Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов формосохраняющего приближения дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи £

С. П. Сидоров

Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов формосохраняющего приближения дифференцируемых функций

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

25 СЕН 2014

005552881

Екатеринбург - 2014

005552881

Работа выполнена на кафедре математической экономики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского».

Официальные оппоненты: Бабенко Александр Григорьевич,

доктор физико-математических наук, заведующий отделом ИММ им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург

Иванов Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, декан механико-математичекского факультета Тульского государственного университета, г. Тула

Платонов Сергей Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета, г. Петрозаводск,

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

/С _ у/00 Защита состоится <•< >■> ад 'А-*- 2014 г. в 11_часов на заседании диссертационного совета Д 004-006.04 при ФГБУН «Институт математики и механики им,. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук» (ИММ УрО РАН), расположенном по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН и на сайте http://wwwrus.imm.uran.ru/C16/Diss/.

Г? n , _

Автореферат разослан _» ¡-¿х-* л-орл-_2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.04,

доктор физико-математических наук у/, ,„ ../•• В. Д. Скарин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Предметом исследования настоящей диссертационной работы являются линейные конечномерные методы формосохраняющего приближения функций н их аппроксимативные свойства.

Для многих прикладных задач теории приближений зачастую необходимо не просто аппроксимировать некоторую функцию, а приблизить ее с сохранением некоторых ее свойств, связанных с формой функции (положительность, монотонность, выпуклость и т.п.). Раздел теории приближений, посвященный такого рода задачам, называется теорией формосохраняющего приближения.

Одной из первых публикаций по данной тематике была работа Ю. Пала1, опубликованная в 1925 г., в которой доказывается, что произвольную выпуклую функцию можно равномерно приблизить на отрезгл.- последовательностью выпуклых алгебраических полиномов. Конструктп иое док ¡-¡ательство этого факта было предложено Т. Поповичу2 в 1937 г., кморый показал, что если функция / является выпуклой порядка к на [0,1], ю многоч юны Берн-

п

штейна Bnf(x) := ^ f(^)C'nx'(l — х)п~г также будут выпуклыми порядка к ¿=о "

на [0,1].

Интерес к данной проблематике усилился в конце 60-х годов XX века, когда появились работы О. Шиша3, Г.Г.Лоренца и К. Л. Целлера4'5. Они дали толчок работам Р. ДеВора6 по монотонному приближению и работам А.С.Шведова7'8, Д. Ньюмана9, Р. К. Битсона и Д. Левиатана10, Г.Г.Лоренца и К. Л. Целлера11 по комонотонной аппроксимации в 70-е и 80-е годы про-

1 Pal J. Approksimation of konvekse Funktioner ved konvekse Polynomier // Mat. Tidsskrift. 1925. Vol. B. P. 60-65

2 Popoviciu T. About the Best Polynomial Approximation of Continuous Functions. Mathematical Monography. Sect. Mat. Univ. Cluj, 1937. (In Romanian), fasc. Ill

3 Shisha O. Monotone approximation , Pacific J. Math. 1965. Vol. 15, no. 2. P. 667-671

4 Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials, I // J. Approx. Theory. 1968. no. 1. P. 501-504

5 Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials, II // J. Approx. Theory. 1969. no. 2. P. 265-209

6 DeVore R. Л., Yu X. M. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constr. Approx. 1985. Vol. 1. P. 323-331

7 Шведов Л. С. Комопотоппая полиномиальная аппроксимация функции // ДАН СССР. 1980. Т. 250, Х> 1. С. 39-42

8 Шведов А. С. Порядок ко-приближепня функций алгебраичскиыи полиномами // Матем. заметка. 1981. Т. 29, 1. С. 117-130

9 Newman D. J. Efficient comonotone approximation J- Approx. Theory. 1979. Vol. 25. P. 189-192

10 Beatson R. K., Leviatan D. On comonotone approximation , / Canad. Math. Bull. 1983. Vol. 26. P. 220-224

11 Lorentz G. G., Zeller K. L. Monotone approximation by algebraic polynomials , , Trans. Amer. Soc. 1970. Vol. 149, no. 1. P. 1-18

шлого века. Обзор некоторых результатов теории формосохраняющего приближения можно найти в книгах12,13'14, а также в статьях15'16.

В последние 25 лет в этой области шли интенсивные исследования, появилось много новых результатов. Большинство из них касаются оценок величин наилучшего приближения функций различных классов алгебраическими или тригонометрическими полиномами с сохранением формы приближаемой функции. В настоящее время теория формосохраняющего приближения представляет собой сложившееся и актуальное направление теории приближения функций.

Интерес к теории формосохраняющего приближения вызван прежде всего тем, что ее результаты имеют множество приложений, большинство из которых связано с применением в компьютерном графическом дизайне (CAGD, Computer-aided graphical design), для которого вопросы сохранения формы графических объектов являются существенными. В CAGD часто рассматривается задача создания поверхности тела сложной формы (например, фюзеляжа самолета, детали двигателя, архитектурного сооружения) как дискретного набора точек. Чтобы представить тело, необходимо расположить эти точки на некоторой кривой или поверхности. Отсутствие непрерывности производной или смена знака производной первого или даже второго порядка заметны для человеческого глаза. По этой причине интерес представляет гладкое приближение, которое сохраняет форму данных.

К настоящему времени сложились несколько основных направлений исследований в теории формосохраняющего приближения17:

1. Изучение формосохраняющих свойств интерполяционных полиномов (в алфавитном порядке: Б. И. Квасов, F. Deutch, S. Gal, W. J. Kammerer, К.Kopotun, G.G.Lorenz, M.G.Nikolcheva, E.Passow, T.Popoviciu, J. A. Roulier, Z. Rubinstein, J. Szabados, W. Wolibner, S. W. Young, K. L. Zeller и др.);

2. Исследование формосохраняющих свойств сплайнов (в алфавитном порядке: Ю. С. Волков, Б. И. Квасов, Ю. Н. Субботин, В. Т. Шевалдин, И. А. Шевчук, R. DeVore, К. Kopotun, D. Leviatan, А. Shadrin и др.);

12 Gal S. G. Shapc-Prcscrving Approximation by Real and Complcx Polynomials. Dordrecht: Springer,

2008

13 Шевчук II. А. Приближение многочленами н следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992

14 Квасов Б. II. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. Второе издание. Москва: Физматлит, 2006

15 Kopotun К. А.г Leviatan D., Prymak А.. Shevchuk I. А. Uniform and Pointwise Shape Preserving Approximation by Algebraic Polynomials /7 Surveys in Approximation Theory. 2011. Vol. 6. P. 24-74

16 Kocic L., Milovanovic G. Shapc preserving approximations by polynomials and splincs // Computers & Mathematies with Applications. 1997. Vol. 33, no. 11. P. 59 - 97

17 Gal S. G. Shapc-Prcscrving Approximation by Real and Complex Polynomials. Dordrecht: Springer,

2008

3. Исследование формосохраняющих свойств полиномов типа полипомов Бернштейна (в алфавитном порядке: Н. Berens, Р. L. Butzer, J. М. Carni-cer, W. Dahmen, М. М. Derrienic, R. DeVore, A. D. Gadzijev, Т. N. Т. Goodman, 1.1. Ibragimov, L. М. Kocic, I. В. Lackovic, С. A. Micchelli, F. J. Muñoz-Delgado, R. J. Nessel, V. Ramírez-González, I. Ra§a, P. Sabloniére, D. D. Stan-cu, B. Wood и др.);

4. Результаты типа результатов Шиша. Метод основан на полиномах одновременного приближения функции и ее производных, при этом к ним прибавляются подходящие полиномы (равномерно стремящиеся к 0) таким образом, чтобы сумма сохраняла некоторые знаки производных приближаемой функции (G. A. Anastassiou, J. A. Roulier, О. Shisha и др.);

5. Результаты типа результатов Коровкина. Получение условий сходимости последовательностей линейных формосохраняющих операторов, т.е. аналогов теоремы Коровкина об условиях сходим*., ги последовательностей линейных положительных операторов к то. .дествениому оператору. (D. Cárdenas-Morales, Н. Gonska, Н.-В. Кпоор. F. J. Muíu,^-Delgado, Р.Pottinger, V.Ramírez-González и др.).

Пусть X есть линейное нормированное пространство. Тот фаю. что функция / € X обладает некоторыми свойствами формы, означает принадлежность элемента / некоторому конусу V в X (например, конусу монотонных или конусу выпуклых функций в С[0,1]). Если / е V, то говорят,что / имеет форму в смысле конуса V.

В теории формосохраняющего приближения возникают и представляют интерес классические задачи теории приближения функций. Одной из таких задач является задача существования, единственности, характеризации элемента наилучшего формосохраняющего приближения. Пусть V есть некоторый конус в линейном нормированном пространстве X. Пусть Хп — произвольное n-мерное подпространство X такое, что Хп П V ф 0. Обозначим E(f, Xnf)V) величину наилучшего приближения элемента / е V элементами множества Хп П V,

E(f,XnnV)x= inf ||/- fflLv-

ge\nnv

Другой классической задачей теории приближений, интенсивно изучаемой в теории формосохраняющего приближения, является задача об уклонении множеств от заданного конечномерного подпространства. Пусть А С X, А П V ф 0. Величина

E{AnV,X„nV)x= sup E(f,XnnV)x= sup inf ||/ - g\\x

feAnv feAnV ssx„nv

является уклонением А Л V от Хп Л V.

Оценке величины Е(А Л V, Хп Л V)_y для различных конкретных множеств А и конечномерных подпространств Хп посвящено много работ. Обзор существующих результатов для полиномиального формосохраняющего приближения, т. е. когда Хп — множество алгебраических полиномов степени не выше п— 1, V — некоторые конусы (положительных, монотонных, выпуклых)

функций в X = Lp[—1,1], можно найти в работе Д. Левиатана18 (см. также 19,20^

Дальнейшим развитием этого направления является задача оценки относительных поперечников множеств. Пусть X — линейное нормированное пространство, А и V есть непустые подмножества X, А Л V ф 0. Тогда относительным п-поперечником по Колмогорову множества А в X с ограничением V называется величина

dn(A Л V, V)x = inf Е(А Л V, Хп Л V)x = inf sup inf ||/ - g\\x, X„ Xn f^Anv 9sxnnv

где левый инфимум ищется среди всех n-мерных линейных многообразий Хп пространства X, таких, что Хп Л V ф 0.

Впервые понятие относительного поперечника было введено В.Н.Коноваловым21 в 1984 году. Хотя в этой работе решалась задача, непосредственно не связанная с формосохранением, тем не менее это понятие необходимо возникает при изучении свойств формосохраняющего приближения функций. Оценки относительных (не обязательно формосохраняющих) поперечников были получены в статьях 22.23-24.25.26.27,

18 Leviatan D. Shape-preserving approximation by polynomials // J. of Сотр. and Appl. Math. 2000. Vol. 121. P. 73-94

19 Kopotun K. A., Leviatan D., Prymak A., Shevchuk I. A. Uniform and Pointwise Shape Preserving Approximation by Algebraic Polynomials // Surveys in Approximation Theory. 2011. Vol. 6. P. 24-74

20 Gal S. G. Shape-Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials. Dordrecht: Springer,

2008

21 Коновалов В. H. Оценки диаметров типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки. 1984. Т. 35. С. 369-380

22 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Точные значения относительных поперечников классов дифференцируемых функций // MameAi. заметки. 1999. Т. 65. С. 871-879

23 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Сплайны и относительные поперечники классов дифференцируемых функций // Теория приближений. Асимптотические разложения. Сборник статей. 2001. Т. 7, 1 из Тр. ШШ УрО РАН. С. 208-216

24 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Относительные поперечники классов дифференцируемых функций в метрике L2 11 УМН. 2001. Т. 56, № 4. С. 159-160

2j Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Об относительных поперечниках классов дифференцируемых функций // Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям. Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михаиловича Никольского. М.: Наука, 2005. Т. 248, Я® 1 из Тр. МИАН. С. 250-261

26 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. К вопросу о равенстве колмогоровских и относительных поперечников классов дифференцируемых функций // Матем. заметки. 2009. Т. 86. С. 456-465

27 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Уточнение оценок относительных поперечпиков классов

Конечно, невозможно получить значения dn(AC\V, V)x и определить оптимальные подпространства Хп (если они существуют) в общем случае, т.е. без учета специфики А, V, X. Тем не менее, некоторые оценки относительных формосохраняющих n-поперечников были в последнее время получены в работах 28'29-30.

Одной из классических задач теории приближений является также задача оценки линейных поперечников множеств. Пусть X есть линейное нормированное пространство, А есть некоторое подмножество пространства X. Напомним31, что линейный п-поперечнпк множества А С X в пространстве X определяется следующим образом

<5n(A)x:=inf sup\\(I — Ln)f\\x, (1)

feA

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов L, : X —¥ X конечного ранга п, I есть тождественный оператор.

В теории формосохраняющего приближения представ шет интс| . с задача оценки величин линейных поперечников вида (1), где инфимум ищ. гея среди всех линейных непрерывных операторов Ln : X —¥ X конечного ранга п, обладающих некоторыми дополнительными свойствами (свойствами формо-сохранения). Под формосохраняющим понимается опери юр, отображающий конус, связанный с некоторыми свойствами формы приближаемых функций, в себя. Несмотря на естественность постановки такого рода задач, она не рассматривалась ранее. Мы введем определения таких поперечников (определения 2 и 3) и будем называть их линейнымн относительными поперечниками.

Интерес к оценке линейных относительных гг-поиеречников связан с тем, что зная величину такого поперечника, можно судить насколько «хорош» или «плох» (в смысле оптимальности) тот или иной конечномерный метод приближения, обладающий соответствующим свойством формосохранения.

Одним из наиболее изученных классов линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения, являются положительные операторы. Классическими результатами для класса положительных операторов являются результаты П. П. Коровкина. Им были найдены32 условия сходимости

дифференцируемых фупкций //' Теория функций и дифференциальные уравнения. Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. Ы.: Наука, 2010. Т. 269, Xs 1 из Тр. МИАН. С. 242-253

28 Konovalov V., Leviatan D. Shape preserving widths of Sobolev-typc classes of /¿-monotone functions on a finite interval / ; Israel Journal of Mathematics. 2003. Vol. 133. P. 239-268

29 Gilewicz J., Konovalov V. N., Leviatan D. Widths and shape-preserving widths of Sobolev-typc classes of s-monotone functions / J. Approx. Theory. 2006. Vol. 140, no. 2. P. 101-126

30 Konovalov V., Leviatan D. Shape-Preserving Widths of Weighted Sobolev-Type Classes of Positive, Monotone, and Convex Functions on a Finite Interval , ; Constructive Approximation. 2008. Vol. 19. P. 23-58

31 Тихомиров В. Ai. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений /У УМН. 1960. Т. 15, № 3. С. 81-120

32 Коровкин П. Л. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерыв-

последовательности линейных положительных операторов к тождественному оператору в X = С[О,1]. Кроме того, П. П. Коровкин показал33, что порядок приближения линейными положительными полиномиальными операторами порядка п не выше чем п~2 даже на системе из трех функций 1, х, х2.

Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Так, проблемы, связанные с количественными оценками скорости сходимости линейных формосохраняющих методов приближения, не были достаточно исследованы. В частности, оставался открытым вопрос о существовании эффекта «насыщения» для линейных методов, обладающих свойством формосохранения, а также его количественной характеристике. Эта проблема впервые была сформулирована Р. ДеВором34. Близкой к этой задаче является проблема оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с формосохраняющим ограничением на алгоритм.

Другое важное направление в рассматриваемой области связано с получением качественных результатов, развивающих идеи П. П. Коровкина для случая линейного формосохраняющего приближения. Ряд работ (в частности, работы35'36,37,38 и др.) посвящен данной проблематике. В связи с данными задачами теории приближений естественно возникает также проблема нахождения условий сходимости последовательности линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций.

Цель работы. Класс всех р-выпуклых функций на [0,1] обозначим Др[0,1]. Пусть 0 ^ h ^ к есть два целых числа и пусть сг = (сгр)р=0 есть последовательность чисел такая, что ар 6 {—1,0,1} и ah-<Jk ^ 0- Обозначим

Ah'k(a) := {/ 6 С[0,1] : apf 6 Др[0,1], h ^ р < к]. (2)

Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств формосохраняющих линейных операторов L, таких, что

L(Ah<k(a)) С Дл'*(ст[г]),

ных функций /У ДАН СССР. 1953. Т. 90, № 5. С. 961-964

33 Коровкин П. П. О порядке приближения функций линейными положительными операторами // ДАН СССР. 1957. Т. 114, № 6. С. 1158-1161

34 DeVore R. A. Monotone Approximation Ьу Splines // SIAM J. Math. Anal. 1977. Vol. 8. P. 891-905

:! l Muñoz-Delgado F. J., Ramírez-González V., Cárdenas-Morales D. Qualitative Korovkin-typc rcsults

on conservative approximation // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 144-159

3G Muñoz-Delgado F. J., Cárdenas-Morales D. Almost convexity and quantitative Korovkin type resulte // Appl. Math. Lett. 1998. Vol. 94, no. 4. P. 105-108

37 Knoop H.-B., Pottinger P. Ein Satz vom Korovkin-Typ fur Ck Raume // Math. Z. 1976. Vol. 148. P. 23-32

38 Gonska H. H. Quantitative Korovkin type theorems on simultaneous approximation // Mathematische Zeitschrift. 1984. Vol. 186, no 3. P. 419-433

где к ^ г ^ к, сгМ = (ет|г')^=0, где ст|г' = 0 для ! / г и = о>.

Для данного класса операторов будут получены аналоги базовых свойств линейных положительных операторов; получены оценки порядка приближения операторами конечного ранга; получены оценки линейных относительных поперечников классов дифференцируемых функций; построены оптимальные конечномерные линейные операторы, для которых достигаются значения линейных относительных поперечников.

Кроме того, в работе будут получены оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с (формосохраняющим) ограничением на алгоритм; доказаны теоремы типа теорем Коровкина о сходимости последовательностей линейных операторов; получены оценки ошибки приближения конечномерных множеств конечномерными линейными методами.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. Основные из них состоят в следующем.

1. Введены два определения линейных относительных поперечников, базирующихся на идеях В. Н. Коновалова и П. П. Коровкшш Найдены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ьп конечного ранга, обладающих свойствам Ьп(Ак) С Ак, некоторых классов дифференцируемых функций. Док.. :;ша справедливость гипотезы Р. ДеВора о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». Получены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ьп конечного ранга п, обладающих свойствами формосохранения Ьп(Ак'к(а)) С А/1^'(о''г]), /г < г ^ к.

2. Разработаны методы получения оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм. Найдены оценки ошибки задачи оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций как одной переменной, так и функций многих переменных. Найдены оценки ошибки приближения интерполяционными операторами с ограничением на число осцилляций ядра некоторых классов дифференцируемых функций.

3. Установлен ряд аппроксимативных свойств операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций, в частности, доказаны теоремы типа теорем Коровкина об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ 35'36.

4. Получены оценки ошибки конечномерного приближения конечномер-

ных множеств. В частности, показано, что оценка линейного п-иопереч-

ника по Колмогорову некоторых множеств размерности п+1 сводится к решению в этом пространстве чебышевской задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице. Получены обобщения этого результата.

Основные методы исследования. В работе используются методы действительного и функционального анализа, теории приближений, а также применяются методы оптимизации, включая методы конического и линейного программирования. При изучении аппроксимативных свойств линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения, связанными с конусами Ah-k(cr), также использовались идеи и методы теории линейных положительных операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут применяться в теории формосохраняющего приближения, в других разделах теории приближений, а также при разработке алгоритмов и методов решения практических задач компьютерного графического дизайна.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

• Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, Россия, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014 гг.;

• ежегодных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики», Саратов, Россия, 1997-2012 гг.;

• международной конференции «Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2004)», Симферополь, Украина, 2004г.;

• международных Казанских летних научных школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, Россия, 27 июня - 4 июля 2007 г., 1-7 июля 2009 г.;

• международной конференции «Computational Methods And Function Theory», Анкара, Турция, 08-12 июня 2009 г.;

• международной конференции «Constructive Theory Of Functions-2010», посвященной памяти профессора Борислава Боянова, Созополь, Болгария, 3-10 июня 2010 г.;

• международной конференции «Теория приближений», посвященной 90-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (1920—1995), Москва, Россия, 23-26 августа 2010 г.;

• международной конференции «II Jaen Conference on Approximation

Theory», Убеда, Хаен, Испания, 26 июня - 1 июля 2011 г.

Результаты также докладывались на научном семинаре Саратовского математического общества (руководитель: профессор А. П. Хромов) в 2008 г.; в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук на совместном научном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимаций и приложений под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в 2009 и 2012 гг., научном семинаре математического департамента Fatih University (Стамбул, Турция) в 2009 г.; на научном семинаре Киевского национального университета под руководством профессора И.А.Шевчука в 2011 г.; на научном семинаре «Теория приближений и теория экстремальных задач» кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета Московского государственного университета под руководством профессора В.М.Тихомирова и профессора Г.Г.Магарил-Ильяева в 20!'2 г.; на н;.чном семинаре кафедры функционального анализа и теории фуыщий Сам;.¿«кого государственного университета под руководством ирофес<-< С. В. Асу.аикина в 2013 г.; на научном семинаре по теории приближений М; тематичес ¡ >го института РАН им. В. А. Стеклова под руководством С. А.'! l-ляковского в 2013 г.; на научном семинаре Саратовского государственного университета «Теория приближений» под руководством профессора А. Л. Лукашова; на научном семинаре Саратовского государственного университета под руководством профессора А. П. Хромова. В целом работа доложена на объединенном семинаре кафедр вычислительной математики и вычислительной физики, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, теории функций и приближений Саратовского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [1-20], из них 17 входят в действующий перечень ВАК [1-7, 10-18, 20].

Вклад автора в проведенное исследование. Все научные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованной в соавторстве с М. Ю. Калмыковым работы [16] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации - 249 страниц, список литературы содержит 133 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены основные выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 состоит из двух параграфов. В параграфе 1.1 определяются конуса функций, с которыми будут связаны формосохраняющие свойства операторов, рассматриваемые в данной работе.

Пусть D1 означает оператор дифференцирования порядка г, D'f(x) =

и D° = I есть тождественный оператор.

Обозначим Cfc[0,1], к ^ 0, пространство всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на [0,1], с субнормой

||/11счо,1] = Е 1 SUP (3)

ota г! *Ф,1]

где производные являются правосторонними в точке 0 и левосторонними в точке 1. 1], к ^ 0, будет означать пространство всех действительнознач-

ных функций, определенных на [0,1], имеющих ограниченную производную порядка к, с субнормой (3).

Обозначим e¿(x) = xl, i = 1,2,....

Говорят, что функция / : [0,1] —> М является р-выпуклой, р ^ 1, на [0,1], если для произвольно выбранных р + 1 различных точек to,...,tp из [0,1], имеет место неравенство

где [¿о, • • ■, tp]f означает разделенную разность порядка р функции / по узлам 0 ^ ¿o < h < ■ ■ ■ < tP ^ 1.

Класс всех р-выпуклых функций на [0,1] обозначим Др[0,1]. Если / € Ср[0,1], тогда / G Ар[0,1] в том и только том случае, когда /^(í) ^ 0, t е [0,1]. Положим А°[0,1] := {/ е С{0,1] : f{t) ^ 0, t € [0,1]}.

В параграфе 1.2 приводятся некоторые базовые свойства линейных операторов, обладающих формосохраняющими свойствами относительно конусов (2), определенных в параграфе 1.1. Получены аналоги хорошо известных свойств линейных положительных операторов для линейных формосохраня-ющих операторов.

Основные результаты диссертационной работы приведены в главе 2, которая состоит из пяти параграфов.

В параграфе 2.1 вводятся два различных определения линейных относительных поперечников, по Коновалову и по Коровкину, получены основные свойства линейных относительных поперечников как по Коновалову, так и

по Коровкину, рассмотрен вопрос об отличии свойств таких поперечников от свойств классических линейных поперечников (1).

Пусть X есть нормированное линейное пространство, Х„ есть га-мерное подпространство X, V есть конус в X. Будем говорить, что / е X имеет форму в смысле конуса V, если / Е V.

Определение 1. Пусть L : X —» X есть линейный оператор и V есть некоторый конус в пространстве X, V ± 0. Будем говорить, что оператор L является формосохраняющим относительно конуса V, если L(V) С V.

Для приложений является интересной задача нахождения линейного оператора (в случае существования) конечного ранга п, дающего наименьшую ошибку приближения тождественного оператора на заданном множестве, среди всех линейных операторов L конечного ранга п, обл,'.дающих свойством L(V) С V. Это приводит нас к понятию линейного относь . ольного п i поперечника.

Напомним, что линейный оператор L : X —¥ X есть оператор вечного ранга п, если размерность подпространства L(X) равш; и, dim{L( .V )} = п.

Мы вводим два определения линейных относительных пои. ¡^чинков. Первое из них основано на идеях В.Н.Коновалова21.

Определение 2. Линейным относительным п-поперечником по Коновалову множества ADV в пространстве X с ограничением V назовем величину

Sn(AOV,V)x ■■= inf sup || (/ — Ln)f\\x,

Ln(V)C.V feAnV

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ьп таких, что

1. Ln : X —> X шчеют конечный ранг п;

2. Ln(V) С V.

Второе определение линейного относительного поперечника связано с идеями П. П. Коровкпна.

Рассматривая задачу приближения гладких функций некоторым классом линейных операторов, может оказаться так, что операторы этого класса обладают некоторым свойством, которое ограничивает порядок приближения гладких функций операторами этого класса. Приведем хорошо известные примеры. Так, П. П. Коровкиным было показано33, что если линейный полиномиальный оператор обладает свойством положительности, порядок приближения непрерывных функций является низким. Более того, В. С. Виденский

показал39, что этот результат П. П. Коровкина зависит не столько от свойства полиномиальности операторов, сколько от ограниченности пространства образов операторов (конечномерности).

Для количественной оценки негативного влияния свойства формосохра-нения операторов на порядок приближения ими (эффект «насыщения»), мы будем использовать следующую величину.

Определение 3. Пусть X есть линейное нормированное пространство. Пусть V есть некоторый конус в X. Линейным относительным п-попереч-ником по Коровкину множества А С X в пространстве X с ограничением V назовем величину

Ы *ир\\(1-Ьп)/\\х,

Ьп(У)сУ

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ьп таких, что

1. Ьп : X —> X имеет конечный ранг п;

2. Ьп{У) с V.

Если мы сравним значение линейного относительного п-поперечника по Коровкину множества А С X в пространстве X с ограничением V со значением линейного п-поперечника множества А С X в X, мы можем оценить негативное влияние свойства формосохранения Ьп(у) с V на ошибку приближения формосохраняющими линейными операторами конечного ранга п по сравнению с ошибкой приближения линейными операторами конечного ранга п на том же множестве.

Оценка линейных относительных тг-поперечников является важной задачей теории формосохраняющего приближения, поскольку зная величину относительного линейного п-поперечника (как по Коновалову, так и по Коровкину), мы можем судить насколько «хорош» или «плох» (в смысле оптимальности) тот или иной конечномерный метод приближения, обладающий формосохраняющим свойством Ьп{У) с V.

В параграфе 2.2 изучаются аппроксимативные свойства линейных операторов Ьп конечного ранга, обладающих свойством Ьп(Ак) С Ак. Основной целью параграфа является доказательство гипотезы Р. ДеВора34 о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».

39 Виденский В. С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга // Докл. АН ТаджССР. 1981. Т. 24, № 12. С. 715-717

Показано, что если конечномерный оператор сохраняет fc-выпуклость, то порядок приближения оператора дифференцирования к-то порядка производными оператора не может быть выше чем п~2 на некотором подмножестве span {ео, ei,..., е^.+г}. Для этого доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными формосохраняющих операторов конечного ранга, определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной. Приводится пример оператора, обладающего наилучшим порядком приближения.

Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ьп}г!бМ является формосохраняющим относительно конуса всех fc-раз дифференцируемых функций, чья производная порядка к неотрицательна на [0,1], и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, тогда порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п~2 даже на системе ф> нкций е/.-, е^+ь на любом подмножестве [0,1| положительной меры.

Используя этот факт, находятся асимптотические ;,ценкн ил.пбок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными операторами конечного ранга, сохраняющими /:-выпуклость, по норме пространства

If [0,1], р е N.

Далее находятся значения линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга, обладающих свойством Ьп(Ак) С Ак. Для т Е N обозначим Пт span{e0, еь ..., ет}, где = tl. Обозначим Р^ := {/ е пт : ||/||Вт[0д1 < 1}.

Теорема 1. Пусть п ^ к + 2. Тогда существуют числа ci,c2 > 0, не зависящие от п, такие, что

схп'2 < inf sup ||/ - Lnf Цвиод] < с2п"2, (4)

Ln(Ak)cAk feP-+2

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln, определенных в С*[0,1], со значениями в £?fc[0,1], конечного ранга п, удовлетворяющих Ln(Ak) с Ак.

Вместе с тем inf sup ||/ — Lnf\\gk!0 ц = 0.

¿„(д')сд* }&р-+1

Следствие 1. Пусть п ^ к + 2. Тогда существуют числа ci,c2 > 0, не зависящие от п, такие, что

ciп~2 < 6п(РкГ+2, Ак)Ск[0Л] < с2п~2. (5)

Пусть V(4m)[0,1] означает пространство Соболева всех действительнозначных, (т — 1)-раз дифференцируемых функций, чьи производные порядка (то — 1) являются абсолютно непрерывными и чьи производные порядка то принадлежат L°°[0,1], ||/||оо := ess sup \f(x)\. Обозначим В^ '■= {wj^[0,1] :

хб[0,1]

||^т/||оо < 1}.

Следствие 2. Пусть п ^ к + 2. Тогда существуют числа С\,С2 > 0, не зависящие от п, такие, что

сщ-2 < 5п(В£+2\ Afc)c*[0,i] < (6)

Аналогичные оценки имеют место и для линейных относительных поперечников по Коновалову множеств Р£+2 П Ак, ПД'в 1] с ограничением Ак.

В следующем утверждении приводится негативное свойство аппроксима-цпонных процессов, являющихся формосохраняющими относительно конуса всех fc-раз дифференцируемых функций, чья производная порядка к неотрицательна на [0,1].

Теорема 2. Пусть к ^ 0 и г е {0,1,...,к}. Тогда для всякой последовательности {Ln}nM линейных непрерывных операторов Ln, определенных в Cfe[0,1], со значениями в Вк[0,1], конечного ранга п, и таких, что

1. Ln(Ak) С Afc;

2. Lnej = ej для всех j = 0,1,..., k + 1, справедливо неравенство

ПЕ п2 \\Dlek+2 - £>!'(£пе,+2)||в[о,1] > 0. (7)

п—>оо 1 1

Построен оптимальный линейный оператор для оценок (4), (5), (б), (7), который представляет собой оператор сплайн-интерполяции степени к+1 гладкости к. Оптимальность Ак,п связана с тем фактом, что Лд^ представляет собой минимальную формосохраняющую проекцию (the minimal shape-preserving projection40) на интервале [0, ¿т], которая затем гладко продолжена на последующие интервалы.

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор конечного ранга п сохраняет /с-выпуклость, то порядок приближения производных

40 Lewicki С., Prophet М. P. Minimal Shape-Preserving Projections Onto Пп: Generalizations and Extensions // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2006. Vol. 27, no. 7-8. P. 847-873

порядка 0 ^ i ^ к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п~2 на некотором подмножестве span {ео, е\,..., e-k+i}-

В следующем утверждении приводится оценка ошибки приближения тождественного оператора I на множестве В^} линейными непрерывными операторами конечного ранга п, обладающими свойством формосохранения относительно конуса Ак.

Теорема 3. Пусть к £ N. Тогда

г л* sup У - LnfW°° ж I™-i

Ln(Ak)cAk feB(k) l^n \ к = 1,

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln, определенных в W^fO, 1], со значениями в конечного ранга п, та-

ких, что Ln(Ak) С Afc и DkLnet = Dkek-

Таким образом, свойство сохранения /с-выпуклости является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т. е. для линейных конечномерных операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». В работе41 показано, что нелинейные аппроксимационные методы, сохраняющие /с-выпуклость, не обладают этим недостатком.

В параграфе 2.3 изучаются аппроксимативные свойства операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения

Ln(Ah'k(a)) С Дл'*(<714)- (8)

Доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения (8), определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной.

Далее показывается, что если аппроксимацпонный процесс {Z/n}neN обладает свойством формосохранения (8), и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п~2 даже на системе функций ео, ei,..., 2, на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными формосохраняющнми операторами конечного ранга по норме пространства 1/[0,1], р S N.

Основными результатами параграфа являются следующие утверждения.

41 Kopotun К., Shadrin A. On k-Monotone Approximation by Free Knot Splines // SIAM J. Math. Anal. 2003. Vol. 34. P. 901-924

Теорема 4. Пусть п ^ к + 2. Тогда существуют числа ci, с2 > 0, не зависящие от п, такие, что

ein"2 < inf sup ||/ - Lnf\\Bnод] < c2n~2, (9)

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln, определенных в 1], со значениями в Bk[0,1], конечного ранга п, удовлетворяющих Ln(Ah,k(a)) с

Вместе с тем inf sup II f — L„ Л1я*гп ii = 0.

ln(да.*(„))сд*-*(*м) /6p;+1 115 10д|

Теорема 5. Пусть n ^ k + 2. Существуют числа Ci, c2 > 0, не зависящие от n, такие, что

cin~2 < inf sup ||/ - Lnf\\Bk[01] < c2n~2, (10)

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln, определенных в Cfc[0,1], со значениями в 1], конечного ранга п, удо-

влетворяющих Ln(Ah,k(a)) с

Теорема 6. Пусть k ^ 0 иг £ {0,1,...,/:}. Тогда для всякой последовательности {Ln}

n^i линейных непрерывных операторов Ln, определенных в 1], со значениями в Вк[0,1], конечного ранга п, и таких, что

1. Ln(Ah'k(a)) С Дй-*(стМ);

2. Lnej = ej для всех j = 0,1,..., k + 1, имеет место соотношение

lim п2 \\Dlek+2 - Dl{Lnek+2)\\Bm > 0. (11)

71—>00 1 '

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор Ьп конечного ранга п обладает свойством формосохраненпя (8), то порядок приближения производных порядка 0 ^ г ^ к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п~2 на некотором подмножестве span {ео, ei,..., ек+2}- Таким образом, свойство формосохраненпя (8) является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т. е. для линейных конечномерных операторов, обладающих свойством (8), также как и для операторов, сохраняющих ¿-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».

Обозначим Г = {г : h ^ г < к, <ii ф 0, стг+1 = 0, Oi ■ ст;+2 Ф — 1}.

Случай Г ф 0 и г £ Г рассматривается в параграфе 2.4. Изучаются аппроксимативные свойства линейных операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения

Ln(Ah<k{a)) С Aft'Vrl), г е Г. (12)

В данном параграфе показывается, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (12) при г £ Г, то порядок приближения производными оператора не может быть выше чем п~{к~г) даже на подмножестве span {eo,ei,..., еКроме того, приводится пример формосохраняющего оператора конечного ранга п с оптимальным порядком приближения, удовлетворяющего (12).

Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ln}neN обладает свойством формосохранения (12) при г £ Г, и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем даже на системе функций во, е\,..., е^., на

любом подмножестве [0,1] положительной меры.

Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть п^к + г,Гф0иг€Г. Существуют числа с\,с2 > 0, не зависящие от п, такие, что

{k-r)< inf sup ||/-Ln/||Br[0il]<c2n-<*-r>1 (13)

С\П

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln, определенных в Cfc[0,1], со значениями в Br[0,1], конечного ранга п, удовлетворяющих Ln(Ah'k(а)) С AUc(a^).

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (12), то порядок приближения производных порядка 0 ^ г ^ fc непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем па некотором подмножестве span {ео, ei,..., е^}. Таким образом, свойство сохранения (12) является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций.

Построен оптимальный линейный оператор для линейных поперечников (13), который представляет собой оператор сплайн-интерполяции степени к — 1 гладкости г.

Важно отметить, что линейные конечномерные методы, удовлетворяющие условию (12), обладают тем позитивным свойством, что они могут обладать более высоким порядком приближения п~^к~г\ чем линейные конечномерные методы, обладающие свойством сохранения /с-выпуклости или свойством (8).

Глава 3 посвящена нахождению оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм.

Так, в параграфе 3.1 рассматривается задача оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций. Показывается, что такие линейные формосохраняющие методы обладают негативным свойством, связанном с неспособностью тождественно приближать алгебраические полиномы выше заданной степени. Далее показывается, что оценка ошибки задачи линейной формосохраняющей интерполяции может быть сведена к задаче конической оптимизации. Это позволяет использовать принцип двойственности для получения оценки ошибки формосохраняющей интерполяции.

Как обычно, R означает множество действительных чисел, К" означает n-мерное векторное пространство (столбцов). Для а = (ai,..., ап)т G Мп, Ъ = (bi,..., Ъп)т G М" полагаем aTb =

Пусть 0 < xi < аг2 < ■■■ < х„ < 1, Z/ = {f(x1),...,f(xn))T G К", / G С[0,1]. Пусть Ф означает класс всех линейных алгоритмов А : W1 —>■ R, использующих информацию X. Ошибка задачи оптимальной линейной интерполяции на множестве IV С С[0,1] в точке £ G [0,1] на основе информации X/, / € W, определяется следующим образом:

ес(И/X) := inf sup |/(<) - A{lf) |. (14)

ЛеФ

Задачи оптимального восстановления возникают во многих прикладных задачах теории приближений функций и вызывают повышенный интерес. Обзор задач и результатов этой теории можно найти в статье 42, а также

44

книге .

Основной интерес настоящей главы состоит в оценке величины (14), где инфимум ищется среди всех линейных алгоритмов, которые удовлетворяют дополнительным (формосохраняющим) свойствам.

Пусть К— конус в С[0,1 ]. Обозначим Ф(Л") класс всех линейных алгоритмов А : ]Rn —> R, использующих информацию X, таких, что A{v) ^ 0 для всех V eV,V := {If : f G К} С W.

Определим ошибку задачи оптимальной линейной интерполяции на множестве W С С[0,1] в точке £ G [0,1] на основе информации X/, / € W, относительно конуса К, следующим образом:

ec(\V,I,K):= inf sup |/(С) - Л(Х/)|. (15)

АеФ(К) /еипл'

Обозначим Рт := {/ = J2?=oarer ■ |am| < l/m\).

42 Micchelli С. A., Rivlin Т. J. Lectures Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1985. Vol. 1129. P. 21-93

43 Трауб Д., Вожъняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. Москва: Мир, 1983

Теорема 8. Пусть 2 ^ к ^ п — 1 (если к = 2 лда полагаем = lj- Пусть If = (/(*i), • • •. f(*n))T, С S [0,1], С ф Xi. Тогда

Го, m = 0,l,...,fc-l;

ec(Pm, J, = U mm |C - xs+i\, m = к, ^

{ ' ser(c)

где Г(С) := {0 ^ i ^ n - к : Ce [xf+i, zi+it] и akTli=i(C ~ xi+i) < °>-

Теорема 9. Пусть 2 ^ к ^ п — 1 (если к = 2 мы полагаел1 = I). Пусть If = (/On),..., f(xn))T, С е [0,1], С ф хг. Тогда

ec(ßW[0,l],J,A°'fcH) = ¿ min Ш - xs+i\.

г=1

В параграфе 3.2 приводится оценка ошибки равномерного приближения дифференцируемых функций многих переменных с ограниченной производной второго порядка линейными интерполяционными операторами, сохраняющими свойство положительности и выпуклости приближаемых функций.

Близкими к поведению положительных и формосохраняющих операторов являются введенные П. П. Коровкиным44 операторы класса Sm. В параграфе 3.3 изучаются свойства таких операторов, в частности, найдены величины ошибок приближения классов дифференцируемых функций.

Пусть OLk,n, к = 0,1,...,гг, есть точки из [0,1] и 1и,п{х) € В[0,1], к = 0,1,..., гг„ тогда оператор

п

Lnf(x) = 5)

к=0

есть линейный оператор, определенный в С[0,1], со значениями в В[0,1], который будем называть Х-оператором по сетке а = (сц.,„)"=0 и писать Ln G Т.(а). Это означает, что значения функции в определенном наборе точек полностью определяют значение этого оператора на этой функции45.

Пусть Тп^т(а) есть множество всех I-операторов класса Sm по сетке а = (0 ^ а0,п < Qi,п < • • • < ап,п ^ 1), отображающих С[0,1] в В[0,1].

Заметим, что для Х-операторов условие L £ Sm равносильно следующему условию: для любого х 6 [0,1] число смен знака в последовательности h,n{x), к = 0,1,..., п, не превосходит т.

44 Коровкин П. П. Об условиях сходимости последовательности операторов // Иссл. по совр. пробл. копстр. теор. функций. Баку. 1965. С. 95-97

45 DeVore R. A. The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators. Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1972

Теорема 10. Пусть х G [0,1] и пусть Рт+2 ■= {/ G Пт+2 : ||/(m+2)||c[o,i] ^ 1}. Пусть а = (0 ^ Qo,n < • • • < ^ !)• Тогда

т+1

inf sup lp(x) - Lnp(x) I = -——r—- min ТТ

¿=0

В главе 4 изучаются аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций. В параграфе 4.1 представлены теоремы типа теорем Коровкина об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ 35-36.

Пусть и; € Ск[ 0,1], I = 0,..., к, таковы, что система и$,...,ик есть обобщенная полная система Чебышева на [0,1]. В случае, если функция /, определенная на [0,1], является выпуклой по отношению к системе щ,..., щ, будем писать / е С(и0,..., ик).

В частности, если щ = ео, то С(ио) есть конус всех неубывающих на (0,1) функций. Если щ = ео, щ = е\, то С(щ, щ) есть конус всех выпуклых на (0,1) функций. Обзор результатов теории обобщенных выпуклых функций можно найти в книге46.

Пусть 0 ^ к ^ к есть два целых числа, и пусть а = • • •, &к) 6 Як+1, с; € {—1,0,1}, такова, что сгп<?к ф 0.

Обозначим И+1 := {/ € Ст[0,1] : / € С(и0,..., щ)}, 1 = 0,...,к-1, \о {/ ё С[0,1] : / ^ 0}, и рассмотрим конус

= [)<тМ.

l—h

Вез потери общности будем полагать, что функции щ,... ,ик 6 Сй[0,1] удовлетворяют начальным условиям = 0, р = 0,...,/ — 1, I = 1,..., к. Известно46, что система щ,..., ик может быть представлена в виде

и0(£) =

ui(t) = w0(t)

t Çi 0-

wi(Ci) Jw2(C2)--.

ui(Q)dQ ■ ■ ■ d(i, l = l,...,k,

где wo, ■ ■ ■ ,cuk есть строго положительные функции, заданные на [0,1], такие, что loi еСк~1[0,1], 1 = 0,..., к.

46 Karlin S., Stadden W. Tchebychcff systems: With applications in analysis and statistics. New York: Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966. Vol. XV of Pure and applied mathematics

Пусть Dj, j = О,...,k, означает дифференциальный оператор первого порядка

Известно46, что

Dj... DqUj+i = u)j+1, j = 0,..., к - 1, (17)

Dj... D0Uj = 0, j = 0,..., к. (18)

Обозначим £>М = £»r-i ■ • ■ D0, г = 1,..., fc, D® := I. В параграфе 4.1 мы развиваем некоторые результаты 35 и доказываем теоремы типа теорем Коровкина для последовательностей операторов, обладающих свойствами формосохранения относительно конуса У^{сг). В частности, доказан следующий результат.

Теорема 11. Пусть V^^cг) есть конус, Г ф 0. Пусть г g Г и

D И иг = ео,

DM Ur+1 = еъ D^ur+2 = е2. Пусть Ln : Cfc[0,1] -> Cfc[0,1], п ^ 1, есть последовательность линейных операторов. Если

1. Ln{V,hk{cj)) С Vh,*(aM),

g. lim ||DW(L„Uj) - D^Uj\\ = 0, j = h,..., k,

n—ïoo

то

lim \\D^(Lnf)-D^f\\ =0

л—*oo

для всех f G Cfc[0,1].

В параграфе 4.2 рассматривается одна моментная задача для дискретных мер на конечном интервале. Пусть k ^ 0, ст = (сто,..., о>) G Mfc+1 с ст, G {—1,0,1}, Сто, ск ф 0. Рассмотрим конус

к 1=0

Пусть 0 < xi < X2 < ■ ■ ■ < хп < 1 и обозначим Ig = (g(xi),..., g{xn))T G Mn, g G C[0,1]. Положим

W0M(a) := {I/еГ: / G V&,t(a)}.

Обозначим

W*k(a) := {/x G M" : (ï/)r/x ^ 0 V If G И'0Л.(ст)} 23

двойственный конус.

Пусть {/о,..., /р} есть система Чебышева на [0,1]. Рассмотрим момент-иое пространство по отношению к системе {/о,..., /р}, определенное следующим образом:

Л/р+1Л.(<т) := {с = (с0, ...,с„)е Кр+ : (1011 = сг, i = 0,...,p},

где /i пробегает Wqj.(ct).

Для с0 = (eg, с?,..., с°) е Мр+и.(<т), обозначим

Ко,к(с°) = Wlk{a) : (10ц = с°,г = 0,1,... ,р}.

В параграфе 4.2 находится нижняя и верхняя оценки величины (Х/)гц, где ц G K0tk{c°). Данная задача близка к классической задаче моментов (см., например,47), но мера, которая нас интересует, является дискретной и положительной на некотором конусе обобщенно выпуклых функций. Основной результат параграфа может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 12. Пусть с0 есть внутренняя точка множества Мр+\^{<?) и пусть f € С[0,1] такова, что множества Р+ := {д £ span{/o,..., fp} : Ад - /) е W0,fc(o-)> и Р- := {д е span{/o,..., /„} : l(f-g) € Wb,fc(<r)} непусты. Тогда

sup (J/)V = inf a(g)Tc°, inf Jiff» = sup a(g)Tc°, fieKoAc") зеР- цеК0.к(с°) gep+

где a(g) = (a0, • ■ •, ctp)T таков, что g = Y7i=a aifi-

Отметим, что мотивация для рассмотрения задачи

sup (J/f/x, inf (Х/)ГМ (19)

neK0.k(<f) vehoAc»)

возникла из теории формосохраняющего приближения. В подразделе 4.2.3 показывается, что оценка ошибки оптимального восстановления линейными формосохраняющими алгоритмами может быть сведена к задаче типа (19).

Глава 5 работы посвящена вопросам конечномерного приближения конечномерных множеств.

В параграфе 5.2 находится п-я минимальная линейная погрешность линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации и находится соответствующий линейный n-поперечнпк. Отметим, что связь между некоторыми понятиями теории приближений и теории оптимальных алгоритмов хорошо известна. Так, п-я минимальная погрешность линейных алгоритмов

47 Крейн М. Г., Нуделышн А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука,

1973

отличается от соответствующего линейного п-поперечника по Колмогорову лишь множителем. Показывается, что оценка п-ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации (оператор решения 5 является тождественным) в произвольном линейном нормированном пространстве (и оценка соответствующего линейного п-поперечника по Колмогорову) сводится к решению в этом пространстве чебышевскои задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице.

Теорема 13. Пусть X — линейное нормированное пространство и {/¿}"=0 есть система линейно-независимых элементов из X. Пусть У — множе-

п

ство всех элементов вида р = ^ аг/г> аг 6 К, г = 0,..., п. Обозначим

г=0

г = {/е¥:\ап\ < 1}.

Тогда для линейного п-поперечника по Колмогорову множества Z справедлива следующая оценка

6n(Z)x = inf

n-i

/п-Е

i=О

(20)

В параграфе 5.3 показывается, что подобный результат справедлив и в том случае, когда оператор решения S не является тождественным. Для а = (ао, ai,..., ап) G Mn+1 положим |а| = max |а,|. Пусть S : Rn+1 —> X есть

г

линейный оператор. Обозначим Р = {а G М"+1 : |а| ^ l}. В параграфе 5.3 оценивается тг-ая минимальная погрешность линейных алгоритмов для задачи (S,P). Используя эту оценку, находятся значения некоторых линейных n-поперечников по Колмогорову и n-поперечников по Гельфанду.

Положим q = q(S, Р) = inf sup с, / = f\ + /2, /1 G kerS, /2 G кегб1"1.

feP cf2eP

В частности, используя идеи43, показывается, что для любого п ^ 1 имеет место следующее утверждение.

Следствие 3. Пусть X есть линейное нормированное пространство с нормой || • ||х, S : —» X есть некоторый линейный оператор. Если q = q(S, Р) ^ 1, то имеет место следующая оценка линейного п-поперечника по Колмогорову

ön(S(P))x = в min inf \\Sc\\x , где 9 € [1,1/q], R£+1 = {c= (c0,..., c„) e : ck = 1}.

Многие задачи численных методов могут быть сведены к задаче восстановления некоторого функционала: на основе значений некоторых линейных функционалов требуется найти значение некоторого другого функционала, независимого от исходных. Параграф 5.4 посвящен задаче оптимального восстановления линейных функционалов на множествах конечной размерности, а именно оценивается ошибка восстановления функционала Lo на некотором множестве Р конечной размерности, т.е. величина

eLo(P,X) = inf sup \L0f-A(lf)\, A feP

где ипфимум берется по всем линейным алгоритмам, использующим информацию If = (Lif,...,Lnf), f € Р. Приводятся несколько следствий этого результата, связанных с оптимальной интерполяцией и оптимальными квадратурными формулами.

Отметим, что если S — вещественный линейный функционал, a Z — уравновешенное выпуклое множество, то es(P, X) > r(X, S), где r(X, S) есть радиус информации I для задачи S.

Следуя 43, £■—сложность задачи S с информацией X будем обозначать comp(X, S, е).

Пусть X — линейное пространство, п G N и {/¿}"=о есть система линейно независимых элементов из X. Пусть линейные функционалы Ь\,..., Ьп определены в X и линейно независимы на множестве

: а, € R, г = 0,... ,п| .

Обозначим /?,-, г = 0,..., п, — решение системы линейных алгебраических уравнений

'Рп = 1

£Wi = 0, j = l,...,n. {21)

«.1=о

В силу сделанных предположений такое решение существует и единственно. Обозначим Р = aifi '■ а,-G M, |а*| ^ \pi\, i = 0,..., п| . Рассмотрим информационный оператор

IJ= [Ь^,...,Ьп/].

Теорема 14. Пусть линейный функционал Lq определен в X и S(f) = Lof, f G P. Тогда

( n

1. справедливо равенство г(Хп,5) = Lo I £ fikfk

\k=о

2. существует линейный, оптимальный по точности, почти оптимальный по сложности алгоритм;

3. имеет место следующая оценка сложности задачи сотр(Хп,5, е) = (1С\ +а)п — 1, где — сложность вычисления одного значения функционала, а 6 [1,2].

В параграфе 5.5 рассматривается следующая задача оптимальной интерполяции сходящихся алгебраических рядов. Пусть п 6 М, -1 < 11 <

С оо

... < хп < 1. Для произвольной функции / € IV := < аг£г : |аг| ^

г=0

1, г ^ п|-, £ € (—1,1), необходимо восстановить значение /(£) в фиксированной точке С € (—1,1) с помощью алгоритма А, использующего информацию /(хх),..., /(хп), а также найти ошибку восстановления.

Теорема 15. Пусть п е М, — 1 < х\ < ... < хп < 1, ( е (—1,1), шп{Ь) =

п

хг)- Справедлива следующая оценка ошибки е^(1¥,Х) задачи оптималь-

г=1

ного восстановления линейного функционала II на , где 11/ = /(С), / ё IV, на основе информации I/ = ..., /(хп)):

, Ы01

шах

-1__

*,(!)' К(-1)|/

В частности, если = хп+1г = 1,..., п, то

ЫС)1

ес(Щ1) =

(1-1С1Ы1)'

Оптимальным алгоритмом является в этом случае интерполяционная формула Лагранжа по узлам Х1,... ,хп.

Следует отметить, что интерполяционная формула Лагранжа является оптимальным алгоритмом также для класса функций \У = < /(£) : /(£) =

<МГ : |а„| ^ 1 > даже в том случае, когда информация X/ задана с г=0 J

некоторой ошибкой (см.48).

48 Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек /'/' Магпсм-. заметки. 1975. Т. 17, .Vе 3. С. 359-368

Благодарности. Выражаю признательность профессору А. П. Хромову, профессору А. Л. Лукашову, участникам научного семинара Саратовского математического общества под руководством профессора А. П. Хромова, совместного научного семинара отдела теории приближения функций и отдела аппроксимаций и приложений Института математики и механики УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха, научного семинара Киевского национального университета под руководством профессора И. А. Шевчука, научного семинара «Теория приближений и теория экстремальных задач» кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета МГУ под руководством профессора В. М. Тихомирова и профессора Г. Г. Магарил-Ильяева, научного семинара по теории приближений Математического института РАН им. В. А. Стеклова под руководством С. А. Теляковского, научного семинара кафедры функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета под руководством проф. С. В. Асташкина за полезное обсуждение и сделанные замечания.

Финансовая поддержка. Работа была частично выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 99-01-01120, 04-01-00060, 07-01-00167-а, 10-01-00270, 13-01-00238, 14-01-00140), Президента РФ (00-15-96123, НШ-1295.2003.1, НШ-2970.2008.1, НШ-4383.2010.1), а также в рамках тематического плана НИР Саратовского госуниверситета и в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России.

Публикации автора

1. Сидоров С. П. Оценка n-й минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, №4. С. 997-1001.

2. Сидоров С. П. Об оценке тг-й минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи в линейном нормированном пространстве // Сиб. мате.и. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. G73-678.

3. Сидоров С. П. Оценка относительного линейного поперечника единичного шара для класса положительных операторов // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. 10, № 4. С. 122-128.

4. Сидоров С. П. Формосохраняющие линейные поперечники единичных шаров в С[0,1] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. Т. 7. С. 33-39.

5. Сидоров С. П. Об оптимальном восстановлении линейных функционалов на множествах конечной размерности // Матем. заметки. 2008. Т. 84, №4. С. 602-608.

6. Сидоров С. П. Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, Вып. 4, Ч. 1. С. 49-52.

7. Сидоров С. П. Об ошибке оптимальной интерполяции линейными формосохраняющими алгоритмами // Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15, № 2. С. 119-127.

8. Sidorov S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators of finite rank // East Journal on Approximations. 2001. Vol. 7, no. 1. P. 1-8.

9. Sidorov S. P. The constructions of operators from class Sm of an optimal order of approximation // East Journal on Approximations. 2002. Vol. 8, no. 3. P. 303-310.

10. Sidorov S. P. On some extremal properties of Lagrange interpolatory polynomials //J. Approx. Theory. 2002. Vol. 118, no. 2. P. 188-201.

11. Sidorov S. P. Approximation of the r-th differential operator by means of linear shape-preserving operators of finite rank // J. Approx. Theory. 2003. Vol. 124, no. 2. P. 232-241.

12. Sidorov S. P. Negative property of shape preserving finite-dimensional linear operators // Appl. Math. Lett.. 2003. Vol. 16, no. 2. P. 257-261.

13. Sidorov S. P. On estimates of n-th minimal error of linear algorithms on some sets of dimension of n + 1 // Global J. of Pure and Appl. Math. 2005. Vol. 1, no. 1. P. 1-8.

14. Sidorov S. P. Optimal Interpolation of Convergent Algebraic Series // Numerical Algorithms. 2007. Vol. 44, no. 3. P. 273-279.

15. Sidorov S. P. Basic Properties of Linear Shape-Preserving Operators // Int. Journal of Math. Analysis. 2011. Vol. 5, no. 37. P. 1841-1849.

16. Kalmykov M. Yu., Sidorov S. P. A moment problem for discrete nonpositive measures on a finite interval // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2011. Vol. 2011, Article ID 545780. P. 1-8.

17. Sidorov S. P. Korovkin-type theorem for sequences of operators preserving shape // Positivity. 2011. Vol. 15, no. 1. P. 11-16.

18. Sidorov S. P. Estimates of linear relative n-widths in Lp[0,1] // Analysis in Theory and Applications. 2012. Vol. 28, no. 1. P. 1-11.

19. Sidorov, S. P. Linear relative n-widths of sets of smooth functions // Proceedings of Int. Conf. «Constructive Theory of Functions», Sozopol-2010. In memory of Borislav Bojanov / Ed. by G. Nikolov, R. Uluchev. — Sofia: Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, 2012. — Pp. 354-362.

20. Sidorov S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators on subsets of [0,1] with positive measure // Int. Journal of Math. Analysis. 2013. Vol. 7, no. 46. P. 2491-2502.

Подписано в печать 04.08.2014. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times.

Объем 2 печ. л. Тираж 120 экз. Заказ № 129-Т _Типография СГУ_

г. Саратов, ул. Б. Казачья 112а тел.: (845-2) 27-33-85