О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Санеева Людмила Ивановна

О НЕКОТОРЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ

01 01 07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003163017

Красноярск - 2007

003163017

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г Улан-Удэ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Шойнжуров Цырендаша Базарович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Половинкин Владимир Ильич

кандидат физико-математических наук, Шатохина Лариса Владимировна

Ведущая организация:

Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 14 ноября 2007г в 14 часов на заседании совета К212 099 06 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Сибирском федеральном университете по адресу 660074 Красноярск, ул Акад Киренского, 26, ауд Г 4-17

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Политехнического института СФУ, ул Акад Киренского, 26

Автореферат разослан октября 2007г

А

Ученый секретарь диссертационного совета д ф -м н

К В Сафонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию к>батурных формул» С Л Соболева интерес к задачам приближенного интегрирования с помощью ку-батурных формул, точных на многочленах степени не выше заданного числа т, сильно возрос в последние десятилетия

Этот факт отчетливо проявляется в работах не только математиков, но и ряда других специалистов

В работе С Л Соболева [13] исследование кубатурных формул ведется на основе современных функционально-аналитических методов Основным результатом С Л Соболева по теории кубатурных формул является доказательство асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем на решетке в пространстве

¿2

Исследования С Л Соболева по асимптотически оптимальным формулам были продолжены в различных функциональных пространствах М Д Рамазановым, В И Поло-винкиным, Ц Б Шойнжуровым, В Л Васкевичем, А В Войтишек, Н Н Осиповым и другими

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью дальнейшего развития методов приближенного вычисления интегралов

Цель работы В диссертационной работе целью является построение и исследование кубатурных формул, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы

Основные задачи исследования

1 Опредетение оптимального распределения узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных,

2 Построение формул с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей Функционалы погрешности полученных, формул должны быть асимптотически оптимальны,

3 Построение кубатурных формул с пограничным слоем на решетке и коэффициентами в пограничном слое, зависящими от уравнения гладкой границы обтасти,

4 Построение эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области Функционалы погрешности построенных формул, учитывающих значение первой производной, должны быть асимптотически оптимальны

Объект исследования В данной работе объектом исследования являются формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных, область интегрирования П при этом ограничена гладкой поверхностью конечной площади в п— мерном евклидовом пространстве

Теоретико-методологическая основа исследования

Методы исследования Основные результаты получены благодаря функционально-аналитическому подходу Это предполагает, что подынтегральные функции принадлежат некоторому банахову пространству, а разность между интегралом и прибтжжающеи его комбинацией значений подынтегральной функций и значением ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала Этот функционал, называемый функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида является непрерывным Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы общего вида на элементах выбранного пространства

При функциональном подходе лучшей считается та формула, функционал погрешности которой имеет наименьшую норму

Достоверность результатов Достоверность результатов диссертации обеспечена доказательствами всех утверждений, сформулированных в данной работе и численными расчетами интегралов

Научная новизна и положения, выносимые на защиту: На защиту выносятся следующие результаты

1 Определено оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных,

2 Построены формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей Функционалы погрешности полученных формул асимптотически оптимальны,

3 Построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами в пограничном слое, зависящими от уравнения гладкой границы области,

4 Построены эрмитовы кубатурные формулы с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области Функционалы погрешности построенных формул, учитывающих значение первой производной, асимптотически оптимальны

Все основные результаты и выводы диссертации являются новыми

В первой главе рассматривается оптимизация расположения узлов В работе Н С Бахвалова рассмотрены аналогичные вопросы в одномерном случае, в данной работе исследовано оптимальное распределение узлов в произвольной области с гладкими границами в и - мерном случае

В этой работе область П разбивается на к различных частей и в каждой области строятся кубатурные формулы с различными шагами интегрирования Доказаны лемма 1 и теорема 1 для нахождения оптимального шага интегрирования для каждой области С1 В

лемме 1 получена оценка нормы функционала погрешности с переменным шагом интегрирования для пространства ур"

1К4/ =Яо1№(1-М1))

н

Данная оценка для пространства получена впервые

Также в одномерном случае построены квадратурные формулы с переменным шагом интегрирования, причем в отличие от многомерного случая на границе соединения строится пограничный слой с одной стороны, для которого вычисляются коэффициенты

Далее исследуется одномерный случай, где подынтегральная функция принадлежит классуВР = {/е Ст| У НС Бахвалова рассмотрено при т = 2 (формула трапеции) Оптимальное распределение узлов определяется из дифференциального уравнения

Л

х I

Ф0=-Ьх-

{х)(1х

о

Рассматриваются кубатурные формулы для и - мерного куба с переменным шагом интегрирования Отличие от работ Л В Войтишек заключается в том, что в пограничном слое на границе разбиения односторонние пограничные слои, полученные в одномерном случае Коэффициенты кубатурной формулы получены в явном виде

Во второй главе построены кубатурные формулы для областей с гладкими границами Вычисление коэффициентов, в построенных формулах проще, чем в работах М Д Ра-мазанова, А Н Игнатьева

иыг

г Н<?)

= 0

=соп5г Решение находится по формуле

Во втором параграфе второй главы построены эрмитовы кубатурные формулы Функционалы погрешности построенных формул, учитывающих значение первой производной, асимптотически оптимальны

Отличие от работ других авторов заключается во введение производных в кубатурные формулы

Построенные формулы легко программируются и дают небольшую погрешность Личный вклад автора Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично диссертанту В совместных работах вклад соавторов равнозначен

Теоретическая и практическая значимость Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул общего вида с пограничным слоем Полученные в диссертации кубатурные формулы можно применять для приближенного вычисления интегралов

Апробация результатов исследования Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VIII Международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» в г Улан-Удэ (2005г), на Международной конференции «Математика, ее приложения и математическое образование» в г Улан-Удэ (2002г), на II Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» в г Улан-Удэ (2006г), на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (20042005гг), на научном семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного технического университета (2006г ), па Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» (Satellite Conference "Cubature Formulae and Their Applications") (2007r )

Публикации Основные результаты опубликованы в 9 работах, список которых помещен в конце автореферата

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений В тексте диссертации имеется 17 рисунков, 15 таблиц Список литературы включает 96 наименований Объем работы - 139 машинописных страниц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, показана научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, приведены основные определения и постановка задач, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы

В первой главе рассматривается задача об оптимальном распределении узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных, строятся кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования Q с гладкой границей

В параграфе 1.1 приведены основные понятия теории кубатурных формул, определены основные пространства fV"(En), fV"(Q), fVJ(£„)

В диссертационной работе рассматривается пространство W™ ) с нормой

» _ а I, i р

f \ dx

Е. !Ф<* а

Mm

Аналогично определяется норма функции <р{х) в fF"(ü)

р

<00, 1<р<оо (1)

У'(п) "

<00,

(2)

Определено пространство W" (Ел) = W™

Пространство W" есть множество всех измеримых и существенно ограниченных на Еп функций <р(х) , имеющих всевозможные обобщенные производные D"(p{x), |а|</я до т- го порядка включительно и удовлетворяющих условию

HMU = hm

р-Ь СО 1 "пр р-+ «о

<00

(3)

В данном параграфе доказана следующая лемма

Лемма 1. Если существует верхний предел в норме (3) и q> eW™ (£„) для достаточно бопших р и имеет место hmЫ „< оо, то функции D"ç(x), Ы</и сущест-

00 "

венн ограничены на Е„

Норма функции в определяется предельньм неравенством

г íykm "

£ |œ|<m

< 00

(4)

Экстремальная функция функционала р(х) в определяется равенством

\DaG2m{x)*р{хф sgn{DPGlm{x)*р{х)), (5)

где G2m(x) = F'

фундаментальное решение /и — метагармонического

m'

(1 + |2яе|2У"

уравнения (1 - Д V" = V (-1-)"-—-Д" рт>п

V > ££ > аКт-аУ

Функция С?2т (х) убьшает на бесконечности по экспоненциальному закону, а в начале координат имеет такие же свойства, как у фундаментального решения полигармонического уравнения

Норма финитного функционала р(х) в ЙС™(£П) равна

I ш

К'(Е„)

III D°G2m(x)*p{xfdx

E„Wm

(б)

Отсюда следует, что норма финитного функционалар(х) в IV™ (£„) равна

[экстремальная функция q>p(x) в W™ выражается формулой

Ь (*) = I D°G2m (*) * sgn(D"G2m (х) * р(х))

б

Рассмотрим разбиение единицы в и - мерном пространстве

Сначала остановимся на одномерном случае

Пусть ©(х)-шапочка, обладающая следующими свойствами

й)(х)еС(£1), а>(х)>0, |а»(х)|<1, й>(х) = а>(-х), 5ирр«а(х) = [-1,1], и со(х) = 1 при Ы<-

I I 2

Пусть £ - достаточно малое положительное число Рассмотрим следующее разложение единицы

¿•(Я'Ь <9)

Разложение единицы ил- мерном пространстве имеет следующий вид

гШН я)-1 (10>

В формуле (9) группируем в отдельную функцию ф^ (х) те слагаемые, носители которых пересекаются с. ] = \, 2, , к Если слагаемое попадает в несколько группировок, то относим его в какую-нибудь из них

В параграфе 1 2 рассматривается задача об оптимальном распределении узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных, строятся кубатур-ные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования П с гладкой границей

Построены кубатурные формулы, используя идею из монографии Ц Б Шойнжурова ([16], стр 188-192) и схемы из работ Н С Бахвалова [1] и Л В Войтишек [2] по теории ку-батурных формул

Пусть область П с гладкой границей разбита на ¿частей £1^, 7=1, 2, , к Для каждой области строятся кубатурные формулы с пограничным слоем Пограничным слоем функционала будем называть множество точек НР, где коэффициенты Су отличны от единицы или которые лежат вне области П

Значения N должны быть целыми, поэтому в формулах берем целую часть ту , т е

м

Введем класс функций В]

В1=\<р&1¥„\ эиругагр> =Л/ <Му, у = 1, 2, , к\ (П) Доказана следующая лемма

Лемма 2 Пусть П- область определения с гладкой границей и разбивается па к

(1тг ЯУ к

частей = , к, Ы = ' 1 Ф>

к

1а{х) = (х), где (х) - функционалы погрешности с пограничным слоем для ClJ у-1 ' '

Тогда имеет место при N —> со асимптотическое равенство

1а,-=яо1№(1+0(1)) (12)

Теорема 1. При выполнении условия леммы лучший размер сетки в классе функций В1 определяется равенством

/г. =

1 к т+п

£—£м, |п,рг

N " м.

(13)

Отсюда видно, что размер сетки области меньше там, где норма больше Рассмотрим одномерный случай

Сначала была формула с симметричным пограничным слоем с мелким шагом И

¡т(х) = ет(х)-к X С,3(х-Из)

Разбили отрезок [0,1] на непересекающиеся интервалы с концами } в некоток

рых узлах кр = С1; = Для каждого интервала QJ взяли свой

И

функционал погрешности с шагом И более крупным, кратным к, — — к - целые числа

' И

/£(*) = А, £ КрОЖх-^Ю

Условия для вычисления коэффициентов таковы

Пусть Н = й и /д (х) - функционал с симметричным пограничным слоем с узлами N

на решетке с шагом И, А = [0,1]

Разобьем Д на непересекающиеся интервалы П , _/ = 1, 2, , к с концами в узлах

А£е[0,1], Л = £п, и|П,|>0

Функционал с переменным шагом интегрирования представим в виде

(14)

у=0

Вспомогательный точечный функционал

т

У-0

должен удовлетворять условиям

(//,*") = 0, а = 0, 1, ,т

Отсюда коэффициенты определяется из систем

(16)

Вычисление показывает, что

Л У

, ог = 0, 1, , т, * = 0, 1, , кг\ (17)

ГС*«——Г)

= = —<1, ^ = 1, 2, ,к-1 й,

Обозначим через ^ и ^ соответственно левые и правые концы интервалов П , 7=1.2, , А-

Суммируя функционалы по А у? е П и 5, имеем (И т

тяек?0)"

t®+mh Zh в <t®. (2°)

t^+mhJ<hJP<t)l>,

7=0 j=0

Искомый функционал (19) построен

Особенность этого функционала заключается в том, что он аннулирует точечные функционалы по малым участкам J и заменяет их функционалами с шагами h]

Пусть F(x) - модельная функция, характеризующая свойства подкласса BF m раз непрерывно дифференцируемых функций |/(™'|< F(x) на отрезке [0,1]

Теорема 2. Пусть f &BF , х = -монотонная, непрерывно дифференцируемая

функция, (р(0) = 0 « (2>(1) = 1 11 t = t{x) обратная функция к <p{t), /(0) = 0, <(l) = l и

v

Sf = Sjf - квадратурная формула с остаточным членом

M

тГ _

Тогда при N -> да асимптотически оптимачъное распределение узлов X^ формулы

л- ^Fm+>(x)dx

5/ = выражается формуюй _ о_

о

Такой подход позволяет оценить функционалы погрешности на малых участках, в этом заключается отличие от работы Л В Войтишек [2] Рассмотрим л - мерный случай

Построенные функционалы используются для вычисления п - кратных интегралов для п - мерного куба и в этом направлении вычисления интегралов обобщают исследования Л В Войтишек

Интеграл по кубу Д сводится к вычислению интегралов

л Л-О А-О А-0

Построена кубатурная формула, содержащая значения функции и ее производных, на плоскости

I ± СгСп<р(кГ1,Ьу2) + кг± £ К8<,Иу,)(22)

О 0 7|=0 г3=0 .>, =0

Пусть Д - л - мерный куб, — = А Д е Д - прямоугольные п - мерные параллеле-N 1

отшеды, ] = 1, 2, , с вершинами в узлах решетки с шагом Ь с длинами ребер Ь1 - оу 7 = 1, 2, А, где и йу принадлежат решетке с шагом ^

Пусть (*) — функционал с симметричным пограничным слоем для Л Построим точечный функционал с пограничным слоем путем суммирования точечных функционалов, построенных выше с шагом И] вдоль положительных направлений осей координат В результате получаем односторонний пограничный слой вдоль -п - мерного параллелепипеда

Тогда искомый функционал имеет вид

7=0

т де /Л; (л) - функционал с шагом Ъ.] с точечным пограничным слоем вдоль координатных осей для области AJ

Минимизируя норму этого функционала в пространстве IV™ () при определенных условиях, указанных в лемме 2, находим лучшии размер сетки

Во второй главе исследуются кубатурные формулы с пограничным слоем с коэффициентами, зависящими от уравнения границы

В параграфе 2.1 рассматриваются кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области только в пограничном слое Ранее в работе [11] МД Рамазаиова изучались аналогичные формулы В данной работе упрощены вычисления коэффициентов

Пусть )с!х- многомерный интеграл. у = (уиу2) и &л/1 - куб, сдвинутый на века

тор Ир Сначала дадим пояснения в двумерном случае А'^ - криволинейный параллело-

1рамм О - ограниченная область с гладкой границей Г = Г(П) на плоскости, начало кок

ординат (0,0)с все пространство Е, и область О делятся на к частей, Q = [JoJJ

м

Для разбиения единицы используем следующие многочлены (из работ М Д Рамаза-

нсгва)

пусть ^мЛ'Ч1-')".'*(<»).

[О, /«(0,1),

^г)(0= )<Р{'\г)Лг /|<р(,)(г)Л- и 9>(/) = 9>й(2 + 2/) <р(2){2-21) о /о

Тогда вирр^) = [-1,1].

= 1 при <1 и = С>0, при |/|<£й, 1>О

Разложение единицы в Еп имеет следующий вид

Ц I «{±Цд) = 1.где*>0

'-'д^ 2 )

Слагаемые, носители которых пересекаются с а1, в сумме сгруппируем в отдельные функции ф^ (х), ] -1, 2, , к Если слагаемое попадает в несколько группировок, то отнесем его к какой-ниоудь из них

к *

Пусть = зиррФДх), a>J сП, И íl = ucoJ

Для каждой функции ФДл), ] = 1,2, , к построим свой функционал р1 (х)так, чюбы функционал (х) с пограничным слоем получился по следующей формуле

<£(*) = (23)

= Я ( V,) - уравнение границы области О

Замена

У 2 = х: .У1=*1

преобразует области сй1 в область гу(', в Ф; (х)

в ФJ (у), границу г{(oJ) области а>1 в кусок оси у;=0 и криволинейный параллелограмм Д'А/) переходит в прямоугольник ДА/! со стороной 1г В переменных^ построен следующий функционал

(24)

Ау

Сначала строится функционал с узлами на криволинейной решетке Для этого функцию <?(_)/, -И(/32 +/з)) в формуле (24) аппроксимируем с помощью линейной комбинацией функции 5(у2 -й(/?2 +у2 + где = дробная '

Я ^Д)

I часть чис-

Элементарный функционал для куба Д^ принимает вид

К-у)'

(25)

V |_ 1=0

тдскиэффициенты определяются из следующей системы

т

2^"=(7(А)Г.а= 0.1, « (26)

¿=о

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (25), лежат в вершинах криволинейной решетки

С помощью обратной замены переменных х2 = уг + ) и х, = >>,, получен функционал

т т (27)

/2=0 «С

I де ст(Д) - целая часть

числа

И

Для определенности рассматривается одна из областей С0у,С0~, сок, например сох в переменных х

Учитывая срезывающую функцию 4>,(у), элементарные функционалы /д суммируем по всем /?, и /?•,, /? = (/?,,При этом, по свойств) функционала коэффициенты при суммировании по Д и Д, будут равны единице

■Г ш (И

5=о (28)

-А—" А-о

тде для простоты записи в этом выражении характеристические функции не включены

После преобразования коэффициенты формулы (28) определяются следующей сис-

1СМОЙ

Ш1п(и А) Л)

2 Л"ЛД) I Сг,если0</}2<т,

5-0 /=0

т шт(т /?,-?)

Са(А)= IX (Л) I СГестт<р1<2т 1, если Рг > 2т,

(29)

где коэффициенты и С определяются из систем

т 1 т

« = 0,1 т (30)

у=о а + * а=0

В результате построены функционалы погрешности для областей оз ) - 2 3, к

ФД*)Р;00 = ФЛ*)

(31)

После вспомогательного построения основных формуч Фу (х)р; (г), _/= 1,2, .к, иотучена, на основании формулы (23), кубатурная формула с пограничным слоем с узлами на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое

В качестве примера приведено вычисление двойного интеграла

\

///(*,,АгУ&Аг = (х>к>хи), где П = {х? + х* <1. х,, г2 е Ег}

В параграфе 2.2 исследуются эрмитовы кубатурные формулы, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из координатных осей для областей ¡»,.7 = 1,2 ,к в п-мерном пространстве Вычисляются коэффициенты в узлах, лежащих нтрямий параллечьной в указанном направлении, а в других направлениях коэффициенты равны единице

Пусть выпуклая об часть О имеет гладкую границу Г = /(о)е с'"1*1' в п-мерном пространстве, любая прямая пересекает границу области не более чем в двух точках и все пространство Еп делится на к частей сог] = 1,2 ,к, гиперплоскостями параллельными

координатным пчоскостям и £У; ,, = е й)^р[х, г{(0] ))< ), 7 = 1,2, к Ф (л) -

»

срезывающие финитные функции соответствующие областям <о), и ^фД*) = 1 - разло-

1

жепие единицы в п-мерном пространстве (из работ МД Рамазанова) х = (х\ х„),

ница 1 {со]) области сл1 выражается уравнением г„ = Яу (х')

Замена у'- х' и уп = хп - (V) преобразует области п>/ в область о)/, Ф((л) в ФJ (у), границу г{(о]) области со] в кусок гиперплоскости у„ = 0 и криволинейный параллелограмм А'^ в куб А1ф

Построен элементарный функционал погрешности в переменных у — (у'¡У)

0 = -т V >0 Р -0 7 =и

(32)

тде /МА, .Д.-,)- гЧу. .,гЛ Коэффициенты вычисляются из следующих систем уравнений

т 1

Ус,у'=—,« = 0,1, , я», 7=1, 2, , к

'>г' а + Г

пЧИ

5-0 (Т-0

где ^Г"]1"' - означает, что взята производная порядка а от степени у" и вычислена при

у = Х

В общем виде построен функционал погрешности р1 (х) для области ¿у,

т т / ч

} = 'Г(П «=0,1,2, ,(те+1)2-1,

Ф,(.г)А(х) = Ф(х

I - ^увЩ х.-hp, -

h J.

(33)

=0 >.=0

Аналогичные функционалы погрешностей строятся для остальных областей

ft)y, 7 = 2, 3, Д Следовательно, функционал погрешности /п(х) для области Q построен

и*)=ЁФ»л(4 (35)

Рассмотрен пример при ш=3, Э=2 и сг (в нижеследующих преобразованиях для удобства записи индекс п и единица в индексе коэффициента К"х пропущены) Выражение ИС\ -ИЦ-Иу- Ь) =

/1=0 г=О сг=0 1.0

= £ X С, [а'0°£(л: - А/? - Й7) + - - А/ - й) + А: (г - Ир - И у - 2й) +

^=0 ¡--о

+ А''ИЗ'(х - А/? - Иу)+ К\И8'(х - Ир-Иу - А)} (36)

где коэффициенты Су и К" определяется из систем

!—, в = 0,1, 2,3 и ¿]£К,ф',]('')=77<", а = 0,1 2,3,4

7=0 С* "Г I ст=0 »=0

после дальнейших преобразований формула (36) принимает следующий вид

¿-о

ми(2 /?) ппп(2 р-\) тт(1/?) лш)(3 /?-ч)

тдея;и= 2Х £с„ /?;,(/?•)= IX

Построен функционал погрешности для ¿у,

ф, (*)/>,(*)=

А-

(37)

Я = £ А" К (А ж* - К (А - • (38)

(39)

(40)

= Ф, (х(£п,, (х) - X// <?>(г-'-А/?')Х[5; (/* - ¥) + В'(Р)ИЗ'(х - /;/?)]!

0 /)=о J

Аналогично строятся формулы для других областей Рассмотрен функционшт Вспомогательный функционал имеет вид

¿И*, -ад,с»)

Преобразуем (41)

(42)

Аналогичные функционалы получаются и для остальных ю, при ) = 2, 3, А Окончательно имеем

(43)

о /•'

Следовательно, построена кубатурная формула, содержащая в узлах значения функции и значения ее первой производной для областей с гладкими границами В данном параграфе доказана следующая теорема

Теорема 3 Пусть <р € И'™(Е„), рт>п и 0 < 1 < т - —,

Р

к

1а(г) = £■„(*) - функционал погрешности, где

£ В1){/Мхп - АД, )- ЗД,- АД,)

то при А -> 0 функционал асимптотически оптимален в \¥™ и норма функционачравна

II °И»;(£„)

ЛейГ^Д/Г), ,=1,2 Л

х лх

р \ |2лД|'° ,=| /¡«и |2/г/?|я

сЬс

(44)

Основные результаты работы

1 Определено оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных,

2 Построены формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей Функционалы погрешности полученных формул асимптотически оптимальны,

3 Построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области в пограничном слое,

4 Построены эрмитовы кубатурные формулы с коэффициентами зависящими от > равнения границы области Функционалы погрешности построенных формул, учитывающих значение первой производной, асимптотически оптимальны

Пользуясь случаем автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д ф -м н , профессору Ц Б Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе

Список использованных источников

1 Бахвалов H С Численные методы -М Наука, 1973 -631 с

2 Войтишек Л В Об одном частном случае построения кубатурных формул с по-1раничным слоем II Журн вычисл математики и мат физики - 1969 -Т9, №2 -С 417-419

3 Войтишек Л В Построение кубатурных формул с переменой шага // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики Труды семинара С Л Соболева / Под ред С В Успенского - Новосибирск, 1978 -№1 - С 46-53

4 Васкевич В Л Критерий гарантированной точности вычислений многомерных интегралов - Журн «Вычислительная технология» - 2003 - Т 9 - С 44-49

5 ИосидаК Функциональный анализ -М Мир, 1967 -5-624с

6 Коробов H M Приближенные вычисления кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР - 1957 -№6 -С 1062

7 Коробов H M Теоретико-числовые методы в приближенном анализе -М На>ка, 1963 -224с

8 Лебедев В И О квадратурах наивысшей алгебраической степени точности ВКН // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам 'мачемагичискойфизики -Новосибирск, 1973

9 Мысовских И П Интерполяционные кубат>рные формулы //- M Наука 1981 -231с

10 Осипов H H , Петров А В Построение решетчатых кубатурных форму-!, точных «а гршономегрических многочленах четырех переменных Н Журн «Вычисли-1ельные технологии» - 2004 -Т 9-С 102-110

11 Рамазанов M Д Лекции по теории приближенного интегрирования - Уфа Изд-во Башкир ун-та 1973 - 174 с

12 Салихов Г H К теории групп правильных многогранников //Докл АН СССР, -1965 -Х°3 -Т 163 -С 115-121

13 Соболев С Л Введение в теорию кубатурных формул M Наука, 1974 -808с

14 Шойнжуров Ц Б Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных Дис докт физ-мат наук (01 01 01,01 01 07) / Воет -Сиб технолог ин-т - Улан-Удэ, 1977 -235 с

15 Шойнжуров Ц Б Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы -Новосибирск, 1979 - С 28 - (Препринт / АН СССР Сиб отд-е ин-т математики, jV°55)

16 Шойнжуров Ц Б Оценка нормы функционала погрешности к>батурных формул в различных функциональных пространствах - Улан-Удэ Изд-во БНЦ СО РАН, 2005 -247с

Основные результаты диссертации опубликованы автором в следующих работах-

1 Васильева Е Г , Инхеева Л И , Вампилова Н А Квадратурные формулы с погра-

ничным слоем при четном т в пространстве Ь" (£1) // Математика, ее приложения и математическое Образование Материалы международной конференции 4 1 (24-28 июня 2002г, г Улан-Удэ), - Улан-Удэ ВСГТУ, 2002 - С 132138

2 Инхеева Л И, Булгатова Е Н, Кубатурные формулы для гладких областей // Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и •их: приложения», изд-во ВСГТУ, 2005 - С 82-91

3 Санеева Л И , Формулы с переменным шагом интегрирования // Материалы II Всероссийской конференции с международным участием 'Инфокоммуникаци-онные и вычислительные технологии и системы" 4 2 . изд-во БГУ, 2006 -С 114-117

4 Санеева Л И , Булгатова Е Н, Кубатурные формулы для гладких и кусочно-тладких криволинейных ооластей// Вестник ВСГТУ - 2005 -№4 - С 4-5

5 Санеева Л И , Булгатова Е Н , Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала// Вычислительная технология -2006 - Т 11, №4 -С 113-117

6 Шойнжуров Ц Б Инхеева Л И , Цыбенова 3 И Решение одного класса квазилинейных уравнений в дивергентной форме // Математика, ее приложения и магматическое образование Материалы международной конференции 4 1 (24-28 июня 2002г, г Улан-Удэ), - Улан-Удэ ВСГТУ. 2002 - С 145-151

7 Шойнжуров Ц Б , Инхеева Л И Норма периодического функционала погрешности квадратурной формулы в одномерном случае // Сб научных трудов Физико-математические науки — Улан-Удэ ВС1ТУ, 2004 -С 39-44

8 Шойнжуров Ц Б , Инхеева Л И , Булгатова Е Н Построение квадратурных формул с помощью разюжения единицы // Сб научных трудов Физико-математические науки — Улан-Удэ ВСГТУ. 2005 -С 14-21

9 Шойнжуров Ц Б , Санеева Л И Оптимизация узлов кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей // Материалы Уфимской международной ма-гемагичислош конференции посвященной памяти А Ф Леонтьева, ТЗ Уфа ИМВЦ, 2007 - С 37-39

Санеева Людмила Ивановна О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами Автореф дисс на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать 11 10 2007 Заказ 843/2 Формат 60x90/16 Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Отпечатано в ИПЦ Политехнического института СФУ 660074, Красноярск, ул Киренского, 28

ВВЕДЕНИЕ.

I. Оптимизация узлов кубатурных формул.

1.1. Основные понятия.

1.2. Оптимизация узлов кубатурных формул.

II. О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами в пространстве W™{En).

2.1. Кубатурные формулы для областей с гладкими границами.

2.2 Вычисление определенного интеграла с помощью эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы.

Теория квадратур рассматривает методы, позволяющие находить ъ приближенные значения интегралов ^(p[x)dx для широких классов функций а р{х), сводящих вычисление интеграла к вычислению линейной комбинации значений подынтегральной функции.

В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек.

Очень важные результаты были получены С.Л.Соболевым в вопросе о построение кубатурных формул, оптимальных на тех или иных классах функций. В работе С.Л.Соболев [69] исследование кубатурных формул ведется на основе современных функционально-аналитических методов. Основным результатом С.Л. Соболева по теории кубатурных формул является доказательство асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем на решетке в пространстве .

Исследования С.Л. Соболева по асимптотически оптимальным формулам были продолжены его учениками в пространствах Lmp, W™, и В.И.

Половинкиным, Ц.Б. Шойнжуровым, М.Д. Рамазановым и другими.

Применение теоретико-числовых методов началось с работы Н.М. Коробова [26]. Он ввел в рассмотрение классы функций Е"(С) и Н"(С).

Экстремальная задача в Щ(С) решается с помощью варьирования узлов и показывается, что параллелепипедальные сетки обеспечивают наилучший порядок сходимости. Свое дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.С. Бахвалова [1], Н.Н. Ченцова [79], Н.М. Коробова [26] и других.

С современным состоянием этого направления можно ознакомиться в книге Н.М. Коробова [26].

В работах И.П. Мысовских [36], В.И. Лебедева [32], Г.Н. Салихова [65], М.В. Носкова [41], Н.Н. Осипова [45] и других изучаются формулы высокой степени точности на алгебраических и тригонометрических многочленах с малым числом узлов.

В указанных работах варьируются одновременно узлы и коэффициенты кубатурных формул.

Большое число результатов получено в вопросе построения кубатурных формул интерполяционного типа, имеющих тот или иной алгебраический порядок точности. Результаты этого типа изложены в работе И.П. Мысовских

При построении кубатурных формул интерполяционного типа одним из основных вопросов является вопрос о выборе узлов и того пространства алгебраических многочленов, на котором формула должна быть точна. Вопрос о выборе пространства тесно связана с дифференциальными свойствами класса, для которого строится формула.

Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:

• бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;

• быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

При больших численных расчетах появляется необходимость оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. В силу этого большое значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

Рассмотрим следующий кратный интеграл

36].

1) п

Е. где sa (х) - характеристическая функция области П, <р(х) е W " (Ея), рт > п.

Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой

Zc;d>(xJ, (2)

Ci |ar|<|S| где D°(p(xk)=(p{xk), хк -узлы, Ск - коэффициенты и N- число узлов.

Распределение узлов хк внутри П может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы хр нумеруются с помощью мультииндекса

Р = (Д, /?2, . рп) с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле xp=hH/3, где Я- матрица размера ггхп, det# = l, а положительный параметр h называется шагом решетки.

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется разностью ln,cp)=\(p{x)dx-± X CakDacp(xk).

Пусть В - банахово пространство, В* - его сопряженное, и пространство В вложено в пространство С непрерывных функций:

5c=C'(Q). (3)

Интегрируемые функции считаем элементами этого банахова пространства В. Функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида (2) в пространстве В называется обобщенная функция 1п(х)е В' вида: ln(x) = sn(x)-± X C°k(-\)aD°8{x-xk).

Ы |*|<|S|

Функционал погрешности /п(х) вида lQ(x)= \(p(x)dx-fjYJ^Da(p{xk) = n к=\ |a|<|S|

L *=i km p(x) является линейным непрерывным функционалом в В и его норма определяется формулой

К'п^Я н =SUf

L и.l^(p)\ = d{xk,Cak,N).

I/nL-=supJ ip* о

Пусть X = =^x[k\xlk\ ., х^j, к = 1, 2,., ivj - узлы кубатурной формулы, Р = \Ск, Л: = 1, 2,.N, \а\ < |£|} - коэффициенты кубатурной формулы и (X, - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы общего вида.

Кубатурная формула общего вида (2) с функционалом погрешности /п(х) в виде (4) называется наилучшей в пространстве В, если inf sup

• (х'р) <р* о inf d{xk,Cak,N) = d\xk,Cak,N

5) о о

Ее узлы и коэффициенты обозначаются через Хк,Сак соответственно, и называются оптимальными.

Отыскание минимума (5) по Хк,Сак называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (р0[х)еВ, если она существует, реализующая минимум о выражения (5), называется экстремальной функцией функционала /п(х).

Функционал погрешности х,Х, Р, N зависящий от X, Р, N называется асимптотически наилучшим, если 1а х,Х, Р, N е В* и для любого функционала X, Р, N) е В* выполняется условие lim

IЦх,Х, P,

7 £L £. "

L X, X, P, N

1.

6)

Узлы xk и коэффициенты С ak называются асимптотически наилучшими. Пусть узлы кубатурной формулы общего вида (2) расположены на решетке Г(М/|о), d&tH = 1, xk=hHpk, к = 1,2,., N.

Функционал погрешности 1п х,Р, N с узлами на решетке, зависящии от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, если для любого /п (х, Р, N) е В* выполняется условие: lim

N-><*>

7) la\x, Р, N

При а = О формула (2) принимает вид: г N

8) n Ы где Q - ограниченная область с гладкой границей, хк - узлы, Ск -коэффициенты, к = 1, 2,., N и N - число узлов.

В формуле (8) коэффициенты Ск являются произвольными, а остальные параметры фиксированы.

Пусть h е Н = \h!h -> +0, -j- - целые числаН - матрица размера пхп, det# = |#| = l, хр=кнр - узлы формулы (8), В - банахово пространство, вложенное в пространство непрерывных функций, В*- его сопряженное и область Q с С,

Р(Х)) = ШХ)- I hnCfiS(x-hHp),<p(x)\ V<p(x)eB, 1аеВ\ (9) hHp еП sn (x) - характеристическая функция области П.

Функционал (9) называется оптимальным при заданных xp=hH/3 по коэффициентам Ср, если существует У*= с„ еа(х)~ S hnCp8(x-hHP) hH/ЗеО. d в' fh,cX (Ю) v

Асимптотически оптимальным функционалом погрешности ([58], стр.12) называется функционал погрешности {^a(x)}hlI> удовлетворяющий условию fcMl (11)

А->0 h,Cp

Коэффициенты Ср называются асимптотически оптимальными.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М. Никольский [38], В.И. Крылов [31], Н.П. Корнейчук [23] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов[1], Г.Ф. Михайлов [34], И.М. Соболь [75], А.В. Войтишек [16].

В диссертационной работе основной целью является построение и исследование кубатурных формул с переменным шагом интегрирования и эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для достижения цели ставятся задачи:

- оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных;

- построение формул с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей, причем функционалы погрешностей, полученных формул, должны быть асимптотически оптимальными;

- построение кубатурных формул с пограничным слоем на решетке и коэффициентами в пограничном слое, зависящими от уравнения гладкой границы области;

- построение эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области, причем функционалы погрешностей, построенных формул, должны быть асимптотически оптимальными.

Объектом исследования в данной работе служат кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования и кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из ее координатных осей. Область интегрирования Q ограничена гладкой поверхностью конечной площади в n-мерном евклидовом пространстве Еп.

Данная диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 4 параграфа, заключения, списка литературы из 96 наименований и трех приложений. Объем работы - 138 машинописных страниц. В первой главе рассматриваются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования. Во второй главе исследуются кубатурные формулы с пограничным слоем с коэффициентами, зависящими от уравнения границы.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена построению эрмитовых кубатурных формул для гладких областей, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход.

В работе получены следующие результаты: построены кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей. Определено оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных. Построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области в пограничном слое. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов. Исследованы эрмитовы кубатурные формулы, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из координатных осей для области ар j = 1, 2, ., к в n-мерном пространстве с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Функционалы погрешностей построенных формул, учитывающих значения первой производной, асимптотически оптимальны. Результаты работы могут быть использованы для приближенного вычисления многомерных интегралов.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1,1959. - 464 с.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления -функций и теоремы вложения. -М.: Наука, 1975.—480с.

4. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1970. - Вып. 38. - С. 8-15.

5. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

6. Вампилова Н.А., Цыбенова З.И. Интерполяционные операторы с узлами на решетке. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ,- 2000.-С.49-54.

7. Вампилова Н.А. Формулы численного дифференцирования. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки- Улан-Удэ,-2001 -С.49-54.

8. Вампилова Н.А. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. Красноярск, 2003 -С.184-187.

9. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

10. Ю.Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

11. П.Васильева Е.Г. Экстремальная задача теории квадратур: Методы решения и приложения к инженерным задачам: Дис. канд. физ-мат. наук (05.13.18)/Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2002. - 101 с.

12. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Вампилова Н.А. Квадратурные формулыс пограничным слоем при четном т в пространстве Llnp (£,) II

13. Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.1. (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: 2002. - С. 132-138.

14. Васкевич B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241 -250.

15. М.Васкевич B.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) // Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

16. Васкевич B.JI. Критерий гарантированной точности вычислений многомерных интегралов. Вычислительная технология - 2003. - Т.9. -С.44-49.

17. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. Ред. М.В. Носков. -Красноярск, 1982.- 108с.

18. Войтишек JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419.

19. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976.-280 с.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики //- 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988.-512 с.

21. Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н., Кубатурные формулы для гладких областей // Материалы VIII международного семинара-совещания -«Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С.82-91.

22. Иосида К. Функциональный анализ. -М: Мир, 1967. -5-624с.

23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

24. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

25. Коробов Н.М. Приближенные вычисления кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957.-№6.-С.1062.

26. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. -М.: Наука, 1963.-224с.

27. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. - Вып.1. - С. 150-152.

28. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1.-С. 147-150.

29. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности с•регулярным пограничным слоем в W'p'{En) И Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

30. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в

31. Wp(En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

32. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

33. Лебедев В.И. О квадратурах наивысшей алгебраической степени точности ВКН // Теория кубатурных формул и приложения -функционального анализа к задачам математической физики. -Новосибирск, 1973.

34. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных •производных. -Москва. Российский ун-т Дружбы народов, 1997. -445с.

35. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. -М.:Наука, 1987. -236с.

36. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г.

37. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. // -М.:Наука, 1981.-231с.

38. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и •теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

39. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с. •

40. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1991. -Т.2. - 544 с.

41. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул. // Сб. Теория кубатурных формул и вычислительная математика. -Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С.32-41.

42. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. JL, 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

43. Осипов Н.Н. О минимальных кубатурных формулах- данной тригонометрической точности в 2-мерном случае //Кубатурные формулы и их приложения. Докл. III семинара-совещания.- Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996.-С. 451-467.

44. Осипов Н.Н. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных //Журн. вычисл. матем. и матем. физ.-2005.- Т.45.-№2.-С. 212-223.

45. Осипов Н.Н. Примеры экстремальных решеток для гипероктаэдра в R5 и R6 //Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки.- 2005.-№1.- С. 93-96.

46. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. - Т. 12, № 1. - С. 177-196.

47. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. - С. 951-954.

48. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т. 15, №2. - С. 413-429.

49. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т // Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

50. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук(01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979- 18 с.

51. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа Lm II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

52. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //

53. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

54. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. -Сиб.мат.журн. -1978.-Т.19, №3.-С. 663-669.

55. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975ю вып. 34. -С. 3-141. ТУХ

56. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

57. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

58. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

59. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 126, №1.-С. 44-45.

60. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН 1992. - Т.324, №5. - С. 933-937.

61. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их "приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77-89.

62. Рамазанов М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39-52.

63. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1987-287с.

64. Салихов Г.Н. К теории групп правильных многогранников. // Докл. АН СССР, -1965 .-№3 .-Т. 163 .-С. 115-121.

65. Санеева Л.И., Формулы с переменным шагом интегрирования// Материалы II Всероссийской конференции с международным участием "Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и сисгемы".Ч.2 , изд-во БГУ, 2006г. С. 114-117.

66. Санеева Л.И., Булгатова Е.Н., Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей// Вестник ВСГТУ.- 2005.-№4 С.4-5.

67. Санеева Л.И., Булгатова Е.Н., Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала// Вычислительная 'технология, Т. L1, №4, 2006.-С. 113-117.

68. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.

69. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

70. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

71. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

72. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е перераб. и доп. - М.: Наука, 1992. - 432 с.

73. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

74. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.:Наука, 1973.-311с.

75. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

76. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2001.-99 с.

77. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. - 424 с.

78. Ченцов Н.Н. О квадратурных формулах для функций бесконечно большого числа переменных // Журн. Вычислительной математики и математической физики, 1961.-Т.1.-№3.-С.418-424.

79. БО.Шатохина JI.B. Минимизация однопараметрического семействаквадратурных формул типа Грегори для пространства I^a,b.

80. Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С. 168-171.

81. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в fV^m\Q)

82. И Применение функциональных методов к краевым задачам "математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. Новосибирск, 1972. - С. 255-256.

83. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, инт-Улан-Удэ, 1977.-235 с.

84. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. - С. 28. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. ин-т математики; №55)

85. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул впространстве W™(En). Сб. Теория кубатурных формул и приложенияфункционального анализа к задачам математической физики, Новосибирск, Наука, 1980.-С.302-306.

86. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул в пространстве Соболева. //. Труды -математического института Стеклова, 1987.- С.152-158.

87. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве

88. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. IIIсеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 123-127.

89. Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева

90. W т. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222с.Р

91. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.-247с.

92. Шойнжуров Ц.Б., Инхеева Л.И. Норма периодического функционала погрешности квадратурной формулы в одномерном случае // Сб. научных трудов: "Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004.-С. 39^44.

93. Шойнжуров Ц.Б., Инхеева Л.И., Булгатова Е.Н. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы // Сб. научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. -С.14-21.

94. Шойнжуров Ц.Б., Санеева Л.И. Оптимизация узлов кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей. // Материалы Уфимской ■международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева, Т.З. Уфа: ИМВЦ, 2007. С.37-39.

95. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Функционалы погрешности интерполяционных формул. // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2000. - Вып.5 - 2000.-С. 125-134.

96. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Интерполяционный многочлен Соболева. // Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции (28-30 июня 2000г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: БГУ, 2000.-С. 103-105.

97. Шойнжуров Ц.Б., Вампилова Н.А. Весовые кубатурные формулы. // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001.-C.9.