Сглаживание отображений в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л

^ - МОСКОВСКИЙ ГОСГДДРСТВЕННЫЙ УЖВЕРСЙТЕТ им. М.ВДШОНОССШ. -

тшжо^тиашЕШй ФШШШ

На правах рукописи УЖ 5Г7.51, 533.88

Паркков Игорь- Германович

СГЛАЖИВАНИЕ ОТСЕРАЖШЙ В ЕАНШВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01. — Математический анализ

Автореферат диссертации на соискахшз ученой степени доктора фгавко-кате^аютеских наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физикон^атематических наук, профессор В.М. Тихомиров

доктор физико-математических наук, профессор А.1.1кркави

доктор физико-математических наук (

■ В.И.Бердышев

Ведущая организация: Уральский государственный университет

Защита состоите;' «3 93 г. в' 16 час. 05 шн.

на заседании диссертационного Совета Д 053.05,04 щи Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: ПЭ. 899, ГСШ Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаз/.

Автореферат разослан

п- 1995 г.

г

Ученый секретарь диссертационного Совета-

Д 053.05..04 при МГУ -доктор физиконаатематкческих наук Т.П.Лукашенко

-3-

СВДАЯ ХАРАКТЕРНО ТЕКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. В диссертации рассматривается вопросы оглашая равномерно непрерывные отображений в банаховых простран-а, как конечномерных, так и бесконечномерных." В зснечномерных : вдоеых пространствах исследуется зависимость аппроксимативных зктеристак сглажващях отобралений от размерности этих про-авств. Исследование этих задач дает ответы на некоторые вопросы иетрги банаховых пространств, теорий экстремальных задач и

Вопросы сглажазашм охсЗр^тении и £-сг? банаховых

зтранствах имеют свои особенности по сравнении с гязла1-*гпгглтг » ачами в конечномерных пространствах. Так даже вопрос суцество-пя многочлена наилучшего прибливения в бесконечножрном случае зывается более сложным, поскольку множество, всех многочленов . сени 4 К является пространством бесконечной размерности и азмерности. В классической теории многие вахные утвервдения о мсхкосп аппроксимации фушг.цв& какого-либо класса функция:!® ее ."простой структуры" (многочленами, .гладкими йувзсвдями и т.п.) раются на различные процедуры сглаживания или на теоремы уна-Вейерштрасса? Попытки получения аналогичных теорем для клас-Фзнкций на подмнояествах бесконечномерных пространств наталки-тся на значительные трудности. Отсутствие в общем случае инва-нтяых мер на бесконечномерных банаховых пространствах, а такае омпактность наиболее интересных подмножеств этих пространств позволяет воспользоваться классическими методами равномерных ¡ближний.

Одним из важных прнблизахвдзх классов в банаховом пространстве '

кется множество 'алгебраических многочленов. Понятие многочлена

2

бесконечномерном банаховом пространстве рассматривал еще Гато .

* Коскда К. ЗушпдаональныЗ анализ. М. : 24яр. 195?.

Различные эквивалентные определения многочленов на линейных т< логических пространствах были приведены В.Е.Авербухом и О.Г.Св

новым . Мы будем придергиваться определения, используемого Kai 4

ном , которое состоит в том, что многочлен представляет собой

нечную сумму ограниченных на диагональ непрерывных полилинейнв

отображений. Другой вакный класс прЕблияалцих функций - класс

отображений, именцих равномерно непрерывную Хна производную »5

%еше . Отметим также часто используемые классы функций, строя

__.ся при ломаю мер на бесконечномерных пространствах и дифферен

руеше да всаду плотном линейном многообразии этих пространств

Одной из первых аппроксимативных теорем в бесконечномерных

пространствах была теорема Фреше, утверндаыцая, что всякая неп;

нал функция на сепарабельном действительном банаховом простраю

может быть представлена как поточечный предел последовательное: 7

многочленов . Б случае равномерной аппроксимации известна теорс

о

Бонича и Фрешпона .которая устанавливает тесную связь между к

2&аЛл£илх R-. Taction*, In^lhUi dt VoJiiaMeA>

bui/peJbcljDLtJ^//dull. Sec. fflatk. fa Ftah-ce. 1311 P. 70-36. . - ■

3 '

Авербух B.3E,, Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линей топологических пространствах// УМН. 1967. T.22,Ji-6. C.20I-260.

^ Картан А, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы М.: Шр. 1971.

5 f&cLt М. U notion dt ЩЦюь&Ме, <W

VojnoJbjAZ oAdveoJLe, //Anru. Ее. Movm,. Sest. 3. 1315. V.4Z, P. ZS3-323.

6 '

• Угланов А.Б= Формула Еь^ОгЭ.-Лейбница на банаховых прострапст;

и прибЛюггзе юункий бесконечномерною аргумента// ЕАН СССР. Серия матек. 1987. Т. 51, Ж. С. 152-170. • "

. Лет П. Конкретные проблемы f./нкциональнэгс анализа. : йукг 1967.

тиа X и аппроксимативными свойствами гладких футций на Л . гладкостью пространства X они понимали такое наибольшее Ъ кет бить, о° ), что существует непрерывная финитная функция сса С (Х}!&} . В таком сепарабельном X , как они доказали, любых £>0 , открытого множества , отоб-

ения существует й. С fU,Y): IIf-fli^ .

• g

ются варианта этой теоремы и для аналитических функций -Г.Ь.Щилов доставил задачу сб изучении классов функций А^ , я замыканием &лге_брн, порожденной множеством действитель-. : MHoroircrss степью ~ fr на и^ра^е.^иам действительном ташь-

ТТ

новом пространстве. А.С.Бемировскзй'1" доказал, ^тп вепо^хпг 2.«-ip Af*- А^*1*,.*- не стабилизируется. Ifer было доказа-

также, что всякая действительная равномерно непрерывная функция единичном шаре действительного гильбертова пространства прибли-

J2

¡тся Функциями, имеющую липшицеву производную Фреше . С.М.Се-юР построил нръ^ер равномерно непрерывной действительной. -

гкции на единичном гильбертовом шаре, не приближаемой классом гкций, имеющих равномерно непрерывную' 2-э производную Фреше. Им " ж изучался вопрос о равномерной

1ллс Д?« Основания глобального анализа// УШ. I9S9. Т. 24, Jp3. 1,157-210.

(vMAnu-eit X Oh, affrtcuiniatlofb Uv xecd- ÖcuulcL Studio. tbcitL. №4. Y. t tlZ . C. 214-Z31.

Шилов Г.Е. 0 некоторых решенных и нерешенных задачах теории функций па гильбертовом пространстве// Вестник МГУ, математика, механика. 1970. )'&. С. 66-68.

Немировский A.C. Об одной цепочке'алгебр на гильбертовом шаре// Функциональный анализ и его приложения. 1971. Т.5, U.C.85-88.

Немировский А. С.. Гладкая и полиномиальная аппроксимация непрерывных функций па гильбертовом нрострачстае. Дксс. на соиск. уч. оз. каш;, фаз-цат наук. ¡33, мех~у=.?, 1973.

Семенов С.М. 0 скмчетрпческих функциях класса ^¡¿W) // Функ-циовалышй анализ и его приловения. 1972. Т.5, .»53. C.S5-86.

шшроксимзции многочлвнвми и классом функций, шеппит рзвноме непрерыввую 1 -о производную Фреше, симметрических функшй А.С.Нешфовский"1'5 построил пример бесконечнодиффер даруемой по врете действительной функции на единичной гияьбер вом шаре, с ограниченными проиаводннми на нем, которая не ори дается равягаерно многочленами» • -

Даль работы. Велью диссертащш является настроение динейв нелинейных методов сглякивания равномерно непрерывных отобрал в конечномерных и бесконечномерных действительных банаховых щ странствах, а такге выявление связи этой задачи с вопросами ш дсджения отображений ж гладкими выборками.

Общая методика исследования. В работе используется методы теории щшблшения, геометрии банаховых пространств и теории дифференциальных уравнений.

Шучвая новизна. Все результаты диссертации являются ваши ж опубликованы в работах автора. Получены пракыгьнне оценки ро констант -по порядку размерности -в многомерном неравенстве Уитн для линейного метода приближения, по порядку размерности еввад го шара, на котором заданы функции, и степени многочленов в мн, мерном неравенстве типа Джексона. Найдены правильные оценки ка ровского поперечника ^(W^H^ ;У )) по порадку рост

размерностей пространства-образа Y и евклидовою шара Б

Hv •

^Семенов .С.М. Сишетрические функции на пространствах L^ Дасс. на соиск. уч. ст. кадд. физгмат наук. МГУ, мех-мат. 1973."

^^Вемировский А.С., Семенов С.М. О позшзмшальной ашрошша на гильбертовом пространстве// Ыат. сб. 1973. 1.92, JSJ. С. 237-281.

-7- '

№кы условия для существования гладкой глобальной вастной функ-, Построены правильные по порядку роста размерностей евклидовых эв линейный.и нелинейный методы сглзкквалия непрерывных функций, аншх на этих шарах. Построен пример-гладкой, векторнозначной кцпи, заданной на подпространстве Ус= С [0,11 с образами в У е приолгжаемой сужениями на ято подпространство раввомерно не-рывннх отображений произвольной окрестности У с С [0,1] в У .

Ншлокечия. Работа носит теоретический характер. Нетоды и ре-т,таты диссертации шгут быть использовавнмв дальнейших исследо-2лг г иги.гг?«?п«я н -гладких выборок в конечно-;:;. .

шх п бесконечномерных действительных б^г^орих и^сгр-^^^иА^.. влинейном анализе.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докла-елись яа еаседаниях семинаров по теории приближения в МИ РАН Б.А.Стеглова под руководством профессоров С.Б.Стечкина, ь.Теляковекогс, за Всесоюзных школах по теории приближений под ;оводством профессора С.Б.Стечкина, по теории шункхшй в Сарато-(19Э0), з Одессе (1991), в Воронеже (1991), на международной ?фаренциж ас конструктивной теории функций'в Варне (1991).

ГублЕкадии. Результаты диссерташт опубликованы в работах юра [ 1~7], список которых приведен в конце автореферата. ;ди них статей, написанных в соавторстве, нет.

С1рук"ура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка ^значений, введения, трех глав, разбитых в общей сложности, на параграфов, ж списка литераауры. Каздая глава умеет свою нумв-5ию параграфов. Дня утверждений типа лемма, теорема, замечание т.п. в работе принята тройная нумерация (глава, параграф, поряд-вый номер). Объем диссертации - 255 страниц машинописного текста, блиография содерхгт 57 наименований.

0Б30Р СОДЕРЖАНИ Я ДИССЕРТАЦИИ

Во введении диссертации издозева рассматриваемая в ней пр лематика и дан исторический обзор результатов, связанных с тш диссертации. ""

Первая глава состоит из пяти параграфов. В первом параграс исследуются вопросы существования и единственности, многочлена наилучшего дрибликения векторнозначных функций. .

Во второй параграфе исследуется -многомерное неравенство Ji для линейного метода;

Цусть (6) -класс всех действительных банаховых-простра = fM/Yl -множество всех мыогсгчленоЕ степени ^ ¿7г/ '

т.е. всех f L*eM <= X * {&) ), где.

* **• £ ГВ) - L -линейные ограниченные формы,

к А

df^^it. -единичный евклвдовый шар, C(MjY) ■ -мнояество всех непрерывных функций Y с нориой Ч-f Ч ~

« suf Нр&Цу . Через Е. ((¡К) lK'<=C(M,YJ >

Хе(1

обозначим величину , Н^-Рк, И , г пусть ? .

Цгсть Щ

(t,-> - к -й модуль непрерывности £ € С(М, Y) йыеет место следу идее утверждение. . Теорема 1.2.2. Дгсть

.Тогда существует С>о такое, что дан лэбого У* М существует линейный непрерывны! проектор Л : ¡Y) такой, чтоi^edb^

Далее показывается точность оценки ло порядку Л» . Теорета 1.2.3. Пусть L fiV' . farm cft&ovsyei С> О такое, что дхя любых У € (£?) , inaetocrro непрерывного лр-зекто'

существует

такая..

Б третьем параграфе исследуется вопросы линейного продолжен . ï взг.торнозначных функций с внцуклнх подмножеств (£>) некоторув его окрестность m на все X

В четвертом параграфе рассматривается задача,оценки наилуч-го приближения некоторых классов гладких функций, заданных на

-«ерц^.с!гг,гтдо'ппм.тасе, многочленами степени éft, ,:точной порядку роста ¡'г"«- и Л ,

Через Ф (.kélhl ) обозначим множество всех монотоных * прерывных функций таких, что Ш(о] — 0 и для

¡бнх Ivehl . и te$L+ (Vffrt) £ h, w (t) . д^ лроиэ-

ХУе'(Ь) ^kziti

■ через

-выпуклое тело) обозначим, даог.

îctbo всех x раз непрерншо .дизферееащ!уе},ш± по Фреще функций M."* У таких, что для любого t ¿£Oj j-dlam^hJ

(f™ 4 и) Ш . w (w^r (M, Y)k { EjplleW'-HlÎMjJ }

Ht (tef ^ B^f^,...^^«« Ix.k7j.

Оснсвышш результатами этого параграфа явиштся следущие таерздениЕ.

Теорема 1.4.2. Пусть 4 е// » Тогда существует £>0

акое, что до® любых , Л'

> tn&xlChijk-l} ,Ye(b) ,

аЯдется линейный непрерывный оператор экой, что для любой

Теорема 1.4.5. Для любых

найдутся

С2 >0 такие, что дои любых hifibelh/

верш неравенства: ^

уаЦгй^н^ок® «Ф.. ...

В патов параграфе решается, задача оценки, колдагоровского поперечника СХ^ , т.е. величины

Получены оценки правильные по порядку роста к. , и разш ности У , Основными результатами являются следухщие теоремы:

^еовеш 1.5.1. Цуоть ке!^ Тогда существуют С^; Сг >о. такие, что для любых I. И^ж.^

СГ*£ П-рЬ».

> ^ пространства Vе ,

А

¿я^тг» У=г £ 1 верны неравенства:

"уТ

где ТС ЙЬ ' . •

Теорема 1.5.2. Дгсть 1.6 . Тогда существуют С1 ?Сц>С такие, что дая любых <4 <!

^х+Ьь верны неравенства: г X

В последней теореме ое~ени дак поперечника достигается на пространстве многочленов.

Во второй-главе рассматривается вопрос существования гладко; глобальной неявной функции.

-п-

Пусть ¿>0 -тело, У* (б) , через

Н (МЬН1М,У) обозначим класс всех <К0 раз дифференцируемых но 5реше отобрааений ' У таких, что для любого ограниченного множества . N с М- существует С>0 такое,что ■

где -наибольшее целое число, строго меньшее , .

Пусть С? , £><> ;. Дяя

V

произвольной фиксированной точки Х0 в л через = Г.Н (М.У) (М<=Х*У -тело) обозначим класс (М)

таких, что ( > '

где .

Рассмотрим функции £ - . Будем писать, что

(если 2 и Г -поло-

нительные постоянные щункцзи, то

). Цусть

А^,^-) ШУ~» 2' -линейный оператор на У (по ^ ), и / . го о

а • к^-}. -такая функция, что для любого й->0

^еПо ^ ^ * говорить, что оператор А Г-

¿Г -ре1улярен на М , если для единичных шаров 3 у ^ У и я любой точки верно

Через /£)(о1.) (с<>0 ) обозначим класс всех (В) ,

норма которых.принадлежит классу Н для любого

£ > о , где В/О^ £.,) с /V -шар радиуса £ с центром в

нуле.

Цгсть .. , ^(^о^оЫо.......

0£={{х;^)еМ*У| II II £ III),

Основными результатами первого параграфа являются следующий утверждения.

Теорема 2.1.5. Д7сть и>-1 ; У}2: -гиль-

бертовы, л-звездное:тело относительно Х0 ^ еН*(0Е1л№(0£) - /-регулярен

на . Тогда для любой точки с У ' Г/^-о^о^— 0

существует f е Н^ (М,У} : ,

Теорема 2.1.6. Цусть , X« Я Ге<] , У ^ Ю/^Н) ,

>МаХ -звездное тело относительно Х.0 ,

^ - ~ " ^ -регулярен на' , Тогда для любой точки

У: Р^оЦо^О существует ^ € .*

Во втором параграфе показывается необходимость избыточной гладкости Р по ^ . Цгсть ^ (Т^^ц) -пространство ^

^ -суммируемых функций ^ : Т-? с нормой

( р-^00. ). Б случае, козда Т—К» , а -мера Лебега на /1С , будем писать

юл .

Теорема 2.2.2. Существует отббражение ( ) и £;/>0 чаше, что

/'у. ^С'Й1(Ое} ; ^ С^&пЖ ; Гу. _ /-регулярен на , и всякая функция у?; Л"-' У , удовлетворяющая

уСЛОЕЕШ

Fix, if(xj)=o , не принадлежит классу -единичный шар).

—- -В третьем параграфе исследуется вопрос о гладкой выборке из множества квазирешений.

В третьей главе рассматривается задача сглаживания отобраае-еий в бесконечномерных ж конечномерных действительных банаховых пространствах.

В первом параграфе рассматривается задача сглаливаяия равно-дарно непрерывных отображений

li {Bp^Lp

-единич-

-- i , • 4 .

шй дар).

Тзорема 3.1.2. Пусть l^frf^-oo ^ - равно-

мерно непрерывное отображение. Тогда Ef/, Н^ J) = О ,

Далее, показывается, что показатель о( в этой теореме, вообще-говоря,-нельзя увеличить. Затем в произвольном бесконечно- -

мерном пространстве X е- (Ь) строится пример'равномерно непрерывной действительной функции на единичном шаре 0 X , не приближаемой классом функций, имещих равномерно непрерывную вторую производную Фреше, Найдена также характеристика'действительных банаховых пространств, в которых любая равномерно непрерывная функция приближается классом функций, имеющих равномерно непрерывную производную Фреше.

Во вторам параграфе рассматривается вопрос линейного и нели- ' нейного сглаживания в евклидовых пространствах.

Основными результатами этого параграфа являются следующие утверждения.

Те opera 3.2.1. Пусть о(>0 f £ >0 . Тогда сущест&уп? С=С(о(1£.1>0 , Cj.=C^(d)>0 такие, что для любых /с(&) ,

foG JH , единичного шара существует линейный нг—

-14- .

прерывный оператор Д : Y)~*H такой, что

V<f*C(bb,Y) AfeCuj^Un^H^ßJ в .Ilvf-A^ 11^С| ^ty.tl-

Лалее показана точность оценок по порвдку роста И* даш линейных методов.сглаяивания.

Теорема 3.2.3. Цусть с(>о , ( оо). Тогда существует такое i>0 , что для «fraYefßJ •

и линейного непрерывного оператора А * П-j I /

таких, что VffCfb^Y) ' fy-Af IUP ujfp S) t

найдутся такие, что

A^KTfMw(|;OHX,Y) ...

Затем решается задача нелинейного сглаяивания непрерывна

отображений .

Теорема 3.2.5. Пусть «<>0 , £ >0 . Тогда Еайдется такое, что для любых

, непрерывной

. - hv - - _ h.

функции f ' ( -единичный шар) найдется фун-

кция у€ Cuj{j,L)i(m,;H) CBJ . такая, что llf-fllé^Uif^e),

' 1 f «М

где

klhu,H)= /

fr 2 } М>1 } т^А'

е(-2

^ и/,

Ы.

cfri

T .

■ hfb^tb

•I , . y

\

Следующее утверждение показывает точность оценок в теореме 3.2.5 по порядку роста ^ ^ с А/ .

Теорема 3.2.6. Цусть °<>1 , Пь ^^М , (0}1) .

Тогда существует е С ^ ) так&ч, что для любых Р>0 ,

и Г С ^ Н^&П^) -их, ,

найдется константа К > О , зависящая только от Р , ок , такая, что С , где из теореш 3.2.5.

В заключений строится пример подпространства У С ГО;{3, ■ для которого тождественное отображение на V нельзя приблизить ¿-.у—ук?^-" пп •"г" лотгпооижуансх^о г^ноидрто яещзерыввнх отобраяе-еий произвольной окрестности ( С I, 2 прсстранст«»-» i

Также приводится пример подпространства !- сС[й) | ] и действительного многочлена р : /_ (£- 2-ой степени, который не продолжается в лшбуа окрестность нуля

до функции,

имеющей на равномерно непрерывную производила Фреше.

ВУЕЛЕКАШ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

LU Царьков Н.Г. Неравенство типа Джексона для. абстрактных функций// Шт. сб. 1989. Т. 180, JE5.' С.676-699.

[21 Царьков К.Г. Теореш о глобальном существовании неявной

функции и их приложения// ДАН РАН. 1992. Т. 324, М. С.754-755.

[з] Царьков И. Г. Сглаживание равномерно непрерывных отображений в пространствах JLp // Мат.. заметет. 1993. Т. 54, йЗ. С. 123-140.

£41 Ларьков К.Г, 0 глобальном существовании неявной функции// Шт. сб. 1993. Т. 184, J£7. C.79-II6.

Царьков К.Г. Теоремы о продолжении и приближении функций в - банаховых пространствах// Ш РАН. 1994. Т.338, Ш. С.&-Э.- ■

[6 3 Царьков 11.Г. Сглаживание абстрактных функций// Мат. сб. 1994. Т.185,;Ш. С. II9-144.

[71 Щрьков И.Г. Линейные методы в некоторых задачах сглаживания// Мат. заметки. 1994. Т. 56, №. .С. 64-87.