Избранные аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.982.256, 517.538.5

Бородин Петр Анатольевич

ИЗБРАННЫЕ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 О СЕН 2012

Москва 2012

005047091

005047091

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Валерий Иванович (декан механико-математического ф-та Тульского государственного ун-та)

доктор физико-математических наук, профессор.Семенов Евгений Михайлович (зав. каф. теории функций и геометрии Воронежского государственного ун-та)

доктор физико-математических наук, профессор Царьков Игорь Германович (профессор каф. математического анализа МГУ имени М.В. Ломоносова)

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится 26 октября 2012 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8-й этаж).

Автореферат разослан 11 сентября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационого совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физ.-матем. наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена избранным вопросам теории приближений в линейных нормированных пространствах (геометрической теории приближений).

Актуальность темы. Пусть (X, || • ||) — линейное нормированное пространство, M — непустое подмножество X, р(х, M) := inf{||x-y|| : у е М) — расстояние от элемента х S X до М, Рм(х) = {у € M : [¡я - у\| = р{х,М)} — метрическая проекция элемента х на множество М, то есть множество элементов наилучшего приближения для хв М. Основные аппроксимативные свойства множества M определяются свойствами оператора метрического проектирования РЛ/ : х -» Рм(х) — вообще говоря, неоднозначного и определенного не на всем X. Так, M называется множеством существования, если оператор Рм определен на всем пространстве X, и множеством единственности, если Рм однозначен на своей области определения. Если M является одновременно множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х € X в M существует ровно один элемент наилучшего приближения Рм{х), то M называется чебышевским множеством.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л. Чебышева (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Vn алгебраических многочленов степени не выше п и множества 7Zmn рациональных функций со степенью числителя не выше m и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л. Чебышев по существу описал оператор метрического проектирования на множества Vn и Tlmn (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), С.Н. Бернштейном (1938), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 1950-х и в 1960-е годы благодаря работам, в первую очередь, В. К ли, Н.В.Ефимова и С.Б. Стечкина, а затем В.И. Бердышева, Л.П.Власова, А.Л. Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А.Брауна, А. Брёндстеда, Д. Вульберта, Ф.Дойча, И.Зингера, Б. Крипке, Й. Линденштраусса, П.Морриса, Т. Ривлина, У.Рудина, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини, М. Эделыптейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном пред-

ставителями научной школы С.Б. Стечкина: А.Р.Алимовым, П-В. Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаганским,

A.А.Васильевой, В.И.Ивановым, М.И.Карловым, C.B.Конягиным,

B.А. Кощеевым, Е.Д.Лившицем, A.B. Мариновым, К.С. Рютиным, Г.Ф.Устиновым, И.Г.Царьковым и др., а также М.В.Балашовым,

C.И.Дудовым, Г.Е.Ивановым, В.П.Фонфом и многими другими математиками.

В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.

При всем многообразии исследований по геометрической теории приближений, эта теория содержит большое число давно поставленных проблем, не поддающихся решению. Наиболее острой из них признается проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин, В. Кли): всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? В конечномерном евклидовом пространстве выпуклость всякого чебышевского множества была доказана Л. Бунтом еще в 1934 г. Ни в одном бесконечномерном банаховом пространстве чебышевские множества не охарактеризованы в геометрических терминах. С проблемой выпуклости тесно связана также проблема характеризации банаховых пространств, в которых каждое чебышевское множество выпукло (эта проблема до конца не решена и в конечномерном случае).

В связи с проблемой выпуклости чебышевских множеств была доказана

Теорема А (Н.В.Ефимов и С.Б.Стечкин1 , 1961). Чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве (в частности, в гильбертовом пространстве) выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно.

Теорема А позволяет переформулировать проблему выпуклости следующим образом: существует ли в гильбертовом пространстве не аппроксимативно компактное чебышевское множество? В I главе диссертации для целого класса банаховых пространств, в частности, для сепарабельного гильбертова пространства дается утвердитель-

1Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин, "Аппроксимативная компактность и чебышевские множества", Докл. АН СССР, 1961, 140:3, 522-524.

ный ответ на менее категоричный вопрос: существует ли такое не аппроксимативно компактное множество М, что метрическая проекция Рм(х) непуста и конечна для любого х G X?

В то же время введенное в связи с теоремой А понятие аппроксимативной компактности оказалось основополагающим в геометрической теории приближений и ее приложениях. Аппроксимативно компактные множества стали исследоваться сами по себе.

В любом банаховом пространстве X всякое ограниченно компактное множество (то есть множество, пересечение которого с любым замкнутым шаром компактно) является аппроксимативно компактным. В частности, в любом X все конечномерные подпространства являются аппроксимативно компактными. В достаточно "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все замкнутые подпространства. Такие пространства названы пространствами Ефимова-Стечкина.

Именно, банахово пространство X называется пространством Ефимова-Стечкина (И. Зингер), если любое секвенциально слабо замкнутое множество M <Z X аппроксимативно компактно в X.

ТЕОРЕМА В (И.Зингер2 , 1964). Следующие условия эквивалентны:

(1) X — пространство Ефимова-Стечкина;

(2) каждое замкнутое подпространство в X аппроксимативно компактно;

(3) каждое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

(4) X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию: если последовательность его элементов {хп} слабо сходится к элементу х и ||а;п|| —> ||а;||, то найдется такая подпоследовательность {z„t}, что ||ж„к — х|| —»• 0.

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Lp, 1 < р < оо. В силу теоремы В задача описания аппроксимативно компактных подпространств содержательна (и до сих пор не решена) для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств Lb L^ и пространства С(К) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте К. Во II главе настоящей работы получено полное описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах типа с (то есть в пространствах С (К) для компактов К с конечным числом предельных точек).

2I. Singer, "Some remarks on approximative compactness", Rev. roum. math, pures et appl., 9:2 (1964), 167-177.

Для банаховых пространств, не являющихся пространствами Ефи-мова-Стечкина, актуальны две другие задачи: во всяком ли таком пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество?; во всяком ли таком пространстве существует ограниченное выпуклое аппроксимативно компактное тело? Глава I диссертации содержит положительное решение этих задач соответственно для любого слабо компактно порожденного банахова пространства (WCG-пространства) и для любого рефлексивного пространства или несепарабельного WCG-пространства. Попутно в произвольном WCG-пространстве строится пример нетривиального чебышевского множества (вопрос о существовании неодноточечного собственного чебышевского подмножества в произвольном банаховом пространстве возник в школе С.Б. Стечкина и до сих пор не решен).

Вернемся к проблеме выпуклости.

К настоящему времени получены десятки результатов, в которых выпуклость чебышевского множества M доказана в различных классах банаховых пространств при различных условиях на структуру M или на оператор метрического проектирования Рм. Наибольший вклад в развитие этого направления геометрической теории приближений был внесен Л.П. Власовым. Вот одна из его многочисленных теорем.

ТЕОРЕМА С. (Л.П. Власов3 , 1967) Пусть X - локально равномерно выпуклое гладкое банахово пространство. Если множество M С X чебышевское и для любого х g M с Рм(х) = {у} справедливо равенство

дШт1_ Рм{х + А(х - у)) = у,

то M выпукло.

Теорема С продолжает наметившуюся в теореме А "линию" условий выпуклости чебышевского множества M, формулируемых в терминах того или иного вида непрерывности оператора метрического проектирования Рм (так, в теореме С фигурирует так называемая "радиальная непрерывность" оператора Рм). В дальнейшем такого рода условия стали формулироваться в терминах множества точек разрыва оператора Рм. Наиболее слабые из этих условий получены B.C. Балаганским (1996), а также C.B. Конягиным (1996)4 .

3Л.П. Власов, "О чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах", Матем. заметки, 2:2 (1967), 191-200.

4В.С.Балаганский, Л.П.Власов, "Проблема выпуклости чебышевских множеств", Успехи матем. наук, 51:6 (1996), 125-188.

В III главе диссертации проблема выпуклости чебышевского множества получает положительное решение при дополнительном аппроксимативном условии иного типа, а именно, при условии N-че-бышевости этого множества с N > 2. Приведем необходимые определения.

Пусть (X, || ■ ]|) — действительное банахово пространство. Для элементов Xi,..., xN е X и множества М С X положим р(хъ М) = inf {£"=1 !lxfc - 2/|| : У € М};

Рм(1ь...,%) = {уеМ: IN - »II = Р(х 1 - ■ • • •М)>

— метрическая iV-проекция точек Xi,...,xN на множество М.

Отметим, что сама по себе постановка задачи о минимизации суммы расстояний от заданных элементов хх,... ,xN до элемента заданного множества М в банаховом пространстве далеко не нова: еще в 1965г. Г.Ш.Рубинштейн рассматривал даже более общие суммы (с положительными весами при нормах) и получал характеристики элементов выпуклого множества М, минимизирующих такие суммы.

Множество М назовем N-чебышевским, если для любых хи ..., xN € X выполнено одно из следующих двух условий:

(1) p{xu...,xN;M) > р{хи...,xN-,X) и Рм{хu...,xN) одноточечна;

(2) р(хи ■ ■ ■ М) = р{х u...,xN\X) и Рм( xu...,xn) Ф 0В случае N = 1 это определение дает обычные чебышевские множества. Всякое TV-чебышевское множество является чебышевским.

Основной результат III главы состоит в доказательстве выпуклости iV-чебышевского множества: при четном N — в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве, при нечетном N ^ 3 — в любом равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве. Доказать последнее утверждение при N = 1 означало бы решить проблему выпуклости. Однако до сих пор вероятная выпуклость чебышевского множества М в равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве доказывалась лишь при дополнительным условиях (см. выше).

При доказательстве результатов III главы существенно используется теорема С, а также другая теорема Л.П.Власова о связности чебышевских множеств.

Теорема D. (Л.П. Власов5 , 1968) В равномерно выпуклом банаховом пространстве X всякое Р-связное (в -частности, чебышев-ское) множество V-связно.

Здесь Р-связность множества М означает непустоту и связность метрической проекции Рм{х) для любого х € X, а V-связность мно-

5Л.П. Власов, "Чебышевские множества и некоторые их обобщения", Матем. заметки, 3:1 (1968), 59-69.

жества М означает, что пересечение М с любым замкнутым шаром пространства X или пусто, или связно.

Теорема D в III главе по необходимости переносится на случай несимметрично нормированных пространств, что само по себе является проявлением общей тенденции: последние двадцать лет теория приближений в несимметричной норме активно развивается, и это развитие стимулировало перенесение основных результатов теории банаховых пространств на случай несимметричной нормы.

Метрическая iV-проекция естественно связана с точками Штей-нера.

Точкой Штейнера элементов xi,...,xN банахова пространства X называется такой элемент s = s(xu...,xN) 6 X, что ¿£=1 ll^fc -s|| = inf^ J2k=i IIxk — x||. Нетрудно видеть, что точки Штейнера составляют метрическую N-проекцию Px(xi,... ,xN).

Например, в случае гильбертова пространства X = Я и N = 3 точка Штейнера х2, х3) существует и единственна: она лежит в аффинной плоскости точек xlt х2, х3 и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике хгх2х3 есть угол, не меньший 120°), либо совпадает с точкой Торичелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120°).

Нетрудно показать, что в рефлексивном пространстве X точка Штейнера существует для любого набора точек хь ..., xN.

Первый пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве построил JI. Веселы (1993). При этом он доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме для некоторых трех точек xi, х2, х3 точка Штейнера s(xb 2;2, х3) не существует.

В заключительном параграфе I главы диссертации для каждого N = 3,4, 5,... построен пример такого банахова пространства X и таких элементов xi,...,xN в этом пространстве, что точка Штейнера s(xi,... ,xN) не существует. Этот пример отличен от примеров JI. Веселы и других авторов и обладает дополнительным свойством "устойчивости". Идейно результаты о точках Штейнера примыкают, конечно, к III главе, и порождают целый ряд вопросов о кратчайших сетях в банаховых пространствах (несуществование точки Штейнера для заданных трех точек означает и несуществование кратчайшей сети, то есть связного графа минимальной длины, затягивающего эти три точки).

Вообще отметим, что круг задач, возникающих в связи с результатами III главы, не ограничивается "геометрическими" рамками: ведь эти, условно говоря, TV-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с наименьшей суммой расстояний до заданных N

элементов), допускают все основные постановки задач теории приближений — получение прямых и обратных теорем, сходимость различных методов приближения, оценки поперечников и т.д. При этом вместо суммы расстояний до заданных N элементов можно брать их максимум или другую подходящую функцию от этих расстояний.

II глава диссертации, а также часть III главы связаны с другим классическим направлением геометрической теории приближений — теорией чебышевских подпространств.

Хорошо известно, что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими (например, такими являются пространства Lp, 1 < р < оо). Поэтому особый интерес представляет задача описания чебышевских подпространств в нерефлексивных пространствах (прежде всего в пространствах Li и С). В пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А. Хааром (1918) и Дж. Мэйрхьюбером (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности — A.JI. Гар-кави (1967). Соответствующие результаты для пространства Li получены Р. Фелпсом (1966) и A.JI. Гаркави (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало (неизвестно, существуют ли такие подпространства в пространствах С[0,1] и с).

Оператор метрического проектирования Ру бывает разрывным, бывает непрерывным, но не липшицевым (например, для подпространства У = Vn многочленов степени не выше п ^ 2 в С[0,1]), и уж совсем редко бывает линейным, как показывает следующая

ТЕОРЕМА Е (Рудин-Смит6 , 1961; И.Зингер7 , 1970). Пусть X -действительное банахово пространство размерности dimX ^ 3, и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 ^ п < dimX —1, 2 < к < dimX. Следующие условия эквивалентны:

(1) X — гильбертово пространство;

(2) всякое подпространство Y С X размерности тг обладает однозначной и линейной метрической проекцией;

(3) всякое подпространство Y С X коразмерности к обладает однозначной и линейной метрической проекцией.

Во II главе диссертации получены полные описания чебышевских

6W. Rudin, К.Т. Smith, "Linearity of best approximation: a characterization of ellipsoids", Indagationes Mathematicae, 23:1 (1961), 97-103.

7I. Singer, Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.

подпространств с линейным оператором метрического проектирования в пространствах С, Ьх и в пространстве Я1 Харди. Исследуется также липшицевость оператора метрического проектирования на че-бышевские подпространства указанных пространств, а также общих банаховых пространств.

В III главе получены также описания конечномерных 2-чебышевс-ких подпространств в пространствах и С. Эти результаты аналогичны упоминавшимся выше теоремам Хаара и Фелпса. В целом можно сказать, что 2-чебышевских подпространств в этих пространствах существенно меньше, чем чебышевских. Кроме того, исследуется свойство зеркальности метрической 2-проекции на подпространство (как для обычной метрической проекции на подпространство "наилучшим" свойством является линейность, так для метрической 2-проекции таковым свойством является ее зеркальность). В частности, получен аналог теоремы Е: гильбертовы пространства охарактеризованы в терминах зеркальности метрической 2-проекции на их подпространства.

IV глава диссертации посвящена новому разделу геометрической теории приближений — задаче о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством М, в банаховом пространстве. В общем виде эта задача ставится так.

Пусть М — некоторое заданное подмножество банахова пространства X. Верно ли, что множество

всюду плотно в X, то есть любой элемент из X сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из М1

Полученные в IV главе результаты, относящиеся к этой задаче, четко делятся на две части: (1) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы Я(М) было аддитивной подгруппой в X; (2) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы замкнутая аддитивная подгруппа, порождаемая множеством М, совпадала с X. Интересно, что в результатах первой части существенную роль играет выпуклость сферы 8{Х), а в результатах второй части — гладкость этой сферы.

Источником и модельным примером для задачи о плотности полугруппы послужила теория приближений наипростейшими дробями.

Наипростейшей дробью степени п называется рациональная функция вида

оо

я(м) = у м + --- + м

п

где {ajt}fc=1 — точки комплексной плоскости С, a P(z) = c(z - a¡) ■ ■ ■ ■ • (г - ап), с е С \ {0}, — любой многочлен с нулями в этих точках.

Если Е — множество на комплексной плоскости, МЕ = : а & Е], X — некоторое банахово пространство функций, определенных на каком-либо множестве комплексной плоскости, не пересекающемся с Е, то задача о том, приближается ли всякая функция / S X наипростейшими дробями с полюсами из Е, эквивалентна задаче о плотности множества R{M¿) в X.

Исследования по приближению наипростейшими дробями в различных функциональных пространствах были начаты в нашей стране в конце 1990-х по инициативе Е.П. Долженко. К настоящему времени в этой тематике получено немало результатов (В.И.Данченко, Д.Я. Данченко, И.Р. Каюмов, E.H. Кондакова, О.Н. Косухин, Я.В. Но-вак, В.Ю. Протасов, П.В. Чунаев).

Но началось все со следующей экстремальной задачи, поставленной Е.А. Гориным в 1960-е годы. Пусть наипростейшая дробь гп(г) по модулю не превосходит 1 в каждой точке действительной оси R. Как близко могут, подходить к оси К полюсы ак этой дроби? Другими словами, стремятся ли к нулю величины

d{n) — inf ^ min |Im ак

и если стремятся, то с какой скоростью?

В.И. Данченко полностью решил эту задачу.

ТЕОРЕМА F (В.И.Данченко8 , 1994)

. In Inn .

d(n) х —- (n -> оо)

Inn

(знак ж слабой эквивалентности означает, что отношение левой и правой частей ограничено сверху и снизу положительными постоянными).

Кроме того, В.И.Данченко исследовал аналогичную задачу для наипростейших дробей, ограниченных единицей по норме ЬР(Ш), 1 < р < оо. Приведем точную формулировку полученного им результата.

Пусть 1 < р < оо, ¿ + i = 1, Нр(С+) — пространство Харди в верхней полуплоскости С+, то есть пространство голоморфных в С+

8В.И. Данченко, "Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных до прямых и окружностей", Матем. сб., 185:8 (1994), 63-80.

£

к=1

ак

< 1

L„(¡R}

функций / с конечной нормой

И/1|н„(с+) = sup ( / If(x + ia)\Чх) '.

а>0

а

Каждая функция / € Нр(С+) имеет конечные угловые пределы /(х) для почти всех I € й, образующие функцию ¡{х) е £Р(К). Пространство #р(С+) содержит все наипростейшие дроби с полюсами в нижней полуплоскости.

Положим

Теорема С (В.И. Данченко, 1994). Для любыхр е (1; оо) ипбК имеют, место неравенства

где В(а,0) — бета-функция Эйлера, А + i = 1.

Примечательно, что правая часть здесь не зависит от я, так что полюсы наипростейших дробей rn(z) независимо от их количества не могут сколь угодно близко подходить к действительной оси при условии ||г„||ма) ^ 1. Другими словами, слагаемые наипростейшей дроби в случае 1 < р < оо (в отличие от случая р = оо) не "интерферируют", не могут в сумме дать маленькую Ьр-норму на действительной оси, не удалившись от нее достаточно далеко.

Как заметили О.Н. Косухин и автор, этот факт означает, что функция ~7Z7 не приближается в LP(R) наипростейшими дробями г (г) (если бы норма разности R(z) = - r(z) была меньше е, то наипростейшая дробь —R[z/e)/e имела бы норму меньше е1/р, то есть меньше 1, и полюс в точке ег), так что наипростейшие дроби не плотны в Lp(iR) при 1 < р < оо. В дальнейшем класс 5P(R) функций из Lp(R), с любой точностью приближаемых в этом пространстве наипростейшими дробями, был полностью описан В.Ю. Протасовым (2009). Именно, 5P(R) состоит из тех функций пространства LP(R), которые являются логарифмическими производными целых функций порядка не выше 1/q, где 1/р+ l/q = 1.

В тоже время с помощью теоремы F в работе О.Н. Косухина и автора было доказано, что для любого и > 0 наипростейшие дроби с

d(n,p) =

2 > 2

полюсами вне полосы {г : |1шг| < и} всюду плотны в пространстве Со (К) = {/ : К -КС, / € С{Е),/{х) ->• 0 при х -» оо} с равномерной нормой.

Естественным продолжением этих исследований стало изучение аппроксимативных свойств наипростейших дробей на полуоси

= [0, оо). В IV главе диссертации доказывается всюду плотность наипростейших дробей в £Р(К+) при р > 2, а также исследован вопрос о всюду плотности в ЬР(В.+) наипростейших дробей с ограничениями на расположение полюсов. При доказательстве этих результатов существенно используется теорема Р.

В IV главе исследуется также задача о всюду плотности наипростейших дробей с полюсами из заданного множества Е в пространстве АС{К) функций, непрерывных на заданном компакте К и голоморфных во внутренних точках этого компакта; компакт К не разбивает плоскость и не пересекается с Е. При Е = С \ К эта задача положительно решена В.И.Данченко и Д.Я.Данченко (2001). Она оказывается нетривиальной даже для случая компактного множества Е (в отличие от аналогичной задачи для общих рациональных аппроксимаций). В этом случае для плотности оказывается необходимым, чтобы компакт Е "окружал" почти весь компакт К. Возникает гипотеза о том, что если компакт Е "окружает" компакт К со связным дополнением, то наипростейшие дроби с полюсами из Е плотны в АС (К). Эту гипотезу удается доказать в случае, когда Е содержит конечное число замкнутых спрямляемых контуров, "окружающих" К, и этот результат вытекает из общих теорем о плотности полугруппы в банаховом пространстве, доказанных в начале главы.

Кроме того, в главе IV получены оценки расстояний до оси или полуоси от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр на этих множествах. В частности, уточняются оценки В.И.Данченко для величин с1{п,р) из теоремы и находится точное значение ¿{п, 2) = тт. Эти результаты находят применения в следующей главе.

V глава диссертации посвящена так называемой обратной задаче теории приближений, или задаче о существовании элемента х с заданными уклонениями р(х, Мп) от расширяющейся системы Мг С М2 С ... заданных подмножеств заданного банахова пространства X. Источником для этой задачи послужила

Теорема Н (с.Н. Бернштейн9 , 1938). Для всякой числовой последовательности ¿о > с«1 3= ¿2 3= • ■ ■, <1п 0, существует функция,

9С.Н. Бернштейн, "Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных функций", в кн.: С.Н. Бернштейн, Собрание сочинений, Т. 2, Изд-во АН СССР, 1954, С. 292-294.

непрерывная на заданном отрезке [а,Ь], наименьшие равномерные уклонения которой от, многочленов степени не выше п равны указанным числам: En(f) = dn, п = 0,1,____

Доказательство С.Н. Бернштейна было перенесено А.Ф. Тиманом на случай произвольной системы У С Y2 С ... строго вложенных конечномерных подпространств Yk произвольного банахова пространства X: для всякой последовательности di > d2 > ..., dn —> 0, существует элемент х £ X с р(х, Yn) = dn, п = 1,____

В связи с этим возникла и до сих пор не решена следующая задача.

Пусть задана система У с У2 С У3 С ... строго вложенных замкнутых линейных подпространств некоторого бесконечномерного банахова пространства (X, || • ||), полная в X: (J^°=1 Yn = X, а также последовательность неотрицательных чисел dx > d2 > <¿3 > ..., dn -> 0. Существует ли элемент х S X, уклонения р(х, Yn) которого от подпространств У„ равны этим числам: р(х, Yn) = dn, п — 1,2,... ?

Если такой элемент существует для любых таких подпространств У„ и чисел dn, то говорят, что пространство X обладает (В)-свойством.

В 1963г. В.Н. Никольский заметил, что если пространство X обладает (В)-сеойством, то оно рефлексивно. В то же время И.с. Тюрем-ских доказал, что гильбертово пространство обладает (В)-свойством. Кроме гильбертова пространства, до сих пор неизвестно ни одного другого примера пространства X, обладающего (В)-свойством. Шапиро (1964) показал, что в любом бесконечномерном пространстве X для любых подпространств У С У2 С ... и любых чисел di 3= d2 ..., dn 0, существует такой элемент х, что р(х, У„) ф 0(dn) (п ->■ оо). Этот результат был усилен И.С. Тюремских (1967), который при тех же предположениях установил существование такого элемента х G X, что p(x,Yn) ^ dn, (п = 1,2,.. .). Из результатов Ю.А. Брудного (1991) следует, что для всякой невозрастающей выпуклой последовательности dn 0 (dn ^ (dn-1 + dn+1)/2) и любой последовательности {Уп} строго вложенных подпространств в пространстве X существует такой элемент х G X, что p(x,Yn) ^ dn для всех п и p(x,Yn) ^ Cdn для бесконечно многих номеров п и некоторой константы С. Упомянем еще результат Альмиры и Дель То-ро (2002): в условиях поставленной выше задачи для любых двух невозрастающих последовательностей dn ->• 0 и 5п 0 положительных чисел найдется такой элемент х в X, что р(х, Уп) Jdn ->■ 0, но p(x,Yn)/dn ф 0(6п) (п —> оо). Кроме того, теорема Бернштейна-Тимана (случай конечномерных подпространств У„) обобщалась на различные классы линейных метрических пространств.

В V главе диссертации приведены подробный обзор результатов, относящихся к задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств, и положительное ее решение при дополнительных условиях на уклонения dn или на подпространства Уп.

В последнее время задача о существовании элемента х с заданными уклонениями р(х, Мп) от расширяющейся системы множеств Мп решается в случае нелинейных множеств Мп — например, множеств 1Zn рациональных функций степени не выше п. Так, A.A. Пекарский (1994) доказал, что для любой строго монотонной последовательности dn —> 0 существует комплекснозначная функция /, непрерывная на отрезке [а, 6], наименьшие равномерные уклонения которой от комплекснозначных рациональных функций степени не выше п

равны указанным числам: p{f,TZn) = dn, п = 0,1,2,----До сих пор

неизвестно, существенно ли условие строгой монотонности dn в этом утверждении. При этом A.A. Пекарский предложил общую схему доказательства такого рода утверждений (о существовании функции с заданными уклонениями от системы нелинейных множеств).

В V главе диссертации с помощью схемы A.A. Пекарского доказывается существование функции / € C0(R) с произвольно заданными строго монотонно стремящимися к нулю уклонениями p(f,SFn) от множеств SFn наипростейших дробей степени не выше п, и показывается, что при нестрогой монотонности задаваемых уклонений такой функции может не быть. Кроме того, исследуются свойства уклонений p(f,SFn) для функций / в пространстве L2(K+)-

Цель работы: построение нетривиальных примеров множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств; описание чебышевских подпространств с линейным или липшицевым оператором метрического проектирования в конкретных функциональных пространствах; исследование выпуклости N-чебышевских множеств и свойств метрической ДГ-проекции; доказательство общих результатов о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством в банаховом пространстве, и приложение их в теории приближения наипростейшими дробями; исследование задачи существования элемента с заданными уклонениями от системы расширяющихся множеств в банаховом пространстве.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Построены нетривиальные примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств.

2. Описаны чебышевские подпространства с линейным операто-

ром метрического проектирования в функциональных пространствах С, Li и Я1.

3. Доказана выпуклость iV-чебышевских множеств при jV j 2 в произвольном гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве.

4. Исследована плотность множества наипростейших дробей (в том числе и с ограничением на полюсы) в различных пространствах функций, определенных на различных подмножествах комплексной плоскости.

5. В нескольких новых частных случаях положительно решена задача существования элемента с заданными уклонениями от системы расширяющихся множеств в банаховом пространстве.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории функций действительного и комплексного переменного, функционального анализа, геометрии и топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций, функциональном анализе.и геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством академика РАН П.Л. Ульянова (19282006) и чл.-корр. РАН B.C. Кашина, а затем под руководством академика РАН B.C. Кашина, проф. Б.И. Голубова, проф. М.И.Дьяченко и чл.-корр. РАН C.B. Конягина, на научном семинаре кафедры высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством проф. Е.С. Половинкина; на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством проф. Е.П. Долженко, на семинаре по теории приближений под руководством проф. И.Г. Царькова, на семинаре по теории рациональных аппроксимаций под руководством проф. А.И. Аптекарева, проф. В.Н. Сорокина и доц. B.C. Буярова, на семинаре по минимальным сетям под руководством проф. А.О. Иванова и проф. A.A. Тужилина, на школах'С.Б. Стечкина по теории функций (1998-2002, 2007, 2011), на Саратовских (1994, 1998, 2002, 2004, 2006, 2010), Воронежских (2003, 2005, 2007) и Казанских (2009 и 2011) школах-конференциях по теории функций, на международной конференции по функциональному анализу, посвященной 70-летию А. Пелчинского (Познань, Польша, 2002), на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Москва, 2010), на международной конференции по гармоническому анализу и теории приближений (Ереван, Армения, 2001), на между-

народной конференции им. И.Г. Петровского (Москва, 2007).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах автора (все из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 149 наименований. Общий объем диссертации — 258 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В' главе I собраны различные примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств. Эти примеры вынесены в отдельную главу, во-первых, потому, что каждый из них представляет собой решение задачи, поставленной не автором и имеющей свою историю (описанную выше), а во-вторых, потому, что эти примеры (в том числе и своей нетривиальностью) демонстрируют все богатство проблематики геометрической теории приближений.

Теорема 1.1. В любом СО-пространстве X существует че-бышевское множество М со следующими дополнительными свойствами: М выпукло, ограничено, аппроксимативно компактно, и р(х, М) < ЦжК для любого ненулевого элемента х в X.

Ключевую роль в доказательстве этого результата играет теорема Дэвиса-Фигеля-Джонсона-Пелчинского (1974) о характеризации IV СС-пространств.

ТЕОРЕМА 1.2. В любом бесконечномерном УУСй-пространстве существует ограниченное, аппроксимативно компактное, но не локально компактное множество.

(Локальная компактность множества М означает, что для всякой его точки найдется замкнутый шар положительного радиуса с центром в этой точке, пересечение которого с М компактно.)

ТЕОРЕМА 1.3. В любой банаховой решетке, порядок в которой определяется счетным симметрическим базисом с константой симметричности 1, с дополнительным условием строгой монотонности нормы относительно координат (например, в любом пространстве 1Р, 1 р < оо), существует такое не аппроксимативно компактное и ограниченное множество М, что метрическая проекция Рм(х) непуста и конечна для любого х € X.

Этот результат получен совместно с И. А. Пятышевым.

В 4-ом параграфе I главы для каждого тг = 3,4. 5,... строятся новые примеры сепарабельных банаховых пространств X и таких элементов хх,..., хп € X, что точка Штейнера 5(1'!, ....х^вХне существует для всех наборов х^,... ,х'п, достаточно близких к х,,. ...хп. Напомним, точкой Штейнера ..., хп) называется любая точка с минимальной суммой расстояний до элементов хх,..., хп.

В главе II исследуется линейность и липшицевость операторов Ру метрического проектирования на чебышевские подпространства У общих банаховых и конкретных функциональных пространств X.

Основным инструментом этого исследования служит коэффициент линейности оператора Ру, а именно, величина

А(Г) = Ы{^С+^Г :ЧиЯ2е 91 +92 * °} '

где С2(У) = {я £ X : Ру(д) Э 0} — квазиортогональное множество к подпространству У.

ТЕОРЕМА 2.1. Для любого чебышевского подпространства У справедливы следующие утверждения:

(1) 0 ^ А (У) ^ 1; А(У) = 1 тогда и только тогда, когда оператор Ру линеен;

(2) если оператор Ру удовлетворяет условию Липшица с константой к: ЦРуСхО - Ру{х2)\\ < -х2\\ Чхих2 € X, то А(У) > ¡¿т;

(3) если А(У) > 0, то Ру удовлетворяет условию Липшица с константой к = —ту + 1;

(4) А(У) = 0 тогда и только тогда, когда оператор Ру не является липшицевым.

(5) если оператор Ру разрывен, то А (У) = 0; обратное, вообще говоря, неверно.

Неравенства в утверждениях (2) и (3) этой теоремы, связывающие коэффициент линейности А (У) и липшицеву константу к — к(У), могут оба обращаться в равенства.

Следующий результат является простым следствием теорем Й. Лин-денштраусса и Л. Цафрири и теоремы 2.1.

Следствие 2.2.1. Если банахово пространство X не изоморфно гильбертову пространству, то в X есть либо нечебышевское подпространство У, либо чебышевское подпространство У с А(У) = 0 (то есть с нелипшицевым оператором метрического проектирования).

Пусть С[К] — пространство действительнозначных или комплекс-нозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом то-

пологическом пространстве К, с обычной равномерной нормой ||/|| -

sup{|/(t)| : t € К}.

теорема 2.3. Пусть У — чебышевское подпространство в С[К]. Тогда

(1) если dim У = 0 или codimy ^ 1, то А (У) = 1;

(2) если dim У ? 1 и codimy > 2, то А(У) ^ 1/2;

(3) если компакт К бесконечен, то при 2 ^ dim У < оо или 2 ^ codimy < оо справедливо равенство А (У) = 0.

В частности, оператор метрического проектирования на чебышевское подпространство У С С[К] линеен тогда и только тогда, когда или У = {0}, или У = С[К], или У имеет коразмерность 1.

Утверждение (3) является следствием результатов П. Морриса (1968) и А. Клайна (1973). Неравенство А(У) < 1/2 в утверждении (2) теоремы 2.3 является точным. По-видимому, в утверждении (3) теоремы 2.3 можно снять ограничения dim У < оо и codimy < оо. В частном случае, когда компакт К имеет конечное число предельных точек (то есть С [К] является пространством типа с), это действительно удается сделать.

Теорема 2.4. Пусть компакт К имеет конечное число предельных точек.

(1) Собственное подпространство У С С[К] аппроксимативно компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

(2) Оператор Ру метрического проектирования на чебышевское подпространство У С С [К] непрерывен тогда и только тогда, когда либо codimy ^ 1, либо dim У < оо.

В частности, если чебышевское подпространство У в таком С\К] удовлетворяет условиям dim У > 2 или codimy ^ 2, то А(У) = 0.

Отметим, что аппроксимативная некомпактность факторрефлек-сивных подпространств У (в частности, подпространств У конечной коразмерности) в общих пространствах С[К\ с бесконечным К установлена В.И. Андреевым (1975).

Что касается утверждения (2) теоремы 2.4, в общих пространствах С[К] с бесконечным К разрывность оператора Ру для чебы-шевских подпространств У конечной коразмерности > 1 доказана П. Моррисом (1968), для факторрефлексивных чебышевских подпространств коразмерности > 1 - В.И. Андреевым (1975). О существовании же в пространствах типа с чебышевских подпространств с бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью на данный момент ничего не известно.

Пусть Li(M) = Li(M,£,m) - пространство действительнознач-

ных или комплекснозначных функций, определенных на множестве М произвольной природы и суммируемых на М по а—конечной мере ц, заданной на а—алгебре Е подмножеств этого множества. Для каждой функции / е Ь\{М) ее носитель supp / := {t € М : f(t) Ф 0} определен с точностью дсу множества меры 0.

ТЕОРЕМА 2.5. (1) Для любого небышевского подпространства Y в действительном пространстве L\(M) имеет место либо равенство A (У) = 1, либо неравенство А (У) ^ 1/2.

(2) В произвольном (действительном или комплексном) пространстве Li(M) подпространство У является чебышевским с А (У) = 1 тогда и только тогда, когда существует такое разбиение множества М на два непересекающихся ц-измеримых множества Mi и М2 и такой линейный оператор А : L\(Mi) Li(M2), строго уменьшающий норму каждого ненулевого элемента (\\Ау\\ < ЦуЦ при у ф Q), что

Y = {y€Ll{M):y\M2=A(y\Ml)}, где у|дг обозначает сужение функции у на множество N С М.

Неравенство А(У) < 1/2 в утверждении (1) теоремы 2.5 является точным.

Утверждение (2) теоремы 2.5 в частном случае пространства Li[0,1] доказывалось П. Моррисом (1980).

Пространство Харди Я1 = Hl{U) состоит из функций f(z), аналитических в единичном круге U = {z € С : \z\ < 1} и таких, что

||/||я1 := sup Г\f{reie)\dB < с*.

0$г<1 ¿К J0

Пространство Я1 изометрически изоморфно подпространству комплексного пространства Ь\(С :— {z : |z| = 1}), порожденному системой {1, z, z2,... }.

Чебышевские подпространства в пространстве Я1 изучались сравнительно мало. С.Я.Хавинсон (1958) доказал, что при любом п = 0,1,2,... подпространство комплексных многочленов степени не выше п является чебышевским в Я1. С.Б. Стечкин (1989) привел пример конечномерного нечебышевского подпространства в Я1. Автором было показано, что в Я1 имеется достаточно много чебышевских подпространств любой конечной размерности или коразмерности (в ¿1 (С) вообще нет чебышевских подпространств с конечной ненулевой размерностью или коразмерностью).

ТЕОРЕМА 2.6. В пространстве Я1 нет нетривиальных подпространств Y, для которых Q(Y) — линейное подпространство размерности больше 1. В частности, чебышевское подпространство

У С Н1 имеет линейный оператор метрического проектирования тогда и только тогда, когда или У = {0}, или У = Я1, или У имеет коразмерность 1.

Таким образом, в пространствах С[К\ и в пространстве Я1 совокупность чебышевских подпространств У с линейным оператором Ру — в отличие от Ь\{С), см. теорему 2.5 выше — исчерпывается тем минимумом, который обязателен для каждого банахова пространства (нулевое подпространство, все пространство и чебышевские подпространства коразмерности 1 имеют линейный оператор метрического проектирования в любом банаховом пространстве).

В главе III исследуются свойства метрической ^-проекции и выпуклость ЛГ-чебышевских множеств (определения этих понятий см. выше).

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1. Пусть натуральное число N четно. В локально равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое ограниченно компактное N-чебышевское множество выпукло.

Следствие 3.1.2. Пусть натуральное число N четно. В локально равномерно выпуклом рефлексивном банаховом пространстве ограниченно компактное множество является N-чебышевским тогда и только тогда, когда оно выпукло.

Примечательно, что утверждения этих следствий неверны для N = 1 — нужна гладкость пространства.

ТЕОРЕМА 3.3. (1) Пусть N четно и X — равномерно выпуклое банахово пространство. Множество М С X является N-чебышевским тогда и только тогда, когда оно выпукло и замкнуто.

(2) Пусть N > 3 нечетно, и X — гладкое равномерно выпуклое банахово пространство. Множество М С X является N-чебышевским тогда и только тогда, когда оно выпукло и замкнуто.

Показывается, что условие гладкости пространства в утверждении (2) этой теоремы убрать нельзя.

Теорема 3.5. Пусть X = Я - гильбертово пространство, N ^ 2, и для множества М С Я существует такое е > 0, что для любых точек хи...,хн е Я с р{хх,... ,хм, Я) < ер{хи-■ ■ .ЗДМ), Л1етрическая N-проекция Рм{хи...,хц) состоит из одной точки. Тогда М выпукло.

Это утверждение усиливает теорему 3.3 в случае гильбертова пространства.

Для произвольного единичного вектора е 6 Я и произвольного

числа к > О через Ае^ обозначим линейный оператор, производящий растяжение пространства Н в к раз вдоль направления е: Ае к(х) = х + (к — l)(z, е)е.

СЛЕДСТВИЕ 3.5.1. Если чебышевское множество М с Я устойчиво в том смысле, что образы являются чебышевскими множествами для любого е € S{H) и любого к £ [1 — е, 1] (где eS (0,1) — некоторое фиксированное число), то М выпукло.

По аналогии с определением солнца, введенного Н.В. Ефимовым и С.Б. Стечкиным (1958), множество М в банаховом пространстве X назовем N-солнцем, если для любых Xi,... ,xN € X найдется такой элемент у е Рм(zi,.. ., xN), что у € Рм{х'\, • ■ •, x'N) для любых точек х'к, лежащих соответственно на лучах {у + A(ifc — у) : А > 0}, к = 1,..., /V (при Xk = у такой луч вырождается в точку).

Теорема 3.6. Пусть X — произвольное банахово пространство, и множество М с X является N-чебышевским и N-солнцем для бесконечной последовательности натуральных N. Тогда М выпукло.

В связи с теоремой 3.6 возникает вопрос: существует ли, для заданного N ^ 2, TV-чебышевское множество, которое не является TV-солнцем? Для N = 1 пример такого множества впервые был построен Данхэмом (1975).

СЛЕДСТВИЕ 3.6.2. Пусть X — произвольное банахово пространство. Если ограниченно компактное множество М с X является N-чебышевским для некоторой бесконечной последовательности натуральных N, то оно выпукло.

Следствие 3.6.3. Пусть X — конечномерное банахово пространство. Если множество М с X является N -чебышевским для некоторой бесконечной последовательности натуральных N, то оно выпукло.

В двух предпоследних параграфах III главы описываются конечномерные 2-чебышевские подпространства в пространствах С и Li.

ТЕОРЕМА 3.7. п—мерное подпространство Y является 2-чебы-шевским в С[К\ тогда и только тогда, когда всякая ненулевая функция у 6 Y обращается на К в нуль не более чем в п — 1 точках и

принимает всякое свое положительное значение не более чем в п точках.

Этот результат является аналогом известной теоремы А.Хаара (1918) о конечномерных чебышевских подпространствах в простран-

стве С. С помощью теоремы Мэйрхьюбера из него выводится

Следствие 3.7.2. Если С[К] содержит 2-чебышевское подпространство У размерности п ^ 3, то К непрерывно вкладывается в окружность и не содержит подмножеств, гомеоморфных отрезку.

ТЕОРЕМА 3.8. п—мерное подпространство У является 2-чебы-шевским в Ь-у{Е) тогда и только тогда, когда не существует такого ненулевого функционала / € Ух, что разность Е \ ({£ € Е : |/(£)| = И/И^ооСЯ)} и {г € Е : /(¿) = 0}) состоит из менее чем п атомов.

Это утверждение аналогично теореме Р. Фелпса (1966) о конечномерных чебышевских подпространствах в

В пространстве Ьг[а, Ь] на отрезке [а, Ь] С К с классической мерой Лебега нет чебышевских — а значит, и 2-чебышевских — подпространств с конечной ненулевой размерностью или коразмерностью (М.Г. Крейн, 1938). Большинство известных чебышевских подпространств этого пространства также оказываются не 2-чебышевскими. Тем не менее, 2-чебышевские подпространства в Ьх[а, Ь] все же существуют — целый класс таких подпространств описан в теореме 3.9.

В заключительном параграфе главы III исследуется свойство зеркальности метрической 2-проекции. Если X = Н — гильбертово пространство, то метрическая 2-проекция Ру{х\,х2) для любых элементов хих2 € Н \ У состоит из единственной точки у на отрезке \Ру(х1),Ру(х2)], делящей его в отношении р{хи У) : р{х2,У). Например, если У — подпространство коразмерности 1 (гиперплоскость) и элементы хи х2 находятся по одну сторону от У (Н — действительное), то ломаная хгух2 представляет собой путь луча света, идущего из Х\ в х2 с отражением от У как от зеркала.

Пусть У — подпространство банахова пространства X. Будем говорить, что У обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции, если для любых £1,2:2 е X \ У найдется элемент у € Ру(хь х2), удовлетворяющий равенству

11^1 ~У|1 = 11^2 ~У\\ р(хиУ) р(*2,У)'

ТЕОРЕМА 3.11. Пусть X — действительное банахово пространство размерности сНтХ 5= 2, и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 п < <11тХ, 1 « к < (ИтХ. Следующие условия . эквивалентны:

(1) X — гильбертово пространство;

(2) всякое подпространство У с X размерности п обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции;

(3) всякое подпространство У С X коразмерности к обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции.

Этот результат аналогичен приведенной выше теореме Е.

В первых параграфах IV главы получены некоторые условия на множество М и банахово пространство X, достаточные для того, чтобы замыкание в X полугруппы Д(М) = Ц^ М Н----+ М бы-

п

ло, во-первых, подгруппой в X, а во-вторых, чтобы эта подгруппа совпадала со всем X.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть в равномерно выпуклом банаховом пространстве X задано разностороннее минимальное множество Г = Г1 и ■ • -иГт, состоящее из спрямляемых (замкнутых или разомкнутых) кривых Гj. Тогда /?(Г) — подгруппа в X.

Здесь множество М называется разносторонним, если для любого ненулевого функционала / 6 X* существует такой элемент х е М, что /(х) < 0 (Ие/(х) < 0 в случае комплексного X), а разностороннее множество М называется минимальным, если для всякого х 6 М и всякой окрестности 17(х) найдется такой функционал / € X*, что /(у) > 0 для любого у 6 М \ и(х). Разностороннесть множества М всегда является необходимым (а в случае конечномерности X — и достаточным) условием для того, чтобы Я(М) было подгруппой в X.

Построены примеры, показывающие как существенность спрямляемости кривых Г,-, так и существенность равномерной выпуклости пространства X в теореме 4.3.

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть (7 — зал1кнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства X с модулем гладкости з(т), и непрерывное отображение ¡р : [0,1] —> С? имеет такой модуль непрерывности что з(шц,(5)) = о(5) при 6-^0. Тогда С? содержит замкнутое ~М.-линейное подпространство Ь, порожденное элементами вида а — Ь, где а,Ь € <^с>([0,1]).

В частности, если отображение >р липшицево, то б содержит Ь при любом модуле гладкости й(т).

следствие 4.5.2. Если для функции / из вещественного пространства ¿2(К.) преобразование Фурье / обращается в нуль на множестве нулевой меры Лебега на К и интегральный модуль непре-

рывности

u2(f,6) = sup ( f \I(t + h)-f(t)\2dt

o^h^s \jr

обладает свойством o^tf, 8) = 0(6) при 6 ->• 0 (например, если f -финитная функция, удовлетворяющая условию Липшица), то суммы функций ±/(£ - А), Л € R, плотны в пространстве L2{R).

Существенность условия на интегральный модуль непрерывности функции / в этом следствии показывает пример функции / = /¡од] (порожденная сдвигами этого индикатора подгруппа в Ь2(Щ состоит только из целозначных функций и не совпадает с Ь2{Ш.)). Участвующее в формулировке следствия условие "/ обращается в нуль на множестве нулевой меры" является критерием полноты системы {у(£ -а) :а вЩ в L2(R) по классической теореме Винера.

Для приложений в теории приближения наипростейшими дробями необходимы утверждения о выпуклости подгрупп, порожденных образами множеств комплексной плоскости.

Теорема 4.6. Пусть G — замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства X, модуль гладкости которого удовлетворяет равенству s(r) = 0{т2) при т -»> 0 (например, X = Lp при р > 2), Е — связное множество на плоскости, и липшицево отображение у : Е X таково, что <р{Е) с G. Тогда G содержит замкнутое Ж-линейное подпространство L, порожденное элементами вида а — Ь, а,Ъ е <р(Е).

Следствие 4.6.1. Пусть связные компакты Ех и Е2 лежат соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости, и каждый из них является множеством единственности для гармонических функций. Тогда суммы дробей вида ±— (то есть логарифмические производные рациональных функций, или разности наипростейших дробей) с полюсами а £ Ех u Е2 плотны в пространстве Ьр(Ш) при р ^ 2.

В связи с этим следствием напомним, что наипростейшие дроби (логарифмические производные многочленов) не плотны ни в одном из пространств LP(R), 1 < р < оо.

Следствие 4.6.2. Пусть связный компакт Е не пересекается с положительной полуосью R+ действительной оси и является множеством единственности для гармонических функций. Тогда суммы дробей вида с полюсами а € Е плотны в пространстве LP(R+) при 2.

Для множества Е с С через Е ниже обозначается замыкание объединения Е со всеми ограниченными компонентами связности дополнения С \ Е, а АС (К) обозначает пространство функций, непрерывных на компакте К с С и голоморфных в его внутренних точках, с обычной равномерной нормой.

Теорема 4.8. Пусть К и Е — непересекающиеся компакты в комплексной плоскости.

(1) Если разность К \ Е содержит бесконечно много точек, то наипростейшие дроби с полюсами из Е не плотны в пространстве АС {К).

(2) Если К имеет связное дополнение, и Е содержит такие взаимно внешние замкнутые жордановы спрямляемые контуры

г],... ,гт, что К с ujljinttj, то наипростейшие дроби с полюсами из Е плотны в АС (К).

Утверждение (2) здесь выводится из теорем 4.3 и 4.6. Возможно, условие К с Е\Е (при связном дополнении к компакту К) является достаточным для того, чтобы наипростейшие дроби с полюсами из Е были плотны в АС(К), но доказать это пока не удается. В случае, когда К лежит в одной компоненте связности множества Е\Е, плотность в АС (К) наипростейших дробей с полюсами из Е может быть легко выведена из следующего результата Кореваара (1964): всякая функция, голоморфная в ограниченной односвязной области D и не имеющая нулей в D, может быть с любой точностью равномерно внутри D приближена многочленами, все нули которых лежат на границе 3D этой области.

Для разностей наипростейших дробей, то есть логарифмических производных рациональных функций, имеет место

ТЕОРЕМА 4.9. Пусть в комплексной плоскости заданы компакт К со связным дополнением и компакт Е с с\К, удовлетворяющий одному из следующих условий:

1) ЁЭ К;

2) Е связен и является множеством единственности для гармонических функций.

Тогда суммы дробей вида с полюсами а £ Е плотны в про-

странстве АС (К).

В следующих двух утверждениях речь идет о приближении наипростейшими дробями на полуоси. При их доказательстве применяются теорема F В.И.Данченко и сформулированное выше следствие 4.6.2.

Теорема 4.11. (1) Наипростейшие дроби не плотны в простран-

стве Lp(R+) при каждом р € (1; 2).

(2) При любых р > 2 и а > 0 множество наипростейших дробей

с полюсами в области Па = {z = х + гу: х < ¿-а2} всюду плотно в L„(R+).

Область Qa является образом множества = íz '■ |Imz| >

q} при отображении г г2. Граница области С1а есть парабола с фокусом в начале координат.

Теорема 4.12. Для любого 7 6 [0, |] наипростейшие дроби с полюсами в угле Л7 = {z : argz € (7,2тг - 7)} содержатся в собственном полупространстве пространства LP(R+) (в частности, не всюду плотны в этом пространстве) при каждом р е (l, ^г^) и всюду плотны в Lp(R+) при каждом р > ■

Этот результат, с одной стороны, является обобщением теоремы 4.11, а с другой стороны, он показывает, что область fla в теореме 4.11 нельзя заменить никаким углом Л7, 7 > 0.

В следующей теореме уточняется оценка В.И. Данченко для величин d(n, р) из теоремы G. Новая оценка лучше оценки В.И. Данченко при всех р и является точной при р — 2.

Теорема 4.14. Для любых р е (1; оо) и п е N имеет место неравенство

22,-2^-1 ( nq2*-P У'1

i

где 1 + 1 = 1, B(a,ß) = f t"'1^ ~ t)ß~ldt - бета-функция Эйлера.

р 4 о

Следствие 4.14.1. Для любого п е N имеет место равенство

d(n, 2) = 7г.

Отметим, что теорема G дает оценку d(n, 2) 3=

В заключительном параграфе IV главы получены оценки расстояний до полуоси R+ от полюсов наипростейших дробей г с условием IM|l„(r+) < 1 Для некоторого р € (1,2]. Полюсы таких дробей г при заданном р € (1,2) не могут, а при р = 2 могут подходить к полуоси R+ сколь угодно близко. В первом случае получается аналог теоремы G, а во втором — аналог теоремы F.

Следствие 4.15.1. Для каждого п > 20 полюсы наипростейшей дроби г степени не выше п с условием ||r||i,2(R+) í 1 не могут подходить к полуоси R+ ближе чем на (3302 Inn)"1, но могут подходить

на расстояние Ci (ln ln n)2/ln п (по отрицательной полуоси), где С\ — некоторая константа.

Глава V начинается с подробного обзора результатов, посвященных задаче существования элемента с заданными уклонениями dn от расширяющейся системы {У1} строго вложенных подпространств банахова пространства (см. выше). В следующем утверждении эта задача решается при дополнительных и довольно сильных условиях на уклонения.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть X — произвольное бесконечномерное банахово пространство, Y\ С Yi С ... — произвольная счетная система строго вложенных подпространств в X, а невозрастающая число-

оо

вал последовательность {¡¿п}!^ такова, что dn > dk для каж-

k=n+l

дого натурального п ^ щ, при котором dn > 0. Тогда существует элемент х € X, для которого р(х, Yn) = dn (n — 1, 2,...).

Используя теорему 5.1, C.B. Конягин (2012) показал, что для всякой системы строго вложенных подпространств {Yn} в произвольном банаховом пространстве X и всякой монотонно убывающей к нулю последовательности dn существует такой элемент х G X, что dn/A ^ р(х, Yn) с Adn при каждом п.

В следующем утверждении от уклонений dn требуется лишь строгая монотонность, но зато накладываются сильные ограничения на подпространства Yn.

СЛЕДСТВИЕ 5.2.2. Пусть X есть одно из пространств Со или 1Р, 1 < р < оо, di > ¿2 > .. ■, dn 0, а система строго вложенных подпространств С Уг С ... такова, что для любого n ^ По размерность факторпространства Yn+1/Yn бесконечна. Тогда в X существует такой элемент х, что р(х, Yn) = dn (n = 1,2,... ).

Если доказать аналог следствия 5.2.2 для пространства lj, то он будет доказан для любого сепарабельного банахова пространства X (поскольку всякое такое пространство изометрически изоморфно некоторому факторпространству li/У).

Заключительные параграфы V главы содержат результаты о существовании функций / с заданными наименьшими уклонениями рп(/) = р(/, SFn) от множеств SFn наипростейших дробей степени не выше п в различных функциональных пространствах.

ТЕОРЕМА 5.3. Для любой последовательности неотри-

цательных чисел, строго убывающей вплоть до нуля: dn > 0 dn > dn+1, существует такая функция f € Со(К), что pn(f ) = dn,

n = 0,1, 2,....

Показывается, что условие строгого убывания последовательности {dn} вплоть до 0 в теореме 5.3 существенно.

Автор глубоко благодарен Сергею Владимировичу Конягину, Игорю Германовичу Царькову и своему учителю Евгению Прокофьевичу Долженко.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. П.А.Бородин, "Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося компактным", Успехи матем. наук, 49:4 (1994), 157-158.

2. П.А. Бородин, "Квазиортогональные множества и условия гиль-бертовости банахова пространства", Матем. сб., 188:8 (1997), 63-74.

3. П. А. Бородин, "О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Lx и С", Матем. заметки, 63:6 (1998), 812-820.

4. П.А. Бородин, "Чебышевские подпространства в пространстве Я1 Харди", Analysis Math., 25:4 (1999), 243-264.

5. П. А. Бородин, "О выпуклых аппроксимативно компактных множествах и пространствах Ефимова-Стечкина", Вестник Моск. унта. Сер. 1. Матем. Механ., 1999, № 4, 19-21.

6. П. А. Бородин, 'Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе", Матем. заметки, 69:3 (2001), 329-337.

7. П.А. Бородин, "Аппроксимативные свойства подпространств в пространствах типа с", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2002. № 5, 54-58.

8. П.А.Бородин, О.Н.Косухин, "О приближении наипростейшими дробями на действительной оси", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2005, № 1, 3-8. (В диссертацию включена теорема 1, доказанная совместно с О.Н. Косухиным, и теоремы 3 и 4, доказанные автором.)

9. П.А. Бородин, "К задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств", Матем. заметки, 80:5 (2006), 657-667.

10. П.А.Бородин, "Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Lp на этих множествах", Матем. заметки, 82:6 (2007), 803-810.

11. П.А.Бородин, "Выпуклость 2-чебышевских множеств в гильбертовом пространстве", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Me-

хан., 2008, № 3, 16-19.

12. П.А. Бородин, "Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство", Матем. заметки, 85:2 (2009), 180-188.

13. П. А. Бородин, "Приближение наипростейшими дробями на полуоси", Матем. сб., 200:8 (2009), 25-44.

14. П.А.Бородин, И.А.Пятышев, "Пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией", Матем. заметки, 86:2 (2009), 170-174. (В диссертацию включен результат, доказанный совместно с И.А. Пятышевым.)

15. П. А. Бородин, "Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве", Матем. заметки, 87:4 (2010), 514-518.

16. П.А. Бородин, "О зеркальном свойстве метрической 2-проекции", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2011, № 2, 32-36.

17. П.А. Бородин, "О выпуклости Л^-чебышевских множеств", Известия РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 19-46.

18. П. А. Бородин, "О 2-чебышевских подпространствах в пространствах Ьг и С", Матем. заметки, 91:6 (2012), 819-831.

Подписано в печать №. 03._ Формат 60x90 1/16. Объем ■/, 7д

Заказ _Тираж //О экз.__

Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ г. Москва, Ленинские горы.

Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета

Основные определения и обозначения.

Введение.

Глава I. Примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами.

§ 1.1. Пример нетривиального чебышевского множества.

§ 1.2. Пример аппроксимативно компактного, но не локально компактного множества.

§ 1.3. Пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией.

§ 1.4. Новые примеры несуществования точки Штейнера.

Глава II. Линейность и липшицевость оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство.

§ 2.1. Квазиортогональные множества.

§ 2.2. Коэффициент линейности.

§ 2.3. Пространство С.

§ 2.4. Пространства типа

§ 2.5. Пространство Ь\.

§ 2.6. Пространство Я1.

Глава III. А^-приближения.

§ 3.1. Метрическая Аг-проекция.

§ 3.2. Выпуклость 2-чебышевских множеств при условии непрерывности метрической 2-проекции.

§ 3.3. Выпуклость А^-чебышевских множеств в равномерно выпуклом пространстве.

§ 3.4. Доказательство теоремы Л.П. Власова о У-связности чебышевских множеств в случае несимметричной нормы.

§ 3.5. Выпуклость множеств в гильбертовом пространстве при условии одноточечности метрической 2-проекции для пар близких точек.

§ 3.6. Выпуклость множеств, ТУ-чебышевских для бесконечно многих N.

§ 3.7. 2-чебышевские подпространства в пространстве С.

§ 3.8. 2-чебышевские подпространства в пространстве

§ 3.9. Зеркальное свойство метрической 2-проекции.

Глава IV. Плотность полугруппы в банаховом пространстве.

Приближения наипростейшими дробями.

§ 4.1. Пример: приближение наипростейшими дробями на действительной оси.

§ 4.2. Постановка задачи о плотности полугруппы.

§ 4.3. Когда замыкание полугруппы — подгруппа.

§ 4.4. Плотность подгруппы.

§ 4.5. Приближение на компактах наипростейшими дробями с ограничением на полюсы.

§ 4.6. Приближение наипростейшими дробями на полуоси.

§ 4.7. Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр.

Глава V. Существование элементов с заданными наименьшими уклонениями.

§ 5.1. Уклонения от системы подпространств.

§ 5.2. Случай быстро убывающих уклонений.

§ 5.3. Дополнительные условия на подпространства.

§ 5.4. Уклонения от наипростейших дробей в С0(М).

§ 5.5. Уклонения от наипростейших дробей в Ь2{Ш+).

Диссертация посвящена избранным вопросам теории приближений в нормированных пространствах (геометрической теории приближений). В ней построены нетривиальные примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств; описываются чебышевские подпространства с линейным или липшице-вым оператором метрического проектирования в конкретных функциональных пространствах; изучаются так называемые 7У-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с минимальной суммой расстояний до заданных N элементов банахова пространства), в частности, исследуется выпуклость А^-чебышевских множеств и свойства метрической ^-проекции; получены общие результаты о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством в банаховом пространстве, которые прилагаются в теории приближения наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов); рассмотрены некоторые частные случаи задачи существования элемента с заданными уклонениями от системы расширяющихся множеств в банаховом пространстве.

Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л. Чебышева [74] (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Тп алгебраических многочленов степени не выше п и множества 7£тп рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев по существу описал оператор метрического проектирования на множества Тп и 7£тп (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), С.Н.Бернштейном (1938), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 1950-х и в 1960-е годы благодаря работам, в первую очередь, В. Кли, Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, а затем В.И.Бердышева, Л.П.Власова, А.Л.Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А. Брауна, А. Брёндстеда, Д. Вульберта, Ф. Дойча, И. Зингера, Б. Крипке, Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини, М. Эделыдтейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном представителями научной школы С.Б.Стечкина: А.Р.Алимовым, П.В.Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаганским, A.A. Васильевой, В.И. Ивановым, М.И. Карловым, C.B. Конягиным, В.А. Кощеевым, Е.Д. Лившицем,

A.B. Мариновым, К.С.Рютиным, Г.Ф.Устиновым, И.Г. Царьковым и др., а также М.В.Балашовым, С.И.Дудовым, Г.Е.Ивановым,

B.П. Фонфом и многими другими математиками.

В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.

Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [25], [19], [123], [8], [41], [3], [73].

При всем многообразии исследований по геометрической теории приближений, эта теория содержит большое число давно поставленных проблем, не поддающихся решению. Наиболее острой из них признается проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б.Стечкин, В. Кли): всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? В конечномерном евклидовом пространстве выпуклость всякого чебышевского множества была доказана JI. Бунтом [85] еще в 1934 г. Ни в одном бесконечномерном банаховом пространстве чебышевские множества не охарактеризованы в геометрических терминах. С проблемой выпуклости тесно связана также проблема характеризации банаховых пространств, в которых каждое чебышевское множество выпукло (эта проблема до конца не решена и в конечномерном случае). Более подробно о проблеме выпуклости см. обзорные работы [19], [8], [3].

В связи с этой проблемой была доказана

Теорема А (Н.В. Ефимов и С.Б. Стечкин [39], 1961). Чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве (в частности, в гильбертовом пространстве) выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно.

В дальнейшем теорема А обобщалась Л.П. Власовым [19].

Теорема А позволяет переформулировать проблему выпуклости следующим образом: существует ли в гильбертовом пространстве не аппроксимативно компактное чебышевское множество? В I главе настоящей работы для целого класса банаховых пространств, в частности, для сепарабельного гильбертова пространства дается утвердительный ответ на менее категоричный вопрос: существует ли такое не аппроксимативно компактное множество М, что метрическая проекция Рм{х) непуста и конечна для любого х € X?

В то же время введенное в связи с теоремой А понятие аппроксимативной компактности оказалось основополагающим в геометрической теории приближений и ее приложениях (обзор применений этого понятия см., напр., в диссертации [60]). Аппроксимативно компактные множества стали исследоваться сами по себе.

В любом банаховом пространстве X всякое ограниченно компактное множество (то есть множество, пересечение которого с любым замкнутым шаром компактно) является аппроксимативно компактным. В частности, в любом X все конечномерные подпространства являются аппроксимативно компактными. В достаточно "хороших" пространствах X аппроксимативно компактными являются все замкнутые подпространства. Такие пространства названы пространствами Ефимова-Стечкина.

Именно, банахово пространство X называется пространством Ефи-мова-Стечкина (И. Зингер [124]) , если любое секвенциально слабо замкнутое множество М С X аппроксимативно компактно в X.

Теорема В (И.Зингер [124], 1964). Следующие условия эквивалентны:

1) X — пространство Ефимова-Стечкина;

2) каждое замкнутое подпространство в X аппроксимативно компактно;

3) каждое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;

4) X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию: если последовательность его элементов {хп} слабо сходится к элементу х и ||£п|| -* то найдется такая подпоследовательность что 1|яп* ~ 0.

Другие характеристики пространств Ефимова-Стечкина см. в [46].

Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Ьр, 1 < р < оо. В силу теоремы В задача описания аппроксимативно компактных подпространств содержательна (и до сих пор не решена) для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств Ь\, Ь^ и пространства С (К) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте К. Во II главе настоящей работы получено полное описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах типа с (то есть в пространствах С (К) для компактов К с конечным числом предельных точек).

Для банаховых пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, актуальны две другие задачи: во всяком ли таком пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество?; во всяком ли таком пространстве существует ограниченное выпуклое аппроксимативно компактное тело? Глава I диссертации содержит положительное решение этих задач соответственно для любого слабо компактно порожденного банахова пространства (ЖСС-пространства) и для любого рефлексивного пространства или несепарабельного ТУССЧпространства. Попутно в произвольном ЖСС-пространстве строится пример нетривиального чебышевского множества (вопрос о существовании неодноточечного собственного чебышевского подмножества в произвольном банаховом пространстве возник в школе С.Б. Стечкина и до сих пор не решен).

Вернемся к проблеме выпуклости.

К настоящему времени получены десятки результатов, в которых выпуклость чебышевского множества М доказана в различных классах банаховых пространств при различных условиях на структуру М или на оператор метрического проектирования Рм• Наибольший вклад в развитие этого направления геометрической теории приближений был внесен Л.П. Власовым. Вот одна из его многочисленных теорем.

Теорема С. (Л.П.Власов [20], 1967) Пусть X — локально равномерно выпуклое гладкое банахово пространство. Если множество М С X чебышевское и для любого х М с Рм{%) — {?/} справедливо равенство lim Рм{х + Х(х - у)) = у,

А—^Q-jто М выпукло.

Отметим, что в работе [20] теоремы С в явном виде нет: она вытекает из теоремы 6 этой работы и доказательства этой теоремы 6, в котором используется именно указанная радиальная непрерывность метрической проекции.) Теорема С продолжает наметившуюся в теореме А "линию" условий выпуклости чебышевского множества М, формулируемых в терминах того или иного вида непрерывности оператора метрического проектирования Рм (так, в теореме С фигурирует так называемая "радиальная непрерывность" оператора Рм)- В дальнейшем такого рода условия стали формулироваться в терминах множества точек разрыва оператора Рм- Наиболее слабые из этих условий получены B.C. Балаганским [8], а также С.В. Конягиным [8, гл.З].

В III главе диссертации проблема выпуклости чебышевского множества получает положительное решение при дополнительном аппроксимативном условии иного типа, а именно, при условии А-чебышевости этого множества с N ^ 2. Приведем необходимые определения.

Пусть (X, || • ||) — действительное банахово пространство. Для элементов х\,., хм € X и множества М с X положим р{х 1, .,xN-,M)= inf (E£Li \Ы - У\\ ■ У € М}; pm{xi, - ■ ■, xn) = {у € м : ylk=i ll^fc ~ у\\ = р(хь • • • > м)} — метрическая TV-проекция точек х\,. на множество М.

Отметим, что сама по себе постановка задачи о минимизации суммы расстояний от заданных элементов Жх,. ,хдг до элемента заданного множества М в банаховом пространстве далеко не нова: еще в 1965 г. Г.Ш. Рубинштейн [61] рассматривал даже более общие суммы (с положительными весами при нормах) и получал характеристики элементов выпуклого множества М, минимизирующих такие суммы.

Множество М назовем N-чебышевским, если для любых х\,., х^ £ X выполнено одно из следующих двух условий:

1) р(х 1,., хм', М) > р(х\,., ждг; X) и Рм(хъ ■ ■ •, £дг) одноточечна;

2) р(х ь .,хц\М)= р(х 1,., хМ] X) и РмОъ • • ■, хм) ф 0.

В случае N = 1 это определение дает обычные чебышевские множества. Всякое А^-чебышевское множество является чебышевским.

Основной результат III главы состоит в доказательстве выпуклости А-чебышевского множества: при четном N — в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве, при нечетном N ^ 3 — в любом равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве. Доказать последнее утверждение при N = 1 означало бы решить проблему выпуклости. Однако до сих пор вероятная выпуклость чебышевского множества М в равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве доказывалась лишь при дополнительным условиях: аппроксимативной компактности М в теореме А, локальной компактности М в другой теореме Л.П.Власова [21] (множество М локально компактно, если для любого х £ М найдется такое е > 0, что пересечение М с шаром В(х,е) компактно), различных условиях непрерывности метрической проекции на М (см. выше).

Приведем геометрическую интерпретацию результата о выпуклости А^-чебышевского множества.

Пусть Е — произвольное замкнутое выпуклое ограниченное тело в банаховом пространстве X, содержащее точку 0 внутри себя. Тогда для элемента х € X и непустого множества М с X определено Е-расстояние ре{х,м) — т!'{А > 0 : (х + Ае) ПМ ^ 0}, определяемое функционалом Минковского тела Е. Следуя А. Брёндстеду [83]), будем говорить, что множество М С X является Е-чебышевским, если для любого х £ X пересечение {х + ре{х, М)Е) П М состоит ровно из одной точки.

Нетрудно видеть, что если множество М является УУ-чебышевским в пространстве X, то оно является В{х\,. хм] Я)-чебышевским для любого невырожденного М-шара В(х 1,. х^] Щ = {у £ X : \\у — х\\\ + • • • + II У- ялН1 < Щ, В > р{х ь ., хн\X).

Отметим, что сама по себе постановка задачи об исследовании свойств множеств, .Е-чебышевских относительно всех тел Е из некоторого семейства , не является новой: А.Р. Алимов [2] еще в 1995 году в качестве такого семейства брал единичные шары произвольной системы норм (вообще говоря, несимметричных) в двумерном пространстве, а в дальнейшем рассматривал другие семейства (см., напр., [4]).

Эта интерпретация и делает упомянутый результат о выпуклости Л'-чебышевского множества неудивительным: среди указанного континуального семейства Л^-шаров содержится обычный единичный шар пространства X, то есть условие 1Ч-чебышевости "в континуум раз сильнее" свойства обычной чебышевости. В случае же гильбертова пространства и N = 2 соответствующее семейство 2-шаров содержит эллипсоиды, сколь угодно близкие к отрезкам, а ведь множество, "че-бышевское", в смысле определения А. Брёндстеда (если не обращать внимания на то, что Е в этом определении должно быть телом) относительно всех отрезков, является выпуклым просто по определению выпуклости!

При доказательстве результатов III главы существенно используется теорема С, а также другая теорема Л.П. Власова о связности че-бышевских множеств.

Теорема D. (Л.П. Власов [21], 1968) В равномерно выпуклом банаховом пространстве X всякое Р-связное (в частности, чебышевское) множество V-связно.

Здесь Р-связность множества М означает непустоту и связность метрической проекции Рм{%) для любого х g X, а У-связность множества М означает, что пересечение М с любым замкнутым шаром пространства X или пусто, или связно.

Теорема D обобщалась E.H. Сосовым [62] на равномерно выпуклые геодезические пространства X.

В III главе диссертации теорема D по необходимости переносится на случай несимметрично нормированных пространств, что само по себе является проявлением общей тенденции: последние двадцать лет теория приближений в несимметричной норме активно развивается, и это развитие стимулировало перенесение основных результатов теории банаховых пространств на случай несимметричной нормы [89].

Метрическая iV-проекция естественно связана с точками Штейнера.

Точкой Штейнера элементов xi,.,xn банахова пространства X называется такой элемент s = s{xi,. ,xn) g X, что i ll^fe ~ sll = infjgx Ylk=i ll^fe — ^11- Нетрудно видеть, что точки Штейнера составляют метрическую iV-проекцию Рх{%1, ■ ■ ■,

Например, в случае гильбертова пространства X — Н и N = 3 точка Штейнера s(xi,x2,xs) существует и единственна: она лежит в аффинной плоскости точек х\, ^з и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике Х\Х2Хз есть угол, не меньший 120°), либо совпадает с точкой Торичелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120°).

Нетрудно показать, что в рефлексивном пространстве X точка Штей-нера существует для любого набора точек х\,., х^

Первый пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве построил Л. Веселы [127] (1993). При этом он доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме для некоторых трех точек х2, х3 точка Штейнера й^ть ^з) не существует.

В заключительном параграфе I главы диссертации для каждого N = 3, 4, 5,. построен пример такого банахова пространства X и таких элементов х\,. в этом пространстве, что точка Штейнера 5(0:15 • • •, хы) не существует. Этот пример отличен от примеров Л. Веселы и других авторов и обладает дополнительным свойством "устойчивости". Идейно результаты о точках Штейнера примыкают, конечно, к III главе, и порождают целый ряд вопросов о кратчайших сетях в банаховых пространствах (несуществование точки Штейнера для заданных трех точек означает и несуществование кратчайшей сети, то есть связного графа минимальной длины, затягивающего эти три точки).

Вообще отметим, что круг задач, возникающих в связи с результатами III главы, не ограничивается "геометрическими" рамками: ведь эти, условно говоря, N-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с наименьшей суммой расстояний до заданных N элементов), допускают все основные постановки задач теории приближений — получение прямых и обратных теорем, сходимость различных методов приближения, оценки поперечников и т.д. При этом вместо суммы расстояний до заданных N элементов можно брать их максимум или другую подходящую функцию от этих расстояний.

II глава диссертации, а также часть III главы связаны с другим классическим направлением геометрической теории приближений — теорией чебышевских подпространств.

Хорошо известно, что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими (например, такими являются пространства Lp, 1 < р < оо). Поэтому особый интерес представляет задача описания чебышевских подпространств в нерефлексивных пространствах (прежде всего в пространствах L\ и С). В пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А.Хааром [97] (1918) и Дж. Мэйрхьюбером [113] (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности — A.JT. Гаркави [26] (1967). Соответствующие результаты для пространства Li получены Р.Фелпсом [120] (1966) и A.JL Гаркави [27] (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало (неизвестно, существуют ли такие подпространства в пространствах С[0,1] и с). Обзор теории чебышевских подпространств и многих до сих пор не решенных проблем в этой теории см. в [25].

Оператор метрического проектирования Ру бывает разрывным [123], [87], бывает непрерывным, но не липшицевым (например, для подпространства Y = Vn многочленов степени не выше п ^ 2 в С[0,1] — см., напр., [65]), и уж совсем редко бывает линейным, как показывает

Теорема Е (Рудин-Смит [121], 1961; И. Зингер [123, гл. 3, § 4, п. 4.1], 1970). Пусть X — действительное банахово пространство размерности dimX ^ 3, и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 ^ п < dim X — 1, 2 ^ к < dim X. Следующие условия эквивалентны:

1) X — гильбертово пространство;

2) всякое подпространство У с X размерности п обладает однозначной и линейной метрической проекцией;

3) всякое подпространство У С X коразмерности к обладает однозначной и линейной метрической проекцией.

Во II главе диссертации получены полные описания чебышевских подпространств с линейным оператором метрического проектирования в пространствах С, и в пространстве Я1 Харди. Исследуется также липшицевость оператора метрического проектирования на че-бышевские подпространства указанных пространств, а также общих банаховых пространств.

ВIII главе получены также описания конечномерных 2-чебышевских подпространств в пространствах Ь\ и С. Эти результаты аналогичны упоминавшимся выше теоремам Хаара и Фелпса. В целом можно сказать, что 2-чебышевских подпространств в этих пространствах существенно меньше, чем чебышевских. Кроме того, исследуется свойство зеркальности метрической 2-проекции на подпространство (как для обычной метрической проекции на подпространство "наилучшим" свойством является линейность, так для метрической 2-проекции таковым свойством является ее зеркальность). В частности, получен аналог теоремы Е: гильбертовы пространства охарактеризованы в терминах зеркальности метрической 2-проекции на их подпространства.

IV глава диссертации посвящена новому разделу геометрической теории приближений — задаче о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством М, в банаховом пространстве. В общем виде эта задача ставится так.

Пусть М — некоторое заданное подмножество банахова пространства X. Верно ли, что множество оо д(М) = и М + ■■■ + М

П=1 п всюду плотно в X, то есть любой элемент из X сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из М?

Полученные в IV главе результаты, относящиеся к этой задаче, четко делятся на две части: (1) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы Й(М) было аддитивной подгруппой в Х\ (2) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы замкнутая аддитивная подгруппа, порождаемая множеством М, совпадала с X. Интересно, что в результатах первой части существенную роль играет выпуклость сферы а в результатах второй части — гладкость этой сферы.

Источником и модельным примером для задачи о плотности полугруппы послужила теория приближений наипростейшими дробями.

Наипростейшей дробью степени п называется рациональная функция вида где {ак}к=1 ~~ точки комплексной плоскости С, а Р{г) — с(г — а{). г — ап), с еС \ {0}, — любой многочлен с нулями в этих точках.

Если Е — множество на комплексной плоскости, Ме — {^ : а Е Е], X — некоторое банахово пространство функций, определенных на каком-либо множестве комплексной плоскости, не пересекающемся с Е, то задача о том, приближается ли всякая функция / е! наипростейшими дробями с полюсами из Е, эквивалентна задаче о плотности множества ЩМВ) в X.

Исследования по приближению наипростейшими дробями в различных функциональных пространствах в нашей стране были начаты в конце 1990 -х по инициативе Е.П. Долженко. К настоящему времени в этой тематике получено немало результатов (В.И.Данченко, Д.Я. Данченко, И.Р. Каюмов, E.H. Кондакова, О.Н. Косухин, Я.В. Новак, В.Ю.Протасов, П.В.Чунаев).

Но началось все со следующей экстремальной задачи, поставленной Е.А.Гориным в 1960-е годы. Пусть наипростейшая дробь rn(z) по модулю не превосходит 1 в каждой точке действительной оси М. Как близко могут подходить к оси R полюсы cik этой дроби? Другими словами, стремятся ли к нулю величины d(n) = inf < min|Imafc| : 1

Е — i >, lc и если стремятся, то с какой скоростью?

В.И.Данченко полностью решил эту задачу.

ТЕОРЕМА F (В.И.Данченко [32], 1994)

In Inn d{n)

Inn n —» сю) знак х слабой эквивалентности означает, что отношение левой и правой частей ограничено сверху и снизу положительными постоянными). В [32] можно найти подробную библиографию и историю решения задачи Е.А. Горина.

Кроме того, В.И.Данченко в [32] исследовал аналогичную задачу для наипростейших дробей, ограниченных единицей по норме ЬР(М), 1 < р < оо. Приведем точную формулировку полученного им результата.

Пусть 1<р<оо, ^ + ^ = 1, НР(С+) — пространство Харди в верхней полуплоскости С+, то есть пространство голоморфных в С+ функций / с конечной нормой яр( с+) = 8иР а>0

Цх + {а)\р(1х

Каждая функция / е НР(С+) имеет конечные угловые пределы /(х) для почти всех образующие функцию /(х) € ЬР(Ж). Пространство Нр(С+) содержит все наипростейшие дроби с полюсами в нижней полуплоскости.

Положим фг.р) = гшп1та£ к Е

А;=1

0>к 1,1та/с > 0, / € НР(С+) Ы

Теорема в (В.И.Данченко [32], 1994). Для любых р е (1;оо) и п € N имеют место неравенства я с1{п,р) ^

29 ( вт ^ р

5(^,5) Л р) где В{а,Р) = / £а~1(1 — — бета-функция Эйлера (первая оцено ка, более точная, содержится в доказательстве теоремы 2а работы [32], а вторая оценка, менее точная, указана в формулировке этой теоремы).

Примечательно, что средняя и правая части здесь не зависят от п, так что полюсы наипростейших дробей гп{г) независимо от их количества не могут сколь угодно близко подходить к действительной оси при условии ||гп||£,р(к) ^ 1. Другими словами, слагаемые наипростейшей дроби в случае 1 < р < оо (в отличие от случая р = сю) не "интерферируют", не могут в сумме дать маленькую Ьр-норму на действительной оси, не удалившись от нее достаточно далеко.

Как заметили О.Н. Косухин и автор [137], этот факт означает, что функция не приближается в 1/р(М) наипростейшими дробями г(г) если бы норма разности R(z) = — —r(z) была меньше е, то наипростейшая дробь —R{z/e)/£ имела бы норму меньше £1//р, то есть меньше 1, и полюс в точке ег), так что наипростейшие дроби не плотны в ЬР(Ж) при 1 < р < оо. В дальнейшем класс (К) функций из £Р(М), с любой точностью приближаемых в этом пространстве наипростейшими дробями, был полностью описан В.Ю. Протасовым [57] (2009). Именно, 5Р(М) состоит из тех функций пространства ЬР(Ш), которые являются логарифмическими производными целых функций порядка не выше l/g, где 1 /р+ 1/q = 1.

В тоже время с помощью теоремы F в работе [137] О.Н. Косухина и автора было доказано, что для любого и > 0 наипростейшие дроби с полюсами вне полосы {z : |Imz| < и} всюду плотны в пространстве Со (К) = {/ : Ш С, / 6 С(К),/(ж) Опри х оо} с равномерной нормой.

Естественным продолжением этих исследований стало изучение аппроксимативных свойств наипростейших дробей на полуоси М+ = [0, оо) Автором [139] было замечено, что наипростейшие дроби не плотны в пространстве ЬР(Ш+) при любом р Е (1,2). В.Ю.Протасов [57] установил, что при р ^ 2 любую функцию из Lp(R+) можно сколь угодно точно приблизить дробью вида cp'(z)/p(z), где с > 0, a p{z) — комплексный многочлен. Эти дроби составляют выпуклый конус, порожденный наипростейшими дробями. Наконец, автор [142] доказал всюду плотность наипростейших дробей в ЬР(Ш+) при р ^ 2, а также исследовал вопрос о всюду плотности в LP(M+) наипростейших дробей с ограничениями на расположение полюсов.

Эти и другие результаты про плотность наипростейших дробей в Со(М) и в ЬР(Ш+) излагаются в IV главе. При их доказательстве существенно используется теорема F.

В IV главе исследуется также задача о всюду плотности наипростейших дробей с полюсами из заданного множества Е в пространстве АС(К) функций, непрерывных на заданном компакте К и голоморфных во внутренних точках этого компакта; компакт К не разбивает плоскость и не пересекается с Е. При Е = С \ К эта задача положительно решена В.И.Данченко и Д.Я.Данченко [34], [35]. Она оказывается нетривиальной даже для случая компактного множества Е (в отличие от аналогичной задачи для общих рациональных аппроксимаций). В этом случае для плотности оказывается необходимым, чтобы компакт Е "окружал" почти весь компакт К. Возникает гипотеза о том, что если компакт Е "окружает" компакт К со связным дополнением, то наипростейшие дроби с полюсами из Е плотны в АС (К). Эту гипотезу удается доказать в случае, когда Е содержит конечное число замкнутых спрямляемых контуров, "окружающих" К, и этот результат вытекает из общих теорем о плотности полугруппы в банаховом пространстве, доказанных в начале главы.

Кроме того, в главе IV получены оценки расстояний до оси или полуоси от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр на этих множествах. В частности, уточняются оценки В.И. Данченко для величин с1(п, р) из теоремы в, и находится точное значение с1(п, 2) = тт. Эти результаты находят применения в следующей главе.

V глава диссертации посвящена так называемой обратной задаче теории приближений, или задаче о существовании элемента х с заданными уклонениями р(х, Мп) от расширяющейся системы М\ с м2 с . заданных подмножеств заданного банахова пространства X. Источником для этой задачи послужила

Теорема Н (С.Н. Бернштейн [12], 1938). Для всякой числовой последовательности ¿¿о ^ (¿1 ^ ¿2 > ■ • •, —> 0, существует функция, непрерывная на заданном отрезке [о, 6], наименьшие равномерные уклонения которой от многочленов степени не выше п равны указанным числам: Еп{/) = с1п, п ~ 0,1,.

Доказательство С.Н. Бернштейна было перенесено А.Ф. Тиманом [66] на случай произвольной системы У\ С У2 С . строго вложенных конечномерных подпространств Ук произвольного банахова пространства X: для всякой последовательности <¿1 ^ £¿2 ^ • • •, д,п —> 0, существует элемент х е X с р{х, Уп) = с1п, п = 1,.

В связи с этим возникла и до сих пор не решена следующая задача.

Пусть задана система У\ С У2 С Уз С . строго вложенных замкнутых линейных подпространств некоторого бесконечномерного банахова пространства {X, || • ||), полная в X: и^ Уп = X, а также последовательность неотрицательных чисел ^ с/2 ^ ¿з ^ ., (1п —> 0. Существует ли элемент х € X, уклонения р(х,Уп) которого от подпространств Уп равны этим числам: р{х, Уп) = (1п, п = 1,2,.?

Если такой элемент существует для любых таких подпространств Уп и чисел с£п, то говорят, что пространство X обладает (В)-свойством.

Результаты, относящиеся к этой задаче, в западной литературе часто называют "летаргическими теоремами типа Бернштейна".

В 1963г. В.Н.Никольский [53] заметил, что если пространство X обладает (В)-свойством, то оно рефлексивно. В то же время И.С.Тю-ремских [67] доказал, что гильбертово пространство обладает (В)-свойством. Кроме гильбертова пространства, до сих пор неизвестно ни одного другого примера пространства X, обладающего (В)-свойством. Шапиро [122] (1964) показал, что в любом бесконечномерном пространстве X для любых подпространств У\ С У2 С . и любых чисел £¿2 ^ • • •, ¿п > 0, существует такой элемент ж, что р{х, Уп) Ф 0{д,п) (п —» сю). Этот результат был усилен И.С.Тюремских [68] (1967), который при тех же предположениях установил существование такого элемента х е X, что р(х,Уп) ^ dn, (п = 1,2,.). Из результатов Ю.А. Брудного [84] следует, что для всякой невозрастающей выпуклой последовательности dn —> 0 (dn < (dn-i + dn+1)/2) и любой последовательности {Уп} строго вложенных подпространств в пространстве X существует такой элемент х £ X, что р(х, Yn) ^ dn для всех п и р(х, Yn) ^ Cdn для бесконечно многих номеров п и некоторой константы С. Упомянем еще результат Альмиры и Дель Topo [79] (2002): в условиях поставленной выше задачи для любых двух невозрастающих последовательностей dn —> 0 и 6п —> 0 положительных чисел найдется такой элемент х £ X, что p(x,Yn)/dn —> 0, но p(x,Yn)/dn ^ 0(6п) (п —> сю). Кроме того, теорема Бернштейна-Тимана (случай конечномерных подпространств Yn) обобщалась на различные классы линейных метрических пространств [107], [17].

В V главе диссертации приведены подробный обзор результатов, относящихся к задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств, и положительное ее решение при дополнительных условиях на уклонения dn или на подпространства Yn.

В последнее время задача о существовании элемента х с заданными уклонениями р{х, Мп) от расширяющейся системы множеств Мп решается в случае нелинейных множеств Мп — например, множеств 1Zn рациональных функций степени не выше п [55], [63]. Так, A.A. Пекарский доказал [55] (1994), что для любой строго монотонной последовательности dn —» 0 существует комплекснозначная функция /, непрерывная на отрезке [а, 6], наименьшие равномерные уклонения которой от комплекснозначных рациональных функций степени не выше п равны указанным числам: p(f, 7Zn) — dn, п = 0,1,2,. До сих пор неизвестно, существенно ли условие строгой монотонности dn в этом утверждении. При этом A.A. Пекарский предложил общую схему доказательства такого рода утверждений (о существовании функции с заданными уклонениями от системы нелинейных множеств).

В V главе диссертации с помощью схемы A.A. Пекарского доказывается существование функции / £ Со(М) с произвольно заданными строго монотонно стремящимися к нулю уклонениями р(/, SFn) от множеств SFn наипростейших дробей степени не выше п, и показывается, что при нестрогой монотонности задаваемых уклонений такой функции может не быть. Кроме того, исследуются свойства уклонений p(f, SFn) для функций / в пространстве ¿2(М+).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 149 наименований. Общий объем диссертации — 258 страниц. В работе содержится 5 рисунков. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, лемм, определений, замечаний, задач и рисунков. Следствия нумеруются отдельно для каждой теоремы.

1. П.С. Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, Физматлит, М., 2009.

2. А.Р. Алимов, "Всякое ли чебышевское множество выпукло?", Ма-тем. просвещение. Третья серия, 2 (1998), 155-172.

3. А.Р. Алимов, "Выпуклость чебышевских множеств, содержащихся в подпространстве", Матем. заметки, 78:1 (2005), 3-15.

4. П.В. Альбрехт, "Порядки модулей непрерывности оператора почти наилучшего приближения", Матем. сб., 185:9 (1994), 3-28.

5. В.И.Андреев, "О непрерывности метрической проекции в C(Q)", Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 6, Наукова Думка, Киев, 1975, С. 3-8.

6. Н.И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, М., 1965.

7. B.C. Балаганский, Л.П. Власов, "Проблема выпуклости чебышевских множеств", Успехи матем. наук, 51:6 (1996), 125-188.

8. Б.Б. Беднов, "О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Механ., 2011, № 6, 26-31.

9. Б.Б. Беднов, Н.П. Стрелкова, "О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах", Матем. заметки (принято к печати).

10. В.И. Бердышев, "Метрическая проекция на конечномерные подпространства из С и Ь", Матем. заметки, 18:4 (1975), 473-488.

11. С.Н. Бернштейн, "Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных функций", в кн.: С.Н. Бернштейн, Собрание сочинений, Т. 2, Изд-во АН СССР, 1954, С. 292-294.

12. В. Бляшке, Круг и шар, Наука, М.,1967.

13. В.И.Богачев, Основы теории меры, Т. 1, НИЦ РХД, Москва, Ижевск, 2003.

14. Т. Боннезен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел, Фазис, М., 2002.

15. Н. Бурбаки, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, Наука, М., 1969.

16. А.И. Васильев, "Обратная задача теории наилучшего приближения в пространствах", Докл. РАН, 365:5 (1999), 583-585.

17. Н. Винер, Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физ-матгиз, М., 1963.

18. Л.П. Власов, "Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах", Успехи матем. наук, 28:6 (1973), 3-66.

19. Л.П. Власов, "О чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах", Матем. заметки, 2:2 (1967), 191-200.

20. Л.П. Власов, "Чебышевские множества и некоторые их обобщения", Матем. заметки, 3:1 (1968), 59-69.

21. Л.П. Власов, "Аппроксимативные свойства подпространств конечной коразмерности в С (О)", Матем. заметки, 28:2 (1980), 205-222.

22. П.В. Галкин, "О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций", Матем. заметки, 10:6 (1971), 601-613.

23. Т. Гамелин, Равномерные алгебры, Мир, М., 1973.

24. А.Л. Гаркави, "Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах", Итоги науки. Математический анализ, М.: ВИНИТИ, 1969. С. 75-132.

25. А.Л. Гаркави, "Задача Хелли и наилучшее приближение в пространстве непрерывных функций", Известия АН СССР. Сер. матем., 31:3 (1967), 641-656.

26. А.Л. Гаркави, "Характеристика чебышевских подпространств конечной коразмерности в Ьх \ Матем. заметки, 7:2 (1970), 155163.

27. Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

28. А.О. Гельфонд, "О равномерных приближениях многочленами с целыми коэффициентами", Успехи матем. наук, 10:1 (1955), 4165.

29. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, М., 1963.

30. H. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, УРСС, М., 2004.

31. В.И.Данченко, "Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных до прямых и окружностей", Матем. сб., 185:8 (1994), 63-80.

32. В.И.Данченко, "Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы", Матем. сб., 197:4 (2006), 33-52.

33. В.И.Данченко, Д.Я.Данченко, "О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов", Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, Тезисы докл. школы-конференции, Изд-во Казанского университета, Казань, 1999. 7479.

34. В.И.Данченко, Д.Я.Данченко, "О приближении наипростейшими дробями", Матем. заметки, 70:4 (2001), 553-559.

35. Дж. Дистель, Геометрия банаховых пространств, Вища школа, Киев, 1980.

36. М.А.Евграфов, Ю.В.Сидоров, М.В. Федорюк, М.И.Шабунин, К.А. Бежанов, Сборник задач по теории аналитических функций, ред. М.А.Евграфов, Наука, М., 1969.

37. Н.В. Ефимов, C.B. Стечкин, "Некоторые свойства чебышевских множеств", Докл. АН СССР , 1958, 118:1, 17-19.

38. Н.В. Ефимов, C.B. Стечкин, "Аппроксимативная компактность и чебышевские множества", Докл. АН СССР, 1961, 140:3, 522-524.

39. А.О. Иванов, A.A. Тужилин, Теория экстремальных сетей, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2003.

40. M.И. Карлов, И.Г. Царьков, "Выпуклость и связность чебышев-ских множеств и солнц", Фундаментальная и прикладная математика, 3:4 (1997), 967-978.

41. Дж.В.С. Касселс, Введение в теорию диофантовых приближений,, ИЛ, М., 1961.

42. A.A. Кириллов, А.Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, Наука, М., 1988.

43. А.Н. Колмогоров, "Замечания по поводу многочленов П.Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции", Успехи матем. наук, 3:1 (1948), 216-221.

44. C.B. Конягин, "Об аппроксимативных свойствах произвольных замкнутых множеств в банаховых пространствах", Фундаментальная и прикладная математика, 3:4 (1997), 979-989.

45. C.B. Конягин, И.Г. Царьков, "Пространства Ефимова-Стечкина" Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 1986. №5, 20-27.

46. О.Н. Косухин, "Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2001, №4, 54-59.

47. А.С.Кочуров, Абсолютные поперечники и копоперечники, Канд. дисс., МГУ, М., 1990.

48. М.Г. Крейн, "L-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве", в кн. И. Ахиезер, М. Крейн, О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938.

49. М.Г. Крейн, A.A. Нудельман, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, Наука, М., 1973.

50. Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? РХД, Москва-Ижевск, 2001.

51. Математическая энциклопедия. Т. 1. М., 1977.

52. В.Н. Никольский , "О некоторых свойствах рефлексивных пространств", Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 29, 1963,121125.

53. Я.В. Новак, "О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями", Матем. заметки, 84:6 (2008), 882-888.

54. A.A. Пекарский, "Существование функции с заданными наилучшими равномерными рациональными приближениями", Известия АН Беларуси. Сер. физ-матем. наук, 1994, №1, 23-26.

55. И.И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, Физматгиз, М., 1950.

56. В.Ю. Протасов, "Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта", Известия РАН. Сер. матем., 75:2 (2009), 123-140.

57. И. А. Пятышев, "Пример выпуклого аппроксимативно компактного тела в пространстве с0", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2005, № 3. 57-59.

58. И.А. Пятышев, "Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося локально компактным", Успехи матем. наук, 62:5 (2007), 163-164.

59. И. А. Пятышев, Аппроксимативно компактные множества в банаховых пространствах, Канд. дисс., МГУ, М., 2008.

60. Г.Ш. Рубинштейн, "Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве", Сибирский матем. журнал, 6:3 (1965), 711-714.

61. E.H. Сосов, "О непрерывности и связности метрической с)—проекции в равномерно выпуклом геодезическом пространстве", Изв. вузов. Матем., 2001, К® 3, 55-59.

62. А.П. Старовойтов, "К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений", Матем. сб., 191:6 (2000), 145-154.

63. С.Б. Стечкин, "Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах", Rev. roumaine math, pures et appl, 8:1 (1963), 5-18.

64. Изложение лекций С. Б. Стечкина по теории приближений, изд-во УрО РАН, Екатеринбург, 2010.

65. А.Ф. Тиман, Теория приближений функций действительного переменного, Физматгиз, М., 1960.

66. И.С. Тюремских, "(В)-свойство гильбертовых пространств", Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 39 (1964), 53-64.

67. И.С. Тюремских, "Об одной задаче С.Н. Бернштейна" Ученые записки Калин, гос. пед. ин-та, 52 (1967), 123-129.

68. Р. Фелпс, Лекции о теоремах Шоке, Мир, М., 1968.

69. В.П. Фонф, "Об условно сходящихся рядах в равномерно гладком пространстве Банаха", Математические заметки, 11:2 (1972), 209-214.

70. С.Я. Хавинсон, "О единственности функции наилучшего приближения в метрике пространства Li", Изв. АН СССР, Сер. матем., 22:2 (1958), 243-270.

71. Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.

72. И.Г. Царьков, "Геометрическая теория приближения в работах С.Б. Стечкина", Известия Тульского государственного университета. Сер. Матем. Механ. Информ. 11:1 (2005), 236-260.

73. П.Л. Чебышев, "Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций", 1859. в кн.: Чебышев П.Л. Полн. собр. соч., Т. 2. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1947. С. 151-235.

74. Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, Изд-во "Лань", СПб., 2004.

75. Р. Эдварде, Функциональный анализ, Мир, М., 1969.

76. И. Экланд, Р. Темам, Выпуклый анализ и вариационные проблемы, Мир, М., 1979.

77. A.R. Alimov, "Characterizations of Chebyshev sets in c0", J. Approx. Theory, 129:2 (2004), 217-229.

78. W. Banaszczyk, Additive subgroups of topological vector spaces, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.

79. K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euclidische Sphäre", Fund. Math., 20 (1933), 177-190.

80. D.Braess, "Geometrical characterizations for nonlinear uniform approximation", J. Approx. Theory, 11:3 (1974), 260-274.

81. A.Br0ndsted, "Convex sets and Chebyshev sets", Math. Scand., 17:1 (1965), 5-16.

82. Yu.A. Brudnyi, N.Ya. Krugljak, Interpolation functors and interpolation spaces, Vol.1, North Holland Math. Libr., 47, 1991.

83. L.N.H. Bunt, Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen, Thesis, Univ. Groningen, Amsterdam, 1934.

84. R. Cauty, "Un exemple de sous-groupe additif de l'espace de Hilbert", Colloq. Math., 77:5 (1998), 147-162.

85. E.W.Cheney, D.E.Wulbert, "The existence and unicity of best approximation", Math. Scand., 24:1 (1969), 113-140.

86. A.K. Cline, "Lipschitz conditions on uniform approximation operators", J. Approx. Theory, 8:2 (1973), 160-172.

87. S. Cobza§, "Functional Analysis in assymmetric normed spaces", arXiv.l 006.1175. vl (2010).

88. W.J.Davis, T.Figiel, W.B.Johnson, A.Pelczynski, "Factoring weakly compact operators", J. Fund. Anal., 17:3 (1974), 311-323.

89. T. Dobrowolski, J. Grabowski, "Subgroups of Hilbert spaces", Math. Z., 211:4 (1992), 657-659.

90. R.J. Duffin, L.A. Karlovitz, "Formulation of linear programs in analysis. I. Approximation theory", SI AM J. Appl. Math., 16 (1968). 662-675.

91. C.B. Dunham, "Chebyshev Sets in C0,1] which are not suns", Canad. Math. Bull, 18:1 (1975), 35-37.

92. P. Enflo, "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm", Isr. J. Math., 13 (1972), 281-288.

93. M. Golomb, "Approximation by functions of fewer variables", in On numerical Approximation, R. Longer, ed., Univ. Wise. Press, Madison, Wisconsin, 1959, 275-327.

94. J. Grabowski, "Homotopically non-trivial additive subgroups of Hilbert spaces", Proc. Amer. Math. Soc., 127:5 (1999), 1563-1565.

95. A. Haar, "Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen", Math. Ann., 78 (1918), 294-311.

96. R.B. Holmes, A course on optimization and best approximation, Lecture Notes in Math. 257, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1972.

97. R. Holmes, B. Kripke, "Smoothness of approximation", Michigan Math. J., 15:2 (1968), 225-248.

98. R.C. James, "Reflexivity and the supremum of linear functionals", Ann. of Math., 66:1 (1957), 159-169.

99. R.C.James, "Characterizations of reflexivity", Studia Math., 23:3 (1964), 205-216.

100. J.T. Joichi, "More characterizations of inner product spaces", Proc. Amer. Math. Soc., 19:5 (1968), 1185-1186.

101. P.Jordan, J.von Neumann, "On inner products in linear metric spaces", Ann. Math. (2), 36 (1935), 719-723.

102. V. Kadets, "Under a suitable renorming every nonreflexive Banach space has a finite subspace without a Steiner point", Matematychni Studii, 36:2 (2011), 197-200.

103. J. Korevaar, "Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation", Ann. Math., 80:2 (1964), 403-410.

104. F. Lancien, B. Randrianantoanina, E. Ricard, "On contractive projections in Hardy spaces", Studia Math., 171:1 (2005), 93-102.

105. G.Lewicki, "Bernstein's "lethargy" theorem in metrizable topological linear spaces", Monatsh. fur Math., 113:3 (1992), 213-226.

106. W.A. Light, E.W. Cheney, Approximation theory in tensor product spaces, Springer, Berlin et al., 1985, 56-60.

107. J. Lindenstrauss, "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math. J., 10 (1963), 241-252.

108. J. Lindenstrauss, "On nonlinear projections in Banach spaces", Michigan Math. J., 11:3 (1964), 263-287.

109. J. Lindenstrauss, L.Tzafriri, "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math., 9:2 (1971), 263-269.

110. J. Lindenstrauss, L.Tzafriri, Classical Banach spaces I, II. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1977, 1979.

111. J.C. Mairhuber, "On Haar's theorem concerning Chebyshev approximation problems having unique solutions", Proc.Amer.Math.Soc., 7:4 (1956), 609-615.

112. E. Michael, "Continuous selections, I", Ann. Math., 63:2 (1956), 361382.

113. P.D.Morris, "Chebyshev subspaces of Li with linear metric projection", J. Approx. Theory, 29:3 (1980), 231-234.

114. P.D. Morris, "Metric projections onto subspaces of finite codimension", Duke Math. J., 35:4 (1968), 799-808.

115. T.S. Motzkin, "Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes", Rend. Accad. Naz. Lincei, 21 (1935), 562-567.

116. R.R. Phelps, "Uniqueness of Hahn-Banach extensions and unique best approximation", Trans. Amer. Math. Soc., 95:2 (1960), 238255.

117. R.R.Phelps, "Chebyshev subspaces of finite codimension in C(X)", Pacific J. Math., 13:2 (1963), 647-655.

118. R.R. Phelps, "Chebyshev subspaces of finite dimension in Li\ Proc. Amer. Math. Soc., 17:3 (1966), 646-652.

119. W. Rudin, K.T. Smith, "Linearity of best approximation: a characterization of ellipsoids", Indagationes Mathematicae, 23:1 (1961), 97-103.

120. H.S. Shapiro, "Some negative theorems on approximation theory", Mich. Math. J., 11:3 (1964), 211-217.

121. I. Singer, Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.

122. I. Singer, "Some remarks on approximative compactness", Rev. roum. math, pures et appl., 9:2 (1964), 167-177.

123. S.B. Stechkin, "A non-Chebyshev finite dimensional subspace in H\\ Approximation and function spaces, Banach center publications, V. 22, Warsaw, 1989. P. 435.

124. S. Troyanski, "On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces", Studia Math., 37:2 (1971), 173-180.

125. L.Vesely, "A characterization of reflexivity in the terms of the existence of generalized centers", Extracta Mathematicae, 8:(2-3) (1993), 125-131.

126. D.E. Wulbert, "Convergence of Operators and Korovkin's Theorem", Journal of Approx. Theory, 1:3 (1968), 381-390.

127. E.M. Zaustinsky, "Spaces with non-symmetric distances", Mem. Amer. Math. Soc., 34 (1959).

128. П.А. Бородин, "Пример ограниченного аппроксимативно компактного множества, не являющегося компактным", Успехи ма-тем. наук, 49:4 (1994), 157-158.

129. П.А. Бородин, "Квазиортогональные множества и условия гиль-бертовости банахова пространства", Матем. сб., 188:8 (1997), 6374.

130. П.А. Бородин, "О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Li и С", Матем. заметки, 63:6 (1998), 812-820.

131. П. А. Бородин, "Чебышевские подпространства в пространстве Я1 Харди", Analysis Math., 25:4 (1999), 243-264.

132. П.А. Бородин, "О выпуклых аппроксимативно компактных множествах и пространствах Ефимова-Стечкина", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1999, К2 4, 19-21.

133. П.А. Бородин, 'Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе", Матем. заметки, 69:3 (2001), 329-337.

134. П.А.Бородин, "Аппроксимативные свойства подпространств в пространствах типа с", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2002. № 5, 54-58.

135. П. А. Бородин, О.Н. Косухин, "О приближении наипростейшими дробями на действительной оси", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2005, №1, 3-8.

136. П.А. Бородин, "К задаче существования элемента с заданными уклонениями от расширяющейся системы подпространств", Матем. заметки, 80:5 (2006), 657-667.

137. П.А. Бородин, "Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр на этих множествах", Матем. заметки, 82:6 (2007), 803-810.

138. П.А. Бородин, "Выпуклость 2-чебышевских множеств в гильбертовом пространстве", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Ме-хан., 2008, № 3, 16-19.

139. П.А. Бородин, "Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство", Матем. заметки, 85:2 (2009), 180-188.

140. П.А. Бородин, "Приближение наипростейшими дробями на полуоси", Матем. сб., 200:8 (2009), 25-44.

141. П.А. Бородин, И.А. Пятышев, "Пример не аппроксимативно компактного множества существования с конечнозначной метрической проекцией", Матем. заметки, 86:2 (2009), 170-174.

142. П. А. Бородин, "Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве", Матем. заметки, 87:4 (2010), 514-518.

143. П. А. Бородин, "О зеркальном свойстве метрической 2-проекции", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2011, № 2, 32-36.

144. П.А. Бородин, "О выпуклости А^-чебышевских множеств", Известия РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 19-46.

145. П. А. Бородин, "О 2-чебышевских подпространствах в пространствах Li и С", Матем. заметки, 91:6 (2012), 819-831.

146. П.А. Бородин, "Примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в V^CG-пространстве", Матем. заметки, 92:12 (2012) (принято к печати).

147. П.А. Бородин, "Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы и выпуклость подгруппы гильбертова пространства", Матем. сб., 203:11 (2012) (принято к печати).