Инфинитезимальные методы в теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

? Г Б ОД

российская академия наук

сибирское отделение институт математики

На правах рукопиг

Емельянов Эдуард Юрьевич

инфинитезимальные методы в тес7"" ^екторных решеток и решеточно нормирована пространств

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-1994

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г. Кусраев доктор физико-математических наук, профессор С.С. Кутателадзе

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.К. Водопьянов кандидат физико-математических наук Е.В. Колесников

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет.

Защита диссертации состоится " .1994 г.

в " час. на заседании специализированного совета К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО РАН по адресу: (630090) г. Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

1ан "_3

Автореферат разослан "_ -> " ПУ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета при Институте математики СО РАН

I

и

и

кандидат физико-математических наук В.В. Иванов

I. Общая характеристика работы

1°. Важным разделом современной математики является инфините-зимальный анализ, открытый Абрахамом Робинсоном в 1961 году. В рамках робинсоновского инфинитезимального анализа было дано строгое логическое обоснование идеи бесконечно малых, ранее успешно используемой в физике и математике. Применение инфинитезимального анализа позволяет выработать альтернативные точки зрения на классические задачи с одной стороны, и конструировать новые, представляющие значительный исследовательский интерес математические объекты, с другой. Остановимся подробнее на двух разделах функционального анализа — теории нормированных пространств и теории меры, прогресс которых в настоящее время тесно связан с использованием инфинитезимальных методов.

Ключевую роль в инфинитезимальной теории нормированных пространств играет понятие нестандартной оболочки, введенное В. Люксембургом. На использовании этого понятия основаны многочисленные приложения к изучению локальных свойств банаховых пространств, разрабатываемые Я.Л. Кривиным, Л. Мором, С. Хенриком, С. Хенсо-ном и др. В числе наиболее ярких примеров можно упомянуть, например, результаты Кривина о блочно-финитной представимости базисов пространств и с„, а также простое нестандартное решение проблемы трех пространств для суперрефлексивности.

В нестандартной теории меры и ее приложениях в теории вероятностей основные достижения связаны с использованием конструкции меры Леба. Эта конструкция позволяет сопоставить всякой внутренней мере некоторую стандартную счетно-аддитивную меру, естественным образом связанную с исходной. Изучению мер Леба и их приложений к стохастическому анализу посвящены исследования С. Альбеверио,

Р. Андерсона, Е.И. Гордона, Н. Катланда, П. Леба и др. Отметим также, что в последние годы получила развитие теория векторнознач-ных мер Леба, введенных Р. Живалевичем для мер со значениями в нормированных пространствах.

При исследовании векторных решеток инфинитезимальный анализ в Настоящее время используется в значительно меньшей степени, чем в теории нормированных пространств или в теории меры. Отчасти это связано с отсутствием в теории векторных решеток аналогов понятий типа нестандартной оболочки или меры Леба. Вместе с тем, наличие в векторных решетках различного рода сходимостей, связанных с порядком, позволяет надеяться, что приложение инфинитезимальных методов может оказаться весьма плодотворным.

2°. Цель настоящей работы заключается в том, чтобы выявить некоторые новые пути применения инфинитезимального анализа в общей теории векторных решеток и решегочно нормированных пространств.

3°. В диссертационной работе используются методы теории решеток, теории решеточно нормированных пространств, методы обшей топологии и аппарат робинсоновского нестандартного анализа.

4°. Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней предложены три новых подхода к исследованию векторных решеток методами инфинитезимального анализа. Первый из них основан на предложенном автором инфинитезимальном способе представления векторных решеток в виде функциональных пространств. Второй подход заключается в интерпретации различных условий (архимедовость, условная полнота, дискретность, порядковая непрерывность оператора и др.), налагаемых на векторные решетки и действующие в них операторы в виде соотношений между различными типами элементов нестандартных расширений соответствующих решеток. Третий состо-

ит в изучении строения порядковых и регулярных нестандартных оболочек векторных решеток и решеточно нормированных пространств и в сравнении их с исходными объектами.

5°. Теоретическая ценность результатов диссертации в том, что они могут составить основу для успешного применения инфинигези-мального анализа к внутренним задачам теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств.

6°. Результаты изложенные в диссертации, по мере их получения, обсуждались на семинаре лаборатории функционального анализа Института математики СО РАН, на семинаре по нестандартному анализу кафедры математического анализа Новосибирского госуниверситета; докладывались на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике памяти Л.В. Канторовича (Новосибирск, 1994); были представлены на Международном коллоквиуме по нестандартной математике памяти Абрахама Робинсона (Авейро, 1994).

7и. Результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2], указанных в конце автореферата.

8°. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, занимает 82 страницы печатного текста, обработанного издательской системой Ш^Х. Библиография включает 42 наименования.

II. Содержание работы

Во введении дается краткое обоснование актуальности исследуемой тематики и общая целевая установка работы. Приводится краткая характеристика основных результатов, изложенных в диссертации, а также используемых методов.

Глава 0 носит вспомогательный характер. Она содержит краткие пояснения относящиеся к теории векторных решеток, теории решеточ-но нормированных пространств и используемому аппарату робинсо-новского нестандартного анализа. Излагаемые в этой главе факты не являются новыми и отражены в соответствующей литературе.

В главе 1 разрабатывается ннфинитезимальный подход к представлению векторных решеток пространствами непрерывных функций. Отметим, что ранее для произвольных векторных решеток этот вопрос в инфинитезимальном контексте не изучался. В первом параграфе этой главы рассматриваются решетки с наименьшим элементом — нулем. Пусть Ь — такая решетка, а 0 — ее нулевой элемент. Назовем элемент к нестандартного расширения решетки Ь — неделимым, если ас > 0 и для любого х 6 Ь либо х > к либо х Л к — 0. В случае когда решетка Ь дистрибутивна, неделимыми будут элементы монады любого ультрафильтра на Ь и отличные от нуля элементы *Ь лежащие под ними. Установленная в этом параграфе теорема 1.6 1 дает исчерпывающий ответ на вопрос когда все неделимые элементы нестандартного расширения дистрибутивной решетки могут быть получены таким способом. Это происходит в том и только том случае, если всякий элемент решетки Ь имеет псевдодополнение, то есть, если для любого х С Ь найдется такой х' 6 Ь, что хЛх' = 0ихУх' — слабая единица решетки Ь. Внутреннее подмножество Б решетки *Ь назовем насыщающим, если 0 £ V и для любого х е Ь \ {0} найдется 6 € V такое, что 6 < х. Следующее утверждение играет важную роль на протяжении всей диссертационной работы.

1 Нуиерадхж же «кдшшых курсхвок утвержден** соответствует юс яунер&вдж в тексте дхссерт&шк.

Лемма 1 (лемма1.2 2) В нестандартном расширении произвольной решетки с нулем существует гиперконечное насыщающее подмножество состоящее из попарно дизъюнктных неделимых элементов.

Пусть Л — какое-либо насыщающее множество неделимых элементов *Ь, существующее согласно этой лемме. Для любого х € Ь положим Лг := {к 6 Л : к < г}. Тогда при каждом у С Ь семейство {Л* х < у} является базой некоторой компактной топологии тх на множестве Ах. Введенную топологию будем называть канонической. Заметим, что в том случае, когда решетка Ь имеет слабую единицу (пусть, например, это элемент е 6 Ь), выполняется условие Л = Ле и, следовательно, семейство {Лх 6 £} порождает топологию т на всем Л. Для простоты изложения, далее будем предполагать, что решетка Ь обладает слабой единицей. На множестве Л вводится отношение эквивалентности ~ следующим правилом: к\ ~ «г> если для любого г € £ условие х > «! выполняется тогда и только тогда, когда х > К2. Пусть Л — факторпространство пространства (Л, г) по отношению эквивалентности ~ . Тогда Л — компактное Го-пространство, являющееся вполне несвязным компактом в том и только том случае, когда всякий элемент решетки Ь имеет псевдодополнение. Отметим, что если Ь булева алгебра, то топологическое пространство Л является ее стоуновским компактом.

во втором параграфе предлагается инфинитезимальный способ реализации векторных решеток в виде пространств непрерывных функций. Поскольку при этом, наиболее содержательные результаты получаются в архимедовом случае, мы ограничимся изучением архимедовых векторных решеток, причем, для простоты изложения, будем рас-

3Дд* выделяемых гурежвок утверждет*4 ыторефер&та «ежогьзовша. двоСхы Еукерадкт. В сюбгм укыаяы номера соответствувщжх утвержден** хз тетст» дкеертшвга.

сматривать лишь решетки с единицей. Пусть далее Е — архимедова векторная решетка, а е — некоторая фиксированная единица этой решетки. Конус положительных элементов Е+ векторной решетки Е является решеткой с нулем и со слабой единицей. Таким образом, для изучения векторной решетки Е можно воспользоваться результатами §1. В силу леммы 1, существует насыщающее множество неделимых элементов решетки 'Е+. Фиксируем это множество и обозначим его Л. Заметим, что согласно §1, Л — компактное топологическое пространство в некоторой канонической топологии тг. Основным результатом первой главы является следующее утверждение

Теорема 1 (теорема 2.3) Отображение <р, сопоставляющее всякому элементу х £ Е функцию х : Л —► К, заданную правилом

¿(к) := ¡п/{А е И : (Ае - х)+ > к}, (к 6 Л)

является линейным и решеточным изоморфизмом векторной решетки Е на векторную подрешетку<р(Е) пространства С<»(Л) расширенных непрерывных функций на топологическом пространстве (Л, т).

Следует отметить, что эта теорема в некотором смысле является ин-финитезимальным аналогом теоремы Джонсона - Киста о реализации архимедовых векторных решеток решетками расширенных непрерывных функций.

В последнем параграфе главы, в качестве примера использования теоремы 1, будут даны нестандартные доказательства двух классических результатов о представлении векторных решеток.

Профакторизуем топологическое пространство (А, г) по отношению эквивалентности К, определяемому следующим образом: к^Ккх если х{к\) — ¿(кз) для любого х € Е. Легко видеть, что полученное фак-торпространство является компактом. Обозначим его через Лц и

рассмотрим отображение Ф: Е —► С^Лц) такое, что

Ф(*)«а)) = *(а), (хеЕ,а 6 Л)

где (а) — факторкласс пространства Ля содержащий элемент а . Отметим, что в том случае, когда Е — решетка с проекциями на главные компоненты, отношение эквивалентности Т1 совпадает с отношением ~ , введенным в §1.

Предложим, что е — сильная порядковая единица векторной решетки Е. Привлекая теорему 1, нетрудно убедиться, что отображение Ф является линейным и решеточным изоморфизмом Е на плотную (в равномерной норме) подрешетку векторной решетки С(А-п) всех непрерывных функций на компакте Ля, причем Ф(е) = 1 на всем Ля-Таким образом, фактически, получено нестандартное доказательство теоремы Крейнов - Какутани о представлении архимедовой векторной решетки с сильной порядковой единицей.

Пусть векторная решетка Е является ./^-пространством. Тогда, как показывает элементарная проверка, из теоремы 1 вытекает, что Ля — экстремально несвязный компакт, а отображение Ф является линейным и решеточным изоморфизмом Е на некоторый фундамент расширенного /^-пространства Соо(Ля), причем Ф(е) — функция тождественно равная единице на Ля- Отсюда сразу следует теорема Вулиха о представлении ^-пространства с единицей. Аналогично получается функциональная реализация ^„-пространства с единицей.

Во второй главе диссертации даются инфинитезимальные интерпретации ряда свойств векторных решеток и действующих в них линейных операторов. Всюду в этой главе Е и ^ — векторные решетки, Т : Е —► Р — линейный оператор. В §4 — первом параграфе главы 2 приводятся необходимые определения. Обозначим для любого элемента к € *Е множество его стандартных верхних границ через

U(к), а множество стандартных нижних границ через L(ic). Выделим в нестандартном расширении ' Е векторной решетки Е следующие подмножества:

fin(*E) := {к G *ЕГ: 1/(|к|) ф 0}

— ограниченных элементов;

(о) - рпзСЕ) := {к G *Е : ю/я№) - L{,с)) = 0}

— порядково предстандартных элементов;

П(*Е) := {к G 'Е : ¿п/в(Р (М)) = 0}

— порядково инфннитезнмальных элементов;

А СЕ) := {к G *Е : (3 у G E)(Vr» G N)|»ue| < y}

— регулярно инфинитезимальных элементов. Указанные множества являются векторными решетками относительно решеточных операций, сложения и умножения на скаляры поля R, наследуемых из 'Е. Важную роль для дальнейшего изложения будет играть то обстоятельство, что т]{* Е) — порядковый идеал в /гп(*Е) и в (o)-pns(*E), а также то, что А(*Е) — порядковый идеал в fin('E). Отметим один существенный результат, установленный в этом параграфе.

Теорема 2 (теорема 4.4) Пусть Е — произвольная векторная решетка. Тогда равносильны следующие условия :

а) Е — архимедова порядково сепарабелъная решетка, порядковая сходимость в которой совпадает со сходимостью с регулятором ;

б) Е — архимедова порядково сепарабелъная решетка, порядковая сходимость в которой устойчива ;

в) „('£) = А{'Е).

Отметим, что эквивалентность утверждений а) и б) теоремы является хорошо известным фактом из теории векторных решеток, приведенным здесь лишь для иллюстрации связи (о)- и (г)-сходимости с порядково и регулярно инфинитезималышми элементами.

В пятом параграфе дается нестандартный критерий архимедовости векторной решетки и предлагается новая — инфинитезимальная реализация порядкового пополнения архимедовых векторных решеток. Остановимся подробнее на инфинитезимальной схеме пополнения. Пусть Е — архимедова векторная решетка. Тогда, как показано в этом параграфе, факторрешетка

Е:= (о)-риСЕ)/пСЕ)

является ^-пространством, содержащим изоморфный образ векторной решетки Е при каноническом вложении )) : Е —> Е, как массивную мннорантную подрешетку. Иначе говоря факторрешетка Е является порядковым пополнением решетки Е . Отсюда, в качестве простого следствия, вытекает следующий нестандартный критерий условной полноты архимедовой векторной решетки

Теорема 3 (теорема 5.7) Архимедова векторная решетка является К-пространством тогда и только тогда, когда каждый порядково предстандартный элемент ее нестандартного расширения порядково околостандартен, то есть отличается от некоторого стандартного на порядково инфинитезимальный.

Напомним, что векторная решетка Е называется дискретной, если она не содержит ненулевых безатомных элементов. В §6 установлен следующий инфинитезимальный критерий

Теорема 4 (теорема 6.1) Векторная решетка является архимедовой и дискретной в том и только том случае, когда всякий ограниченный элемент ее нестандартного расширения порядково предстан-дартен.

В седьмом параграфе рассматриваются нормированные решетки. Пусть (Е,р) нормированная решетка. В ее нестандартном расширении выделяют подмножества:

Пп('Е) := {к€*Е: р(к) € Гт(*Щ

— ограниченных по норме элементов;

ц('Е) := {/с 6 *Е : р(к) « 0}

— инфинитезимальных по норме элементов. В этом параграфе установлены два важных инфинитезимальных критерия — критерий порядковой непрерывности нормы:

норма порядково непрерывна тогда и только тогда, когда всякий порядково инфинитезималъный элемент нестандартного расширения нормированной решетки является инфинитезималъным по норме.

и критерий того, что банахова решетка линейно и решеточяо изоморфна пространству непрерывных функций на компакте:

банахова решетка изоморфна решетке непрерывных функций на компакте тогда и только тогда, когда всякий инфинитезимальный по норме элемент нестандартного расширения этой решетки является порядково инфинитеаимальным.

Восьмой параграф — последний во второй главе, содержит нестандартные критерии порядковой ограниченности и порядковой непрерывности линейных операторов, действующих в векторных решетках.

Теорема 5 (теоремы 8.2 , 8.4) Пусть Е , Г — архимедовы векторные решетки, Т : Е —► Г — линейный оператор. Тогда равносильны следующие условия:

а) оператор Т порядково ограничен (по рядков о непрерывен) ;

б) оператор Т переводит порядково ограниченные (порядково непрерывные) элементы нестандартного расширения решетки Е в порядково ограниченные (порядково непрерывные) элементы нестандартного расширения решетки F.

Сделаем два замечания к формулировке этой теоремы. Первое из них состоит в том, что условия а), б) для порядковой ограниченности эквивалентны в случае произвольных векторных решеток. Второе замечание заключается в том, что при дополнительном предположении о порядковой ограниченности оператора Т, условия а) и б) равносильны без дополнительного требования об архимедовости решетки Е.

В главе 3 изучаются различные типы нестандартных оболочек векторных решеток и решеточно нормированных пространств (далее сокращенно называемых РНП). В девятом и десятом параграфах определяются порядково и регулярно нестандартные (или просто порядковые и регулярные) оболочки векторных решеток и изучаются некоторые их свойства. Пусть Е — векторная решетка. Ее порядковой (соответственно, регулярной) оболочкой будет называться факторре-шетка

соответственно, факторрешетка

Имеется естественное (каноническое) отображение г)е Е (о)-Т?! (со-

ответственно, отображение Ле : Е (г)-Ё), определяемое правилом

соответственно, правилом

Л*(») := х + Л(*Е). (х Е Е)

Порядковая и регулярная оболочки произвольной векторной решетки являются векторными решетками, полными относительно сходимости с регулятором. Условной полноты в общем случае может не быть даже у оболочек Й'-пространств. В том случае, когда векторная решетка архимедова и дискретна, ее порядковая (но не обязательно регулярная) оболочка также будет ЙГ-пространством.

Основным результатом установленным в этом параграфе является приводимая ниже, теорема об изоморфизме.

Теорема 6 (теоремы 9.4 ,10.2) Пусть Е — произвольная векторная решетка. Тогда равносильны следующие условия:

а) отображение щ : Е —► (о)-Е ( соответственно, отображение Хе ' Е —► {г)-~Е ) является линейным и решеточным изоморфизмом векторной решетки Е на (о)-Ш (соответственно, на (г)-£ );

б) векторная решетка Е является дискретным К-пространством

( соответственно, дискретным почти регулярным К-пространством),

Отметим, что для порядковых оболочек условиям а) и б) теоремы равносильно также условие

в) векторная решетка Е линейно и решеточно изоморфна своей порядковой оболочке.

В одиннадцатом параграфе вводятся и изучаются порядковые оболочки решеточно нормированных пространств. Всюду предполагается, что (X, а,Е) — РНП, нормирующая решетка Е которого является /^-пространством. Порядковой оболочкой X будем

называть факторпространство X := fin(*X)/r](*X) (где Jin{*X) := {/с G *Х : *а(к) € /¡п('Е)} и tf(*E) := {к G "X : *а(к) G ??(*#)}) наделенное (о)-Е-значной факторнормой ZT такой, что Щк\) := 'a(n)+rj(*X).

Отметим, что если РНП (X, а, Е) разложимо (то есть, если норма а удовлетворяет аксиоме Канторовича), порядковая оболочка (Л'.сГ, (о)-1?) является разложимым (г)-полным РНП. Рассмотрим отображение рц : [о)-Е —+ Е определенное правилом:

рЕ(х) := infE{e G Е : т?(е) > \х\} (х е (о) - Ё).

Одним из наиболее важных результатов третьей главы является следующее утверждение.

Теорема 7 (теорема 11.4 ) Пусть (X,а,Е) —разложимое реше-точно нормированное пространство. Тогда тройка (X,ре ° 5, Е) является пространством Банаха - Канторовича, причем

Ре о <Т([л]) = tn/js{e € Е : е > 'а(к)}

для любого элемента к G fin(*E)

В случае, когда РНП (Х,а,Е) разложимо, будем называть ПБК (X, рЕ ° 3, Е) — ассоциированным пространством к порядковой оболочке пространства X. Понятие ассоциированного пространства может быть использовано для построения порядкового пополнения разложимого РНП. А именно, как установлено в этом параграфе, справедливо следующее утверждение

Пусть (X, о, Е) — разложимое решеточно нормированное пространство. Тогда тройка (X, Ре ° Я, Е) ( где X — множество пределов всех сходящихся по норме рв°Ъ сетей, образованных элементами пространства г)(Х) ) является порядковым пополнением исходного РНП, при каноническом вложении X •-»• X.

В §12 — последнем параграфе третьей главы — изучаются вопрос о поднятии внутренних мажорируемых линейных операторов, допускающих стандартную порядково непрерывную мажоранту, на ассоциированные ПБК. Здесь Е п Р — некоторые /("-пространства; (X, о, Е) и (УД Р) — разложимые РНП. Символом МЛ(Х,У) обозначим множество линейных операторов из X в У, допускающих порядково непрерывную мажоранту, а символом Л4п(*Х, *У) — множество внутренних операторов из 'X в *У, имеющих стандартную порядково непрерывную мажоранту. В том случае, когда оператор Т принадлежит Мп(*Х,*У), для него выполняются следующие условия: Т(/т{*Х)) С /т(*У) и Т^(*Х)) С т/('У) . Таким образом, правило

Т(М):=[Т«] («£/»<*))

корректно определяет оператор Т : X —► У называемый поднятием оператора Т на ассоциированное пространство.

В этом параграфе установлено следующее свойство поднятий операторов:

Пусть Т 6 Мп(*Х,'У). Тогда Т Е МЯ(Х,¥), причем справедливо следующая оценка для наименьших мажорант:

т< ¿«/{-5 6 ЬЛ(Е,Р): *5 > С1};

Если же оператор Т к тому же предполагается стандартным (то есть, если Т 6 ), его поднятие Т является сохраняющим

мажорантную норму продолжением оператора Т на ассоциированное пространство 1С .

Согласно предложенной в §11 конструкции пополнения и последнему свойству поднятий, автоматически получается известное утверждение о существовании и единственности продолжения у порядково непрерывного мажорируемого оператора на порядковое пополнение своей области определения.

Приложения А и Б, помещенные в конце диссертационной работы содержат доказательства некоторых вспомогательных технических утверждений, используемых в основном тексте диссертации.