Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Приближение дифференируемых функций двух переменных билинейными сплайнами

§1.1. Классы функций. Определение билинейных сплайнов.

Вспомогательные факты.w.

§1.2. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами в каждой точке области.

§1.3. Точные оценки погрешности интерполяции билинейными-. сплайнами на классах функций. -.

§1.4. Точные оценки одновременного приближения функций и их производных интерполяционными билинейными сплайнами.

Глава II. Точные значения квазипоперечников некоторых функциональных классов

§2.1. Постановка задач о вычислении квазипоперечников.

§2.2. Точные значения квазипоперечников в Ъ& для некоторых классов функций.;.

§2.3. Точные значения квазипоперечников.для классов дифференцируемых функций в С.

§2.4. Квазиподаречники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта.

Глава III. Восстановление значений линейных операторов, определяющих решение некоторых краевых задач

§3.1. Постановка краевых задач.

§3.2. Некоторые свойства ядер Kfi(t) и Фp(t).

§3.3. Наилучшее приближение ядер XpftJ и ФрГи тригонометрическими полиномами в метрике

§3.4. Наилучшее одностороннее приближение ядер

Kp(t) и Фрси в метрике Lf.

§3.5. Восстановление решения краевых задач Дирихле и Неймана с помощью тригонометрических полиномов в метрике Lp f1<g>$x>;.

§3.6. О восстановлении решения краевых задач по усреднённым значениям граничных функций.

§3.7. Оптимальное кодирование и восстановление операторов решения краевых задач по заданной информации о граничных функциях.

§3.8. Восстановление решения краевой задачи

Дирихле для шара.

Глава IV. Оптимизация квадратурных и кубатурных формул : на классах функций малой гладкости

§4.1. Постановка экстремальной задачи теории квадратур.

Классы функций.

§4.2. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

§4.3. Оптимизация квадратурных формул для класса W(1 ^L

§4.4. Наилучшие кубатурные формулы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью для классов !^MJL и W(unL. ц. «Л)»

§4.5. Наилучшие квадратурные формулы для классов Н и Я

§4.6. Наилучшие кубатурные формулы с весом для классов rrf*(G).

К настоящему времени в теории приближения глубоко и тщательно исследованы задачи, связанные с аппроксимацией функций одной переменной. По этой проблематике, берущей свое начало от основополагающих .работ Вейерштрасса и Чебышева, написаны десятки монографий (см.,например,И.П.Натансон [743,В.Л.Гончаров [ЗЭЗ,Н.И.Ахиезер [43, А.Ф.Тиман [943,О.М.Никольский [771, Н.П.Корнейчук [50,53,541, В.К. Дзядык [431,В.М.Тихомиров [953, P.J.Davis И003, G.G.IiOrentz [1073 и другие).

Особую роль сыграли пионерские работы А.Н.Колмогорова и С.М. Никольского, связанные с.решением.экстремальных задач, когда надо найти точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном классе функций и указать для этого класса наилучший аппарат приближе-. ния фиксированной размерности. Усилиями многих математиков и, в первую очередь, учеников и последователей Колмогорова и Никольского, такие задачи решены. в одномерном случае для наиболее употребляемых классов функций. Однако оказалось, что разработанные методы . иногда существенно используют одномерную специфику и не срабатывают при . исследовании экстремальных задач на классах. функций двух и большего числа переменных.

Поэтому, естественно, что в . последнее время внимание многих специалистов, работающих в области теории аппроксимации, обращено на экстремальные задачи приближения в многомерном случае. Другое направление, которое сейчас интенсивно разрабатывается, возникло на стыке теории приближения и численного анализа. Оно связано, во-первых, с оптимизацией приближенного интегрирования, а вовторых, с восстановлением значений у=Аг оператора А, когда известна неполная информация об элементе х. Оказалось, что разработанные в последнее время методы и полученные результаты в теории приближения позволяют и в этих задачах находить в ряде случаев точное в том или ином смысле решение. В диссертации, состоящей из четырёх глав, решается ряд конкретных экстремальных задач, связанных с: а) приближением функций двух переменных (главы I и II); б) восстановлением значений линейных операторов (глава III); в) оптимизацией приближённого.интегрирования, то есть с оптимальным восстановлением линейного функционала (глава IV).

При решении указанных задач в качестве аппарата приближения используются интерполяционные сплайн-функции, тригонометрические полиномы и блендинговые конструкции (обобщённые полиномы и смешанные сплайны).

Среди актуальных задач теории приближения особое место занимают экстремальные задачи, связанные с приближением функций сплайнами (кусочно-полиномиальными функциями). К настоящему времени ап-проксимационные и экстремальные свойства сплайнов достаточно хорошо изучены. Этим вопросам посвящён ряд работ, наиболее важными из которых являются следующие монографии: Дк.Алберг, Э.Нильсон, Дж. Уолт [6], С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин [873, Ю.С.Завьялов,Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко 1473, Н.П.Корнейчук [53,543, Н.П.Корнейчук, А.А. Лигун, В.Г.Доронин [513, Н.П.Корнейчук,В.Ф.Бабенко,А.А.Лигун [563. В перечисленных монографиях в основном рассматриваются решения экстремальных задач теории сплайнов для функций одной переменной, а экстремальным задачам, связанным с многомерными сплайнами, уделяется значительно меньшее внимание. По сравнению с одномерным случаем, исследование экстремальных свойств многомерных сплайнов и приближение функций многих переменных значительно усложняется ввиду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с многомерностью. В частности, область, на которой осуществляется приближение, может иметь весьма сложную структуру, в результате чего возникают трудности при описании дифференциально-разностных свойств функций многих переменных. При этом усложняется и приближающий аппарат. Поэтому точные результаты в задачах многомерных сплайн-аппроксимаций известны в редких случаях.

Отметим, что некоторые результаты окончательного характера, связанные с приближением функций двух переменных локальными сплайнами, получены в работах В.Ф.Сторчая [88,893 ,В.Ф.Бабенко и А.А.Ли-гуна [93,В.Ф.Бабенко И23,О.В.Переверзева [81,823,А.М.Авакяна [13, С.Б.Вакарчука [303, G.Birktoff,M.Sclmlts,R.Varga [973, R.Carlson, C.Hall J983, C.de Boor И013. Изложим основные результаты диссертации по главам. .

В первой главе рассматриваются задачи одновременного приближения функций двух переменных и их частных производных билинейными интерполяционными сплайнами и их соответствующими производными. Указанные задачи рассмотрены на классах функций, задаваемых модулями непрерывности.

Пусть ftC(G), где G = [0,13х[0,13. Через C(r's)(G), где r,s -целые неотрицательные числа, обозначим класс функций f(x,y), обладающих непрерывными частными производными где г и q К s. Далее, при r=s=о полагаем G(a,aJ(G)=G(G) с обычной нормой f(hq3(xry) = dl+clf/dxldycl

Специфика двумерного случая позволяет функции ftC(G) сопоставить как полный модуль непрерывности: us(f;t,i) « sup у* e;|: t, т}> где (хч ,y*)f(x* \y44)eG, так и частные модули непрерывности: Mf;t,о) = амр ^\f(a:1,y)-f(xf,ty)\: о s у

- = sup [if(x,y')-f(x,yr)\: |о л х характеризующие изменение fix,у) вдоль каждой переменной.

Модулем непрерывности функции /€ 0(G) также называют функцию sup |jf(x\yl)-f(x* ,у*\)-f(x'\y')+f(х\\,у")\ :

При определении приведенных ниже классов функций f(x,y) предполагается, что feG(r~1tS~1)(G) (r,s 2 1 }

Через ff(ris)rf* fr,s=o,iобозначим класс функций, у которых производная f(r,s)(х,у) всюду в G существует,кусочно-непрерывна, допускает перемену порядка дифференцирования и для любых двух точек (х\у*),(хщ\,у")eG удовлетворяет неравенству \fSr>s)(x',y') - f(r's)(x\\y")| < где' (lift,т) - заданный полный модуль непрерывности. , tflj.

Будем говорить, что функция f е If1 >'Н ' , если она имеет кусочно-непрерывную производную f(r,s) (х,у), удовлетворяющую для любых двух точек (х* ,у'(х* ч ,уч • )zG условию гдe b3j(t) и uz(t) - заданные модули непрерывности.

Через обозначим класс функций, у которых существует кусочно-непрерывная на G производная fCr'a)(x,y)f удовлетворяющая для любых двух точек М*fx* ,у*Jf* * (х'* ,у• * )еС? условию l/^-VjfV - f(r'a)(M' ^ w[p(M4 )], где р(М';М'\) = / (х*-х")2 + (у*-у")2 -- расстояние между точками и ¥**, a o)ft; - заданный на отрезке Со,ч^З модуль непрерывности.

Через V(r>a)lt** обозначим класс функций, у которых существует кусочно-непрерывная на G производная f(r'a) (хгу), удовлетворяющая для любых двух точек (х\,у*}, (х'' ,у* * )eG условию f(r>B)(x',y')~ f(r'a3(x\y")- f'^WWH f<rfa3(x'\y")| S wJli'-i'-My'-y'lJ, где w^ft- заданный модуль непрерывности.

Вместо W(o>o)H\ W*0'0^1^2, W(0>0)lF>sr будем соответственно писать ffw, Я '' 2, Я*0'2» Я^*.

Зададим в области G сетку Дтп - Д® х Д^, где

Af ; х, = i/m (t=o7m); А* : у = J/n (J=o7n),

Ш X 71 J которой задаётся разбиение квадрата G на ячейки

Guj = [xi-i*xi3 х [yj-i>yj]> (

Поставим в соответствие каздой ftC(G) функцию S. Jf;x,y) € G(G)r i • 7 однозначно определённую условиями:

1). на каадой ячейке G. (i=l ,т; J=1 ,п) функция S, Jf;x,y) является алгебраическим многочленом первой степени по л: и по у;

2). Su1(J;xvyj) = f(xt,yj) (i=o7m;J=o7n).

Если 5Hr'afr,s=o,l ;-один из определённых выше классов функций, то требуется найти точное значение величины .etWcnVPj.Wsup {\e(b<i>(f )ic : /em7*'5} (0.1) для I < r, q £ s; 1 < r + s £ 2, r,s=o,i, где еп><*>(?;х,у} = f(l>q)(x,у) - S'^W,у), (l,q=o7T) - погрешность интерполяции билинейными сплайнами. Порядковые оценки величины, аналогичной (0.1 )1 но для иных , классов функций, имеются в монографиях: Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж. • Уолш [61, С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин Е87], Ю.О.Завьялов,Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко [47]. Оценки, связанные с наилучшим выбором точек интерполяции функции f(xrу) многогранными линейными функциями, содержатся в работе В.Ф.Бабенко и А.А.Лигуна ЕЭЗ .Интерполяцию непрерывных отображений кусочно-линейными рассматривал В.Ф.Бабенко t123.

В одномерном случае задача (0.1) для класса 1ГгЛо,1 J (г=о,1) исследовалась В.Н.Малозёмовым [67,681,А.С.Логиновым [66] и другими.

В случае приближения функций двух переменных билинейными сплайнами первые точные результаты решения задачи (0.1) принадлежат В.Ф.Сторчаю [88,891. Он доказал, что для произвольных выпуклых модулей непрерывности wft,s;,ufe;,w,ft;,u2W имеют место равенства

Эти результаты относятся к случаю l=g=r=s=0. В случае l=q=r~s=-\ О.Б.Вакарчуком [30] найдено решение задачи (0.1) для класса lf (1f1 № с произвольным полным модулем непрерывности wft, t)z ,

1/т 1/п

1'1)(W(1>nl?) = roi.J J w(t,i)dt йт, о о В . двух крайних случаях, задача (0.1) для класса W(1>1 V была решена. Оставалось найти точное решение указанной задачи в случаях 1=г=1, q=s=о z l=r=o, q=s=l для класса irfr's и при Кг, g < s; 1 r+s < 2, r=s=o,t для остальных введенных выше классов функций.

В ходе получения точной оценки погрешности интерполяции e(f;x,y) в кавдой точке (xry)^.Gtj (1=ТЩ; J=i ,nj на классах функций важную роль играет Лежа 1.2.2. Пусть fzC(1>0)(G)n G(0>1)(G) и S, t(f;t,t)-билинеОжт сплайн, ттврполирущий функцию /(t,i) б узлах (tt,ij) произвольного разбиения G^ = tti1,tilx[ij1 fij] (i=t,ni;J=i ,n) квадрата G. Тогда в каждой точке {x,y)zG, . выполняется неравенство

•;.- —■ f(x,y)- Su1(J;x9y)\ $ (t.-x)'(x-t УТ*Г*1 -1 ft,-t. v;2 J - 4

- * i l-f . о « неулучшаелое на всел множестве Gn'0)(G)n C(°>1)(G).

Если же feGV^liG), то в каждой точке {x,y)tG. . справедливо . w ■ неравенство . (t -x)'(x-t ) (l,-y)*(y-t. J , - s с . Л • 4lV • ' ^Z1 ж

1 : («г*^2 r

X J J О - о неулучшаелое на всел множестве С(1>1 *(G).

Из леммы 1.2.2 при равномерном разбиении квадрата G следует

Теореш I.3.I I 1.3.2. Пусть (t ),шг(1) и г произвольные выпуклые лодули непрерывности. Тогда для любых т и п справедливы равенства: . . п 1/т 1/п efgWe^п - l.j ^(tpt , J.J i-О \ ' . "V О ;

1/т 1/п г^Ра^] = ■■■;—*.[, { ^(t.vatto.

- " ^ о " о

Если же (Dr(t) и w£(t)- произвольные лодули непрерывности, то

- £(|ГГ'^ЯШ"Иг п »<о-')я(Й"Шг] =

9 J/1* е о ' о

Цри получении точных значений величины (0.1) для 1 $ $ 2, r=s=o,i на перечисленных классах функций широко используются свойства разделённых разностей функций двух переменных. Эта техника даёт весьма удобное интегральное представление погрешности интерполяции частных производных функций соответствующими производными билинейного сплайна. В результате получаем следующее утверждение:

Теорема 1.4.1. Пусть o)(tfT)-выпуклый модуль непрерывности по переленной л. Тогда имеет место равенство

1/т о

Если же a(t,i) является выпуклым модулем непрерывности по переменной t, то .

1/п

Одной из центральных в данной главе является

Теорема 1.4.2. Пусть ш(0)- произвольный лодульнепрерывности. Тогда для любых т и п илеет лесто равенство t/ж 1/п tf^jfffb'^'2) , | o)(/t2 + V jdtdT. о о

Если же - выпуклый лодуль непрерывности, то для любых т и п справедливы равенства л/м * m.J o)(/t2 + 1/4пг jdt, о

1/п

J>flW,23 - n'l w(VWz + Т2' )dT. ', ■ i о

Во второй главе, на основе Олендинговых методов приближения (blendlug-approxlmatlon method), вычислены точные значения квазипоперечников некоторых, классов функций. Интенсивное развитие смешанных (blending) методов приближения функций многих переменных в работах А.И.Вайндинера [27,28], Н.П.Корнейчука и С.В.Переверзева С52], О.Н.Литвина £653, С.Б.Вакарчука [29,311, W.Gordon [1023, W. Haupmaim, K.Jetter, B.Steinhaua [1093, J.Лезрегзз, E.Cheney [1103 , и других, позволило расширить рамки применения названных методов и эффективно использовать их при решении задач оптимизационного: содержания. Определение понятий различных квазипоперечников компактов на основе блендинг-методов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач, теории приближения, круг которых для обычных n-поперечников очертил А.Н.Колмогоров [1043. *

Напомним определение, квазипоперечников для функций двух переменных.

Пусть (X, |»lx) и (Yr |»| ; - некоторые линейные нормированные пространства функций одной переменной, а v.= Cv (х))ш U = (и (у))п их конечномерные подпространства, то есть У^ с х, и с у. Выражение вида

ТВ п где f(p и Гф (у))т - наборы цроизвольных функций, принадлежапщх соответственно пространствам X и Г, назовём обобщённым полиномом, порождённым подпространствами Vm и Un.

Известно [23,110 ], что обобщённые полиномы указанного вида образуют подпространство G(V,U ) ^ У ФУ + хт * яг п' .т п* где операции "Ф" и обозначают соответственно операции декартова „ произведения и прямой суммы ^множеств.

Обозначим i< • ■ •• f>G№n))z^ {i/-^/;!^: ^^,^;}, (0.2) ,

Q'W^nVi' sup : /€*}. <о.З)

Величина (0.2) характеризует наилучшее приближение фиксированного элемента / е Ш множеством G(4^tUn)t а величина (0.3) - отклонение множества Ж от G(Vm,Un) в нормированном пространстве (Zr\»\z) i Для центрально-симметричного множества Же Z величину ; сУ} .<??«> называют квазипоперечником множества Ж по Колмогорову [104]. - Величины, аналогичные (0.4) изучались в работах В.Н.Темлякова

93] и М.-Б.А.Бабаева Е83. Точные значедая квазипоперечников некоторых функциональных классов найдены С.Б.Вакарчуком [31,323.

Пусть w -множество натуральных чисел, А=[о,2х], Аг=АхА, Ъг(й.г) - множество 2тс-периодических по каждой переменной функций f(xry), для которых

И*- ^:f{Я lf(x'y)l<т' ' А* 4

Через. (г,sew) обозначим множество функций feC(hz),.y которас-//.^(хф)€0(6*-)~ (v=o,r-i, производные l p.=o,s-i) vl f(v>s) fv=o,r-i) всюду на А2 существуют,кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования, a f (r*s}(х,у)

Для произвольной функции f(х,у) € ligfA2) определим смешанный модуль гладкости где ъ р ,

1>sO |l»0 '

Пусть Qj(x) (XX);J=1,2) - положительные неубывающие функции, удовлетворящие условию ., lim Ф.(х) = Ф.(о) ® О. х+ а ^ - .J

Через Сг,5€«н; обозначим множество функций / € для которых. }(Х,у) при . О < и, V £ 21С удовлетворяют условию I ,'Го о " " *' '" " ' ■

Обозначим

1-созШ)ш, nt « %;

1-coarit J™ nt > %. f Имеет место следупцее утверждение.

Теорема 2.2.1. Пусть функции, <bj(x) <7=1 ,2) удовлетворяют условиям

• jPft-coat• slnrt/li^dt < 2\х^(х) о при любыхи цхэ. Тогда при всех т,п&н справедливы равенства

Пусть Wj(x) (x>o;J=1,2; - произвольные, выпуклые возрастающие функции, для которых lim f Jx) - - О. ж* о J J

Через fr,s€w; обозначим класс функций /eLgV5/А2;, удовлетворяющих при. о < и, v $ 2% условию и V о о

Теорема 2.2.2. Пусть для любого заданного де(0,1Ьи для всех Л.Х), Х€{о,%Ъ~функири Vj(x) (J=1,2; удовлетворяют условиям J Г1 -cost < ГЛлг;»J (1 -coat ;*dt. о ~ о

Гогба Одя любых m,new uieem лесто равенство ^J*^ '[ J ft-cp3mt;kdtj .[ J Г1-созпт;ь(1т| .

Отметим, что условиям теорем 2.2.1 и 2.2.2 удовлетворяют, например, функции [913 2

Фш(х) = & /169 Фш(х) х\ где а

Множество мажорантных'функций этим вовсе не ограничивается.Используя определение и некоторые свойства правильно меняющихся функций Ъ(х)Л(х) из [833, можно построить широкое множество мажорант вида

Ф^ = Фш(Х)гЪ(Х)9 Щх) « Ъ,(х)'1(х)г для которых выполняются условия указанных теорем.

4epe3 Jf^'s(A2^ (г,sew обозначим множество функций ftCr~1>s~1 у которых частные производные (х,у) (\ь=Щё) и f(v*s)(xrif) v=Qfr) всюду на А2 существуют, кусочно-непрерывны, причём аир {\T(r>s)(x,y)\: (х,у№г} < U

Через 1Г>в(Ьг) обозначим класс функций,тригонометрически сопряжённых по обеим переменным с функциями f(x,y) из класса

Сформулируем основной результат из параграфа 2.3.

Теореш 2.3.1 к 2.3.2. При. любых m,n9r9s е м справедливы равенства где |bj - целая часть числа Ь; КрГ Кр - каштхнш Фавора (сл., например, С543;.

В параграфе 2.4 второй главы рассмотрена задача построения ку-батурных формул для приближённого вычисления многомерных сингулярных интегралов с ядрами Гильберта. Предложен метод оптимизации ку-батурных формул, основанный на теории квазипоперечников и аналогичных идеях конструктивной теории функций. Отметим, что изложенный оптимизационный подход к приближённому „вычислению сингулярных интегралов ранее нигде не рассматривался. Все известные автору результаты (см.,например, [35,363) касались лишь построения конкретных кубатурных формул на определённых классах функций.

Пусть - некоторое банахово пространство вещественных функций s переменных f(x) = f(x1fxz,.m,xs) ая-периодических по каздой переменнойЛ (J=T7s). Xе/> -банахово пространство функций f(x1,.,xJ^9xJ+1,.^,xs); е zf imj&H)

- подпространство размерности т^ с базисом {ф^*^^^ J (J=THs).

Положим

• si я4 ж I S—7 Rt. S—I - ш т, ■ I S где операции и «ч» есть соответственно декартово произведение и прямая сумма множеств. Элементы множества £?s можно представить в виде обобщённых полиномов порядка = {m1tm2,*.,9ms} ранга s-1, линейно зависящих от функции s-1 переменных [283 : т. s-1) V2, g (х) = ^ ^. фЛ (х- х3).ф (Xjh (J) (j)m

Пусть ; = - множество непрерывных операторов, переводящих Xs в Gg то есть Хв -*■ G fu^1 * f. Л. ;

S 1 S

Рассмотрим многомерный сингулярный интеграл с ядром типа Гильберта

V - = [ /го;. Д ctg da, Q где QS « х = о= do = daT*do2* -. »dos. Интеграл понимается в смысле главного ; значения по Коши £35],и будем рассматривать его как оператор, действующий в пространстве X . Аппроксимируем его плотность / различными выражениями,вида }(f). Тогда принимая за кубатурную форS мулу для = Is(f,x) выражение

V/ = ^ (т**х-

-- S~' S • s ^ di ® и, полагая" = I / - обозначим

- -s

5 s~ xs /€* 1 s "V X шfs-П fs-JJ I « m, mfi - JXe s в "j .

Эти величины характеризуют качество кубатурной формулы / для

- S : сингулярного интеграла If на множестве Ш с X . Если U(J) с х. s mj 7 экстремальные или фиксированные подпространства размерности т. и оущвотвув!чшвраюр для когорт ШПО^СЯ ОЖО

8 - S из условий- ~

• • • Х- * чм*

В S s s S

S А I4 'I

• ■ • • s S то кубатурную формулу Is(f,x) * }(f),x^ будем называть соответственно оптимальной,асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Ж среди всевозможных кубатурных формул вида i f (s-1)

S S •«.-•.

Рассмотрим далее важный в практическом отношении ^частный случай, когда — - множество линейных непрерывных one-: раторов, переводящих Хв в Gs с Пусть Л^ - (J^T^l ~ произвольные набор! линейных непрерывных функционалов, определённых на Хр и линейно независимых при каздом фиксированном «/. При этом каждай функционал действует-на /(х;= f(xirx2,. .,xs) как на функцию, зависящую только от одаой переменной Xj при фиксированных xf,.mm,xjj,xj+jp.rxs. Под Aj понимаем непрерывный линейный оператор, переводящий Xf в конечномерное подпространство , span я првдставимый в виде h=1

Тогда каждый линейный оператор выражается формулой

В в s-t) Ли (

J— • •1» j k * * Л X

V^ Vv ft,; fk.j --- XT V **->> (0.5) где J -единичный оператор, (Д*В)/ - произведение операторов 4 и Б, V s flcp J fbj

7 ■ n ih » j.♦»,' * n, *t' <**>> f 2* ' J J Y=1 V V jfk.; flt,Jr OL ) , (k.) v . .

Используя выражение (0.5), запишем кубатурную формулу

-*- ' в

• ) > О X j (ъ) (к )

V. ) п л v fx J (/), (о.б) - vet v j где kVliXj) = I1(^\xJ) (к=л J=i,s).

Полагая для остаточного члена формулы (0.6) s . s представим её погрешность на классе It в.виде

As /cm "*■ s

При помощ и соотношения определяем оптимальную оценку погрешности кубатурных формул (0.6) на функциональном классе Я. Если существуют множества функционалов fX.i® и непрерывных функций таких, что имеет место одно из условий .

- ■ —■ - , - . g то кубатурную формулу (0.6), в которой вместо л,-я Л, использованы fW. . г*

R » назовём соответственно оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Я. Если фигурирующие в формуле (0.5линейные операторы (J-Л ,s) - проекционные, то

Л^5 1; можно рассматривать как линейный проектор, действущий из

X вТ(? . В этом. случае оптимизационные характеристики (0.7)-(0.8) П. ресс^н,» ряда, зада,

S . S ■ оптимизационного содержания, связанных с методами смешанной аппро-. кешцт многомерных сингулярных интегралов, нам понадобятся сле-дущие определения ЛЗЧ ,32].

Пусть 31 <; Xs - центрально-симметричное множество. Тогда вели-.

6L. (*,XJ^int аир ~ toil . ,

•-■ . -. I В.*.

Inf

-w. mm •' * j*-»»-^

ШХ аирЦ b^ A^-^l % к(в-1 )яГ ^ m( n n( в)* ? ' "X^

-"ё i - л rx*4? (IP ,». 'a /€51 s s

И; «■ s V

- ^ .даейннйоператор, переводдий Xfi в Gs, называют coot

• I'M.»' "-si ветственно колмогоровским и линейным квазипоперечниками множества Я.Ранее величины, аналогичные сЗ^ , изучались в работах [8,931. V

V V • В

1фоекционным квазипоперечником назовём вв! (ft,XL в ла inf - sup .

- v.-• . -5 - - • где^-Ц^"^?;;- непрерывный линейный проектор, переводящий X • в G . Пусть Jt.c Xs - класс функций, тригонометрически сопряжённых к элементам класса 5lc Xs, aftc Хв - класс функций, тригонометрически сопряжённые к которым входят в 31. Символом ЬрШ5)» обозначим множество таких гтс-периодических по каждой переменной функций /(х;, для которых i

PJp|jj/w|PdLcjP < со, Кр«х>, = Yraisup {\f(x)\:xeQsl<<*>.

Под G([)s) понимаем множество непрерывных в Qs гтс-периодиче ских

- Г "" по каждой переменной функций f(x). Положим rs = где df . ,+r r1— г jTfre; — в-' V/Лс, . г

Введём множество Л *fQ .) заданных в s-кубе П 2х-периодических то каждой переменной функций f(x)= /(х]гхг,.гхв), у которыхчас--тные производные 5 (х19хг1.:,х9) ftfc=0,rfc-l, непрерывны в а производные 7 Н-'- ' t / всюду в О существуют,существенно ограничены, кусочно-непрерывны и

- 5 —• " • допускают перемену порядка дифференцирования. • г : • - . Г I

Шд If *(й ^{ч&Кт, г €ZS; понимаем класс функций /сЛ 5fO Л JP" S S + ----------- S

I ) I rJP для которых I/ L « 1» а под Пр №в) - множество 2тс-периодических по каждой переменной функций f(x)\ тригонометрически сопряжёнг ные к которым Т'ФЛ принадлежат классу 1Град полагаем р S

Справедлива следующая

Теорема 2.4.1. Пусть X - одно из пространств L (Q ), К р < <л

S S или 0(Qs),класс 51 с Xs и соответствующие елу класса 91 и Й являются кситашншсига оператор I действует в пространстве X. Тогда

VM ■ В | « ьтл,).

В*- J I'-^fi'V' S> ' s - ъ с*»1.''- Чн («Д5) = «« «Д.* Sv J5 ' " • s. гОе и € z®, S - +

Из теорем 2.3.1 и 2.4.1 вытекает

Следствие 2.4.1. При всех ms с z* справедливы, равенствагОе - целая часть числа, а Kr , - констант Фавора. ■

Одням из основных результатов §2.4 является -Зтврвт 2.4.4. Пусть Mfi е и 1 <р<« . Тогда vfev-w1) л*

• Я • 1 s J — 1 J M'p^-vM R и & [«доар*».' s s » (?

•— • г0е б качестве; Ц,. выступает любая из величин 7т ., Ум и Ти , о б

- - ■ в'" —■■ . — в в'т" ' - S качестве Ц, - любой из квазшитеречншюв ик^ s s . S. В третьей главе диссертации, состоящей из восьми параграфов, рассмотрен вопрос оптимального кодирования и восстановления решения краевых задач математической физики по информации о граничной функции. Краевая задача Дирихле .для - бигармонического уравнения формулируется следущим образом: требуется найти бигармоническую в единичном круге V = {(х,у):х?+у2=рг <11 функцию u(p,t) (О < р.< 1, О х t С 2*), удовлетворяющую уравнению gp'Je^Vu = ° (0-9) для которой «fp.tJI^- g(t), —— \р=1 = о (0.10)

Решение задачи (О.Э)-(О.Ю) существует и задаётся формулой (см.,например, [96,с.3983)

2с u(Pft) u(gip,t) l.J Kp(t-u)g(u№r о где ядро Xpft) определяется равенством l-fFf'Ci-P'Goat) 1-pz ' 2»| 1-2*p»coat+pfy

Краевая задача Неймана для уравнения Лапласа ставится следующим образом :найти гармоническую в единичном круге D функцию иj(p,t) (0<р<1, удовлетворяющую уравнению - ^♦'Je --Ч. „ (0.11, и двум граничным условиям .

Ои { f* = V(t>> ' J Ф^^ 85 О. (0.12)

Решение^задачи (0.11)-(О-12) определяется с точностью до постоянной и задается формулой:г% p;p,t; = G1 + С, = const, о где ядро epfiJL имеет вид р*

Г = X I"4 cosftt» 0 < Р ■< 1

Отметим, что для выяснения дифференциальных свойств бигармо-нических и гармонических в единичном круге функций, с целью приложения к теоремам вложения краевые задачи (О.Э)-(О.Ю). и (0.11) -(0.12) были исследованы Я.С.Бугровым £24]. Здесь рассмотрен вопрос нахождения точных значений наилучших приближений ядра и решения краевых задач Дирихле и Неймана триго-неметрическими полиномами. По заданной информации о граничных функциях находится наилучший линейный метод восстановления решения указанных задач в метрике Lp при р=1 и р=а».

Пусть множество тригонометрических полиномов вида а п~1

Tn1(t) £ (a^coakt + p^slnfctj порядка п-1. Тогда величина жп(*)р tat lp-' V.«£-.}„ есть наилучшее приближение функции cpft; множеством K^n-; в метрике В > ходе изучения вопроса о восстановлении решений указанных краевых задач тригонометрическими полиномами важную роль играет : Теорема 3.3.1. Для всех пдо и p€f0,lj справедливы равенства^ в-с&р), = 4.arctgpn + 2.(1-рг)*тц>п'(1+ргпГ1г ш n(2v+1)n Р

W. - й- - '-J**у®о * а Из этой теоремы и общих теорем двойственности вытекает Теорема 3.3.2. ~Для всех пен и реСопри р=1и:р=ю илект лесто соотношения

Р л mil "

•«V1 р - О

Аналогичные утверждения в параграфе 3.4 доказаны для наилучших односторонних приближений ядер и решений сформулированных выше краевых задач.

В §3.5 рассмотрены вопросы восстановления решения задач (0.9)-(0.10) и (0.11 )-(0.12) тригонометрическими полиномами вида а .X ^

Т- yMWP, 0*\wt)-= -22~s + ) ЯьГаьсоз^ f p^aiiikt). (0.13) Ьг i в метрику когда известны значения первых 2п-1 коэффициентов Фурье граничной функции <p(t): а^(<р) fft=o,n-i),:

2г=1 ,гс-1). Приведём, например результаты, подученные для задачи

Нэймана. Теорема 3.5.3. Для погрешности, восстановления решения uff(p;p,tj задачи Нейлона (0.11)-(0.12) трагонолетрическил полхшолол (0.13) в летршю Lp справедлива оценка аир int |и,Гф,-р,- гп .(и,ГФ;Р,*;Д;| = г "Ifl-<1 - " р р

If. р fn P f

0.14) о гдевектор \l° = . J определен равенствами, t9*""' ш п2вп * ^ Х^МтЭЙЯГ ♦таят] = ш 'Zsn+h -Zsn-k

2sn+k Р

Or,

Неравенство (0.14) неулучшаемо при р= 1 и p=m. i

Из неравенства (0.14) сразу вытекает, что для щЪ (1$р&>).

Использование тригонометриче ского полинома (0.13) позволяет получить также следующее утверждение

Теорема 3.5.4. Справедлива более тонкая оценка

Существует функция <poeL с нормой 1Ф| < 1, для которой в (0.15) при р=1 и р=со имеет место-знак равенства.

В параграфе 3.6 рассматривается.вопрос восстановления решения задач Дирихле и Неймана по усреднённым значениям граничных функций.

В параграфе 3.7 рассмотрена задача оптимального кодирования восстановления значений операторов, общая постановка которой принадлежит Н.П.Корнейчуку [58,105]. В другой постановке, задачи опР о тимального восстановления линейных операторов и функционалов рассматривались в работах О.Б.Стечкина [86], Н.О.Бахвалова £161, Ю.Н. Субботина [903, В.В.Арестова [7], А.Г.Марчука, К.Ю.Осипенко [69], В.Л.Beликина [34],А.А.Лигуна [106], А.А.Хенсыкбаева [46], А.И.Гребенникова, В.А.Морозова [40] и других. Задача оптимального кодирования в общей постановке сформулирована в монографии В.М.Тихомирова [95].

Пусть li Y - линейные нормированные пространства,^ - линейный непрерывный оператора X в Y, Жя -набор заданных на X* линейных непрерывных функционалов ц,, гдэX* -пространство, сопряжённое к X. Каждому зхХ сопоставим вектор информации т(х,мя) ■•«■ (\ijCx), ^fx;,.,^^;;, (0.16> который можно рассматривать как кодирование элемента х точкой из R*. Если 51 - некоторое ограниченное множество в X, то положим *

0Ш,А,Мя)г « sup - AylY: х,у&; Т(х,Мя) = .Т(у9Мя)^ \*W,A,Y) = lnf {GCSt,A,MN)Y : V**}.

Если 3t - некоторое выпуклое центрально-стме тричное множество в X, то согласно результатам работы [1053:

G№,A,Ms)y *: 2.3up ЦАХ\Г: хеЯ, Т(х^^О), (0.17)

- Пусть А = Ак -оператор свёртки^ с 2х-периодическим ядром K(t).

Полагаем f " Ак<р = Ж*ф, если : г% Ajtft) = (0.18)

Как правило, априорная информация о функции <p(t) задаётся классом Лр(К,) = ftp: ф = Я,»ф, |ф|р < fJ, где К, - некоторое другое ядро. Очевидно, что .}. - выпуклое центрально-симметричное множество. Пусть вектор информации (0.16) имеет вид шТ a Hgnf - множество тригонометрических полиномов шрядка не выше п-1. Тогда согласно (0.17)

Если Kj(t) Brft; многочлен Бернулли, то как известно [543

Ap(Kj) = Лр(Вг) = ИГ (г**л ,2,., f < р < а,;. В случае К=Яр и Я=Фр справедлива следующая Теорема 3.7.1. Для всех 1,2,.; p€fo,i; гфц ри .и р=а» справедливы неравенства ipш -fZv+JJn e ZsTT-Y (-VP<r+1)---^ * ов. — и)"""-p, |P , узо f2vf1* v=o

В: этом же параграфе рассматривается интерполяционный метод *?

2п восстановления в метрике Ър О^рз») свёртки (0.18), где K(t) есть любое из ядер Kpft; или <DpCtJiro информации

В соответствии "с-равенством (0.10) будем иметь.

G&^'^p -- «Ф {^J W^'^Hp"' ^ ГГФ,!^; = о}. о

Одной из центральных теорем данного параграфа является .

Теорема 3.7.2. Для всех ,2,., pefo,i), и 'справедливы неравенства ■

-Щъ^^У'* v "У* *

При r=1 u справедливы более точные результат:

V^OC'Jk,' < сК- v "Уо о v«o

В последнем параграфе 3.8 глаш 3 результаты о приближении функций билинейными сплайнами из главы 1 использужггсяпри восстановлении решения краевой задачи Дирихле для шара. При этом доказывается, что погрешность восстановления решения указанной задачи совпадает с погрешностью приближения билинейными сплайнами.

Четвёртая глава диссертации посвящена экстремальным задачам теории квадратур. Кратко изложим содержание этой главы.

Пусть Ж - некоторый класс функций f(t), определённых на отрезке fa,b J; q(t) - положительная суммируемая на ЕагЫ функция, удовлетворяпцая условиям: \) q(t) непрерывна на интервале (а,Ъ); 2) q(t) монотонна-в некоторых окрестностях точек а и Ь, если она там неограничена. Набор узлов 21 := {Ч}^; •• ««*, < — < *п и коэффициентов Р = {р^^ определяет квадратурную формулу ь п \q(t)'f(t)at « £ PfcVfV * Rn(fwT>p)> (0.19) a Jt=J

Величина

Rn(%;q;T,P) = sup /е*} (0.20) определяет наибольшую погрешность квадратурной формулы (0.19) иа . функциях класса Я. Требуется найти величину

JJM;q) = lnl Rn(M;q;T,P) (0.21 )N а также указать векторы узлов и коэффициентов

Г* - f = для которых в (0.&1) достигается точная нижняя грань, то есть nm;q) = Rn(W;q;T*,P*).

Постановка этой задачи и первые основополагапцие результаты принадлежат О.М.Никольскому £75,78].Задача (0.21) в случае q(t)-J для различных классов функций исследовалась многими авторами. Наиболее существенные результаты принадлежат Н.П.Корейчуку и Н.Е.Луш-паю [49], Н.П.Корнейчуку [ 48 ],В. П. Моторному [71-73], А.А.Женсык-баеву [45,463, А.А.Лигуну [63,64], Б.Д.Боянову [19], В.Ф.Бабенко [10,11,13,14], К.И.Осколкову [80] и многим другим. Результаты этих и ДРУ™,исследований^приведены Н.П.Корнейчуком в дополнении к книге О.М.Шпсольского [78]. Тем не менее, существует ещё много классов функций и определённых интегралов, для которых задача (0.21) не решена. JC, их числу относится, например, задача о нахождении оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью следующего вида [601 1

JJltidt, f 0<s*1), (0.22) о на классах ¥fr;bp =: W(rJLp(1;0,1 )f 1 < р

Для интеграла (0.22) желая указать зависимость квадратурной формулы (0.19) и погрешность (0.21) от параметра s запишем их в вида j п ^ J^^dt = £ Pk*f(tM) + (0.19)* о * „ . k® J £<s)(W;q) = Inf в*я}(П;Г9Р) n n

Пусть E1 (UO,1} - класс функций , удовлетворяющих на отрезке [0,11 условию j/W- Т(*'-)\ * -*'e,|7" t'pfcfOjJ.

Ясно, что-If^ В следующей теореме для интеграла (0.22) при на классе И1 найдена оптимальная квадратурная формула с фиксированными узлами на концах отрезка интегрирования (квадратурная формула типа Маркова).

Теорема 4.2.1. Пусть s=1. Тогда среди квадратурных формул типа Маркова, оптимальной, для класса Появляется формула о ' ■ ' Ъ=1 погрешность которой равна

Для произвольной положительной весовой функции q(t) и М = If*1* =:W(1 *L(1 ;0,1) доказано следующее общее утверждение. (

Теорема 4.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (0,19) наилучшей для класса W( 1 }L( 1 ;0,1) является формула 1 п q(t)f (t)at - f(th) ±. RJf w)>

О Ъж1 где узлы th определятся из система 1 тм) = .ву -WO), ffc=lTn); F(t) - fqWdu.: J

При этол, о

Из этой теоремы, в частности, следует

Теорема 4.3.2. Среди квадратурных формул вида 0.19)9 при. (Xs<1, .наилучшей на классе W(1 является квадратурная формула

О К , Ъ=1 погрешность которой равна п Г Ч ~ ЙС1 -8)П' Отметим, что аналогичные утверждения доказываются и для весофункций q(t) ш [t(1-t)rs, О $ s < 1, и результаты; всех одномерных теорем соответствующим образом обобщаются на двумерный случай. Приведём один из таких результатов.

Цусть If(tt1)L = W(unL(1,G) - класс заданных на квадрате G =£0,1 ]х[0,1 ] функций /(t,i) у которых существуют кусочно-непрерывные частные производные f(0t1 ^tft), f(1t1)(t,т; удо-: влетворяжщие условиям:

U1,(-'->U<o> " I J < 1,

-(G) 1

0)\l я l\fCU3)(t,0)\*t $ 1, 0 1 о

Рассмотрим сингулярный интеграл вида

S(f)>* J J ^'^iltdT, О < s,k $ 1, (0.23) fG; где G = .fO, f Jx f 0,t J. Для вычисления интеграла (0.23) рассмотрим кубатурную формулу n m

I I VV + Cw <0.24) га; fc^t^f определяемую векторами узлов

--JF,о < t, < t2 < < tn% и : и вектором числовых коэффициентов Р = Требуется найти величину /я1 inf ei та где It - некоторый класс функций f(t,i)y определённых в квадрате G.

Теорема 4.4.3. При О 3 2,7 < 1 среОи кубатурнаг формул виПа (4.4.1) истюлъзцщих п»т значений подынтегральной функции, оптимальной Оля класса W(1,1}L(1 ;G) является формула ins»*"* "

G) Щ Ъ=1 1=1 погрешность каторсй равна

В параграфе 4.5 рассматривается вопрос оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов на классах функций,задаваемых модулями гладкости.

Пусть - заданная положительная функция, удовлетворяющая условиям: ыг(0) = О, О £ « О < в; S ; (0.25)

-о «:: WgfO^; - v>g(Ot) * <VW* о к о, « о2 ; (0.26)

- ) | « )• (0.27)

Будем говорить, что функция f(t) € Я [а,Ъ], если её модуль гладкости sup- |/ftfh; - 2-Яt; + /Ct-^L^bj удовлетворяет условию v*z(Q,J) 3 где шг(Ъ) - заданный модуль гладкости, удовлетворящий условиям (0.25)-(0.27). Соответствущий класс 2и:-периодических функций обозначим Я . Заметим, что а если t?z(Q) = 0 » О < а с 1, то класс Я совпадает с классом Зигмунда f' 0< a ф

В квадратурной формуле (0.19) полагаем q(t)s1 и при вычислении величины (0.21) в качестве It берём Я * и Я .

Теорема 4.5.1. При q(t)=1cpedu всех квадратурных формул вида (0.19), для которых выполнены условия к " п

-tj,:^ а + ]Г Pt - Ръ/2> СМТп), £ « Ь - а. t-J Ъ=1 наилучшей для класса Я является формула прямоугольника

•• Ь п

Ш<и - ^.^/[а^Ггай-г;] * »nW. а !»«J ш fb-a;/2n fb-oV2 fn(ff *] = n.J cDgft^dt = Г ыга/п)йи о о

Теорема 4.5.2. При q(t)sl среди всех квадратурных форлул вида (0.19), дляксторых выполнены условия к п i t, » о, V-2*, tk«£P|- ph/2, (teun)rPl «Рп, ' t«f k*r '■■rr: fUi) наилучшей для класса Я 2 является формула трапеций .

П-1 о к=г

При этом

Из теорем 4.5.1, 4.5.2 в качестве следствия при u2(t)=ta по-т лучаем результаты работы £31 для класса 2й.

Таково основное содержание диссертации, ч - По материалам работы были сделаны доклады:

- на семинаре "Оптимизация методов приближения", руководимом членом-корреспондентом НАН Украины Н.П.Корнейчуком (Институт математики НАН Украины, ежегодно с 1990 г. по 1996 г.)

- на семинаре по теории приближения функций^ Днепропетровского госуниверситета, руководимом профессорами В.П.Моторным и В.Ф.Бабе-нко (Днепропетровск, май 1996)

- на семинаре по теории функций Днепродзержинского индустриального института, руководимом профессором А.А.Лигуном (Днепродзержинск, апрель 1990)

- на Республиканской конференции по экстремальным задачам теории приближения и их приложениям (Киев, 1990)

- на четвёртой Международной научной конференции им.академика М.Ф.Кравчука (Киев,'май 1995)

- на;Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995) По теме диссертации опубликовано 17 работ.

1. Авакян A.M. О приближении функий двух переменных линейными методами// Укр.мат.журнал.- 1983.- 35, J64.- с.409-414.

2. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ъ2// ДАН Тадж.СОР.-1984.-27, Jf6.-c.415-418.

3. Аксень М.Б. Об оценках приближений квадратурными формулами для некоторых классов функций// ЖВМ и МФ.- 1963.-3, JIQ.-с.553-559.

4. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. -М.: Наука, 1965.- 408 с.

5. Ахиезер Н.И. ,Крейн М.Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций// ДАН СССР.- 1937.- 15.- с.107-112.

6. Алберг Дж.,Нильсон Э.,Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.:Мир, 1972.- 320 с.

7. Арестов В.В. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи// Труды МИАН СССР.- 1975.- 138.- с.29-42.

8. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа переменых// Труды МИАН СССР.- 1987.- 180.- с.30-32.

9. Бабенко В.Ф.,Лигун А.А. Об интерполяции многогранными функциями// Мат.заметки.- 1975.- 18, Л6.- с.803-814.

10. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул// Мат.заметки.- 1976.- 19, *3.- с.313-322.

11. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул// Мат.заметки. -1976.- 20, J64.- с.589-595.

12. Бабенко В.Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными// Мат.заметки.- 1978.- 24, Jfc1с.43-51.

13. Бабенко В.Ф. Приближения, поперечники и наилучшие квадратурные формулы для классов периодических с перестановочно инвариантными множествами производных// Anal. Math.- 1987,- 13, М.с.15-28.

14. Бабенко В.Ф. Об оптимизации Бесовых кубатурных формул// Укр. мат.журнал.- 1995.- 47, Л8.- с.1011-1021.

15. Бари Н.К. Тригонометрические ряды.-М. :Физматгиз.-1961.- 936 с.

16. Бахвалов Н.О. Об оптимальных линейных методах приближений операторов на выпуклых классах функций// ЖВМ и МФ.- 1971 .-11, J&4.- с.1014-1018.

17. Бахвалов Н.О. Численные методы.- М.:Наука.- 1975.- 631 с.

18. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближённого вычисления сингулярных интегралов.- Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983.- 210 с.

19. Боянов Б.Д. Единственность оптимальных квадратурных формул// ДАН СССР.- 1979.- 248, JS2.- с.272-274.

20. Боянов Б.Д. Наилучшие метода интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций// Мат.заметки.- 1975.- 17, М- с.511-524.

21. Боянов Б.Д. Наилучшее восстановление дифференцируемых периодических функций по их коэффициентам Фурье// Сердика. Българско математикеско списание.- 1976.- 2.- с.300-304.

22. Боянов Б.Д. Существование оптимальных квадратурных формул с заданными кратностями узлов// Матем.сборник.- 1978.- 105(147), «0.- с.342-370.

23. Ерудный Ю.А. Приближение функций и переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР, сер.матем.- 1970.- 34, JfG.- с.564-584.

24. Бугров Я.С. Свойства полигармонических функций// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1958.- 22.- с.491-514.

25. Вайндинер А.И. Об одной новой форме рядов Фурье и выбора наилучших полиномов Фурье// ЖВМ и МФ.- 1967.- 7, ЛИ.- с.177-185.

26. Вайндинер А.И. К оценке остатка обобщённого ряда Фурье дифференцируемых функций двух переменных// ДАН ССОР,- 1969.- 184, ЯЗ.- с.511-513.

27. Вайндинер А.И. Приближение непрерывных и дифференцируемых функций многих переменных обобщёнными полиномами (конечной линейной суперпозицией функций меньшего числа переменных)// ДАН СССР- 1970.- 192, ЖЗ.- с.483-486.

28. Вайндинер А.И. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости// Упругость и неупругость, йзд-ео Московского ун-та.- 1973.- вып.З.- с.16-46.

29. Вакарчук О.Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых периодических функций двух переменных// Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии.- Киев: Ин-т математики АН УСОР.- 1987.- с.15-20.

30. Вакарчук О.Б. К интерполяции билинейными сплайнами// Мат.заметки.- 1990.- 47, вып.5.- с.26-29.

31. Вакарчук О.Б. О приближении дифференцируемых функций многих переменных// Мат.заметки.- 1990.- 48, ЖЗ,- с.37-44.

32. Вакарчук О.Б. Квазипоперечники функциональных классов в некоторых банаховых пространствах аналитических функций многих комплексных переменных// ДАН Украины, серия А.- 1992.- ЖЗ.— с.26-31.

33. Вакарчук О.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций// Матем.заметки.- 1995.- 57, *1.- с.30-39.

34. Beликин В.А. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной// Мат.заметки.- 1977.- 22, Лб.- с.663-670.

35. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов.I.// Изв. на матем. инст. при Бълг.АН.- 1970.- J611.- с.181-196.

36. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов.II.// Изв.вузов, математика.- 1975,- М.- с.3-13.

37. ГаОдулхаэв Б.Г. Оптимальные аппроксимации линейных задач.- Казань: Казан.ун-т.- 1980.- 232 с.

38. Гиршович Ю.М. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале// Изв. АН Эстонской СОР.- 1975.- 24, J61. с.121-123.

39. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.: Гостехиздат.- 1954.- 452 с.

40. Гребенникова А.И.,Морозов В.А. Об оптимальном приближении операторов// ЖВМ и МФ.- 1977.- 17, т.- с.3-14.

41. Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах// Успехи мат.наук.- 1975.- 30, JfG.- с. 161 -162.

42. Гоголадзе Л.Д. О существовании сопряжённых функций многих переменных// Матем.сборник.- 1984.- 225, JIG.- с.481-488.

43. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.:Наука.- 1977.- 510 с.

44. Ефимов А.В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена.11.// Изв. АН СССР, серия матем.- 1960.- 24, ЯЗ.- с. 431-468.

45. Женсыкбаев А.А. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функцций// Изв.АН СССР, серия Матем.- 1977.- 41, Ш,- с.1110-1124.

46. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы// Успехи мат.наук.- 1981.-36, Л4.-с.107-159.

47. Завьялов Ю.С.,Квасов В.И.,Мирошниченко В.Л. Метода сплайн-функций.- М.:Наука,- 1980.- 352 с.

48. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных// Мат. заме тки.- 1968.- 3, $5.-с.565-576.

49. Корнейчук Н.П.,Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1969.- 33, Л6.- с. 14161437.

50. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.- М.: Наука.- 1976.- 320 с.

51. Корнейчук Н.П. ,Лигун А.А.,Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями.- Киев: Наукова думка.- 1982.- 320 с.

52. Корнейчук Н.П. ,Перевврзвв О.В. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами, построенными на базе одномерных операторов// Теория функций и топология. Киев:Ин-т математики АН УССР,- 1983.- с.43-49.

53. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.- М.: Наука.-1984.- 352 с.

54. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения.- М.: Наука.- 1987.- 424 с.

55. Корнейчук Н.П. О приближении свёрток периодических функций// Вопросы анализа и приближения.- Киев: Мн-т математики АН УССР.- 1989.- с.76-80.

56. Корнейчук Н.П.,Бабенко В.Ф.,Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов.- Киев: Наукова думка.- 1992.- 304 с.

57. Корнейчук Н.П. Оптимизации адаптивных алгоритмов восстановления монотонных функций класса Ей// Укр.мат.журнал.- 1993.- 45, #12. с.1627-1634.

58. Корнейчук Н.П. Об оптимальном восстановлении значений операторов// Укр.мат.журнал.- 1994.- 46, №10.- с.1375-1381.

59. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы.- Кишинёв: Штиинца.- 1984.- 140 с.

60. Лебедев В.И.,Бабурин О.В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса// ЖВМ и МФ.- 1965.- 5, ЯЗ.- с.454-462.

61. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах классах функций// Мат.заметки.- 1968.- 3, Лб.- с.577-586.

62. Левин М.И. ,Гиршович Ю.М. Экстремальные задачи для кубатурных формул// ДАН СССР.- 1977.- 236, #6.- с.1315-1318.

63. Лигун А. А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций// Мат.заметки.- 1976.- 19, Я6.- с.913-926.

64. Лигун А.А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов периодических функций// Мат.заметки.- 1978,- 24, Л6.-с.661-669.

65. Литвин О.М. 1нтерлшац1Я функцз:й.- XapKiB:Основа.-1992.-234 с.

66. Логинов А.О. Приближение непрерывных функций ломаными// Мат. заметки.- 1969.- 6, Ш.- с.149-160.

67. Малозёмов В.Н. Об отклонении ломаных// Вестник ЛГУ.-1966.- W, вып.2- с.150-153.

68. Малозёмов В.Н. К полигональной интерполяции// Мат. заме тки. -1967.- 1, Лб.- с.537-540.

69. Марчук А.Г.,Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение функций,заданных с погрешностью в конечном числе точек// Мат.заметки.-1975.- 17, Л0.- с.359-368.

70. Микеладзе Ш.Е. Численные метода математического анализа.- М.: Гостехиздат.- 1953.- 528 с.тг

71. Моторный В.П. О наилучшей квадратурной формуле видадля некоторых классов периодических дифференцируемых функций// Изв. АН ССОР, серия Матем.- 1974.- 38, JK3.- с.583-614.

72. Моторный В.П. Исследования днепропетровских математиков по. оптимизации квадратурных формул// Укр.мат.журнал.- 1990.- 42, #1.- с.18-33.

73. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами // Укр.мат.журнал.- 1995,- 47, ЯВ.- с.1217-1223.

74. Натансон й.П. Конструктивная теория функций.- М.:Гостехиздат.-1949.- 790с.

75. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем// Изв. АН СССР, серия Матем.- 1946.- .10, JB.-с.207-256.

76. Никольский G.M. К Еопросу об оценках приближений квадратурными формулами// Успехи мат.наук.- 1950.- 4, вып.2(36).- с.165-177.

77. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наук а.- 1977.- 474 с.

78. Никольский С.М. Квадратурные формулы.- М.:Наука.-1988.- 256 с.

79. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью// Изв.вузов.Матем.- 1981.- №9.- с.76-79.

80. Осколков К.И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций// ДАН СССР.-1979.- 249, *1,- с.49-52.

81. Переверзев О.В. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе функций двух переменных// Укр.мат.журнал.- 1979.- 31, Ш.- с.510-516.

82. Переверзев О.В. Точная оценка приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе дифференцируемых функций двух переменных//Изв. вузов.Матем.- 1981.- #12.- с.58-66.

83. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.-М.:Наука.-1985.-142 с.

84. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Диссертацияканд.физ.-мат.наук.-М.-1965.-152 с.

85. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы.- Киев: Наукова думка.- 340 с.

86. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов// Мат. заметки.- 1967.- 1, Л2.- с.137-148.

87. Стечкин С.Б.,Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике- М.:Наука.- 1976.- 248 с.

88. Сторчай В.Ф. Приближение функций двух переменных многогранными функциями в равномерной метрике.- Изв.вузов.Матем.- 1973.- HQ.- с.84-88.

89. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации// Труды Мат.ин-та АН СССР.-1980.- 145.- с.152-168.

90. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа.- М.:Наука.- 1989.- 304 с.

91. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из Ъ2// Мат.заметки.- 1979.- 25, Лй.- с.217-223.

92. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной// Труды МИАН СССР.- 1986.- 178.- с.3-112.

93. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного.- М. :Физматгиз.- 1960.- 624 с.

94. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.- М.: Изд-во МГУ.- 1976.- 324 с.

95. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука.- 1966.- 724 с.

96. Birkhoff G.,Schnlts М.,Varga R. Piecewise Hermite interpolation on one and two variables with, applications to partial differential equations// Numer. Math.- 1968.- 11, JK3.- p.232-256.

97. Carlson R. ,Hall C. Error bounds for bicubic spline interpolation// Jour.Approx.Theory.- 1973.- 7, J61p.41-47.

98. Cheney E.W. Best approximation in tensor product spaces// beet. Notes Math.- 1980.- 73.- p.25-32

99. Davis P.I. Interpolation and approximation.- New York.- 1963.101 .De Boor C. Bicubic spline interpolation// Jour.Math.Phys.-1962.- 41.- p.212-218.

100. Kolmogoroff A.H. Tiber die beste Annaherung von Bmktionen einer gegebenen Punfctionklassen// Ann.Math. 1936. - 37. - p. 107-110.

101. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций// Укр.мат.журнал.- 1991.- 43, ЛИ 2.-с.1712-1716.

102. Шабозов М.Ш. Оценки погрешности кубатурных формул с весом для одного класса функций двух переменных// ДАН Тадж.ССР.- 1991.-J64.- с.221-225.

103. Шабозов М.Ш. О точности оценки погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций// ДАН Респ.Тадж.- 1994.- Jf2.с.10-13.

104. Шабозов М.Ш. К вопросу о приближении функций билинейными сплайнами// ДАН Респ.Тадж.- 1994.- *4.- с.216-220.

105. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами // Укр.мат.журнал.- 1994.- 46, J611.- с.1554-1560.

106. Шабозов М.Ш. К вопросу интерполяции билинейными сплайнами// Допов1д1 НАН Украпш, сер.мат.тех.науки.- 1995.- J66.- с.30-39.

107. Шабозов М.Ш. Интерполяция билинейными сплайнами.-Функциональные пространства, теория приближений. Нелинейный анализ: Тезисы докладов. Международная конференция посвященная 90-летию О.М.Никольского.- Москва, 27 апреля-3 мая 1995 г. с.70-71.

108. Шабозов М.Ш. О наилучшем приближении в среднем ядра бигармо-нического уравнения и некоторых классах периодических функций.- Тези допо ввдей. Четверта м!жнародна наукова конферен-ц!я 1мен± академгаа М.П.Кравчука.- Ки1в, 11-13 травня 1995, с.251.

109. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных фор мул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью// Укр.мат.журнал.- 1995.- 47, #9.- с.1300-1305.

110. Шабозов М.Ш. Наилучшее и наилучшее одностороннее приближения ядра бигармонического уравнения и оптимальное восстановление• значений операторов// Укр.мат.журнал.- 1995.-47, *11 .-с.1540--1557.

111. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами// Мат. заметки.- 1996.- 59, вып.1.- с.142-152.

112. Шабозов М.Ш.,Вакарчук О.Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов// Укр.мат.журнал,- 1996. -48, JK3.- с.301-308.

113. Шабозов М.Ш. ,Вакарчук О.Б. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта// Укр.мат.журнал.- 1996.- 48, *6.- с.753-770.

114. Шабозов М.Ш. Асимптотическая оценка остатка при приближении дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщёнными сушами Фурье// ДоповЗд! НАН Украпш, сер. мат. тех. науки.- 1996.- Лб.- с.28-31.Oil

115. Шабозов М.Ш. Об оптимальном восстановлении и кодировании не-4 которых конкретных линейных опраторов решений краевых задач//Допов1д1 НАН Украпш, сер. мат. тех. науки.-1996.-J89.-с.22-27. .

116. Shabosov M.Sh. On recovery solution of "boundary problem ofNeyman// East Journal on Approximations. -1£96.- Vol.2, JK3.p.415-425.

117. Shabozov M.Sh. On the best approximation of convolutions of periodic functions. Abstract International Conference "Approximation theory and numerical methods" dedicated to the 100th Remes birthday anniversary (Ukraine,Rivne,June, 19-21, 1996).m p.103.