Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp(En) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

УДК 517+518.392

На правах рукописи

Урбаханов Александр Валерьевич

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2005

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Шойнжуров Цырендаша Базарович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Половинкин Владимир Ильич

кандидат физико-математических наук Шатохина Лариса Владимировна

Ведущая организация

Институт математики с ВЦ УфНЦ РАН, (г. Уфа)

Защита состоится 22 декабря 2005 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, КГТУ, каф. ПМ, факс (8-3912) 43-06-92, тел. 49-76-46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета

Автореферат разослан «_

_» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К.В. Сафонов

/8д53

1 /д 051 /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Задача о построении формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач вычислительной математики. В теории приближенного интегрирования к настоящему времени выделилось несколько разных научных направлений: построение формул высокой степени точности, применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов, а также «функциональный» подход, связанный с исследованием оценок норм функционала погрешности для различных линейных нормированных пространств.

В рамках функционального подхода изучались, прежде всего, эрмитовы (общего вида) квадратурные формулы (работы С.М. Никольского, Н.П. Корнейчука и др.). При этом С.М. Никольский отмечает [3, с.99], что если известны не только значения функции, но и значения производных в узлах, то при правильном использовании всех этих данных можно ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функции.

Функциональный подход к исследованию кубатурных формул осуществлялся в работах многих ученых, в частности, учеников С.Л. Соболева: Ц.Б. Шойнжурова [15, 16], В.И. Половинкина [4-7], М.Д. Рамазанова [811], Г.Н. Салихова, В.Л. Васкевича [13], Т.И. Хаитова и др.

Для дальнейшего развития теории приближенного вычисления многомерных интегралов представляется актуальным, во-первых, исследовать такие кубатурные формулы, в которых участвуют все значения функции и ее производных до некоторого порядка <т включительно в узлах ньютоновской решетки, во-вторых, изучить вопросы, связанные с реализациями функционалов общего вида, в-третьих, вычислить нормы функционалов, а также применить эти реализации к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.

Цель работы. В диссертационной работе целью является построение и исследование асимптотической оптимальности эрмитовых кубатурных

формул в пространстве Соболева Ж™ (Е ).

Основные задачи исследования:

• построение элементарных эрмитовых кубатурных формул с ньютоновской системой узлов;

• получение общего вида функционала погрешности, а также нормы функционала погрешности в явном виде и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получение в явном виде нормы периодического функционала погрешности в Ж™(Еп), выделение главного члена этой нормы, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности; (

• оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем и оценка снизу нормы произвольного функционала погрешности.

Основные научные результаты диссертации состоят в следующем:

- указан алгоритм нахождения узлов и коэффициентов элементарных кубатурных формул, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных, что обеспечивает более высокую точность формул, построены элементарные квадратурные формулы общего вида при а-1,2,3,<3 = 1,2,3,»3=3,5,11, и = 1,2, где т - гладкость, а и - размерность пространства, а - порядок старшей производной, С +1 - количество точек на оси ОХ1, построена также кубатурная формула общего вида с пограничным слоем при б = 1, <т = 2, и = 2;

- получен общий вид функционала погрешности, норма этого функционала и норма экстремальной функции, соответствующей данному

функционалу в пространстве Соболева РУр(^п)>

- получена в явном виде норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции в пространстве Соболева

Игт(Е ); р 4 п'

- показана асимптотическая оптимальность нормы функционала по-

грешности кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем в пространстве Соболева W™ {е^ ).

Научная новизна и личный вклад автора. Основные результаты диссертации являются новыми и получены лично автором.

Теоретическая значимость и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул общего вида с пограничным слоем. Полученные в диссертации кубатурные формулы можно применять для приближенного вычисления интегралов.

Методика исследований. В работе применяются методы теории функций одного и многих действительных переменных, математического и функционального анализа, алгебры, а также численные методы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечена полными доказательствами всех утверждений, полученных в данной работе.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VII Международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» в г. Красноярске (2003 г.), на VIII Международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» в г. Улан-Удэ (2005 г.), на международных конференциях: «Математика, ее приложения и математическое образование» (2002 г.), «Математика, ее приложения и математическое образование» (2005 г.), а также на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (2002-2005 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, список которых помещен в конце автореферата. В работах, выполненных вместе с соавторами доли соавторов равны.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух разделов, содержащих 10 пунктов, заключения и списка литературы из 74 наименований. Объем работы - 97 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводятся основные определения и постановка задач, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы.

Первый раздел посвящен построению эрмитовых кубатурных формул. В разделе 1.1 определены основные пространства. В диссертационной работе рассматривается пространство W™ [е^ ] с нормой

i

р«х>. (1)

В разделе 1.2 указан алгоритм расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных квадратурных формул, в которые входят как значения функций, так и значения ее производных.

Рассматриваются элементарные квадратурные формулы общего вида с ньютоновской системой узлов

)cp{x)dx^ £ jrcp/%), (2)

о y=0a=0

где G +1 - число точек, лежащих на оси ОХ¡, сг - порядок старшей производной.

Для нахождения коэффициентов формулы используем метод Л.А. Люстерника и В.А. Диткина [1].

Функцию <р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме

í \ fn\ <Р'(0) <РМ(0) т í, Xd X2d2 <p(x)=q>{ + —K-J-xm +...= 1 + — +-+ ...

! ' 1! т\ ^ 1! 2!

„/л im \ оо о ja j

+ + ^(о) = е*«tp{o\ где d = '

m\ ) al dx

Находим производную и интеграл от этой функции. Подставив в формулу (2) и приравняв коэффициенты при равных степенях d, получаем

т -Р

I &

\а\<т а\

Da<p{x)\

dx

систему для нахождения коэффициентов элементарной квадратурной формулы общего вида

а

Е

I С.

а У

к-а

1

г = 0а=0 7 (* + 1>' „к-а

к = 0,1,2,...,т,

(3)

к-а ,еслик-а>0

где у

[ 0, если к-а < О

В отличие от работы Цыренжапова [14] в данной диссертационной работе рассмотрены формулы, в которых участвуют все значения функции и её производных до некоторого порядка а включительно в узлах ньютоновской решетки.

Рассмотрим следующие примеры:

а) Пусть 6=2 и сг=1, тогда точность от=Зх2-1=5.

Для определения коэффициентов формулы (2) решим систему (3)

= 1

и0 1 2

с,°+2с~ +с1+с} +с\ = -

1 I и 1 I 2

—сР + — С? + с} + 2с1 = ^ 2 12 2 1 2 6

6 1 6 2 2 1 2 2 24

24 1 24 2 6 1 6 2 120

.120 1 120 2 24 1 24 2 720

Решив систему, получим следующие коэффициенты: ^0-449 ^0__541 С1 -15'С2 ~ 60 * 0 ~ 60'

137 24

1_137 1_ ^ - - »

2937 I 240 ' 2

2513

'1 ■УЛ ' и '240

Квадратурная формула для данного случая будет иметь вид

\f{x)dx = - — Д0) + —/(!) + — /(2)- — /'(0) + — /41)-—/"(2) ¡Л 60 15 60 у 240 24 у w 240 J w

б) Пусть G=3 и гг=2, тогда точность /я=4хЗ-1=11. Сама формула примет

вид:

J/(x)& = С0°/(0) + С,°/(1) + С°/(2) + С3°/(3) -Н^/ЧО) + С,7'(1) + о

+ С\Г (2) + С'/ЧЗ) + Cq/"(0) + с,2/'41) + с2/" (2) + с32/"(3).

Для определения коэффициентов формулы решим систему (3) и получим следующие коэффициенты

со = 912523 ср = 23717 со = 5851 с0 = 35339

0 2395008' 1 29568' 2 29568' 3 2395008' с, = 214943 с, 10657 , _ 10657 , 5941

0 3991680' 1 147840' 2 147840' 3 1330560' С2= П369 с2 = 4423 с2 _ 7453 с2 = 1513 0 3991680' 1 88704' 2 443520' 3 3991680' В разделе 1.3 рассмотрены периодические функционалы погрешностей квадратурной формулы общего вида.

Функционал погрешности квадратурной формулы общего вида (2) имеет следующее представление

Продолжив функционал на функцию, определенную на всей числовой оси, путем суммирования по всем получим периодический функционал погрешности

Г0(х) = 1- I Dadaф0(х), а = 0

гдcDa= I С" иФ0{х) = Ъ8{х~Р). у = 0 р

В разделе 1.4. рассмотрены элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей.

Обобщая квадратурную формулу общего вида (2) на кубатурную формулу общего вида с ньютоновской системой узлов

I | (4)

Д у=0а=0 7

гп_ о в о-п 1

где х = X Е — £

Г = 0 г1=0г2=0 г„=0

а а °-а\-"-ап-\

I = £ I - 2

а = 0 а| = 0 «2 = 0 ап~®

получим систему для определения коэффициентов С® кубатурной формулы общего вида (4)

й а ук-а ,

г = 0а = 0 У \к~аУ- (1*1 + 1)! Из функционала погрешности элементарной кубатурной формулы

(4)

где В„ — ньютоновская система узлов, получаем периодический функционал погрешности кубатурной формулы общего вида

й^И-Е ХИЧ5^-/?) или

Р ДОЛГ

где Ф0(х) = £*(х-£). Р

В разделе 1.5. построена кубатурная формула общего вида с пограничным слоем при п = 2, С? = 1, а = 2.

f ](p(xvx2)dxxdx2 « /¿Í-L^O.O) + ~d2<p(0,0) + Í- J-\,2^o,0) +

+ I '1

¿6 H8 1---- 80 " V 160/

+ 1,0) + ¿^^(1,0) + ^¿f *W>) + + ± tf 0,1) +

+ä ^(0Д)+(- ++rk +ш +

Ni= * (2 (" A Го d2^M

- ^ d?<p(l, r2k)+ y2h)+ ± dxd2qf^ r2hjj +

+

+

Во втором разделе приводится представление финитных функционалов кубатурных формул общего вида, в явном виде вычисляются нормы функционала погрешности в пространстве Соболева V/™ (Еп) и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу, получены норма периодического функционала погрешности и норма соответствующей ему экстремальной функции, получены оценки сверху и снизу функционалов погрешности. Полученные результаты являются обобщением и продолжением работ С.Л. Соболева.

В разделе 2.1 рассматривается представление финитных функционалов. Общий вид финитного функционала погрешности имеет следующее представление:

д(*),р(х))= 1 I ^Оае2т(х)Ч°{х)у)а<р(х)сЫЧ<р(х) 6»^£еи)

М - т

Известно [12], что при рт >п и 0 < |5| < /и частная производная

е

с

О ср(х) непрерывна при ¿г = /я -

-1, пространство I¥™{Еп) вложено

в пространство непрерывных дифференцируемых функций Са(Еп).

Условие вложения }Ут(Е ) в Са(Е ) имеет вид рх п' к п'

р(т~|5|)>и и < сг.

Доказаны следующие леммы:

Лемма 2.1. Пусть 1 <р <оо, — + — = 1, р(ю-|5|)> п, рт > п и

Р Р'

тогда т-метагармонический оператор переводит

регулярную обобщенную функцию ^(х) в обобщенную функцию

*

(1 - НУ" <р0 (х) = /£(*) е1¥т и выражение

Е а <\т\а-п 1 1

представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством Жт(Е 1

Р V п>

Лемма 2.2. Пусть рт > п, р(т -15|) > и, |£| < а и /^(х) - произвольный финитный функционал общего вида из Б

'с1¥т* Тогда существует

функция

являющаяся единственным решением т-метагармонического уравнения

(1-д УЧ*Ь®*)

и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление

Доказательства лемм проводятся по схеме работы Ц.Б. Шойнжурова [15], однако свертка в функционале общего вида имеет

более высокую особенность в узлах у.

Теорема 2.1. Если рт>п, ¿>(/я-|5|)>и, и свертка

Е2т^х}* е ^р'' то экстРемальная фунщия <Ра{х), соответствующая функционалу кубатурной формулы общего вида определяется формулой

Ы <т ~

^('КЦ'"'

и норма функционала /£)(*) в ТУ™* задается равенством

¡Ia fi

и

wm p

í z

E \a\<m . и1 '

14 a!

В разделе 2.2 исследуется норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности.

С.Л. Соболевым [12] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. Используя математический аппарат, связанный с этой функцией, он провел исследования в периодическом пространстве. В данном разделе исследования проводятся в произвольном, а не только гильбертовом пространстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный член периодического функционала погрешности, что имеет большое значение для численного подсчета.

п

Лемма 2.3. Если 1 <р <оо, рт>п, Oá¡Si <т~—, и = тР

IP}

-1,

|S|s<t, l0'T(x)eW"*(A) - периодический функционал погрешности куба-турной формулы общего вида имеет следующее представление

|S|Sa

где Ds= ^D^ и коэффициенты D^ определяются из линейной системы

геВт

уравнений (5), то функция вида

&(*)= 1С»*

КМ+с»

p-i

Sign

является экстремальной функцией, соответствующей периодическому функционалу 10"{х). Нормы функции <ра(х) и функционала /0СТ (х), соответственно, определяются равенствами

ir.Г(д)'

II

д \a\Sm

В^{х)+Са

dx

ти

II В%(х) + Са

д|а|£л»

скх

Здесь (х) = , , .у , а <£,(*) = Щт^^е^.

0*° (Л2 + \2.п0[ )Г ** « (й2 +|2я"/5| )

Теорема 2.2. Пусть 1<р<оо, рт>п, 0<|5|<т-—,

Р

а = т-

п

1Р.

-1, < а и <ра(х)& ^"(л) - экстремальная функция, соот-

ветствующая функционалу 10"(х), тогда периодический функционал погрешности

где определяются из линейной системы (5), является оптимальным периодическим функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида в пространстве ^"(л), норма его равна

СО

IX

Д \а\йт

(к

Далее обосновывается асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем при нечетном т.

В.И. Половинкиным [4] доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в

пространстве при 1 < р < оо.

В разделе 2.3 получена оценка сверху нормы функционала погрешности, для этого предварительно доказаны две леммы и теорема.

Теорема 2.4. Если рт > п, р(т -151) > п, Ы < а, — + = 1,

Р Р

1 < р < оо и ограниченная область О имеет кусочно-гладкую границу в Еп, то при Ь —» 0 для всех функционалов с регулярным пограничным слоем в смысле определения С Л. Соболева имеет место неравенство

/£(*) < (тезО)

I II...т* —.

т™ (П)

1,1 Щ\к:л4 &

Ая(1 + 0{И)).

В разделе 2.4 получена оценка снизу нормы функционала погрешно-

сти.

Теорема 2.5. Пусть область О имеет кусочно-гладкую границу Г=Г(П), тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на решетке с шагом И, при /г —» 0 имеет место следующая оценка снизу

< > {теяО)

Шр (О)

дм*"а!

(Ь

Л"(1 + 0(И)).

В заключительном разделе 2.5, используя полученные ранее оценки сверху и снизу функционала погрешности, доказана основная теорема, подобно тому, как это ранее было сделано В.И. Половинкиным.

Теорема 2.6. Пусть область О имеет кусочно-гладкую границу

Г = ПР). При нечетном т функционал с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева IV "(Еп) и выполняется равенство

е=1 р

(П)

д1Ф™ а-

Аи(1 + 0(А))

При нечетном т оценка сверху совпадает с оценкой снизу, т.к. коэф-

фициенты С а, входящие в оценку равны нулю. При четном т коэффици-

енты Са отличны от нуля и оценка снизу не превышает оценки сверху, т.к.

о

оценка снизу минимизирована по Са.

На конкретном примере проведен сравнительный анализ точности вычисления обычной кубатурной формулы и кубатурной формулы с участием производных.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

Список использованных источников

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Гос. изд. физ-мат. лит-ры, Т.1,1959.-464 с.

2. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука, 1981.-431 с.

3. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. -М.: Наука, 1988. - 256 с.

4. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т // Сиб. мат. журн. - 1975. - Т.16, №2. - С. 328-335.

5. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности куба-турных и квадратурных формул // Теория кубатурных формул и вычислительная математика: Тр. конф. по дифференц. уравнениям и вычисл. математике / Отв. ред. С.Л. Соболев. - Новосибирск, 1980. - С. 116-118.

6. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. - 1968. -Т.З, №3. - С. 319-326.

7. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. - 1978. - Т.19, №3. - С. 663-669.

8. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. - 1972. -Т.13, №2. - С. 481-484.

9. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. - Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. - 174 с.

10.Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. - 1974. - Т.126, №1.-С. 44-45.

11. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. - Уфа, 1996. - С. 77-89.

12.Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974. -808 с.

1 З.Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во

ИМ СО РАН, 1996.-484 с. Н.Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева I™(Е^): Дис...

канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т - Улан-Удэ, 2004. -102 с.

15.Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева ■

- Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222 с.

16.Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис... докт. физмат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ин-т - Улан-Удэ, 1977. -235 с.

Публикации автора по теме диссертации

17. Урбаханов А.В., Цыренжапов Н.Б. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости / Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII междунар. семинара-совещ. / Отв. ред. М.В. Носков. - Красноярск, 2003.-С.184-187.

18. Урбаханов A.B., Шойнжуров Ц.Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева // Вычислительные технологии.- 2004.- Т.9.- С. 133-138.

19. Урбаханов A.B., Шойнжуров Ц.Б. Построение кубатурных формул общего вида с участием производных / Сборник научных трудов: Физико-математические науки. - Улан-Удэ, 2004.- Вып.7 - С.56-75.

20. Урбаханов A.B. Построение кубатурных формул общего вида // Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- С.81-84.

21. Урбаханов A.B., Шойнжуров Ц.Б. Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VIII междунар. семинара-совещ. / Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. - Улан-Удэ, 2005.-С.126-131.

22. Урбаханов A.B. Шойнжуров Ц.Б. Норма периодического функционала погрешности / Математика, её приложения и математическое образование: Матер. Всероссийской конференции с междунар. участием. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. - С.275-278.

Отпечатано в ИПЦ КГТУ 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. Тел. 497-103. Тираж fc. Заказ

ji2 2 О 2 5

РНБ Русским фол

2006-4 у 18059

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. Построение эрмитовых кубатурных формул

1.1 Пространства W?{En), Lmp(En)

1.2 Элементарные квадратурные формулы общего вида

1.3 Периодические функционалы погрешности квадратурной формулы общего вида

1.4 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности 3 О

1.5 Построение кубатурной формулы общего вида с пограничным слоем при п = 2, G - 1,сг = 2 41 РАЗДЕЛ II. Оценка нормы функционала погрешности

2.1 Общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в пространств eWp(En)

2.2 Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.3 Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем

2.4 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.5 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^ (Еп) •

Основная задача многомерного приближенного интегрирования состоит в отыскании с заданной точностью интеграла

Jn(x) = j<p(x)dx = f%a {x)(p{x)dx, (1)

Q En где x - точка «-мерного пространства Еп, Zn(x) - характеристическая функция ограниченной области интегрирования Q с кусочно-гладкой границей Г = r(Q) и функция (р{х) непрерывна в замыкании области Q.

Многомерный интеграл (1) приближенно выражается суммой k=\\a\<a Q

2) узлы, С" где коэффициенты формулы (2), N - число узлов и а - порядок старшей производной, входящей в формулу (2).

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется равенством

В данной работе рассматривается пространство C.JI. Соболева W™(En), \ <р<оо с нормой 1

IH*)IU =

1 z

Еп\а\<т

14'

Da<p(x) dx и Wp*(En) - сопряженное пространство к пространству W™{Еп).

Условие вложения W" в Са имеет вид рт > п, р(т -15|) > п, где \S\ < <j, S - мультииндекс.

Функционал погрешности кубатурной формулы общего вида

М-Е £с?(-1 pD°s{x-xW) 4

3) p{x)dx

4) является линейным непрерывным функционалом в пространстве W™ и его норма определяется формулой feW|L.(£ )=Sup

11 WP ср*0 ln><P

W" Sup

Ы„т =1 d.

5)

Введем обозначения: Вт = <у е Еп ,0 < yt <m,i = 1,2,., п, < 1 т ньютоновская система узлов, В} - множество индексов а значений функции и ее производных порядка не выше а-т п Р.

1 и Da(p{x) - совокупность значений функции и её производных в одной точке.

Рассмотрим кубатурную формулу общего вида с ньютоновской системой узлов для фундаментального куба А q{x)dx= £ Y,CrD>(r) (6) д уеВт аеВ, и функционал погрешности формулы (6)

Г(*Ых)}= J

4М- Е уеВт аеВ] p{x)dx.

7)

Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.

В работе построены эрмитовы кубатурные формулы в л-мерном пространстве Еп и не эрмитовы кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов для кубов, являющихся аналогами формул Ньютона-Котеса.

Построенные эрмитовы формулы не могут быть получены интегрированием формул Тейлора, так как они содержат не один, а несколько узлов. Формулы получены с помощью символического метода В.А. Диткина и Л.А. Люстерника [2].

В одномерном случае эрмитовы квадратурные формулы исследовались в работах С.М. Никольского [24], Н.П. Корнейчука [10] и его учениками.

Эрмитовы кубатурные формулы рассматривались и ранее Т.И. Хаитовым [61] в гильбертовом пространстве Z,™.

В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [36] рассмотрены последовательности эрмитовых формул в пространстве L™ и получена оценка

В. И. Половинкин отмечает, что в этой работе не выписывались явно коэффициенты таких конкретных формул и вычисление этих коэффициентов при узлах формул является технически трудной задачей.

В диссертации Н.Б. Цыренжапова [62] рассматривалась решетчатая эрмитова формула вида

В работе [62] крайние узлы в ньютоновской системе узлов Вт заменялись на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат, вследствие чего уменьшается область влияния функционала. Однако при mesnyhm (1 + о(1)),

ГОЛ Р'М Ю

9) определении коэффициентов некоторых формул возникает трудность при выборе отдельных точек.

В отличие от работы Н.Б. Цыренжапова, в данной диссертационной работе рассмотрены формулы, в которых участвуют все значения функции и её производные до порядка сг включительно в узлах ньютоновской решетки и в явном виде получены кубатурные формулы общего вида.

Основной целью диссертации является построение и обоснование асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных формул общего вида в пространстве СЛ. Соболева W™.

Для достижения цели ставятся задачи:

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;

• получение общего вида функционала погрешности, получение в явном виде нормы функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получение в явном виде нормы периодического функционала yyj погрешности в W^ , выделение главного члена нормы периодического функционала погрешности, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;

• оценка сверху нормы функционала погрешности;

• оценка снизу нормы функционала погрешности.

Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей в «-мерном евклидовом пространстве Е , в остальном она произвольна.

В данной работе рассматриваются кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов, в которых участвуют значения функции и её производные. В этом случае алгебраическая система линейных уравнений для определения коэффициентов элементарной формулы общего вида имеет решение и периодический функционал, построенный с помощью элементарного функционала с ньютоновской системой узлов асимптотически оптимален в w;{ а).

Для нахождения коэффициентов формулы используем метод JI.A. Люстерника и В.А. Диткина [2].

Функцию <р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме оо , т, x,d-,+.+xndn

Ф)= Е k(xidl+. + xndnf(p(Q) = e-1 1 П П(рф)> к—О где = (i=l,.,n) - оператор частного дифференцирования

1 I d.(p{x) = ? d = {d^ d 2,—^ дифференциальный вектор, i ds =d.(ds~l)

S-я степень дифференциального оператора dd.d . произведение дифференциальных операторов d. и d.,

1 J dx - d1xl + d2x2 + . + dnxn «скалярное произведение» вектора d на вектор х.

Находим производную и интеграл от этой функции. Подставив в формулу (6) и приравняв коэффициенты при равных степенях Д получаем систему для нахождения коэффициентов элементарной кубатурной формулы общего вида

G 1 г=0а=0 X Са^=г=/, , v и \k\ = L+k0+. + k <т, (10) to 7 W + 1)! 111-2 п где/ а

Гк а, если к-а > 0 7— \к-а, если |£|-|ог|>0 к-а =

О, если к — а <0

0, если < 0 '

G +1- число точек лежащих на оси ОХ^ сг - порядок старшей производной. с":=с/с2.с « I Е . Е

7 а '2 U r = 0ri=0y2 = 0 yn=Q Е = Е Е - Е а = 0 а, = =0 а =0

12 п

Если m - точность формулы (6), то число коэффициентов С® равно т + \ и С« зависит от выбора параметров G и и.

При заданной точности т числа G и сг согласованы таким образом, чтобы система (10) имела единственное решение.

Сначала рассмотрим квадратурную формулу. Пусть т - точность квадратурной формулы (6), т +1 - число всех одночленов, входящих в произвольный многочлен степени т, G +1 - число всех узлов формулы, лежащих на оси ОХь сг + 1- число значений функции и её производных в одной точке и (G + l)(cr + l) - число всех коэффициентов формулы (6). Параметры т, G и сг определяются следующим образом:

1. Пусть заданы параметры G и сг. Тогда точность т формулы (6) определяется из уравнения: m + l) = (G + l)(cr +1) (11)

Отсюда m = (G + lX<7 +1)~ 1. Приведем следующие примеры: а) Пусть G=2 и <т=1, тогда точность m=3x2-l=5.

Для определения коэффициентов формулы (6) решим систему (10) и получим следующие коэффициенты:

0 38 „о 449 о 541

1 "15' 2 - 60 * О" 60 ' с1 = 137 с\ 2937 ci= 2513 1 24 ' 0 240 ' 2 240 "

Квадратурная формула для данного случая будет иметь вид

541 38 449 2937 137 2513

J f(x)dx = -—ДО) +—/(1) +—/(2) - /' (0) +—/'(О ~—/'' (2) • q 60'V 15 60' ' 240 24/ 240 б) Пусть G=3 и о" =2, тогда точность w=4x3-l=l 1. Сама формула примет вид: f(x)dx = elm + C,°/(l) + С2°/(2) + с3°/(3) -f€i/'(0) + c;/'(l) + о С'/ ' (2) + С\Г (3) + С02/'' (0) + Clr' (1) + С\Г • (2) + С32/' • (3). Для определения коэффициентов формулы решим систему (10) и получим следующие коэффициенты со = 912523 со = 23717 со 5851 со = 35339

0 2395008' 1 29568' 2 29568' 3 2395008'

1 = 214943 1 = 10657 , = 10657 х 5941

3991680' 1 ~ 147840' 2 ~ 147840' 3~ 1330560' П369 с2 = 4423 С2=7453 с2 ^ 1513 0 3991680' 1 88704' 2 443520' 3 3991680*

2. Пусть задана точность т формулы. Из уравнения (3) заключаем. Если т +1 - нечетное число, то G и сг - чётные. Если т +1 - четное число, то G нечетно или о нечетно. Если т + \ - четное число и (<j + l\G + l) - нечетное число или (т + l) -нечетное число и (cr + lXG + l) - четное число, то (w + l) = (G!-l + l)((j + l)+l = (o- + l)G! + l или т = G{cj +1).

Если перечисленные условия не выполнены, система уравнений (10) может не иметь решений.

3. Пусть заданы числа т и G. Предположим m-G > G +1. Из уравнения (11) находим m — G сг =-.

G +1

Приведем следующие примеры:

3-1 а) Пусть т= 3 и G=\, тогда о = —= 1;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: f(x)dx = 1 ДО) + i /(1) + -L /• (0) - i /' (1). q .z z i z i z б) Пусть m=5 и G=l, тогда о- = ~~ = 2;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: \f(x)dx =- ДО) + -Д1) + —/'(0) -—/'(1) + —/"(0) +—/"(1) q 2 2 10 10 120 120

11-2 в) Пусть /7?=11 и G=2, тогда сг = —-— = 3;

Решая систему, получим следующие коэффициенты со = 24965 с0 = 128 со=ИОЗ , =4357 I=J. = 169

0 59136' 1 231' 2 59136' 0 59136' 1 б' 2 19712' С2= 2819 2 = 64 с2 = 509 сз= 41 C3=J сз = 17 0 221760' 1 3465' 2 443520' 0 177408' 1 360' 2 295680'

Таким образом, построена элементарная квадратурная формула общего вида для интервала [0,l).

Далее рассматривается представление финитных функционалов. Общий вид финитного функционала погрешности имеет следующее представление: = J Z Щвае2т(х)Ч^{х)Уаср(х)ск V<p(x)eW™. * 'Е\а\<т п\ I

Известно [44], что при рт>п и 0<\S\<m-^ частная производная с

D <р(х) непрерывна и при сг = т

Л Р.

-1, пространство W™ (Е^) вложено в пространство непрерывных дифференцируемых функций С (Е ).

Условие вложения Wm(E ) в Си (Е ) имеет вид р 4 п' v п' и|S|<<r.

Доказаны следующие леммы:

Лемма 2.1. Пусть 1 < р < оо, — + -L = 15 р(т-|5|)> п, рт > п и р^ (х) е W™,, тогда т-метагармонический оператор (1-Д)т переводит функцию в обобщенную функцию (l - А)т (р^ (х) - (x) g W™ и выражение l£(x\p(x)\ = J z ^Da<p0(x)Da<p(x)dx, V<p{x)eW™(En) x 1 E \a\<ma- y n1 1

W^EJ. представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством г т Р

Лемма 2.2. Пусть рт>пу p(m-\S^}>n,\S\<cr и - произвольный финитный функционал общего вида из S s с Wm . Тогда существует функция u(x) = s2 m*l£(x), являющаяся единственным решением т-метагармонического уравнения

1 -Ay»«(x) = lg(x) и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление

E \a\<m n

Отметим, что доказательства лемм проводятся по схеме работы Ц.Б. Шойнжурова [71], однако свертка Da ^ (*) * (х) в функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у.

Теорема 2.1. Если рт>п, Iq(x)eS* и свертка то экстремальная функция соответствующая функционалу Iq{x) кубатурной формулы общего вида определяется формулой а\ <т.

Sign{Dae 2я(х)*%{х)): и норма функционала Iq(x) в Wзадается равенством w т г.

Е \а\<т . п1 1

Fl! oi"

Далее исследуется норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности.

С.Л. Соболевым [44] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. В данном пункте исследования проводятся в негильбертовом пространстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный член периодического функционала погрешности, что имеет большое значение для численного подсчета.

Yl

Лемма 2.3. Если 1 < р < со, рт > п, 0 < \S\ < т--,сг = тп

IP J

-1,

S\ < сг, /0СТ (х) е Wp*{А) - периодический функционал погрешности общего вида имеет следующее представление где Ds = 2jDy и коэффициенты Dy определяются из линейной системы

ГеВт уравнений (10), то функция вида ecw* вгг(х)+с. ог|<п? О является экстремальной функцией, соответствующей периодическому функционалу /0 ^(х). Нормы функции <Ра{х) и функционала 10а (х) соответственно определяются равенствами

Д) д аК/я

I Bgtt+c. dx

IM д)

IS д|а|<т

Теорема 2.2. Пусть 1 < p <oo, pm >n, 0 <\S\ < m--, cr = mP n P.

-1, <7 и (pa (x) g W" (a) - экстремальная функция, соответствующая функционалу l0a (х), тогда периодический функционал погрешности s\<ar&bm л где определяются из линейной системы (10), является оптимальным периодическим функционалом погрешности общего вида в пространстве

W"(A), норма его равна ICWJ^.^

IS д|а|<т

BahfAx)+Ca dx и ka><Po) =

I а 'о

Далее обосновывается асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем при нечетном т.

В.И. Половинкиным [30] доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в

1Y! пространстве L при 1< /?<оо.

Получена оценка сверху нормы функционала погрешности, для этого предварительно доказаны лемма 2.4, лемма 2.5 и теорема 2.3.

Лемма 2.4.Если рт > п, р(т-|<Sl)> п, — + — = 1, а-т

Р Р п Р.

-1, \щ = т, Г т), |x|<Z,/z то

Sup J а\<тА h

Dae2m{xH[l dx<ChmP'+n.

Лемма 2.5. Если l^(x)e R{L,A,\S^,\a\ = m и [S^ra или |.S| = w + l, то при |х| > Lh выполняется неравенство

Sup а\<т

Da+°+Ss2m(x)*r fx)

Khj C hn+lsl+ae~ 2 ш-2л1+|а|+сг+|5| "

Теорема 2.3. Если Q- ограниченная область в Еп с кусочно-гладкой границей Г = Г(Г2), рт > п, р(т-\S\) > п, Ы < а, — + — = 1, 1<р<оо, р р то норма равномерно распределенного в области функционала /q(x) в W™* при h —> О удовлетворяет неравенству ш wp (£„> к

-л mesQ.) р hm, где К - положительная константа, не зависящая от h,

1 1

Теорема 2.4. Если рт> п, p(m-\S\)> п, \S\< а, — +— = 1, 1</?<оо и

Р Р' ограниченная область Q имеет кусочно-гладкую границу в Еп> то при h—>0 для всех функционалов с регулярным пограничным слоем в смысле определения СЛ. Соболева имеет место неравенство: gw wfm mesO.) d p dx hm(l + 0(h)).

Далее получена оценка снизу нормы функционала погрешности, для чего предварительно доказана вспомогательная лемма 2.6.

Лемма 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу из r = T(Q). Тогда при /г —> 0 существует последовательность функций о qfh (х) е Wp такая, что

1. (х) = 0, если x = hj3 и хе Q!2h,

2. f<pl (x)dx = hmp'mes Q J ■ ^ д|а|<т

Bah;:{x)+ca dx(\ + 0{h)).

Теорема 2.5. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу Г=Г(£2), тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на решетке с шагом h, при h —> 0 имеет место следующая оценка снизу mesQ)

EZ1 P

0 р'

JZ ч cbc hm(\ + 0(h)).

Используя полученные ранее оценки сверху и снизу функционала погрешности, доказана следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу

Г = r(Q). При нечетном т функционал Iq с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева Wf(En ) и выполняется равенство

К («) (mesCl)

Ell р а\\

Бхм cbc hm(\ + 0(h)).

Основные результаты диссертационной работы являются новыми. пространстве Соболева W при нечетных т.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве

Соболева Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты:

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;

• получен общий вид функционала погрешности, получена в явном виде норма функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получена в явном виде норма периодического функционала погрешности в , выделен главный член нормы периодического функционала погрешности, получена норма экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;

• показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1, 1959. -464 с.

3. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

4. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем //Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

5. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем //Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

6. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

7. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003 .-С. 45-53.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

9. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. - С. 48-56.

10. Ю.Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: Наука, 1981.-431 с.

11. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

12. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы о приближенном анализе.-М.: Наука, 1962.-224с.

13. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. - Вып. 1. - С. 150-152.

14. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1. - С. 147-150.

15. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

16. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

17. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в // Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

18. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности всеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

19. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.

20. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-таим. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. -Т.55. - С. 1-181.

21. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III

22. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987.-236 с.

23. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

24. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г.

25. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. -456 с.

26. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

27. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

28. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

29. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

30. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. - С. 951-954.

31. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т. 15, №2. - С. 413-429.

32. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т. II Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

33. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01) / ЛГУ. Л., 1979 - 18 с.

34. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L17^ II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988.-С. 125-136.

35. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //

36. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

37. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в Lm(E ) //р п

38. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

39. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. -1978. - Т. 19, №3. - С. 663-669.

40. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

41. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. -Т.13, №2. - С. 481-484.

42. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. — 174 с.

43. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. - Т.126, №1. - С. 44-45.

44. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77-89.

45. Рамазанов М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв ред. В.И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39-52.

46. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.

47. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

48. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О.А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

49. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

50. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е пепераб. и доп. - М.: Нука, 1992. - 432 с.

51. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

52. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.: Наука, 1973. 311 с.

53. Урбаханов А.В., Цыренжапов Н.Б. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003-С. 184-187.

54. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева.- Журнал Вычислительные технологии.- 2004.- Т.9.- С. 133-138.

55. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Построение кубатурных формул общего вида с участием производных // Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ, 2004.- Вып.7 -С. 56-75.

56. Урбаханов А.В. Построение кубатурных формул общего вида //Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2 (24-28 июня 2002г., г. Улан-Удэ),- Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- С.81-84.

57. Урбаханов А.В., Шойнжуров Ц.Б. Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII междунар. семинара-совещ. /Отв. ред. Ц.Б. Шойнжуров. -Улан-Удэ, 2005 -С. 126-131.

58. Урбаханов А.В. Шойнжуров Ц.Б. Норма периодического функционала погрешности // Математика, её приложения и математическое образование: Матер, всероссийской конф. с междунар. участием (26-30 июня 2005, г. Улан-Удэ).- Изд-во ВСГТУ, 2005.-С.275-278.

59. Францев Г.Л. Кубатурные формулы в пространстве Lm II Сборникp,sнаучных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1999. -Вып.4 - С. 94.

60. Францев Г.Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - C. 14.

61. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог. ун-т Улан-Удэ,2001.-99 с.

62. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР. 1969. - Т. 12, №10. - С. 3-6.

63. Хаитов Т.И. Оптимальные и близкие к ним периодические кубатурные формулы с кратными узлами // Вопр. вычисл. и прикл. матем — Ташкент 1975. -вып.32 С. 168-173.

64. Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева1.(E ): Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07)7 Вост.-Сиб: технолог. р пун-т Улан-Удэ, 2004: - 102 с.

65. Цыренжапов Н.Б. Общий вид функционала погрешности кубатурныхформул в пространстве С.Л. Соболева L17^ (Е^) // Математика, ее