [0; I)3 - трехмерный куб, a pi 5 1, - обладает тригонометрическим d — d(m) — свойством, при условиях:

Таблица 1,

1. d — 2т , m = 2А- p2 — 2m 4 1 рз = 3 nr 4 3 m -f 1 - N- = §m3 4 5Ш2 4 2m 4 1

2. ?n - 4 1 P2 — 2m 4 1 Pz — 3 m2 4 4m 4 2 N = f m3 + 1 m2 4 § m 4 \

3. d = 2m 4 1 m - 2/г . jjj = 2m 4 3 p:j = 3m2 4 6ns 4 3 jV = |m3 4 4m2 4 4m 4 2

4. j?2 — 2m 4 1

= 3m3 4 2m 41

N =s §m3 4 5m2 4 4m 4 2

5. p2 = 2m 4 1 Рз = 3m2 4 3m 4 1 jV - $тз±Ц.т2±5т+2

G. m =a 2Ä + 1 p2 = 2m 4 3 рз = Зпг2 4 7m 4 5 Лг = ijm3 4 4m2 4 |m 4 2

7. P2 = 2m 4 1' pz — 3m? 4 3m 4 1 N = $тя + 7m2 + -h 2

Здесь р 1 = 1. Серии формул, определяемые параметрами из случаев 1, 2, 3, б полностью совпадают с формулами полученными рапсе

М.В.Носковым с помощью других методов, а серии формул соответствующие случаям 4 , 5, 7— новые.

Теорема 2. Кубатурнсш формула

//(^^¿/(М.М-М.Ш. ю

п •>='

где х = (яь х2, 13, Х4), <йс = . П = [0; I)4 —

четырехмерный куб, р\ г 1 - обладает тригонометрическим с1(т) -свойством при условиях:

Таблица 2.

1. ¿= 2т т~2к к= 1,2,." Р1 = 1 Р2 = 2то + 1 РЗ = 2тг + 2т + 1 р4 = 2т3 + 2тг + 2т + 1 N = т1 + 4т3 + 7т2 + 5т + 3

2. т = 2к + 1 Р1 = 1 р2 ~ 2т + 1 р3 = 2т2 + 2т +1 р4 = 2т3 + 2т2 + 2т + 1 ДГ = т4 + Зт3 + Зт2 + т + 1

3. (1 = 2т + 1 т-2к к= 1,2,... Р1 е 1 Р2 = 2т + 3 рз = 2т2 + 6т + 4 Р4 = 2т3 + бтг + 7р» + 5 ЛГ = т* + 6т3 + Щ т2 -I- + 6

4. т = 2* + 1 Р\ = 1 Р2 = 2т + 3 рз = 2та + 4т + 3 р4 в 2т3 + 5т2 + 7т Ч- 5 N = + |т3 + 5т2 +ут + 2

Замечание 1. Серия 4 была получеиа ранее М.В.Носковым.

Теорема 3. Кубатурнаа формула

п 1-1

(10)

где х = (х),.;., Х5), йх = «¿XI... (¡х$, П = [0; I)5, обладает тригонометрическим й{т)-свойством при условиях:

Таблица 3.

1. <* = 2т т = 2к + 1 к = 1,2,--. Р1 = 1 р2 = 2т +1 Рз = 2т2 + 2т + 1 р* ^ 2 т3 + 2т2 + 2т +1 Р5 = 2т4 + 2 т3 + 2т2 + 2т +1 N тпъ + 2т4 + 5 тг + 7т2 + 6т + 3

2: 4 — 2т т = 2к ' * = 1,2,;;; Р1 = 1 Р2 = 2т + 1 Рз = 2 т2 + 2тп + 1 р4 = 2т3 + 2т2 + 2т +1 р5 = 2т4 + 2 т3 + 2 т2 + 4т + 3 ЛГ ~.т5 + Зт4 Н- 4т3 + 6т2 + 8т + 4

Все теоремы,- сформулированные в §С о существовании серий ку-батурных формул .повышенной тригонометрической точности й — с!(т)у заданной не некотором множестве М доказываются с помощью громоздкого однотипного алгоритма, поэтому в диссертации в §7 приведено доказательство.только для случая п — 5.

. Задача построения 1<убатзрпых формул, у которых расчет пара. метроЗ был бы не. очень затруднен н пе"требовал значительных

• временных затрат, является весьма актуальной. В параграфе 8

• представлена алгорпт>шлескдя реализация ' построения серий куба-турпых' формул повышенной тригонометрической тотаости, параметры которьк (координаты узлов, число узлов н коэффицпепты), находятся . как-"..значения-многочленов го базисного множества Р„ == (Р1(?п),Р2(т), :. . ,Рп(пг)) с весом й{х) на множестве М. Ре-алшапня этого алгоритма позволяет значительно уменьшить чнело операций. Так,, если использовать обычный перебор, который прп-

; .лкпллся ранее для лос^^оенля серий х^убатурных формул, то число

операций, необходимых для этого, сравнимо с числом

(и)

Завышенная же оценка сверху числа операций необходимых для построения целых серий кубатурных формул повышенной тригонометрической степени точности сравнима но порядку с числом

где к— модуль,, для которого определяется класс вычетов множества М. Число 10 в формуле числа сочетаний в (12) определяется экспериментально нэ условий проверок на сравнимость. При реальных вычислениях оно, как правило, меньше.

Основные результаты, полученные в диссертации.

- Разработан алгоритм построения серий кубатурных формул повышенной тригонометрической точности.

- Получены серии кубатурных формул повышенной тригонометрической точности для функций трех, четырех п пяти переменных.

- Изучены свойства многочленов, которые можно использовать в качестве параметров серии кубатурных формул.

п

(12)

СТАТЬИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Семёнова А.Р. О кубатурных формулах для периодических функций четырёх переменных. /Тезисы семинара - совещания. Красноярск, 5-10 апреля 1993г. -Красноярск: изд. КрПИ, 1993. С. 38 - 39.

2. Носков М.В., Семёпова А.Р. О сериях кубатурных формул повышенной тригонометрической точности: // Сб. статей семинара - совещания ''Кубатурные формулы и их приложения". -Красноярск: изд. КрПИ, 199-1. С. G8 - 79.

3. Носков М.В., Семёнова А.Р. Построение серий кубатурных'формул повышенной тригонометрической степени точности, / Тезисы докладов III семинара - совещания "Кубатурные формулы и нх приложения". Красноярск, октябрь 1995г. - Красноярск, Уфа: пзд. КрПИ и Цист, матем. ВЦ УИЦ УрО РАН, 1995. С. 22.

4. Семёпова А.Р. Серии кубатурных формул для периодических функций пяти перемеппих.// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Т. V. Численные методах- Уфа: Инст. математ. с вычпсл. центром РАН, 1996. С. 137 - 146.

5. Семёпова А.Р. Вычислительные эксперименты при построении кубатурных формул высокой тригонометрической точности.¡/Из сб. "Кубатурные формулы а их приложения". -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. С. 105 -115.

G. Семёпова А.Р.. Кубатурные формулы поаиыенпой тригонометрической точности для периодических функций пяти переменных. // Из сб. "Вопросы математического анализа". -Красноярск: КГТУ, 1996. С. 68 - 76.

7. Семёпова А.Р. Построение серий кубатурных формул повышенной тригонометрической степени точности. /Тезисы доклада на международной копферепцни "Прикладная и индустриальная математика." Новосибирск, июнь 1996. Изд-во: Новосибирск, ИМ СО ^РАН 1996. С. 82