Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ггз од, На правах рукописи

УДК 517.5

1 днк га

Балаганский Владимир Сергеевич *

Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ап.

ЕКАТЕРИНБУРГ 1998

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Ф

Официальные оппоненты: доктор физико- математических наук,

профессор Е.М.Семёнов доктор физико- математических наук, профессор В.П.Танана доктор физико- математических наук, доцент И.Г.Царьков

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет им. Н.Г.Чернышевского

Защита состоится "17" декабря 1998 г. в Г5 часов на заседании диссертационного совета Д.002.07.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г.Екатеринбург. ГСП-384, у.С.Ковалевской 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЙММ УрО РАН. Автореферат разослан ". а ." ноября 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.07.02,

доктор физико-математических наук ^^^-^^В.М.Бадков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ i

Актуальность темы. Диссертация посвящена теории приближения в банаховых пространствах. Теория приближения в банаховых пространствах берет свое начало в в работе П.Л.Чебышева, в которой доказана чебьпневость множества алгебраических многочленов степени не выше п и множества рациональных функций со степенью числителя не выше m и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а, Ь]. В дальнейшем геометрические вопросы теории приближения в конкретных банаховых пространствах изучались

A.Хааром, А.Н.Колмогоровым, Е.Я.Ремезом. Окончательно теория приближения в банаховых пространствах оформилась в самостоятельную ветвь теории приближения в 60-е годы благодаря работам Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.Кли, А.Л.Гаркави, Л.П.Власова, С.Я.Хавинсона, Д.Вулберта, Б.Крипке, Дж.Линденштрауса, П.Морриса, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. Дальнейшее развитие эта тематика получила в очень большом количестве работ разных авторов. Укажем только некоторых авторов чьи работы тесно связаны с тематикой диссертации: С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.П.Власов,

B.И.Бердышев, В.А.Кощеев, А.Л.Браун, Л.Веселы, Л.Заийчек и др. В диссертации рассматриваются различные взаимосвязи между аппроксимативно-геометрическими свойствами множеств в банаховых пространствах. Стержневым в этой проблематике представляется вопрос о свойствах чебышевских множеств. Наиболее популярна нерешенная проблема: выпукло ли всякое чебышевское множество в гильбертовом пространстве ?

Изучение проблематики чебышевских множеств' в нашей стране началось по инициативе Сергея Борисовича Стечкина. Исследования в области теории приближения функций привели его к вопросу: является ли множество R^ рациональных дробей чебышёвским в Lp (j> > 1)? (Само название "чебышёвские множества" дано С.Б. Стеч-киным в честь основателя теории наилучших приближения П. Л. Че-

быыхёва). Поскольку множество iïjj, невыпукло, ответ виделся отрицательным, по крайней мере в Li- Так возникла ныне широко известная проблема выпуклости чебышёвского множества в гильбертовом. пространстве.

. Пусть X - банахово пространство, M - непустое замкнутое подмножество X, d(x,M) = inf{||x — у|| : у € M} - расстояние от элемента х 6 X до множества M С X, Рд*(х) — {у € M : ||х — y|j = d(x,M)} - метрическая проекция элемента х на множество М. Е{М) = '{Х\М : Рм{х) ф 0} - множество точек существования элемента наилучшего приближения; M называется прокси-миналъпым или множеством существования, если Х\М = Е(М)\ U(M) = {х £ Х\М : |Рм(х)| < 1} - множество точек единственности; M называется множеством единственности, если Х\М — U(M); Т(М) = {х £ Х\М : |Рм(х)| = 1} = Е{М) П V{M)-, M называется чебишёвским множеством, если Х\М = Т(М); Т'м = {х .£ Х\М : diamB(x,d(x,M) + 6) П M) 0 при 6 +0}; тАС(М)1 - множество точек аппроксимативной г-компактно-, сти, т.е. тех х € Х\М, для которых всякая минимизирующая последовательность уп, [т.е. ' у„ £ М, ху„ —* хМ] содержит подпоследовательность, т-сходяшуюся к элементу из M (зависящему от подпоследо-вательноста]; M называется 'аппроксимативно компактным, если Х\ — АС(М)] Gm - множество тех х £ Х\М, где ¿м имеет производную Гато dM(x) = / € X*, так что Vfe £ X

Fm - множествотех х, £ G, где предел (*) равномерен по h eS [в этом' случае / называется производной Фреше,'а ¿м дифференцируемой по Фреше в точке х]; G'M = {х € G : = 1}; У = Т{Х) -

семейство непустых замкнутых множеств; ?СС{Х) - семейство всех тех M 6 F(X), для которых Х\М выпукло; 1С(Х) - множество выпуклых тел M € ?{Х), 0 € int M.

В связи с упомянутой проблемой выпуклости чебышевского множества была доказана следующая теорема.

Теорема Ефимова-Стечкина [23]. Пусть M - че&ышевское

г

'г - обозначает нормированную, слабую или секвенциально слабую топологию банахова пространства.

множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Следующие условия эквивалентны:

а) М выпукло;

б) М секвенциально слабо замкнуто;

в) М аппроксимативно компактно.

С.Б.Стечкиным доказана следующая теорема.

Теорема Стечкина [23]. Пусть М - непустое замкнутое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда каждое из множеств Т(М), Т'м является дополнением множества I категории [в частности, всюду плотное].

В дальнейшем Л.П.Власовьш, С.В.Конягиным и К.-С.Лау получены их усиленные аналоги:

Теорема Власова [23]. Следующие условия на банахово пространство X эквивалентны:

б) класс аппроксимативно компактных чебышевских множеств совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств;

в) чебышевских множеств множеств с непрерывной метрической проекцией совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств.

Теорема Ефимова-Стечкина показала важную роль множества точек аппроксимативной компактности 3 [.АС(М)] для выпуклости множества М € ?{Х), выпуклость чебышевских множеств в бесконечномерных банаховых пространствах доказывалась только при условиях на М по существу эквивалентных условию Х\Т'М = 0. Поэтому представляется естественной следующая задача:

Теоремы Стечкина и Конягина - Лау дают некоторое представление о структуре множества Х\Т'М в банаховом пространстве типа

2(5) - класс гладких пространств [в каждой точке сферы существует единственная опорная гиперплоскость]; (О) - класс пространств, в которых из 6 Б, / € Э*, /(хп) —<> 1 следует сходимость хп\ [сильно выпуклые пространства, термин С.Б. Стечкина], или ^-пространства [в теории некорректных задач [6],[5]]; впервые рассматривались В.Л. Шмульяном.

3Понятие аппроксимативной компактности введено С.Б.Стечкиным [С]

а) 16 (£>)П(5)2;

(LUR) и (D). Топологические свойства множеств Т'м, АС(М), Х\Т'М изучали также К.Паук, Л.Заийчек, И.Г.Царьков и др. И.Г.Царьковым [3], в частности, доказано, что для того, чтобы в банаховом про-, странстве X для любого М 6 3~[Х) множество АС(М) было связным, необходимо и достаточно, чтобы X € (CD). Поэтому мы будем рассматривать следующую задачу:

( Какую топологическую структуру

' } имеет множество Х\Т^1

С.Фитцпатриком [9] показана тесная связь дифференцируемости функции расстояния до множества и аппроксимативной компактности, поэтому мы тоже будем рассматривать дифференцируемость функции расстояния.

Непустое замкнутое подмножество А Ф X банахова пространства X называется антипроксиминальным, если для любой точки х £ Х\А в множестве А нет ближайшей точки [Рм (х) = 0]. Анти-проксиминальные множества стали рассматривать с начала 70-ых годов. Их исследовали М.Еделыптейн, Р.Фелпс, А.Томпсон, С.Кобзаш, В.П.Фонф и др. Основной считается следующая задача:

В каких банаховых пространствах существует

ограниченное выпуклое замкнутое антипроксиминалъное множество?

Цель работы: решение задач I, II, III при наиболее общих условиях.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории приближения, геометрии выпуклых множеств, топологии.

Научная новизна и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получены следующие результаты:

1. Для произвольного непустого замкнутого множества М в гильбертовом пространстве X описана топологическая структура множества Х\ТМ.

2. В банаховых пространствах X 6 (D) П (S) и X е (CLUR) П

(III)

(5) 4 доказано, что если для непустого замкнутого чебышевского множества М множество точек разрыва метрической проекции имеет мощность меньше континуума, то множество М выпукло.

3. В банаховых пространствах X € (1>) П (5) и X 6 (СШВ) П (5) доказано, что если для непустого замкнутого множества единственности М замыкание множества Х\Т'М имеет мощность меньше мощности пространства X, то множество М выпукло.

4. Получен аналог теоремы Конягина - Лау для множеств с выпуклым дополнением.

5. В произвольном бесконечномерном пространстве Ь^Б, Е, р.) построено непустое антипроксиминальное замкнутое множество, дополнение которого - ограниченное выпуклое тело.

6. В бесконечномерном банаховом пространстве X с условием Банаха по ограниченному замкнутому гладкому телу построено непустое замкнутое множество М с ограниченным выпуклым дополнением такое, что во всех точках дополнения функция расстояния до множества М дифференцируема по Гато.

7. В произвольном бесконечномерном пространстве С {С}), где <5 - топологическое пространство, построено непустое замкнутое ограниченное выпуклое антипроксиминальное тело.

8. В пространстве со построено непустое замкнутое ограниченное выпуклое антипроксиминальное тело с функцией расстояния дифференцируемой по Фреще в каждой точке дополнения до множества.

Все результаты являются новыми и принадлежат автору.

Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии банаховых пространств.

Аппробация работы. Результаты докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН под руководством проф. Ю.Н.Субботина и Н.И.Черных, на Международных школах-семинарах по теории приближения функций под руководством С.Б.Стечкина 1993-1995 годах, на школах памяти С.Б.Стечкина 1996-1998 годах,

4(С£Е/Я) - класс пространств, в которых соотношения г 6 Б, у„ 6 Б, |[х + у„|| —► 2 влекут существование сходящейся подпоследовательности упы.

на Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 1997 года, на конференции "Математическое программирование и приложения" в Екатеринбурге в 1997 году, на Казанской школе-конференции, посвященной 100-летю со дня рождения Б.М.Гагаева "Алгебра и анализ" 1997 года, на 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" 1998 года, на Всеросийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач", посвященной памяти В.К.Иванова в Екатеринбурге в 1998 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из справочного материала, введения, трех глав и списка литературы из 113 наименований. Общий объем диссертации - 235 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Решению задач (I) и (II) посвящена первая глава.

Ранее автором [31] методом инверсии доказана следующая теорема.

Теорема Ж. Пусть X - гильбертово пространство, М € 3~(Х) - невыпуклое множество. Тогда Х\Т'М имеет мощность не меньше

О

за исключением случая, когда М — К\ I) Вг, где К - за-

*ес\гм

мкнутое выпуклое тело, |вг| - семейство [мощности меньше 2Н°]

непересекающихся открытых шаров,. содержащихся в К, с центрами в точках х.

Эта теорема усиливала для гильбертова пространства ряд известных результатов разных авторов, в которых выпуклость чебышев-ского множества следовала из какой-то непрерывности метрической проекции во всех точках пространства. Поэтому в первой главе много внимания уделяется перенесению теоремы Ж на максимально широкий класс банаховых пространств и на обобщение и усиление теоремы для гильбертова пространства.

вая глава состоит из 7 параграфов. ^

В § 1.0 приведены результаты, которые были использованы в дальнейшем, но некоторые из них имеют самостоятельный интерес. Так в этом параграфе доказана следующая

Лемма 1.0.14. Пусть X G (В). Если X $ (tLUR), то существуют M G ?сс(Х) и точка х G (GlM П Е(М))\{Т(М) П тАС(М)).

Опираясь на лемму 1.0.14 получено следствие 1.0.2, которое можно причислить к основным результатам параграфа.

Следствие 1.0.2. Следующие условия эквивалентны:

а) X G (Rf) П (LUR); 5

б) для любого M G f{X) G\j С Т'м;

в) для любого M G РСс(Х) G\f С Т'м;

г) для любого M G Т{Х) GlM С Т[М) П wAC{M).

Следствие 1.0.2 является усилением и обобщением соответствующего результата С.Фитцпатрика [9] [ у С.Фитцпатрика доказана только импликация а) б) при сильных дополнительных условиях на пространство].

В § 1.0 также доказана следующая теорема.

Теорема 1.0.3. Пусть X — банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

а) X G (5Л) П(F) [соответственно, X G (SA) 0(5)];

б) VM G F(X) справедливо включение (T(M)f\wAC(M)) \М С FM [соответственно, (Т(М) Ç[wAC(M)) \ M С GlM];

в) для любого слабо компактного множества M G 3~{X) справедливо включение Т(М)\М С Fm [соответственно, Т(М) \ M С G\f].

Следует заметить, что условие (5А) введено Л.П.Власовым [23] как достаточное для того, чтобы чебышевское множество было выпуклым, а в теореме 1.0.3 оно является уже характеризационным.

В § 1.1 рассматривается топологическая структура множества Х\Т'М в гильбертовом пространстве X. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

b(LVR) - класс локально равномерно выпуклых пространств [соотношения х 6 S, у„ S S, [|i + V«\\ - 2 влекут у„х].

Теорема 1.1.2. Пусть X - гильбертово пространство, М £ Т{Х), N — сопхМ. Соотношение Ша — (Х\Т'М) П Р^\иа) задает взаимно однозначное соответствие между связными компонентами 1¥а множества Х\Т'М и связными компонентами 1/а множества Ы\М. При этом на самом деле }Уа линейно связно и открыто в Х\Т'М, иа открыто в И\М.

Следствие 1.1.4. В сепарабельном гильбертовом пространстве X для любого множества М 6 3~{Х) множество Х\Т'М является объединением не более чем счетного множества линейно связных открытых в Х\Т'М множеств.

Следствие 1.1.4. можно рассматривать как обобщение соответствующего результата К.Бартке и Х.Беренса [10] для евклидовой плоскости. Нетрудно заметить, что из теоремы 1.1.2 следует результат теоремы Ж.

У.Вестфалъ и Й.Френинг [11] используя теорию монотонных операторов доказали следующую теорему.

Теорема ВФ. Пусть X - гильбертово пространство, М £ Т(Х). Тогда каждая неизолированная точка х £ Х\Т'М лежит на липши-цевой кривой из Х\Т'М, не сводящейся к точке. Точка х является изолированной для Х\Т'М тогда и только тогда, когда Рм(х) = Б(х, <£(ас, ЛГ)).

Следует отметить, что в теореме ВФ нет соответствия между компонентами множеств Х\Т'М и (сошгМ)\М. Позднее Л.Веселы [12] с помощью монотонных операторов доказал результат, из которого, в качестве следствия, получаются теоремы 1.1.2 и ВФ.

В § 1.2 результат теоремы Ж переносится на класс пространств (£>) П(5). К основным результатам параграфа можно отнести следующие.

Следствие 1.2.4. Пусть X 6 (Б) П (Э), Мб Г{Х) - невыпуклое множество. Тогда Х\Т'М имеет мощность не меньше 2Ко, за

о

исключением случая, когда М = К\ и В*, где К - замкнутое

*ес\т>м

выпуклое тело, ~~ семейство [мощности меньше 2^°] непере-

секающихся открытых шаров, содержащихся в К, с центрами в

точках х.

s

Следствие 1.2.5. Пусть X € (D) П (SA) Л (S)6, AT € Т(Х) -невыпуклое множество. Тогда Х\(Т(М) П wAC(M)) имеет мощ-

О

ностъ не меньше за исключением случая, когда М — К\ U Вх,

xeJ

где К - замкнутое выпуклое тело, J = Х\(Т(М) П шАС(М),

- семейство [мощности меньше 2N°] непересекающихся открытых шаров, содержащихся в К, с центрами в точках х.

Нетрудно заметить, что из следствия 1.2.4 можно получить результат теоремы Ефимова-Стечкина. Следствие 1.2.4 усиливает импликации а) ^ б) и а) ^ в) теоремы Власова, следствие 1.2.5 усиливает теорему Ефимова-Стечкина, и оба следствия позволяют доказывать выпуклость чебышевских множеств в пространствах X G (D) П (5) и X € (D) П (SA) П (5) при самых слабых условиях на сегодня на мощность множества разрыва метрической проекции. -

В § 1.3 теорема Ж переносится на пространства из классов (CLUR) П(5) и (D)n(S) в измененном виде: вместо Х\Т'М берется Х\Т'М, но и вместо 2Ка берется card X. Основным результатом параграфа можно считать следующий.

Следствие 1.3.2 Пусть X е (CLUR) Л (S) или X € (D) П (S), М 6 3~{Х) - невыпуклое множество единственности. Тогда \(Х\М)\Тм\ = |Х|, а если М - чебышёвское множество, то замыкание множества точек разрыва метрической проекции тоже имеет мощность |Х|.

Так как при card А < 2}'° будет card А < 2No, то следствие 1.3.2 усиливает теорему Ж при |Л") > 2Ко.

В § 1.4 "структурная" теорема 1.1.2 в несколько ослабленном виде переносится на класс пространств (2R).7 Основными результатами параграфа является следующие.

Теорема 1.4.3. Пусть X 6 (Rf)n(LUR) Л (5), Mef(X), N =

6(5Л) - класс пространств, в которых условия r,i„ 6S, /„ £S*, u)-limx„ = х, fn(*n) — 1 влекут соотношение/п (г)1-

7(2Я) - класс пространств, в которых соотношения уп € 5, lim Wyn+yk II = 2 влекут сходимость

п,|Ь—оэ

последовательности уп.

сотМ, N\h.I = и иа, где 1/а - связные компоненты множества

<*ед ■

ЛГ\М. Тогда, если X € (2Д) или Е{М) = А", то Х\ТМ = II \Уа,

где И^ - непустые, попарно непересекающиеся, открытые в Х\Г'М множества, С 1?а, множества ТР^ связны , Рц{С Щ-

Следствие 1.4.5. Пусть X 6 (7Я) П (5)8, М £ ^(Х), ЛГ = соп\М, М\М = и IIгде Х1а ~ связные компоненты множества

ог€Л

Л*\М. Тогда Х\Т'М = и где - непустые, попарно непересе-аеД

кающиеся, открытые в Х\Т'М множества, Рц{^Уа) С IIа, множества \Уа связны, Рдг(й^) С £4-

Заметим, что теоремы 1.1.2, ВФ и результат Л.Веселы были доказаны с использованием методов, применяемых только в гильбертовом пространстве - инверсия, монотонные операторы. Поэтому . доказательства результатов параграфов 1.3 и 1.4 при___апиально отличаются от доказательств теорем 1.1.2 и ВФ.

В § 1.5 рассматривается открытость метрической проекции. Р.Фелпс [13] изучал свойства открытости и \ открытости ме-тричес-Г* проекции на ВЫ1ГТ.Т~'Г° т=ла в банаховом пространстве и заметил, что это свойство связано с дафференцируемостью функционала Минковского. Им доказано, что в рефлексивном гладком строго выпуклом пространстве X из слабой открытости метрической проекции на выпуклое тело К следует, что оно гладко, а из гладкости К и секвенциальной слабой непрерывности дуального отображения 7 [7 : X X*, ||/(я)|| = |И|, (/(х),х> = ||х||2] следует.слабая открытость метрической проекции.

Нам потребуются следующие определения: функционалом Минковского множества К & 1С называется функционал цк, ставящий в соответствие точке х £ X число = > 0 : х Е у}. Функ-

ционал цк дифференцируем по Гато в точке х 6 X, если существует / ЕХ* такой, что

11т ууеХ . (18)

Функционал ¡¿к дифференцируем по Фреше в точке х £ X, если

8(тД)[(С7-Н)1 - класс пространств, в которых условия г„,У4 £ ||*п+У»Н = 2 влекут,

что хп, у» сходятся [ имеют предельные точки ].

Ик дифференцируем по Гато и предел (4.1) равномерен по у 6 Б. Секвенциальная слабая топология определяется секвенциально, слабо открытыми множествами, т. е. такими IV с X, что если у £ IV, у„--► у, то у„ е начиная с некоторого номера по- Метрическая проекция Рд- называется открытой [соответственно, слабо открытой, секвенциально слабо открытой], если образом открытого [соответственно, слабо открытого, секвенциально слабо открытого] множества из Х\К является подмножество из дК, открытое относительно дК\1Ъ]. Метрическая проекция Рц называется секвенциально слабо непрерывной, если она непрерывна в секвенциально слабой топологии.

Основным результатом параграфа является следующая теорема, которая "закругляет" соответствующие теоремы Р.Фелпса.

Теорема 1.5.3. Пусть X £ (П)П(Н/). Следующие условия эквивалентны:

а) в X класс множеств М € /С(Х) с функционалом Минковского, дифференцируемым по Фреше, совпадает с классом множеств М € К.(Х) с открытой метрической проекцией;

б) X € (Г) П (£>).

Там же содержится следующая характеризационная теорема.

Теорема 1.5.2. Пусть X = £р(5, сепарабельно, 1 < р < оо, рф2. Следующие условия эквивалентны:

а) в X класс гладких множеств М € 1С(Х) совпадает с классом множеств М 6 £(Х) со слабо [с секвенциально слабо] открытой метрической проекцией Рм',

б) мера {I атомарна.

Следует заметить, что требование X £ (Я) П (Я/) обусловлено самим определением открытости метрической проекции, без условия X € (Я) П (Д/) множество элементов наилучшего приближения может быть пустым или неодноточечным.

В § 1.6 рассматриваются относительные чебышевские центры. Че-бышевские центры первым начал рассматривать А.Л.Гаркави, ему и принадлежит определение чебышевского центра. В настоящее время чебышевскими центрами занимается большое число математиков как у нас, так и за рубежом. Среди последних работ отметим статью

Е.М.Семенова и С.Франкетти [15]

Пусть Y,K 6 3~(Х), К ограниченно. Неотрицательное действительное число Ry{K) называется относительным чебышевским радиусом для К, если Ry(K) есть нижняя грань г > 0 таких, что существует у 6 У такое, что К содержится в замкнутом шаре В(у,г). Каждая точка у £ У, для которой К £ В(у, Ry(K)) называется относительным чебышевским центром для К относительно У. В дальнейшем ZY{K) - множество всех относительных чебышевских центров для К относительно У, Z(K) = ZX(K), R(K) = RX(K), R(y,K) = R{y](K).

В этом параграфе мы исследуем некоторые вопросы характериза-ции относительных чебышевских центров.

Основной результат параграфа:

Теорема 1.6.1. Пусть X - банахово пространство, dim X > 3. Следующие условия эквивалентны:

а) X - гильбертово пространство;

б) для любого выпуклого множества Y £ 3~{Х) и любого выпуклого ограниченного множества К £ 3~{Х) справедливо включение

ZY(K) с Ру(К);

в) для любого двумерного подпространства У С X и любого выпуклого ограниченного множества К £ Т{Х), dim К < 2, справедливо включение ZY(K) С Ру{К).

Д.Амир и Я.Мах [16] доказали эту теорему при дополнительном предположении компактности множества К.

Кроме того, в этом параграфе получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы в гильбертовом пространстве X у был относительным чебышевским центром относительно выпуклого У € Р{Х) для выпуклого ограниченного К £ F(X). Для случая когда У- подпространство пространства X, необходимые и достаточные условия получены в [16]. Наша характеризация дана в терминах, похожих на термины, которые использованы в [16], в случае У - подпространства эти термины просто совпадают.

Вторая глава состоит из 5 параграфов.

В [17] Е.Асплунд свел проблему выпуклости чебышевских множеств в гильбертовом пространстве к случаю множества с ограни-

ченным выпуклым дополнением. Г.Джонсон [18] построил пример невыпуклого чебышевского множества с ограниченным выпуклым дополнением & неполном [предгильбертовом] пространстве последовательностей из /2, оканчивающихся нулями. Поэтому во второй главе рассматриваются аппроксимативные свойства замкнутых множеств с выпуклым дополнением, т.е. решается задача (I). Л.П.Власов [21] доказал, что в гладком рефлексивном пространстве никакое че-бышевское множество с непрерывной метрической не может быть невыпуклым дополнением выпуклого множества. Поэтому представляет интерес вопрос о существовании чебышевских множеств в негладких линейных нормированных пространствах, дополнение которых выпукло.

В § 2.1 простым методом доказано,' что в широком классе банаховых пространств, включающем Li(S, [с безатомной мерой р], C(Q) [Q - бикомпакт, состоящий из конечного множества связных компонент], чебышевских множеств с выпуклым ограниченным дополнением нет.

§ 2.2 носит вспомогательный характер, в нем вводятся следующие отображения:

Т\ : J-CC(X) —» множеству М £ !FCC{X) ставится в соответ-

ствие множество Мг = Т\(М) = К* ПС19

7г : AT —» J-CC(X), множеству N 6 J\f ставится в соответствие множество NT = T2{N) = ХЩ,

которые устанавливается взаимно однозначное соответствие между кавернами пространства X и множествами из класса из (Х+З?)*, выясняются некоторые свойства этого соответствия. Там же доказана лемма 2.2.4 аналогичная с теоремой о биполяре.

Лемма 2.2.4. Пусть X - линейное нормированное пространство, N eJ\f;M £ Тсс{Х). Тогда

а) МГТ = М;

б) N/ = N.

В § 2.3 рассматриваются множества Е(М), U{М) и Т(М) для каверн М. Основным результатом параграфа является следующая те-

9/i = {x = (i,^)€X+S: хе х, ^>|]i]|},K- = {f=(/,A)S(X + 3ir : <f, х> > 0 Vx 6 К). Я - класс замкнутых непустых выпуклых ограниченных множеств N С К* таких, что 0 i -V, N = w*-cIco (ff П дК') = K'C\(ff + Я_), С = {х S У : х 6 Х\М, 0 < /J < d(x, М)}.

орема. ;

Теорема 2.3.1. В бесконечномерном пространстве ¿1(5, Е,/х) с а—конечной мерой существует центрально-симметричное анти-проксиминальное множество М £ /"«(X) такое, что Х\М ограниченно.

Следует заметать, что теорема 2.3.1 указывает на принципиальное отличие аппроксимативных свойств выпуклых ограниченных множеств и множеств с выпуклым ограниченным дополнением. Так С.Кобзаш [19] доказал, что в (5,£, где ц имеет атом, нет выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств.

В § 2.4 рассматриваются дифференциальные свойства функции расстояния до множества с выпуклым дополнением. Дифференциальные свойства функции расстояния до множества исследовались С.Фитцпатриком [9], Л.Заийчеком [29], Л.П.Власовым [22], применительно к проблеме выпуклости чебышевского множества, и др. Из последних работ отметим статьи С.И.Дудова [7, 8], в которых этот вопрос рассматривается с позиции выпуклого анализа. В теоремах

2.4.1 и 2.4.3 получены характеризации точек из Х\М, в которых функций расстояния дифференцируема по Гато и Фреше. Основным результатом параграфа является следующая теорема, которая является аналогом теоремы Конягина - Лау для каверн.

Теорема 2.4.4. Пусть X - банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) X £ (Д/) [соответственно, X € (Л/) П (Д)],'

2) для любого М € РСс{Х) множество Е(М) [соответственно, Т(М)} плотно в X]

3) для любого М 6 ТСС{Х) множество Х\шАС(М) [соответ-1 ственно, Х\(Т(М) П ыАС(М)} - множество первой категории.

С.Фитцпатрик [9] показал, что для М £ Р{Х) из условия х £ Ем\М следует, что норма производной равна 1.. Предложение

2.4.2 показывает, что из условия х £ (?дДМ не следует |[<р'(:г)[| = 1 даже для М € ТСС{Х).

Предложение 2.4.2. Пусть X - банахово пространство, >т) £ [0,1). Следующие условия эквивалентны:

а) dim X = оо; -

б) ^найдутся множество M 6 FCC(X) и точка х 6 Х\М, в которой существует производная Гато у'{х) и [|<^'(z)|| = Т].

§ 2.5 содержит следствия из результатов § 2.4.

Л.П.Власов [22] доказал следующие утверждения:

Пусть X - банахово пространство, X* G (R), M S F(X).

Если (a) X\M С Е(М) П GM или (б) Х\М С FM, то M выпукло.

Следующая теорема диссертации обобщает и уточняет эти утверждения.

Теорема 2.5.1. Пусть X € (В)', следующие условия эквивалентны:

а) X* строго выпукло;

б) всякое множество M G F(X) с Х\М С GlM выпукло;

в) всякое множество M € F(X) с Х\М С F\i выпукло.

Вторым основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.5.2. Пусть X е (-5) П (Ban)10, dim X = со. Следующие условия эквивалентны:

а) в X есть ограниченное замкнутое гладкое выпуклое тело;

б) существует множество M G J-Cc(X) такое, что Х\М С Gm, а Х\М - ограниченное выпуклее тело и Qq = {z € X : хМ = sup {¿Ai : г 6 X}} одноточечно.

Эта теорема, в силу предложения 2.4.2 показывает существенное различие понятий дифференцируемости по Гато и Фреше функции расстояния до множества. Кроме того, это - первые примеры невыпуклого множества с функцией расстояния дифференцируемой по Фреше. В этом же параграфе установлено, что классическое условие Кадеца-Кли:

(А*) • класс сопряженных пространств X*, в которых из условий /„ € S(X'), f € S(X*), последовательность /„ сходится к /

10Будем писать X S (Ban), если X € (В), dim X = оо, и существует замкнутое подпространство Z такое, что фактор-пространство X/Z сепарабельно, Jim X/Z = оо. Известно, что класс (Ban) довольно широк, в частности, он включает все сепарабельные и все рефлексивные банаховы пространства X с dim X = оо, а вопрос, охватывает ли он все бесконечномерные банаховы пространства, является известной проблемой Банаха.

в и;*—топологии пространства X* следует, что /„ сходится к / по норме пространства X*,

которое обычно используется при изучении рядов в банаховых пространствах, является характеризационным в некоторых задачах геометрической теории приближения. Для примера приведем следующие результаты:

Предложение 2.5.1. Пусть X £ (В). Следующие условия эквивалентны:

а) е (А*);

б) VМ £ ТСс{Х) справедливо равенство С1м\М = Рм\М;

в) VМ £ 3-СС(Х) с ограниченным Х\М справедливо равенство

в Ъ\М =

Предложение 2.5.2. Пусть X £ (В). Следующие условия эквивалентны:

а) X* £ (А*)11-,

б) VМ £ справедливо равенство

(<& Г\Е(М))\М = Л Е(М))\М;

в) VМ £ !РСС{Х) такого, что Х\М ограниченно, справедливо равенство {вхм Л Е{М))\М = (Ги П Е(М))\М.

Третья глава состоит из 5 параграфов, в ней решается задача (III).

Непустое подмножество А банахова пространства X будем называть множеством без наиболее удаленных точек (адйгепиЛа!), если для любой точки х £ X в множестве А нет самой удаленной точки.

В этой главе рассматриваются в основном ограниченные выпуклые замкнутые антипроксиминальные множества, будут также получены некоторые результаты об антипроксиминальных множествах с выпуклым дополнением и об ограниченных множествах без наиболее удаленных точек.

Первым выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные множества стал рассматривать М.Эделыитейн. В [20] он до-

■ и(Л*) - класс сопряженных пространств X', в которых из условий /„ € 5(Я*), / € БрС') ЛХ', последовательность /„ сходится «/но' —топологии пространства X" следует, что /„ сходится к / по норме пространства X*.

казал, что таких множеств нет в сепарабельных сопряженных пространствах. Впервые такое множество было обнаружено М.Эдельш-тейном и А.Томпсоном [24] в пространстве со- С.Кобзал] [19] дал примеры антипроксиминальных замкнутых, абсолютно выпуклых ограниченных тел в с и некоторых других пространствах. С.Кобзаш [19] доказал, что если (5, Е, ¡л) - пространство с мерой, содержащее по крайней мере один атом, тогда в Е, р) нет ограниченных замкнутых выпуклых антипроксиминальных множеств. Д.Борвейн [30] и, фактически, М.Эделыдтейн [26] и Р.Фелпс [14] доказали, что в банаховом пространстве X, удовлетворяющем условию Радона -Никодима, не существует ограниченного замкнутого выпуклого множества, которое является антипроксимннальным множеством для X. В.П.Фонф [27] построил антипроксиминальные замкнутые, абсолютно выпуклые ограниченные тела в довольно широком классе пространств непрерывных функций [включающем С (С}), где С} -п—мерный куб; канторово совершенное множество; метрический бикомпакт, содержащий гильбертов кирпич]. В.П.Фонф [28] доказал, что путем эквивалентной перенормировки произвольного банахова пространства можно получить пространство без выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств.

Антипроксиминальные множества с выпуклым дополнением и множества без наиболее удаленных точек стали рассматривать недавно. М. Эдельштейн [20] построил пример ограниченного центрально-симметричного выпуклого множества без наиболее удаленных точек в 1\, там же показано, что пространство 1\ можно перенормировать так, что в нем будет существовать замкнутое антипрок-симинальное множество, дополнение которого будет ограниченно центрально-симметрично и выпукло.

В § 3.1 приводятся известные результаты других авторов, а также некоторые следствия из известных результатов связанных с условием Радона - Никодима.

Основные результаты параграфа:

Теорема 3.1.1. Пусть X £ - банахово пространство.

"Известно много эквивалентных определений условия Радона- Никодима [X 6 (Я//)], приведем его в удобной для нас форме. Пусть X - банахово пространство, А 5 множество А называется острым, если для любого числа е > 0 найдется точка х, е А такая, что

В X существует ограниченное замкнутое центрально-симметричное множество без наиболее удаленных точек, — выпуклое тело, если дополнительно X € (СЬБ).

Теорема 3.1.2. Пусть X - банахово пространство, X € (СтК)\(1Ш). В X существует замкнутое антипроксиминальное множество, дополнение которого - выпуклое ограниченное центрально-симметричное тело.

Основные результаты третьей главы содержатся в § 3.2 и состоят в следующем.

Следствие 3.2.1. В бесконечномерном пространстве С(<5), где С} - произвольное топологическое пространство, существует ограниченное замкнутое выпуклое антипроксиминальное тело.

Следствие 3.2.2.В бесконечномерных пространствах £„(5,2,^) и В(Т) существуют ограниченные замкнутые выпуклые антипрок-симинальные тела.

В.П.Фонф [27] построил антипроксиминальные замкнутые, абсолютно выпуклые ограниченные тела в довольно широком классе пространств непрерывных функций [включающем С(<Э), где £} -п—мерный куб; канторово совершенное множество; метрический бикомпакт, содержащий гильбертов кирпич].

Для этого он ввел следующие условия на бикомпакт:

бикомпакт К удовлетворяет условию (А), если существует последовательность {А";}!° его замкнутых подмножеств такая, что

1)5 К{ = К;

2) существует строго возрастающая последовательность номеров {пу}1° и набор гомеоморфных вложений : К{ —> Кщ (г = 1,2,...; 3 — 1,2,...; г < п,-) такие, что

<рМ(К{)ПКр = 0,

г,.?=1,2,...; р= 1,2,...; рфщ).

Бикомпакт К удовлетворяет условию (Ах), если он удовлетворяет условию (А), причем последовательность может быть выбра-

_ о

х, £ сопу(Л\ В (х«,£). Банахово пространство X удовлетворяет условию Радона-Никодима, если каждое ограниченное его подмножество острое. (СЬВ) - класс пространств, в которых из условий х,х„ & 5, / 6 Э*, /(х) = 1, /(х„) —«• 1 вытекает, что х„ имеет сходящуюся подпоследовательность.

на таким образом, что для каждого { = 1,2,... и каждого ¿о 6 Л"; последовательность сходится.

Теорема Ф3.[27] Пусть бикомпакт К удовлетворяет условию (А1). Тогда в пространстве С(К) [с естественной эир-ко^шой] существует абсолютно выпуклое, ограниченное, замкнутое тело, являющееся антипроксиминалъным.

В § 3.3 строятся выпуклые замкнутые ограниченные антипрокси-минальные множества в пространствах, которые являются подпространствами С (С}) или Со (Г).

Определение. Носителем 5(А) множества А С С(<3)* называется множество и5"(/х), где объединение берется по всем мерам ц €. А. Через и (А) будем обозначать объединение атомов мер из А [атомами в случа,е бикомпакта считаются отдельные точки].

Здесь получены следующие результаты.

Теорема 3.3.1. Пусть ф - бесконечный бикомпакт, У С С(<3) -бесконечномерное замкнутое подпространство. Тогда если выполняется одно из условий:

&)существует бесконечное замкнутое множество В С (¿^(У1);

б)существует бесконечное замкнутое множество В С <3\3(УХ);

в) для О? - множества предельных точек бикомпакта ф - справедливо <2'\5(УХ) ф 0;

г) аннулятор У1 состоит только из безатомных мер;

д) С} - несчетный метризуемый бикомпакт, и аннулятор У1 се-парабелен,

то в У существует множество М, которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминалъным телом относительно У.

Следствие 3.3.1. Пусть <5 - несчетный метризуемый бикомпакт, У С С (О) - бесконечномерное замкнутое подпространство, сосНт У < оо. Тогда в У существует множество М, которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминальным телом относительно У. '

Теорема 3.3.2. Пусть - бесконечное хаусдорфово локально бикомпактное пространство, У = Со(01). В пространстве У существует ограниченное замкнутое выпуклое тело, которое является

антипроксиминалъным множеством для Y.

Теорема 3.3.3. Пусть Q - мещризуемый бикомпакт, F С Q замкнуто, card Q\F >Хо,УсХ = Cq(Q\F) - замкнутое подпространство, чей аннулятор L в Co(Q\F)* сепарабелен. Тогда в Y существует множество М, которое является выпуклым замкнутым ограниченным антипроксиминалъным телом относительно Y.

Из универсальности пространств C(Q) следует, что в теореме 3.3.1 условия а) - д) нельзя просто отбросить.

Все ограниченные выпуклые антипроксиминальные множества построенные ранее не были гладкими и про дифференциальные свойства функции расстояния говорить не приходилось. Следующий результат устраняет этот пробел.

Следствие 3.3.5. В пространстве со существует гладкое ограниченное выпуклое центрально-симметричное замкнутое антипрок-симиналъное тело М, такое, что Х\М С Fm-

В § 3.4 приведены примеры радиально ограниченных выпуклых замкнутых антипроксиминальных множеств в пространстве ¿i(5,E, р) с безатомной мерой, первый пример построен по стандартной схеме [ т.е. фактически все построение проходит в сопряженном пространстве], а второе антипроксиминальное множество строится непосредственно в исходном пространстве, при этом, для построения используется непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция Ван дер Вардена.

В § 3.5 дан пример выпуклого замкнутого ограниченного анти-проксиминального множества в строго выпуклом пространстве с нормой дифференцируемой по Фреше. Там же приведена эквивалентная перенормировка пространства со, при которой норма дифференцируема по Фреше и производная имеет явное аналитическое представление.

Цитированная литература

[ЕС1] Ефимов Н.В., Стечкин C.B. Некоторые свойства чебышёвских множеств// Докл. РАН. 1958. Т. 118. № 1. С. 17-19.

[С] Стечкин С.Б. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Rev. Math. Pur. Appl. 1963. V.8. № 1. P. 5-18.

[1] Конягин C.B. Аппроксимативные свойства произвольных множеств в банаховых пространствах// Докл. АН СССР. 1978. Т. 239. № 2. С. 261-264.

[2] Конягин C.B. Об аппроксимативных свойствах замкнутых множеств в банаховых пространствах и характеризации сильно выпуклых пространств// Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. № 2. С. 276-280.

[3] Царьков И.Г. О связности некоторых классов множеств в банаховых пространствах // Матем. заметки. 1986. Т.40. № 2. С. 174-196.

[4] Балаганский B.C. Аппроксимативные свойства множеств в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. 1982. Т. 31. № 5. С.785-800

[5] Танана В.П. Методы решения операторных уравнений — Москва: "Наука" ,1981.

[6] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — Москва: "Наука", 1978.

[7] Дудов С.И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния // Мат. сб. 1995. Т. 186. №. 3. С. 29-52.

[8] Дудов С.И. Субдифференцируемость и функций расстояния // //Математические заметки. 1975. Т. 61, вып. 4. С. 530-542.

. [9] Fitzpatrick S. Metrie projections and the diiferentiability of distance functions//Bull. Austral.Math. Soc. 1980. V.22. № 2. P. 291-312.

[10] Bartke K., Berens H. Eine Beschreibung der Nichteindeutig-keitsmenge für die beste Approximation in der Euklidischen Ebene. J. Approx. Theory. 1986. V. 47. № 1. P. 54-74.

Ц1] Westphal U., Frerking J. On a property of metric projections onto closed subsets of Hilbert spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. * 105. № 3. P. 644-651.

[12] Vesely L. A connectedness property of maximal monotone operators and its application to approximation theory. Proc. Amer. Math. Soc. 1992. Y. 115. № 3. P. 663-667.

[13] Phelps R.R. Openness of metric projection in certain Banach spaces// J. Approx. Theory. 1984. V. 42. №. 1. P. 70-79.

[14] Phelps R.R. Counterexamples concerning support theorems for convex sets in Hilbert space // Canad. Math. Bull. 1988. V. 31. № 1. P. 121-128.

[15] Franchetti C., Semenov E.M. A Hilbert space characterization among function spaces// Analysis Mathematica. 1996. V. 21. № 2. P.85-93.

[16] Amir D., Mach J. Chebyshev centers in normed spaces//J. Approx. Theor. 1984. V.40. P.364-374.

[17] Asplund E. Cebysev sets in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 144. P. 235-240.

[18] Johnson G.G. A nonconvex set which has unique nearest point property // J. Approx. Theory. 1987. V.51. № 4. P. 289-332.

[19] Cobza§ S. Antiproximinal sets in some Banach spaces// Math. Balkanica. 1974. V. 4. P. 79-82.

[20] Edelstein M.A. A note on nearest points // Quart. J. Math. 1970. V. 21, № 84. P. 403-406.

[21] Власов Л.П. О чебышёвских и аппроксимативно выпуклых множествах // Матем. заметки. 1967. Т.2. № 2. С. 191-200.

[22] Власов Л.П. Несколько теорем о чебышёвских множествах // Матем. заметки. 1972. Т.Н. № 2. С. 135-144.

' [23] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28. № 6. С.3-66.

[24] Edelstein M.A., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in ca // Pacific J. Math. 1972. V. 40, № 3, P. 553-560?

[25] Borwein J.M. Some remarks on a paper of S. Cobzas on antipro-ximinal sets// Bull. Calcutta Math. Soc. 1981. V. 73. P. 5-8.

[26] Edelstein M.A. Weakly Proximinal Sets// Journal of Approx. Theory 18, 1976. V. 1. P. 1-8.

[27] Фонф В.П. Об антипроксиминальных множествах в прост- ран-ствах непрерывных функций на бикомпактах// Математические заметки. 1983. Т. 33-, вып. 3. С. 549-558.

[28] Фонф В.П. О сильно антипроксиминальных множествах в банаховых пространствах //Математические замётки. 1990. Т. 47, вып. 2. С. 130-136.

[29] Zajicek L. Diferentiability of the distance function and points of multi-valuedness of the metric projection in Banach space// Czech. MathJ. 1983. V.. 33(108). P. 292-308. . ' '

[30] Borwein J.M. Some remarks on a paper of S. Cobzas on antipro-ximinal sets// Bull. Calcutta Math. Soc. 1981. V. 73. P. 5-8.

Работы автора по теме диссертации

[31] Балаганский B.C. О чебышёвсклх множествах с выпуклым дополнением // Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск: 1985. С.54-57.

[32] Балаганский B.C. О связи аппроксимативных и геометрических свойств множеств // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах: Сб. науч. тр. // ИММ УНЦ АН СССР - Свердловск. 1987. С.46-53.

[33] Балаганский B.C. Дифференхшруемость по Фреше функции расстояния и структура множества // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 6. С.725-734.

[34] Балаганский B.C., Власов Л.П. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах // Препринт. Свердловск: Уральское отделение АН СССР. 1990. 89 С.

[35] Балаганский B.C. О слабой открытости метрической проекции // Матем. заметки. 1991. Т. 49. № 3. С. 135-144.

[36] Балаганский B.C. Достаточные условия дифференцируемое™ метрической функции//Труды Института математики и механики. 1992. Т. 1. Екатеринбург: УрО РАН. С. 84-89.

[37] Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции на слабо компактные множества //Труды Института математики и механики. 1992. Т. 2. Екатеринбург: УрО РАН. С. 42-56.

[38] Балаганский B.C. Об аппроксимативных свойствах множеств с выпуклым дополнением // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 1. С. 20-29.

[39] Балаганский B.C., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышев-ских множеств Успехи мат. наук. 1996. Т.51. вып. 6(312), С. 125 - 188.

[40] Балаганский B.C. Антипроксиминальнальные множества в пространствах непрерывных функций // Математические заметки. 1996. Т.60, вып.5. С.643-657.

[41] Balaganskii V.S. An antiproximinal set ia a strictly convex space with Frechet differentiate norm // East J. Appr. 1996. Y.2. № 2. P. 131-138.

[42] Balaganskii V.S. On the connectedness of the set of points of discontinuity of the metric projection// East J. Appr. 1996. V.2. № 3. P. 263-279.

[43] Balaganskii V.S. Some Remarks on Relative Chebyshev Centers// J. Approx.Th.eor, 1997, V.89, № 3, P. 372-379.

[44] Балаганский B.C. О ближайших и наиболее удаленных точках // Математические заметки. 1998. Т.63, вып.2. С.289-291.

[45] Балаганский B.C. О гладких антипроксиминальных множествах // Математические заметки. 1998. Т.63, вып.З. С.472-474.

[46] Балаганский B.C. Аппроксимативные свойства множеств с выпуклым дополнением //Труды Института математики и механики. 1998. Т. 5. Екатеринбург: УрО РАН. С. 174-195.

[47] Балаганский B.C. О дифференцируемости функции расстояния до множества с выпуклым дополнением// Тезисы докладов школы-конференции "Алгебра и анализ", 1997 г., Казань, С. 28 -29. *

[48] Балаганский B.C. Антипроксиминальные множества в банаховых пространствах// Тезисы докладов Воронежской зим. мат. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 1997, С. 177.

[49] Балаганский B.C. О выпуклых ограниченных антипроксиминальных множествах с дифференцируемой функцией расстояния// Тезисы докладов Саратовской зим. мат. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 1998, С. 18.

[50] Балаганский B.C. Выпуклые замкнутые антипроксиминальные множества в пространствах C„(Q)// Тезисы докладов Всеро-сийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач", Екатеринбург , 1998 г., С. 43

Отпечатано на ротапринте ИММ УрО РАН, тираж 90 экз, зак. 249 формат 60 х 84 1/16, объем 1.6 печ. л.

П'39-(/№-&.

институт

уральс

КОГО от,

АК России

(решение от " ." ^¿Д^ ) * . _ ш

п. ису^ил учевую теденВ£

у!?7'

Аьник У"ралления ВАК р,ч( Ий —___........ й

Балаганский Владимир Сергеевич

Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в банаховых пространствах

01.01.01 - Математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Справочный материал....................................................................... 4

Введение ............................................................................................ 13

Глава I. Мощность и структура множества Х\Т'М ....................... 28

§ 1.0. Некоторые вспомогательные результаты ........................ 28

§ 1.1. Структура множества Х\Т'М в гильбертовом пространстве ..................................................................................... 46

§ 1.2. Структура множества M с card Х\Т'М < 2К° в пространствах X e(D)n(S) ................................................... 56

§ 1.3. Структура множества M с card Х\Т'М < card X в ....

пространствах X е .(D) П (S) и X 6 (CLUR) П (S) ..... 70

§ 1.4. Структура множества Х\Т'М в пространствах..............

X G (2R) ........................................................................... 75

§ 1.5. Открытость метрической проекции................................. 86

§ 1.6. Об относительных чебышевских центрах......................... 99

Глава II. Множества с выпуклым дополнением........................... 107

§ 2.1. Чебышевских каверн в пространствах типа со нет...... 108

§ 2.2. Аналог теоремы о биполяре ........................................... 112

§ 2.3. Существование и единственность................................... 117

§ 2.4. Дифференцирование функции расстояния................... 122

§ 2.5. Другие результаты.......................................................... 138

Глава III. Антипроксиминальные множества в

банаховых пространствах............................................................... 157

§ 3.1. Некоторые предварительные результаты об антипрокси-

минальных множествах в банаховых пространствах ... 158 § 3.2. Выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные множества в C(Q) .............................................. 167

§ 3.3 . Выпуклые замкнутые ограниченные антипроксимина-

льные множества в подпространствах С {О) ................ 197

§ 3.4. Антипроксиминальные множества в Ьх(5, Е,//) .......... 205

§ 3.5 . Пример выпуклого замкнутого ограниченного антипро-ксиминального множества в строго выпуклом пространстве с нормой дифференцируемой по Фреше .............. 213

Список литературы......................................................................... 226

1. Справочный материал

В работе приняты следующие обозначения: N [ 3ft ] - множество натуральных [ вещественных ] чисел; X - вещественное банахово пространство, как правило, бесконечномерное;

Х\А — СА, А, А= intА, дА, convA, convA, |А| == card A, diamA - соответственно, дополнение, замыкание, внутренность, граница, выпуклая оболочка, замкнутая выпуклая оболочка, мощность, диаметр множества А С X;

В(х, г) = {z £ X : zx < г} - шар в X;

о

S(a:, г) = В(ж, г)\ В (х, г) - сфера; В(Z), S(Z) - единичные шар и сфера в Z; [ж, у] = {(1 — Х)х + Ху '■ 0 < Л < 1} - отрезок; (х,у) = {(1 — Х)х + Ху : 0 < Л < 1} - интервал; ху - {(1 - Х)х + Ху : Л > 0} - луч; ху = d(x,y) = \\х - у\\;

хА = d(x, А) = inf{ху : у G А} - расстояние от х до А С X; р(А, В) = Ы{хВ : ж € A}; d(A, В) = вир{жб : х <е А], d(x,0) = р(А, 0) = оо;

¿м ' % I—► ¿м{х) — хМ [метрическая функция множества М С X, функционал наилучшего приближения, функция расстояния] ;

Рм : х I—>• Рм(х) = {у 6 М : ху = хМ} [метрическая проекция, оператор наилучшего приближения];

Рём : х 1—► Рм(х) = {у £ М :ху < хМ + 5} -проекция]. В этой работе множество, подлежащее изучению, всегда обозначается через М; при этом предполагается, что 0 ф М = М ф X; Т = - семейство всех таких М;

FCC{X) - семейство всех тех М Е ^(Х), для которых СМ выпукло;

/С = JC(X) - множество выпуклых тел М Е ^(Х), О Е int М.

Пусть Ь > 0. С множеством М мы связываем также следующие множества:

М(Ь) = {z Е X : zM <b} [ Ъ -расширение М ]; Q = Х\М-

Q(b) = {z £ X : zM > 6};

С(Ъ) = {z е X : zM > Ъ}; Г (6) = {2б1:гМ = &}.

Через г обозначается любая из топологий: п [нормированная, или сильная; п обычно опускается], w [слабая], wuj [секвенциальная слабая], w* [слабая* сопряженного пространства].

А ~ В для величин А, В означает А — В —> 0 [а не А/В 1 ].

Мы используем следующие виды непрерывности многозначного отображения, как правило, метрической проекции Рм '■

Я-полунепрерывность сверху: Pm(z) Ф 0 Vz Е B(rr,e) и d(PM(z),PM(x)) —s► 0 при z х-,

полунепрерывность снизу: Му £ Рм{х) Yimp(y, Pm(z)) = 0;

В статье встречаются следующие классы банаховых пространств:

(Rf) - класс рефлексивных пространств;

(R) - класс строго выпуклых пространств [т.е. таких, что единичная сфера S не содержит отрезков];

(S) - класс гладких пространств [в каждой точке сферы существует единственная опорная гиперплоскость];

(UR) - класс равномерно выпуклых пространств [соотношения хп Е S, уп Е S, ||жп + уп\\ -»• 2 влекут \\хп - уп\\ -»> 0];

(.LUR) - класс локально равномерно выпуклых пространств [соотношения х £ S, уп £ S, \\х + уп\\ 2 влекут упх]-

{CLUB) -класспространств, в которых соотношения х £ S, уп £ S, ||ж + уп\\ —2 влекут существование сходящейся подпоследовательности ;

(tUR) - г -равномерно выпуклые пространства: если хп,уп £ S, ||жп + у«|| -»■ 2, то хп-уп-^ 0;

(t/jR) = (nUR), (wUR) - частные случаи (tUR); (■tLUR) - т -локально равномерно выпуклые пространства: если Xf хп £ S, ||ж "Ь ^ 2, то ^ ж,

(tCLUR°) [(rCLt/JR)] - если из (Е S , ||ж + ж„|| —► 2, вы-

текает существование г-сходящейся подпоследовательности к элементу из S];

(£)) - класс пространств, в которых из хп £ S, / Е S*, /(жп) —► 1

1

следует сходимость хп;

(C.D) - класс пространств, в которых из хп £ S , / £ S*, f(xn) —> 1 следует существование предельной точки хп [пространства Ефи-мова-Стечкина\ ;2

(UCED) - класс пространств, в которых из соотношений z, хп, уп £ S, хп-уп = anz, \\хп + уп\\ 2 следует, что ап 0 ;

(F) - класс пространств с нормой, дифференцируемой по Фреше в каждой точке х £ S;

(■C2R) - класс пространств, в которых соотношения уп £ S, lim \\уп + yk\\ = 2 влекут существование сходящейся подпоследова-

► оо

тельности

(2Л) - класс пространств, в которых соотношения уп £ S, lim ||?/n + = 2 влекут сходимость последовательности уп;

n,k—X3о

(7-R) [ (CjR) ] - класс пространств, в которых условия £

S, lim ||#n + 2/fc|| = 2 влекут, что жп, yk сходятся [ имеют пре-

п—>оо, fc—мзо

1 сильно выпуклые пространства [термин С.Б. Стечкина], или Е -пространства [в теории некорректных задач, см., например, [21],[38]]; впервые рассматривались В.Л. Шмульяном.

2Подробнее об этих пространствах см. у С.В.Конягина и И.Г.Царькова в [29].

дельные точки ];

(6R) [ (C6R) ] - класс пространств, в которых из условий хп, ук G S, lim \\хп + у¡¡.\\ = 2 следует, что хп, yk сходятся к одной и той

к>п—>оо

же точке из S [ имеют предельные точки ];

(CLD),[(LD), (wLD)] - класс пространств, в которых из условий х,хп G S, / G S*, f(x) = 1, /(ж„) —> 1 вытекает, что имеет сходящуюся подпоследовательность [ сходится к х , w -сходится к ж];

(SA) - класс пространств, в которых условия х,хп G S, /п G S*, w; - lima'n = ж, fn(xn) = 1 влекут соотношение fn(x) 1;

- класс пространств, в которых из условий /„, / € S(X*), / G -X"*, ж?г G S(X), fn(xn) = 1,/ - iu*— предельная точка для последовательности /п, следует, что /(ж„) —> 1.

(А*) - класс сопряженных пространств Х*,в которых из условий fn G S(X*), / G S(X*), последовательность /„ сходится к / в «;*— топологии пространства X* следует, что fn сходится к / по норме пространства X*.

- класс сопряженных пространств X*, в которых из условий fn G S(X*), / G S(X*) П последовательность fn сходится к / в w*— топологии пространства X* следует, что /„ сходится к / по норме пространства X*. 3

(UG) - класс пространств с нормой, равномерно дифференцируемой по Гато: предел Ит(||я + th|| — существует при x,h G Х\{0} и является равномерным по х G S [другое название: пространства, равномерно гладкие по каждому направлению].

(В В) - класс пространств, в которых каждая достижимая точка единичного шара пространства X является точкой гладкости.

Определения. Банахово пространство X называется

3условие Кадеца - Кли, см., например, [90], Х# - функционалы достигающие максимума на единичном шаре.

пространством Асплунда [79], если каждая выпуклая непрерывная функция, определенная на выпуклом открытом множестве А С X, дифференцируема по Фреше на плотном в A G$ -множестве. Будем писать X G (Ban) , если X G (В), dim X = оо, и существует замкнутое подпространство Z такое, что фактор-пространство X/Z сепарабельно, dim X/Z = оо.

Многие из перечисленных классов пространств описываются одинаково:

(Р) - класс пространств, в которых все точки х G S обладают свойством Р = Р(х).

В произвольном пространстве точку х £ S , обладающую свойством Р(х), будем называть Р-точкой.

Таким образом, мы считаем определенными понятия F-точки, tLTJR-точки, LUR- [т.е. nLUR -] точки и т.д.

Нам понадобятся следующие множества точек, обладающих тем или иным аппроксимативным свойством относительно М.

Ем = Е(М) = {х G СМ : Рм(%) ф 0} ~ множество точек существования элемента наилучшего приближения; М называется прок-симинальным или множеством существования, если СМ = Е(М)\

UM = U(M) = {ж G °М : \Рм(х)\ < 1} - множество точек единственности; М называется множеством единственности, если СМ = U(M);

Тм = Т(М) = {х G СМ : \Рм(х)\ = 1} = Е(М) П U(M); М называется чебышёвским множеством, если СМ = Т(М);

Т'м = Т'(М) = {х£ СМ : diamPiO) —► 0 при 6 —► +0};

тАС(М) - множество точек аппроксимативной г -компактности, т.е. тех ж G СМ, для которых всякая минимизирующая последовательность уп , [т.е. уп G М, —» хМ] содержит подпоследовательность, т -сходящуюся к элементу из М [зависящему от подпо-

следовательности]; М называется аппроксимативно компактным, если СМ = АС(М);

ЬБСм ~ множество точек полунепрерывности снизу метрической проекции Рм: х Е ЬБСм означает, что из Рм(х) П 6' / 0, где С открыто, следует, что Рм{%) П С ф 0 для всех 2 из некоторой окрестности 11х; это равносильно условию: Уу Е Рм{х) —» ж имеем р(у,Рм(хп)) 0 (0) = оо);

См - множество тех ж Е СМ, где имеет производную Гато

(ж) = / Е X*, так что \ZheX

Рм - множество тех х Е где предел (*) равномерен по К Е Б [в этом случае / называется производной Фреше, а ¿м дифференцируемой по Фреше в точке х ];

01м = {хЕ Шх)\\ = 1};

С"м = {хе Зг Е с1'м(х)(г) = 1};

Тм ~ множество точек х Е СМ, в которых У/г 6 X существует предел (*) [не обязательно линейный по /г];

Г^ - множество таких х Е СМ , что для некоторого к Е Б предел (*) равен 1 при t —► +0.

Г'^ - множество таких точек х 6 Г, что в качестве /г можно взять \х — у)/ху для некоторого у Е Рм(х).

[Заметим, что направление от х к х + Н в Г;м, Г'^ есть направление наибольшего возрастания функции ¿м ~ "направление градиента".]

¿)5(М) = 6вм ~ множество 6 -солнечных точек, т.е. таких х Е °М , что существует последовательность пп ф х, уп —» х, для которой

(упМ - хМ)/упх 1; (**)

если 6Sm = СМ, то M называется 6-солнцем.

6'Sm ~ множество тех х G СМ для которых существуют h G S, tn —» +0 такие, что для vn = х + tnh имеем (**);

6"SM ' если среди h, удовлетворяющих предыдущим условиям, найдется такое, что х — ж M • h G Рм(х);

7г^м ~ множество таких х Е °М [для данного г > 0], что существуют zn с ¿„ж = г, znM — хМ —г;

75м = Пг>о если jSm = СМ, то M называется j -солнцем]

авм ~ множество тех х G СМ, для которых существует такое h G S, что для всех z = х + th [t > 0] имеем zM = zx + жМ; если а = СМ, то M называется а-солнцем;

mSu = {х £ СМ : 3z £ X, Зу G Pm(z)-, х G (г/, 2)}; если т5м = СМ, то M называется метасолнцем;

5М = {ж G СМ : 3|/ G M, у G Рм W V2 с ж G [у, г]};

если 5м = то M называется солнцем; если квантор 3 заменить на V и добавить проксиминальность M , то придем к понятию строгого солнца.

W = CM\6SM; И^' = CM\(6'SM П Щ).

Нетрудно проверить, что в определении 7г5м можно предполагать, что —> г вместо = г; ясно также, что 7г5м и 75м -замкнутые относительно СМ множества.

Теорема А [К. Лау [77], C.B. Конягин [24]]. Пусть X - банахово пространство. Следующие условия эквивалентны:

а) X - пространство Ефимова-Стечкина [ соответственно, X - сильно выпуклое пространство];

б) для любого непустого замкнутого множества множества M С X множество Х\АС(М) [ соответственно, Х\Т'М] - первой категории;

в) для любого непустого замкнутого множества множества М С X множество Е(М) [ соответственно, Тм плотно в X.]

Теорема Б [В, теорема 3.3]. В банаховом пространстве класс 6 -солнц совпадает с классом 7 -солнц.

Теорема В [С. Фитцпатрик,[68, теорема 3.1]].

а) X € (5) <$=>• УМ £ Г(Х) Т'м С вм [или Т'м С в1м\\

в) х е от) ум е г(Х) т'м с

Обратные импликации у Фитцпатрика не сформулированы, однако они очевидны при М = {0}.

Теорема В' [С. Фитцпатрик,[68, теорема 2.6]].

а) X £ (Р) УМ £ Т{Х) -Рм С Т'м]

а') X е(ЬО) еТ(Х) Ем П Е(М) С Т'м;

б) х е (СБ) ^ Уме т(х) ем с ас(м).

б') (СЮ) -ф=ф- УМ Е Г{Х) Ем п Е(М) С АС(М).

Строго говоря, С. Фитцпатрик доказал прямые импликации в а), а'), однако доказательство не меняется и для б), б'); обратные импликации очевидны, если взять в качестве М гиперплоскости [в случаях а' , б' - опорные к В].

Теорема В Л [12]. Следующие условия на банахово пространство эквивалентны:

а) Хе(В)-

б) метрическая проекция на каждое выпуклое множество М £ Р(Х) однозначна и непрерывна.

Теорема Г [В.Л. Шмульян, см. [15, с. 510]]. Пусть ж £ Б, / £ Б*, /(х) = 1. Следующие условия эквивалентны:

а) х есть Е-точка Б;

б)всякая последовательность /п £ Б* с fn(x) 1 сходится к f .

Теорема Д[63]. Пусть X Е (В) удовлетворяет условию Радона - Никодима, множество М Е 3~(Х) выпукло и ограниченно, тогда множество сильно достигающих на М функционалов / Е X* является плотным в X -множеством.

Теорема Е [63, 73]. Банахово пространство X не удовлетворяет условию Радона - Никодима тогда и только тогда, когда существуют открытое ограниченное центрально-симметричное выпуклое множество К и его замкнутое подмножество А С К такие, что К С convA

Об условии Радона - Никодима и о слабо компактно порожденных пространствах можно см. [16]. Слабо компактно порожденные пространства можно эквивалентно перенормировать в пространство класса (CLUR) и тем более (CLD).

ВВЕДЕНИЕ

Теория приближения в банаховых пространствах берет свое начало в в работе П.Л.Чебышева, в которой доказана чебышевость множества алгебраических многочленов степени не выше п и множества рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а,Ь]. В дальнейшем геометрические вопросы теории приближения в конкретных банаховых пространствах изучались А.Хааром , А.Н.Колмогоровым, Е.Я.Ремезом. Окончательно теория приближения в банаховых пространствах оформилась в самостоятельную ветвь теории приближения в 60-е годы благодаря работам Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.Кли, А.Л.Гаркави, Л.П.Власова, С.Я.Хавинсона, Д.Вулберта, Б.Крипке, Дж.Линденштрауса, П.Морриса, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. В дальнейшее развитие эта тематика получила в очень большом количестве работ разных авторов. Укажем только некоторых авторов чьи работы тесно связаны с тематикой диссертации: С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.П.Власов, В.И.Бердышев, В.А.Кощеев, А.Л.Браун, Л.Веселы, Л.Заийчек и др. В диссертации рассматриваются различные взаимосвязи между аппроксимативно-геометрическими свойствами множеств в банаховых пространствах. Стержневым в этой проблематике представляется вопрос о свойствах чебышевских множеств. Наиболее популярна нерешенная проблема: выпукло ли всякое чебышевское множество в гильбертовом пространстве 9

Изучение проблематики чебышёвских множеств в нашей стране началось по инициативе Сергея Борисовича Стечкина. Исследования в области теории приближения функций привели его к вопросу: является ли множество рациональных дробей че-

бышёвским в Ьр \р > 1]? [Само название "чебышёвские множества"

дано С.Б. Стечкиным в честь основателя теории наилучших приближений П. Л. Чебышёва]. Поскольку множество Л™ невыпукло, ответ виделся отрицательным, по крайней мере в 1/2- Так возникла ныне широко известная проблема выпуклости чебышёвского множества в гильбертовом пространстве.

В связи с упомянутой проблемой была доказана следующая теорема.

Теорема Ефимова-Стечкина [В]. Пусть М - чебышевское множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Следующие условия эквивалентны:

а) М выпукло;

б) М секвенциально слабо замкнуто;

в) М аппроксимативно компактно.

С.Б.Стечкиным доказана следующая теорема.

Теорема Стечкина [В]. Пусть М - непустое замкнутое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда каждое из множеств Т(М), Т'м является дополнением множества I категории [в частности, всюду плотное].

В дальнейшем Л.П.Власовым, С.В.Конягиным и К.-С. Лау [см. теорему А] получены их усиленные аналоги:

Теорема Власова [В]. Следующие условия на банахово пространство X эквивалентны:

а) Хе(£))П(5);

б) класс аппроксимативно компактных чебышевских множеств совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств;

в) класс чебышевских множеств множеств с непрерывной метрической проекцией совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств.

Теорема Ефимова-Стечкина показала важную роль множества

точек аппроксимативной компактности 4 [ АС(М) ], поэтому эти множества изучались многими авторами и будут рассматриваться нами в диссертации. Топологические свойства множеств Т'м, АС(М),Х\Т'м изучали К.Паук, Л.Зайичек, И.Г.Царьков и др. И.Г.Царьковым [40], в частности, доказано, что для того, чтобы в банаховом пространстве X для любого М е ^(Х) множество АС(М) было связным, необходимо и достаточно, чтобы X е (СИ).

Непустое замкнутое подмножество А ф X банахова пространства X называется антипроксиминальным, если для любой точки х Е Х\А в множестве А нет ближайшей точки [Рм(х) = 0]. Анти-проксиминальные множества стали рассматривать с начала 70-ых годов. Их исследовали М.Еделыптейн, Р.Фелпс, А.Томпсон, С.Кобзаш, В.П.Фонф и др. Основной считается задача: выясни�