Экстремальные задачи для квадратурных формул на некоторых классах дифференцируемых функций и применение проекционных методов к построению наилучших по порядку квадратурных формул тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГО од

•") nil? Vil^

mtlwctepctbo образования азербайджанской республики бакинский государственный университет

им. М. Э РАСУЛЗАДЕ

На правах рукописи

УДК 517. 5

АЛИЕВ РАФИГ МУСА оглы

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАДРАТУРНЫХ

ФОРМУЛ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И ПРИМЕНЕНИЕ

ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ НАИЛУЧШИХ ПО ПОРЯДКУ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ

(Специальность 01. 01. 01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертациина соискание ученой стёпени доктора физико-математических наук

Б А К У- 1 994

Работа выполнена на кафедре высшей математики Азербайджанского инженерно-строительного университета.

Официальные оппоненты:

— член-корр. Российской АН, проф. Л. Д. Кудрявцев, зав. отдела теории функций Математического ■ института им. В. А. Стеклова РАН;

— д. ф. - м. н., проф. А. Ш. ГАБКБЗАДЕ. проф. кафедры теории функций и функционального анализа Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзаде;

— д. ф. - м. н., проф. Я. Ш. САЛИЛ\ОВг зав. каф. «Высшая математика-2» Азербайджанской Государственной Нефтяной Академии.

Ведущее предприятие — Белорусский Государственный

Университет

Защита лиссертации состоится «-Ш1-» Д^Ц) ^лЛ_

1994 г. <<-4--1-_» часов на заседании Специализированного

Совета Д 054. 03. 02 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Бакинском Государственном Университете им. М. Э. Расулзаде по адресу: 370145. Баку-145, ул, академика 3. И. Хали-лова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзаде.

л >. л .

Автореферат разослан 1994 г.

Ученым секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических /п

наук (/ проф. Д. А. ЯГУБОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- Дета исследования. Настоящая робота посвяявно изучению экстремальных зэдзч теории квэдратурн их сборку л. В связи с неойсодп-мостн построения ойцеЯ теории отыскания наилучших и наилучших по порядку кводратурньис <;-оркул в диссертации решаются следующие ок-стремельикв зэдзчи:

1. Построение йвйлучсих квадратурных формул типа С.И.Никольского й кшэ Маркова для различных более широких классов диффвроп-цируеодх функций.

2. Лострое»»е йзклучгдах хзэдратуряых фзраул типа С.¿1, Никольского не множестве решения отвэйтого обыкновенного деффервяциэяб-ного уравнения при некоторых граничных условиях.

3. Лривеивнио методе коллокзции к построении нзилучиих по порядку квадратурных формул ко нзояоство решений линойного обыкновенного дифференциального и интзгро-дифференциального уравнения

а пространстве ¿г и С .

Лрзкенэгагв аэтода Гзлеркиио к построению ноилучии по порядку квадратурных формул из мнояестзэ расамий линейного дифференте льного уравнения в пространства С .

5. Принвнвнио катода коллокащш к построению наилучших по порядку кубэтурных формул на множестве рвпений линейного диф£врзи-циального уравнения о чаотшши производкта в пространства /,3 .

6. Применение метода Голеркяно к построении нвилучках по порядку квадратурных формул нз ынозестве ял наИного дифференциального уравнения о чвогныыи лроиззодкнш в пространство £ .

Актуальность тепы. Построенные в диссертации наилучияв и нэилучпие по порядку квадратурные форнула для балез широких новых классов дафференцируекнх фгвкций и на ыножаства решений дифференциальных уравнений занимают вэнное иасто в теории квадратурных формул и пыеет теснуа связь о вгсетроазльяшл свойствам кусочно-полиноииальных функций.

Зг> последние годы по экстремальным задачам георяи квадратурных формул получены ряд суцаотвеявых результатов. В пай инэогоя ряд фундаментальных результатов кэя созэгскях (отрэа СНГ), т»л л азрубзхных математиков. Еоогроешшз а дассортзцяи квадратур; -

- ^ -

формулы йогу! найти приложения в приближенных рааеииах штеграль-вых и дифференциальные уравнений.

Необходимость развития новых методов отыскания таких квадра-• турных фориул, а такке важность этих формул для приложений, обуславливает актуальность теш диссертации.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результат:

- введены новке классы дифференцируемых функции, Найдены интегральное представление функций, принадлежащих эгии классам;

- построены наилучшие квадратурные фориулы типа С.М.Николь-.ского для введенных классов функций, о которых получаются известные наилучшие формулы. Найдены узлы и коэффициенты построенных цаилучцих квадратурных форщл. Получены такко оценки погрешности охих фориул. Найдены наилучыио квадратурные формулы типа Маркова о равноотстояциш узлаки и их погрешность;

- выделен класс линейных обыкновенных дифференциальных и ин'тегро-дифференциальнше уравнений о краевьши условиями, при кор торых функция Грина сшшзтрична. Получено интегральное представление погрешности квадратурных формул типа С.М.Никольского для функций, принзддазацих на иночестве решений выделенных классов уравнений; •

- поотроены наилучшие квадратурные формулы типа С.М.Николь-окого на иноиеотва решений выделенных классов уравнений. Найдены узды и коэффициенты зтих формул и их погрешность;

- впервые с использованием приблиненных решений линейных' обыкновенных дифференциальных и интегро-диффарчнциальных уравнений рассматриваются квадратурные формулы, Среда таких квадратурных фориул построены наилучшие по порядку квадратурные формулы ¡' во инокестве решений рассматриваемых уравнений. Найдены узлы и 1 коэффициенты втих формул и их погрешность;

- рассматриваются впервыо о использованием праблигенных равнений пикейного дифференциального уравнения о частный производными с двумя нэзэвисиииш переиоанкш двуиерныз квадратурные {кубатурныа) фориулы. Среда таких кубатурных.форыуя построены наилучшие по порядку куейгурныа фориулы на инокестве раыашй рассматриваемых уравнений. Найдены узды и коэффициент ввдх формуй

и их погрешность. , ]

Таким обрезом в диссертации решены новые экстремальные задачи теории квадратурных формул.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанный мэ-тод в диссертации позволяет с единой точки зрения подойти к решению новых: и старых экстремальных задач теории квадратурных формул. Построенные в диссертации квадратурные формулы могут бить применены к приближенный решениям интегральных и дифференциальных уравна-ний* в такке.оптимизации приближенных методов этих уравнения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на сокина-ре вкад.Российской АН С.М.Никольского и члена-корр.Рсссийской АН "Л.Д.Кудрявцева в Мвтемотическо« Институте им.Стеклова РАН; но семинаре члена-корр.АН Украинской Республики Н.П.Корнейчука в Институте математики АН -Унрэияской Республики; на общеинститутсном семинаре-в йнотитута математики.и механики АН Азербзйдяанской Республики под руководство!* бкэд.АН Азербайджанской Республики Ф.Г. Максудове; ив сешнзра акад.АН Азербайджанской Республики М.Г. Гэошова в.Бэкгсоуниверситете иц.Н.Э.Рэсуя-зада?; из сеиинаре чизна-корр.АН Азербайджанской Республики Л.А.Бабэона в Бакгосуни-вероитата им.М.Э.Расулзэда; на сеыинзра члэвя-корр.АВ Азарбайхжэи-" ской Республика Дн.Э.Аллэхвврдиева в Бзкгосултаэрсягвте к».У,Э. Расулз8дв; нэ сеыинвре лроф.А.Д.Дязбртяловэ в ЛзербзйдагансЕоя Инкенерно-строительноы Уяявероитете, та УкраянскоЯ Республиканской научной конференции по теории "Эжстреиздышэ задача гвергш приближения и их приложения" л г.Киевэ 1990г., нэ Азербайджанской Республиканской конференции но хгоузи приближения и их приложения в Боку 1991г.

Публикация. Яо «не цавсармцки опубликовано 10 статей без соавтора» а .которых леотэтечво полно отражено содержание диссертация. - -

. ОС^аа рзСатд. Цзссвротция излокена па 270 страницах нвшиио-пшлгог» текста, состоят пз ввъдэния, пяти глав, описка литература из 139 наиириозавий1.

Автор выранвет глубокую и иокренмкя привн8?вльпостъ вквд. С.М.Йиильокому, чя.-корр.Российской АН Л.Я.Кудрявцэву, чл.-корр. Украинской АН Н.П.Корнейчуку зв внимание я ьэодяокрэпше лодоэике • обоуядания результатов диссертация.

СОрШАНЗВ РАБОТЫ

2 гввисахости от гребований, предьавляешк той или иной звадрагурной формуле и в эависимосгн от ккассз функций, к которому приценяется метод при блике иного вшнсяешя ояредадашшго интеграла, ав или икая квадрагуркэя формуле маках аиазъ больнее алн ценызое преимущество парад другими.

Поэтому в зеории нвадрагурвш: формул для некоторые квассоз функций бозшкло погробиооть яосгроешя квадратурна* формуя, применение которых ней боло о целесообразно для вычисления опродаден-интегралов 05 функций, принвдлокадх заданному классу, Га кии образом, потребовалось поироигь текув квадратурную формулу для: заданного класса функций, для которой оо?заочный члан был некиеиь-аой по сравнению с другими квадратурными формулами из некоторого ыиокемвв формул. В ойдем случае академиком С.М.Никольским в гес-рии квадратурных формул бия а поссавлон а олелуссая вногремальнэя ' задача: Бадан класс функций # и заданы натуральные числа (

и уз 2,.....,//-1) , Трабуетоя сраде есох квэдрзгурных I •

формул ■ ' I

где 0^ха<х, <... < х. $ I » р(х) - неотрицательная

оуыыируемая функция и нэзкеиьвлоктнэя нулю функция на отразко ¡0,1] , определить некую, чгобы величино верхней грани

распространенной на все функций класса # , била наи-

меньшей. Нзйдэннэя такая квадратурная формула навивается неи-лучвой или оптимальной квадратурной формулой для класса Я срэ-1 ди говаоекожшк каадрвгурных формул Вед» I

41-1 Л.

... ? .

называется точкой оценкой жвя остатка «гоочулы /и. Л/

для классе

ст«ет1!м» постаясдауг- »rcswc,«rîcï зада».;' такого в;т.ч- -о-ходйт от axttRtSïKzci А.Н.Кол>/'ОТ-г>:сг:т,.

Bnepntre акизюоягва С.Х.гжов^ккя р»рво<жт метод для î р-»-ния конкретны:? &кс?рвтгыЕК зг-ео» - гег.ет кгадратурш* й-ст*.... и: наедены точны© огдйзкз снв>у wsranar zxt кэяорэтурнь-ч фогч-.т.

Задача весгрэг»:аа ииглук.г''. «Ksysrçjït«! £ор»улы иокиизу-ших зиаюйвй та и fercr??-?:;-^;1- ямш ¡тассматряпяло"'.

A. Сардов

Поете игввик работ зд-где.чжз С.^^зЬкагьсгтаго по экстремальным задачам теорж кв-эдрат.уржк Japr-ryn» игдагая с 50-х годов, построением нэклушж жэадратуриык ù-ор.'.гул ззяяппг: кдассоп функции занимались й.й.Доронан» А.Й.К'тееггеэ^ Т.А.Пэй^зеэа, И.И. Нбрзгсуоз и РЛ'.Аллзю, Р.й.Ляяез» ¡¡'„Б.Аксеч^ ц ...Х.Турецкяй, .''.И. Лепта» Н.ПJiapîrcir.ry'î » Н.З.Л^'зпсГ.. НЛ.Лзгапзн, В.М.Алхииоза, В.П. Иогоря«:!, Б.ДЛ^ажглз,, ЛД,2скка бгез. И.Каутзкк. C.Kapn;w, И. EisnSepjv /л.Атьбгрг- jî ЭЛетвси?» л.А.Ллгун, Г.Кокои, Ц.Я.Волмп::*,

B.Ф.БабенкОс, Т.Н.5-,'еаргза к др.

Наиболее naaiuo новые результаты по апстрегглльтлл задачам теории квадратурных формул- за последние годн получггем HJi.Kop:rcfi~ чуком и его ученикамии.

• Для сформулироваиия некоторых известных результатов по экстремальном задачам теории квадратурных формул определим следуяйш классы функций.

Классом (p>i) назовем ыкокестио функций

непрерывных на отрезка Jv,lJ , шекшх эбсолатно непрерывную производную Z-S порядка л производную порядка г , удовлетворяемую условию Pdx)i//p $ лг .

(ргЛ) - аналогичным класс I- периодических

функция .

Клчссы 1з случав p=i , и р = » соответ-

ственно обозначаются через y/^l, . W(7)ÀS и W^ • Классом W/^/y (pzi) назовем шолоство функции

ij(?-)<• W^^p здовлетворяших дополнительну veirw-i

(а г)

Классои /р (р*0 назовем множество функций

» УДовве творящих дополнителъкьш условиям 1 уЫ(с)= у(1}(1) (С- 0,1,..:,г-1),

Классом Ни назовем иноквство 2.3Г - периодических непрерывных функций, ко дуль непрерывное™ которых ^ сО(1) ,

где 0)(1) - заданный модуль непрерывности.

Классом и назовем иножесгво 2% ~ периодических

функций, у которых г -вя производная у (г)(х)еНы-

Классом .У/'1*> (0,2$) (ра) назовем ынояесаао 2ЗГ-периодических функций и(%) , ииещих абсолютно-непрерывную производила (г-1) - го- порядка и производную порядка г таких! что

(flfb^ « I

а

I

Впервые С.ii,Никольский экстремальная задача для квадратурных формул вида (0,1) при р(х) = 1 , если р-г-2 ;

г-2,-4, б , .. ) а случай f » о (к= 0,1,2,...

г = 1.Д ) реиенз для класса W^-

Т.й.Дорошниы построены наилучшие квадратурные формулы вида (0.1) при р(, если р= о (K=o,i,2,... ,N-i ; г-к,2)

с

для класса . ,

Наилучшие кввдрэтурниз формуди вида (0.1) при р(>:)^1 , ', ' еоли (H*o.i,... , rf-t ; S = построены j

Г.А.Шайдаевой для класса (рИ)'. ,

Далее И.й.Ибрэгииовын и Р.Ц. Алиевым экстремальная задача для кводратурных формул вида (0.1) при р(х)=1 , f - г-2 (к-ff.ji,

г,...,//-/; г= 2,4,..,) реиоиа для класса W^iip

а для любого р задача решена Ы.Б.Дксанеи и Л.Х.Турецкий. [. Экстремальная задача для квадрэтурних формуй вида (О.Х) при}

, р^-г-2 (K=O,J,2.....лЧ ; 4,... )' !

решена для клаосв » 0(Ш1 М.Киселевым и P.M. j

Алиевы!.! еоли р-г . t

Н;Е.Лушпаен для классов ТС^Ц,. (р?п построен» нэилуч- •

пае нвадрзтурние форму ли вида (0.1) при р(х)=1 , р = г-1

(к= 0,1,... ; ) , 3 такяе для

класса пря , ; 4,...) .

Н.П.Корпзйчук.п Н.Е.Луеяэ!! мэгодои минимизации нормы кусоч-ио'-попииоииальмой функции построит поллучыке для классов У/(1)1 при , » Рн -г-3

(к-о,1,..., ; 3=5,5"....)-гаэдрчгуркцз ¿эрпули вида (0.1).

ОГткстяи, что Ц.Левшти получена наплучион квадратурная ^ор-нувэ вида (0.1) пра ре*)-} = .....^/-1) Ляп

"в!

Далээ, К.Б.Дугдоэа энсграмальнэл зэдзчо длгмЕвадригурншс формул вида (0.1) рзвена для кдзссэ 'при р(х)-1 ,

£ = я л = г-э в,I...; г = з.у,.... )

Н^Е.Лузпеоп для класса тзглз пзотроанн нэилучмз

хгаодратургет ^эрзугя зндэ (0.1) пря р(х) = 1 , «3 = о,

= л =

О = г-з ~ и & = (к-1,2,... ; т=4.С,...) Л—для класса при р(х}~ I , ^ ^ - г-1 а

Л'Ьг*'* 'Л*™ ~!Г .....

о тэкжз построены наилучшю квадратурные формулы вида (0.1) при

для классов Й3«"^ ^ • ' ■

Наилучшие квэдротурные формулы вида (0.1) дпп класса XV¿р . также построены Н.Е.Лушлэем при р(х) = 1,

£ а г-1 (г= 1,2,... ) и Ск*в.1,...,У-лг=з,4,...):

Осетии, что наилучшая квадратурная формула виде (0.1) найдена Алхиыовой В.М. при , , £ =

(г= 1 г.... • к* о I, ..., -#-1) » ■ а также при р г-1

= (к=^2,...,м-г;гг<гд...;да класса ТГ^ (¡г; < ,> ,

Сард построил наилучиую квадратурную формулу виде (0.1) при р(*) = 1 ♦ Л = 0 с фиксированными равноотстоящими уз лзии (к* 0,1.....м-х) для класса ,

\(/(г>12 , ИевСэрг решил ату задачу для произвольных фиксировании узлов #,< ("«„=£> •

¿лбаргоы и Нильсонси ¡шйдзни наилучше квадратурные формулы вадо (0.1) о фиксированными узлам 0 =х0<х1<хг<... < = I прз , 0* р =гр < г-1 (*•= ,

ге1,й,...) ''для класса \У<г>г3. В работе В.П.Йоторного решена задача о наилучшей кввдратур-

•воЁ формуле гида (0,1) при ^ =о (к=а,1.....//-О , о также

' Д*1 С*= о,П..дал классов ( г - нечетное,

. ы - выпуклый модуль непрерывности) и ^ (о\аШ) ("гс4,б,.';.)• В работе доказывается, что формула прямоугольников явлйетоя наи-яучиай квадратурной формулой для классов V/<г)Ии « \У/г) (о, орэда квадратурных формул вида

О Кг*а , ' . ' ' • ' '

VÏÏ M-V

В работах А.АДенсцкбеем доказывается, что наилучвая для класса (г*2, з,... ; 1<р*оо) юаадатурная формула ¡

вида <0Л) при jj (ksa,i,.,.,w,p(x)*i) единственная и получил ряд свойств ее узлов и коэффициентов. Он установил, что дляj класса ' ноилучша квадратурные'формулы вида (ОЛ) . I'

(o*ft s г-j) при fi*2т *и swtJ оовпадашг ызаду собой.' Д.А.Кевошсбаав доказал, что формула^прямоугольников является веп-пучшай квадратурной для класса (i<p=sco) ' при всех

г , среда квадратурных формуя вида (0.1) при. p(X)=i , j> =ц ; (к=о,J/~i) . Этот результат при и г - нечетной

получав в работе АД.Лигува.

Ё работах Б.Д.Боянове докаааво, чю среда квадратурных фор-ада виде (ОЛ) яра pf*)-i. ^»в.'»-'.^)

T*e ' 1< íj,* 8 ' * £ + + *•• + * 2 » ^чествует . j

наилучшая для класса W(3)Áp (i<p*vo) квадратурная формуле. Далее Л.А.Денсыкбзевки установлено, что формула прпкоугсль-ников

О 1=1 __

пвляатся единственной наилучшей длп глсзгз *а,...; i*p¿ot>) среди всех кводразурякх формул лада (O.I) при » У которых + "

Результата А.АДенсынбаево а Б.Д.шпнсээ по састргЕЗдвшш '30Д8Ч8Ц теория квадратур хорошо изложены H.n.Kcpiraifrysca з добзв-. ленив-к книге С.И.Инкольскогс.

Вшзаяздозен.тее результаты по экстремальном залечен одномерных квадрэтурпшс формуя гсропосптсл па двукзрный случай п работах М.И.Левина, З.Й.Пзцэ, В.Й.ИСрогаговв и Р.Н.Ализвэ, Г.Коиано, Г.Пикуль, Н.ЕЛушпзп, И.ЯЛзбяеэ в О.М.Гпргэвпчз, Н.Е.Луипал а С.В.Переверзова.

Откатим» что важные интересиио результаты по теории кубзтур-них 'фориул» которые непосредственно не связаны с содоргониеи дяо-еертации» полу,таны С.Л.Соболевы«, и его учвникаии, И.Н.Коробовцц, Н'.С.Бахваловкз„ ИЛ.Соболаи, Ц.О.Бабенко. Ваяние результаты З.Ф.Бзгбэнко- пф квадратурный формулой также хорошо изложено ff.IT« Корнойчуко» в* добавление к книге С.И,Никольского.

Приведенные выше результаты показывают, что построение наилучших квадратурных формул существенно зависит от выбора конкретной нормы и клэоса интегрируемых функций. Построены наилучшие квадратурные формулы виде (0.1) при J**f (к*о,i,-•. близких к г со различных классах дифференцируемых Функций. Построение, нзилучаих квадратурных формул вида (0.1) при любой

, //-i) остаются открытыми.

В настоящей работа сгроятоя нвилучшие квадратурные формулы вида (0.1) при i J^-f при любой

значении jj < г-а при различных способах выбора нормы и клпвсо интегрируемых функций, а такгв применяя ывтод коллоквщш м '-"год Гэлеркино, построены наилучшие по порядку квэдрзтурння ф:■.-■ '.а не множестве решений линейного обыкновенного дпффэрэтг.: t ^ •*:г

в ингегро-дифферанциалвного уравнения лри граничных условиях, В работа текке, приыеяяя нетод коплокащш и ыотод Галоркиив, построены наилучшие по порядку квадрвгурныв (куботурныв) формулы на ыиоксмво ре ив ни Я линейного дифференциального уравнения с частным! прсизводныш:- с двумя незэвисишш переменными при граничных условии, т.е. результаты по построение наилучших по порядку одномерных квадратурных йормул перекосятся на даукерный случай.

При построении наилучших по порядку квадратурных формул не множествах решений краевых задач повышается порядок точности квадратурной-формулы.-

Остановятся теперь на основной содераании данной диссертации. Глава г. В этой главе построены наилучшие квадратурные фор-

мулы вида

i J/-L J

I

¡^Ф4 у + ■ - ' <о.2)

О И-0 £=о '

О к=0 С-0 ,1-0 I

где ,//,£ - заданные натуральные числа, с '

для иог.ш выбранных классов , Д(г,Л/ » , 1

л(г,р>/ /'п х Р ° р а1 Р

" с* "Р (Р*1) дифференцируете* функций.

В § 1.2 определяются классы функций. Определение классов функций,

I. Классом (¡>ъ1) позовем кнсмство функций

веданных на отрезке /0,1/, ииевдяс абоолютно-напрвривние производима порядка 2-1 и производную порядка г , удовлетворяющую условию

л,:

где г-г , 6 е [о,*] . 1, Клвссои Лв

р (Я? V назовем множество функций аоданных ка отрезке /0,1/, иыащих абсолютно непрерывные

- п -

производиы® порядка и вфазавваяу® юзграгга г гаков, что

гда , -б<г .

I 3, Классом <Лве ^р язсзая» та^???»? функций

заданных на агрезке /&,!/„ ишйяйяе абншяеэ ш.трзризиаа производные порядк» г-* » к иоизотжйгра! тарют г , такое, что

4 а ' б, 0

гж» » б"« /"см] •

'V. Классов С/??■/) ьазозаы мложеотэо фупхцяй

. пряподлекос^х классу я удозлэтворямт

дополнитвяьпш условиям = 0 —•

3 § 1.2 доказывается

Лемма 1.2.1. Лкбчя функция Ц(х)< УР^'кр (р* {) пргвзд-леашг классу Л-^-рАр . "

Обратное утверждение наверно.

В § 1.3 найдены точныо выражения оогзтко квадратурной формулы виде (0.2) для любой функции_ и С*] » принадлежащей классам . , о тзкае

найдэно точное вырезание оотэткэ квадратурной формулы вида (0.3)

типе Маркова для любой функции ^Гх) < Л^'^р (Р*0 » которые составляют содаразние яема 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 а 1.3, В § для классов

построены наилучшие квадратурные формулы в я до (0.2; >'^тгз'лр,

s такие построены веилучиие квадратурные-формулы вида

о к-о /£=о

Используя лекыу 1.3.I доказана

Теорема 1Л.1. Среди всевозможных квадратурных.формул вида (0,2) о любыми коэффициентами Л^ и уалаыи хк , где -фиксированные натуральные числа, £><г-й , f - четное число, " Oi х0<х*< - ^ А » наилучшей для класса

' J^'flip (Р* О является единственная квадратурная формула, определяемая коэффициентами

I

Лк -о (t = o;i.....-у-)

f

2halH gCf-siH)

(f**)!. ЧГа

(K^i, 2.....J/-2)

ей

Лк " n ' (L) (1=0,1,..., J

0 (j>+2)! { (Щ, I S +

a узлами

+ (W.....*'*)

--I5 -

При aiou для класса Jt^'^Zp имеет иасто соотноше-

ниэ

А ■ Rw+i fi)

60 ^

где

СУ -- Полиной степени ji+2 коэффициентом при равный единице, наименее уклонявшееся от нуля нэ отрезке [-1,1]

•л" метрике

Долоо построена наилучиая для классов Ло'^р И J^ol'^p

(p*j) квадратурная формула виде (0.2), которая совпадает с наилучшей для класса Af'^Lp (р*1) Квадратурной формула Л вида (0.2). При этом

У4'V - ¿MV - ejj.^1

Если в теореме 1.4.1 предполагать, что j3=2-3 , то получим наилучшую для класса W^'^Z. (pzi) квадратурную •• формулу вида (0.2). '

Используя результаты А.А.Жэнснкбаевз; доказывается, что

нвидучмя для классов , _ é^Âp (pïi)

квадратурная формула вида (0.2) при j> . четной является, ваилуч-.шэй квадратурной формулой среда квадратурных формул вида (0.4 -для тех же клвосов (теорема 1.4.4 и георемэ 1,4.5),

В § 1.5, используя явиыу 1.3.4, строится тевдуадая кваде-»урнвя формуле вида (0.3) типа Маркова о рзвнооюгоадяга ¡рада-овалышш уалаш для к лес се ■А^^р (ръ1) • й8йде«ы коэффициент и ючйоя оценка остка наилучшей квадрагурной формулы вида (0.3) для класса (р*1) г,е. доказьшавюя следующая

Теорама '1.5.1. Среда всевозможных .нвадр81урйых формул вида (0.3) о дюбыш коэффициентами Л^ % » и увявш

,'где У,у? - фиксированные натуральные чмолв, у»<г-2 , , ^ - четное число, о<хр<х1< < \ • наилучшей

дся класса Я^^Ар (р%1) является единственная квадратурная формуле, определяемая коэффидаенгеш !/.'

4 .....—) , |

4 Ло?* V« ® .....г) ¡1

- ^ "

и уалэш . '

*к= .....^ • 1

Прй 8юи для кдаооа ииаев ывою ооо! -

соввюв' ' :■■ \

' в ГдО\Р>/ 1

где

2 (1/Н)

Далее докозеир, что теорема 1.5,1 верно и при кзчзтвди р (таороиа 3.5.2).

Глава 2. 3 этой главе построены яаалучпмо ггаэдротурпыэ формулы вида

1 яг-5

0 «-о

гдо Л/, г, 5 - зодашша ватурзлышэ числа, й^зг ("5=4,6,.,.),

ах0<хл< ... < ^ ^ > да* классов 4Т^Р ' « <Я%г'ЩТ,1Р '

В § 2.2 оврэдэлшгася класса йуншрй ' Опредоледиа кдоссов.

1. Классоа Л^Лр (Я2-*) обозначай икоаавтво функций . , заданных из отрезке /0,1/ а удовдегворявцих условии

где 5=з,4,.- ; .

2. Клоссоы Яа^Ар ' 0С03Н8ЧИИ ынох0оево функций Ц>(х) , веденных на отрезке /0,1/ в удовлетворяю« уопозию

(¡/¡У'^гю**!'*')^*ж'

где 5=3,4,...; б €[о,1] „

- 18 -

3. Классом ' ¿р обозначи1: "ноаество функций

^(х) , являющихся решением дифференциального уравнения |

при грзничных условиюс

у^Чо) = уЩо ([=1.2,....г) , <°-7>

где 61<бг<... < • ,

бг, ^ е .....аг-^ ("с» ¿.а.....г)» рДОе^^Ц,.

^(ЗД - функция Грина задачи{(0,6), (0.7)| и условия (0.7) таковы, что функция

^ зависит только от ^ • |

' Л-С2*'6). 1

4. Классов Лр (рЪ1) обозначим мшаество функций

^(я) » являщихоя'ровенивм краевой задачи -{(0,6), (0.?)}, где '

/У С''*»*) I

5. Кяессои (ря) обозквчи1Г множество функций , являющихся ревенияш дифференциального уравнения •

аг-а.

г=о 9 ;

при .граничных условиях (0.7), где- . '

. 4с*)с- , (Ри)

б.-Классоы I¡¿р (р^Л) обозначим множество функций

^(х) являющихся решениями краевой задачи ^(0.8), (0.7)}, где

1 I В § 2.3 найдено точное выраженио остатка квадратурной формулы вида (0.5) для любой функции , принадлежащей клаосеи

кохорве составляют содержание леш 2.3Л, 2.3.2, 2.3.3 и 2.3.^.

В § 2Л при лоиоси Евин 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3 л 2.3.4 построены нгалучЕйэ пвадрва-уриьз формула вида (0.5) для классов

Доказано, что для этих классов ноилучеиа кводратуриыо $орау-йй вида (0.5) совпадают, т.о. доказываютоя тэореиы.

Теорвма 2.».!« Среди асевоэвдггшх квадратурных формул зидэ (0.5) точных для многочленов стапеви не выве зг-Х любыми коэф-фицаептокя № углзк! , г до //, 2, 3 - фиксированные

шяурэлышз чнолэ, в^яг * зг—Э - четно» число {5= 4,6,■ ••) 06* i » наилучшей для класса (рг!} талдатсп единственная квадратурная фориула, опрзделя-Экзя коэффициентам!

Гг-Ь.1.....,

* .2 •

Л =-^--...... V

* (2г-5^2)! 4 • а 1

= 1,2 ,... , .Л'-й)

/ ¿л<*> й-Ю ЬЫ / (гг-$*2)\ /л] 2г_5+а

к уадаии

)0)л. .....ЛГ-4)

Пр отоы для клаосс Л 2 (уя) имеет место соотношение

ГДО

Г

Теорема 2Л.2. Среди воевоэковных квадратурных формул вида, (0.5) точных для 1Ш0Г0ЧЛ31ЮВ степени на вние 22-1 с любиш : I коэффициентами Л^ и увдаки хк , где е, 5 - фиксирован- > Ш0 натуральные чиола, §?яе » лг-Э четное чиоло (5=-4,б„|)

а ^ хв < < ... < «5 £ , ваилучиай для клэоса ; \ совпадают о наилучшей квадратурной формулой.1 | вида (0.5) для класса ЛЦ^'^р (Р• При отои для классе; имеет ыаою соозйоиенае

Теорема 2Л.ЗТ Для кдасоов Л^'^Т, Д»^*'$>Т<I»р

наилучшие квадратурные формулы вида (0.5) совпадают о наилучшая для класса квадратурной формулой вида

(0.5), где ~ фиксированные натуральные числа, ,

ЗЛ-% - четное число ('5=4,6,...) , О £ Хв < х, <... <

' При этом для классов Я[*!'!)Т, ¿р , Л^Т^р (р?1) имеет место соотнопание

йЛр'Ч! = МГ ^ -

Глава 3. Б этой глэве, применяя метод коллокации к краевым 88дзчэм, строятся наилучшие го порядку квадратурные формулы для классов

при о<с¿ц и для класса Л^М Н ^Уг=/,2)при с1> ^ .

Двно непосредственное доказательство сходимости ыотодэ коллокации а найдена быстрота оходамости для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к интегро-диффвренцивльных уравнений типа Фредголыго.

3 § 3.2 деется понятие метода коллокации для интегрального уравнения Фрэдгольаа и для обыкновенного линейного иятэгро-диф-фера ¡идеального уравнения

Тжч = у (2% - X[хЧ™+ + /(1: ш>ч(кЩ Щ я к*)

О К=0 о / л

пра краевых условиях (0.7).

В § 3.3 определимая следувщне классы функций. Опредзление классов.

I. Классом

ейзяячаи множество всех фупщМ Ч(Х) аедввных на отрезке /"0,1/, нзпрернвнше я иыеспих изпр?; :гг );>« производные до ж- го порядка включительно нз отреш.а /0,1/.

2. Классом Н(и)(0,0 обозначим икояестао Дикций

е С(м>(о,0 Уз производные которых удовлетворяю! уело- ' • зав Липшица саэпени о коэффициентом ¿, , т.е. условию ''

таз % и - гшбые мчки из /0,1/> ^ ~ в.°с~

юянноо число. .

3. Кдессои ЖЯШ(0,1) обозн&чии шюаесгво функций

* Ц(х)еСС1,>)(0,1) 0 П9Ы непрерывно«« , удоалеето-

~ родии Еоравонсасу г? » где ^¿Г) - звдвнный

модуль иопраршшоеиц ¿О(оф »та» /у С*") - у(х'))

(ои%',хи* £)• * . • -

(И) ! !

. Классов Л§тг - обозначим шшеотво решений ;•:

краевой аадачл {(0.8), (0.7)} при г! задали /<¡0.9), (0.7)1 кр ¡:=5 , дал которых вЫ- <М,а,... ,аг-а) I

: розноиерно ознооягваяо -е '. " ■• ¡;

1с)Г?Щг,2 С1"-*'-) обозначай цадаосздо функ-% ций Л^- овабкаавое кэраой^ V

6". Кдеооом У/^^Шц'рИеЛ2)о&эначии иногао гво

; ^йварй краевой задача |(0.8), (О,?)/, при Г«1 к авдазд | (0,5)5, (0.?)) № («2 » дая кого рык . - |

..(к=а,1, .,.,£<?'-&) равюиврво относительно £ .снабженное вдрг V'-. . 7. Вдоосои •

обо значим инохасто эадт {(9.8),{0,7)}й1О И задачи ,

(0.7)} при 2 , для которых fa) eVHw(0J) ,

(K= 0,1,2,..., 2г-а) равномерно относительно i .

8. Классом сЛдт^W (¡-¡А) обозначим ыногество решений Даевой задачи /(0.8), (0.?)f лргт t=i я задачи ■{(0.9), (0.7)} при i=5 , для которых .fft) € C(mCoti)

е CiM)fo,J) , £«(*.*> € €Гя,,СМ> CK«i.i,a.....гг-а)

равномерно относительно £ .

. (зг)

В § для двббй функции уOt)&Jl$Ti 0>i,2) найдено интегральное зрвдмавкеше погравкости лриблкнзнных реиений, воз-ннкаюдас при решении краевой задачи /(0.8),- (0.7)f и задачи {(0,9), (0,?)/ методом комоквдаи. Введем условия:

A. Коэффициенты а«.(к) 0,1,..., 2г-2) я свободный члзн /<5?; принздлеяат классу £[0,1] .

Б, Дифференциальное вырааеняо при краевых условиях

(0,7) ииает функции Грина .

B, Краевые условия (0.7) являются свыооопрямншпи,

Г. Л не является собственниц значение« краевой задача {(0.8), (0.?)} . Д. Ядро ёк (X,i) (к-0,1,2, ...,2г-2) принадлежит класоу <C(D) . где if .

Е, Д- нэ является собственный значащей задача {(0.9),

(o.vy.

Б § 5,5 рассматриваются квадргщрпыз формулы вядз

о а к» о

где - прибгазонпиа pc-isnn краевой гадзчп /(0.8), "0,7)

'иля 38д8чи {(0,9), (0.7$ i ,;/ , ; ,

1t - фиксированныа натуральные чгспз. Hjcts Я - < '<z,Qir ;! класс функций. Классом обозначиа vsoaeorsn рзЕ^ша

краевой задачи {(0.6), (0,?)[ при t>i и задачи /(0.9),' (0.?)^ При i=5 , для которых Н уоц(х)€н .

' (К- 0,1,2,..., 22-2) равномерно относительно

Введем в рассмотрение'величину

Определение 3.5.1. Квадратурную фор^лу вида (O.II), определенную увлага и коэффициентами {х*, S*(t)h незоваи наипуч-г вой по порядку на классе Л^И > воли

?Jt I

Я • i

В asou параграфа среди квадратурных фориул вида (0.11) строг asofi нзилучвиа по порядку квадратурные .формулы для клаосов ; J

v Щч^н • riei-a) ' ■ ii'

где %л(х) - приближенное решение ведечв .•{(O.e)i (0.7)} или {(0,9), (0.7)^, вайденное по иатоду коллокоцйй; Докавадц следу-: вщцв Хбороиы,

Теорама 3.5Л. Пусть

1) Выполнена условия А,Б,В и Г. '• [

2) 2 качестве узлов коддокации выбраны корни орюгоиального | иногочлена Степана в весои ' р(х) , где р(х) - i J неотрицательная суммируемая функция на /Ь,1/ такая, что .

*/р(х) Дяязоах . j

3) Цриблиаашше реиекия краевой задачи |(0.Q), (0.7)^ опро-,

делятся по формуле

K'i

где функции Uнп(х) являвеся решенавш уравнения tg%> - ¿к* (*) * «ра краевых условиях (0.7), где

Тогда

I. Коли КВ8ДР8ЧГ1Ш8Я фор^яа шдз (0.5) шя ыпогочланов степеш но виде ¿г- А » и среда Е ¿с«). , -с'драда формул вида (0.11) класса

идоая по порядку, шзэдрахурнея да». определяемая ко* циенмш

,21+*

3,1 Х(4) (1 = 0,1,... ,г-<) .

ПеХ(3г'е'Ь! (¿'ОЛ*,...,**-') ■ (олз)

а уэлоан , . '

Пря этой дая юооа ■ нмт ывото ооотвоЕвше

г до Су ^(лг;) - наилучше при блика ни а непрерывной функции $(2г)(х) алгебраическими ыногочпенаш степени не вшо И- на отрезке

Ог». м . (аг-ак)! №-х)1кГ ':

шюгочлан Ленандра стелек: 2? , со охарв«ш коэффициентов, равный единице. . •

2. Приближенные роцешп . равноыорго сходятся виеото

оо своими производными до порядка .2?-.* включительно, к точному решении у (к) краевой задачи ^(0.8), (0.?)^ в к его соотваг-ожвущиы производным с бистро юй

0(Еп(^Ьф 22-1) '

и посладовотсльносеь " ¿»'/"Ы сходится к ^ореднегаадрз-1Ично о весок- р(х) с быстротой

Лкалогичныш расоугдошпщл теороиы 3.5.1 доказывается, что. для классов и Л^ХУ/.^ • наилучше по порядку

квадратурные формулы вида (0.11) совпадают и-утверждение 2) тео-реш 3.5.1 справедливо для в в дачи {(0.9), (0.7т.о. доказана теорона 3.5.2.

Теосэмэ 3.5.3. Пуо»:

1) выполнены условия Б, В и Г;

?.) 2Ш0ЛН9НЫ условия 2) и 3) георааы 3.5.1;

• 3) коэффициента а свободный член

4(2) глффароициапыюго уравнения (0.8) принадлежа! :слзсоу :{?/<*)(а,1) (о<01и£) . 2огда • ^

I. Вода газдрэгурная формула вида (0,5).при* 3 = 2 точна для . 'лгогочявиоа авапааа пэ вша 22-1 , ао среда кводрагурных формул вида (0.11) суцвсгауех для класса эд^м) пра

.. 0 1 "'Г

< 1 по и луны» а по порядку кпадрэздпзя формуле, определяла коэййяциаатзма (0.13) и узлаш! (0.14), Прз зюи для класса

ил аг

.»2,3

?дз ~олэт:ша С! е:э асзпсиз па os ti ni 02 > он 'зовисиг

лольво 02 -,П , ij - + ¿ > О . kojiot0hto,

з'сзпслзэя сг а, . • •

2г-а

аг-«-/ гл

С^ - ЧДОЛ» оочэгзний 153 771 ЭЛбУЗВГОЭ ПО I (£~07'1,.:,?п)

mar

oss.kjít

" Л _ = шах и^-%1 ,

2. Приближенные решения (я) равномерно сходятся вместе со своими производными до порядке 22-1 включительно к точному решению у(х), краевой задачи .{(0.8), 0.7)^- и к его соответствующим производным -о быстротой

(им.....

и последовательность сходится к у(2г>(х) среднеквадра-

тично с весом р(х) о быстротой

Аналогичным рассуждениями теоремы 3.5.3 доказываются, что для классов

Л^ЩН™ наилучшие по

порядку квадратурные формулы вида (0.11) совпадают и утверждение георэмы 3.5.3 справедливо для задачи {(0,9), (0.7.

При этом для класса . Л^ХО^ Ш8еЕ 1,0010

6 (АХн«>1 Ж

где величина С нэ зависит ни от н , ни от , она зависит только от Ш

аг-д

г

к* о

В § З.б среди квадратурных формул вида (0.11) построены наилучшие по порядку квадратурные формулы для классов (('1,2) при' с6>1/2, Т.е. доказываются теоремы: * ' Теореча 3.6. Г.Пуоть:

1) выполнены условия Б, В и Г;

2) в качестве узлов коллокации выбраны узлы Чебышева;

3) коэффициенты &к(х) (к=о, 1,...,2г-2) и свободный член

уравнения (0.8) принадлежат классу ЦС'Й^!

4) приблииенныа решения краевой задачи -{(0.8), (0.7)^ определяются по формуле (0.12).

Тогда

I, Еоли квадратурная формула вида (0.5) при 5=5 точна для многочленов отепени 2г-1 , то оради всевозможных кввдратурпых фориул вида (0.11) оуцествуог для класса при оЪ>%

наилучшая по порядку квадратурная формуле, определявиая коэффициентами

(2Ш)

Лх ~ 0 (1*0,1,...,-5-2) ,

А СО .....*-*)

(-1)1(1^- № _ кСн ) (аг)! Гп ,л1-¡Г • ,

(0.15)

и уалаии

аг

ХК= (4К+ т/22+1)иды , (0.16)

При атом для нлаоса имеет место ооогноавние

97'

• 6 [О/Л X Л -£т '

^цлД р, J (22)! • 1 4 у[п' % 2

I

ГД0 п м - ЗшГгггн) агсмзх]

У2г1Я/ — -Ц, • -Ту- 1

к= 2йы , в)*» [2 ф5г7Т

величина С не эовисщ ни от П , ш от , она зависни от «^,

а* = Т и а) , + I .

к=<?

= т* (Л/ , , 4= имя 1акЪ)1

2. При блине в ныв решения -равномерна сходятся вноси

оо своими производный до порядка 2г включительно к точвоиу решению краевой задачи -/(0.8), (0.7)^ и к ого соотвогегаущпи производил* с быстротой

при ~2 .

Теорема З.в.2. Пусть:

1) выполнены условия Б, В, Д и Е;

2) в качестве узлов коллоквции выбраны узлы Чобышева;

3) коэффициент Й-К(х) (к-о,1,2,...,зг-2) и свободный член уравнения <0.9) принадлежат классу УН(с1}(0,0 и ядра

(*Л)«Ш(а)(о,0 (к= 0,1,зг-з) равномерно относительно ;

4) приближении роиания краевой задачи -¡(0.9), (0.7)^ определяются по фориуле (0.12). '

Тогда

1. Вели квадратурная формула вида (0.5) при 5=2 точна для многочленов степени не вше . 2?-J , то среда всеьозиомтк квадратурных форыул вида' <0.П) существует для класса

ирз d> -J- нзилучпая ira порядку квадратурная формула, определяемая коэффиционтвш (0.15) и узлеии (0.16).

При этой для класса . WH(U> имев! и в с го соотношение

где А = L + |Л1 ■/■ Маг • Л- Ъщо •

1 к«о .

2. Утаерздонпо 2 морвыы 3.6.1 справедливо для задачи ^ (0.9), (0.7)} . ' '

Глава 4. В атой главе, применяя метод Галершша к задачам j (0.8), (0.7)} и -{(0.9), (0.7)К, построены наилучшие по порядку т.зэдрзгурпыэ фэриуяы вида (O.II) для классов

jçy, ¿Щмнъ . ^¡глт^

'î нзйдовз бкотротэ оходиыооти и э то до Галер1шна.

В § 4.2 даетоя понятно ггэгодо Гзлеркина для краевых задач -{(0,8), (0.7)} и -^(0.9), (0.7)^ и опрадалеше функции Хеара.

В § 4.5 для любой функции ^(пу&Я^ найдено интегральное

. прадставление погрешности при бликеиных ранения (*) , возника-• дядей при решении краевых задач ^(0.8), (0.7)^ и -/(0.9), (0.7)| аеходоы Гзлэрышэ, itorqpua составляют содержание reopaa 4.3.1 и 4.3.2.

Пусть 1{>(х) , %(*}>•■■, ^(х) система функции, удовлетворяющих дифференциальному уравнению' %к№) лри краозше условиях (0.7), где функции Хввра.

Предполоким, что приОгавениов .решение краевой задачи /(0.0), (0.7) j- а задачи {(0.9), (0.7разыскиваетоя в .виде

, (0,17)

В § 4.4 озроятся наилучшие по порядку квадратурные ^рмулы вида (0.II) для классов и Л™> (î*l*t)

s.е. доказываются следующие теоремы.

• Теореио 4.4.1. Пусть:

1) выполнены условия А, Б, В и Г;

2) система функций tfK(%) являются ровенпями уравнения

= У-кМ .....«) прк краевых'условиях (0.7);

3) приближенные решения краевой задачи -{(0.8), (0,7)f определяются по формуле (0.17).

Тогда

1. Если квадратурная формула вида (0.5) пра S-2 точна для Ишгочлолов столэлл но вше *2?-i , то ореда всовоэпокиых квадратурных формул вида (O.II) существует для кдессо JlgTs IV наилучшая по порядку квадрвтурная формула, опроделпаная коэффициоа-тош (0.15) и узлами (0.16).

, При этом для класса Л^ииее* место соотноаа кие

х -ff ■

2. Приблиавеные решения fyn(x) poBEouapuo сходятся виэсте оо овонаи производными до порядив 22 включительдо к гочиому решению у(%) краевой задачи |.(0.8), (0,?)^ и к его соохватсхвущии производив с быстротой

&fíWc = 0(En(tf2ZH) (e-o.t.a.....

где - нэилучвео ровно мерное приблихекзе nonpapsstofl

функции у(2гЩ многочленами по системе Хворо порядке не вше к.

Аналогичный» рассуаденяяыа теореиы 4.4.1 доказывается, что угверкдения георемы 4.4.1 справедливо для задачи -|(0.9), (0.7)[ в классе A^W •

Долее, в § 4.4 доказывается

Теорема 4.4.3. Пусть:

1) выполнены условия Б, В и Г;

2) оистеиы функций являются решениями уравнения У <2í)(k)~ Хк^ при краелых условиях (0.7);

. 3) приближенные решения краевой задачи -/(0.8),,. (0.7)f опра-

дедашсе я формуле (0.17);

Ц «овффмдагаша й^Щ (к=*(М.....гг-а) и свободный член {(X)

" йяф5лзр'ёвдг'«жьиого равнения (0.8) принадлежат классу . Фогдз

I, Если «жадраизгряал формула вида (0.5) при б=2 точна дл.. икзгоче9й>о& емяагш «а кышд ¡¡г-1 , то среди всевоэиоякых ква-дретсурних формул вида (ОД!) существует для класса Яр^УРНц)

наилучшая по по ряда у квадратурная формула, определяемая коэффициенте га (0,15) и узда^я <0,16).

При эизы для кдаьоз ]Х/НМ место соотношение

уъ

где

= ¡Ц{2г)(Х)1 .

2, Приближенные расе ни я */пО$) равномерно сходятся внеси оо овоиыи производными до по ряда а 22 включительно к точно ну решена» ^(я) краевой задачи ^(0.8), (0.7)^ и к его соответот-вувщац производный о быстротой

Ь(%).- Й%|/с - О(а)ф) (е«

' Аналогичншш рзссукденияии тзоромц 4.4.3 доказываем«

Теорема 4.4.4. Ясли выполнена •

1) условия Б, Б, Д и В;

2) уоловия ¿) и 3)"теореиы 4.4.3;

3) коэффициенты ' (О**) I ядра ¿кО.-ИеУ&'НфСо,!) равномерно относительно 4. ¿(хУеМНюС.И I ®о утверждения твороии 4.4.3 спра-

ведливы для класса

9Т3 **

При эгоы для класса Л^ WHu) имеет necio соотношение

яг-а

где + ЩМзг .

К-0

Если £<)(*) =.¿.л0* (аих-а ; o<o¿$<l) i ю класс WHw (о. 1) совпадает с классом . WtíM,fo,))• Тогда доказаны, что утверждения теорбмы 4.4.3 и 4.4.4 справедливы для классе J^WH^ (i-iiS) . При 3I0U

Ыл£«>п х £ <£ .

где. г з

к^ - дм/« , í^oí = (^z+jy,

И By<*(x)-y<'falc= Q(-L) i,зе) .

В § 4.5, используя результат И.И.Соболя-о приближении футс-. ций из класса WHlel'(o,¡) чостныш сушами из рядз Фурье-Хаарз, • строятся наилучшие по порядку квадратурные фориулы вида (O.II) при u=2"»fi для клвссоз (a «¿ai ; 1=1,2)'.

Глава 5. 9 этой главе, применяя .метод.коллоквции и метод Галэркина к уравнению

27 0*" pzr'faj H3S

-Z k (V В + [<!(*>' (0Л8}

itei ^

при граничных условиях

= цФ) (J^) »o (0.19)

11 (*,в) = ll'V (M ("r-2,...,s)'

- 35 -

построены наилучшие по. порядку кубэаурние формулы вида

Цис*м*м = 11и +

00 ао I ц

^ ^ »2 Г'исхМ _

к=о тп-о ОХ.

КМ)] + й....., (0.ЭД

гдо. . .....; .....

рованныа натуральные числе, приближенные решения крае-

вой задачи {(0.18), (0.19^ , для классов Лмг^™'™^ У ™

» ЛдЦУНи, » г.е. результаты главы 3 и 4 по построению наилучших по порядку одномерных квадратурных формул вида (0.11) пареиооятоя для кубатурныэс формул вида (0.20) на множествах рише-ний краевой задачи -((0.18), (0.19)/ .

В § 5.2 опредаляююя оледующае классы функций. Определение классов.

1. Совокупность нетривиальных решений уравнения (0.18) вида

Х(х)Т(4) при граничных уоловиях (0.19) обозночиц черва А* •

2. Классом уЛв/ц назоваы ыножеохво решений Щху^еЛд удовлетворяющих условиям

' ' /1 ...

3. Классом ; Я назовел ынохеогво решений

краевой задачи {(0.181, (0.19)/ , у которой коэффициенты"

Ьк(*) (к*м,...,к)> ■

4. Классом назовем множество функций Ч(х,Ь)е Ад краевой а а дачи {(0.18), (0.19)/ , у которой коэффициенты

(/-¿,2,...,22), £(х) принздла-

нат классу . ■ !

5. Классом Ял^Ни обозначим множество решений краевой задачи /(0.18), (0.19)/, у которой коэффициенты

г,» 4(*) •

принадлежат классу '¡¿/'{{¡¿(о^) .

В § 5.3 доказывается, что решение %(х,-к) краевой задача -{(0.18), (0.19)/ , принадлежащей клвооу Л^* зодзетоя формулой

*1 А32*3*

ЯМ = М^рЛ^В) 0 ¡¿бс{8 , о А®

где 0) ,

- функция Грина дифференциального выражения при граничит: условиях

= = о (1=1*3,...,г) (0.2

$¿(¿>8) - функция Грина дифференциального выранения при граничных: условиях

Я(Г'}(х,р)=11(*)(х>1)= О (0.2

В § 5,4, используя метод коллокации, построены наилучшие по порядку кубатурные формулы вида (0.17).для классов

Пусть V - заданный илаоо функций. Классом .назовем множество решений До/

краевой задачи {(0.18), (0.19)/ , у которой коэффициенты

.уравнения (0.10) принадлежат клвссу У . Введем в рассмотрение величину

V] = м {.»г

Определение 5.4.1. Кубетурную формулу вида (0.17), определенную узлами и коэффициент!!! , ЛЩ'^} ' назовеы . наилучшей по порядку но классе у , если

/хг„М

ие ' ътъъ

Пусть и ■{^>1,(^1 ~ системы ортогональных алгеб-

раических многочленов относительно весов (х) ( и но от- 1

резке /0,1/, ври зтом Ур1(я) ¿М, У[?(4) л,]>{} . •

В качество узлов коллоквцин либореи"точки

I

где и --пум многочленов ¿<)и/я) и соотвот- I

егвенпо ( II и\,2(1) - многочлены степени и, и соответст- -Е91Ш0). |

Пра блике ш:иа ре се кип (*)%&] краевой задачи |

|(0.18), (0,19)[ определены по методу коллокэции, где (%) и |

- приближенные решения краевых вадзч |

[7 Х(») г и (х)Х<-Ъ) + У. П,(Х)Х% +((х)Х(У.)^ГХ(:>А , (0.24) |

, (о.25)

та; э + щгпш^хта), (°-гб>

- Т -0 .....*) . (0.27)

Используя теорему 3,5.1 доказываются теореыы; Терраиа 5.4.1. Пусть:

' I) Коэффициенты .....2$)

£(*) и уда принадлегат массу ССо^] \ аричеи а-зг(х)фа

2) Дифференциальные выранения Х(*}х) и ооответотг ,

ввино при граничных условиях (0.25) к (0.27) имеют функции Грине

и *

5) Краевые уоловия (0.25) и (0.27) язляююя овмооопряквшшии.

4) Краезыа задачи

ЦХ(*)=о , ' •

; (0.28)

= .....г)

ГДТШ ~о >

г/^ад - .....$>

•имеют лишь тривиальное решение.

•5) £ лочеотве узлов коллокэцнц выбраны узли (0.23). -б) Квадратурные формулы 1 • л<и хг~г , ■ I

\rnbi ^ , «2: X з£ т аЬш)

0 К-0 £=0 О ЩеО /'»О

тточны для воох многочленов отспони .и 2$-1 соответственно.

-7) «к "и Д/^ ; - узлы

и коэффициенты наилучшей по порядку квадратурной 1оркулы вида

I I зг-г

с о к-о

$хш*+^>4 Iх [ (*<)] +-

с*=а

* ^П-^Ш (0.30)

для клаооэ_ * ' .

В) 4п и 1 (111-0,1..........~ узлы

- и коэффициенты наилучшей по порядку квадратурной формулы виде

о о -И!=0 ^Мгд а

- ДЛЯ КЛ8008 Арц Ща,ря .

. Тогда для класое имеет ивою соотмоитике

-При эхон нвилучцей для кяэсоа порядок погрешности кубэтур-

ной формула гидо (0.£0) рволизуо® кубатуриоя формула с коэффш.-юн-

хвт ;иузл^ (як,Ьт)=

.....ли ; ,

-где д,

я. _ ^мг

«[2(>/гГ* .2 ; г, ^з)

- «НОГОЧЛвИИ ХЗЕЗНйрз СМПОВИ со старший

коэффициентом, ров ним одмипдо,

- причеи ЕП1(Х(гг,(й))и ЪПх(Т("Щ - наилучшие приближения функ-

- ций Т(г>>а) соответственно олгебрзичесшши иногочле-.иаии отоиепи.ие выаа и но' отрезке ¿Ь,1/.

- теорема 5,4-.2, Пусть; ' ■

• - I).Коэффициента ,'зг) и функция принад-

лежат' классу

, в коэффициенты $к(1) и функция принадлежат клзосу ^('«з)^) .

2) Виполиеиы уоловия 2)«3),4),5),6),7) и В) таорекн 5,4.1,

то Для клаоов Лш при' а<<1*1 : акнет иеото

ОООТНОШОШЭ • ■ 4 1 ■; ! 1 , - ;

- НО _

При згой наилучший порядок погрвинсохи кубэгурной формулы вида (0.20) роолиэует кубатурная формуле с коэффициентами Jl(t'l%Я^В^ и узлами (*K,iw) = (*к Лт )

t~ü,l.....2?-2 ; ju-0,1,...,2$-l) ,

где

С, -2 дЫf« % +^(k м

О / Ъ \0

гдэ Ох и Сг т вявясяг от и , они завися! только ог и vt-г .

В § 5.5 приближенные рзпешя W^ni^ крэавой задачи -{(0.18), (0.19)1 » ио^льзуя функции Хазро,опрсдолены по погоду Галаркиш и построены наилучшие по порядку куботурние формула вида (0,20) для классов и .

. Доказаны следующие теораиы..

Теорема 5.5.1. Пусть:

1) Выполнены условия i),2),3),4) к 6) seopawi 5.4.1.

2) Система функций л явдггйхоп равешякк уров-ноиий Vkm^X.М и (Ь) соответственно при краевых условиях (0.25) и (0.27).

3) Яриблияеиные роиеная краевой задачи (0.18), (0.19) оп-рзделяются по формула

, И* \ / Пд 1

- (ü

узлы

и ковффициенты наилучшей по порядку квадратурной формулы вида (0.30) для класса Jkay W •

5) К и 0= .....^ • • •'2 )

- « -

узлы и ноэ^ициеяты нви'лучшай по порядку квадратурной формулы зида (0.31) для класса Ла^ W .

Тогда для класса Лп]у имеет меото соотношение

При этой наилучшей для класса AaW порядок погрешности кубатур-ной формулы вида (0,20) реализует кубатурная формула о коаффициеи-«зли и уалэш! ~ ?

.....; e=ati.....,

О , „ £[n[(&i+l)ascca$%] .

^ '/l - ,'i

корена 5.5.2. Пусть:

;;) Коэффициент djte) (K=i,n>...,2s), -ff*),

f(i) принадлежит классу V/tfaifM) и выполнены условия 2),3), 4) л 5) теорэиы 5.4.1 я условия 2) и 3) георэмы 5.5.1.

2) я* 'и (K=*a,it...,jv,-i\ ,гг-2) узлы

:л коэффициенты наилучшей по порядку квадратурной формулы вида

(0.30) для класса Л.^Ш• '

■ — *. — h'i

3) -tm и Ъ^ (weo,i,...,jva-i ;ynse,i,...,a$-a) уаям и коэффициенты наилучшей по порядку «ведратурной формулы вида (0.31) для ю18с0э •

Тогда для клвсоа j^iVifa} имеет место соотношение

-42' 1 1

j^ig x jjk* -

1 O ü

»

При bïou нбилучшй для классе WIw mvr&r. еэгрозиоога кубе турной форыулы вида (0,20) рэализуег квадратурrs»- фэрдуг:; е еое;.. фицзвятвш и увлаш • зд >

•M«M ~ ' ïrr » (I f ' Vi ''

; m-о,d,; С- o,i,...At-z \ju-o,i,...,2&-2)

Основное содержание диссертации опубликовано, в следующих рвбозвх:

лак об Р.Ц, Наилучиис квэдрмурныз формулы х- классах дкффэ-ротируемых функций«, Докл. AI! Азерб.Респ., I9B5, s.XLI.të 6 с.З-б.

2. Алиев P.Ií. Наилучшие квадратурный формулы для дифферент®-' руаках функций, Докл.АЦ Азерб.Респ., 1285, т..Ш,(й 7,

с. 5-7.

3. Алиев P.tJ. Некоторые экстремальные задачи для квадрату pía: формул. Докл.АН Азерб.Респ., 1987, г.Ш/, У б »

k. Алиев Р.У. Применение проекционных штодов к построению наилучших квадратурных формул на множестве решений краев;, звдоч. Доки.АН Российской Рооп. 1989, т.305, » 3, с.525-5 5. Алиев P.M. Наилучше квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функций. Докл.АН Российский Fací 1989, г.ЗОб, Кг I, O.II-I5. б» Алиев P.M. Оптимальные r.s$дретурныо формулы на множестве-ранений креавцх эбдач. Диффоренц.уравн., 1989, т.25, & 7 0Л16Ы171.

7. 1лааз P.ii. Наилучшие хвздрэ®урные формулы в классах диффо-ренцирувшос дикций. !iatep,Kon$. по прнкл.нвтем. и ч>зх. !1зд. "Эли", IS84; «.35-37. 3. ¿Ъливв P.M. О сходимости метода ионе шов для шдагрзлышх •л дифференциальных уравнений. Учен.зап.БГУ им.У.Расулзаде, Вопросы лрмкл.аатэи..и зсиберн» Баку, 1977, o.I07-II3. э. Алиев P.M. О сходимости нем да ко л локации ддя интегральных /рзвненмй. Неучи.труды. '¿Запросы прикп.матзи. и киберн. Баку, Злы» 1279, й I, с.35-39.

йлаев P.M. Построение заияучйнх по порядку куйагуриых фор=,. ;зуд. Эксгрэиалыше задачи чеории.приблииеняя л их прилоае-'.тя. Тезисы дскл.Раоп.иаучн.аонф, Пиев, 1990, с.7.

УДК 517.5

р.м.ашЕв

База дофаренсиалланан функси^алар синиф^ лэраяд® квадратур дтстурлар тчгн ексгро-. мал мэсэлэлар вэ проекса¿а тсуляаршык' ' тэртийинэ керэ ан ^адпи квадратур дгстур-ларын гурулмасыяа тэтбагв.

X У Л. А О Э

ДиссартасяЗада мтэ^ен дафаренсиалланан фукксп^алар . ошшфлэриадэ вэ сэрЬэдд мэсад&щя Ьэллари чохлуеувда « С.Ы. Нпколски мэ"насывда эк шадрвдр дтстуряар

гурулур. .

Диссертасизада илк да?» «арат дафорапсиал тэнликлэрвЕ тэгриби Ьэллвряццэы иствфадэ ода рек, ада гэття диференсиах, вэ антэгродифвренсиал тв{ииклэрвн в» етсуса терэмадя хэтта дифэренсаад тэнликлзрия Ьэллэра чохлущада твртибияэ пер® гп ¿азшы квадратур дустурлар гурулур,

Гурулан квадратур дтстурларан дт^тк кггголэря. эмсалла-ры вэ ояларын хатаен эикар шэкшщэ тапылыр.