О единственности и существовании проекторов с единичной нормой в нерефлексивных банаховых и упорядоченных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

од

На правах рукописи

УДК 517.98

ЯКУБСОН ¿Михаил Яковлевич

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИИ ПРОЕКТОРОВ С ЕДИНИЧНОЙ НОРМОЙ В НЕРЕФЛЕКСИВНЫХ БАНАХОВЫХ И УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Санкт-Петербург

1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И.Гсрцсыа.

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор В.П.ОДИНЕЦ

Официальные оппоненты: доктор фшико-математических наук, профессор А.И.ВЕКСЛЕР кандидат физико-математнчсских наук, доцент Б.А.ИВАНОВ

Ведущая организация - Мурманский педагогический институт

т— . ■ г*

Защита состоится ■ 1995 года в 16 ^ часов на

заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р.Мойки,48, корп.1, ауд. 209)

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке РГПУ им. А.И.Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р.Мойхи,48, корп.5) .

Автореферат разослан 9. Р ЬШЫлЯ^ 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

И.Б.Готская

ОЫДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В различных разделах функционального анализа, таких, например, как геометрия баип.чопых пространств, теории наилучшего приближения пшрохое применение ПОЛуЧНЛН ГГрОСИШОМНы?

i.iyiWr» у—с с ±оицл 30-х годов изучались проекторы (ограниченные идемпотентные операторы) с единичной нормой, являющиеся естественным обобщением ортогональные яроехторов в гильбертовых пространегвах. При их изучении естественно ставятся две проблемы:

(ЕР)-ьопрос о существовании проектора с единичной нормой; (UP)-Bonpoc о едннстаснностн такого проектора. Проблемами (ПР) л (UP) занимались такие математики кли А.Тэалор, Г.Ьоненбласт, Л Н.Канторопнч, Р.Джеймс, Л.Нахбин, Г'.П.Акллоп. М.З.Соломяк. ИЛинденштраусс, М.И.Кадсп, Ч.Бсс-сага, Д.Пелчннсг.н!!, Л.Авдо, В.П.Гурарий и друтие. Большой вклад я решение проблемы (UP) внес В.П.Одшгец.

калача (ЕР) а некоторых случаях лахо разрешима. Например, с ели D - А'\ существует проектор т В = D~ на канонический образ D. В то же время в общем случал (сстестгснно, лерефтехсианого) пространства D вопрос о существовании и, тем более, сдинст-¡клшости проектора из D" на D открыт.

Так, например, известно, что не существует проектора Р: т с г. . Это объясняет интерес к проекторам P.D" D. Для классического пространства Джеймса вопрос о сущестаошнпш is едннстжшюсти такого проектора был постаался в 60-е годы Ч.Бсс-с:цх>й и Tie был решен классическими методами.

Другой известный результат о существовании проектора P.D" D относится к нормированным векторным решеткам. В

этом классе пространств такой проектор с единичной нормой существует при условии порядковой полунепрерывностн н монотонной полноты нормы.

В векторных решетках можно построить достаточно много проекторов с единичной нормой - такой проектор существует на полосу в условно полной нормированной векторной решетке (нормированном К-пространстве). Представляет интерес поэтому доказательство того, что некоторые подпространства являются полосами. В диссертации эта задача решается для подпространств сингулярных операторов.

Естественным обобщением, с одной стороны, нормированных, с другой стороны, упорядоченных пространств являются ре-шеточно-нормнрованные пространства. На них обобщаются многие результаты, касающиеся упорядоченных пространств.

К проблемам (ЕР) и (ЦР) тесно примыкают некоторые задачи геометрии функциональных пространств: например, описание сопряженных пространств к пространствам Джеймса, разложение пространства регулярных операторов в прямую сумму непрерывной и сингулярной компоненты, получение аналогичного разложения для операторов в решеточно- нормированных пространствах и другие.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, Обобщение классического пространства Джеймса. Описание сопряженных четного порядка к обобщенным пространствам Джеймса. Доказательство теорем о существовании и единственности проекторов с единичной нормой из I)" на 2? н £>~ на £>" для пространств типа Джеймса и их сопряженных четного порядка. Изучение операторов в векторных решетках и рс-шеточпо-нормированных пространствах.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы геометрии банаховых пространств, теории упорядоченных и решеточно-нормнрованных пространств.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы являются новыми. Укажем некоторые из них:

-введена шкала пространств /, для любого р>1. обгЛтллпш» *Я™СС!Г!ГС~СС ПрОСТПжгимен:

-получено полное описаипе нормы в пространствах, сопряженных к ]р любого четного порядка;

-доказана единственность проектора с единичной нормой нз О" на Б для пространств я их сопряженных любого четного, а также первого порядка;

-дано условие единственности проектора для идеальных пространств измеримых фушшнй;

-для операторов, действующих на упорядоченных и решеточно-нормированиых пространствах, доказано существование разложения на порядково непрерывную н сингулярпую составляющую;

-доказано существование проектора из пространства регулярных операторов на подпространство сингулярных операторов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть нсподкзовлаи а дальнейших исследованиях по теории банаховых, упорядоченных и решеточно- нормнрованных пространств.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), на городских семинарах по полуупорядоченным пространствам и геометрии банаховых пространств в РГПУ нм. А.И.Герцена, а также на Гер-

«

ценовских чтениях в 1994 и 1995 годах.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава послащена решению проблемы существования и единственности проектора с единичной нормой в нерефлексишшх банаховых пространствах. Во второй главе исследуются упорядоченные н решеточно-иормированиые пространства.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации посвящена обобщенным пространствам Джеймса. В известных работах 1950 н1951 годов Р.Дженмс мягл дьа изоморфных пространства последовательностей:

/ = |х = (х, );■. Um х, ш о,]х| = sup! f (х^ - хл f + хл J ^ < И

Ja = |х = U/^Um.г, = о,¡4 = «Р[£(*л ~ У + " <

Пространство Jm - знаменитый пример нерефлексивного пространства, мекапошиескн нзометричного своему второму сопряженному.

В §1 ппааы I вводится шкала пространств Jг н Jmr для любого р>1. Норма в этих пространствах вводится аналогично исходным пространствам Джеймса с заменой в формулах числа 2 на р. Доказывается, что эти пространства обладают стягивающим базисом (для любого функционала из сопряженного пространства норма ограничения этого функционала на линейную оболочку

"остатка" баппспой последовательности стремится к нулю).

В 32, исполымя теорему Джеймса о втором сопряженном пространстве, доказывается следующий результат.

Пусть В= 7, нлн Лпр. Для любого натурального п образ 2и-»о сопряженного к В пространства при каноническом вложении в 2п+2-с сопряженное имеет коразмерность 1.

В §2 приведено полное описание нормы в 2п-м сопояжепном к н /тг, фйрм^шроику тсо1>емм им»

Определение 1. Мультниндексом порадка л назовем последовательность целых чисел I' удовлетворяющих неравенствам

О5 £ 1, у2,...5-1 £ к, а .*>_, -1....0 £ к, ¿к^-1 Определение 2. Дополнительными членами, соответствующими мультишщексу /', назовем выражения

j--L

'-э

<-0 |,.0

где коэффициенты л, вычисляются по следующим «|юрмулам:

а) при i = 0 ^ = 2'1/ ,0 £ j £ я - = 1

б) при s > 0 ^ = г-1-' - 2?"' ,0 <; у s л -= 0

••V =2Г"',0 $.j<.a-\,am = 1. Здесь мы обозначаем 2f -- 2*,ir г 0; 2* - 0,* < 0. Теорема 2. Обозначим 2п-с сопряжепное к пространству В через В2''. Тогда

а) = |х = (.г,)^1Г.г, (ф! = maxsupifjx^, - xft/f + //(т)]^ < *>J

б) /;-• = j-r = = шшсЩк., -+ ?r(*)f < -J, me

/'"'(х) = r"l(x) или т"1(х) н sup берется по всем подпоследова-

(

тельиостям х таким, что

В §3 полученное описание нормы применяется для доказательства результатов о единственности проекторов с единичной нормой. Основным инструментом доказательства является следующая

Лемма. Пусть В = с,£> = сд но составу элементов (норма вВиБ произвольна). Для последовательности х = {х,) обозначим 1ипх,

через X,. Тоща для любого (алгебраическою) проектора Р.Б-^ В найдется Ь -1,Р(х)~ х~Ьл Ь. Будем обозначать такой проектор через Р„.

Далее мы устанавливаем связь между свойствами элемента Ъ и проектора Рь. Приведем типичный результат.

Теорема 3. Пусть В = ^ 1. Рассматриваем проекторы Р\В~-+В. Пусть с еВ",с - (-1,1,1...); тогда \Р.1 = 1,>1 при Ь* г.

Доказательство проводятся предъявлением элемента а е В" такого, что >!•»{.

В §4 на основании известного результата В.П.Одннца о том, что проектор с единичной нормой единствен в случае однозначной продолжимости с сохранением нормы тотального множества функционалов доказывается единственность проектора с единичной нормой из иа 1'р,

В §1 главы II продолжено изучение проблемы (17), в качестве объекта изучения взяты идеальные пространства.

Пусть Е - идеальное пространство, Е^сБ - максимальный идеал, в котором норма порядково непрерывна. При некоторых условиях, накладываемых на пространство Е, доказывается, что если проектор с единичной нормой Р.Б £а существует, то он единствен.

В последующих параграфах главы П изучается проблема (ЕР) нлгн, более общо, проблема разложимости пространства в прямую сумму в классе упорядоченных и решеточно-нормированных про-

странстп. Напомним несколько определений, относящихся к тсорип векторных решеток (иолуунорядочепных пространств).

Пусть В - векторная решетка. Обозначим через Б~ множество порядково ограниченных функционалов на Е, через Ь~(Б,Р) множество порядково ограниченных операторов из Е в векторную решетку Р. Обозначим через Б~. (соответственно, £,(Б,Р)) множество ПГ>р«ДХОЯО фуЦГЛПСП^ЮЗ (иПЦЫшро«).

Подмножество Ф в Е будем называть фундаментом, если Ф -порядковый идеал и порожденная Ф полоса совпадает с Е. Назовем оператор (функционал) сингулярным, если найдется фундамент, лежащий в ядре этого оператора (функционала). Множество сингулярных функционалов (операторов) обозначим через Е~ (соответственно, С,{Б,Р).

Будем говорить, что Б" тотально на Е, если для любого элемента из Е найдется функционал из Е~, не обращающийся на данном элементе в нуль. Наконец, будем говорить, что Е обладает свойством Егорова, если в любом порядковом интервале выполняется теорема о диагональной последовательности.

Нелестна теорема Иосвды-Хьюнтта для векторных решеток, в современной форме полученная В.Люксембургом и Г'.ЯЛозанов-ским:

Если Б~ тотально на Е или Е обладает свойством Егорова, то

Б~ = Е]®Е~.

В §2 получено обобщение данной теоремы на операторный случая.

Напомним еще несколько определений. Векторную решетку Р будем называть К-просгранством, если каждое ограниченное сверху множество элементов имеет супремум.

К-пространство имеет счетный тип, если супремум любого множества реализуется на его счетном подмножестве.

Доказано следующее обобщение теоремы Иосиды-Хыоитга.

Теорема 1. Если Б", тотально на Е или Е обладает свойством

Егорова, то

С {Б,Б) ^ С,{Б,Б)® Ц[Б, Б).

Следствие. Существует проектор из Г (Б, Б) на Ц(Б,Б).

Дальнейшее обобщение теоремы Иосиды-Хьюитта связано с понятием решеточно-нормироваяпого пространства (РНП), которое мм рассмотрим в §3.

РНП будем называть тройку (Х,Е,р), где X - векторное пространство, Е - К-пространство, р:Х Е, - отображение, удовлетворяющее трем обычным аксиомам нормы. Типичными примерами РНП являются Е(Х) - пространства вектор-функции из измеримою пространства Т в нормированное пространство X. Областью значений нормы в этом случае будет идеальное пространство Е измеримых функций на Т. РНП называется пространством Банаха-Канторовича (ПБК), если оно полно относительно нормы р.

Оператор Т:{Х,Е,р)-> (У,Б,д) называется мажорируемым, если существует оператор .. л

Мажорируемый оператор Т назовем порядково непрерывным, если для любого направления

/»(*«) —^ 0 =» 0;

Мажорируемый оператор Т назовем сингулярным, если найдется Ф - фундамент в Е такой, что

если р(х) е«Р, то Тх=0.

Наконец, будем говорить, что РНП (Х,Е,р) - пространство с

разложимой нормой, если

Ух еХ.е еБ.,р(х) = с,(\ = с.с^л^ = = с1,р(х1)= с^

Обозначим через М{Х,У), М,{Х,У), Л/ДА",Г) соответственно, множестш! мажорируемых, порядково непрерывных и сингулярных операторов шХвУ, Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть (Х,Е,р) - пространство с разложимой нор-

мой, (Y,F,q) - ПБК, Е н F удовлетворяют условиям Теоремы 1 §2. Тогда

M{XX) = M,{X,Y)®M.{X,Y).

Теорема 2 выводится из Теоремы 1 §2 с помощью следующей леммы.

Лемма . Мажорируемый оператор Т сингулярен тоща н только тоща, когда сингулярен jrj.

Полученные пмутьтчтн «»«-»?■ белиzcz ^¿^¿¡шс лил дальнейшего изучения операторов в решеточно-ворггароззшшх пространствах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Якубсон МЯ. Обобщенная теорема Иосиды-Хьюитта для

решеточио-нормироваииых пространств // XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. -Н.Новгород, 1991.

2. Basile A., Bukhvalov A.V., Yakubson M.Ya., The generalised Yosida-Hewitt theorem // Universita" degli Sudi di Napoli "Fedirico П', p.34, 1992.

3. Якубсоп МЛ. О единственности минимальных проекторов на пространства типа Джеймса □ их сопряженные четного порядка. /РГПУ им.А.И.Герцена, СПб, 1995.-Деп. в ВИНИТИ N1024-B95.

4. Якубсоп МЛ. О единственности проектора с единичной нормой из В~' на В' для пространства типа Джеймса /РГПУ им. А.И.Герцена, СПб, 1995.-Деп. в ВИНИТИ N1225-B95.

РТПРГПУ э. ISO т. 100 38.0e.8S.