Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева Lmp(En) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

УДК 517+518.392

На правахрукописи

ЦЫРЕНЖАПОВ Нима Булатович

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ОБЩЕГО ВИДА С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ И УЗЛАМИ НА РЕШЕТКЕ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2004

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ).

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор

Шойнжуров Цырендаша Базарович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Половинкин Владимир Ильич

доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат Давидович

Ведущая организация: Красноярский государственный

университет, г. Красноярск

Защита состоится 1 апреля 2004 г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. Г 4-17, факс (8-3912) 43-06-92, тел. 49-76-46.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан «28 » февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, ДОЦеНТ (^¡Г^Х-

К.В. Сафонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования задач теории приближенного интегрирования ведутся с точки зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, «функциональный» подход, связанный с исследованием оценок погрешностей в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали СМ. Никольский, В.И. Крылов, Н.П. Корнейчук и другие, в том числе для вероятностных методов Н С. Бахвалов, Г.А. Михайлов, И.М. Соболь, А.В. Войтишек.

Мощным стимулом к исследованиям теории функциональных методов приближенного интегрирования стал выход работ С.Л. Соболева, посвященных решению задач, связанных с асимптотической оптимальностью решетчатых кубатурных формул в гильбертовом пространстве. В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики Ц.Б. Шойнжуров, В.И. Половинкин, М.Д. Рамазанов, Р.А. Салихов, В.Л. Васке-вич, Т. И. Хаитов и другие, обобщая результаты С.Л. Соболева на другие функциональные пространства.

Существенный вклад в теорию кубатурных формул в пространстве внес В.И. Половинкин. Ряд его результатов был использован при доказательстве теорем настоящей диссертации. В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве с нормой

Норма (1) инвариантна относительно линейных преобразований.

В частности им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в lip при 1 <

р < оо, а при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с

(1)

пограничным слоем в Также В.И. Половинкин исследовал общий вид

произвольного и финитного функционала погрешности.

В работах СМ. Никольского, Н.П. Корнейчука и в других работах изучались квадратурные формулы общего вида. В данной работе исследования С.Л. Соболева, СМ. Никольского, Н.П. Корнейчука и других обобщаются на кубатурные формулы общего вида с ньютоновской системой узлов.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью дальнейшего развития методов приближенного вычисления интегралов.

Цель работы. В диссертационной работе целью является построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул

общего вида (эрмитовых) в пространстве Соболева Ьт(Е ).

Р п

Основные задачи исследования:

- построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов,

- получение оптимального периодического функционала погрешности и явного вида коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности,

- получение в явном виде нормы периодического функционала погрешности в выделение главного члена нормы периодического

функционала погрешности.

Объект исследования. В данной работе объектом исследования являются формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных: область интегрирования при этом ограничена кусочно-гладкой поверхностью конечной площади в и-мерном евклидовом пространстве.

Методика исследований. Основные результаты получены благодаря функционально-аналитическому подходу. Это предполагает, что подынтегральные функции принадлежат некоторому банахову пространству, а разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функций и значением ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида является, как правило, непрерывным. Знание численного значения его

нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы общего вида на элементах выбранного пространства. В этом -существенное преимущество функционального подхода перед чисто алгебраическим.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов, либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном пространстве.

При функциональном подходе лучшей считается та формула, функционал погрешности которой имеет наименьшую норму.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечена полными доказательствами всех утверждений, сформулированных в данной работе.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

- алгоритм нахождения узлов и коэффициентов элементарных куба-турных формул высокой точности, в которые входят как значения функций, так и значения ее производных,

— элементарные квадратурные формулы общего вида при т - 3,4,5 и п = 2 (т - гладкость пространства, п - размерность пространства), количество узлов которых снижена, за счет участия производных функций,

- кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, п = 2,

— результаты исследований асимптотической оптимальности куба-турных формул общего вида с регулярным пограничным слоем с узлами на

решетке в пространстве Соболева ¿^(.Е^), а именно, оптимальный периодический функционал погрешности, явный вид коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности, явный вид нормы периодического функционала погрешности в пространстве Соболева

полученные оценки для нормы функционала погрешности.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично диссертанту.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях кубатурных формул общего вида с пограничным слоем. Полученные в диссертации кубатурные формулы можно применять для приближенного вычисления интегралов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VII Международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» в г. Красноярске (2003 г.), на международных конференциях: «Математика, ее приложения и математическое образование» (2002 г.), «Математика в восточных регионах Сибири» (2000 г.) в г. Улан-Удэ, а также на ежегодных научно-практических конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (1999-2003 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух разделов, содержащих 8 пунктов, заключения и списка литературы из 76 наименований. Объем работы - 102 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся основные определения и постановка задач, дается общее описание основных результатов по теории кубатурных формул в функционально-аналитическом направлении, а также краткое изложение результатов диссертационной работы.

В первом разделе рассматриваются линейные и периодические функционалы погрешности.

В пункте 1.1 определены основные пространства.

В диссертационной работе рассматривается пространство нормой

(2)

Нормы (1) и (2) эквивалентны.

В пункте 1.2 указан алгоритм расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных кубатурных формул, в которые входят как значения функций, так и значения ее производных.

СМ. Никольский отмечает [4, с.99], что если нам известны не только значения функции, но и значения производных в узлах, то при правильном использовании всех этих данных мы можем ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функции.

Рассматриваются элементарные кубатурные формулы общего вида с ньютоновской системой узлов

(3)

В ньютовской системе крайние узлы заменяем на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат. Вследствие чего уменьшается область влияния функционала.

Для нахождения коэффициентов формулы используем метод Л.А. Люстерника и В.А. Диткина [1].

Функцию <р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме

где <!■ = —, (1=1,....п) 1

1 ох.

к=0Л! 1 1

оператор частного дифференцирования дифференциальный вектор,

I

а.5 степень дифференциального оператора с1., - про-

изведение дифференциальных операторов.

*г

с!х = с1 х +(! х + +<! х «скалярное произведение» вектора d на вектор х.

11 2 2 п п

Находим производную и интеграл от этой функции. Подставив в формулу (3) и приравняв коэффициенты при равных степенях (И, получаем систему для нахождения коэффициентов элементарной кубатурной формулы общего вида [18]

где

,к~а _

ук~а, еслиЩ~\а\^0 __

О, если\к\-\а\<0

к-а, если |£|-|аг|£0

О, еслиЩ-\а\<0

р +1 - число точек лежащих на оси ОХ, - порядок старшей производной/

а. а- а Са=С ХС 2 ...С 1= I I У У2 У = 0 ух = 0у2 = О

у =0 и-

М-а Ы И-»!' И~а1~"~аи-1

1=11... I

а =0 и

Приведем пример построения элементарных квадратурных.формул

общег" втятта нчлггпипвской системой узлов при т = Ъ, п- 2. Количество

.. (3+2)! узлов ^ = - 312; =1°-

В данном случае элементарная квадратурная формула имеет вид: 11

/ / <р(хгх2)сЬс^2 « С00р(0,0)+С] 00

^(2,1)+С.

+С,

■01»

'Пч

-2IV

'02*

'12*

'03*

3) (4)

Формула (4) точно интегрирует многочлен третьей степени. В данной формуле значения функций в крайних узлах заменяются на значения производных в узлах, лежащих ближе к началу координат. Получим следующую формулу:

н , *2 «¿¡¡¡¡то)+с^^ьо)+с°°^о,1)+сЦ^то)+

+с,

с/^С 1,0)+сЦ</2р( 0,0)+сЩ<г2<р(0,1)+0^^(1,1)+

+ сЦ^с/2р(1,1) + С^22<р(1,1).

(5)

Формула (5) той же точности что и формула (4). Количество узлов в участвующих в формуле (5) уменьшили с десяти до четырех. Вследствие чего уменьшена область влияния функционала.

Для нахождения коэффициентов формулы (5) была использована система:

р Р-Г\ Ы

I I I Е "С 1С 2-± г1=0г2«0о1=0в2=0 >1 '2

к1_а1 _«, «О Г,кГа1Г2к2~а2

(*1+1)!(*2+1)!

11 111 Шх^хгУь^йъ * 2^(0,0)++(-+-5^(о,о)+

00 11

//<р(л:1>Х2>&1с&2 ~ (0,6805555555)^(0,0)+(0.0888888888)^(1,0) + 00

(-0.0402777777)^(2,0) + (0.0888888888)р(0,1)+(0.2222222222Ж1,1)+ + (-0.0402777777)^(0,2) + (0.1222222222)^(0,0) + (0.1 472222222)^(1,0)+

+ (0.1222222222У2<о(0,0) + (0.1472222222)с/2<г'(0,1)+(-0.0555555555)й?12^а.1)н

+ (0.0277777777)^2?>(и) + (-0.0555555555)й?22?>(1>1) +

+ (0.0254629629)^(1,1) + (0.0254629629)^23<Р(1Д)-

Формула точно интегрирует многочлен 4-ой степени. В пункте 1.3 построена кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, п = 2.

ПФ^УЬ^ КА2[2^(0,0) + + ¿2<¡>(0,0))+

+ (-£)(р(1,0) + ^(0,1)) + ^(1,0) + ¿2 р(0,1))+ + - (- +4^(1,1)+1 ^4^,0)+^ ¿^м)) -

у. — 1

лг-

+ I

+

N-l, + I

Yо

N-1

: 1 r2h)+ d2q>{о, г2л)]+

+ ¿j <р{г\h>r2h)+ d2<P^ih>y 2'4did2'P^Íh'r2h}+

В пункте 1.4. рассматривается общее представление финитных функционалов. В отличие от работ В.И. Половинкина [5-10] в диссертации используется другой подход. В этом случае свертка E/*G(x)*Iq(x) существует и общий вид финитного функционала погрешности представляется в виде:

(/п(*)>9>(*)}= J I í4DaG{x)*ln{x)\[fí(p{x)dx У <р(х) е L™

Е Ы = тп я1 1

Доказаны следующие леммы (отметим, что доказательства лемм проводятся по схеме работы Ц.Б. Шойнжурова [14]. Однако свертка

DaG(x)*l^(x) в функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у):

Известно [12], что при рт>п и 0<Щ<т—^ частная производная

непрерывна при

пространство вложено в

пространство непрерывных дифференцируемых функций

Условие вложения Lm{En) в С^(Еп)

имеет вид

Лемма 1. Пусть 1 </><<», = рт>п и

о (х)&Ьт1. Тогда полигармонический оператор Ат переводит функцию О р

(рп(х) в обобщенную функцию Дт<р. (х) = {-\)т1 (х) е Ьт и выражение и О О. р

(1п(х),ф)}= ! 2 ^Оа<р0(х)Па<р(х)<Ь

Е Ы-т ' ип

представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством

Лемма 2 . П рт>п, р(т-15|)> и, < р и /^(х) - произволъ-ный-финитный функцштал обгщезв) виёт из и = 0 при

из

то существует единственная функция

и(х) = <7(х) * + Рт _ 2 (х) е определенная с точностью до произвольного мн&гтшяш Р_ нию

степени и удовлетворяющая уравне-

Ати(х) = (-\)т1п(х),

фун (/П(*Ы*))= / I ^ОаС(х)Ч^х)уа(р(х)(1х У<р{х)еП

Е \а\ = т п

и имеет ли п/ /_\ц

р

Г I

Е \а\ = т . п

т! а!

ОаС(х)*1п(х)

сЬс

Это неравенство позволяет провести оценку сверху.

В пункте 1.5 получен оптимальный периодический функционал погрешности [20].

Лемма. Если банахово пространство периодических функций В(А) вложено в пространство непрерывных периодических функций С3(Д); В( Д)—>С*(А) и V а еЕп справедливо равенство:

1Их)|1я(Д)Ф(* + «)|в(Д)<

то коэффициенты оптимального периодического функционала равны при значениях функции и ее производных одного порядка в узлах кубической решетки и один из оптимальных периодических функционалов погрешности кубатурной формулы общего вида в пространстве В (д) имеет

вид:

л куЩЩ и

Получен явный вид коэффициентов оптимального периодического

функционала погрешности в пространстве

Са

где

и коэффициенты

считаем извест-

уеВ1

О

ными, так как они находятся как сумма коэффициентов элементарной кубатурной формулы общего вида.

Явное выражение нормы функционала погрешности связано с

периодическим решением полигармонического уравнения

С помощью преобразований Фурье для обобщенных функций полу-

чаем периодическое петттение тоавнения

В работах других авторов исследования периодического решения полигармонического уравнения проводятся методом суммирования периодических функций.

В пункте 1.6 исследуется «норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции соответствующей периодическому функционалу погрешности,

С.Л. Соболевым [12] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. Л.И. Дидур в работе [2] обобщила результаты С.Л. Соболева в гильбертовом пространстве. В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [11] рассмотрены последовательности эрмитовых кубатурных формул. Получена оценка

В данном пункте исследования проводятся в негильбертовом.про-странстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный, член периодического функционала погрешности. Это-важно для численного подсчета.

Т е < Если 1 < р < оо, 1^1 <т-п/р, А шаг решетки и щ(х)> дическоерешение уравнения дляфункциашла1^{х), тообщрегпредставле-

ние периодического функционала имеетвид

экстремальная функция для пщшдититш» функционала

/0(х/Л) определяетсяформулой

где Су = /

2гп"й

*!|2л/|

2 т С Г '

У (-1)1 Ы + С

х

I (-1)1«!с«оквт,аЫ +

Вке

1

р-\

-2 к\уу

<V

и нормы периодического функционала ¿^(х) и экстремальной функции у/гХх) соответственноопределяютсяравенствами

Во ВТОРОМ разделе обосновывается асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем при нечетном т. Асимптотическая оптимальность следует из совпадения оценок сверху и снизу.

В.И. Половинкиным [5] доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в

пространстве при 1</?<оо.

В пункте 2.1 получена оценка сверху нормы функционала погрешности. Для этого используем неравенство

р

I I —

Е Н = юа! л

йаС{х)*1а{х)

сЬс

1 . 1

Лемма 1. Если рт>п, р(т- > п, 2 р, —+— = 1,

\х\<ЬИ, то

\

Пав{х)*!у

с1х<атр'+п, \aUrn.

и

Лемма 2. Если рт > п, р(т -|j[) > п, |i| < р, —= 1, и е R(L, А, т), |дг| > Lh, то свертка DPG{x)*ly удовлетворяет не-

равенству

Теорема 1. Еслг< рт>п, р(т-|.у|)>и, <р, =1<р<<я и

ограниченная область £2 имеет кусочно-гладкую границу в Еп, то норма равномерно распределенного в области фумющшншш /^(х) в ¡Г^ при И—>0,,удовлетворяет неравенству

Р1Г

. 1С (тетО) р

т

р v п'

где С— положительная константа независящая от И.

Теорема 2. Если рт > п, />(я»-^|) > и, й р, = ^ '< Р<с0

и ограниченная область £2 имеет кусочно-гладкую границу вЕп, то при для всех функционалов срегулярным пограничным слоем в смысле определения С.Л. Соболева имеет место неравенство

р-1

+Ck

dx

I s ft I

Д =w |а|<|л|

г

hm(\+0(h)).

В пункте 2.2 получена оценка снизу нормы функционала погрешно-

сти.

Теорема V. Пусть область Г2 имеет кусочно гладкую границу Г-Г(О) Тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на решетке с шагом И

при А->0 имеетместо следующая оценка снизу

)

р~п>

Теорема 2. При т - нечетном функционал с регулярным по-

>ш слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева

Основные результаты работы

1. Указан способ расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных кубатурных формул высокой точности, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных.

2. Построены элементарные квадратурные формулы общего вида при т = 3,4,5 и п = 2 (т- гладкость пространства, п- размерность пространства), количество узлов которых снижена, за счет участия производных функций. Построена кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т - 3, п = 2.

3. Получен оптимальный периодический функционал погрешности и явный вид коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности в пространстве

4. В явном виде получена норма периодического функционала погрешности в пространстве Соболева выделен главный член пеР п

риодического функционала погрешности.

5. Из полученных оценок сверху и снизу нормы функционала погрешности следует асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в пространстве Соболева

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ц.Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

Список использованных источников

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М: Гос. изд. физ-мат. лит-ры, Т.1, 1959. - 464 с.

2. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. - 1981. - №1. - С. 48-56.

3. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: Наука, 1981.-431 с.

4. Никольский СМ. Квадратурные формулы. — 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

5. ПоловинкингВ.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т // Сиб. мат. журн. - 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

6. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности куба-турных и квадратурных формул // Теория кубатурных формул и вычислительная математика: Тр. конф. по дифференц. уравнениям и вычисл. математике / Отв. ред. С.Л. Соболев. - Новосибирск, 1980. - С. 116-118.

7. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. - 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

8. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в

Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137-139.

9. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа iT^ И Краевые задачи для уравнений с частными производными. - Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

т *

10. Половинкин В. И. Реализация линейных функционалов ] L (П) / Сиб.

Р

мат.журн.-1995.-Т.36,№1.-С. 156-158.

11. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. - 1978. - Т.19, №3.-С. 663-669.

12.Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974. -808 с.

13.Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. -484 с.

14.Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева Wm.

- Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. - 222 с.

15.Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис... докт. физмат, наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ин-т - Улан-Удэ, 1977. -235 с.

Список работ по теме диссертации -

16.Цыренжапов Н.Б. Общий вид функционала погрешности кубатурных формул в пространстве С.Л. Соболева ilpiß^)!! Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002. - С. 111 -119.

П.Цыренжапов Н.Б~ Оценка сверху нормы функционала погрешности куба-турных формул общего вида // Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002. - С. 119-126.

18.Цыренжапов Н.Б., Урбаханов А.В. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости // Ку-батурные формулы и их приложения: Материалы-VII Международного семинара-совещания. - Красноярск, 2003. - С. 184-187.

19.Шойнжуров Ц.Б. Цыренжапов Н.Б. Норма общего вида периодического функционала в пространстве С.Л. Соболева 1)р'(&\ \<р<<х> ТТМатема-

тика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции. - Улан-Удэ: БГУ, 2000. - С. 112-113.

20.Шойнжуров Ц.Б. Цыренжапов Н.Б. Оптимальный периодический функционал погрешностей кубатурных формул общего вида // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. - Улан-Удэ, 2000. - Вып.5. С. 38-49.

Подписано в печать 16.02.2004 г. Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ 51 Отпечатано вИПЦКГТУ 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

»-44¡57

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ I. Линейные и периодические функционалы погрешности

1.1. Пространства Wm(E ),Lm(E ), JVm(Q), Lm(Q). pnpnpp

1.2. Построение элементарных кубатурных формул общего вида

1.3. Построение кубатурной формулы общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, п = 2.

1.4. Общий вид финитного функционала погрешности.

1.5. Оптимальный периодический функционал погрешности в пространстве L^ (Е^).

1.6. Норма периодического функционала погрешности в пространстве L^ (.Е^).

РАЗДЕЛ II Оценка нормы функционала погрешности в пространстве L (Е^).

2.1. Оценка сверху нормы функционала погрешности в пространстве

Соболева L (Е ).

2.2. Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве

Соболева L (Е ).

Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследования СЛ. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-66 годах.

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» C.JI. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.

В современном понимании проблема оптимизации формул численного интегрирования ставится как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями: a) бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования; b) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличение объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей -научной, технической, организационной и т.д. При больших численных расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. Поэтому важное значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

В диссертационной работе основной целью является построение и обоснование асимптотической оптимальности кубатурных формул общего вида в пространстве Соболева L (Е ). р п

Для достижения цели ставятся задачи:

- построение элементарных кубатурных формул общего вида; получение оптимального периодического функционала погрешности и явного вида коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности; получение в явном виде нормы периодического функционала погрешности в L^ (Е^), выделение главного члена периодического функционала погрешности. Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой поверхностью конечной площади в «-мерном евклидовом пространстве Е . В остальном она произвольна.

Рассмотрим следующий кратный интеграл

J (p(x)dx = J a {x)(p{x)dx (1)

Q E L1 n

YYl где s (X) - характеристическая функция области П, ср{х) е W (Е ), рпг >п, £2 р п p(m-\S\)> п.

Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой N q>(x)dx= I Z C?Da<p(x ) (2)

П, £ = l|a|<|S| * " . где ) = ), - узлы, C^ - коэффициенты и TV - число узлов.

Распределение узлов х^ внутри Q может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы х нумеруются с помощью г мультииндекса р = с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле х^=ИН/3, где Н - матрицы размера пхп, det/7 = 1, а положительный параметр h называется шагом решетки. Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулой общего вида (2) определяется разностью

0,р)= Z , Z C"Da<p(x ). v" 7 Q £ = 1|«|<|S| кь

Пусть В - банахово пространство, В * - его сопряженное, и пространство В вложено в пространство С непрерывных функций:

5сОД. (3)

Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В. Функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида (2) в пространстве В называется обобщенная функция / (х)е В* вида:

0(*) = *0(*)- Z I C<X{-\)aDaS{x-x ). i2 " k = l\a\<\S\ к к

Из условия вложения (3) следует, что функционал погрешности / (х) вида \ N (р)= \(p{x)dx- 2 Z C^Dacp{xh) = Q & = l|a|<|S| k k / л

ЛГ oW- I I C^{-\)aDa5{x-x ) Q к = l|«| <|5| * k p{x)dx (4) является линейным непрерывным функционалом в5и его норма определяется формулой Q В sup о-* sup

Р* 0 ОТя И5=1

Пусть X = \х^={х^k = - узлы кубатурной формулы, Р = к = |ог| < |5|| - коэффициенты кубатурной формулы и (Х,Р) - совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы общего вида.

Кубатурная формула общего вида (2) с функционалом погрешности о

Q(x) в виде (4) называется оптимальной в пространстве В, если т mf sup —jj—й-в* {Х,Р)(р* О Ыв (Х,Р) к к а jnf d(x.,C?.N) = d(xk,Ck>N)-. (5) о о а

Ее узлы и коэффициенты обозначаются через xk,Ck соответственно, и называются оптимальными. У

Отыскание минимума (5) по х^, С^ называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (р^(х)е В, если она существует, реализующая минимум выражения (5), называется экстремальной функцией функционала /Q(x). а а

Функционал погрешности l^(x,X,P ,N), зависящий от X,P,N а а называется асимптотически наилучшим, если l^(x,X,P,N)eB* и для любого функционала / (x,X,P,N)eB* выполняется условие lim

N-> оо lQ(x,X,P,N) В lQ(x,X,P,N) 1

6)

В* а аа

Узлы хк и коэффициенты С к называются асимптотически наилучшими.

Пусть узлы кубатурной формулы общего вида (2) расположены на решетке Г(ЛЯ|0), dettf = 1, х =hHfi к = 1,2,-, N. а

Функционал погрешности l^(x,P,N) с узлами на решетке, зависящий от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, если а

Iq(x,P,N)e. В* и для любого l^(x,P,N)e В* выполняется условие: lim

N-> оо lQ(x,P,N) В* а lQ(x,P,N)

В* 1

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М. Никольский [28], В.И. Крылов [22], Н.П. Корнейчук [15] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов [1], Г.А. Михайлов [24], И.М. Соболь [56], А.В. Войтишек [9].

Применение вероятностных методов в приближенном вычислении интегралов в простейшем случае дает кубатурную формулу вида

11 i N (л

0 0 iV/ = 1 где x^ - независимые случайные точки, равномерно распределенные в единичном кубе. Удобство этого метода заключается в том, что в формуле (7) можно брать достаточно большие N, так как все точки х^ вычисляются по единому алгоритму, а порядок сходимости (7) (по вероятности) не зависит от кратности интегралов и равен N 2 для функций /(х) е L^. Но слабой стороной этого метода является медленная его сходимость и гладкость функций при этом не способствует улучшению сходимости.

Для решения экстремальной задачи теории кубатур в п-мерном пространстве Е C.JI. Соболевым был предложен функциональноаналитический подход; указан способ построения кубатурных формул с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке с шагом h и доказан, что

Mi такие формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве .

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве L™.

Остановимся более подробно на основных результатах C.JI. Соболева по теории кубатурных формул, полученных функционально-аналитическим методом.

В монографии C.JI. Соболева [50] дана оценка сверху нормы функционала погрешности (х) при помощи экстремальной функции (ро(х) из L™, на которой функционал погрешности принимает наибольшее значение.

Нахождение экстремальной функции щ(х) связано с решением уравнения

Amu = (-\)ml^(x) (8)

Решение уравнения (8) выражается в явной форме при помощи свертки

9) где G(x) - фундаментальное решение полигармонического уравнения порядка т, Р{х) - произвольный многочлен степени ниже т. Норма функционала погрешности определяется соотношением 2 L т Q х = О

10)

Норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем h х) удовлетворяет асимптотическому равенству lh 1 где Вт (Н) = S /3*0

Lf 1 (mesQ)2 Вт (Я)2 hm(1 + 0(h))

И)

2тиН~1р

2m'

Для оценки снизу нормы функционала погрешности с заданной решеткой узлов и с произвольными коэффициентами в пространстве важную роль играет функция (р^ (х), обладающая следующими свойствами:

1. ф (hfi) = 0, т.е. обращается в нуль в узлах решетки;

2. ф^ (х) = 0, если х g Q;

3. J ф^ (х) dx = J /ф (х) ф(х) dx.

С ее помощью C.JI. Соболевым получена оценка снизу нормы любого tit функционала погрешности (х) в пространстве L^ Q (mes n)2 Bm (H)2 hm (l + OQij)

12)

В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики Ц.Б. Шойнжуров, В.И. Половинкин, М.Д. Рамазанов, Р.А. Салихов, JI.B. Войтишек и другие, обобщая результаты C.JI. Соболева на другие функциональные пространства.

Ц.Б. Шойнжуров впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве СЛ. Соболева W™ с нормой

Ь> \w»4E„) = J т

1-Д)2 <р(х) dx

1 Р

1 < < со,

13) зависящей от функции и ее младших производных, т - любое положительное т т число и (l-Д) <p(x) = F~l(l + \2Kg\2)2 Fcp{%).

Здесь требование ортогональности функционала к многочленам степени til ниже т не является обязательным в отличие от фактор-пространства Lp {Еп).

Экстремальная функция (ро(х), соответствующая функционалу р(х), как решение нелинейного уравнения Эйлера получена с помощью преобразования Фурье и норма функционала погрешности в Wp в явном виде равна

Wtwf =

J \д{х)*р{х)\р dx jn

L Р'

14)

М.Д. Рамазанов ввел пространство с нормой

1Ия^(П) = Hg(Q)' где *р = = <р(х + ЕР)> (15) рассмотрел кубатурные формулы с ослабленным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа таких, как замена переменных в функционале и перемножение функций, построил формулы с пограничным слоем, но отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотические оптимальности в [45], [46], [47], [48].

М.В. Носков установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения [31].

B.JI. Васкевич исследовал кубатурные формулы в пространствах

1 1 гармонических функций Бергмана в^ Элементами в^ (П) являются функции класса W^ (Г2), гармонические в ограниченной области Q [7].

Ц.Б. Шойнжуров в поздних работах исследовал функционал погрешности ftt кубатурной формулы с пограничным слоем в пространстве Wр с нормой (13) и получил для функционала погрешности (х) следующую оценку р-1 lci 00Wm* =(mesQ-) Р Q О

2 тН-1р.

РфО>

2 7гН~Хр т о С dx

L Р'

16) xhm(\ + 0(h))

В таком виде константу, входящую в главный член нормы функционала нельзя улучшить.

Выделение в явном виде главного члена в оценке нормы функционала погрешности имеет важное значение, ибо при заданном N он позволяет выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью.

772

Существенный вклад в теорию кубатурных формул в пространстве Lp внес В.И. Половинкин. Ряд его результатов были использованы при доказательстве теорем настоящей диссертации. В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве Lp , 1 < р < оо с нормой i и» J

У.[оа(р(х)\ a\-m

Е " 2ск СО.

17)

Норма (17) инвариантна относительно линейных преобразований. В частности [35] им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в L™ (Q), а при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в

Y) 1

Lp. Также В.И. Половинкин исследовал [38-40] общий вид произвольного и финитного функционала погрешности.

В работе C.JI. Соболева [50] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. Л.И. Дидур в работе [14] обобщила некоторые результаты C.JI. Соболева в гильбертовом пространстве. В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [41] рассмотрены последовательности эрмитовых кубатурных формул. Получена оценка 1 h где А'" = mm р"" leL

UWpi*

18)

Изложим кратко содержание диссертации.

Основные результаты получены благодаря функционально -аналитическому подходу. Это предполагает, во первых, что подынтегральные функции объедены в некоторое банахово пространство, и во вторых, что разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функции и ее производных рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый функционалом погрешности, как правило непрерывен. Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы. В этом существенное преимущество функционального подхода перед чисто алгебраическим.

Алгебраический и функциональный подходы порождают отличные друг от друга критерии качества кубатурных формул. В первом случае лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов. Во втором предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму. В книге C.JI. Соболева и B.JI. Васкевича «Кубатурные формулы» [55] подробно исследуется взаимосвязь этих критериев.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном банаховом пространстве. В частности, в работе выводятся двусторонние оценки этих норм.

Диссертация состоит из введения, двух разделов, содержащих 8 пунктов, заключения и списка литературы из 76 наименований. Объем работы - 102 машинописных страниц. В первом разделе рассматриваются линейные и периодические функционалы погрешности. Во втором разделе проводится оценка нормы функционала погрешности.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Соболева

Для решения данной задачи был использован

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: указан способ расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных кубатурных формул, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных с узлами на ньютоновской решетке. Построена кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, л = 2. Получен оптимальный периодический функционал погрешности и явный вид коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности в пространстве L (Е^). В явном виде получена норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности в пространстве

Соболева Lm(E ). Также показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в пространстве

Соболева ^[eJ.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат, лит-ры, Т. 1, 1959. - 464 с.

3. Блинов Н.И., Войтишек JI.B. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1970. - Вып. 38. - С. 8-15.

4. Блинов Н.И., Войтишек JI.B. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. C.JI. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

5. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49-54.

6. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. - С.14.

7. Васкевич B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241-250.

8. Васкевич B.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

9. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003 .-С. 45-53.

10. Ю.Войтишек JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419.

11. П.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988.-512 с.

13. Глушко В.П. Неравенства для норм производных в пространствах L^ свесом // Сиб. мат. журн. 1960. - Т. 1,3.

14. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях// Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. 1981. - №1. - С. 48-56.

15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

17. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994.-Вып.1.-С. 150-152.

18. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1.-С. 147-150.

19. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в

20. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 32-36.

21. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в II Комплексный анализ,дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. - С. 71-78.

22. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности ву/О71) ^ j // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. IIIсеминара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С 37-40.

23. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967. - 500 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1959. - Т.55. - С. 1-181.

25. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.-236 с.

26. Михайлова С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В.И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20-25.

27. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Госуд. Изд-во ф.-м. Литературы, 1962 г

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

29. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

30. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1991. - Т.2. - 544 с.

31. Никольский Ю.С. Поведение дифференцируемых функций из весовых классов на бесконечности // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР.-1972.-Т.117.

32. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. Л., 1991. - Вып. 16. - С. 16-23.

33. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. - Т.З, №3. - С. 319-326.

34. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. с. 951-954.

35. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15, №2. - С. 413-429.

36. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т II Сиб. мат. журн. 1975. - Т.16, №2. - С. 328-335.

37. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979-18 с.

38. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L™ II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

39. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из1. U (П) //

40. Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, №1. - С. 156-158.

41. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II

42. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики.- Новосибирск, 1989. С. 137-139.

43. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. -1978. - Т.19, №3. - С. 663-669.

44. Половинкин В.И., Дидур Л.И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3-14.

45. Пономаренко А.К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 70-76.

46. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. - Т.13, №2. - С. 481-484.

47. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

48. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР.- 1974. Т.126, №1.-С. 44-45.

49. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их