Аппроксимативные свойства подпространств в некоторых банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСЖИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.982.256

Бородин Петр Анатольевич

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПОДПРОСТРАНСТВ В НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Е. П. Долженко

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Гаркави

- доктор физико-математических наук, доцент И. Г. Царьков

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита состоится »{О » съи^сиЛг 1998 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " ^ " 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена некоторым вопросам теории приближений в линейных нормированных пространствах.

Актуальность темы. Пусть X - линейное нормированное пространство с нормой || • ||, М - непустое подмножество X, р(х,М) .= inf{|| х — у ||: у G М} - расстояние от элемента х € X до М, Рм{х) — {у € М :Ц х — у ||= р(х, М)} - метрическая проекция элемента х на множество М, то есть множество элементов наилучшего приближения для х в М. Основные аппроксимативные свойства множества М определяются свойствами оператора метрического проектирования Рм : х -4 Рм(х) -вообще говоря, неоднозначного и определенного не на всем X. Так, М называется множеством существования, если оператор Рм определен на всем пространстве X, и множеством единственности, если Рм однозначен на своей области определения. Если М является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х £ X в М существует ровно один элемент наилучшего приближения Рд/(.т), то М называется чебышевским множеством. Другие аппроксимативные свойства множества М определяют, исходя из различных видов непрерывности оператора Рщ.

Основными в теории приближений в нормированных пространствах (или, как говорят, геометрической теории приближений) являются задачи следующих двух типов:

(1) получение геометрических, топологических и аналитических характеристик мпожеств М С X, обладающих некоторым заданным аппроксимативным свойством А в пространстве X.

(2) описание линейных нормированных пространств X, в которых заданный класс К множеств М С X обладает заданным аппроксимативным свойством Л.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П. Л. Чебышева (1859), и которой, в частности, доказана чебышевость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Rmn рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[о, 6] функций, непрерывных на отрезке [а,Ь]. В этой же работе П. JT. Че-бышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и R-mn (теорема об альтернате«). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А. Хааром (1918), А. Н. Колмогоровым (1948), Е. Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 50-х и в 60-е гг. благодаря работам И. Зингера, В. Кли, Н. В. Ефимова и С. Б. Стечкина, JI. П. Власова, А. Л. Гаркави, Б. В. Ошмана, С. Я. Хавинсона, Д. Вульберта, Б. Крипке,

Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини и др.

Наиболее важный класс аппроксимирующих множеств в линейных нормированных пространствах составляют их (замкнутые линейные) подпространства. Самыми простыми, с точки зрения аппроксимативных свойств их подпространств, являются гильбертовы пространства. В таком пространстве X оператор Ру метрического проектирования на любое его подпространство У является оператором ортогональною проектирования на У, то есть линейным оператором нормы 1. Кале оказалось, эти свойства оператора Ру можно положить в основу различных критериев гильбертовости банахова пространства. Именно, справедливы следующие две теоремы:

Теорема Рудина-Смита (1961) и Зингера (1970). Пусть ¿>1 и к > 2 - заданные натуральные числа, и пусть размерность вещественного банахова пространства X не меньше чисел <1 + 2 и к + 1. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) пространствоХ гильбертово;

2) для любого ¿-мерного подпространства У С X оператор Ру однозначен и линеен на X;

3) для любого подпространства У С X коразмерности к оператор Ру определен на всем X, однозначен и линеен.

Теорема Какутани (1939). Если вещественное банахово пространство X имеет размерность > 3, и для каждого его подпространства У существует линейный проектор яу : X —V У, с || яу |(= 1, то пространство X гильбертово.

Р. Филлипс (1940) показал, что условия этой теоремы можно ослабить до требования существования проектора нормы 1 лишь на каждое двумерное подпространство в X.

Другие аппроксимативные критерии гильбертовости доказывались А. Л. Гаркали (1964), Д. Амиром и Ф. Дойчем (1978), С. В. Конягиным

(1978), В. М. Тихомировым, Р. С. Исмагиловым и С. Б. Бабаджановым

(1979), Л. Веселы (1991), В. С. Балаганским (1997) и др.

В I главе диссертации устанавливается ряд новых критериев гильбертовости банахова пространства, среди которых имеются и обобщения критерия Рудина-Смита-Зингера и критерия Какутани.

Известно (1970), что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чобышевскими (например, такими являются пространства Ьр при 1 < р < оо). Поэтому особый интерес приобретает задача описания чебышевских подпространств

в нерефлексивных пространствах (среди которых наиболее популярны- | ми являются, конечно, Ь — Ь\ и С). Из самых значительных результатов в этом направлении отметим полное описание чебышевских подпространств конечной размерности и копечной коразмерности во всех наиболее употребительных функциональных пространствах. Так, в пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А. Хаа-ром (1918) и Дж. Мэйрхьюбером (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности - А. Л. Гаркави (1.967). Соответствующие результаты в пространстве Ь получены Р. Фелпсом (1966) п А. Л. Гаркави (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало. Кроме того, во многих популярных функциональных пространствах чебышевские подпространства вообще не изучены.

Во II главе диссертации изучаются чебышевские подпространства с, вообще говоря, бесконечными размерностью и коразмерностью в пространствах Ь и С, а также чебышевские подпространства в пространстве Харди Н1 функций /(г), голоморфных в круге {г : \г\ < 1}.

Значительная часть опубликованных работ по геометрической теории приближения группируется вокруг следующей проблемы В.Кли-Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина: доказать (или опровергнуть), что в бесконечномерном гильбертовом пространстве любое чебышевское множество выпукло. Важную роль в ётих исследованиях играет понятие аппроксимативной компактности. Приведем определение этого понятия.

Пусть М - некоторое подмножество банахова пространства А'. Последовательность {¡/п}^1 С М называется минимизирующей в М для элемента х £ X, если || х — уп ¡¡—^ р(х, М) при п —> оо.

Определение (Н. В. Ефимов и С. Б, Стечкин, 1961). Множество М С X называется аппроксимативно компактным, если для любого х £ X всякая минимизирующая последовательность \уп} С М содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из М.

Очевидно, если множество М ограниченно компактно (то есть его пересечение с любым замкнутым шаром является компактом), то оно аппроксимативно компактно. Обратное, вообще говоря, неверно.

В связи с упомянутой проблемой была доказана

Теорема Ефимова-Стечкина (1961). Чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно (напомним, что пространство называется равномерно выпуклым, если для любого с > 0 найдется такое 5 > 0, что для любых х,у € X, I! х 11=11 У 11= 1> из условия || х 4- у ||> 2 — 8 вытекает || х - у ||< е;

гладкость пространства означает единственность опорной гиперплоскости в каждой точке единичной сферы).

После работы Н. В. Ефимова и С. Б. Стечкина аппроксимативно компактные множества и подпространства изучались многими авторами. Важный класс банаховых пространств составляют введенные И. Зингером (1964) пространства Ефимова-Стечкина, одним из характеристических свойств которых является аппроксимативная компактность всех подпространств.

В III главе диссертации рассматривается соотношение между аппроксимативной компактностью и ограниченной компактностью в сепара-бельных, а также рефлексивных банаховых пространствах, исследуются свойства линейных непрерывных отображений пространств Ефимова-Стечкина в произвольные банаховы пространства, а также изучается аппроксимативная компактность множеств (в частности, подпространств) в некоторых конкретных банаховых пространствах (именно, в с0 и с).

Цель работы: получение аппроксимативных критериев гильберто-вости банахова пространства и вытекающих из них геометрических характеристик эллипсоидов в классе выпуклых замкнутых гиперповерхностей в И" и С", исследование аппроксимативных свойств (таких, как линейность и непрерывность оператора метрического проектирования, условия чебышевости и др.) замкнутых линейных подпространств в пространствах Ь Лебега, Я1 Харда и С, а также изучение соотношения между аппроксимативной компактностью и ограниченной компактностью множеств в банаховых пространствах.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории приближений, теории граничных свойств аналитических функций, геометрии выпуклых множеств.

Научная новизна и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получены следующие новые результаты:

1. Получен ряд критериев гильбертовости банахова пространства в терминах множеств, квазиортогональных к его подпространствам. Среди этих критериев - обобщение известных теорем Рудина-СмитагЗингера и Какутани. В качестве следствия получены обобщения с К3 на К" и С" (п > 2) известной теоремы Бляшке об эллипсоиде.

2. В пространствах Ь\яС полностью описаны чебышевские подпространства с линейным оператором метрического проектирования.

3. Исследованы чебышевские подпространства в пространстве Харди Я1 функций, голоморфных в круге.

4. Теорема Мюнца о полноте систем степеней хп в пространстве

С[О,1] обобщена на системы последовательных первообразных от произвольной непрерывной функции,

5. В любом сепарабельном банаховом пространстве построен пример ограниченного аппроксимативно компактного (в смысле Н.В.Ефимова-С.Б.Стечкина), но не компактного множества. В любом рефлексивном пространстве построен пример выпуклого множества с этими свойствами.

6. В пространствах с0 и с полностью описаны аппроксимативно компактные подпространства.

Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е. П. Долженко, на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ под руководством чл.-корр. РАН П. Л. Ульянова и чл.-корр. РАН Б. С. Кашина, на семинаре по теории приближений в МГУ под руководством проф, С. В. Конягина, доп. В. Б. Демидовича и доц. А. С. Кочурова, а также на Саратовской (199G) и Воронежской (1997) зимних школах по теории функций и на международной конференции по теории приближений в Калуге (1996).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации - 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.

На протяжении всей работы основным инструментом исследования аппроксимативных свойств подпространств служит понятие квазиортогонального множества.

Пусть X - комплексное или вещественное банахово пространство, У - его (замкнутое линейное) подпространство.

Определение. Квазиортогональным множеством Q(Y) = Q(Y,X) к подпространству У в пространстве X называется совокупность всех элементов q € X, для которых Py{q) Э 0.

В связи с задачами теории приближений в нормированных пространствах этот объект стал широко использоваться рядом авторов в конце 60-х годов. У этих авторов, как правило, не было специального названия для (¿(У), а употреблявшийся иногда термин "метрическое дополнение" представляется нам не точным, поскольку (¿(У) может состоять из одного 0 и, вообще говоря, ни в каком общепринятом смысле не "дополняет" У до всего пространства X. Мы придерживаемся термина "квазиортогональное множество", предложенного Е. П. Долженко. Отметим, что в случае гильбертова пространства X каждый элемент q € (¿(У) ортогонален пространству X в обычном смысле, а само множество <?(У) представляет собой ортогональное дополнение к У.

В I главе работы изучаются свойства квазиортогональных множеств (§ 1) и устанавливаются различные критерии гильбертовости банахова пространства в терминах квазиортогональных множеств (§§ 2-5). Эти критерии гильбертовости (теоремы 1.1-1.4) можно объединить в следующем утверждении.

Теорема. Пусть й € Г*?, X - комплексное или вещественное банахово пространство размерности ИтХ, 3 < ИтХ < оо. Следующие утверждения эквивалентны (У^ - подпространство размерности й в X, V - замкнутое подпространство в Х\ в скобках; указаны дополнительные условия, при которых соответствующее утверждение эквивалентно остальным):

(0) X изометрически изоморфно гильбертову пространству,

(1 )ЧУЛ ЗУ : <3(У</) = У {¿<&тХ-2)\

(2)УУ^ ЗУ:У,, = <?(У) (2 < й <<ИтХ-1,Х рефлексивно);

(3) УУ^ ЗУ: (¿{У^ СУ«У^ПУ = 0 {¿< <ИтХ - 2);

(4)УУ4 ЗУ :Уа С<?(У) иУл + У = Х (2 < й < ИтХ - 1);

(5)УУЙ ЗУ : <5(У,) 2У иУл + У =Х (<£ < сИтХ - 2);

(6) У¥а ЗУ : Ул Э д(У) и У, ПУ = 0 (2 < (I < МтХ - 1, X рефлексивно).

В формулировках условий (1)-(6) подпространства Уа можно заменить подпространствами Уа заданной коразмерности <1 в X (при этом указанное в скобках условие <1 < (ИтХ — 2 меняется на 2 <й< МтХ — 1 и наоборот, а требование рефлексивности всюду опускается).

Заметим, что условие (1) означает линейность оператора метрического проектирования Руы на подпространство Уа, условие (4) - существование линейного оператора X —У X/ нормы 1, условие (5) означает, что подпространство Уд является ядром некоторого линейного проектора нормы 1.

Утверждения о эквивалентности (0) и (1) и о эквивалентности (0) и (4) обобщают, соответственно, сформулированные выше теорему Руди-

на-Смита-Зингера и теорему Какутани. Отметим попарную двойственность условий (1) и (2), (3) и (4), (5) и (6).

При доказательстве этих результатов используется известная теорема В. Бляшке об эллипсоиде для гладких поверхностей в R3, точнее, доказываемое в § 2 ее обобщение (лемма 1.5) на произвольные выпуклые замкнутые поверхности в R3, а также в С3. Отметим, что для случая поверхности из R3 это обобщение вытекает из теоремы А. Д. Александрова (1939) о куске выпуклой поверхности с плоскими границами теней. В свою очередь, полученные критерии гильбертовости приводят к различным многомерным обобщениям теоремы Бляшке, формулируемым на обычном геометрическом языке.

Пусть в n-мерном линейном вещественном или комплексном пространстве X" задана выпуклая замкнутая гиперповерхность S, симметричная относительно начала координат. В комплексном случае это означает, что если х (Е 5, то e,fx е S для всех t е [0,2тг]. Ниже С (Г) обозначает объединение всех плоскостей, параллельных плоскости Г, имеющих одинаковую с Г линейную размерность и опорных к поверхности S. Другими словами, С(Г) есть "цилиндр" с образующей Г, описанный вокруг S.

Теорема 1.6. Каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы поверхность S была эллипсоидом в Хп (Г -линейное подпространство в X", Г^ - ¿-мерное линейное подпространство в X"; в скобках указаны ограничения на размерности, при которых соответствующее условие является критерием эллипсоидности):

(1)Vrd 3r:C(rd)nS = mS (1 < d < п — 2)

(2)VTd 3r:<7(r)nS' = rdnS (2 < d < n - 1)

(3)Vrd ЗГ : С(Гй) П S D Г П 5, dimT + d^n (l<d<n-2)

(4)УГа ЗГ : С(Г)П5Э rdnS, dirnT + d = n (2<d<n-l)

(5)УГа ЗГ^Г^ПЯСГПЗ, Г П (l<â<n-2)

(6)Vrd ЗГ:С(Г)П SçrrfnS, ГПГ^=0 (2<«f<n-l).

В конце I главы устанавливается более общая теорема, в условиях которой отсутствует требование центральной симметричности S.

Во II главе работы изучаются свойства чебышсвских подпространств некоторых функциональных пространств, прежде всего - условия линейности оператора метрического проектирования на эти подпространства. Отметим, что, вообще говоря, оператор Ру метрического проектирования на чебышевское подпространство Y в банаховом пространстве X, сопоставляющий каждому элементу tel его элемент наилучшего приближения Ру(х) € Y, может не быть ни линейным, ни даже непрерывным.

Пусть M - произвольное множество, р. - сг-конечная мера на сг-алгебре

S подмножеств M, а L(M) — £1(M,S, р.) - пространство вещественно-значных или комплекснозначных функций, суммируемых на М по мере fi. В § 2 главы II полностью описаны чебышевские подпространства У С L(M) с линейным оператором Ру. Именно, доказана

Теорема 2.1. Подпространство У С L(M) тогда и только тогда является чебыгиевским подпространством с линейным оператором метрического проектирования, когда существует такое разбиение множества М на два непересекающихся ¡¿-измеримых множества Mi и и такой линейный оператор А : Ь{Ы\) —» ¿(М2), строго уменьшающий норму каждого элемента А (у) ||<|| у чтпо У — {у 6 L(M) : у\м2 — А(у|д/,)}, где у|д' обозначает сужение функции у на множество NCM.

В случае пространства £[0,1] эта теорема была доказана П.Моррисом (1981).

Кроме того, в § 2 указан достаточно широкий класс чебышевских подпространств У С Li{M,T^,fJ,) с нелинейным оператором Ру. Семейства чебышевских подпространств вещественного пространства L(0,1], описанные в § 2, содержат все известные на сегодня чебышевские подпространства этого пространства.

В § 3 второй главы исследуются ранее почти не изучавшиеся чебышевские подпространства пространства Харди Я1 — Hl{U), состоящего из функций /, аналитических в круге U = {г : |г| < 1}, для которых

1 г2п

II/II SUP {тЬ I l/(re'*)|#}<oo.

0<г<1 ¿К J0

Как известно, пространство Нх изометрически изоморфно подпространству {/ € Ьг{С) : Sc /(ОС" ¿С =0, п = 0,1,2,...} пространства Li (С) комплекснозначных функций, определенных и суммируемых на окружности С = {z : \z\ — 1}.

Теорема 2.3. Пусть У - конечномерное подпространство в Н1, в котором каждая функция аполитична в некоторой окрестности замкнутого круга U. Подпространство У является нечебышевским тогда и только тогда, когда существует такое разбиение единичной окружности на четное число последовательных дуг C'i,..., б^п, что во всех точках разбиения некоторая функция f ф 0 из У обращается в нуль, и при этом равенство

выполняется для любой функции у 6 F.

Из этой теоремы вытекает теорема С.Я.Хааинсона (1958) о чебыше-вости в Я1 подпространства всех комплексных полиномов а„гп + ... + а\Х + о0 степени не выше п.

Заметим, что условие аналитичности каждой функции у 6 У в некоторой окрестности С{у) круга V в теореме 2.3 существенно. Например, одномерное подпространство (/), порожденное непрерывной на и функцией }[г) = 1/(1 + 1п{г1 — 1)), удовлетворяет всем условиям теоремы 2.3 (окружность С разбивается на две дуги С\ и С2 точками ±1 - нулями функции / на круге [/), однако, как можно показать, оно является чебышевским в Я1.

Теорема 2.5. Пусть Л - некоторое множество целых неотрицательных чисел,а Уд - подпространство тех функций из Н1, у которых все тейлоровские коэффициенты с номерами п $ А равны 0. Подпространство Уд является чебышевским тогда и только тогда, когда А -конечная или бесконечная арифметическая прогрессия с нечетной разностью.

Этот результат является в некотором смысле аналогом следующей теоремы Ж.-П. Кахана (1974): для того, чтобы подпространство Уд С ¿1 (С), порожденное системой {С" : п 6 Л}, еде Л - некоторое множество целых чисел, было чебышевским в Ь\{С), необходимо и достаточно, чтобы А было бесконечной (влево, вправо, или в обе стороны) арифметической прогрессией с нечетной разностью.

Теорема 2.6. Всякое подпространство У С Н1, инвариантное относительно умножения на г, является чебышевским в Н1.

Следствие 2.6.1. Для любого множества А С II подпространство Уд {/ € Н1 : /(г) =0 € А} является чебышевским в Н1.

Эти результаты показывают, что теория чебышевских подпространств в пространстве Н1 резко отличается от соответствующей теории в объемлющем пространстве Ьг(С) комплексных функций, определенных и суммируемых на единичной окружности С. Так, в Я1 имеется достаточно много чебышевских подпространств любой конечной размерности или любой конечной коразмерности, а в Ь\(С) вообще нет чебышевских подпространств с конечной размерностью или коразмерностью (Р. Крипке и Б. Ривлин, 1965). И в то же время, как показывает следующая теорема, совокупность чебышевских подпространств У с линейным оператором Ру в Я1, в отличие от Ь\{С) (теорема 2.1), исчерпывается минимумом, обязательным для каждого банахова пространства - именно, совокупностью всех чебышевских подпространств коразмерности 1.

Теорема 2.7. В Я1 нет нетривиальных собственных чебышевских подпространств с линейным оператором метрического проектирования, кроме чебышевских подпространств коразмерности 1.

Аналогичный результат справедлив для чебышевских подпространств в пространстве С, которые рассматриваются в § 4 главы II.

Теорема 2.10. Пусть С[К] - пространство комплекснозначных или вещественнозначных функций, непрерывных на бикомпакте К, с обычной равномерной нормой. Оператор метрического проектирования на нетривиальное собственное чебышевское подпространство У С С[К] линеен тогда и только тогда, когда Y имеет в С\К] коразмерность 1.

Как показывает это теорема, пространство С является своего рода "антиподом" гильбертова пространства: совокупность чебышевских подпространств в С с линейным оператором метрического проектирования исчерпывается минимумом, обязательным для каждого банахова пространства, в то время как в гильбертовом пространстве линейным является оператор метрического проектирования на любое подпространство (и это характеристический признак гильбертовых пространств -см. выше теорему Рудина-Смита-Зингера).

В связи с теоремой 2.10 отметим, что для чебышевских подпространств У С С[К] конечной размерности - в случае отсутствия у К изолированных точек, или конечной коразмерности она была доказана ранее другими авторами. Проблема же существования чебышевских подпространств У С С\К] с бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью, поставленная A. JI. Г'аркави в 1967г., решена положительно лишь в том смысле, что пример такого чебышевского подпространства построен в пространстве £¡»[0,1] (Д.Вульберг, 1969). Дальнейшие результаты § 4 второй главы посвящены обсуждению именно этой проблемы. В частности, строятся примеры подпространств единственности У С С[К] с бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Например, в С[0,1] таким подпространством является замкнутая линейная оболочка У{п*} системы степеней infc при условии Т^-л ^ < 00 (Э. Чини и А. Гольдштейн, 1965). В связи с этим напомним, что по теореме Мюнца, условие щ ~ 00 является необходимым и достаточным для равенства У{я*} = С{0,1].

В заключительном § 5 второй главы эта теорема Мюнца обобщается на системы последовательных первообразных от произвольной непрерывной функции на отрезке. Именно, на отрезке Д = [0, а] рассматриваются последовательные первообразные от непрерывной функции f(x): ,f0(x) =f(x);fn(x) = Jâ fn-i(t)dt,n = 1,2,... .Через С(/,Л,{щ}) обозначим замкнутую линейную оболочку в С(Д) системы { fnk гДе - некоторая возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел.

Теорема 2.11. 1. Для равенства С(/, Д, {п*}) — С(Д) необходимо и достаточно одновременное выполнение условий (а)/(0) ф 0, (b)n0 ~ 0,

2. Если ICfci ~ < ос, и /(0) ф 0, то система {fnt(x)}gi0 является базисом в подпространстве C(f, [0, а — б], {«*}) при любом фиксированном е € (0, а).

В случае гладкой функции / эта теорема была доказана JI. А. Леонтьевой (1967).

III глава посвящена изучению понятия аппроксимативной компактности. В первых двух параграфах этой главы при достаточно общих предположениях строятся примеры ограниченных аппроксимативно компактных, но не компактных множеств в банаховых пространствах. Именно, доказываются утверждения:

Теорема 3.1. В любом бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве существует ограниченное, аппроксимативно компактное, но не компактное множество.

(Это утверждение отвечает на вопрос, поставленный С. В. Коняги-ньш в его спецкурсе, прочитанном на механико-математическом факультете МГУ в 1992-93гг.)

Теорема 3.2. В любом бесконечномерном рефлексивном банаховом пространстве существует выпуклое, ограниченное, аппроксимативно компактное, но не компактное множество.

В § 3 третьей главы доказывается

Теорема 3.5. Собственное подпространство Y пространства с сходящихся вещественных последовательностей х = (xi,x2,...) с нормой [| х ||= sup{jr„|} аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Таким образом, пространство с оказывается "антиподом" пространств Ефимова-Стечкина, о которых говорилось выше. Кроме того, в ходе доказательства теоремы 3.5 устанавливается разрывность оператора метрического проектирования пространства с на любое его бесконечномерное чебышевское подпространство коразмерности > 1. Это утверждение дополняет теорему 2.10 в случае пространства с (с = С[К\, где К - простейший бесконечный компакт {0,1,1/2,..., 1/п,...}).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Е. П. Долженко за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе и профессору С. В. Конягину, заинтересовавшему его геометрической теорией приближений и поставившему ряд задач.

Работы автора по теме диссертации

1. Бородин П. А. Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося компактным // УМН. 1994. Т.49, вып.4. С. 157-158.

2. Бородин П. А. О полноте систем последовательных первообразных в пространстве С(Д) и о неполных системах // Матем. заметки. 1995. Т.51, вып.1. С. 118-121.

3. Бородин П. А. Квазиортогональные множества и условия гиль-бертовости банахова пространства // M атом, сборник. 1997. Т.188, No 8. С. 63-74.

4. Бородин П. А. О чебышевских подпространствах в пространстве L // Труды 8 Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Изд-во Саратовского ун-та. 1996. С. 21.

5. Бородин П. А. О чебышевских подпространствах в пространстве С// Международная конференция по теории приближений, посвященная памяти профессора П. П. Коровкина. Тезисы доладов. T.I. Калуга. 1996. С. 43-44.

6. Бородин П. А. Аппроксимативные критерии гильбертовости банахова пространства // "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов. Воронеж. 1997. С. 28.

7. Бородин П. А. О чебышевских подпространствах в пространстве H1 Харди // "Современные проблемы теории функций и их приложения". Тезисы докладов 9 Саратовской зимней школы. Изд-во Саратовского ун-та. 1998. С. 28.