Построение инвариантных кубатурных формул тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

» 1 I ! I fl ' г" Г* О

) ' i.iíia I:,JJ

САПКТ-ПЕТЕРЕУРГСКИЙ ГОС7ДАРСГОЕНПЫЙ УПИПЕРС11ТЕТ

IIa правах рукописи

СТОЯНОВА Сребра Благоева

ПОСТРОЕНИЕ ИПВУШШГПШХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 19 9 3

Работа выполнена в Техническом университете в г. Варны, Болгария.

Научный руководитель) доктор физико-математических наук, профессор МЫСОВСКИХ Иван Петрович

Официальные оппоненты!

доктор физико-математических наук НОСКОВ Михаил Валерианович) кандидат {шзико-математических наук, доцент П0ШШРЕНК0 Аркадий Кузьмич

Ведущая организация -Белорусский государственны!) университет

,Защита состоится....."/.Р..Л'г.'.'Г.^'гг!.......... 1993 г.

в </.....часов на заседании специализированного совета

Д 063.57т30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу! 198904 Санкт Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, математико-механнчеекпй факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета

Автореферат разослан ", ..". 1993 г.

Учений секретарь специализированного совета Д 063.57.30, доцонт Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теки. Широкие возможности применения ЭВМ в вычислительной практике за последние десятилетня способствовали бурному развитию теории приближенного интегрирования. Интегрирование является одной из. самих распространенных математических операции. Усиливается интерес к задаче приближенного интегрирования представителей различных отраслей науки и практики. В самых различных областях современной науки и техники часто приходится вычислять определенные интегралы, для которых невозможно получить точное значение.

Формулы для численного интегрирования функций одной переменной называются квадратурными формулами. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Разными авторами предлагались различные методы построения квадратурных формул. Так появились общеизвестные квадратурные формулы Ныотона-Котеса, Гаусса, Чебшяева и др.

Формулы приближенного вычисления кратных интегралов называются кубатурныин формулами. Задача построения кубатурных формул сильно осложняется появлением нового параметра - формы области . интегрирования и быстрым ростом количества необходимых вычислительных операций при повышении требований к точности формулы. По этим причинам применение кубатурных формул к вычислению интегралов высокой кратности было невозможно до появления ЭВМ и разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно.

При построении кубатурных формул разными авторами применяются различные методы.

Применение методов функционального анализа п исслелов.игиях по теории приближенного интегрирования началось работами С.И. Никольского и С.Л.Соболева. Это направление получило дальнейшее развитие в работах Н.П.Корнейчука, М.Д.Рамазанова, В.И.Половинкн-на и др.

Для приближенного вычисления интегралов применяются и вероятностно-статистические методы (методы Монте-Карло). Этим методам посвящены исследования Н.С.Бахвалова, С.И.Ермакова, И.М.Соболя и др.

Одним из основных направлений теории численного интегрирования является исследование вопросов, связанных с построением

кубатурних формул, основанное на интерполировании. Это направление развивается в работах В.И.Крылова, Н.П.Мисовских, С.Л.Соболева, В.И.Лебедева, Г.Н.Салихова, Х.М.Мйллера.Х.И .Имида,А.Х.Строуда. А.К.Пономаренко, Г.Г.Распутина, М.В.Носкова и др.

Узли н коэффициенты таких формул выбираются так, чтобы формула била точна для всех многочленов, степень которых не превосходит заданного числа 1по • Для краткости говорят, что куба-турная формула обладает Inri -свойством.

К этому же направлению относятся работав которых строятся кубатурные формулы, точные для тригонометрических многочленов, Н.П.Мисовских, М.В.Носков.

Первое систематическое изложение кубатурних формул дано в книге В.И.Крылова "Приближенное вычисление интегралов" (Наука, 1967), в главах 21,22 и 23, написанных И.П.Мысовскнх. В 1971 Г. В США вышла книга "Approxlmats calculation of múltiple Intégrala" автор которой A.H.stroud. В этой книге, наряду с вопросами построения кубатурних формул, рассмотрены оценки погрешности кубатурних формул, метод Монте-Карло и приведены таблицы кубатурних формул для куба, шара, сферы, симплекса и других областей интегрирования. В 19S1 г. вышла книга И.П.Мысовскнх "Интерполяционные кубатурные формулы" , которая посвящена теории кубатурных формул с w> -свойством. В книге изложены результаты об инвариантных кубатурних формулах, о связи ортогональных многочленов и кубатурных формул. Приведены таблицы кубатурных формул для вычисления интегралов по кубу, симплексу, шару н сфере в Rn .

И хотя за последние годи в этом направлении получен ряд существенных результатов, немало задач такого рода до настоящего времени не решени. Поэтому исследование способов построения кубатурных формул для вычисления кратных интегралов является актуальной задачей.

Цель работы. Построение кубатурних формул для сферы, куба, симплекса и шара, которые инвариантны относительно групп преобразований соответствующих многогранников.

Научная новизна. Построен ряд иових кубатурных формул для сферы, шара, симплекса, куба . Среди них имеются такие, у которых число узлов совпадает с нижней границей или близко к ней. В ряде случаев число узлов полученных кубатурних Йормул меньше, чем число узлов в известных формулах той же алгебраической степени точности.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертационной работе кубатурные формулы могут быть использованы для вычисления интегралов на ЭВМ. Благодаря инвариантности кубатурных формул, вводимая в ЭВМ информация, нужная для задания коэффициентов и координат узлов формулы,весьма мала. Кубатурные формулы для сферы целесообразно использовать в некоторых областях применения численных методов, например, в гармоническом анализе на сфере, в вычислении коэффициентов Фурье от Функции при разложении ей по гармоническим многочленам и, особенно, в разностных аппроксимациях интегральных операторов многомерных уравнении переноса частиц. При решении задач математической физики часто используется метод конечных элементов. Треугольник, тетраэдр и, в общем случае симплекс - наноолео часто используемые типы "конечных элементов". В связи с этим при использовании метода конечных элементов возникает проблема численного интегрирования по симплексам, так что кубатурная формула для симплекса может быть использована в этом случае.

Апробация работы. Основные результаты диссертационно!! работ н докладывались на семинаре кафедры математики Технического университета в Варне, на международной конференции "Численные методы н приложения" в Софии в августе 1988 г., на заседании семинара лаборатории численных методов Института математики Болгарской Академии Наук, на заседании семинара кафедры вычислительной математики мат.-мех.ФЛ'культета Санкт-Петербургского университета.

Публикации. По теме дисертацни опубликованы пять статей н четыре приняты в печать.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи параграфов, списка литературы и содержит 144 стр. машинописного текста. Список литературы содержит 77 наименовании.

Состояние вопроса. Одним из методов построения кубатурных формул с УТ) - свойством является метод неопределенных параметров. Многие из кубатурных формул для конкретных областей - куба, симплекса, шара, сусры и др.- получены этим методом. Метод неопределенных параметров применим только в случаях, когда область интегрирования ц весовая функция обладают некоторой симметрией.

G

Г. 1S62 г.С.Л.Соболей предложил метод для построения кубатуриых Формул, инвариантных относительно групп преобразований, что в значительной мере снизило трудоемкие вычисления метода неопределенных параметров. Он ввел понятие инвариантной кубатурной формулы и доказал теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы инвариантная кубатурная формула обладала Vyi -свойством и построил инвариантные кубатурние формулы для трёхмерной сферы. H.H. Иысовскнх построил кубатурные формулы для многомерных сфер, шара и симплекса, инвариантные относительно групп преобразований гнпероктаэдра и симплекса. Он указал на важность использования инвариантных многочленов при построении инвариантных кубатуриых формул. Научные работы Г.Н.Салихова посвящены теории групп вращений правильных многогранников и построению инвариантных кубатуриых формул для вычисления интегралов по поверхности многомерных сфер. В.Н.Лебедев построил кубатурные формулы типа Гаусса-Маркова, т.е. кубатурные формул-i, большая часть узлов которых заранее не фиксируется, а определяется из системы нелинейных, алгебраических уравнений. Он предложил также замену переменных, при которой упрощаются полученные нелинейные системы, возникающие при построении инвариантных кубатуриых формул для вычисления интегралов по сфере в трехмерном пространстве. Инвариантные кубатурные Формулы получили тоже С.И.Коняев, Э.А.Иамснев, Ф.Ыарипходжаева, Н.В.Карасева и др.

СОДЕРЖАНИЕ РА БОТЫ

Во введении дано краткое изложение истории развития инвариант пых кубатуриых формул и описание результатов диссертации.

В первом параграфе приводятся необходимые определения и известные результаты, которые используются в дальнейшем.

Пусть имеется правильный многогранник в R" с центром в начале координат. Рассмотрим группу преобразований этого многогранника.

...____________называется инвариантным относительно

преобразований группы , если ^ (-О-}- для любого ¿j 6G-.

Совокупность точек вида , где CL - фиксированная точка R. , а - пробегает все элементы группы , называется

орбитой или & - орбитой, содержащей точку Ö- . Очевидно й- -орбита является инвариантным относительно G>- множеством.

Кубатурная формула

N

$СХ)СЬОС - >_С- , (1)

<1

где областью интегрирования является множество _Г2_ С Я , называется инвариантной относительно группы О- . если область интегрирования инвариантна относительно 0- и если

совоьукность её узлов представляет собой объединение — орбит, при этом узлам одной и той же орбиты сопоставляются одинаковые коэффициенты.

Теорема 1 (С.Л.Соболев). Для того чтобы кубатурная формула (1) » инвариантная относительно преобразований группы &■ обладала Уп -свойством, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для тех многочленов степени не выше ^ , которые инвариантны относительно 0-

Приведены также теоремы об инвариаитиих многочленах и о нижней границе для числа узлов кубатурной формулы.

По втором параграфе построены кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере

= . (2)

В качестве группы 0>- использована группа всех ортогональных преобразований гипероктаэдра в себя, которая обозначается через . Получены кубатурные формулы с \"Г) - свойством

при Уп- 11,13,15 , У) 3, инвариантные относительно группы 0П(?-, Приведены таблица параметров полученных формул. Кубатурная формула с 11 - свойством имеет меньшее число узлов по сравнений с формулам^ которые получил А.Строуд при Г) - 3, VI - 4 и 5. Две кубатурные формулы с 13-свойством получил также Э.А.Шамсиев. Число узлов его кубатурных формул больше,чем число узлов полученной в диссертации кубатурной формулы с 13-сво11стеом. Получены две кубатурные формулы с 15-своЙством. Проведены вычисления . параметров полученных формул при - 3 (1)30. Первая из формул существует при VI- 8(1)14 и Ю- 19 (1)30, а вторая существует при VI - 3, Ю- 4 и 9 (1)30. Автору известны кубатурные формулы с 15-свойством только при Ю- 3, которые получил В.И. Лебедев.

Вторая кубатурная формула с 15-споНством имеет вид

ÜY) . >jn(ln-i)

.«К

М5n,) ¿--1

•ШтЫ) ~ 48С>? _ SC»

¿:J <-=i tri

Г ¿»е.? . jeocf

+ c^^v

A ¿-X t -i

б r*

bICh . 118 Co

+ HÖrn+iZTirs'''),

c-i ¿-J

r" e'"- U С ... о), c"-fx. J. j, _L о,, о) / Г U/.2)

. Здесь выписывается только один узел из каждой орбнти. Остальные получаются из него вг.евозможии-ми перестановками координат и изменениями у них знака. Число узлои

Параграф 3 посвящен построению кубатурных формул'для вычисления интегралов по сфере (2), инвариантных относительно группы преобразовании правильного симплекса, которая обозначается через Сп6- • Группа Сп0>* получается из группы всех ортогональных преобразовании правильного симплекса в себя добавлением к ей образующим преобразования центральной симметрии относительно начала координат. Здесь получены три кубатурныо формулы с 7-своИст-вои при 11 - 3 и две кубатурные формулы при И - 4. Одна из полученных формул при - 3 имеет 26 узлов, что превышает нижнюю границу только на С единиц, и ей число узлов меньше чем в известных формулах. Она имеет вид

«- л 4 (3)

4 12.

+ _■

1

Суммирование ведется по веем точкам соответствующе!! орбиты. 13 качесве узлов взяты три орбиты. Первая орбита содержит точку о/- вершину симплекса и состоит из восьми точек. Вторая орбита содержит точку - проекцию из & - (0,0,0) на середины ребр^ симплекса,соединяющего вершнш о}" и й.<2) , и состоит из шести точек, так как множество середин ребер центрально симметрично. Третья орбита содержит точку (¡,{1/4, 1/4) - проекцию из О на 54 точки, находящейся на высоте двумерно!! грани симплекса, определяемой вершинами О,11', СХ.Ш, Л.'5'. Оказывается, что При У)- 3 орбита, содержащая точку С, (1/4, 1/4), является центрально симметричным множеством, поэтом/ эта орбита состоит из 12 точек.

В этом параграфе получены три кубатурные формулы с 9-своИст-вом, имеющие число узлов 50,44 и 42. Кубатурная формула,у которой число узлов N=42,имеет вид

С 6 и>

Ь 1 i

м

+ С>_%{1а\Ь)

3 качестве узлов взяты три орбиты. Первая орбита содержит точку . Вторая орбита содержит точку С(1/4,1/4). Третья

орбита содержит точку 4?1>(-Ь) - проекцию из О на ^ точки, находящейся на ребре симплекса, которое соединяет вершины й/-" и аЯ .

Кубатурние формулы с 9-свойством для сферы, инвариантные относительно преобразований группы С^б , автору неизвестны.

Параграф 4 посвящен построению кубатурных формул для вычисления интегралов по кубу

инвариантных относительно группы 0п6- . Получены три кубатурпые формулы с 7-свойством при 3. В этом параграфе получена также кубатурная формула с 9-свойством при V) - 3. Она имеет вид

3$С:х;с!х Я $(ооо)+ ^а^ о ,о)+

V . 1

6

+ £с&>1).

Суммирование ведется по всем точкам соответствующей орбиты • В качестве узлов взяты следующие орбиты: (0,0,0),

05а («1,0,0), Ол & (О-г,0,0 (?1,'ё2.0). (е.с.с),

0}&('Л'Ш1ервая орбита содержит только один узел. Для каждой из остальных орбит здесь выписывается только один узел, а остальные получаются нз него всевозможными перестановками координат и изменениями у них знака.

Число узлов формулы (4) равно 53, а формула с 9-свойством, которую получил Ф.Стенгер,имеет 77 узлов.

В пятом ¿параграфе построена кубатурная формула с 6-свойст-вом для вычисления интегралов по стандартному симплексу Т^ с вершинами»

инвариантная относительно группы всех аффинных преобразований симплекса в себя, которая обозначается через . Обозначим через ГП „ ^ симплекс с вершинами:

(и,,"',..., "О (¿-шо^и^..,, сО",

У1Ю, , г и., ... , и-, 1-пи. ) , •

где IX. - вещественное число. Кубатурная формула имеет вид

С Ы

^ " <И

г

2Г>

+ В,

<} - л

с!"

+ С, Сл ,

о--1 а = 1

Число узлов М = при 0^5.

При VI- з Д.- О, С, - О N - 33. При V)- 4 .С, - 0. М-56.

^ ^ л/ 1-7

В качестве узлов взяты следующие точкт и?" - центр ) , - , - вершины симплексов ,

Т ^ Т ' -8 р1) , Р'з.) - середины ребер симплек-

% С>( & ,Ик) - -Ь - точки при - 1/4, лежащие на ребрах симплекса Т^ ^ '

- центры двумерных граней симплекса Т^,.

Для вычисления параметров формулы (5) составлена программа на ФОРТРАНе. Три параметра ( ^ и ^ задаются произ-

вольно, и программа позволяет получить бесконечное множество таких формул. Программа позволяет находить такие значения этих трех параметров, при которых узлы принадлежат Т^ . Приведены значения узлов и коэффициентов при V)- 3(1)10, при этом узлы принадлежат Т . Автору неизвестны кубатурные формулы для симплекса с С-свойством, инвариантные относительно группы 'Т^б-,

П § 6 построены кубатурные формулы для вычисления интегралов но шару

Вь'.<1 осе ^ | Ос^+х^ + _ (6)

Получены четыре формулы с 7-свойством при V)- 3, инвариантные относительно группы ■ . Одна из формул имеет число узлов 27, которое является минимальным в классе кубатУрных формул, у которых начало координат является узлом и которые обладают 7-свойством. Она имеет вид

5

8 б

ак „ ^-, пии

6ь

(7)

Суммирование ведется по всем точкам соответствующей орбиты!

С\}п , и с. (1/4,1/4) те же,что и в формуле (3), а

■О- (0,0,0) - начало координат. Автору неизвестны кубатурные формулы с 7-с ойством, инвариантные относительно группы С^б-*^.

§ 7 посвящен построению кубатурных формул для вычисления интегралов по шару (6) при Ь5- 3, обладающих 7-свойством, и инвариантных относительно группы . Получены две кубатурные формула, первая из которых не существует при V)- 7(1)10, а вторая не существует только прп V)- 4. Обе йормулы при Ю- 3(1)8 имеют меньше узлов,чем формула которую получил Ф.Стеигер.

Вторая формула имеет вид

г -ал

.1 1 (8) г в с

1 А

z,

Число узлов К=Л/ -t Ло + i . Все уэли кубатурной формулы (8) входят в область интегрирования В^ .

Для полученных формул в диссертации произведено сравнении с известными формулами в отношении числа узлов и их расположения.

Чтобы убедиться в правильности вычисления параметров куба-турных формул, полученных в диссертации,сделано следующее. Проводится вычисление интеграла, когда подыинтегральная функция является многочленом самой высокой степени для которого кубатурная формула точна. Для того же самого многочлена вычисляется и соответствующая кубатурная сумма. Сравниваются значения интеграла и кубатурной суммой н устанавливается, что они практически совпадают в пределах тех значащих цифр, с- которыми приведены параметры формулы.

В заключении автор выражает свои глубокую благодарность научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору И.П.Мысовских за ряд советов и постоянную помощь при выполнении диссертационной работы.

По теме диссертации опубликованы следующие статып 1. Стоянова С.Б. Кубатурная формула одиннадцатой степени точности для гиперсферы // Методы вычислений. Л.i ЛГУ, 1981, Вып. 12, С. 38-46.

2. Стоянова С.Б. Кубатурная формула тринадцатой степени точности для гиперсферы // Методы вычислений. Л.i ЛГУ, 1988, Вып. 15, С.. 37-43.

3. Стоянова С.Б. Кубатурние формулы для сферы, инвариантные относительно группы преобразований правильного симплекса // Численные методы и приложения. (Труды международной конференции по численным методам и приложениям), София! БАИ, 1989,

С. 487-491.

4. Стоянова С.Б. Кубатурные формулы девятом степени точности для сферы // Методы вычислений. Л. i ЛГУ, 1991, Пип.16С.08-75.

• 5. Стоянова С.Б.

Кубатурные формулы для гиперкуба седьмой степени точности// .Записки научных семинаров ПОМП. СПб.! Наука, 1992, Т.202, С. 110-115.