Малые компакты в банаховых решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ъ&и. ■ -

г \ ной га»

■■".'Г;;.- •

' САНКТ-1ШЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННА УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХОШ ВАН ХУНТ

МАЛЫЕ КОМПАКТЫ В БАШОВЫХ РЕШЕТКАХ

01.01.01 - математический анализ.

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физшго-тгематяческюс паук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 19 9 4

Работа Ешнолнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель : Доктор физико-математических наук, профессор Борис Михайлович МАКАРОВ

Сфшдалыше оппонент: Доктор физико-матеиатических наук

Сергей Витальевич КИСЛЯКОВ

Кандидат физико-математических наук Иван .Анатольевич КОМАРЧЕВ

Ведущая организация: Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена

Защита состоится •• 4. « с^К-СЯ^^уА. 1994 г. в •15.30 часов на заседании специализированного совета К063.57.2У по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 1&8504, С.-Петербург,Ст.Петергоф, Библиотечная пл.,д. 2«математико-механический факультет СГОГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.М.Горького СГМГУ (Университетская наб.,д.7/9 )

Автореферат разослан " \0 " Н^сьяб1994 г.

Ученый секретарь специализированного

совета,кандидат физ-мат. наук,доцент РЕЙНОВ О.И.

ОБЩАЯ ХАРШЕРЙСГИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.После того как теория векторных решеток и,в частности,теория банаховых решеток сформировались в своих главных частях,внимание математиков стали привлекать вопросы,пограничные для теорий банаховых пространств и банаховых решеток.Одними из первых работ в этом направлении были статьи Т.Огасаварн, Г.П.Акилова,В.Н.Судакова,Г.Я.Лозановского,затем появились работы П.Мейер-Ниеберга.А.А.Седаева и друтив.В этих работах разине свойства банаховых пространств были охарактеризованы через решеточные свойства.Во второй половине 80-х годов ряд результатов о некоторых классах операторов в банаховых решетках,выделяемых с помощью условий,не связанных с упорядоченностью,был Получен Б.М.Макаровым и его учениками В.Г. Самарским,М. Д. Улымжиевым.Наша работа,в которой исследуются свойства компактных подмножеств банаховых решеток,зависящие от упорядоченности,примыкает к этому направлению.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.Целью работы является изучение компактов в банаховых пространствах (в частности,в 1Г ) .которые являются "малыми" относительно той или иной банаховой решетки (например,I?). В частности,нашей целью было дать новые условия изоморфизма банаховой решетки гильбертову пространству.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ.В диссертационной работе используются факты теории р -абсолютно суммирующих операторов,геометрия банаховых пространств и теории банаховых решеток.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1.Получен полный ответ на вощ>ос:когда каждый компакт в бесконечномерном пространства 1?(Т, р) ( "1 < р ^ <*>) является образом порядково ограниченного множества из I? (5, у) (1 ^

¿Хлп 15 г оо ) при некотором непрерывном линейном отображении из ^СЭ.у) в 1_р(Т,|ч) ?Даны также некоторые уточнения этого вопроса в случае р г 2 .

2.Получены асимптотические оценки для так называемых ^ -мажорирующих констант для пространств (Ч р ,

Эти константы определяют.насколько велик должен быть интервал в пространстве .чтобы его образ при »¡растягивающем линейном

отображении в пространство -вГ мог содержать единичный вар.

3.Получена одна характеристика пространства ^СТ, у-с ) на языке" малых компактов" в одном классе я -вогнутых банаховых решеток.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.Работа имеет теоретический характер.Ее методы и результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании банаховых решеток.

АПРОБАЦИЯ РАБОЙ.Основные результаты диссертация докладывались на третьей августовской конференции Петербургского семинара по мат математическому анализу (4-Е августа 1&94 г. ,ШШ.Санкт-Петербург)

ПУБЛИКАЦИИ.По теме диссертации опубликована работа [13 .Две статьи [23 [ 3 ] в настоящее время находятся в печати.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.Диссертация состоит из введения.трех глав и списка литературы.Общий объем работы- 85 страниц машинописного текста.Список литературы включает 41 наименование.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении изложены постановка задачи и обзор основных результатов диссертации,обозначения и некоторые предварительные понятия и факты.Все векторные пространства в этой работе считаются вещественными.Символ 1. (X,У ) обозначает банахово пространство непрерывных линейных операторов,действующих из банахова пространства X в банахово пространство V с равномерной нормой ;

их) 5 кх,х) 1 Вх:|хеХ: Цос « < 1 } . В дальнейшем мы сохраним нумерацию определений и утверждений из диссертации.Следующее определение является для нас основным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.1.Пусть Е - банахова решетка, X - банахово пространство.Компактное множество К с х называется Е -малым,если существуют элемент ^ € Е + и оператор и е 1>(Е,.Х) такие,что К с и (1^) .В случае.когда X есть банахова решетка,назовем каждый X -малый компакт в X просто малым.

Отправной точкой работы является заметка [1] ,где автор доказал, что в пространствах [Г ( 1 £ р £ «» ) лишь при р г г , р=» каждый компакт в I? является малым.Естественно,возникают следующие вопросы:

1.В каком классе банаховых решеток свойство " каждый компакт является малым " характеризует пространство I?" 7

2.Хотя при р £ 2 , р * °о в 1Р существуют не малые компакты,могут ли все компакты в 1Г быть I? -малыми при с] ^ р 7

3.Общий вопрос:дакы банахова решетка Е и банахово пространство X .Когда в X существует не Е -малый компакт?

В 51.1 и §1.2 первой главы изложены некоторые понятия и факты теории р -абсолютно суммирующих операторов и теории банаховых решеток.которые будут использованы в дальнейшем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.1.Пусть Х,У - банаховы пространства, о < р < .Оператор и 6 1.СХ,У) называется р -абсолютно суммирующим,если для некоторого числа с>о

пихЛР{Р(С*шр \(1Л |<х.,х/>|Р)Ур: ж'е В I (1)

для любого п £ N и любых х1 >.. . | 5СЛ £ X

Инфимум чисел С .удовлетворяющих (1) .обозначается через Этр(и) .Множество всех р -абсолютно суммирующих операторов из КХ,У) обозначается через Пр (X .

.В определении 1.2.3 определены устойчиво регулярные справа операторы и мажорируемые операторы.Линейный оператор и , действующий из банаховой решетки X в банахово К -пространство У, называется устойчиво регулярным справа,если оператор иу регулярен для всякого оператора V б 1.СХ) . Множество всех устойчиво регулярных справа операторов из 1_(Х,У) обозначается символом 1Г&1<Х,У). Линейный оператор и .действующий из банахова пространства X в банахово К -пространство У «называется мажорируемым, если множество исв^) порядково ограничено в У Положим

ни Им г И бир { |их4 : х € Вх } I

Множество всех мажорируемых операторов из I (X ,У ) обозначается символом М (X , V > .

В §1.3 доказаны две простые,но ванные для теории малых компактов,теоремы.

ТЕОРЕМА 1.3.3.Если все компакты в банаховом пространстве X являются Е -малыми для некоторой банаховой решетки Е , то они равномерно Е -малые,то есть существует константа

С = с СЕ ,Х) >о такая,что для всякого компакта К с В^ найдутся элемент <| е Е+ и оператор и е 1(Е,Х) такие,что

К С и <1д) и 1 и II»д I) 4 С

ТЕОРЕМА 1.3.4.Если в банаховой решетке X все компакты малые и в банаховом К -пространстве У выполнено условие

(в) .то С^(хд) = мех,.

Благодаря теореме 1.3.4 и включениям между классами операторов .установленными Б.М.Макаровым ,мн можем доказать один из основных результатов этой глава. ТЕСРЕМА 1,4.1.Пусть 1 « р <«> , р 4 2 »Еь®1 I? СТ. = «» ,то в 1?СТ,р) существует не малый компакт. ЗАМЕЧАНИЕ.Очевидно,что в С (т,^) все компакты малые. Благодаря неравенству Уличина и теореме о строгой факторизации ,мы получим следующее предложение.

ЛЕММА 1.4.2.Пусть € N .Тогда существуют линейный оператор V : —» и вектор Л е такие,

ЧТО 1|ииКй , и иС1д) э Р^(1/Я) (кй -

константа Гротендика 5 .

С помощью леммы 1.4.2 мы докажем .что в все компакты

малые,после этого,благодаря одной простой лемме о проекции в пространствах I? мы приходам ко второму основному результату первой главы.

ТЕОРЕМА 1.4.5.Пусть (Т.р) - произвольное пространство с мерой.В С1 СТ. р.) все компакты малые.

•Теорема 1.4.5 допускает некоторые уточнения.Первое из них устанавливает,что существует оператор ие I. (такой, что образ множества 1= $ $ б 1?Чо,1> : почти :

везде на (о, } при операторе и. оо,"1ржит окрестность нуля в I1 С о, 1) .Второе уточнение утверждает, что в Ь2(Т, |ч) ( Мт, 1?СТ, («.) = со) существует компакт .который не содержится в образе никакого интервала из \? (Т, р.) при произвольном (линейном) автоизоморфизме (в смысле теории банаховых пространств ) ..Что касается третьего уточнения,то оно гласит,что в пространстве £г существует компакт,который яе содержится в образе никакого интервала из Сг при произвольном инъектив-ном операторе и е 1С С*).

, Вторая глава посвящена рассмотрению второго вопроса.сформулированного выше: когда все компакты в бесконечномерном 1?(Т, р.) (1 < р 4 «> ■) являются -малыми ( ¿¿т. 1? = во ) .

В §8.1 доказаны две вспомогательные леммы,с помощью которых и теорема 1.3.3 мы получим следующую теорему:

ТЕОРЕМА 2.1.2.Пусть .в бесконеч-

номерном пространстве 1Г(т,[<.> все компакты являются 1?(5,у) -малыми {Лмп, - осту тогда и только тогда,когда суще-

ствует такое,число С .что при любом натуральном п выполняется условие: р

такие,чго 1

«УШ^И « С ц /

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.3.Пусть 1 < р * оо , и я < ^ « N .

Положим

с (п.) = и{ С ; С удовлетворяет условии (.*>} »»г

с^ р<*) называется <\ -мажорирующей константой для пространства -.

В 52.2 доказаны 3 вспомогательных предложения.В частности, доказано

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.3.Пусть 1 г $ 2 .Тогда,дм любых р е [2,»] , справедливо неравенство

Благодаря этим предложениям, а также с помощью результатов,полученных Г.Баумбахсм и В.Линде,о поведении «р —► ) , где тождественное вложение,мы получим следующую теорему, которая является основным результатом второй главы.

ТЕОРЕМА 2.3.1.Справедливы следующие соотношения: V*

1. Сд „<"> X Пг при

ч,р */г " Ур

2. с^рСп) а п. г при 1 <: ^ $ г $ р

3. 'с<|,р<г0 * 1 ЕРИ г { р < ч < »

00

У

Ср(р с-ч X (£и.п.) Р Ери 2 < р <

5. <*, " Уг < С^рСп.) « Ур («пп.)1 " при

г < Ц < р <«° ,где <*А,-положительные конотантн.не зависящие от п.

Уа

6. С ("-> X П ^ при г 4 ц * *>

7. с сп.) х л. ' р яра 1 * р < -

V Г

(Если ' ' -положительные посл-

едовательности, то символ а(>а)Х &СгО означает,чт;

а<Ю -г;- а.(п) ,

О < Ц/т. - < Скугк - < <*> )

»Сп.)

Теорема 2.3.1 шесте с теоремой 2.1.2 дает полный ответ на вопрос :когда все компакты в Ь.р ( ¿ьт I? = «о ) являются I? -малыми (сИлп. I? = «о) ?Этот ответ формулируется в виде следст-вяя 2-3.2. р - - „

СЛЕДСТВИЕ 2.3.2.Пусть 1=1.ГП. р) , I- = I- СБ, V ) ,

<Ит 1?= о" > <Аьт 1?= оо ,

1.При 1 < р < 2 в пространстве I? существуют не С -малые компакты для любого я б [!,«•] .

2.При р = 2 все компакты в I? являются I? - малыми идя любого я £ (1 ,оо 3 .Однако в I? существуют не I.1 -малые компакты.

3.При 2. < р <оо все компакты в ц являются I? -малыми для любого £ (р>°°] .Для остальных значений ^ в 1Г существуют не I? -малые компакты.

4.При р г оо все компакты в являются б, V) -малыми. Для 1 5 с) < оо в 1°° существуют не I? -малые компакта.

Р

В частности, в бесконечномерных пространствах ц ( 1 ( р 4 «>) лишь при р= X . ре оо все компакты являются малыми.

Третья глава посвящена изучению первого и третьего вопросов, Сформулированных выше.В §3.1 изложено определение типа и котипа банахова пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИИ 3.1,1.Дано банахово пространство X .натуральное число п и 1 < р < 2 (соответственно, 5 Пусть Тр(X,гу> ( соответственно, Сч (X,«-)) является наименьшим из таких чисел т ( соответственно, с ) ,что .1

^»2111г.(Ъх11<й * т Ц* »«У) 1*

(соответственно,

{I" I X IIя < С ( 51 II Г. (I) ас. у<л ) )

1:4 1 О 1Г1 4. I ' '

для любых , .. . , хп е X ,где \ г )}_ -функции Радемахера. 1=1

ПУСТЬ Тр(Х) = би-р^ Тр (Х,л) . с<,00 = с^ (Х,п)

Если Тр(Х)<°о ( соответственно, С^СХ) <«> ) ,то говорят, что X имеет тип р я Ур(Х) является константой типа р пространства X (соответственно, X имеет котип с) к Ся (X) является константой котипа ^ пространства X ) .

В $3.2 установлена една решеточная характеристика гильбертова пространства в классе банаховых пространств котипа 2, которая гласит следующее:

ТЕОРЕМА 3.2.5.Пусть X есть банахово пространство котипа 2 .Если существует банахсва решетка Е :акая,что все компакты в X суть £ -малые,то X изоморфно гильбертову пространству.

Средством для доказательства этой теоремы являются теорема Морэ.одна теорема геометрии банаховых пространств и следующее предложение:

ПРЕДДСЬ-.йШ 3.2.1.Пусть X , У - оанаховь- пространства, и е П2СХ(У) .Если и (вд) э ,ю существует гильбертово пространство Н такое,что е1(н,Г) < гса(и> (где с1(н,У} обозначает расстояние Еанаха-Мазура между пространствами Н , У )

Из теоремы 3.2.5 и ол,ной теоремы Нильсена мы получим следующую характеристику пространства I?

СЛЕДСТВИЕ 2 (п.3.2.6) .Банахова решетка котипа 2 решеточно иэомор|на 1_2(Т,|ы.) для некоторого пространства с мерой

( Т, (О тогда и только тогда.когда все компакты в ней малые.

В $3.3 изучается связь между понятиями малого компакта и типа,котипа пространства. В этом параграфе используется понятие а -финитной представдаости одного банахова пространства в другом банаховом пространстве.Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 3.3.3.Если существует Занахова решетка Е такая, что все компакты в банаховом пространства X являются Е -малыми,то X* а -финитно представимо в -С1 для некоторого 1 < <х < <*> > (В частности, К* имеет котип 2 ) .

ПРЕДЛСЖЕНИЕ 3.3.6.Если существует банахова решетка Е такая, что все компакты в банаховом пространство X . являются Е -малыш, X* имеет тип р > i ,то X имеет тип 2 . ТЕОРЕМА 3.3.8.Банахова решетка X решеточно изоморфна L* ÎT, fO для некоторого пространства с мерой ( Т, ç< ) тогда и только тогда,когда все компакты в X z в X* малые. Средством изучения в этом параграфе являются факты геометрии банаховых пространств.

Параграф 3.4 посвящен рассмотрению общего вопросагкогда в банаховом пространстве X существует не Е -малый компакт? Для изучения этого вопроса используется теория q -вогнутых банаховых решеток .Банахова решетка Е называэтся <\ -вогнутой ( 1 4 i м ) .если существует константа M > о такая,что

(Г «а.«41)^ « M«Z? ix. I4)'74 К при 1 i Я <

1 = I Ъ t Г 4 V

rtr

rrwtac, , . _ II*, Il « M II У |ac.| К при q г oo 1 < i in 4 t 1 ~

для лвбьх xt , . . £ E

Благодаря одной теореме В.Мильмана и G.Schechtwan (точнее, несколько модифицированному варианту этой теоремы ) ,а такте методам.использованным в доказательстве теоремы 2.3.1 мы получим следующие результаты:

ТЕОРЕМА 3.4.4.Пусть банахово пространство X удовлетворяет условию 1 < рх* < 2 .где р^* s я^р \ t : X* имеет тип t } , Е - банахова решетка котипа г ,где г < р' .Тогда в X существует не Е -малый компакт.

ТЕОРЕМА 3.4.Б.Пусть банахово пространство X удовлетворяет условию t < рх* < Я .причем X* имеет тип рх* , Е -р^* -вогнутая банахова решетка.Тогда в X существует не Е -малый компакт.

СЛЕДСТВИЕ.Пусть X - банахово пространство с сопряженным X типа р^, , 1 < р^« < z , Е - г -вогнутая банахова решетка, i i г i .Тогда в X существует не Е -малый компакт. *

ЗАМЕЛАПИЕ.Результаты главы 2 показывают ,что при г > р^* или прз Рх* г 2 >г>1- возможен случай .когда все компакты в X являются Е -малыми (си.следствие 2.3.2).

Как следствие теорем 3.4.4 и 3.4.5 ми получим следующую характеристику пространства I? в одном классе -вогнутых банаховых решеток.

ТЕОРША 2 (п.3.4.6 ) .Пусть £ - класс банахоЕих решеток, элементами которого являются q -вогнутые банаховы решетки Е типа р ,гдэ с1 z { 5 : Е - Э -вогнутая } и р>1 при я > Й .В классе Б лишь банаховы решетки,которые изоморфны гильбертову пространству.обладают свойством:все компакты в них являются малыми.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю.профессору Б.М.Макарову,за постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации 1.Хоанг Ван Хунт. О компактах в пространствах 1Г .Вестн.СПбУ. Сер.1,вып.2 (1994)