Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л.СОВОЛЕВА

На правах рукописи

Васкевич Владимир Леонтьевич

ГАРАНТИРОВАННАЯ ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

01.01.07- вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в Институте математики им.С Л.Соболева Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

доцент А.В. Войтишек

доктор физико-математических наук профессор В.И. Половинкин

доктор физико-математических наук профессор М.Д. Рамазанов

Ведущая организация: Институт вычислительной

математики РАН, г. Москва.

Защита состоится 11 марта 2004 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003 015.04 при Институте математики им. С Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4, ауд. 417.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан

«Л» ^^2004

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

В.Н. Белых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Быстродействие и память электронных вычислительных машин, как это отмечается в современной печати, за каждую пятилетку возрастают примерно в десять раз, и вместе с этим ростом при помощи массированных компьютерных вычислений исследуются все более и более сложные задачи естествознания и техники. Объем перерабатываемой при этом информации становится поистине гигантским и традиционные способы контроля за происходящими в компьютере вычислениями, хорошо себя зарекомендовавшие для относительно малых объемов обрабатываемых данных, в изменившихся условиях свою эффективность утрачивают. По-видимому, именно по этой причине в научных изданиях регулярно появляются статьи, в заголовки которых снова и снова выносится вопрос о том, можно ли и насколько можно доверять результатам компьютерных вычислений?

В мировой вычислительной математике уже давно выработано представление (изложенное, к примеру, в известных монографиях С.К. Годунова1, Дж. Деммеля2, Дж. Голуба и Ч. Ван Лоуна3), акцентирующее внимание на нетривиальности воздействия ошибок округления на весь ход компьютерных вычислений. Это представление, а также стремление контролировать сложный вычислительный процесс в полной мере, привели к возникновению в современной математике ряда новых направлений.

Одно из таких новых направлений связано с выработкой неклассических критериев качества рассматриваемого процесса. Существо такого рода критериев состоит в определении сопутствующих выбранному вычислительному процессу числовых параметров (одного или нескольких), эффективно определяемых по исходным данным задачи и позволяющих (в зависимости от величины вводимого параметра) давать гарантированные заключения о близости или удаленности получаемого машиной числа и истинного результата. Наибольшее развитие указанный подход получил во второй половине прошлого века в применении к задачам линейной алгебры. Достигнутые в этом направлении успехи побуждают к проведению аналогичной точки зрения в областях вычислительной математики, непосредственно с линей-

1 Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

2ДеммельДок. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.

3 Голуб Док., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

ЯШ;

ной алгеброй не связанных, и, в частности, к выработке соответствующих критериев в теории приближенного многомерного интегрирования.

Практика современных теории приближений и численных методов такова, что наиболее развиты и широко используемы способы вычисления интегралов на основе метода кубатурных (квадратурных) формул. В связи с компьютерной реализацией этого метода, т. е. в связи с его реализацией в арифметике с конечной точностью, возникает вопрос о правомерности применения оценок погрешности, получаемых в рамках классической теории кубатурных формул, к оценке погрешности реального вычислительного процесса. К погрешности аппроксимации, возникающей в результате замены интеграла конечной суммой взвешенных узловых значений подынтегральной, функции, на практике неминуемо добавляются погрешности, обусловленные как неточным вводом в компьютер начальных данных задачи (весов формулы и узловых значений подынтегральной функции), так и неточным же выполнением сопутствующих формуле арифметических операций (сложений и умножений). Следовательно, гарантировать точность в практических вычислениях интегралов без скрупулезного анализа сопутствующей этим вычислениям суммарной погрешности немыслимо и важнейшую роль в этом анализе играют методы, разработанные на основе сложившегося функционального подхода к построению и исследованию формул для приближения многомерных интегралов. Основы этого подхода таковы.

Во-первых, предполагается, что выбранная (или построенная) кубатур-ная формула будет использована не только для какой-либо одной конкретной функции, но сразу для целого семейства подынтегральных элементов, представляющего собой шар в некотором наперед заданном функциональном (банаховом) пространстве X. Во-вторых, разность между интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции рассматривается как результат действия на эту самую подынтегральную функцию некоторой обобщенной функции, полностью определяемой исходной кубатурной формулой и называемой по этой причине функционалом погрешности формулы. В-третьих, исходное банахово пространство X предполагается вложенным в пространство функций, непрерывных в замыкании области интегрирования, причем это вложение непрерывно, т. е. функционал погрешности кубатурной формулы не только линеен, но

и ограничен на X. Знание численной мажоранты для его нормы в сопряженном пространстве X* позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства X гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней кубатурной сумме и в этом — существенное отличие функционального подхода от всех других.

Функциональные методы стали широко применяться в теории приближенного интегрирования начиная-с работ академика СМ. Никольского и первого издания его книги "Квадратурные формулы". Создание же теории кубатурных формул заслуженно связывают с исследованиями академика С.Л. Соболева. В его научном наследии работы по теории приближенного интегрирования занимают весьма заметное место: первую работу по куба-турным формулам он опубликовал в 1961 г., последнюю — в 1986 г., всего же их более трех десятков, в том числе две фундаментальные монографии.

Функциональный подход вместе с описанием конструкций рассматриваемых формул, т. е. вместе с указанием их узлов и весов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает и вывод эффективных двусторонних оценок для норм соответствующих функционалов погрешности. В этом направлении особо выделяется полученная Н.С. Бахваловым оценка снизу нормы функционала погрешности в зависимости от размерности переменной интегрирования и от порядка гладкости рассматриваемого класса подынтегральных функций.

Помимо результатов СМ. Никольского, СЛ. Соболева и Н.С Бахва-лова современная теория кубатурных формул располагает и рядом других интересных и ярких достижений. Важную часть теории кубатурных формул составляют исследования по кубатурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований той или иной группы симметрии (см. работы В.И. Лебедева, И.П. Мысовских, Г.Н. Салихова и др.). Еще одно направление, пожалуй наиболее развитое, включает в себя исследования по асимптотически оптимальным кубатурным формулам (см. работы О.В. Бесова, В.И. Половин-кина, М.Д. Рамазанова, В.Н. Темлякова, Ц.Б. Шойнжурова и др.). Особое направление теории составляют исследования по оптимальным решетчатым кубатурным формулам — в этой связи упомянем работы А. Сарда,

PL Мейерса, И. Шенберга, С. Силлимена, И. Бабушки, М.Д. Рамазанова, а также обобщающие результаты С.Л. Соболева.

Приведенный здесь очень краткий и не претендующий на полноту тематический обзор тем не менее наглядно свидетельствует об актуальности избранной для исследования темы.

Цель работы — это, во-первых, создание теоретической модели вычисления многомерных интегралов с гарантированной точностью, синтезирующей методы оценивания погрешности, используемые в традиционных рамках функционального подхода теории кубатурных формул, и методы оценки погрешности алгоритмов, применяемые в современных методах вычислений в арифметике с конечной точностью. Во-вторых, это решение ряда задач классической теории кубатурных формул, связанных с доказательством в случае произвольных банаховых пространств подынтегральных функций существования оптимальных кубатурных формул, их практическим построением и исследованием на сходимость, а также с построением в явном виде асимптотически оптимальных кубатурных формул.

Методы исследования. Для решения задач в рамках описанной выше проблематики использованы методы математического анализа, функционального анализа, вычислительной математики, дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично. Основные результаты диссертации таковы:

1) предложена новая модель оценивания погрешности произвольной ку-батурной формулы при ее реализации в арифметике с конечной точностью. В этой модели вместо нормы функционала погрешности определен новый родственный ей числовой параметр, названный гарантированным радиусом кубатурной формулы. Проведена оценка уклонения гарантированного радиуса формулы от нормы ее же функционала погрешности. Полученная при этом мажоранта уклонения выписана в виде явной функции числа узлов формулы, суммы модулей ее весов и машинных констант;

2) реализована оценка гарантированных радиусов конкретных кубатур-ных формул, представляющих собой многомерные аналоги известных квадратурных формул Грегори. Гарантированный радиус кубатурной форму-

лы типа Грегори явно оценен в случае пространств Соболева конечного порядка гладкости, причем эта оценка применима при каждом конкретном наперед заданном значении N, а не только асимптотически, когда число узлов N формулы неограниченно возрастает;

3) доказано существование оптимальных по весам кубатурных формул и установлена их монотонная сходимость при очень общих предположениях относительно совокупного множества узлов последовательности кубатурных формул и пространства X подынтегральных функций (например, X может быть сепарабельным гильбертовым пространством);

4) установлено, что последовательность экстремальных функций, соответствующих оптимальным кубатурным формулам, образует в пространстве X подынтегральных функций базис (при тех же предположениях о структуре X, что и выше).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации существенно развивают и совершенствуют возможности метода кубатурных формул. Приведенные в работе теоремы, леммы, аналитические оценки значительно расширяют объем известной информации о свойствах куба-турных формул и могут использоваться как при решении новых задач теории приближенного вычисления многомерных интегралов, так и для оценки практических качеств кубатурных формул при их реализации на существующих типах вычислительных машин. Полученные результаты можно также использовать в университетских курсах по вычислительной математике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (конференция, посвященная столетию И. Г. Петровского, Москва, 2001), "Международной конференции по вычислительной математике (ICCM2002)" (Новосибирск, 2002 г.), на конференции "Mathematical Modelling and Scientific Computing" (Ankara—Konya, Turkey; 2001), на конференциях серии "Ку-батурные формулы и их приложения", (Красноярск, 2003 г., Уфа, 2001 г.; Красноярск, 1995 г., 1993 г.), на Четвертом и Третьем сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000 г. и 1998 г.), на конференции "Оптимизация численных методов" (Уфа, 1998 г.),

на Общеинститутском математическом семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. академик Ю.Г. Решетняк, 2003 г), на семинаре "Математика в приложениях" (рук. академик С.К. Годунов, 2003), а также на ряде других научных конференций и симпозиумов. Часть результатов получена автором диссертации в ходе работ по проекту Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 98-01-00760).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 работ, полный перечень которых имеется в диссертации. В автореферате приведен список основных публикаций автора по указанной теме, включающий монографии [1-2]. Доля каждого из соавторов в работах [8], [17], [18] одинакова.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 383 наименований и оглавления. Объем работы 243 страницы.

Диссертация носит теоретический характер и содержит результаты исследований автора, начатых в 1978 г. под научным руководством академика С.Л. Соболева. Вопросы приближенного интегрирования рассматриваются здесь для случая многомерных ограниченных областей интегрирования и классов непрерывных в этих областях подынтегральных функций.

В § 1 главы I приводятся первоначальные сведения теории: определяются кубатурная сумма веса и узлы кубатурной формулы, а также ее функционал погрешности

В § 2 главы I приводятся необходимые сведения о специальных конечных числовых множествах, называемых форматами, элементы которых — суть машинные (компьютерные) числа. Элементы теории машинных вычислений излагаются здесь в рамках общепринятой сейчас модели арифметики с плавающей точкой. При этом для каждой конкретной машины формат определяется четырьмя целочисленными параметрами: натуральными числами 7,7 > 1, Р+ и к, а также отрицательным целым числом Р_. Форматом

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

N

П

где

называется числовое множество, определяемое соотношением

р — целое; тьт2,..., т* — целые чиста из[0,7 — 1]; тх > 0}.

Параметр 7 при этом называется основанием формата, к — его точностью, а Р_ и Р+ — границами области значений [Р_,Р+] показателя р формата. Помимо числового вектора (7,Р_,Р+, &) формат Г = Р(7,Р~,Р+,к) принято описывать эквивалентным образом с помощью вектора (7, ео,<-1, ^оо) форматньгх констант, где

ео = 7Я-,) е1 = 71"к, = У+(1 "Л"*)-

Округление вещественного числа из отрезка представ-

ляется как результат действия на г оператора,« со значениями в Б, сопоставляющего числу г соответствующий ему в формате F элемент наилучшего приближения. Для заданного вектора д — (дх,д2, • ■ ■, ди) ПРИ гаах < £оо(Р) определен вектор й(д) = {АЫ, Я(р2), • ,Я($лг)} не

[<7]р- Погрешность, возникающая при замене вектора д вектором п(д) допускает в евклидовой норме следующую оценку

\\9 ~ А(З)||2 < £1(^)11^112 + VNeo(F).

Следует учитывать, что на конкретной вычислительной машине, помимо реализованного аппаратно в ней "максимально" доступного формата, возможно использовать и другой формат с тем же основанием, но с меньшим числом элементов. Это позволяет при реализации конкретного вычислительного алгоритма производить отбор необходимого виртуального формата, в котором этот алгоритм и будет реализовываться. Виртуальный формат вовсе не обязан совпадать с максимально доступным, и удачный его выбор может иногда существенно упростить вычисления. Естественно, что при этом следует заранее убедиться, что требуемая точность результата в выбранном виртуальном формате будет достижима.

В § 4 главы I проведен анализ погрешности кубатурной формулы Ejv с учетом как ошибок ввода, так и сделанных в процессе реализации вычислительного алгоритма округлений. При этом для произвольного функционала погрешности введена в рассмотрение его реализация в формате F, понимаемая как следующая обобщенная функция

N

ЫгИ = Хй(*) - - *«),

*=1

(здесь и далее ч рез ¿(ж—ж^) обозначен сдвиг дельта фукция Дирака), а также определена (е0(Р),е1(Р))накр©с1ность функционала как совокупность всех функционалов погрешности вида

удовлетворяющих соотношению [In]f = [/дг]р. При заданном стандартном формате F с константами £o(F) и £i(F) все функционалы из (eo.Ei)-окрестности данного функционала включая и его самого, вводятся в ЭВМ одинаково.

Для любой непрерывной в замыкании области i2 функции <р(х) сразу для всех функционалов из упомянутой -окрестности функциона-

ла IN вычисление на ЭВМ соответствующих кубатурных сумм приводят к одному и тому же результату, который обозначается далее через При этом рассматривается еще один, уже нелинейный, функционал

-Rf(v, Едг) = |/n(¥>) - Ejv(v>)|. где /п(<р) = J<р{х) dx.

Величина допускает простую геометрическую интерпретацию.

Именно, отрезок Iе числовой.оси-с центром с в точке* и длины

1(<р, Едг) = 2Лр((р,Ем) обладает следующими свойствами: во-первых, числовое значение интеграла /п(</?) принадлежит Is, и,т во-вторых, Iй наименьший среди всех отрезков с указанным центром с = Едг(уз), обладающих первым свойством. По этой причине IG — IG{<fi, Sjv) назван гарантированным отрезком.

Чтобы оценить длину i(y>,XJjy) гарантированного отрезка или, что то же самое, величину делаются некоторые дополнительные пред-

положения. Именно, функция <р рассматривается как элемент некоторого банахова пространства X, непрерывно вложенного в пространство С(П), т.е. предполагается,sup |у(z)I < A^ip | где A - конечная константа вложения, от (р никак не зависящая и \\ip | ХЦ — даорма в X.

Определение. Половину точной верхней грани длин I(y>,2jv), взятой по всевозможным функциям (р из единичной сферы пространства X, т. е.

Rv = Rf(X,Y1n) = ^ sup^ |/n(v>) -

назовемгарантированнымрадиусомкубатурнойформулы Их.

Все кубатурные формулы.с функционалами погрешности из (eo,ei)-окрестности данного функционала имеют одинаковый гарантированный радиус. Для любой функции v? единичной сферы пространства X интеграл всегда принадлежит отрезку где — машинное

число, полученное в результате реализации выбранного алгоритма вьгчис-ления кубатурной суммы, а — гарантированный радиус

кубатурной формулы.

Заключения,

сделанные относительно радиуса показывают,

что именно его и естественно рассматривать в качестве параметра, гарантирующего точность вычисления интеграла с помощью выбранной куба-турной формулы.

При заданных формате F и функциональном,пространстве X семейство всевозможных гарантированных радиусов ограничено снизу некоторой строго положительной величиной и тем самым неограниченное увеличение числа узлов кубатурной формулы в принципе не может привести к неограниченному же уменьшению гарантированного радиуса.

Радиус RF(Xt Sff) является помимо прочего функцией алгоритма, посредством которого введенные в машину данные перерабатываются в число По смыслу задачи. Ejv(^) должно представлять собой некоторое приближение скалярного произведения машинных векторов [с|р и [v?]Ft соответствующих весам кубатурной формулы и узловым значениям

подынтегральной функции. Для случая, когда вычисление этого скалярного произведения производится посредством простейшего алгоритма (подробнее о нем см. стр. 60 диссертации), в § 4 главы I проведена оценка радиуса сверху через норму исходного функционала погрешно-

сти и форматные константы.

Теорема2. Кубатурналформула Едг длязаданныхформатныхконстант £о(Р), €1(Р), боо(Р), константы вложения А и с таким вектором весов > с, что ЦсЦг < -у/соо(Р)/2, имеет гарантированныйрадиу&Е^Х^м), допускающий оценку

Едг) - ¡|/„ | < Ш ^Аег(Р) £Ы + со(Е>) •

Если кубатурнаяформула имеет неотрицательные веса и при этом точна на любой тождественно постоянной функции, то при указанных выше значениях N для ее гарантированного радиуса справедлива оценка

|ЯР(Х, Едг) - ||Ь | Х'||| < 4ЛГ(Л£1(Е)|П| + е0(Р)),

где через |П| обозначен объем областиО.

/ ^ \ 1/Р

Пусть 1 < р < оо и гр(Х,= (||г | ХЧ\*> + (Ше^Е |с*р>) .

Тогда в условиях теоремы 2 будет справедливо и такое неравенство

+ 1)1/9гР(Х, Я, £1(Р)) + 4Мг0(Р), где - + - = 1.

ЯР

Вместе с усовершенствованием аппаратных средств точность к машинного формата возрастает и для констант становятся допустимы все меньшие, хотя и строго положительные, значения. Но при данном фиксированном значении N и одновременном стремлении ^о(Р) и е^Р) к нулю, как следует из теоремы 2, гарантированный радиус Е^) кубатурной формулы имеет пределом норму ее функционала погрешности. Это означает, что задачи приближенного интегрирования в

арифметике с конечной точностью, т. е. с учетом погрешностей ввода и арифметических округлений, по существу, преемственны задачам классической теории кубатурных формул.

В главе II диссертации исследуются инвариантные кубатурные формулы типа Грегори для единичного куба Q пространства Rn:

Соответствующие кубатурные формулы имеют при этом параллелепипе-дальную решетку узлов хр, которые нумеруются с помощью мультииндек-са (3 = (/?!,..., (3„) с целочисленными координатами и задаются формулой хр — h(3, где h(} 6 Q, a h — положительный параметр, называемый шагом решетки и выбираемый таким образом, чтобы 1/h было натуральным. Тем самым компоненты узлов инвариантных кубатурных формул главы II явно заданы как рациональные числа.

Построения главы II начинаются с рассмотрения в § 1 многомерных аналогов квадратурных формул прямоугольников и трапеций. Для заданного шага h решетки узлов определены следующие обобщенные функции

Здесь 7 = (71,... ,7«) — мультииндекс с неотрицательными компонентами, сq — центр куба Q, D(n) — группа, образуемая диагональными матрицами размеров пхпс±1на главной диагонали. Равенство

Йдг« V) =/Р(х)dx ~ Ч>) = /Р(х) dx - hnJ2tp(hj)

задает для куба Q аналог функционала погрешности хорошо известной в случае отрезка квадратурной формулы прямоугольников, аналог же функционала погрешности квадратурной формулы трапеций задается равенством

(&г.Ч>) =1Ф)dx ~ (Тл,<р) = J<p(x)dx~hni22"п Е

и

где для целого 8, 0 < 5 < п, полагается

Гд^ = {Л7 е | Зй — мерная граньО, содержащая/у'внутри себя}.

В частности, Г^ состоит в точности из всех вершин куба ().

Кубатурная формула с функционалом погрешности инвариант-

на относительно группы симметрии 0(0) единичного куба, т. е. группы движений пространства Яп, переводящих куб 0 в себя.

Понятие инвариантной кубатурной формулы было введено в 1962 году С.Л. Соболевым. Его работы позволили применить к исследованию куба-турных формул методы и результаты теории групп симметрии. С тех пор инвариантные формулы для разнообразных (инвариантных) областей интегрирования активно исследовали В.И. Лебедев, И.П. Мысовских, Г.С. Са-лихов, СБ. Стоянова, СИ. Коняев, А.К. Пономаренко и другие авторы.

С точки зрения анализа погрешности инвариантные кубатурные формулы интересны благодаря следующему их важному свойству: если область интегрирования имножествоузлов формулы инвариантны относителъ -но преобразований вида = А(у — с) + с, У А € где О — конечная группа матриц, то в банаховом пространствеXс инвариантной относительно указанной группы преобразований нормой оптимальная по весам куба-турная формула (если она существует и единственна) с необходимостью является инвариантной относительно все той оке группы преобразований.

В § 2 главы II дается определение и устанавливаются простейшие свойства многомерных аналогов формул Грегори. Эти аналоги получаются поправкой весов многомерной формулы трапеций, соответствующих узлам, лежащим в заданного размера окрестностях границы куба 0, причем поправки осуществляются таким образом, что формула оказывается точной на полиномах степени т — 1 и инвариантной относительно группы 0(0). Указанными свойствами обладают формулы, получающиеся с помощью хорошо известной процедуры взятия декартова произведения одномерных квадратур. Для соответствующих функционалов погрешности приведены точные выражения.

Пусть т — четное число, h > 0, Щ — натуральное число. Рассмотрим

обобщенную функцию ^^(хх) одной переменной:

Здесь Х[о,1](®1) — характеристическая функция отрезка [0,1] числовой оси, коэффициенты а[в], я — 1,..., т — 2, суть следующие интегралы от ньютоновых степеней:

1

ф] = ^ ^^ /¿2/1» где у[ГЦ = У\{У\ - 1)... (у! - в), о

а обобщенные функции Д4(х1) определяются следующими равенствами

Значения а[я] для 5 — 1,2,..., 7 приведены втаблице 1 на стр. 73 диссертации. Одномерному функционалу погрешности /т,л(хх) соответствует хорошо известная квадратурная формула Грегори. Вместе с приведенным выше представлением функционала погрешности в ньютоновой форме

применяется также его запись в лагранжевой форме:

* 1/л

о А-О

К о э ф циенты — рациональные числа. Их значения при ш = 2,4, б и m = 8 приведены в таблице 2 на стр. 74 диссертации. Отметим, что квадратурные формулы Грегори и типа Грегори исследовали Н.С. Бахвалов, В.И: Половинкин, а также многие другие авторы, включая и автора диссертации.

Предметом исследования в главе II служат кубатурные формулы, полученные прямым произведением квадратурных формул Грегори, что в

соответствии с общепринятым определением означает представимость точечной части каждой из УПС"Т1"'"1^"' ...... '1"^мул в виде следующего прямого п р о и з в т в у ю щ и е функционалы погрешности при этом таковы

Здесь га — четное натуральное число, 2 < т < 1 + 1/Л; N = (1 + 1 /Л)" — число узлов формулы, N > тп. При т = 2 функционал погрешности совпадает с обобщенной функцией соответствующей много-

мерной формуле трапеций.

Теорема 4. Функционал погрешности 1т%{х) инвариантен относительно преобразований группы О(0), а на полиномах степени га - 1 его значение равно нулю.

В главе II диссертации, таким образом, рассмотрены инвариантные ку-батурные формулы типа Грегори для единичного куба и, в частности, подробно исследована погрешность этих формул. В основу исследования положены явные выражения погрешностей формул на базисной последовательности тригонометрических функций, полученные в §3 и §4 главы И. Эти выражения асимптотически точны как при Л 0, так и при ш -> оо.

В § 3 главы II рассмотрены коэффициенты Фурье функционалов погрешности вида

= I ¥>(*)<** - £ где КпсЩ = 1,

при всех допустимых значениях т и N. Функционал погрешности ^(ж) линеен и непрерывен в пространстве 6 быстро убывающих функций, т. е. принадлежит пространству в' обобщенных функций медленного роста, а носителем служит в точности замыкание куба 0. Для обобщен-

ной функции определены операции линейной замены независимой

переменной, обобщенного дифференцирования и преобразования Фурье.

Сужение преобразования Фурье обобщенной функции дг на множество мультииндексов (3 с целочисленными координатами представляет собой последовательность коэффициентов Фурье функционала I®

Информация о коэффициентах Фурье функционалов погрешности важна при оценке норм этих функционалов в различных пространствах. К примеру, всегда имеют место соотношения

\ьт\ < sup \(1%(х),<р)\ |с[7]|, /3^0.

fQ<p(*)dx=о Л76С

Теорема 5. Пусть обобщенная функция ¿^^(х) инвариантна относительно группы симметрии куба Q. Тогда соответствующая функция Щ\(3\ инвариантна при линейных преобразованиях переменной /3 из Ъп элементами группы т. е. Щ\Ар\ = для MA G (G£n)*.

3 д е (G^")*— группа матриц размеров п х п, порождаемая группой вращений Gкуба и отражениями.

Следствие. Для любой обобщенной функции ^jvi1)» инвариантной относительно группы симметрии куба Q, функция L^[0] четна по каждой переменной ¡3j и при этом имеет место следующее равенство

Щ\Р) = (lm,N(X)>COS ZnPiXi COS 2nfizX2 ... COS 2ж0пХ„).

В частности, функция вещественна.

Легко устанавливается справедливость следующих равенств

Еслиж е В. Е Z", но ft/? ^ асимптотически точные выражения для к о э ф ф и г= (i^(x),e~i2llPx) полут с я из рассмотрения

локального фуньОДИОН&яа погрешности l$,n(x[h), действующего на заданную непрерывную функцию tp(x) по формуле

в которой Л<3 = {¡с £ К" | 0 < а^ < Л, .7 = 1,..., п}, обобщенная функция (х) при а = («1,.,., а„) имеет вид

коэффициенты а[в] при в = 0,1,..., т — 2 как и ранее задаются интегралами от ньютоновых степеней и а[—11 = — 1.

Теорема6. Пусть.Ц^Щ = Toedanpu.fi & Ъп, Л/3 £ Ъп,

имеетместо алгебраическое тождество

где А™^/?] = (1т]п}(х/Ь),е~%2,'^х) — коэффициенты Фурье локального ф^шщыоналоапоерешйшвттш/ (х/Ь).

На основе этой теоремы коэффициенты Фурье Ь^ЦЗ] представлены в следующем виде

¿лг 1Я-(-1) И '

одной вещественной переменной £ исследована в § 4 главы II.

Теорема7. Пусть т > 4. Тогдамнимаячастьфункции допус-

кает при 0<£ < 1 следующее разложение на множители:

1т = (-1)т/2+12т(8т7ге)т+1а[т-1]Ргп-4(со8 7г0,

гдеРт-4(10) — полином степени т—4, отличающийся на отрезке [—1,11

ош полинома Чебышёва второгородУт-^и) наслагаемоепорядкаО(—)

771

при т —> 00.. Точнее имеет место оценка

Коэффициент а[ш — 1] в разложении представляет собой интеграл вида

Следствие. При т > 4 функция = дг(ж), е_'2гг^х) дискрет-

ного аргумента (3 при всех /3 6 Л/? ^ й", допускает разложение на множители вида

Ь^УЗ] = (-1)™+ЧЛ2та[ш-1])пП(8Ь7г/3;Л)тРт_4(со8 7г/3,/1)

с тем же полиномом Рт-^ш), что и в теореме 7.

В §5 главы II для рассматриваемых кубатурных формул выводятся оценки гарантированных радиусов в пространствах Соболева по-

рядка гладкости в, где п/2 < в <т.

Теорема 8. Для всех допустимых значений т и N норма функционала погрешности х) удовлетворяет следующим неравенствам

Здесь Аа= вир ш|Рт_4(11;;) - ит-4.{у}^)\.

Нижняя оценка нормы, приведенная в формулировке теоремы 8, хорошо известна и была ранее получена в работах С.Л. Соболева.

Следствие. Пусть п/2 < $ < ТП, а ТП = 2,4,6 или т = 8. Тогда соответствующая кубатурной формуле с функционалом погрешности

функция Г\ЛГ> оценочная для гарантированного радиуса, удо-

влетворяет неравенству

П^^ММЮ) < 4М[Ае1(Р) + е0(¥))+ + ¡1°2п-3

Здесь А — константа вложения пространства Ь^^О) в пространство С(0), А0 — константа, приведенная в формулировке теоремы 8.

При ш > 16 среди весов кубатурной формулы с функционалом погрешности появляются отрицательные сколь угодно большие по модулю.

Теорема 10. Если — четно, 4 < ТО < 1 + —, то сумма модулей весов

квадратурной формулы Грегори степени т не меньше Л2т-1-;-г.

3 тут — 1)

Среди весов квадратурной формулы Грегори степени т при т > 16 заведомо имеются отрицательные.

В завершение главы II для наперед заданного формата Б с малыми

константами £о = ео(Р) И £х = £1(Р) вместе с функционалом погрешности

Iт%(х) = ХсМ — £ ст рассматривается его реализация

Л/Зед

№(«)=хФ) - № £ - т>

в формате Б, а также его (ео,£1)-окрестность, представляющая собой множество функционалов вида

??/(*) - хп(*) - £ ^ЪпА/зЩх - Щ, ее к,

обладающих тем свойством, что

= хф) - Иг £ - щ =

Далее, для произвольной непрерывной функции <р(х) рассматривается множество

И = {(ЩТ»Ч>) IЩ7 принадлежит (ео.ех) - жрестшсти /£§} .

Существует взаимосвязь между гарантированным радиусом рассматриваемой кубатурной формулы и точной верхней гранью диаметров множеств взятой по всевозможным функциям <р из единичной

сферы пространства X. Именно, если указанная верхняя грань возрастает с увеличением, например, размерности п интеграла, то и гарантированный радиус также будет расти. В этой связи при т > 4 установлены следующие родственные друг другу соотношения:

в которых 7 — это основание формата Б, а к — его точность.

Основной объект исследования в главе III диссертации — это мульти-кубатурные формулы, т. е. последовательности кубатурных формул с общей совокупной системой узлов, причем лишь конечное число весов любой из формул такой последовательности ненулевые, а носители точечных частей соответствующих функционалов погрешности образуют последовательность вложенных друг в друга конечных подмножеств области интегрирования.

Полноправной независимой переменной при изучении сходимости муль-тикубатурных формул служит в главе III функциональное пространство , на котором, собственно, и действуют функционалы погрешности. Пространство X предполагается банаховым, рефлексивным, сепара-бельным и вложенным в — банахово пространство непрерывных в п функций, а оператор вложения при этом должен быть линеен и ограничен. В дополнение ко всему X должно быть строго и гладко нормированным пространством. Примеры X, удовлетворяющих всем перечисленным здесь условиям, дают сепарабельные гильбертовы пространства, а также известные пространства СоболеваИ^О) при условии, что 1<р<ооирт > п.

В качестве совокупности узлов мультикубатурной формулы выступает произвольное счетное подмножество замыкания области интегрирования, плотное в этом замыкании. Вся эта совокупность разбивается в объединение своих возрастающих уровней, обозначаемых как Ak- Предполагается, что Ak конечно и при этом До = | j == 1> 2,...,о'(О)}, а если к > 1, то

При сделанных предположениях о пространстве X для любого элемента l[ из X* сведи всевозможных кубатуоных формул с множеством узлов Д* и в (х) Ri ^ c|m'(fc)i(x — ij ) м о существует единственная

оптимальная по весам. Ее функционал погрешности 4оЦх) имеет вид

В § 1 главы III подробно исследуется вопрос о поведении последовательности норм | A"*j| при неограниченном возрастании числа узлов формулы, т. е. при к —¥ оо. Как следует из определения мультикубатурной формулы, последовательности норм Ц/^ | Х*|| по переменной к монотонно не возрастает, т. е.

И®* 1**11 <11© 1*1 при < ki> к.

В главе же III требуется наличие во всей этой цепочке соотношений строгих неравенств:

и в этом случае исходное множество узлов и последовательность оптимальных функционалов погрешности считаются согласованными.

Теорема 18. Пусть пространство X строго нормировано и в каждой точке его единичной сферы норма N{•) = |[- | Л"|| дифференцируема по Фреше: Тогда последовательность норм соответствующих оптимальной мультикубатурной формуле функционалов погрешности монотонно стремится к нулю при неограниченном увеличении числа узлов кубатур-ной формулы.

Доказательство этой теоремы проведено в п. 1.9 §1 с использованием аппарата экстремальных и обобщенных экстремальных функций и связанных с ними понятий воспроизводящего и двойственного ему отображений. Соответствующие определения формулируются в пп. 1.3 — 1.8 § 1. Там же приводятся и обосновываются необходимые свойства экстремальных функций и воспроизводящих отображений. Изо всех утверждений пп. 1.3 — 1.8 § 1 сформулируем здесь лишь одно, данное в основной'части как следствие теоремы 17.

Следствие. Пусть N%{1) - производная Гато нормы |] - | Тогда

решение нелинейной относительно н е.из в е t {cj"^ | € Ajfc} i -стемы уравнений

Nh'{lf\x)-= О, Vz« G ДЬ

существует и единственно в где N(k) = ст(0) + а(1) + • • • + а{к).

Если вектор | Х^ £ Ajfc} — решение рассматриваемой системы,

то функционал ii^(x) = — ^ — совпадает с соответ-

х|т)еД4'

ствующим множеству Лц оптимальным функционалом /^{(х).,

В гильбертовом случае рассматриваемая система уравнений линейна относительно неизвестных весов {с^ I xj"^ 6 А*}- В случае пространств Соболева ¿^(П) и системы узлов х, , расположенных в точках паралле-лепипедальной решетки с заданным шагом, уравнения для оптимальных весов cj™pt аналогичны сверточным уравнениям Винера — Хопфа. Подробное исследование этого случая проведено в главе IX книг [1-2].

В § 2 главы III приводится пример аналитического решения системы для весов оптимальных кубатурных формул. В качестве X рассматривается периодическое пространство Соболева.ДГ (ff ) бесконечного порядка (Я — матрица размеров ПХП, det Н > 0).Пространство Х(Н) вводится с помощью некоторой числовой последовательности к = 0,1,2,..., подчиненной

условиям

Функция <р(х) принадлежит Х(Н), если она непрерывна в Кп, удовлетворяет условию периодичности: (р(х + Н/З) — <р(х) при V/? € и помимо этого неравенству

Здесь

= Ф)е,2*а"1рхс1х, через П0

По

обозначен параллелепипед,

натянутый на столбцы матрицы Н; Н*-1 обозначает матрицу, обратную к Н*, мультииндекс принадлежат Zn, а выражение Н*~1(3х — это скалярное произведение векторов Н*~1(3 И х. Если о™ = 1 и а*, —> +оо при к > т + 1., то пространство Х(Н) в пределе переходит в пространство Соболева 1}™\Н) конечного порядка.

Для заданной непрерывной весовой функции ш(х), удовлетворяющей условию периодичности: из[х + Н@) — и>(х) при V/? € 2™, на пространстве Х(Н) рассматриваются весовые кубатурные формулы с функционалами погрешности 1(х) вида

Шаг к этих формул таков, что число 1/к — натуральное, а от их весов с[/?] требуется подчиненность условию с[/3] = Jш(х) йх.

Явное представление весов оптимальной в Х{Н) кубатурной формулы

/ у\

содержит свертку со специальной функцией [/8], определяемой с помо-

щью соотношении

где

Область интегрирования О1 здесь — это параллелепипед, натянутый на столбцы матрицы Н~1Н*~

Коэффициенты Фурье функции Гд#(р) убывают на бесконечно-

сти быстрее любой степени /?. Точнее, существуют положительные постоянные С и 5 т а кя V/? € Ъп. Следовательно, для любой полиномиально растущей функции определена свертка

В случае Х{Н) = оператор свертки совпадает с извест-

ным оператором -О^д?[/?]*» который был предложен С.Л. Соболевым в качестве разностного аналога для полигармонического оператора Д"\ Свойства операторов .ОдяОЗ]* и во многом аналогичны. Например, 1<*>Г

оператор свертки -ЗДд-переводит любую тождественно постоянную функцию в тождественно нулевую.

Важную роль играет взаимосвязь оператора свертки [/?]* и функции дискретной переменной где

Если п = 1, Оо = [0,1], ат = 1 и а/с —> +00 при к > т +1, то £%{х) переходит в функцию, пропорциональную полиному Бернулли 2?2т(я) степени

2т: в пределе имеет место равенство £лг(х) = —-7Г~В2т(х). В общем :

' (2т)!

случае функция вещественнозначна, четна и для любого функцио-

нала погрешности

(1,р) = I ш{х)(р{х) <1х — £ с\0\<р{Ь.Н0)

По

ннръпо

при условии, что сЩ = /и}(х)с1х, соответствующая ему в Х(Н) экс-нщзеПо

тремальная функция определяется равенством

Теорема 19. Пусть 1/Л — натуральное число. Функции дискретной переменной = и О^и\0\ связаны соотношением

* 4Л)[/3] = ФлИ - Л".

Здесь Фл[/0] равно единице в точках множества {ог/Л | а € Ш1} и нулю вне этого множества, т. е.

ф*М = £ ¿[Р - 7/Л], где Щ = 0 при 0 ф 0, и ¿[0] = 1.

Далее к системе линейных уравнений для весов оптимальных в Х(Н)

кубатурных формул применяется оператор свертки И^УЗ]*. В результате получается теорема.

Теорема 20. Веса Х(Н) — оптимальной кубатурной формулы определяются равенством

Применяя эту теорему к случаю весовой функции и(х) = е,2,гН %Г1Х, получаем следующее утверждение.

Теорема 21. Для данного = Н~пгди всевозможных куба-

турных формул вида

существует единственная оптимальная в Х{Н) кубатурная формула, веса 47)[/3] которой связаны со значениями функции -Дт['3 соотношением

Норма оптимального в Х(Н) функционала погрешности (х) при этом такова

Ряды по а в двух последних равенствах сходятся абсолютно.

Полагая в этой теореме Х{Н) = 1{™\н), Т- е- = и

7 = 0, получаем хорошо известный результат об оптимальности в Ь^^Н) кубатурной формулы трапеций и не менее известное представление нормы оптимального функционала погрешности I

При п = 1, По = [0)2тг], и>(х) = е'кх, где к — натуральное, явное выраже-ниение для весов оптимальной в //¡^'[О,2тг] квадратурной формулы

нашел И. Бабушка. При Х{Н) = приведенное выше представ-

ление оптимальных весов совпадает с результатами, полученными

М.Д. Рамазановым и Х.М. Шадиметовым.

В п. 2.5 §2 главы ИГ формулируется критерий оптимальности одной и той же кубатурной формулы одновременно в нескольких пространствах рассматриваемой серии {Х(Н) | (о*)}. Доказывается следующая теорема.

Теорема 22. Пусть 1— натуральное число. Весовая кубатурная формула

/ ш(х)<р(х) <ь- сЩфНр) О

' ¡.ав^п.

П0

ннреПо

оптимальна одновременно в пространствах Х\ и рассматриваемой серии {Х{Н) | (а*)} тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия ортогональности

¡Ф) [о{кн10\ * - - * (« - ля/3)] йх = о,к(Зе Я.

По

Следствие. В случае тождественно единичной весовой функции на любом из пространств Х(Е) оптимальной является кубатурная формула трапеций

[ ф) йх = (ад = Л" ¿2-" £ фу). * 8=0

По

Теорема 23. Пусть 1/1г — натуральное число и N = {1 + 1/К)п. На любом из пространств Х(Н) погрешность кубатурной формулы трапеций с функционалом погрешности

Цю V)=УФ) Лх - (ТЛ, <р) = 1 ф) йх - Л" £ 2*-" 2 фу)

/>7

стремится к нулю быстрее любой степени шага к решетки:

В § 3 главы 111для общего функционального пространства X = ,Х(Г2) со

свойствами, указанными в § 1 этой же главы, устанавливается ряд связанных с понятием наилучшего приближения свойств экстремальных функций оптимальных в Л^(П) кубатурных формул. Для заданного функционала

, иуровня Д* совокупногомножестваузловмультикубатур-

из

ной формулы в пространстве рассматривается замкнутое линейное

подпространство

^={иеХ|(40),и) = о, (5(х-х<Г))М*)) = о для Ух^еда

и соответствующее ему аффинное многообразие у« = u<*>(x)+imf ■ Здесь uopt(x) ~~ экстемальная функция, соответствующая в X(i2) оптимальному функционалу погрешности /^(х).

Теорема 24. Наименьшую среди элементов V® норму имеет экстремальная функция «opt, соответствующая функционалу погрешности оптимальной в Х(П) кубатурной формулы, и только она, т. е.

u$ = argmin{|HX|||t;eK«}.

Иными словами, функция 1x^(2;) является сплайном аффинного многообразия V^.

В § 4 главы III устанавливаетсяг что экстремальные функции некоторой последовательности оптимальных кубатурных формул образуют в Х(£2) базис Шаудера.

Пусть из X*, ф 0, и оптимальный функционал погрешности-

i opt (в этом случае говорится, что уровень Ак совокупного множества узлов не содержит "избыточных" узлов).

Далее, для выбранного узла х^ из Д* рассматривается функционал погрешности соответствующий в оптимальной по весам куба-

турной формуле с множеством узлов Д*\{х^}. Имеем равенство •

и обозначаем экстремальную в

функцию ДЛЯ Ij^opt чеРез U^jfipt(X)- "

п. 4.1 § 4 доказывается, что если уровень Ajt совокупного множества узлов не содержит "избыточных" элементов, то значение экстремальной функции uj'opt в узле;®'- обязательно ненулевое:

Пусть обозначает метрический проектор на определенное

выше замкнутое линейное подпространство ЙЛ^. По определению Р«щ<*> сопоставляет каждой функции из соответствующий ей элемент наи-

лучшего приближения из который единствен.

Теорема 25. Пусть (40),1) ф О, в каждой ненулевой точке X* существует производная Фреше нормы ||- | а операторы — I — Р^к), к = О,1,..., линейны. Тогда объединение функций

по всем к = 0,1,... и ] — 1,2,... ,с{к) совместно с тождественной единицей образуют в пространстве Х($) базис Шаудера.

Условия теоремы 25 заведомо выполнены, если в качестве выбран индикатор области интегрирования, а .ЛГ(П) при этом — произвольное гильбертово пространство.

Функции из теоремы 25 обладают еще одним замечательным

свойством. Именно, функция Н^\х) из рассматриваемой последовательности во всех узлах уровня Д*, за исключением узла равна нулю, а в х^ ее значение единица. Иными словами,-для любой допустимой пары к и у имеем при € Д* равенство == где <5^- — символ

Кронекера. Базисы, обладающие этим дополнительным свойством, называются иерархическими. Иерархические базисы — это многомерные аналоги известной системы Фабера — Шаудера. С каждым иерархическим базисом связано понятие последовательности стандартных интерполянтов: соответствующее определение и простейшие свойства стандартных интерполянтов приводятся в п. 4.2 § 4.

В § 5 главы III рассматриваются весовые кубатурные формулы с весовой функцией ш(х), порождающей на

ограниченный линейный функционал §и)(х)<р(х) (1х, <р(х) € С(П). Для заданных множества узлов Д. с

уровнями Д*, к = 0,1,..., М иерархического базиса Нд в X,

исследованы функционалы погрешности вида

т <г{к)

ш(х)<р(х) йх - Е £

к—О ;=1

с$(т) = у* (х) ах, ¿ = 0,1,....т, 7 = 1,2,...,

п

Функции из множества {^^(х) | г = 0,...,ш, í = 1,...,ст(г)},

присутствующие в определении весов задаются посредством упоря-

доченных по убыванию верхнего индекса А; в их обозначениях соотношений:

*&(*) = '(*) - Д Е (*). ^1.2,-,

Функционал погрешности 7т определен не только на функциях из пространства но и на произвольной непрерывной в П функции и, следовательно, свойства последовательности 1т. т = 0,1,..., имеет смысл исследовать не только на исходном пространстве.Х({1), но и на иных вложенных в С(Г2) функциональных классах. В п. 5.2 § 5 рассматриваются ассоциированные с исходным иерархическим базисом гильбертовы пространства ■^""^(Я), где (ощ) = {о„, | т = 0,1,2,...} — это произвольная последовательность положительных чисел. По определению,

х^щ = {*, 6 СЙ | Е^ Е 1^т)Н12 < с«},

где д1т\<р) обозначает коэффициент Фурье в разложении функции у> из

ЛГ(О)

в ряд по исходному базису Дд. Как показано в § 4 главы III функционал допускает по аргументу (р естественное расширение с пространства Х(£2) на пространство С(О), и именно это расширение подразумевается в приведенном определении классаХ^^П).

(и ч>) = I

Любая функция исходной иерархической системы //д принадле-

жит классу и, следовательно, пространство бесконеч-

номерно. На нем определена билинейная форма

Ряд в правой части этого равенства сходится абсолютно для любых <р, ф из.Х(°">(П).

Теорема 27. Билинейная форма < <р,ф > задает на Х^^О) скалярное произведение, вкоторомфункции (х) исходнойиерархическойси-стемы Яд ортогональны. Для произвольной функции (р(х) из Х^^П) стандартные интерполянты сходятся к ней по норме < • >=< •,• >1!2, порождаемойрассматриваемым скалярнымпроизведением.

Определим числовую последовательность {Л(ш)}~_0 равенствами

оо

Теорема 28. Если £ о^,Л2(т) < оо, то вложение. Х^^П) в С{0) ограничено, т. е. \\ф | С7(П)|| < К < <р > для У<р € Х^"^{р.).Пространство Х^^П) при этом полно по норме < • >=< •, • >1!2 и, значит, является гильбертовым.

Следствие. Исходная Д - иерархически я система!!& является в гильбертовом пространствах^ (П) базисом.

Далее в § 5 пространство предполагается гильбертовым.

Теорема 29. Для заданного значения т среди всевозможных весовых ку-батурных формул вида

существует единственная оптимальная в кубатурная формула,

веса которой совпадают с весами функционала погрешно-

В § 6 главы III конструируются эрмитовы кубатурные формулы, обладающие бесконечным порядком точности на пространствах гармонических функций Ьр(П). Доказывается существование в пространствах Ьр(£1) базисов, аналогичных по свойствам базисам из шаровых многочленов. Предлагается алгоритм построения таких базисов.

1

сти

Основные работы автора по теме диссертации:

[1] Соболев С.Л., Васкевин В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1996. 484 с. (монография).

[2] Sobolev S.L., Vaskevich V.L. The Theory of Cubature Formulas. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997, XXII+416 pp. (монография).

[3] Васкевин В.Л. Инвариантные кубатурные формулы типа Грегори для многомерного куба // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 6, Ж 3 (15). 2003. С. 34-66.

[4] Vaskevich V.L. Optimal cubature formulas in a reflexive Banach space // Central European Journal of Mathematics, V. 1, № 1. 2003. P. 79-85.

[5] Васкевич В.Л. Иерархические базисы в рефлексивных банаховых пространствах и оптимальные кубатурные формулы // Доклады РАН. Т. 385, К* 1,2002. С. 15-19.

[6J Vaskevich V.L. Hierarchical cubature formulas // Selcuk Journal of Applied Mathematics. V. 2, № 1, 2001. Selcut University, Konya. P. 95-106. Адрес в Интернете : http://www5.in.tum.de/selcuk/sjam012108.html

(7j Vaskevich V.L. Best approximation and hierarchical bases // Selcuk Journal of Applied Mathematics. V. 2, N. 2, 2001. Selcuk University, Konya. P. 83-106. Адрес в Интернете : http://www5.in.tum.de/selcuk/sjam012207.html

[8] Булгаков А.Я., Васкевин В.Л. Иерархические базисы в гильбертовых пространствах // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 2, № 2.1999. С. 24-35.

[91 Vaskevich V. L. Cubature formulas in harmonic spaces of Bergman—Polovinkin type // Siberian Advances in Mathematics, New-York: Allerton Press Inc. V. 7, No. 1. 1997. P. 132-141.

[10] Васкевич В.Л. О СХОДИМОСТИ квадратурных формул Эйлера — Маклорена на одном. классе гладких функций // Докл. АН СССР. Т. 260, № 1,1981. С. 1040-1043.

[И] Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Грегори // Докл. АН СССР. Т. 261, № 5. 1981. С. 1041-1043.

[12] Васкевич В.Л. Приближенное вычисление некоторых квадратичных форм интегрального вида // Вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО АН. Т. 22. Новосибирск: Наука. 1992. С. 93-123.

[13] Васкевич В.Л. Кубатурные формулы на основе иерархических базисов // Куба-турные формулы и их приложения. V международный семинар-совещание. 13-18 сентября 1999 года. Красноярск: изд-во КГТУ. 2000. С. 31-45.

[14] Васкевич В.Л. Оптимальные кубатурные формулы в периодических пространствах Соболева бесконечного порядка // Оптимизация численных методов. Труды конференции, посвященной 90-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Часть I. 2000. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. С. 50-63.

[15] Васкевич В.Л. Иерархические базисы в гильбертовом пространстве и оптимальные функционалы погрешности // Кубатурные формулы и их приложения. Труды VI-го международного семинара-совещания, Уфа, Россия, 2-7 июля 2001 г., БГПУ, ИМВЦ УНЦ РАН. 2002. С. 42-56.

[16] Vaskevich V.L. Analogs of Hermite cubature formulas for the Dirichlet integral of harmonic functions // Siberian Advances in Mathematics. 1996. V. 6, No. 1. New-York: Allerton Press Inc. P. 105-150.

[17] BvlgakH., Vaskevich V.L. Optimal cubature formulas for Fourier coefficients of periodic functions in Sobolev spaces // Selcuk Journal ofApplied Mathematics. 2000. V. 1, No. 1, Selcuk University, Konya, Turkey. P 3-20.

[18] BxtlgakA., BulgakH, Vaskevich V.L. Computing an initial value problem for systems of linear difference equations with error estimates // Кубатурные формулы и их приложения. Труды V международной конференции, 13-18 сентября 1999 г., Красноярск.

' Красноярский гос. технический университет. 2000. С. 238-258.

[19] Васкевич В.Л. Классы бесконечно дифференцируемых функций и приближенное интегрирование // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1984. № 2. С. 52-64.

[20] Васкевич В.Л. О норме в одного функционала погрешности с регулярным пограничным слоем // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО

. АН СССР, 1980. № 1. С. 41-59.

[21] Vaskevich V.L. Hierarchical bases generated by extremal functions of cubature formulas // International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of I.G.Petrovskii. Moscow University Press. 2001. P. 417-418.

Васкевич Владимир Леонтьевич

Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 27.01.04 Формат 60x84 1/16 Печать офсетная. Усл.печ. л. 2,0 Уч.-изд.л. 1,8 Тираж 100 Заказ -NN>-5.

Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН 630090, г. Новосибирск, просп. Академика Коптюга, 4.

3048

Введение 2

Глава I. Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью 48

§ 1. Функционалы погрешности .49

§ 2. Форматы вещественных чисел .51

§ 3. Пример влияния ошибок ввода на суммарную оценку погрешности вычисления интеграла

§ 4. Погрешность кубатурной формулы с учетом округлений . 58

Глава И. Инвариантные кубатурные формулы типа

Грегори для многомерного куба 65

§1. Аналоги формул прямоугольников и трапеций для многомерного куба. 66

§ 2. Определение и простейшие свойства многомерных аналогов формул Грегори. 72

§ 3. Коэффициенты Фурье функционалов погрешности. 78

§4. Преобразование Фурье локального функционала погрешности 91

§ 5. Оценки гарантированных радиусов инвариантных кубатурных формул типа Грегори .102

Глава III. Общие вопросы теории кубатурных формул в рефлексивных банаховых пространствах 122

§ 1. Оптимальные кубатурные формулы с заданным множеством узлов. 124

§ 2. Оптимальные кубатурные формулы в периодических пространствах Соболева бесконечного порядка.146

§3. Экстремальные функции оптимальных кубатурных формул как сплайны аффинных многообразий.169

§ 4. Базис Шаудера из экстремальных функций оптимальных кубатурных формул.172

§ 5. Кубатурные формулы на основе иерархических базисов.186

§6. Кубатурные формулы в пространствах гармонических функций.195

Быстродействие и память электронных вычислительных машин, как это отмечается во многих современных работах, за каждую пятилетку возрастают примерно в десять раз, и вместе с этим ростом исследованиям при помощи и посредством массированных компьютерных вычислений подвергаются все более и более сложные задачи естествознания и техники.

Объем перерабатываемой при этом информации становится поистине гигантским и традиционные, хорошо себя зарекомендовавшие для относительно малых объемов обрабатываемых данных, способы контроля за происходящими в компьютере вычислениями в изменившихся условиях свою эффективность утрачивают.

По-видимому, именно по этой причине в научных изданиях регулярно появляются статьи, в заголовки которых снова и снова выносится вопрос о том, можно ли и насколько можно доверять результатам компьютерных вычислений?, (см., например, [10], [27], [353]). Ответ на этот вопрос интересен еще и тем, что позволяет избежать ненужных затрат и вероятных потерь, многократно увеличивающихся по мере усложнения рассматриваемой научно-технической проблемы.

Желание полностью контролировать сложный вычислительный процесс породило в современной математике ряд новых направлений и одно из них связано с выработкой неклассических критериев качества рассматриваемого процесса. Существо такого рода критериев состоит, как правило, в определении сопутствующих выбранному вычислительному процессу числовых параметров (одного или нескольких), эффективно определяемых по исходным данным задачи и позволяющих (в зависимости от собственной величины) давать гарантированные заключения о близости или удаленности получаемого машиной числа и истинного результата. Наибольшее развитие указанный подход получил во второй половине прошлого века в применении к задачам линейной алгебры (см., например, [93], [79]).

Успехи, достигнутые в этом направлении, побуждают к проведению аналогичной точки зрения в областях вычислительной математики, непосредственно с линейной алгеброй не связанных, и, в частности, к выработке соответствующих критериев в теории приближенного многомерного интегрирования.

1°. Практика современных теории приближений и численных методов такова, что наиболее развиты и широко используемы способы вычисления интегралов на основе метода кубатурных (квадратурных) формул. В связи с компьютерной реализацией этого метода, т.е. в связи с его реализацией в арифметике с конечной точностью, возникает вопрос о правомочности применения оценок погрешности, получаемых в рамках функционального подхода теории кубатурных формул, к оценке погрешности реального вычислительного процесса.

Особенность реализации кубатурной формулы в арифметике с конечной точностью состоит прежде всего в том, что веса формулы и узловые значения подынтегральной функции приходится представлять в системе счисления с заданным основанием как вещественные числа с плавающей точкой, причем порядки этих представлений лежат в наперед заданном и зависящем от компьютера фиксированном отрезке числовой оси, а мантиссы этих же представлений содержат одно и то же также наперед заданное конечное число значащих цифр.

К погрешности аппроксимации, возникающей в результате замены интеграла конечной суммой взвешенных узловых значений подынтегральной функции, неминуемо добавляются при этом погрешности, обусловленные как неточным вводом в компьютер начальных данных задачи (весов формулы и узловых значений подынтегральной функции), так и неточным же выполнением сопутствующих формуле арифметических операций (сложений и умножений).

Верхняя граница возникающей таким образом полной ошибки растет пропорционально числу N узлов рассматриваемой формулы. Тем самым, начиная с некоторого значения Л^, эта верхняя граница заведомо превзойдет теоретическую погрешность кубатурной формулы, т.е. погрешность, вычисленную в предположении, что начальные данные задачи введены в компьютер абсолютно точно и арифметические действия над ними совершаются также абсолютно точно. Следовательно, гарантировать точность в практических вычислениях интегралов без скрупулезного анализа сопутствующей этим вычислениям суммарной погрешности немыслимо.

Появление суммарной погрешности метода принято связывать с тремя основными видами ошибок: ошибками, возникающими при замене операции взятия интеграла конечным числом арифметических операций (ошибки ограничения); ошибками, содержащимися в исходной информации (ошибки ввода), ошибками, возникающими в результате необходимости представлять результаты арифметических операций в виде цифрового вектора конечной длины (ошибки округления).

Суммарная погрешность может быть как абсолютной, так и относительной, но практика такова, что большинство пользователей предпочитают алгоритмы, в которых малость погрешности понимается по отношению к той или иной норме подынтегральной функции. Этому же предпочтению следует и настоящая диссертация.

Хорошо известно, что в классической теории ошибка кубатурной формулы на классе функций характеризуется с помощью нормы ее функционала погрешности. В случае арифметики с конечной точностью использование для оценки погрешности только лишь упомянутой нормы явно недостаточно: в ней никак не учтены ошибки ввода и округления. Чтобы учесть их, в диссертации вместо нормы функционала погрешности предлагается использовать родственное понятие "гарантированного радиуса" кубатурной формулы. В пределе, когда точность используемой в методе арифметики неограниченно возрастает, гарантированный радиус формулы переходит в норму ее же функционала погрешности.

2°. Квадратурные формулы для вычисления интеграла от непрерывной функции стали применяться и содержательно исследоваться задолго до того, как собственно появилось само определение интеграла. К примеру, еще Архимед, рассматривая задачу вычисления площади параболического сегмента, применил для этой цели формулу трапеций и, по существу, доказал сходимость соответствующего квадратурного процесса [97, с. 240]. В дальнейшем в создание и развитие теории приближенного интегрирования свой заметный вклад внесли многие и многие видные математики. Геометрические традиции метода квадратур (Архимед, Кавальери, Торричелли) продолжил Б. Паскаль [97, с. 257]. П. Ферма изобрел квадратурную формулу для вычисления площади, заключенной между параболой и конечным отрезком оси абсцисс [97, с. 254]. Начиная с конца XVII века в работах основоположников и создателей анализа бесконечно малых интегрирование сформировалось как важнейшее понятие математического анализа.

Параллельно развитию теории интегрирования создавался и совершенствовался аналогичный по своему назначению аппарат численного анализа (аппарат именно аналогичный, но не тождественный). Основными объектами аналогичных интегрированию вычислительных технологий служили разного рода приближенные формулы, среди которых особое место занимали квадратурные: как результат эволюции этой математической ветви возникли и получили широкую известность квадратурные формулы Ньютона — Котеса, Эйлера — Маклорена, Грегори, Гаусса, Симпсона, Чебы-шева, Маркова и др. Однако все эти формулы служили для приближения исключительно одномерных интегралов, и только в 1887 г. Дж.К. Максвелл опубликовал, по-видимому, первую работу [350] по многомерному интегрированию, в которой он методом неопределенных параметров получил кубатурные формулы для квадрата и куба, точные на полиномах седьмой степени. Надо отметить, что вплоть до сороковых годов XX века, число работ по многомерному интегрированию оставалось весьма незначительным [338, с. 481], но затем ситуация в силу ряда причин резко изменилась.

К концу прошлого XX века теория кубатурных формул сложилась из нескольких главных ветвей. Вот что писал по этому поводу в 1972 г. академик C.JI. Соболев [261]:

Работы по теории кубатурных формул относятся к различным направлениям. В одном из них, в продолжение классических исследований Радона, отыскиваются формулы, которые могли бы точно интегрировать возможно ббльшее число из данного набора функций, например, многочленов или тригонометрических функций. . Второе направление — направление вероятностных методов Монте-Карло. Здесь проблема состоит в том, чтобы построить алгоритмы не вполне случайные, основанные на некотором регулярном выборе случайных точек.

Наконец, третье направление касается изучения формул, использующих в качестве узлов точки правильной решетки. Здесь удается сравнительно далеко продвинуться в изучении нормы функционала погрешности в различных функциональных пространствах, и, в частности, для пространств с ортогонально инвариантной нормой найти зависимость погрешности от решетки."

В обзорной статье [338, с. 481] всевозможные кубатурные формулы подразделяются на четыре больших класса: к первому из них автор относит "эффективные формулы"(в частности, декартовы произведения одномерных формул и формулы, имеющие при заданной полиномиальной точности наименьшее число узлов). Второй класс в его же терминологии образуют "формулы с минимальной нормой"; к третьему классу он относит "теоретико-числовые формулы", а к четвертому — "вероятностные формуЛЫ .

По поводу теоретико-числовых методов интегрирования Н.С. Бахвалов в своих комментариях [22] к разделу II книги [295] пишет:

В работе [90] рассмотрен вопрос о повышении эффективности метода Монте-Карло при вычислении континуальных интегралов. Существенным моментом, обеспечивающим это повышение, было впоследствии ставшее классическим следующее преобразование исходного континуального интеграла. Вместо общепринятого в то время разыгрывания движения частиц, при котором разыгрывается поглощение и вылет, было предложено разыгрывать движение частиц с переменной массой, при котором поглощение и вылет учитываются при каждом столкновении изменением этой массы. Такое преобразование приводит к существенному сглаживанию подынтегральной функции и соответственно к уменьшению дисперсии.

Результатом исследования этой проблемы явилось появление так называемых теоретико-числовых методов интегрирования."

Теоретико-числовым методам построения кубатурных формул посвящены многие работы Н.М. Коробова, а также его монография [133].

Вероятностным формулам посвящено, наверное, наибольшее в рамках рассматриваемой теории число работ. Познакомиться с вероятностным подходом в теории кубатурных формул можно, например, по работам [282], [104], [88], [89], [103], [295], [80], и это, конечно же, совсем не полный список. Но в настоящей диссертации вероятностные методы Монте-Карло не затронуты совершенно, основное же внимание автора сосредоточил на формулах, хорошие аппроксимационные свойства которых обосновываются методами функционального анализа и классической теории приближений.

3°. Функциональные методы стали широко применяться в теории приближенного интегрирования начиная с работ академика С.М. Никольского и первого издания его книги "Квадратурные формулы" [160]. Изложенные в ней результаты относятся, в основном, к квадратурным формулам на классах \¥тЬр функций одной переменной. Создание же теории кубатур-ных формул заслуженно связывают с исследованиями академика С.Л. Соболева. В научном наследии С.Л. Соболева работы по теории приближенного интегрирования, выполненные им в "сибирский" период жизни, занимают весьма заметное место: первую работу по кубатурным формулам он опубликовал в 1961 г., последнюю — в 1986 г., всего же их более трех десятков, в том числе две фундаментальные монографии [263] и [276]. Вторая из упомянутых монографий в 1997 году переведена на английский язык [281].

Объектом исследования в теории кубатурных формул служат последовательности приближенных равенств, предназначенных для аппроксимации и вычисления многомерных интегралов по ограниченной области пространства Мп, п > 2. При этом предполагается, что границей области интегрирования служит кусочно гладкая поверхность конечной площади, а в остальном О, произвольна. Как уже отмечалось, практика современных теории приближений и численных методов такова, что для приближенного вычисления интеграла по области Г2 чаще всего используются кубатурные формулы, т. е. приближенные равенства вида

Г М <р(х) ск<р(х{к)) ^ 0.

П *=1

Точки х^ 6 К", и параметры с* называют соответственно узлами и весами (коэффициентами) кубатурной формулы. На практике узловые точки х^ внутри О, часто заданы внешними обстоятельствами или же используется множество "равноудаленных" узлов [293, с. 95].

Во втором случае мы имеем дело с результатами, относящимися к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае векторы х^ нумеруются с помощью мультииндексов (3 = (/?!,. ,@п) б2п с целочисленными координатами, т.е. любой из узлов х^ можно найти по формуле х^ — хр = 1гН(3, где // — матрица размера п х п, 6.еЬ Н = 1, а положительный параметр /г называется шагом решетки.

Функциональный подход к построению и исследованию формул для приближения многомерных интегралов предполагает, во-первых, использование выбранной или построенной формулы не столько для какой-то одной конкретной функции, сколько сразу для целого их семейства, представляющего собой шар в некотором наперед заданном банаховом пространстве X.

Во-вторых, разность между интегралом и приближающей его конечной комбинацией значений подынтегрального элемента рассматривается как результат действия на подынтегральную функцию некоторой обобщенной функции, полностью определяемой исходной кубатурной формулой и называемой по этой причине ее функционалом погрешности.

В-третьих, исходное банахово пространство X предполагается вложенным непрерывно в пространство С(Г2) функций, непрерывных в замыкании области интегрирования В этом случае функционал погрешности кубатурной формулы не только линеен, но и ограничен на X, причем знание численной мажоранты для его нормы в сопряженном пространстве X* позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства X гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней кубатурной сумме.

В рамках функционального подхода классической теории кубатурных формул традиционно ставится ряд задач общего характера, решение которых в частных случаях, собственно, и обеспечивает дальнейшее развитие и совершенствование метода кубатурных формул. В качестве иллюстрации приведем здесь формулировки некоторых задач.

1. Задавшись областью интегрирования, описать конструкцию каждой из последовательных кубатурных формул, т. е. указать для каждой из них множество узлов и весов, либо предложить эффективный алгоритм их нахождения. Указать полиномиальную (или тригонометрическую) степень точности рассматриваемой формулы.

2. Задавшись "пробным" банаховым пространством X, найти асимптотическое разложение нормы функционала погрешности в X* по числу узлов N соответствующей кубатурной формулы — важнейшему параметру вычислительного процесса. Вывести эффективные оценки для упомянутой нормы как сверху, так и снизу в виде явных функций от N.

3. В качестве исходного банахова пространства X на практике выбираются самые разнообразные классы функций. Разные авторы рассматривали кубатурные формулы в пространствах Соболева (изотропных и неизотропных, конечного и бесконечного порядков), Бесова, Никольского, в классах Гельдера, Жевре, пространствах с доминирующей смешанной производной, весовых функциональных пространствах, в бесселевых шкалах пространств и др. Такое изобилие в выборе "пробных" банаховых пространств явно свидетельствует о необходимости доказательства утверждений общего характера (теорем о сходимости, об оптимальных формулах, об асимптотически оптимальных формулах и т.п.), верных одновременно для всех перечисленных выше классов, либо по крайней мере для большинства из них.

4. Рассматривая совокупность индикаторов ограниченных областей в Мп как достаточно представительное подмножество пространства финитных обобщенных функций, естественно заключить, что теорию кубатурных формул помимо прочего возможно рассматривать как часть общей теории обобщенных функций. В этой связи стоит задача распространения результатов классического метода кубатурных формул на случай приближения произвольной финитной обобщенной функции конечными линейными комбинациями сдвигов дельта функций Дирака.

Таким образом, функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, т. е. указания их узлов и весов либо алгоритмов их нахождения, а также указания в ряде случаев полиномиальной степени рассматриваемой формулы, подразумевает и вывод эффективных двусторонних оценок для норм соответствующих функционалов погрешности. В случае параллелепипедальных решеток узлов асимптотические разложения этих норм по шагу решетки интегрирования найдены для широкого круга банаховых пространств.

Функциональный подход порождает также критерий качества кубатур-ной формулы отличный от критерия, порождаемого подходом алгебраическим: в первом случае предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму, во втором лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов.

Важную часть рассматриваемой теории составляют результаты по ку-батурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований группы вращений некоторого правильного многогранника [244], [276, гл. II], [152], [233]—[241], [137]-[143]. Требование точности кубатурной формулы с заданными узлами на многочленах до определенной степени сводит задачу отыскания ее весов к решению линейной системы уравнений. Чем выше требуемая точность и чем больше узлов, тем большие размеры имеет эта система. Однако в случае, когда область интегрирования обладает определенного рода симметрией, а для приближенного интегрирования используется инвариантная кубатурная формула, размеры соответствующей линейной системы можно существенно уменьшить (см. [276, гл. II]; там же предложен алгоритм построения узлов инвариантной кубатурной формулы на трехмерной сфере).

Наиболее развитое направление теории состоит из результатов по асимптотически оптимальным решетчатым кубатурным формулам в пространствах функций конечной гладкости [276, гл. IV—VI].

С.Л. Соболев рассматривал в этой связи гильбертовы пространства Ь^К Предложенная им конструкция регулярного пограничного слоя позволяет при сколь угодно большом числе узлов находить веса кубатурной формулы, решая лишь несколько стандартных систем линейных уравнений с размерами, зависящими только от гладкости т. Центральный результат исследований по асимптотически оптимальным формулам — это вывод асимптотического представления Ь^^-нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем. Соответствующая формула включает в себя два слагаемых, первое из которых записано в явном виде через так называемые обобщенные числа Бернулли, а второе пренебрежимо мало по сравнению с первым при малом шаге К решетки интегрирования. В частности, из этого представления следует, что норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем убывает при К —У 0 как степенная функция Нт. Это весьма глубокий аналитический факт, позволяющий дать функциональное определение порядка точности кубатурной формулы на классе [274].

Формула, выражающая Ь^*-норму функционала погрешности с регулярным пограничным слоем через обобщенные числа Бернулли, дает серьезное основание в пользу выбора в качестве множества узлов интегрик рования точек параллелепипедальной решетки. В самом деле, мы можем поставить задачу отыскания для заданного числа узлов N наилучшей ку-батурной формулы, т.е. такой кубатурной формулы, чей функционал погрешности имеет при данном N наименьшую ^"^-норму, причем минимум берется не только по весам, но и по узлам формулы. При этом отношение ¿з^-нормы наилучшей кубатурной формулы к Ь^^-норме функционала погрешности с регулярным пограничным слоем, имеющего то же самое число узлов, ограничено снизу положительной величиной от N не зависящей. Это заключение сразу следует из теоремы Бахвалова, формулировку и доказательство которой можно найти, например, в [276, глава IV, §3]. Тем самым вряд ли при увеличении N можно получить большую выгоду от использования вместо формул с узлами в точках параллелепипедальной решетки каких-либо других формул с произвольным распределением узлов, тем более, что оптимизация формулы по узлам связана с решением систем нелинейных уравнений высокого порядка, что само по себе является задачей весьма трудоемкой. В противоположность этому узлы кубатурных формул с регулярным пограничным слоем заданы явно.

Полезно отметить, что всякая формула с регулярным пограничным слоем, представляя собой многомерный вариант решения классической задачи суммирования функций, относящейся к исчислению конечных разностей [91], является, по существу, многомерным аналогом классической квадратурной формулы Грегори. Тем самым поведение подынтегральной функции вблизи границы области интегрирования при построении формулы учитывается посредством специального задания тех весов этой формулы, которые соответствуют узлам решетки, лежащим в некоторой приграничной полосе. Во всех остальных узлах веса формулы с регулярным пограничным слоем одинаковы.

Замечателен метод, предложенный С.Л. Соболевым для явного представления ^"^-нормы функционала погрешности 1{х) и использующий понятие экстремальной функции и(х). Эта функция рассматривается как обобщенное решение многомерного полигармонического уравнения со специальной правой частью:

Ати(х) = (-1 )т1(х).

Решение этого уравнения на числовой прямой — это кусочно полиномиальная функция класса Ь2 , т. е. сплайн. В многомерном же случае такой подход позволил привлечь к исследованию классической проблемы анализа прекрасно развитые методы решения дифференциальных уравнений с частными производными.

В случае, когда область интегрирования представляет собой рациональный многогранник, построение формул с регулярным пограничным слоем сопряжено с конструкцией формального пограничного слоя [276, гл. III], позволяющей создавать относительно простые алгоритмы для вычисления весов решетчатых кубатурных формул.

Важные результаты по асимптотически оптимальным формулам получил М.Д. Рамазанов [204]—[214]. В.И. Половинкин [165]—[194] обобщил теорию асимптотически оптимальных формул на пространства L^n\Q) при 1 < р < оо и на случай весового интегрирования.

О.В. Бесов вывел асимптотические формулы для норм дроблений данного функционала погрешности [29]—[32]. Каждое такое дробление — это множество функционалов погрешности, действующих в более общих, чем пространствах. К ним, в частности, относятся классы функций, обобщенные производные порядка т которых принадлежат пространству Марцинкевича Мф{0) (либо пространству Лоренца либо пространству Орлича L*M(Q)).

Кубатурные формулы в пространствах и в неизотропных пространствах Соболева рассматривались Ц.Б. Шойнжуровым [300], [301].

Кубатурные формулы с регулярным и формальным пограничным слоем исследовали Н.И. Блинов и JI.B. Войтишек [33]—[37], [82]—[86], Ф.Я. Заги-рова [112].

Асимптотическое поведение норм функционалов погрешности в случае анизотропных классов функций Wp^ М исследовали М.Д. Рамазанов [212] и В.Н. Темляков [285]. В.Н. Темляков [285] получил также асимптотические разложения норм функционалов погрешности для анизотропных пространств Никольского NHq([0, 27г]п).

Особое направление теории составляют исследования по сходимости кубатурных формул на пространствах бесконечно дифференцируемых функций [276, гл. VII]. В качестве исходных классов с указанным свойством бесконечной гладкости рассматриваются, например, пространства периодических функций многих переменных с заданным поведением интегральных Ье^-порм при неограниченном возрастании т [266], [274]. Используемая в [276, гл. VII] классификация охватывает известные пространства целых функций, имеющих определенный тип и порядок роста, пространства аналитических функций, а также классы Жевре, включающие в себя квазианалитические элементы.

Рассмотрев действие в периодических пространствах указанного типа решетчатого функционала погрешности с равными весами, С.Л. Соболев получил асимптотическое представление логарифма нормы этого функционала. Как и в случае пространств конечной гладкости, соответствующая формула состоит из двух слагаемых. Первое из них явно выражено через параметры исходного класса, а второе пренебрежимо мало по сравнению с первым при малом шаге /г решетки. Эти результаты обобщили работу П. Дэвиса [323], в которой рассматривались кубатурные формулы в пространствах аналитических функций одной переменной с дополнительным условием периодичности.

В одномерном случае ряд авторов в качестве исходного' класса элементов бесконечной гладкости рассматривал пространство функций, аналитических в окрестности единичного отрезка (точнее, в эллипсе с фокусами в точках ±1). В частности, для этого пространства В.И. Крылов доказал сходимость интерполяционного квадратурного процесса [134], а Н.С. Бахвалов оценил скорость сходимости квадратурного процесса Гаусса [17]. Асимптотические разложения норм функционалов погрешности квадратурных формул Грегори и Эйлера — Маклорена в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, являющихся одномерными реализациями соответствующих пространств Соболева из [274], найдены в [43]—[48]. Как оказалось, в общем случае использование при данном /г формул высокой полиномиальной степени не только не приводит к уменьшению нормы функционала погрешности, но, напротив, может повлечь за собой прямо противоположные последствия.

Обзор свойств формул приближенного интегрирования в пространствах бесконечно дифференцируемых функций сделал К.И. Бабенко [3].

Квадратурные формулы в пространствах бесконечно дифференцируемых функций рассматривал также В.Н. Белых, предложивший алгоритмы без насыщения в задаче численного интегрирования [25], исследовавший ненасыщаемые квадратурные формулы на отрезке [26], а также указавший пример приложения этих квадратур к численному решению уравнения Лапласа [28].

Переход от функций конечной гладкости к бесконечно дифференцируемым сопровождается принципиально важным для практики эффектом: норма функционала погрешности кубатурной формулы, в первом случае убывающая не быстрее некоторой степени шага решетки интегрирования, во втором случае убывает быстрее любой такой степени. В этой связи было предложено считать, что кубатурная формула имеет в данном банаховом пространстве бесконечный порядок, если норма соответствующего функционала погрешности в сопряженном пространстве убывает к нулю быстрее любой степени шага сетки интегрирования [274]. Пример кубатурной формулы бесконечного порядка дает известная теорема о среднем для гармонических функций. Эрмитовы кубатурные формулы бесконечного порядка в пространствах гармонических и полигармонических функций рассмотрены соответственно в работах [69] и [325]. До сих пор кубатурных формул, обладающих бесконечным порядком, известно весьма немного.

Исследования по решетчатым кубатурным формулам в пространстве L^ с оптимальными весами составляют еще один важнейший раздел теории [276, гл. IX]. Центральное место в полученных в этом направлении результатах занимает предложенный С.Л. Соболевым аналитический алгоритм отыскания весов оптимальных кубатур. Соответствующая формулировка использует специальный разностный оператор [254], действие которого на функцию дискретного аргумента [276, гл. VIII] — это свертка, аналогичная действию полигармонического оператора Дт на непрерывно дифференцируемую функцию.

Задача вычисления сверточного ядра при произвольном m оказалась весьма непростой. Частично ее удалось решить в одномерном случае: здесь имеется формула, выражающая искомые значения через корни многочлена Эйлера степени 2т. Веса оптимальных решетчатых кубатурных формул представимы значениями в точках Zn финитной функции дискретной переменной, удовлетворяющей линейному конечно-разностному уравнению со специальной правой частью. Действие на эту правую часть сверточного дискретного аналога полигармонического оператора приводит к аналитической формуле для искомых весов. Результаты по весам оптимальных квадратурных формул, изложенные в [276, гл. IX, §§ 6,8], обобщили некоторые результаты А. Сарда [360], И. Мейерса, И. Шенберга, С. Силлимена [359]-[365]. Ряд вопросов, возникающих в процессе реализации предложенного С.Л. Соболевым алгоритма отыскания весов оптимальных кубатурных (и квадратурных) формул, решен З.Ж. Жамаловым [107]-[108], Ф.Я. Загиро-вой [113]—[114], М.Д. Рамазановым и Х.М. Шадиметовым [221], [297], [296].

4°. Приведенный в предыдущих пунктах очень краткий и не претендующий на полноту тематический обзор включил в себя лишь теоретические результаты, относящиеся к анализу ошибок ограничения метода кубатурных формул, т. е. к анализу погрешности, выполненному в предположении, что численный алгоритм реализуется в обладающей бесконечной точностью арифметике. Результаты же о распространении ошибок в начальных данных алгоритма (т. е. ошибок в задании весов формулы и значений подынтегральной функции в узлах) и ошибок округления, в литературе представлены весьма скупо и фрагментарно. В этой связи можем упомянуть здесь лишь книгу Д. Мак-Кракена и У. Дорна [147], в главе 6 которой приведена оценка сверху общей суммарной погрешности квадратурных формул трапеций и Симпсона.

Указанный пробел в анализе суммарной ошибки метода кубатурных формул восполняет в какой-то степени настоящая диссертация. В ней приводятся относящиеся к проблематике метода кубатурных формул результаты исследований, начатых автором в 1978 году под научным руководством академика С.Л. Соболева. Вопросы приближенного многомерного интегрирования рассматриваются здесь для случая многомерных ограниченных областей интегрирования и классов непрерывных в этих областях подынтегральных функций.

5°. Диссертация носит теоретический характер, состоит из введения, основной части, включающей три главы, списка литературы и оглавления. Краткое содержание основной части приводится далее.

1. Акопян Г. Г. Последовательности кубатурных формул с кубической решеткой для областей с вырожденными углами // Тр. семинара акад. С. J1. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 27-35.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

3. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, вып. 1. С. 3-28.

4. Бабушка И. Оптимальные квадратурные формулы // Докл. АН СССР. 1963. Т. 199, № 2. С. 277-289.

5. Бабушка И., Соболев C.JI. Оптимизация численных методов // Apl. Mat. 1965. № 10. С. 96-129.

6. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М: Мир, 1969, 369 с.

7. Babuska I. Uber optimale Formeln zur numerischen Berechnung linearer Funktionale. Vorbericht // Apl. Mat. 1965. V. 10. P. 441-443.

8. Babuska, I. Uber universal optimale Quadraturformeln // Apl. Mat. 1968. V. 13, No. 4, P. 304-338 and No. 5, P. 388-404.

9. Babuska, I., Pr&ger, M., and Vitasek, E. Numerical Processes in Differential Equations, Interscience Publishers, Prague, 1966.

10. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ. 1959. № 3. С. 3-18.

11. Бахвалов Н. С. Оценка в среднем остаточного члена квадратурных формул // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1960. № 1. С. 64.

12. Бахвалов Н. С. Об оптимальных свойствах формул Адамса и Грегори // Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз, 1963. С. 9-26.

13. Бахвалов Н.С. О вычислении кратных интегралов с автоматическим выбором шага интегрирования // Вычислительные методы и программирование. 1965. Вып. 3. М.: МГУ. С. 237-241.

14. Бахвалов Н.С. Об алгоритмах выбора шага интегрирования // Вычислительные методы и программирование. 1966. Вып. 5. М.: МГУ. С. 3-8.

15. Бахвалов Н.С. Об оптимальной скорости интегрирования аналитических функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. Т. 7, № 5. С. 1011-1020.

16. Бахвалов Н.С. Постановки задач численного интегрирования // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. С. 40-25.

17. Бахвалов Н.С. Оценка снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 6. С. 655-664.

18. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

19. Бахвалов Н.С. On the optimization of numerical algorithms // Optimal recovery, Proc. 2nd Int. Symp. Optim. Control, Varna/Bulg. 1989. P. 158 (1992).

20. Бахвалов H. С. Комментарии к разделу II книги Чепцов H.H. Избранные труды. Математика. М.: Физматлит. 2001. С. 383-384.

21. Бахвалов Н.С., Лапин A.B., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. 190 с.

22. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т. 1.

23. Белых В.Н. Алгоритмы без насыщения в задаче численного интегрирования // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, № 3. С. 529-533.

24. Белых В.Н. Ненасыщаемые квадратурные формулы на отрезке // Оптимизация численных методов. Труды научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения C.JI. Соболева (1908-1989). Часть I. ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа. С. 12-40.

25. Белых В.Н. Насколько можно доверять результатам компьютерных вычислений? // Кубатурные формулы и их приложения, Труды Viro международного семинара-совещания, Уфа, Россия, 2-7 июля 2001 г, БГПУ, ИМВЦ УНЦ РАН, с. 14-26.

26. Белых В.Н. Сверхсходящиеся ненасыщаемые алгоритмы численного решения уравнения Лапласа // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. V, № 2(10). С. 36-52.

27. Бесов О.В. Межъячеечные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С. Л. Соболева и их обобщениях // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1977. Т. 143. С. 42-56.

28. Бесов О. В. Оценки ошибок кубатурных формул по гладкости функций // Докл. Болг. АН. 1978. Т. 31, № 8. С. 949-952.

29. Бесов О. В. Оценки ошибок кубатурных формул весового интегрирования // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 36-45.

30. Бесов О. В. Оценки погрешности кубатурных формул по гладкости функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1979. Т. 150. С. 11-23.

31. Блинов Н. И. Алгоритм для вычисления кратных интегралов от функций с особенностями // Алгоритмы и программы Информ. бюл./ ВНТИЦентр. М., 1974. № 2.

32. Блинов Н. И. Приближенное вычисление двойных интегралов // Алгоритмы и программы Информ. бюл./ ВНТИЦентр. М., 1974. № 3.

33. Блинов Н. И. Об оптимальных по порядку сходимости кусочно-решетчатых кубатурных формулах для некоторых классов функций с особенностями // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1977. № 1. С. 25-42.

34. Блинов Н. И., Войтишек JI. В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 8-15.

35. Блинов Н. И., Войтишек JL В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1979. № 1. С. 5-15.

36. Булгаков А.Я., Васкевич B.JI. Иерархические базисы в гильбертовых пространствах // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. Т. 2, No. 2. С. 24-35.

37. Bulgak H. and Vaskevich V.L. Optimal cubature formulas for Fourier coefficients of periodic functions in Sobolev spaces // Selçuk Journal of Applied Mathematics. 2000. V. 1, No. 1, Selçuk University, Konya, Turkey. P 3-20.

38. Bulgak H., Çinar С., Vaskevich V.L. Algorithm with guaranteed accuracy for computing a solution to linear difference equations // Selçuk Journal of Applied Mathematics. 2000. V. 1, No.i. Selçuk University, Konya, Turkey. P. 90-96.

39. Васкевич В.Л. О норме в m0,1] одного функционала погрешности с регулярным пограничным слоем // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. № 1. С. 41-59.

40. Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Эйлера— Маклорена на одном классе гладких функций // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, № 1. С. 1040-1043.

41. Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Грегори // Докл. АН СССР. 1981. Т. 261, № 5. С. 1041-1043.

42. Васкевич В.Л. Об одной задаче теории квадратурных формул // Новосибирск, 1982. 50 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 3).

43. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций // Дис. канд. физ.-мат. наук. Ин-т математики СО АН СССР. Новосибирск, 1983.

44. Васкевич В.Л. Классы бесконечно дифференцируемых функций и приближенное интегрирование // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1984. № 2. С. 52-64.

45. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных аппроксимаций к решению задачи Дирихле в эллипсоиде // Качественный анализ решений дифференциальных уравнений с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. 10 с.

46. Васкевич B.JI. К приближенному решению задачи Дирихле в составных пространственных областях // Численный анализ. Новосибирск: Наука. 1989. С. 93-126.

47. Васкевич B.JI. Приближенное вычисление некоторых квадратичных форм интегрального вида // Вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО АН. Т. 22. Новосибирск: Наука. 1992. С. 93-123.

48. Васкевич B.JI. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонических функций // Теоретические и вычислительные проблемы математической физики. Труды ИМ СО РАН. Т. 24. 1994. С. 105-143.

49. Васкевич B.J1. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Тезисы семинара-совещания. Уфа-Красноярск. 1995. С. 10.

50. Васкевич B.JI. Приближенное вычисление интеграла Дирихле от гармонической функции // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1991. С. 64-83.

51. Васкевич B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах типа Бергмана — Половинкина // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады III семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 4-13.

52. Васкевич B.JI. Приближенные формулы бесконечного порядка в периодических пространствах Соболева // Оптимизация численных методов. Тезисы докладов международной научной конференции. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1998. С. 25-28.

53. Васкевич B.J1. Кубатурные формулы на основе иерархических базисов // Кубатурные формулы и их приложения. V международный семинар-совещание, 13 18 сентября 1999 года. Тезисы докладов. Красноярск: Изд-во КГТУ. 1999. С. 10.

54. Васкевич B.JT. Кубатурные формулы на основе иерархических базисов // Кубатурные формулы и их приложения. V международный семинар-совещание. 13-18 сентября 1999 года. Красноярск: изд-во КГТУ. 2000. С. 31-45.

55. Васкевич B.JI. Иерархические базисы в рефлексивных банаховых пространствах и оптимальные кубатурные формулы // Доклады РАН. 2002. Т. 385, № 1. С. 15-19.

56. Васкевич B.JI. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов // Кубатурные формулы и их приложения. VII международный семинар-совещание. 18- 22 августа 2003 г. Красноярск: изд-во КГТУ. 2003.

57. Васкевич B.JI. Инвариантные кубатурные формулы типа Грегори для многомерного куба // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6, No. 3 (15). С. 34-66.

58. Vaskevich V.L. On approximate solutions of the Dirichlet problem in composite spatial domains // Siberian Advances in Mathematics. 1991. V. 1, No. 2. New-York: Allerton Press Inc. P. 146-184.

59. Vaskevich V.L. Approximate computation of some quadratic forms of integral type // Siberian Advances in Mathematics. 1994. V. 4, No. 3. New-York: Allerton Press Inc. P. 109-150.

60. Vaskevich V.L. Cubature formulas of total precision on spaces of harmonic functions and their applications // International conference AMCA-95: Abstracts. NCC Publisher. Novosibirsk. 1995. P. 340.

61. Vaskevich V.L. Analogs of Hermite cubature formulas for the Dirichlet integral of harmonic functions // Siberian Advances in Mathematics. 1996. V. 6, No. 1. New-York: Allerton Press Inc. P. 105-150.

62. Vaskevich V.L. Cubature formulas in harmonic spaces of Bergman-Polo-vinkin type // Siberian Advances in Mathematics. 1997. V. 7. No. 1. New-York: Allerton Press Inc. P. 132-141.

63. Vaskevich V.L. Hierarchical cubature formulas // Selguk Journal of Applied Mathematics. 2001. V. 2, No. 1. Selguk University, Konya, Turkey. P. 95-106.

64. Vaskevich V.L. Best approximation and hierarchical bases // Selguk Journal of Applied Mathematics. 2001. V. 2, No. 2. Selguk University, Konya, Turkey. P. 83-106.

65. Vaskevich V.L. Hierarchical bases generated by extremal functions of cubature formulas // International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of

66. G.Petrovskii (1901-1973), Moscow, May 22-27, 2001. Book of Abstracts. Moscow University Press. 2001. P. 417-418.

67. Vaskevich V.L. Hierarchical bases and multicubature formulas in a Hilbert space // Кубатурные формулы и их приложения. VI международный семинар-совещание. 1-6 июля 2001 года. Уфа, 2001. С. 4546.

68. Vaskevich V.L. Optimal cubature formulas in a reflexive Banach space // Central European Journal of Mathematics. V. 1, No. 1. 2003. P. 79-85.

69. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

70. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

71. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука. 1977. 304 с.

72. Войтишек A.B. Основы метода Монте-Карло в алгоритмах и задачах. Часть V. Вычисление многократных интегралов. Аппроксимация интегралов, зависящих от параметра. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1999. 100 с.

73. Войтишек A.B. Дискретно—стохастические численные методы // Автореферат дис. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001. 32 с.

74. Войтишек JI.B. О вычислении коэффициентов для формул механических кубатур // Apl. Mat. 1965. № 10.

75. Войтишек JI. В. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 2. С. 417-419.

76. Войтишек Jl. В. Вычисление ^-функции Эпштейна // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 8-15.

77. Войтишек Л. В. О выборе решеток для интегрирования по формулам С.Л. Соболева // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 774-781.

78. Войтишек Л. В. Построение кубатурных формул с переменной шага // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 46-53.

79. Гарипов P.M. О вычислении спектров атомов и молекул // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т. 1, No. 2. С. 105-112.

80. Гельфанд И.М., Ченцов H.H. О численном вычислении континуальных интегралов // ЖЭТФ. 1956. Т. 31, № 6. С. 1106.

81. Гельфанд И.М., Фролов A.C., Ченцов H.H. Вычисление континуальных интегралов методом Монте — Карло // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 32-45.

82. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

83. Годунов С.К. Теория спиноров и представлений группы вращений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1978. 88 с.

84. Годунов С. К., Антонов А. Г., Кирилюк О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988. 456 с.

85. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 549 с.

86. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448 с.

87. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

88. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986. 432 с.

89. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. № 1. С. 52-70.

90. Диткин В.А., Люстерник Л.А. Об одном приеме практического гармонического анализа на сфере // Вычислительная математика и вычислительная техника. М.: Машгиз, 1953. № 1. С. 3-13.

91. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

92. Дубинский Ю.А. Некоторые вопросы теории пространств Соболева бесконечного порядка и нелинейных уравнений // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1980. С. 75-80.

93. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

94. Елепов Б.С., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980. 175 с.

95. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.

96. Ермаков С.М., Ясенева H.A. О вычислении кратных интегралов с использованием автоматического дробления области интегрирования // Методы вычислений. 1978. Вып. 11. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та. С. 81-84.

97. Еругин Н.П., Соболев C.J1. Приближенное интегрирование некоторых колеблющихся функций // Прикладная математика и механика. 1950. Т. 14, в 2. С. 193-196.

98. Жамалов З.Ж. Построение функций Грина для нахождения экстремальной функции кубатурных формул в L^fä) // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 29-35.

99. Жамалов З.Ж. Об одной экстремальной задаче квадратурных формул с заданием производных // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1973.

100. Женсыкбаев A.A. Характеристические свойства наилучших квадратурных формул // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 1. С. 49-68.

101. Женсыкбаев A.A. Об оптимальных методах восстановления интеграла // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С. 104-107.

102. Женсыкбаев A.A. Моносплайны минимальной нормы и квадратурные формулы // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, вып. 4. С. 171-196.

103. Загирова Ф.Я. Оценка остаточного члена кубатурных формул с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 6. С. 1262-1275.

104. Загирова Ф.Я. О построении оптимальных квадратурных формул с равноотстоящими узлами. Новосибирск, 1982. 28 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 25).

105. Загирова Ф.Я. Об одном представлении коэффициентов оптимальных квадратурных формул // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. С. 71-86.

106. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

107. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

108. Исраилов М.И., Зиновьева О.Т. Об эффективности использования ку-батурных формул // Кубатурные формулы и их приложения. Сборник статей семинара-совещания. Красноярск: изд-во КГТУ. 1994. С. 36-53.

109. Исраилов М.И., Шушбаев С., Эндибаев К. Об одном алгоритме подсчета ^-функции Эпштейна // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 36-41.

110. Исраилов М.И., Эндибаев К. Ряд Фурье дзета-функции Эпштейна // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1975. Вып. 34. С. 15-38.

111. Казаков А.Н., Лебедев В.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы диэдра // Тр. Мат. ин-та РАН. 1994. Т. 203. С. 100-112.

112. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

113. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 576 с.

114. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. 496 с.

115. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976. 736 с.

116. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977.

117. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 3. Сортировка и поиск. М.: Мир, 1978. 846 с.

118. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

119. Лебедев В.И. О квадратурах на сферах наивысшей алгебраической степени точности // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск: Наука, 1973. С. 31-35.

120. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Ленинград: Изд-во Ленинградского университета. 1988. 336 с.

121. Мысовских И.П. Об инвариантных кубатурных формулах // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 69-78.

122. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

123. Мысовских И.П. Cubature formulas that are invariant with respect to groups of transformations // Metody Vychisl. № 11. 1978. P. 3-21.

124. Мысовских И.П. The approximation of multiple integrals by using interpolatory cubature formulae // Quantitative approximation (Proc. Internat. Sympos., Bonn, 1979). Academic Press, New York-London. 1980. P. 217-243,

125. Мысовских И.П. Cubature formulas for a sphere that are invariant with respect to transformations of the group of a regular simplex // Vestnik Leningrad. Univ. Mat. Mekh. Astronom. 1985, vyp. 4. P. 20-26.

126. Мысовских И.П. Approximate calculation of multiple integrals of periodic functions // Numerical methods and applications (Sofia, 1989). Publ. House Bulgar. Acad. Sci., Sofia, 1989. P. 318-323.

127. Мысовских И.П. О кубатурных формулах, инвариантных относительно группы вращений октаэдра // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады семинара-совещания. Уфа-Красноярск: 1996. С. 41-51.

128. Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, вып. 2 (36). С. 165-177.

129. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

130. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. 256 с.

131. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С. 114-116.

132. Носков М.В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83-102.

133. Носков М.В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. С. 103-112.

134. Носков М.В. Кубатурные формулы па развертывающихся поверхностях // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярский политехнический институт. Красноярск, 1983. 107 с.

135. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. Т.' 179, № 3. С. 317-322.

136. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179, № 3. С. 542-544.

137. Половинкин В.И. Некоторые оценки норм функционалов ошибок ку-батурных формул // Мат. заметки. 1969. Т. 5, № 3. С. 317-322.

138. Половинкин В.И. Внешние задачи для полигармонического уравнения // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, №6. С. 1273-1276.

139. Половинкин В.И. Асимптотически оптимальные в Ь^ф) кубатурные формулы // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 88-92.

140. Половинкин В.И. Кубатурные формулы в ¿^(П) // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, № 1. С. 42-44.

141. Половинкин В.И. Внешние задачи Дирихле и Неймана для полигармонического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7, т. С. 64-72.

142. Половинкин В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12, № 1. С. 177-196.

143. Половинкин В.И. Составные кубатурные формулы // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. С. 53-62.

144. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, № 4. С. 951-954.

145. Половинкин В.И. Обобщение теории Соболева на кубатурные формулы, точные на многочленах степени не выше m — (n + 1)/2] // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 5. С. 1144-1148.

146. Половинкин В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 2. С. 413-429.

147. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 328-335.

148. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, JV® 6. С. 12551262.

149. Половинкин В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1977. № 1. С. 149-158.

150. Половинкин В.И. Решетчатые кубатурные формулы с положительными коэффициентами // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 79-87.

151. Половинкин В.И. Сходимость последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 183-191.

152. Половинкин В.И. The minimum of norms of functionals of errors in cubature formulas with arbitrary nodes // Voprosy Vychisl. i Prikl. Mat. (Tashkent) №53, (1978). P. 3-7.

153. Половинкин В.И. Convergence of cubature formulas with a boundary-layer on concrete functions // Voprosy Vychisl. i Prikl. Mat. (Tashkent) No. 51, 1978. P. 104-109.

154. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем // Дис. . доктора физ.-мат. наук. Ленинград, 1979. 240 с.

155. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных и квадратурных формул // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С. 116-118.

156. Половинкин В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1981. С. 7-25.

157. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул с периодическими системами узлов // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 3. С. 147-155.

158. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы, соответствующие интерполяционным операторам с пограничным слоем // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С. 103-115.

159. Половинкин В.И. О существовании наилучших кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1982. Вып. 69. С. 145-153.

160. Половинкин В.И. Весовые кубатурные формулы с произвольными узлами // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. С. 113-128.

161. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L™ // Краевые задачи для уравнений с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988. С. 125-136.

162. Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие кубатурные формулы // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 151-160.

163. Половинкин В.И. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и универсальная асимптотическая оптимальность // Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации. Пенза: Политехи, ин-т. 1991. С. 36-41.

164. Половинкин В.И., Дидур Л.И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых формул // Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 3. С. 663-669.

165. Polovinkin V.I., Noskov M.V. Asymptotic properties of the Cartesian products of cubature formulas // Functional analysis and mathematical physics. Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., Novosibirsk, 1987. P. 39-56.

166. Polovinkin V.I. Realization of compactly supported functionals in L™(En) ¡I Embedding theorems and their applications to problems in mathematical physics. Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., Novosibirsk, 1989. P. 137-139.

167. Polovinkin V.I.; Svitacheva M.P. Some problems associated with orders of convergence of weighted cubature formulas // Optimal computation methods and their application to information processing, No. 9. Penz. Politekhn. Inst., Penza, 1990. P. 49-53.

168. Половинкин В.И. Асимптотически оптимальные последовательности функционалов в L™a, 6] при больших га // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады семинара-совещания. Уфа-Красноярск: 1996. С. 64-69.

169. Половинкин В.И. Representation of functionals in L™*(Q.) // Siberian Adv. Math. 1995. V. 5. № 2. P. 122-128.

170. Половинкин В.И. Realization of functionals on the spaces L™(En) // Sibirsk. Mat. Zh. 38 (1997), № 1. P. 166-172, iv; translation in Siberian Math. J. 38 (1997), no. 1. P. 140-146.

171. Половинкин В.И. Approximations of the Bernoulli polynomials by constants and applications to the theory of quadrature formulas // Siberian Adv. Math. 1998. V. 8. № 2. P. 110-121.

172. Половинкин В.И. A formula for functions that realize functionals // Sibirsk. Mat. Zh. 42 (2001), № 4. P. 920-925, iv; translation in Siberian Math. J. 42 (2001), no. 4, P. 774-778.

173. Половинкин В.И. Sequences of functionals with a boundary layer in spaces of one-dimensional functions with Riemann-Liouville fractional derivatives // Mat. Tr. 2002. V. 5. № 2. P. 178-202.

174. Рамазанов М.Д. Построение асимптотически оптимальных формул вДокл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 2. С. 290-293.

175. Рамазанов М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, JV? 2. С. 481-484.

176. Рамазанов М.Д. Асимптотически оптимальный функционал ошибки над неизотропным гильбертовым пространством // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. С. 72-82.

177. Рамазанов М.Д. Оптимальный функционал ошибки над периодическими функциями из пространств Н£ // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13,1. С; 225-229. к

178. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 177 с.

179. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых куба-турных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, № 1. С. 44-45.

180. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых куба-турных формул на пространствах непрерывно дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, № 2. С. 270-273.

181. Рамазанов М.Д. Кубатурные формулы на пространствах непрерывно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, JV? 6. С. 1263-1285.

182. Рамазанов М.Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул с доминирующей производной // Докл. АН СССР. 1984. Т. 227, № 3. С. 551-553.

183. Рамазанов М.Д., Блинов H.H., Войтишек JI.B. и др. Развитие теории кубатурных формул Соболева // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С. 118-126.

184. Рамазанов М.Д., Умарханов И. Квадратурная формула с простой весовой функцией // Докл. АН УзССР. 1982. № 5. С. 4-7.

185. Рамазанов М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 5. С. 933-937.

186. Рамазанов М.Д. Функции пограничного слоя асимптотически оптимальных решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН. 1994. Т. 335, № 1. С. 25-26.

187. Рамазанов М.Д. Оптимизация расположения узлов решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 4. С. 456-457.

188. Рамазанов М.Д. The asymptotic theory of I. Babuska // Докл. PAH. 1996. T. 350, № 4. C. 449-452.

189. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады III семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 77-89.

190. Ramazanov M.D. То the Lp-theory of Sobolev formulas // Siberian Adv. Math. V. 9 (1999), №. P. 99-125.

191. Рамазанов М.Д., Шадиметов X.M. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 4. С. 453-455.

192. Салихов Г.Н. О некоторых кубатурных формулах на гиперсферах // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1966. № 2. С. 37-40.

193. Салихов Г.Н. Об одном способе повышения эффективности кубатурных формул С.Л. Соболева на сфере // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1971. Вып. 8. С. 3-9.

194. Салихов Г.Н. К теории групп правильных многогранников // Докл. АН СССР. 1972. Т. 205, № 1. С. 33-35.

195. Салихов Г.Н. Группы правильных многогранников и кубатурные формулы на гиперсферах // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. С. 139-147.

196. Салихов Г.Н. К теории кубатурных формул на сферах // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск: Наука, 1973. С. 22-27.

197. Салихов Г.Н. Группа правильного 600-гранника и кубатурные формулы наивысшей степени точности на гиперсфере // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1975. Вып. 32. С. 139-154. .

198. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для гиперсферы, инвариантные относительно группы правильного 600-гранника // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 5. С. 1075-1078.

199. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. 102 с.

200. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур в п-мерном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 3. С. 527-530.

201. Соболев C.JI. Теория кубатурных формул // Wiss. Z. Hochsch. Archit. und Brauwesen Weimar. 1965. Bd 12, № 5/6. S. 537-546.

202. Соболев C.JI. О порядке сходимости кубатурных формул // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, № 5. С. 1005-1008.

203. Соболев C.JI. Лекции по теории кубатурных формул. Ч. 2. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1965. 293 с.

204. Соболев С.Л. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 2. С. 295-297.

205. Соболев С.Л. Теория приближения интегралов функций многих переменных // Международный конгресс математиков: Тез. докл. М.: Наука, 1966. С. 163-168.

206. Соболев С.Л. Вступительное слово к сборнику трудов второго Всесоюзного коллоквиума по теории кубатурных формул] // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. С. 3-4.

207. Соболев С.Л. Об оптимальных кубатурных формулах в конечной области // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам физики. Новосибирск: Наука, 1973. С. 5-21.

208. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

209. Соболев С.Л. Сходимость кубатурных формул на бесконечно дифференцируемых функциях // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 4. С. 793796.

210. Соболев С.Л. Сходимость кубатурных формул на элементах Ь^ // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228, № 1. С. 45-47.

211. Соболев С.Л. Сходимость кубатурных формул на различных классах периодических функций // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976. С. 122-140.

212. Соболев C.JI. Теория кубатурных формул //Фундаментальные исследования (Физ.-мат. и техн. науки). Новосибирск: Наука, 1977. С. 5-8.

213. Соболев C.JI. О корнях многочленов Эйлера // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, № 2. С. 277-280.

214. Соболев C.JI. Коэффициенты оптимальных квадратурных формул // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, № 1. С. 34-37.

215. Соболев C.J1. О крайних корнях многочленов Эйлера // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1016-1018.

216. Соболев C.JI. К асимптотике корней многочленов Эйлера // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 2. С. 304-308.

217. Соболев C.JI. Еще об асимптотике корней многочленов Эйлера // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 4. С. 801-804.

218. Соболев C.JI. О корнях многочленов Эйлера // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. С. 125-141.

219. Соболев C.JI. Об алгебраическом порядке точности формул приближенного интегрирования // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 4-11.

220. Соболев C.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. 255 с.

221. Соболев C.JI., Васкевич B.JI. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1996. 484 с.

222. Sobolev S.L. Some problems of the theory of functions of several discrete variables // Proc. Internat. Conf. on Functional analysis and related topics (Tokyo, 1969). Tokyo: Univ. of Tokyo Press, 1970. P. 148-160.

223. Sobolev S.L. Les formules optimales pour l'intégration des fonctions de plusiers variables // Matodi Valut. Fis. Mat. Conf. Int. Roma. 1975. P. 423-441.

224. Sobolev S.L. Les coefficients optimaux des formules d'intégration approximative // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1978. V. 5, No. 3. P. 455-469.

225. Sobolev S.L. Comportement asymptotique des racines des polynômes d'Euler // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1985. V. 52. P. 221-243.

226. Sobolev S.L., Vaskevich V.L. The Theory of Cubature Formulas. Mathematics and Its Applications: Volume 415, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997. XXII+416 pp.

227. Соболь И.M. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаа-ра. М.: Наука. 1969. 288 с.

228. Стоянова С.Б. Инвариантная кубатурная формула для гиперкуба девятой степени точности // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады III семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 116-122.

229. Stoyanova S.В. Invariant cubature formula of the seventh degree of accuracy for the hypersphere // Кубатурные формулы и их приложения. V международный семинар-совещание. 13-18 сентября 1999 года. Красноярск: изд-во КГТУ. 2000. С. 285-290.

230. Темляков В.Н. Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул // Мат. сборник. 1990. Т. 181, № 10. С. 1403-1413.

231. Темляков В.Н. Об универсальных кубатурных формулах // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 1. С. 44-47.

232. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

233. Умарханов И. Описание решетчатой кубатурной формулы для многомерных областей с гладкими границами // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1979. Вып. 58. С. 6-13.

234. Умарханов И. Процедура численного интегрирования многомерных интегралов // Алгоритмы. Ташкент, 1980. Вып. 41. С. 75-82.

235. Умарханов И. Кубатурные формулы с простой весовой функцией // Докл. АН УзССР. 1983. № 12. С. 5.

236. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

237. Хамаев Е.А., Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатур-ных формул в пространстве Ь^{Еп) // Тр. семинара акад. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. № 1. С. 132-148.

238. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука. 1968. 400 с.

239. Хороших А.Н. Точные асимптотические выражения норм функционалов ошибок формул Грегори в L^fa, b)* // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1976. Вып. 40. С. 3-8.

240. Ченцов H.H. Избранные труды. Математика. М.: Физматлит. 2001. 400 с.

241. Шадиметов Х.М. Оптимальные квадратурные формулы в L^fä) и L{r\Rl) II Д°кл- АН УзССР. 1983. № 3. С. 5-8.

242. Шадиметов Х.М. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Сибирский журнал вычислительной математики/ РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. Т. 2, № 2. С. 185-196.

243. Шарипов Т.Х. Верхняя оценка нормы функционала ошибки кубатур-ных формул с регулярным в смысле C.J1. Соболева пограничным слоем в пространствах Н£(П) // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 1. С. 51-53.

244. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3, № 2. С. 370-376.

245. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве W™ // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, 2.

246. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в неизотропных пространствах C.J1. Соболева // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209, № 5. С. 1036-1038.

247. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически огшмальные кубатурные формулы с узлами в криволинейной решетке // Тр. семинара акад. C.JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976. № 1. С. 157-164.

248. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве w£m)(En) // Кубатурные формулы и их приложения. Доклады III семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 1996. С. 123-127.

249. Шойнжуров Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве C.JI. Соболева Wp(m). Улан Удэ: Изд-во ВСГТУ. 2002. 202 с.

250. Aydin К., Bulgak A., and Bulgak Н. Analiz. Selguk University, Konya, Turkey, 2000.

251. Axler S., Bourdon P., Ramey W. Harmonic Function Theory. SpringerVerlag, 1992.

252. Bank R.E., Dupont Т., and Yserentant H. The hierarchical basis multigrid method // Numer. Math. 1988. V. 52. P. 427-458.

253. Bergman S., Schiffer M.M. Kernal functions and elliptic differential equations in mathematical physics. New York: Academic Press, 1953.

254. Bezhaev A.Yu. and Vasilenko V.A. Variational Spline Theory. Bull, of Novosibirsk Computing Center. Series: Numerical Analysis. Special Issue: 3. 1993. 259 pp.

255. Brass H. Quadraturverfahren. Vandenhoek h Ruprecht, Gottingen. 1977.

256. Davis P.J., Rabinowitz P. Methods of integration. New York: Academic Press, 1975. 230 p.

257. De Villiers J.M. A nodal spline interpolant for the Gregory rule of even order // Num. Math. 1993. V. 66, No. 1. P. 123-137.

258. Dimitrov D. K., Integration of polyharmonic functions // Math. Comp. 1996. V. 65. P. 1269-1281.

259. Engels H. Numerical Quadrature and Cubature. Academic Press, New York, 1980.

260. Fejer L. On the infinite sequences arising in the theories of harmonic analysis, of interpolation, and of mechanical quadratures // Bull. Am. Math. Soc. 39. 1933. P. 521-534.

261. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. Roy. Soc. Edinburg, V. 49. 1928. P. 38-47.

262. Forsythe, G. E., Malcolm, M. A., and Moler, С. В. Computer Methods for Mathematical Computations, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall. 1977.

263. Förster, K.J. Uber Monotonie und Fehlerkontrolle bei den Gregoryschen Quadraturverfahren, Z. Angew. Math. Mech. V. 67. P. 257-266.

264. Frobenius G. Uber die Bernoullischen und Eulerschen Polynome // Sitzungsber. Preussische Akad. Wiss. 1910. P. 809-847.

265. Girschovich J. Extremal properties of Euler — Maclorin and Gregory quadrature formulas // Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-мат. 1978. Т. 27, № 3. С. 259-265.

266. Girshovich Yu.M. The norm of the error functional of a quadrature formula of the Gregory type // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1980. V. 20, No.l. P. 263-267.

267. Levin M., Girshovich J. Optimal quadrature formulas. Teubner-Texte zur Mathematik. Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft. 1979. 124 p.

268. Ghizzetti A., Ossicini A. Quadrature Formulae. Birkhauser Verlag Basel und Stuttgart, 1970. S. 192.

269. Grundmann A., Moller H.M. Invariant integration formulas for the n-simplex by combinatorial methods // SIAM. J. Numer. Anal. 1978. V. 15. P. 282-290.

270. Haber S. Numerical evaluation of multiple integrals // SIAM Review. 1970. V. 12. No. 4. P. 481-526.

271. Hammer P.C., Stroud A.H. Numerical evaluation of multiple integrals. II // Math. Tables and Other Aids Comput. 1958. V. 12, No. 64. P. 272-280.

272. Holmes R. R-Splines in Banach spaces: I. Interpolation of Linear Manifolds // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 40. P. 574-593.

273. Holmes R. A Course on optimization and best approximation. Lecture Notes in Math. 257, Springer-Verlag. 1972.

274. Holmes R. Geometric Functional Analysis and its Applications. Graduate Texts in Mathematics 24, Springer-Verlag. 1975.

275. Israilov M.I. Determination of the number of solutions of linear Diophantine equations and their applications in the theory of invariant cubature formulas // Sibirsk. Mat. Zh. 1981. V. 22. No. 2. P. 121-136.

276. Kohler P. On the error of Filon's quadrature formula // Z. Angew. Math. Mech. 1993. V. 73, No. 7/8. T886-T889.

277. Konyaev S.I. On invariant quadrature formulae for a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1995. V. 324, № 1. P. 41-47.

278. Kulisch U.W., Miranker W.L. The arithmetic of the digital computer: a new approach // SIAM Review. 1986. V. 28. P. 1-40.

279. Ligocka Ewa. Estimates in Sobolev norms || • || sp for harmonic and holomorphic functions and interpolation between Sobolev and Höelder spaces of harmonic functions // Stud. Math. 86. 1987. P. 255-271

280. Martensen E. Optimale Fehlerschranken für die Quadraturformel von Gregory // Z. Angew. Math. Mech. 1964. V. 44. P. 159-168.

281. Martensen E. Darstellung und Entwicklung des Restgliedes der Gregoryschen Quadraturformel mit Hilfe von Spline-Funktionen // Numer. Math. 1973 V. 21. P. 70-80.

282. Maxwell J.C. On approximate multiple integration between limits by summation // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1877. V. 3. P. 3947.

283. McLaren A.D. Optimal numerical integration on a sphere // Math. Comp. 1963. V. 17, No. 84. P. 361-383.

284. Möller H.M. Lower bounds for the number of nodes in cubature formulae // Numerical Integration. G. H^mmerlin, ed., Internat Ser. Numer. Math. 45. BirkhAuser, Basel, Boston. 1979. P. 221-230.

285. Nickel K. Can we trust the results of our computing? // Mathematics for Computer Science: Proc. Symposium held in Paris, March, 16 — 18, 1982. S. 1.: Association française pour la cybernetique et tehnique (AFCET), 1982. P. 167-175.

286. Olevskii A. Some interpolation problems in real and harmonic analysis // Real Anal. Exch. 16, No. 1. 1991. P. 353-361 .

287. Petras K. Error estimates for Filon quadrature formulas // BIT 1990. V. 30. P. 529-541.

288. Radon J. Zur mechanischen Kubatur // Monatsh. Math. 1948. V. 52, No. 4. P. 286-300.

289. Reimer M. Interpolation mit sphaerischen harmonischen Funktionen // Numerical methods of approximation theory. V. 8., Workshop Oberwolfach/FRG 1986. 1987. P. 184-187.

290. Reimer M., Suendermann B. Guenstige Knoten fuer die interpolation mit homogenen harmonischen Polynomen // Result. Math. 11. 1987. P. 254266

291. Sard A. Best approximate integration formulas, best approximate formulas // Amer. J. Math. 1949. V. 71. P. 80-91.

292. Sard A., Meyers L.F. Best approximate integration formulas //J. Math, and Phys. 1950. V. 29. P. 118-123.

293. Sario Leo Extremal problems and harmonic interpolation on open Riemann surfaces // Trans. Am. Math. Soc. V. 79. 1955. P. 362-377.

294. Schiff J.L., Walker W.J. Finite harmonic interpolation. II. // J. Math. Anal. Appl. 87. 1982. P. 1-8.

295. Schiff J.L., Walker W.J. Finite harmonic and geometric interpolation // Rocky Mt. J. Math. 13. 1983. P. 651-657

296. Schoenberg I.J. Spline interpolation and best quadrature formulae // Bull. Amer. Math. Soc. 1964. V. 70. P. 143-148.

297. Schoenberg I.J., Silliman S.D. On Semicardinal Quadrature Formulae // Math. Comp. 1974. V. 28, No. 126. P. 483-497.

298. Secrest D. Best approximate integration formulas and error bounds // Math. Comp. 1965. V. 19, No. 89. P. 79-83.

299. Solak W., Szydelko Z. Quadrature rules with Gregory-Laplace end corrections //J. Comput. Appl. Math. V. 36. P. 251-253.

300. Stroud A.H. Approximate calculation of multiple integrals. Englewood Chiffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971.

301. Svante Janson; Peetre Jaak. Harmonic interpolation. Interpolation spaces and allied topics in analysis, Proc. Conf., Lund/Swed. 1983, Lect. Notes Math. 1070. 1984. P. 92-124.

302. Voss J.J. Interpolation formulas for harmonic functions // J. Approximation Theory 97. No. 1. Art. No.ID jath.1997.3261 (1999). P. 82-91.

303. Walsh J.L. On interpolation to harmonic functions by harmonic polynomials // Proc. Natl. Acad. Sei. USA 18. 1932. P. 514-517.

304. Walsh J.L. An interpolation problem for harmonic functions // Am. J. Math. 76. 1954. P. 259-272.

305. On generalized invariant cubature formulae //J. Comput. Appl. Math. 2001. V. 130. No. 1-2. P. 271-281.

306. Wang X. An extension of Sobolev's theorem // Tsinghua Sei. Technol. 2000. V. 5. No. 2. P. 140-144.

307. Wilkinson J.H. Rounding errors in algebraic processes. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall. 1963.

308. Worpitzky J. Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen // J. Reine Angew. Math. 1883. Bd 94. S. 203-232.

309. Xu Y. Orthogonal polynomials and cubature formulae on spheres and on simplices // Methods Anal, and Appl. 1998. V. 5. P. 169-184.

310. Xu Y. Orthogonal polynomials and cubature formulae on the balls, simplices, and spheres // J. Comp. Appl. Math. 2001. V. 127. P. 349368.

311. Xu Y., T. Sauer On multivariate Lagrange interpolation // Math. Comp. 1995. V. 64. P. 1147-1170.

312. Xu Y., Heo S. Constructing symmetric cubature formulae on a triangle // Advances in Computational Mathematics. Eds. Z. Chen et al. 1999. Marcel Dekker, Inc., New York. P. 203-221.

313. Xu Y., Heo S. Invariant cubature formulae for spheres and balls by combinatorial methods // SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 38. P. 626-638.

314. Xu Y., Heo S. Constructing cubature formulae for sphere and triangle // Math. Comp. 2001. V. 70. P. 269-279.

315. Yserentant, H. On the multilevel splitting of finite element spaces // Numer. Math. 1986. V. 49. P. 379-412.