Оценки аппроксимативных чисел оператора Харди в функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ХАБАРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

г, ..х1'

Ломакина Елена Николаевна

ОЦЕНКИ АППРОКСИМАТИВНЫХ ЧИСЕЛ

ОПЕРАТОРА ХАРДИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01. -- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степенп кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 1997

Работа выполнена на кафедре высшей математики Хабаровского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор фигшко-математпческих' наук,

профессор В.Д. Степанов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Буренков, кандидат физико-математических наук, доцент ILM. Новицкий.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится $, //._ 1997 г.

в /£) час. на заседании диссертационного совета Д 064.G2.01 при Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ХГТУ, ауд. 315-л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан _ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических Ухлов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1907 г. Э. Шмидт получил аналог спектрального представления для несимметричного интегрального оператора А в L2 с непрерывным ядром, используя собственные значения положительного оператора (Л* Л)1'"2, которые впоследствии были названы «-числами оператора Л. В 1957 г. Д. Э. Аллахвердиев установил аппроксимативное свойство «-чисел операторов в гильбертовом пространство, послужившее, с одной стороны, основанием для непосредственного обобщения понятия s-чпсел для операторов, действующих в более общих пространствах, с другой, - установившее связь s-чнсел с понятном поперечника по Колмогорову. В результате появились аппроксимативные числа линейного оператора Л, действующего из полного линейного нормированного пространства Л' в У, в виде

ат{А) = inf { ||Л — Р||; Р : X ->У — ограниченный линейный

оператор и rankP < in}, m= 1,2,.... (1)

Исследованию аппроксимативных чисел посвящены работы многих авторов. В отечественной литературе это в первую очередь относится к изучению операторов вложения ( П.И. Лизоркин, Е.Г. Мазья, К.Т. Мынбаев, М.О. Отелбаев и др.,) и к задачам теории приближений ( В.М. Тихомиров и др. ). Кроме того, различные вопросы, касающиеся поведения аппроксимативных чисел, особенно в теории s-чисел, освещены в монографиях И.Ц. Гохберга и М.Г. Кренна, X. Кенига, Д. Эдмундса и В.Д. Эванса, А. Пича и др. Особый интерес представляет задача получения оценок поведения аппроксимативных чисел оператора Хардн (см. ниже (3)), когда он действует из IP в Ья, 1 < р < q < оо, которая начата изучаться в работе Д.Е. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харриса. 1 Недавно этими нее авторами2 были получены асимптотические оценки и двусторонние оценки норм Шат-тона - фон Неймана аппроксимативных чисел оператора Харди в Lv-пространствах, 1 < р < оо. Для оператора Рнмана-Лиувнлля, обобщающего оператор Хардн, результаты о поведении s-чисел были получены в работах К. Новака, Д. Ньюмана и М. Соломяка, Д. Эдмундса

'Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // J. London Math. Soc.(2) 1988, v. 38, p. 471-489.

2 Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. (1) 1997, v. 24, p. 59-80.

н В.Д. Степанова. Ввиду тесной связи со спектральными задачами для дифференциальных операторов эта тематика в настоящее время интенсивно развивается н является актуальной.

Цель работы. Работа посвящена получению эффективных двусторонних оценок поведения аппроксимативных чисел интегрального оператора Харди.

Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и теории линейных интегральных операторов.

Научная новизна.Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получены двусторонние оценки поведения аппроксимативных чисел оператора Харди Т : X —» V в банаховых функциональных пространствах.

2. Даны асимптотические оценки аппроксимативных чисел оператора Харди Т : 17 —> Ьч для любых показателей суммирования, больших единицы.

3. Даны оценки "норм" и слабых "норм" типа Шаттена - фон Неймана для оператора Харди Т : П' —> Ьч, 1 < р, ц < оо.

4. Установлена эквивалентность "нормы" типа Шаттена - фон Неймана оператора Харди Т : Ь,} —> Ьр, 1 < р < оо, 1 < $ < оо вида

(е <[Т))' ~ (/0°°(2)

которая обобщает формулу Гильберта-Шмидта, где точное равенство достигается при р = ,ч = 2.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в дальнейших исследованиях аппроксимативных чисел интегральных операторов, в теории интегральных уравнений и теории приближений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством профессора В.Д. Степанова, на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Г. Зарубина в ХГТУ.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Втором российско-японском семинаре "Интегральные уравнения в зада-

чах математической физики" (Хабаровск, сентябрь 1993 г.), на заседании секции "Анализ и геометрия" II Сибирского Конгресса по индустриально]! и прикладной математике (Новосибирск, нюнь 199G

г-) '

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1993-1997 годах D работах [ 1 ]-[ 5 ], список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации - 91 страница, библиография включает 54 наименования.

Содержание работы

Пусть X и Y- два банаховых пространства измеримых функций, заданных на полуоси R+ = [0, оо). Рассмотрим интегральный оператор Хардн Т : X —> У вида

Tf(x) = v(x) £ u{y)f{y) dy, X > 0, (3)

с локально суммируемыми на (0,оо) весовыми функциями v(x) и и(у).

В первой главе приводятся известные теоремы различных авторов, касающиеся свойств ограниченности, компактности и меры некомпактности оператора Т в функциональных пространствах. При этом некоторые из них уточняются или даются с упрощенными доказательствами. Этот мат с puai необходим для доказательства основных результатов диссертации во второй главе.

Определение 1. Нормированное линейное пространство Л' = |/ : Ц/Ид- < оо| вещественнозначных измеримых по Лебегу функций на полуоси называется банаховым функциональным пространством (БФП), если в дополнении к обычным аксиомам нормированного пространства также выполнены следующие свойства:

(1) ||/||х определена для каждой измеримой по Лебегу функции / на R+, и / Е Л', если и только если ||/||х <

H/II х- = 0 , если и только если / = 0 почти всюду (п.в.);

(2) ||/||л-= || | / | ||а- Для всех / G À';

(3) если 0 < / < g п.в., то \\f\\x< ||5||х;

(4) если 0 < /„ t / п.в., то ||/„||x Î Ц/Ц*;

(5) если mes £<00, то ||,\£||л'< оо;

(6) если тез.Е<оо, то / /(х-) (1х < Сд||/||.\-.

^ Е

Здесь и всюду далее обозначает характеристическую функцню множества Е.

Для данного БФП Л" двойственным, пространством X' является пространство

X' = [д: \}д\<оо для всех / £ Л"} ,

снабженное нормой

\Ш = зир {/о°° I /г/ I: ||/|и<1}. (4)

Пространтво X1 также является БФП и, более того, оно является фундаментальным подпространством в сопряженном пространстве X* таким, что равенство

вир

выполняется для всех / & X.

Пространства Л", Л'' являются полными линейными нормированными пространствами и Л"" = X.

Пусть I является банаховым секвенциальным пространством (БСП) ( это означает, что аксиомы (1)—(6) выполняются относительно дискретной меры ), и пусть {е*} обозначает стандартный базис в БСП (, т.е. е* — (...,0,1,0,...), где 1 стоит на к-ом месте.

Определепие 2. Если заданы БФП А' и БСП £, то говорят, что X является £ -вогнутым, если для любой последовательности попарно не пересекающихся интервалов таких, что и Л — и каждой функции / £ X выполнено неравенство

к

<

(5)

где положительная конечная константа <7) не зависит от / 6 А" и последовательности {Л}. Аналогично, БФП У называется £ -выпуклым. если для любой последовательности попарно не пересекающихся интервалов {¡к}, 111к = и каждой функции д 6 У выполнено неравенство

1Ы|Г < ¿2

£е*11ллз1Ь' к

(б)

с коночной константой d2 > 0, но зависящей от g £ Y и последовательности {h}.

Определение 3. Будем говорить, что два БФП Л" и 1' удовлетворяют С -условию, если существует БСП С такое, что Л' является ( -вогнутым, a Y- I -выпуклым.

Определение 4. Норма в БФП Л" абсолютно непрерывна (АС-норма), если для всех / 6 A' H/xeJI.y 0 для каждой последовательности множеств {Еп} С таких, что \е„{-с) —> 0 п.в..

Следующая теорема дает критерии ограниченности п компактности оператора Хард и в БФП.

Теорема 1 ( Е.И. Бережной ). Пусть банаховы функциональные пространства X и Y удовлетворяют £ -условию, Т - интегральный оператор вида (3). Тогда

1) Т - ограничен из X в Y, если и только если

А = sup=sup||\'[(i00]t;||y,||x[oil]ii||v< оо, оо оо

причем

А < imi.Y-y < 4dxd2A.

2) (Д. Эдмунде, П. Гурка, JI. Пик). Кроме того, пусть пространства X' и }" имеют АС-норм.ы. Тогда оператор Т : X —> Y компактен, если и только если

А < оо и lim A(t) = limA(i) = О,

где

а = ini{t > 0 : A{t) >0}, 6 = sup{i > 0 : A(t) > 0}.

Для 0 < г < оо, 0 < s < оо и локально суммируемой функции г)(х) на R+, пространство Лоренца L" = L"(R+) состоит из всех измеримых функций / таких, что И/Ц^г» < оо, где

{1У/гтГ"{)Ф, 0 < s < оо;

supi1/r/*(f), s = oo,

оо

и

л 0 = inf{j7 > 0 : Xf(x) < 0, где Xf{x) = /{;eR+:|/(;)|>i} Ф) dz.

Критерям ограниченности и компактности оператора Хардн в весовых пространствах Лоренца посвящена следующая теорема.

Теорема 2 ( Д. Эдмунде, П. Гурка, Л. Пик ). Пусть 1 < г,р < сю. 1 < si4 ^ 00 такие, что max(r, s) < min(p,q). Тогда

1) Интегральный оператор Т вида (3) ограничен из Ц" в L. если и только если

А = sup A(t.) = зир||.\-[(1Оо]г)||й,||\[01/]м/^||^'.'< оо, оо оо *

причем

А < И ГЦ < 4cr,SiM,l,

где r,.iS ;,л - константа, зависящая только отп. r, s, p, q.

2) Оператор Т : L\—> Lffî вида (3) компактен, если и только если

А < оо и lim Ait) = lim Alt) = О,

t-*a w t-ib У '

где

a = inf{i > 0 : A(t) >0}, b~ sup{t > 0 : A(t) > 0}. Пусть 0 < p < oo, Lp - пространство Лебега вида

J7(R+) = {/ : ||/||£,(Il+) = {Jo°°\f(x)\pdx)l/p < oo},

L°°(R+) = {/ : ||/||l«°(r+) = ess sup |/(x)| < oo}.

XER.+ '

При 1 < p < oo пространства Лебега LP(R+) являются БФП, и i-условпе выполняется тогда и только тогда, когда 1 < p < q < оо. Теоремы 1 и 2 являются обобщениями критерия Макенхоупта ограниченности оператора Т из Lp в L4 при 1 < p < q < со. Но и в случае 1 < g < р < оо также имеется критерий ограниченности оператора Т, полученный В.Г. Мазьей и А.Л. Розиным.

Теорема 3. Пусть 1 < q < р < оо. Для любых / 6 Z,P(R+) неравенство

||Т/|и,(П+)<С||/|иР(а+)

выполняется с константой С, не зависящей от f, о том и только в том случае, если

В = {О/о'\^P'dyrlf\v(y)\bly}r-q\a(x)fdxj " < оо.

при этом.

р-1 р-1

Более того, Т : Lp(R+) —> £''(R+) компактен тогда и только тогда, когда В < оо.

Основные результаты диссертации содержатся в главе 2 "Оценки аппроксимативных чисел оператора Харди."

Предположим, что БФП Л' и Y удовлетворяют t - условию и Т : Л* —> Y компактен. В этом случае по теореме 1

А = sup A(t) = supJ[x[i.oc]ï-'|| v!IX[o,i]^ILv< i>0 (>0

lira A(t) = lirn A{t) = 0.

Положим для простоты, что а = 0, Ь — оо. Для достаточно малого числа s, 0 < s < ||Т||, выберем конечную последовательность возрастающих чисел

0 — с0 < ci < с2 < ... < сЛ_] < с-л- < сл + 1 = оо таких, что

= = (7)

где N = N(t) и

A[ci] = sup A(t) = sup ||X[(,Cl]f||r||\'[o,(]MILv

о <t<a о <(<c,

A[cN)= sup A{t)= sup ||X[i,oopllvllX[cN,«]"ILv'-

CN<t<OC Cfil<t<x

Промежуточные значения последовательности c-2, C3, ...c,v_i определим после формулировки следующей леммы, играющей ключевую роль.

Лемма 1. Пусть X и Y являются БФП, удовлетворяющими С - условию, Y и Y' имеют АС-нориы. Положим 0 < а < b < оо,

1 = [а,Ь] и

F(x) = J' u(y)f(y) dy, x el; F, = ~ F dp, ,i{I) = dp,

где dn(x) — v(x)g(x) dx, a функция y(x) на I определ.яется из условия (1 -¿)ll\[a,6]v||r||\[a,6]5|b" < f[v{x)g(x)dx

где 5 > 0 - произвольно малое число, скажем, 0 < 6 < 0,01. Существование функции у обеспечивается соотношением (4). Тогда существует точка с £ I такая, что

3 1 \ и х ИТ II 1к[я,б]«(^ - -f/)l|y . 0 2 ,2 2 —шях(.4ьЛа) < 77 I = sup—!_J- -< 8 г/^тах^ьЛ,),

10 !Ф и ||\[а,4]/||л" ¿о

где

.4, = sup ||

П<Х<Г

М = sup ||у[Р,,]и|Мкм'"1к-

С<1<Ь

А сейчас вернемся к определению последовательности {г*}, к = 2,3,..., А* — 1. На конечном интервале I С [сьСд-] рассмотрим оператор

Tlf(x) = Xi(x)v(x)(F(x)-FI). (8)

По лемме 1 норма оператора непрерывно зависит от интервала I, и поэтому мы можем выбрать интервалы 7* = к — 1,..., N — 1 так, что

\Щ\\=£, Л = 1,...,Л'-2, ||7}N_, || < с. (9)

Подчеркнем, что Л' зависит от е.

Отметим, что в соответствии с условиями леммы 1 выбор величины & и мер //(4) для каждого интервала носит вспомогательный характер и в дальнейшем не существенней.

Основной результат параграфа 2.1, дающий верхние и нижние оценки аппроксимативных чисел оператора Т в банаховых функциональных пространствах, содержится в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть БФП X uY удовлетворяют I -условию, А"', У, У имеют АС-нормы и оператор Т : X —> У вида (3) компактен. Пусть для заданного 0 < с < ЦГЦ целое число N > 2 и интервалы Д. = к = 0,1,...,ЛГ, выбраны так, что выполнены соотношения (7) и (9). Тогда

а,\(Т) < d\d-i£.

Более того, пусть пространство X 1р^-выщкло, а У (р.,-вогнуто, где (р - пространство последовательностей, суммируемых с р-ой степенью, причем Р2 > Pi > 1. Тогда

ЫТ) >

где константы d\, d¿ определяются из (5) и (6).

Кроме того, рассматриваются случаи пространств Лоренца и Лебега, где теорема 4 имеет свои особенности. Начнем с пространств Лоренца.

Теорема 5. Пусть 1 < r,p < оо, 1 < s,q < оо такие, что max(r, s) < miu(;>, q), и интегральный оператор Т : L" —> L™ вида (3) компактен. Зададим 0 < t < ||Т||, и пусть целое число N > 2 и интервалы Д. = [cbQ+i]* ^ = 0,1, ...,N выбраны тик, что выполнены соотношения (7) и (9). Тогда

< aN(T) < cr¡SJhq£,

где константа cr>s¡p¡q зависит только от г, s, р, q.

Теорема 5 обобщает результаты Д. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харриса1, рассмотренные для случая пространств Лебега и 1 Р 5; Я < которые мы приводим здесь для полноты изложения.

Теорема1. Пусть l<p<q<oou интегральный оператор Т : Lp{R+) —)■ Lq(R+) компактен. Пусть для заданного е > 0 такого, что О < е < ||Т||, и целого N > 2 интервалы h = [с^,c^+i] и точки

0 = со < Cj < • • • < Cfj < cjv+i = оо выбраны так, что выполняются соотношения (7). (9) для пространств Лебега.

Тогда

а^+2{Т) < oq£, где aq — 1, если q ^ 2, и о2 =

vq£Ni~p < a¡v(T), где i/q = если и v2 = —j=.

4 V 2

Случай, когда 1 < q < р < оо, не был затронут в статье Д. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харриса1.

Пусть А' = L''(R+), У = Lq{R+). Рассмотрим случай, когда

1 < q < р < оо. Зададим достаточно малое 0 < е < ||Т|| и будем выбирать точки cj, сдг так, чтобы 0 = Cq < c¡ < cyv < c^+i — оо,

ВЫ = вы = (">)

где

= {/Л(Г ¡uWdt)4"1^1

а точки С2,Сз,...,слг_1 и интервалы = [а.,а-+1] выбраны так, чтобы выполнялось условие (9).

Теорема 6. Пусть 1 < г/ < р < оо и оператор Т : ЬР(И.+ ) —> Гу''(11+) ои<Эа (3) ограничен. Пусть для заданного О < £ < ||Г|| и целого числа N > 2 интервалы = [о..,с;-+|]. А' = 0,1,А7", выбраны так, что выполняются условия (9) (1"). Тогда

адг(Т) <е(ЛГ+1)Н,

^ < аЛ-+1(Т).

В связи с неявным видом указанных выше оценок возникает задача более точного описания асимптотического поведения аппроксимативных чисел в терминах весовых функций, которая решена в пространствах Лебега в случае 1<р = ^<оов работе

Д. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харриса2. Используя идею этой работы, мы обобщаем ее результат на случай, когда 1 < р, ц < ос. Положим

ЪЧ = 1171,фЛ]\\^ЧоЛ = вир^¡¿{¡'П^йт) (11)

Пусть последовательность {£„}, п £ Ъ, определяется формулой

Основным результатом параграфа 2.2 является следующая теорема. Теорема 7. Пусть весовые функции и £ ЩС(Я+), у £ Ц0С(В+) такие, что оператор Т : ЬР(Т1+} —» ЬЧ(И+) вида

Т/(х) = «(*) £/(*) "(О <11, х>0,

компактен.

ЯР

1) Если 1 < р < q < оо, V =-> 1 и У* агк < оо, то

Я+Р' ке z

1«(0П«'(0ГЛ)1/Г < _Ы.Па„[Т)

4 J[>

U

1mTNl'raN(T) < lpíl(J~\u(tW\v(t)\4t)Ur.

2) Если 1<о<?)<ос, - = — > 1 и У~ al < оо , то

tez

WWW dty < Jim. Nl-aN(T)

i Jv iV-> оо

U

ТшГАгал-(Г) < 7И(/0°°К01ГИ0|ГЛ)}.

гс?е 7р(, определена формулой (11).

Замечание. Теорема 7 обобщает основной результат работы Д. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харрнса2 (теорема 9) на случай 1 < p,q < оо, р ф q, а при 1 < р = q < оо улучшает его.

Представим результаты параграфа 2.3. По аналогии с теорией идеалов Шаттена - фон Неймана, мы определяем "нормы" (слабые "нормы") типа Шаттена - фон Неймана для аппроксимативных чисел оператора Т : U —> L4 как "нормы" ( слабые "нормы" ) в секвенциальных пространствах Is ( £swcai, ) в виде

/ 00 хl/s

ИЫ1к = (Е<

П— 1 '

(llKlllc = sup : йп > ' )■

Задача состоит в доказательстве двусторонних оценок указанных "норм" для оператора Т через функционалы от весовых функций и и v. Об этой задаче, в частности, упоминается в монографии X. Кеннга. Указанным оценкам для сингулярных чисел посвящены работы многих авторов. В частности, вольтерровским интегральным операторам с ядром, удовлетворяющим условию Р. Ойнарова, посвящена работа В.Д. Степанова.3

3Степанов В.Д. О сингулярных числах одного класса интегральных операторов // Доклады

РАН т. 336, N 4, 1994, с. 457-458.

В параграфе 2.3 диссертации получены искомые оценки для {и„(Т)} в "нормах" Р и С^.

Теорема 8. Пусть Т : V' —> Ь'1 - компактный оператор вида (.4),

г-«-,.

<7 + Р'

Если 1 < р < с/ < оо, то

< *> о,

|1К(г)}Ий(М, < счр,ятф)\\ы\\^ * > г,

11{«"(Г)}||р(к) < С'^Щз/г)* > Если 1 < д < р < оо, то

6-2^/-1)11{<Гя}11?,(г» - 1|{а"(Г)}|1''<^ * > О'

ЦЫТ),^^}^ < СЦР,Я)в(,/г)\\{ап}\\1.{2], з > г, ЦЫЛп1/»-'/'}!!^ < С-(Р,Я)Щз/г)\\{ап}ГеЧ2], з > г, где С(р,Я) - константа, зависящая только от р и а

ОО I

Р(з/г) = £ —Г-

Замечание. При р = <7 из теоремы 8 следует еще один основной результат работы Д. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д. Харрнса2 ( теоремы 24 и 25 ).

Пусть 0 < ,5 < оо и

где

^(/^«(оК'ЧГкоИ1''

и определяется по формуле / |<'(^)|7г/^ = 2~А'+|.

■/'Л

Положим

■Лч =

^"а'и-Ги'И"

Б параграфе 2.3 доказано, что если 0 < й < оо, 1 < р, <} < оо, то

А, ж В. х Л ~

где константы эквивалентности зависят только от />,</.

Следствие 1. Пусть Т : V' —> ¿' - компактный оператор айда

£?сл« 1 < р < ц < оо, 0 < « < <? < оо, то

)' 97^ I I I I \п\р \ " ( / " Ы' 1' ¡„(гМчНг'^' Если 1 < р < д < оо, 1 < 5 < я < оо, то

,,Л»/Р' / /-ОО , , , ,,, , \'/5

Если. 1 < р < ц < оо, г < б < оо, то

^елм 1 < ц < р < оо, 0 < 5 < I^ < оо, то £'с./;н 1<(/<р<оо, 1<<7<.$< оо, то

1/5

НЬ, СгиН

' (N) *

И^Чпгига" мГи*н'" * и***

Если, 1 < (¡ < Р < ОО. /• < .s < ОО. rrw

где C'(p,q,s) - константа, зависящая только от р, q и s.

Следствие 2. Пусть 1 < р < оо, 1 < s < оо, Т : Lv -> Lp -

компактный оператор вида (1), тогда

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук В.Д. Степанову за полезные советы, поддержку и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации.

1. Ломакина E.H. Об оценке аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов // Сборник научных трудов НИИ KT, выпуск 1, Хабаровск, 1993.

2. Lomakina Е., Stepanov V. On the compactness and approximation numbers of Hardy type integral operators in Lorentz spaces // J. London Math. Soc. (2) 199C, v. 53, p. 369-382.

3. Ломакина E.H., Степанов В.Д. Об операторах типа Хардп в банаховых функциональных пространствах на полуоси. 1996. ( Препринт / ВЦ ДВО РАН; N 9 )

4. Ломакина E.H. Асимптотические оценки аппроксимативных чисел оператора Харди в пространствах Лебега. 1997. ( Препринт / ВЦ ДВО РАН; N 17 )

5. Ломакина E.H. Оценки норм типа Шаттена - фон Неймана. 1997. ( Препринт / ВЦ ДВО РАН; N 18 )