Оценки характеристических чисел интегральных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Ломакина, Елена Николаевна
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Хабаровск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Ломакина Елена Николаевна
ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Хабаровск — 2006
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Дальневосточного государственного университета путей сообщения
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Гольдман Михаил Львович,
доктор физико-математических наук, доцент
Гордиенко Валерий Михайлович,
доктор физико-математических наук, профессор
Кусраев Анатолий Георгиевич.
Научный консультант:
__ доктор физико-математических наук, профессор, член-кецэр. РАН Степанов Владимир Дмитриевич.
Ведущая организация:
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.
Защита диссертации состоится 26 октября 2006 г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Автореферат разослал 20 сентября 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета * Гутман А.Е.
Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, Г. Вейля, И.М. Гельфанда и многих других авторов.
В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных значений и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, поряд-ково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).
Пусть 38 {X, Y) пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y. Аппроксимативные числа оператора Т € £${X,Y), определяемся как расстояние в Зё{Х, Y) между оператором Т и подпространством 33{X, Y) всех конечномерных операторов:
а„(Т) := inf{|jT — L\\x-,y '• L:X-*Y, rankL < n - 1}, n G N,
где rankL := dim ¿?(L).
Обозначим Y) класс всех компактных операторов из 38(X, У).
Пусть lim am(T) = 0, тогда Т е .Ж(Х, У), если же Т е S8(X, Y) и
т—»оо
lim am(T) = а(Т) > 0, то а(Т) называют мерой некомпактности
та—кэо
оператора Т.
В том случае, когда X = Y является комплексным гильбертовым пространством, аппроксимативные числа совпадают с сингулярными числами (s—числами), впервые появившимися в работах Э. Шмидта. Пусть Т 6 сЖ(Х), тогда Т*Т имеет положительный самосопряженный
квадратный корень |Т| := (Т*Т)1/2 € Ж{Х). Тогда
sn{T) := А„(|Т|),п 6 N,
где собственные значения А„(|Т|) берутся в убывающем порядке и с. учетом кратности. Поведение s—чисел и их мажорантные свойства по отношению к собственным значениям исследовались в классических работах Г. Вейля и им посвящена обширная монографическая литература. Аппроксимативное свойство s—чисел
s„+i(T) = inf{||T - L\\x^x : rankZ, < n},
доказанное в 1957 г. Д.Э. Аллахвердиевым, послужило основой для определения а—чисел. Первоначальные основы теории о—чисел разработаны А. Пичем.
Другим важным примером характеристических чисел являются энтропийные числа еп(Т), п € N, (е—числа) оператора Т & £$(X,Y), определяемые как точная нижняя грань множества всех чисел е > О, для которых существуют элементы yi,..., ym € У, где тп < 2п~1 та^Ь
'т ^Иг
что Т{ВХ) С [J {уi + eBY) , т.е.
3=1
m
еп(Т) :=¡nf{e > 0 : Зуи ...,ymeY,m< 2""1 : Т(ВХ) С \J (Vj + eBY)},
з=i
где Вх := {х € X : Цх'Цх < 1} —единичный шар в X, By единичный шар в У.
Апроксимативные числа также тесно связаны с другими характеристическими числами линейных ограниченных операторов. Следуя монографии А. Ппча1 приведем следующие определения: п-е число Гелъфапда оператора Т G У)
Сп(Т) := inf{ \\TJ$\\ : MCI, codim(M) < n},
1Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Geest Portig, Leipzig, 1Ö87.
где J%f означает каноническую шгъекцшо из подпространства М на
jx т
банахово пространство X, т.о. М —^ X —► У. п-е число Ко.лмогорова
dn(T) := inf{ ||Q&T|| : NCY, dim(N) < n},
где Qx есть каноническая сюръекция из банахова пространства У на
Т Q^'
фактор-пространство Y/N, т.е. X -—* Y -Ш* Y/N. п-е число Вей.ая
хп(Т) := sup{ ап(ТЕ) : ЕеЩ12)Х), ||В|| < 1},
п-е число Гильберта
hn(T):= supMFTE) : Е G &(l2,X),F € l2), ||£Ц < 1, ||F|| < 1}.
Соотношения между характеристическими числами оператора Т € Y) содержатся в следующей теореме.
Теорема 1.(А. Пич.) Пусть Т € £8{X,Y). Тогда
К(Т) < хп{Т) < с^Т) < ап{Т), hn(T) < dn{T) < ап(Т), (ü) ап(Т)<2п1'2сп(Т), ап{Т)<2пУЧп{Т), (ш) hn(T) <2e„(T), Сп(Т) < пе„(Т), dn(T) < пе„(Т). Пусть X - гильбертово пространство иТ 6 .Ж{X). Тогда
hn(T) = хп(Т) = d„(T) = сп{Т) = ап(Т).
Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т 6 £Й(Х, У).
Исследованию характеристических чисел посвящены работы многих авторов. В отечественной литературе это в первую очередь относится к изучению операторов вложения — П.И. Лизоркин, В.Г. Мазья, . К.Т. Мынбаев, М.О. Отелбаев и др., и к задачам теории приближений
В.М. Тихомиров и др. Кроме того, различные вопросы, касающиеся поведения характеристических чисел освещены в книгах А. Пича, X. Кёнига, Д.Э. Эдмундса и В.Д. Эванса, и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.
Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса,2 в пространствах Лебега на полуоси М+ (0, оо), начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди
Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в ботах Д.Э. Эдмундса и В.Д. Степанова для операторов с полиномиальным ядром, Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степановым на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е.И. Бережного [1], [3]. В работе И. Ньюмена и М.З. Соломяка3 получены асимптотические формулы для сингулярных чисел оператора Римана — Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм, не переносятся на негнльбертов случай. Далее, Д.Э. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис4 предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора K:LP—*LP ступен-
2Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // J. London Math. Soc. 1388. V. 38. (2). P. 471-489
3Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integr. Equat. Oper. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.
4Bdmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. TVo-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. IB97. V. 124. P. !i9 80.
(1)
чатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел, а также оценок £а—норм Шаттена — Неймана последовательности а—чисел. Эти результаты на случай К : Lp —> L4, 1 < p,q < оо были обобщены в работах E.H. Ломакиной, В.Д. Степанова ¡4, 5]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике «—чисел и е—чисел оператора К : Lp —> Lq содержится в работе М.А. Лифшица и В. Линде5, где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 < р, q < оо, кроме случая 1 < р <1 < q < оо, где оценки сверху IT снизу расходятся.
Цель работы. Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана — Лиувилля.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и теории линейных интегральных операторов.
^^ Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Получены асимптотические оценки поведения характеристических чисел операторов Харди с одним переменным пределом интегрирования S,T : LP(M+) —► Lg(R+), при l<p,q<oo, вида
Sf(x) = v{x) u(y)f(y)dy и Tf(x) = v(x) u{y)f{y)dy.
С помощью специального разбиения и блочно диагонального представления оператора получены асимптотические оценки характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегриро-
5Lifshits М.А., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volterra operators with application to Brownian motion // Mem. Am. Math. Soc. 2002. V. 745, P. 1-87.
вадия II: —► £в(М+), при 1<р,д<оо,
гЯ*)
^ГЩХ)
«(у)/(у) ¿У-
¡р(х)
2. Даны оценки 1а—норм и слабых 1а—норм Шаттена — Неймана для операторов с одним и двумя переменными пределами интегрирования. Установлена эквивалентность норм Шаттена — Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора
(Ессп) ,
где 1<р<оои1<а<оо.
Получена оценка сверху для оператора Н : £/р(К+) —* ЬР(ШЛ) ^^ двумя переменными пределами интегрирования ^^
«(еОМ'"Х{Сн'Тшг<1*) ' ■
где Ут Дт = и^ЛСт, Ст+1) =К-+ специальное разбиение полуоси. Для случая Н : ¿2 (К') —> //г(К+) и 1 < а < оо доказана двусторонняя оценка
» г ( \а/2 / \?_1 \1/а
+ J2JAU(nu ШyJ (^у У2(хУ1х) ь2(х)с1х | .
причем, для 2 < а < оо этой эквивалентности можно придать более компактный вид.
Получены оценки на собственные значения операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.
3. Доказаны точные асимптотические оценки поведения а—чисел и е—чисел классического оператора Римана — Лиувилля Та : Ьр(0,1) —» Ьч{0,1). Получены оценки аппроксимативных, энтропийных чисел, чисел Колмогорова, Гсльфанда, Вейля и чисел Гильберта оператора Та,„ : Ьр(0, оо) —► Ьч(0, оо), при 1 < р,д < оо,
Та,„/(х) ь(х) Г(х - уУ'^Шу, х > 0. а € N. и о
а также приведены оценки а—чисел двойственного оператора Римана ^ Лиувилля.
^Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в дальнейших исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теории интегральных уравнений и теории приближений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска.
Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе конференции по анализу и геометрии, посвящеп-ной 75-лстию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.), на
Дальневосточной математической школе семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.)
Публикации. Основные результаты опубликованы в 1998 - 2006 годах в работах [1] - [11], список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 150 страниц, библиография включает 96 наименований .
Содержание работы.
Перейдем к изложенияю основных результатов диссертации.
Пусть 1 < р < оо. Обозначим LP(R+) пространство Лебега всех измеримых функций с конечной нормой
аоо \ 1 /р
\f(x)\pdxj .
Первая глава диссертации содержит вспомогательные результаты и посвящена исследованию асимптотического поведения а—чиг^Ь интегрального оператора II: LP(R+) —► с переменными предав
лами интегрирования вида
<y)f{y)dy, (2)
где и{у) е V>c(R+), v(x) е и <р(х), ф{х) возрастающие
дифференцируемые функции такие, что <р(0) = 'ф(О) — 0, iр(х) < ■ф(х) для х 6 (0,оо) и f/?(oc) = -ф(оо) = оо. Для функций, обратных tp и ф будем использовать символы ip~l и •0-1.
Остановимся на изложении основных результатов и методов первой главы. Сначала мы получаем оценки а—чисел операторов с одним переменным пределом интегрирования
Sf{x) = v(x) / v{y)f{y)dy (3)
j о
r<x>
Tf(x) = v(x) / u(y)f(y)dy. (4)
Введем следующие обозначения: пусть последовательность {£n}nez задана формулой
nKS»)
и(Ш»)) = I W¿)lp dt = 2n, -оо <п<Щ< оо. (5)
Заметим, что если ||w||zy = оо, то {'</)(£„)} существует для всех п 6 Z, т.е. Аг.ф — оо. Определим
Тогда
^^ Аналогично, для интегрального оператора Т : /^(R*) —> L9(M') ^Чададим последовательность {rn}nez следующим равенством
roo
РШ)=/ \u(y)fdy = 2~n, -оо <n<Np<<oo, (6) и положим
Тогда
( <) = [J2 Н"11 VMrO^r^wllwllL.írn.r,«) ) • \neZ / \nez /
Пусть 1 /г = 1/р' +1/(7, определим параметр
{1, 1 < q < р < оо,
1 /г, 1 < р < q < 2, 2 <р <q < оо, (7)
1/2 + min{l/p', 1/g}, 1<р<2<д<оо.
Первым результатом первой главы являются асимптотические оценки а—чисел для операторов S и Т, обобщающие оценки Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса, М.А. Лифшица и В. Линде.
Теорема 2. Предположим, что весовые функции и & Lpijoc{xi+), и S Lg,jüc(K+) такие, что операторы S : LP(R+) —+ L7(R+) и Т : Lp(R+) —+ Lg(K+) определенные формулами (3), (4) компактны.
1.1) Пусть X = min{l, 1/г}, Д = (о,Ь) С К+, J = (ip(a),if>(b)), S : LP(J) L„(A). Тогда
ci(p,q) (^J \и(г1>{х))\Т\у{х)\Т{ф'(х?)у!р'dx^ ' < limmfnA«„(5) <
< lim sup nxOn(S) < c2(p,q) ( f Iti^CïJjriwWr^Wr^d®') ' •
П-ЮО \J Д /
1.2) Пусть X = min{l, 1/r}, Д = (a, 6) С R+, I = (<p(a),(p(b)), T : LP(J) Lq(A). Тогда
ci(p,q)( [ \и(<р(х))\г\у(х)\г(<р'(х))г^^У <liminf nxan{T) < \J a J
< lim sup rzAa„(T) <c2(p,q) ( f |иМ*))|>(®)Г№))г^й®У/Г ■
«->°o \Ja }
2) Пусть S,T : Z,2(K+) L2(R+), ^ àn < oo, ^ £„ < oo.
nez nez
Тогда
1 Г°°
limnan(S)=-j \u(ip(x))\\v(x)\y/rj>'(x)dx
и
1 Г°°
Ъш nan(T) = |«(v>(®))||«(®)|y/^)dx.
3) Пусть 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo с X = min{l, 1/r} и < oo> <
nez nez
,1/r
Or oo \ 1/r
' \u{ij>{x))\r\v{x)\r{ip'{x))r'p'dx ) < lirainf nAa„(S) 0 J n-*oo
<
<
и
1нпзирпАап(5) < С2(р,я) ( Г \и(ф{х))\т\у(х)\г(ф'{х))г'р'<1х)
п-юо \./0 /
С1(Р,9) |«М®))Г1«(®)Г(^(®))г/,,ГЛгу/,< МпЧ(Г)
0ЛОО Ч 1 /Г
о /
4) Пусть 1 < <7 < р < оо «л« 1 < р < д < 2, иди 2 < р < д < оо с А = шш{1,1/г}. Тогда
йир пАа„(5) < С1(р, з) ( К ) , \пег /
вир пАа„(Т) < с2(р,д) .
Чпег }
> < 2 < <
Чпей / \п€2
аоо Ч 1/г
< ИтвирпЛа„(5) < т£ I 1М11%!М1аддк)
5) Пусть I<P<2<9<00, Л = 1/2 + тт{1/р', 1/д}, л / \ л
} < оо- Тогда
1/г
<
С1(р,д) Г < 1ипт£пАОп(Т) <
\./о / 00
< ШпзирпАОп(Т) < с2(р,д) Ы | 1М|£(Л)1М11С(л*)
где т£ берется по всем счетным разбиениям интервала _ - 13-
6) Пусть 1<р<2<д<оо, А=1/2 + гшп{1/р', Тогда _
^ирпЧ^^р^/у^уЛ , кирплап(Г) <с2(р,■ \п€2 / " Чпег /
Далее, для исследований асимптотики а—чисел оператора Н с переменными пределами интегрирования мы строим специальное разбиение полуоси (0, оо) = иДъ где Д = [С*. Он-О 11 йь = [%> %-и)
к
определяются для А: 6 X следующим образом:
Со = 1, % = ^(1), т = ^(1).
Ск+1 = (<р-1оф)к(1), кех, щ = Мир-1 о 1), к е:
(8)
■ф{х)
<р(х)
Рис.1. Специальное разбиение полуоси.
Мы скажем, что оператор В : ) —► имеет блочно
диагональное разложение, если существуют два семейства дизъюнктных интервалов {Я*}, {Д*} такие, что (0, оо) = Ць*'*! (О, оо) = Ак и
к
Пусть
РкШ = хьШ(у), <?*/(*) = х *»(*)/(*), вк = Якврк
и обозначим Вк сужение Вк на Ьр(8к), т.е. Вк/ = Вк/ для всех / е Ьр(5к). Тогда а(Вк) = а(Вк) и отметим, что при 1 < р < q < оо
\\В\\Ьр->1, = зирЦВ^Ц^^ = аирЦВАЦ^^)^^). к к
Имеем
+ь (9)
к к к к где операторы Ф и Ф имеют блочно-диагональное разложение, и на каждом участке разбиения, когда х 6 Д* = [С*;, См 1), выполняется равенство
Г1>(С*) Г-Ф{Х)
Н/(х) = ь(х) / и(у)/(у)Лу + v(x) / и(у)/(у)Иу, ¿•Л*) ->Ш)
которое позволяет в дальнейшем использовать результаты, апалогич-
.1е полученным для операторов (3) и (4) с одним переменным преде-
Напомним, что счетная функция последовательности {«„(£?)} задается в виде
n(t,a(B)) = card {к & N : ак(В) > t}, t > 0. (10)
Ключевую роль для получения асимптотических оценок аппроксимативных чисел играет доказанная в работе лемма о счетных функциях компактного оператора.
Лемма 1. Пусть 1 < р < q < 00, В : Lp(R+) —> Lg(M+) компактный оператор, имеющий блочно диагональное разложение
В = У ] Вк. Тогда для всех е > 0 к
n{e,B)<Y,n{e,Bk). (11)
к
Данная лемма позволяет получать оценки сверху для а—чисел операторов, имеющих блочно диагональную структуру.
Пусть последовательности {£к,„} 6 Дк и {т^} е Дк заданы по аналогии с формулами (5) и (6) следующими соотношениями
гчК&.») , МСк+г)
гШк.п) ,
/ \u{t)\pdt = 2n, / \u{t)fdt = 2~n.
Ji>{ С*) Л>(г*,„)
:м
VKn = ( / КОКЛ / [v(ar)|«d®]
О ) )
( гЛ^-) , \ 1/р' / /•ri.n+1 Л 1/?
/ |u(t)|p& / .
Основные результаты первой главы диссертации содержатся в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть 1 < р < оо, оператор Н : LP(R+) —> вида (2) компактен и <Jk,n < оо, < оо. Тогда вь^^
к п к п
полняется оценка сверху
ümsupna„(tf)< (|u(tp(cc))|((p'(^)Vi,'-+l«(V,(a:))l(V''(2;))1/p') dx,
п—«оо J о V /
в случае р = 2 имеет место эквивалентность limsup па„(Я)и f ¡ü(x)| i|u(y(z))jv/V7(5) + ¿я-
П-.00 JO J
2) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo, l/r = 1/p' + \/q и А = min{l, 1/г}. Оператор H : Z,,(R+)
компактен и ^¡Г^ < оо, ^Г^ ^Г^ < Тогда
к n _ к n ^^
rt. '» № T»
limsupпАа„(Я) «fei/" l«(®)n«(v(®))|r(v'( { fceZ L/д*
+
¡tez
UAt
3) Пусть l<p<2<q<oo с X = 1/2 + miii{l/p', 1/q}, оператор
H : LP(R+) Lq(R+)
компактен
k n f
limsupnxan(H) < <
n
.m—1
+
+ £ k
Vm-l
гс?е inf берется по всем конечным дизъюнктным разбиениям ßk = {Ajt.bAfc,2)...Afc,jv} интервала Ak.
Используя соотношения между а—числами и другими характери-
f|tноскими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-
анда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования.
В 1918 году Ф. Рисс6 опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур7 еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным
6Ríesz M. Über line&re Functionalgleichuiigen // Acta Math. 41. 1918. P. 71-08.
7Schur I. Über die characteristiachen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen. // Math. Ann. 66. 1909. P. 488-510-
ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые, бы гарантировали, что поаледовате.п,ьпостъ собственных чисел {Ап} принадлежит пространству 1Т при 0 < г < оо. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует, более быструю сходимость собственных чисел оператора.
Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль8 в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве
К(Т)} € £г влечет {|АП(Т)|} 6 ir.
Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг9 получил следующий результат.
Теорема 4. (Г. Кёниг) Пусть В е Jff{X) и а 6 (0, оо). Тогда с ществует константа Са, зависящая только от а такая, что
(\ 1/а , \ 1/а
Е |А?(В)М < са iE 1 .
где otfc(jB) k-e аппроксимативное чисао оператора В.
Нахождение оценок норм Шаттена — Неймана для сингулярных чисел оператора Римана — Лиувилля началось с работы И. Ньюмана и М.З. Соломяка, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негильбертов случай. Далее, Д.Е. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис предложили альтернативный метод
8Weyl Н. Inequalities between the two kindsof eigenvalues of a linear transformation // Proc. Nat. Acad. Sei. USA № 35. 1949. P. 408-411.
9König H. Eigenvalue distribution of compact operators // Birkhäuser Boston. 1986.
ß
и получили оценки норн Шаттена — Неймана для оператора Харди К : Ьр —> Ьр, которые в дальнейшем были обобщены в работе [5] для К : Ьр Ьч при 1 < р, < оо.
Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена — Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н : —+ Ья(К1) с переменными пределами интегрирования.
Будем говорить, что оператор В принадлежит классу Шаттена — Неймана 1 < а < оо, если (а„(В)} € £а, при этом
е ОО х 1/а
1|В|к = ||{о4(В)}|к = (Еда))
И В € За,икак, если
= ||{а*(В)>1к,. = вир г(п(г,а(В))1'\ £>0
где счетная функция последовательности {ап(.В)} задается формулой (10). Известно, что
^ = (а а(В))^у/а.
Пусть п о с л од о в ят алы I ост и {£„} и {т„} определяются формулами /•Ми)
и(ф{&)) = / |и(*)|> «Й = 2", -оо<п<^< оо,
Jo
1^(2/)|р' ду = 2~п, п€2, -оо < Ы^ < п < оо.
Р(Гп)
Обозначим
Сначала мы устанавливаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть 1 < а < оо, операторы S : £р(Е+) —► LP(E+) и Т : 1<р(К+) —» Lp(R+) определенные формулами (3), (4) компактны. Тогда
IML«- ML«и llb(:r)}IL,
INL> - IMIL и lib^lL-
Эти важные соотношения следуют из эквивалентности счетных функций последовательностей {а к} и {(ik(S)}, {хк} и {ак(Т}}, которая доказывается в серии лемм 2.2.1-2.2.7 главы 2 диссертации.
Далее, для операторов S и Т мы рассматриваем функционалы Ja ~ J'a, Ia ~ l'a, зависящие от весовых функций:
0ЛОО/ ,оо Д р-1 / rV'Hv) \а/Р , \1/а
: Ц '"'') u м') ■
Следующие теоремы устанавливают эквивалентность указанных функционалов нормам Шаттена Неймана.
Теорема 6. Пусть 0 < а < оо, 1 < р < оо, тогда
и
Ja —
О гоо / н>[х) д«/р'/ ГОО \f"l \1/а
i (L w*) (/мр) w""") ■
и
Из доказанных выше оценок, для компактных операторов с одним переменным пределом интегрирования мы получаем два следствия. Следствие 1. Пусть 1 <р<оо, 1 < а < оо, 5: £Р(К+) —> £Р(К+) компактный оператор определенный формулой (3). Тогда
Следствие 2. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо, Т : —>
компактный оператор определенный формулой (4). Тогда
(еЦ00(I"¡«(и)!"'^)? г. •
Далее, блочно диагональное представление (9) и лемма 1 о счетных функциях позволяют получить верхнюю оценку для компактного опе-^^^ора Н с переменными пределами интегрирования
(? Н * (?(£. Н'Г Ж? |"к)
где Ат = [Сш, Ст+г) есть специальное разбиение (8), (см. рис.1).
При р = <7 = 2 мы существенно уточняем предыдущие результаты,
используя следующий вспомогательный результат.
Лемма 2. Пусть В : —► £г(М+) - компактный оператор,
гичеющий блочно диагональное разложение В = У ] Вь. Обозначим
к
\В\ = {В*В)1'2 = ЩВь)1'2, <7(|В|) и ст(|2?*|) спектры операто-к
рое \В\ и\Вь\, соответственно. Тогда
к
В силу представления оператора Я и предложения 610(етр. 123), для 1 < а < оо, имеем ИФ^ < ||Я||3„, ||Ф||а. < \\H\\Sa, что дает возможность получить оценки снизу:
00 г ( /"¿(я) \tt/2/ /-a+i \ f-1
1|{^(Ф)}Ц?„»ЕУд ( } ^Шу) [] v2(x)dxj V*(x)dx,
а также
~ г / Mb+i) \а/2/ г* \f-i
1|{а»(Ф)Щ » £ / / ( v\x)dx\ v\x)dx,
trtJbk ) \Jc* j
на основании которых мы получаем следующий критерий.
Теорема 8. Пусть Н : L2(R+) —> L20&+) компактный оператор определенный формулой (2) и 1 < а < оо. Toada
{Си'Шв)' ОТ ■ •
При а = 2 в предыдущей формуле имеет место равенство, а при 2 < а < оо ей можно придать еще более компактный вид, для чего нам потребуется еще одно определение.
Для функций. <f(x) к ф{х) оператора (2) определим фарватер функцию <т(х) такую, что <р(х) < а(х) < ф{х) и
f(x) fi>(*) / vr(y)dy = / u2(y)dy J lfi(x) J a(x)
для любого хем+.
Следствие 3. Пусть Н : ¿г(К.+) —> компактный оператор
10Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Сведение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
определенный форму.пой (2) и 2 < а < оо. Тогда
(е "°(1)<!1)"■
Заметим, что по теореме 1 аналогичные эквивалентности имеют место для других характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегрирования, а также из пролученных результатов для аппроксимативных чисел, используя теорему 4, мы можем получить оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.
Теорема 9. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо и 5,Т, Я : ЬР(М+) -+ компактные операторы определенные формулами (3), (4) и (2). Тогда
(|>(т)г) « \/}и(гУР(и)'
(I |мяг) Ч? (/-МР) ?_Х0С •7
Непосредственным одновесовым обобщением операторов (1) являются операторы Римана — Лиувнлля
Та^{х)-ь{х) Г{х-у)а'1Цу)д.у, х> 0, (12)
J о
где а > 0.
Исследование асимптотик аппроксимативных и энтропийных чисел оператора Та,„ : £р(0, оо) —> ¿,(0, оо) при р ф д, а ф 1 ранее не предпринималось. Третья и четвертая главы диссертации восполняют этот
пробел для целых а > 1, обобщая II дополняя результаты работ М.А. Лифшицаи В. Линде, М.З. Соломяка,11 И. Ньюмена и М.З. Соломяка. В третьей главе изучаются аппроксимативные числа оператора
Т
Для 1 < р, ? < оо, о 6 N положим
1 1 1
- := а---Ь -,
г Р Ч
а также
а, 1 < д < р < оо
А:= 1г=а~р + а' 2 < р < д < оо (13)
1 • /1 „ а — — + пип (—,-), I<P<2<0<00. 2 Ч)
Кроме этого доказаны точные асимптотические оценки а—чиссл и е—чисел классического оператора Римана — Лиувилля.
Теорема 10. Пусть абМ, 1 < р,д < оо. Тогда оператор Та : Ьр{0,1) —> Ьч{0,1) компактен и с константами су = с\(р, (¡) сг = с2(р,д) > 0 выполняются асимптотические оценки: ^^
(¡) для любых 1 < р, ^ < оо
сщ-а < &п{Та) < с2п~а;
(1!) для 1 < р, д < оо
сщ~Л < (^(Та) < с2п~х,
где А определена формулой (13). Введем следующие обозначения:
|м|г := ОТ 1/г » Нг - (е
г/г
"Solomyak M. Estimates of the approximation numbers of the weighted Riemann—Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371-383.
М,,оо := | {Sk}\lrx = sup {к + l)l/r6*k + sap, k>0 k< 0
где
a2k+, \ 1/9
\v(x)\4x\ ,fceZ,
{¿l}k>0 и {i+>fc<0 убывающая и возрастающая перестановки. Пуегь
Ч 1/91 "А>А
Mv) :=inf [J2
|ЛГ1/Р Qf \v(x)\"(bj
где infimum берется по всем счетным непересекающимся разбиениям
(О, оо) = (_J Д полуоси на интерваты {/*} такие, что fcejr
card {/с б JST : Ik П А ^ 0} < оо, для любого компакта А С (0, оо).
Пусть v € 1<+ означает, что |w(s)| приближается снизу монотонной последовательностью конечнозначных интервальных ступенчатых функций, т.е.
• О < Vj{s) = ]Г akxikJ{s) Т |ф)|
kcje-
для почти всех s 6 (0, оо).
Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме.
Теорема 11. Пусть 1 < p,q < оо, а € N и оператор Ta>v : Lp(0, оо) —► Lg(0,оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, Cj, сг абсолютными, U.HU зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки:
(i) при 1 < q < р < оо
ClHr.00 < sup па (^(Т«^) < C2|v|r, (14)
п
(ii) ec.au 1 < р < <7 < 2, 2 < р < q < оо или 1 < р < 2 < q < оо, то
sup nAen(TQi„) < c|u|i/a, (15)
(iii) если 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo и |u|r < со, то
lim sup nA an(Ta>v) < ф||г, (16)
n—»oo
(iv) если l<p<2<g<oo и < oo, то
lim sup пл a„(TQtv) < cßx(v), (17)
n—»oo
(v) если 1 < p, q < со и v € L+, то
c|H|r < liminfnxo„(TaJ. (18)
n—>00
Оценка (ii) при p = q установлена в работе М.З. Соломяка при любых а > 1. При а = 1 и без условия v € IA теорема 10 получена в работе М.А. Лифшица и В. Линде, где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (1) с помощью изоморфизмов Lp — пространств при которых оператор интегрирования (1) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (12) при а ф 1 при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому в третьей и четвертой главах диссерт^ ции рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойственного оператора
fOO
n,J(x) ■■= / (У - х)"-МУ)/ШУ, * > о-
Jx
Уже из теоремы 10 видно, что случай параметров 1 <р <2 <q < oo является особым. Для оценок а—чисел оператора TatV данный случай также потребовал более сложной конструкции с привлечением орто-нормированной системы полиномов на отрезке.
В четвертой главе рассматривается асимптотическое поведение энтропийных чисел оператора Та „. Основным ее результатом является следующая теорема.
Теорема 12. Пусть 1 < р, q < оо, а е N и оператор To v : Lp(0, оо) —► Lq(0, оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, ci, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются, следующие оценки:
(i) при 1 < р < q <2, 2 <р < q < оо или 1 < р <2 < q < оо
sup пА еп(Т„,„) < фЬ/л, (19)
п
где параметр А определен формулой (13),
(ii) при 1 < q < р < оо
ci|«|r.«> < sup naen(Ta,v) < c2\v\r, (20)
n
(iii) при любых 1 < p, q < oo
ciMr.oo < supnae„(Ta,u), (21)
n
(iv) при 1 < p,q < oo ut)6 L+
ф c||u||r <lii-ninfnQen(Ta,„). (22)
Для получения верхних оценок е—чисел мы используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами12: д.ля Т <Е -38{X, Y) и любого s > 0
sup TV*en(T) < cssup тг"ап{Т).
n n
Оценки снизу (20), (21) энтропийных чисел оператора (12) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров.
Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана — Лиувилля.
12Carl В. Entropy numbers, я—numbers and eigenvalue problems // J, Funct. Anal. 1981. 41. P. 290-306.
Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством члена корреспондента РАН, профессора В.Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В.Д. Степанову за многолетнее сотрудничество, доброе внимание и поддержку.
Также автор благодарит за финансовую поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (проекты 97-01-00604, 00-01-00239, 0301-00017), INTAS (grants 94-881. YSF 99-4005), Министерство образования РФ (проекты 10.98 ГР, Е-00-1.0-215), Дальневосточное отделение РАН (проект 05-111-01-12).
Работы автора по теме диссертации.
1. Ломакина E.H., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространсвах на полуоси // Докл. РАН.
1998. Т. 359. № 1. С. 21-23.
2. Lomakina Е. and Stepanov V. On tlie Hardy-type integral operators in Banach function spaces // Publ. Mat. V. 42. 1998. P. 165-194.
3. Ломакина E.H. Оценки аппроксимативных чисел оператора
ди в пространствах Лоренца // Сборник научных трудов НИИ KT. Раздел математика.- Хабаровск: Изд-во Хаб. гос. техн. ун-та.
1999. Выпуск 8. С. 45-52.
4. Ломакина E.H., Степанов В.Д. Об асимптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена — Неймана интегрального оператора типа Харди // Доклады РАН. Т. 367. №5. 1999. С. 594-596.
5. Lomakina Е., Stepanov V. On asymptotic behavior of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy type integral operators // Function spaces and application. Narosa Publishing Hause. New Delhi. 2000. P. 153-187.
6. Lomakina E.N. The boundedness of the generalized Hardy operator with variable limits of integration // Computer Center, Far-Eastern Branch of RAS. Research Report 46. Khabarovsk: 2000, 36 pp.
7. Lomakina E. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy integral operators with variable limits of integration. // Computer Center, Par-Eastern Branch of RAS. Research Report 51. Khabarovsk: 2001, 28 pp.
8. Ломакина E.H. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов I // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 1. 2003 г. С. 178-192.
9. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов II // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 2. 2003 г. С. 372-388.
Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римаиа
- Лиувилля // Доклады РАН. Т. 403. № 5. 2005. С. 598-599.
11. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римаиа
— Лиувилля // Математические труды. Т. 9. №1. 200G г. С. 52-100.
Список обозначений
N множество натуральных чисел
Z множество целых чисел
R+ (0, оо)
Jff либо конечное, либо счетное бесконечное индексное
множество
I = |_| Ik представление интервала / С (0, оо) в виде
keJtr
объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Д dim размерность образа оператора L
Ш(Х, У) класс всех линейных, ограниченных операторов
действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y Ж(Х, Y) класс всех компактных линейных операторов
действующих из банахова пространства X ^^ в банахово пространство Y A В А < с • В, где константа с > 0, абсолютная или
зависит только от р, д, а ЛЙВ Л -В <С Л
:= определение новых величин
□ конец доказательства
Всюду неопределенности вида 0 • оо, 0/0, оо/оо полагаются равными нулю.
Ломакина Елена Николаевна
ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Сдано в набор 28.0S.2006. Подписано в печать 30.08.2006. Формат 60x84'/is. Бумага тип. № 2. Гарнитура Times New Roman. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,9. Зак. 265. Тираж 100 экз.
Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1.1. Оценки характеристических чисел оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования
§ 1.2. Оценки характеристических чисел оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования
Глава 2. ОЦЕНКИ НОРМ ШАТТЕНА - НЕЙМАНА ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 2.1. Предварительные результаты
§ 2.2. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования
§ 2.3. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования
Глава 3. ОЦЕНКИ АППРОКСИМАТИВНЫХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
§ 3.1. Предварительные результаты
§ 3.2. Преобразования
§ 3.3. Оценки an(TaiV) на конечном интервале
I = (а, Ь) с (0, оо)
§ 3.4 Оценки an(Ta>v) на конечном интервале в случае 1<р<2<д<оо
§ 3.5. Оценки сверху an(TQjV : Lp(0, оо) -»• Lq(0, оо))
§ 3.6. Оценки СНИЗу CLn{Ta,v '• Lp{0,oo) -> Lg(0,oo))
§ 3.7. Оценки аппроксимативных чисел двойственного оператора Римана - Лиувилля
Глава 4. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
§ 4.1. Предарительные результаты
§ 4.2. Оценки en(TQ)U : Lp(0,oo) Lq(0,oo))
§ 4.3. Асимптотические оценки чисел Гельфанда, Колмогорова, Вейля и Гильберта оператора Римана - Лиувилля
Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, Г. Вейля, И.М. Гельфанда и многих других авторов.
В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных чисел и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, порядково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).
Пусть У) - пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.
Аппроксимативные числа оператора Т G &(X,Y), определяются как расстояние в &(X,Y) между оператором Т и подпространством Y) всех конечномерных операторов: an(T):=M{\\T-L\\x^Y- L: X ->Y, rankL < n - 1}, n G N, где rankL := dim
Пусть S,T G &(X,Y) и Re &{Y,Z). Аппроксимативные числа обладают следующими свойствами: i) ||T|| = ai(T)>fl2(T)>.>0; ii) an+mi(T -f S) < an(T) + am(S), для всех n, m G N, iii) an+mi(.R о T) < an(T) ■ am(R) для всех n, m G N. iv) an(T) = 0, если rank T <n.
Обозначим <Ж(Х, Y) класс всех компактных операторов из ЗВ(Х, Y). Пусть lim am(T) = 0, тогда Т G X(X, У), если же Т G Y) и m-too lim am(T) = a(T) > 0, то а(Т) называют мерой некомпактности
ТП-* 00 оператора Т.
В том случае, когда X = Y является комплексным гильбертовым пространством, аппроксимативные числа совпадают с сингулярными числами (s—числами), которые впервые появились в работах Э. Шмидта.
Пусть Т G Jf(X), тогда Т*Т имеет положительный самосопряженный квадратный корень, \Т\ := (ТТ)1/2 6 Х(Х) и для всех п G N sn(T) := А„(|Т|), пе N, где собственные числа АП(|Т|) берутся в убывающем порядке и с учетом кратности. Поведение s—чисел и их мажорантные свойства по отношению к собственным числам исследовались в классических работах Г. Вейля и им посвящена обширная монографическая литература [11], [56] и др. Аппроксимативное свойство s—чисел sn+l{T) = inf{||T - L||M : rankL < n}, доказанное в 1957 г. Д.Э. Аллахвердиевым ([И], стр. 48), послужило основой для определения а—чисел. Первоначальные основы теории а—чисел были разработаны А. Пичем [27], [65].
Другим важным примером характеристических чисел являются энтропийные числа еп(Т), п G N, (е—числа) оператора Т Е &{X,Y), определяемые как точная нижняя грань множества всех чисел £ > О, для которых существуют элементы у\,., ym Е Y, где т < 2n1, такие т что T(Bx)c\J{yj + £BY},T.e. з=1 т еп(Т) :=inf{e > 0 : 3 yh .,ymeY,rn< 2n~l : Т{ВХ) С |J {yj+eBY}},
3=1 где Вх •= {х 6 X : ||z||x < 1} - единичный шар в X, a By ~ единичный шар в Y.
Энтропийные числа обладают следующими свойствами: для S, Т G $В(Х, Y) и Я G Z) i) im| = ei(T)>e2(T)>.>0; ii) en(T + 5) < en(T) + \\S\\, n G N;
Hi) en{R о T) < en(T) ■ ||R\\. n G N. (0.0.1)
Апроксимативные числа также тесно связаны с другими характеристическими числами линейных ограниченных операторов. Следуя монографии [65] приведем следующие определения: п-е число Гелъфанда оператора Т G У) сп(Т) := inf{ \\TJ$\\ : МСХ, codim(M) < n}, где Jm означает каноническую инъекцию из подпространства М на jx т банахово пространство X, т.е. М X —У. п-е число Колмогорова
4(Т) := inf{ \\QynT\\ : NCY, dim(N) < n}, где Qtx есть каноническая сюръекция из банахова пространства Y на т QY фактор-пространство Y/N, т.е. X —> Y —^ Y/N. п-е число Вейля хп(Т) := sup{ ап(ТЕ) : Е G Щк,Х), \\Е\\ < 1}, п-е число Гильберта
К(Т):= sup{an(FTE) : Е G 8(l2,X),Fe \\Щ\ < 1,1И1 < !}•
Соотношения между характеристическими числами оператора Т G ^(Х, Y) содержатся в следующей теореме.
Теорема 1. [27], [56]. Пусть Т € ЩХ,У). Тогда i) hn(T) < хп(Т) < Сп{Т) < ап(Т), К{Т) < 4(Т) < ап{Т), ii) ап(Т) < 2пУ2Сп(Т), ап(Т) < 2nll2dn(T), iii) hn(T)<2en{T), сп(Т)<пеп(Т), dn(T) < пеп(Т).
Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т £ У).
Исследованию характеристических чисел посвящены книги А. Пи-ча [27], [65], X. Кенига [56], Д.Э. Эдмундса и В.Д. Эванса [43], Д.Э. Эдмундса и X. Трибеля [51], К.Т. Мынбаева и М.О. Отелбаева [23] и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [И]. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля [79] об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.
Оценкам сингулярных чисел интегральных операторов было посвящено значительное количество работ многих авторов. Отметим основополагающую обзорную статью [8] (см. также, например, подробную библиографию к [65]). Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса [45], в пространствах Лебега на полуоси, начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди
Пусть X - гильбертово пространство иТ G Ж{Х). Тогда хп(Т) = dn{T) = Сп(Т) = ап(Т).
0.0.2)
Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в работах Д.Э. Эдмундса и В.Д. Степанова [49] для операторов с полиномиальным ядром, Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степановым [61], [80], [81], [82] на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е.И. Бережного. В работе И. Ньюмена и М.З. Соломяка [64] получены асимптотические формулы типа Вей-ля и оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля. Далее, Д.Э. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора К : Lp Lp ступенчатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел. Эти результаты на случай К : Lp Lq и любых 1 < р, q < оо были обобщены в работах Е.Н. Ломакиной, В.Д. Степанова [83], [84], [91]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике а—чисел и е—чисел оператора К : Lp —Lq содержится в работе М.А. Лифшица и В. Линде [59], где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 < р, q < оо.
Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана - Лиувилля.
Перейдем к изложенияю основных результатов диссертации.
Пусть 1 < р < оо. Обозначим ЬР(Ш+) пространство Лебега всех измеримых функций с конечной нормой
Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения а-чисел интегрального оператора Я : LP(R+) Lq(R+) с переменными пределами интегрирования вида гФ(х)
Hf(x) = v(x) / u(y)f(y) dy, (0.0.3)
J tp{x) где u(y) £ LP'(R+), v(x) € Lq(R+) и cp(x), ^(z) - возрастающие дифференцируемые функции такие, что <£>(0) = ф(0) = 0, (р(х) < ф(х) для х € (0, оо) и р{оо) = ф(со) = оо. Для функций, обратных </> и ф будем использовать символы у?-1 и ф~1.
Остановимся на изложении основных результатов и методов первой главы. Сначала мы получаем оценки для а—чисел операторов с одним переменным пределом интегрирования
Sf(x) = v(x) / u(y)f(y)dy (0.0.4) J о и оо
Г/0г) = ф) / ti(y)/(y)dy, (0.0.5)
J<p(x) которые следуют из работ [83], [84] и [59] заменой переменных.
Введем следующие обозначения: пусть последовательность {£n}nez задана формулой гШп) и(ф(£п))= \u{t)\p dt = 2n, -оо <п< Ыф<оо. (0.0.6)
J о
Заметим, что если = оо, то {ф{£п)} существует для всех п £ Ъ, т.е. N^ = оо.
Определим = и nez / Vnez ^f» ' Vr I Zll^ll^^.^n+i))!!17!!^^!) кпеЪ
Аналогично, для интегрального оператора Т : Lp(R+) -> Lq зададим последовательность {тп}пе% следующим равенством роо и(ч>Ы)= \u(y)fdy = 2~n, -C0<NV<TI<00, (0.0.7)
•М^п) и положим
Хп = \\u\\Lpl(M^n+,))\Hbq(rn,rn+1),
1/г / \ 1/г I llUllLpK^(r„)^(rn+1))lbllL9(rn,rn+1) W Z
Пусть 1/г = 1/р' + l/q, определим параметр
1, 1 < g < р < оо,
Л := < 1/г, l<P<q<2, 2<p<q<oo, (0.0.8) 1/2 + min{l/p', 1/q}, l<p<2<g<oo.
В следующей теореме получены асимптотические оценки а—чисел для операторов S и Т, обобщающие результаты исследований [46], [84], [59].
Теорема 2. Предположим, что весовые функции и Е Zy(R+), v Е £g(R+) такие, что операторы S : LP(R+) Lq(R+) и Т : LP(R+) —»• £g(R+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны.
1.1) Пусть А = min{l,l/r}, А = (а,Ь) С R+, J = (^(а),^(Ь)), и 6 Ljf(J), V Е Lq(А), 5 : LP(J) Lq(A). Тогда cl(p,q)([ \и(ф(х))\г\у{х)\г(ф'(х))г/р'йх)/ <\immtnxan{S)<
Ja J limsupnxan(5) <c2{p,q)( [ \и{ф(х))\г\у{х)\г{ф'(х))г^ dx] ' . n-> oo \./д j
1.2) Пусть X = min{l,l/r}, A = (a, 6) С R+, I = {cp(a), ip(b)), и E Lpl{I), v E Lq(А), Г : LP(J) Lq(А). Тогда ci{p,q)(^j |мИ®))Г1Ф)Г(¥'/(®))г/,/^ 7 < liminfnAan(T) <
2) Пусть S,T: Ь2{Ш+) L2{R+), < оо, < оо. nez nez
Тогда г оо lim nan(S) = - \и(ф(х))\\у(х)\у/Щх) dx n->00 7Г Уо U
I роо lim пап(Т) = - \u((p(x))\\v(x)\^ip'(x) dx. n-> 00 7Г Уо
3) Пусть 1 < q < р < оо или 1 < р < q < 2, или 2 < р < q<oo с А = min{l,l/r} и < оо, < оо. Тогда n€Z n£Z
Or 00 \ 1/r a„(S) < о /
0ЛОО \ 1/r о / и
Of 00 \ 1/r f < liminf тглап(Т) < о / n>0°
0/>oo \ 1/r
0 /
4) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo с Л = min{l, 1/r}. Тогда
1/r sup nAan (5) < ci(p,g) nez J и
1/r supпхап(Т) < c2(p,q) ( ]Гл£ ) • oie z
5) Пусть l<p<2<q<oo,\ = 1/2 + min{l/p', 1/g}, A / \ A
X>nA) <oo, ^хуА <oo. Тогда J VneZ / и f 00 \ 1/r ci(p,q)[ / < liminfnxan(S) <
J о / ( N ^ A limsuPnV(5) < c2(p,q) inf j f £ poo \ 1/r ci(p,g) ( / |tx(y>(®))|r|«Wr(^(a:))r/,/d® < liminfnAan(T) < iV 4 A' lirnsup nV(T) < c2(,^nf|p1Hl^,H|Vk) где inf берется no всем счетным разбиениям интервала A={A$kez
6) Пусть l<p<2<q<oo, Х = 1/2 + min{l/p', 1/g}. Тогда supnAan(S) <ci(p,q)( ^ <тУ A J , sup nxan(T) <c2(p,g)I £
Vnez / n Vnez
Далее, для исследований асимптотики а—чисел оператора Н с переменными пределами интегрирования мы строим специальное разбиение полуоси (0, оо) = (jAjfe, где А = [(кХк+i) и 6к = [Vk,Vk+i) к определяются для к £ Ъ следующим образом:
Со = 1, % = </>(!), т = Ф[1), - 12
Сь+1 = {<р~1оф)к{1), -kez, (0.0.9) щ = Ф(<р-1оя1,)к-\1), fcez.
Cfc+2
Рис.1. Специальное разбиение полуоси.
Мы скажем, что оператор В : Lp(R+) -> L^M"1") имеет блочпо-диагоналъное разлооюение, если существуют два семейства дизъюнктных интервалов {4}, {Ак} такие, что (0,оо) = Ujfe^Jfc> (О»00) = Uк^к и
Bf(x) = Y,XAk (B(fxsk))(x). к
Пусть
Pkf(y) = xsk(y)f(y), Qkf(x) = ха tW/W
Очевидно, что
Положим
Вк = QkBPk и обозначим Вк сужение Вк на Ьр(5к), т.е. Bkf = Bkf для всех / £ Lp(Sk). Легко видеть, что а(Вк) = а(Вк), и отметим также, что при 1 < р < q < оо
В\\ьр->ьч = sup \\Bk\\Lp->Lq = sup \\Bk\\Lj>{Sk)-tLq{bk). к к
Итак,
Я = Ф + Ф =5] Фк+52 Ф*=Е (О-О-Ю) к к к к где операторы Ф и Ф имеют блочно-диагональное разложение, и на каждом участке разбиения, когда х £ Д& = [Cfc>Cfc+i)> выполняется равенство гФ(Ск) г"Ф{х)
Hf(x) = v(x) u(y)f(y)dy + v(x) u(y)f(y)dy,
Jip(x) J^k) которое позволяет в дальнейшем использовать результаты, аналогичные полученным для операторов (0.0.4) и (0.0.5) с одним переменным пределом.
Напомним, что счетная функция последовательности {ап(В)} задается в виде n(t, а(В)) = card {k е N : ак(В) >t}, t> 0. (0.0.11)
Ключевую роль для получения асимптотических оценок аппроксимативных чисел играет лемма о счетных функциях компактного оператора.
Лемма 1. Пусть 1 < р < q < оо, В : Lp(Е+) -> Lg(M+) компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разложение
В = Вк. Тогда для всех е > 0 к п(е,В) < ^2п{е,Вк). (0.0.12) к
Данная лемма позволяет получать оценки сверху для а—чисел операторов, имеющих блочно-диагональную структуру.
Пусть последовательности {£fc,n} £ Afc и {т^} £ Д^ заданы по аналогии с формулами (0.0.6) и (0.0.7) следующими соотношениями гШк,п) MCm-I) \u{t)\p'dt = 2n, / \u(t)\p'dt = 2~n.
Определим к,п = | / ИОР^
I r£k,n+1 \
I у |ф)|<^1 Мй+i) , \ W / rn,n+i \ 1/9 = / / . уфк,п) J \JTk>n J
Основные результаты первой главы диссертации заключаются в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть 1 < р < оо, оператор Н : -LP(R+) -> LP(R+) вида (0.0.3) компактен и ^ ^ сгк,п < 00> кк,п < 00 • Тогда к п к п выполняется оценка сверху limsupпап(Н)< Г\у{х)\ (\и{ф))\(^\х))1^\и(ф(х))\(ф\х))1/Л dx, n->oo J 0 о случае р = 2 имеет место эквивалентность роо г , limsup пап(Н)и / |и(ж)| |и(</?(ж))|yVW + dx. n-+oo JO
2) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < оо, 1/r = 1 Ip1 + l/qu\ = min{l, 1/r}. Оператор H : LP(R+) -> ^(R+) компактен и ^ ^ <т^п < oo, ^ ^ < оо. Тогда k n k n limsup пАап(Я) « { £ [ [ |ф)Пи(</^))1 VM)^
LM* - 15 Е k€Z
UAk v(x)\г\и(ф(х))\г(ф'(х))^'
1/r'
3) Пусть I<P<2<5<00 с A = 1/2 + min{l/p', 1 /q], оператор H : Lp(R+) —> Lg(R+) компактен и У^ < оо,
Е S Чп < k п п limsupпхап(Н) < < У^ к
П-> 00
1/Л |
1/а Е к N inf (£>«11/ Jli; m=l
1/А I
1/а
Lq(Ak<m) где inf берется no всем конечным дизъюнктным разбиениям Рк = {Д*,1>Д*,2>-ДМГ} интервала Ак.
Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [85], [87], [89].
В 1918 году Ф. Рисс [69] опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур [78] еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые бы гарантировали, что последовательность собственных чисел {Ап} принадлежит пространству 1Г при 0 < г < оо. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует более быструю сходимость собственных чисел оператора.
Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль [79] в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве sn(T)} б 4 влечет {|А„(Г)|} 6 1Г.
Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг [56] получил следующий результат.
Теорема 4. [56] Пусть В € Ж[Х) и а £ (0, оо). Тогда существует константа Са, зависящая только от а такая, что где ак(В) - k-е аппроксимативное число оператора В.
Получение оценок норм Шаттена - Неймана для конкретных классов операторов начинается с работы И. Ныомана и М.З. Соломяка [64]. Авторами были получены оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негильбертов случай. Давлее, Д.Е. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод и получили оценки норм Шаттена - Неймана для оператора Харди К : Lp, которые в дальнейшем были обобщены в работе Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степанова [84] для К : Lp -» Lq при любых 1 < р, q < оо.
Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена - Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н : LP(R+) -» Lq(R+) с переменными пределами интегрирования.
Будем говорить, что оператор В принадлежит классу Шаттена -Неймана §Q, 1 < а < оо, если {ап(В)} G 1а, при этом оо \ 1 /а
4(Д)) k=1 '
И В £ &а,и>сак, если
Pk.^ = IIW5)}kl. = Bup*(n(i>a(B))1/el t> о где счетная функция последовательности {ап(В)} задается формулой (0.0.11). Известно [30], что лоо \ 1 /а к - {*I ta~ln(t,a{B))dtj .
Основные результаты второй главы диссертации заключаются в следующем. Во-первых, для операторов с одним переменным пределом интегрирования S,T : Lp{R+) Lp{R+) вида (0.0.4) и (0.0.5) устанавливается эквивалентность норм Шаттена - Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора
- . £«1 \ VQ , 00/ Гф(х) ч f, г ч «-1 \ 1'а
Ц Hy)\Pdy) Ц Ш\рм) \<x)\Pdx где 1<р<оои1<а<оо. Во-вторых, получена оценка сверху для оператора Н : LP(]R+) -» LP(R+) с двумя переменными пределами интегрирования
1№«<<(Е(7 МрУ У (ЛМ М*)!^) ' „ VAm / JAm\J<p(x) J J где [Jm Дт = Um[Cm,Cm+i) = М+ - специальное разбиение полуоси (0.0.9), рис. 1.
В-третьих, для случая Н : £г(М+) ^(Ж"1") и 1 < а < оо доказана двусторонняя оценка причем, для 2 < а < оо этой эквивалентности можно придать более компактный вид.
И наконец, из пролученных результатов мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.
Пусть последовательности {£„} и {тп} определяются формулами гШп) и(ф{£п))= / \u(t)\p dt = 2n, nGZ, -оо <п<Щ<оо,
J о л оо с/?(тп)) = / |u(y)|p' dy = 2~n, n € Z, -00 < < n < oo. Обозначим /-fn+l Ч1^ / ГТ„+1 \i/p
Ц , U^(ip(x))\v(x)\4xj.
Теорема 5. Пусть 1 < a < оо, операторы S : Z>p(K+) и
T : Lp(R+) LP(M+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны. Тогда W
La,w\ И W k(S)} щ} a(N)
Хк} ак(Т)} а fa(N)
Эти важные соотношения следуют из эквивалентности счетных функций последовательностей {сг*.} и {а^(5)}, {щ} и {ак(Т)}, которая доказывается в сериях лемм 2.2.1-2.2.7 главы 2.
Далее, для операторов S и Т мы рассматриваем функционалы t/д ~ Jq,j la ~ I'a, зависящие от весовых функций:
1/а
00 а/р'
00 р-1
Ja=(/ (/ МП (/ \v(x)\*dx roo \ а/р мр HvW'dy h-Hv) J
00 / г00 ф-Цу) а/р' / а = f-1 v
1/а
1/а Ш нр \v(x)\pdx
О w / \J о
ДГ1/ /^"'(i/) \а/р
-оо / />оо
1/а i= I /о (J |«Г| Ц ItfJ HvW'dy
Следующие теоремы устанавливают эквивалентности. Теорема 6. Если 0 < а < оо, 1 < р < оо, то к} ч ~ Ja ~ J'a
Теорема 7. .ЁЬш 0 < а < оо, 1 < р < оо, то щ}
Т ~ Т' La ~ J-a
Из доказанных выше оценок, для компактных операторов с одним переменным пределом интегрирования мы получаем два следствия. Следствие 1. Пусть 1<р<оо;1<а<оо, S : LP(R+) -> LP(R+)
- компактный оператор определенный формулой (0.0.4). Тогда да) ** (jT (j^'mfdy^7 (f™mpdt)Р
Следствие 2. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо, Т : LP(R+) ->• LP(R+)
- компактный оператор определенный формулой (0.0.5). Тогда
Далее, блочно-диагональное представление (0.0.10) и лемма 1 о счетных функциях позволяют получить верхнюю оценку для компактного оператора Я с переменными пределами интегрирования где Ат = [CmjCm+i) есть специальное разбиение (0.0.9), рис.1.
Лемма 2. Пусть В : L2(М+) —> L/2(R+) - компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разлоэ/сение В = ^Я^. Обозначим к
В\ = (Я*Я)1/2 = Y^{BlBk)1'2, (т{\В\) и а(\Вк\) - спектры оператоk рое \В\ и \Вк\, соответственно. Тогда а (|В|) = [>№!)■ к
В силу представления оператора Я и предложения 6 ([И], стр. 123) для 1 < а < 00, имеем ||Ф||5в < \\H\\Sa, ||Ф|к < Ik, что дает
-21 возможность получить оценки снизу: оо г / м Ск+1 v f-1 ыти>Е]Aliau2{y)dy) Ц v2(x)dx) y2{x)dx> а также г ( МЫ \Q/2/ сх \f-i
11К(ФЩ»Е/Д U Av)dvj Ц J на основании которых, выводим следующий важный результат.
Теорема 8. Пусть Н : 1/2(М+) —> компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 1 < а < оо. Тогда
1>"(я)) {l^l)u2{y)dy) \1}2{х)<ьУ ly2{x)dx
1/а
S-1
• / rnx) \ " / /Чьи \ 2
При а = 2 в предыдущей формуле имеет место равенство, а при 2 < а < оо она имеет более компактный вид.
Для функций ср(х) и ф(х) оператора (0.0.3) определим фарватер-функцию а(х) такую, что ip(x) < сг(х) < ф(х) и u2(y)dy= / u2(y)dy J ip(x) J a(x) для любого X G
Следствие 3. Пусть H : -> 1/2 (Ж+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда а ( -оо / / /чг1 (*(*)) 4 а
Е<(Я) « / / / ) у о УФ) ) \Н~1Ш) )
Применяя теорему 1, мы получим асимптотические оценки и для других характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегрирования.
Следствие 4. Пусть Н : I/2(R+) 1/20&+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда ( гФ) \V Г*5"1 И*)) V
Е<(Я) Н / / и2№у) [ v2(t)dt) v2(x)dx ,
W / \/0 \Л(*) J V^-ЧФ)) J J Г™ / гФ) \И V
Е^п(Я) Ы / / / , УГЧФ)) J J
1 a a \
ЕВД й / / u2Wv)[ v\t)dt\ v2(x)dx ,
W J \Jo уф) J УГЧФ)) J J
1 a a \ z(ff)h/ / / v2(t)dt) v2(x)dx\. n J у0 V-M*) / уф-^ф)) J J
Используя теорему 4 и пролученные результаты для аппроксимативных чисел, мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.
Теорема 9. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо и S,T, Н : Lp( R+) LP(R+) компактные операторы определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) и (0.0.3). Тогда
00 \ / , ^ , Гоо \ f-1 \ 1/Q
1/q
Результаты второй главы диссертации опубликованы в [8G], [88], [90],
Непосредственным одновесовым обобщением операторов (0.0.2) являются операторы Римана - Лиувилля где а > 0.
Исследование асимптотик энторопийных чисел, а также аппроксимативных чисел оператора Ta>v : Lp(0, оо) -> Lq{0, оо) при р ф q, а ф 1 не предпринемалось. Третья и четвертая главы диссертации восполняют этот пробел для целых а > 1, обобщая и дополняя результаты работ [59], [73], [64].
Для 1 < р, q < оо, qGN положим
92]. L X
Ta,vf{x) := v{x) / (х - y)Q~1f(y)dy, х>0, (0.0.13)
1 1 1 - --а- - + г р q а также — ---г л •— г р q а,
1 1 1 - — а---h
1 < q < р < оо
1<Р<9<2, 2 < р < q < оо 1 а — - -f- mm
0.0.14)
Введем следующие обозначения:
Mr,оо := IWkoo = sup (к + 1 + sup\к\1'г6+,
Г,00 • fc>0 к<О к< О где f2k+l \ l!q
6к = 2н<*-т М \v(x)\4x\ ,kez,
Щ}к>0 и убывающая и возрастающая перестановки, причем
Mir < Мп Мг,оо < C\v\r. Пусть т := inf J] if . кеХ
4Г1/РЦ \v(x)\Чх) 1/9
1/а> А где infimum берется по всем счетным непересекающимся разбиениям
О, оо) = [J h полуоси на интервалы {Д} такие, что ыж card{£; 6 Ж : 1к П А ф 0} < оо, для любого компакта А С (0, оо).
Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме.
Пусть v Е L+ означает, что \v(s)\ приближается снизу монотонной последовательностью конечнозначных интервальных ступенчатых функций, т.е.
О < vj(s) = £ akXiJs) f |«(в)| для почти всех s 6 (0, оо).
Теорема 10. Пусть l< р, q <оо, a GN« оператор TQ)V :
Lp(0, оо)
Lq(0,оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, с2 абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (i) при 1 < q < р < оо ciMr.00 < SUP naan(Ta,v) < c2\v\r, (0.0.15) ii) если 1 < p < q <2, 2 < p < q < oo или l<p<2<q<oo, то sup nAan(TQ,„) <ф|1/л, (0.0.16) n iii) если 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo и \v\r < oo, mo limsup nAan(TQ)U) < c||v||r, (0.0.17) n-> 00 iv) если 1 < p <2 < q < oo и Hi/a < oo, mo limsup nxan{TatV) < cpx(v), (0.0.18) n-> 00 v) если 1 < p,q < oo и v £ L+, mo c\\v\\r < liminf nxan(Tav). (0.0.19) n-t 00 '
Оценка (ii) при p = q установлена в [73] при любых а > 1. Точный критерий ограниченности и компактности TajW : Lp(0, оо) ^(0, оо) при 0<g<oo, р > 1 и а > 1 /р получен в [67] (см. теорему 3.1.1). При а = 1 и без условия v 6 L+ теорема 10 получена в [59], где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (0.0.2) с помощью изоморфизмов Lp — пространств при которых оператор интегрирования (0.0.2) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (0.0.13) при а ф\ при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому как и в [64], [73] в третьей и четвертой главах диссертации рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойствен
00 ного оператора T*jVf(x) := {у- x)a~lv(y)f{y)dy, х > 0.
J X
Доказаны точные асимптотические оценки для а—чисел и е—чисел классического оператора Римана - Лиувилля.
Теорема 11. Пустъ a€N, 1 < р, q < оо и оператор Та : Lp( 0,1) —> Lq(0,1) компактен. Тогда с константами с\ — ci(p,q) > О, С2 = с2 {p,q) > 0 выполняются асимптотические оценки: i) при 1 < p, q < оо cm~a < en(Ta) < c2n~a;
-a. ii) при 1 < p, q < oo c\n~x < an(Ta) < c2n~\ где А определена формулой (0.0.14). Пусть J£={h}keXi I= || h~ представление интервала / С (0, оо) кех в виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik, и предполагается, что v G Lq(Ik), для любого к G Ж. Здесь Ж означает либо конечное, либо счетное индексное множество.
Рассмотрим разложение пространства Lp(I) в сумму двух подпространств: L°(I) и LC(I), где j = 0,1,., а, к Е Ж,
Lp(I)— подпространство кусочно-полиномиальных функций:
1 обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей а — 1.
Для функций / G Lp(I), supp / С оператор TQfV сохраняет дизъ-юнктность: ь;(1) := L;(/,if) = |/ G : jf = 0 J
Lq(hY hex
Зададим оператор Pf : LP(I) ->• Lcp(I) по формуле q-1 j=о fcejr где полиномы
- (Ь - a)-'/2Pi (^ТГ?) • J = образуют ортонормированную систему в ЬгСО и f>Pj,k)ik := /
J h
Определим Тогда
T — T Р° 4- Т Р° — -ta,vJ I ~ ±a,vrI и, используя свойства а—чисел, получаем n+m-lC^a^,) < СЬп(ТарРj ) + am(TajVPj-).
Заметим также, что rankPj = a-cardJf, это означает, что на конеч-N ном интервале / = | j имеем rank{Ta^vPf) = a-N, и am(TayVPj) = О к=1 при m > aN. Следовательно, на конечном интервале а—числа оператора Римана - Лиувилля Ta,v оцениваются аппроксимативными числами an(Ta^vPj).
Для 1 < р < оо, 0 < q < оо, a G N, I = (а, 6) С (0, оо) и v € Aj(/), в силу неравенства Гельдера выполняется оценка
Ы\\ь,{1) < |/|Q-1/P|bllL,(7)||/||Lp(/), для всех / G LP(I).
В дальнейшем величина
Ja,v(I) :=\1Г1/р-\Нь< i) будет играть важную роль, и в леммах 3.3.1 - 3.3.2 доказаны ее основные свойства.
В следующей лемме уточняется значение нормы оператора TUjV при его сужении на подпространство L°p{I).
Лемма 3. Пусть I С (0, оо), if = {h}k&x, I = || h и v G Lq(Ik). Тогда для любой функции f £ L°(/,i?) sup Ja,v(h)\\f\\Lp(i),
Ta,vf\\Lq{I) < kejr h-a JaAh)r/il~ar) i, \к€<Ж
1 < p < q < oo, LP(I), Kq<p<oo.
В лемме 4 получена неявная оценка а—чисел оператора TQiVP°, которая в последующей теореме доводится до явной оценки.
Лемма 4. Пусть I С (0, оо), Sf = {h}ktx, I = |J h, кеХ
Р° : LP(I) ->• L°(7,if) uv в Lq(Ik) для любого к. Рассмотрим последовательность натуральных чисел {п&}, что п := £ (пк — 1) + 1 < оо. Тогда a{n-l)a+l{Ta,vP°) < < sup nfc1/rJaiV(/fc), кех ar
Y,nki-arJa,v{h)
-—a
1—ar
1 < p < q < oo, , 1 < g < p < oo.
Базовой для получения супремальных и асимптотических оценок а-чисел является теорема 12. Теорема 12. Пусть
I С (0, оо), if = / = [J h, jteJ LP(I) -> uv £ Lq(Ik) для любого к. Тогда
1/r где Л := min I -, a J . an(TQ,vP°) « nx ]Г -M1*)' \kex 1
0.0.20)
Теорема 13. Пусть I С (0,оо) конечный интервал, v € Lq(I). Тогда limsupплan(Ta,v) « |M|ir(/). (0.0.21) n-> 00 где A := min •
Уже из теоремы 11 видно, что случай параметров l<p<2<q< оо является особым. Для оценок а—чисел оператора Ta>v это требование также выполняется, а именно, в этом случае оценку сверху можно улучшить, причем данный случай потребовал более сложной конструкции с привлечением ортонормированной системы полиномов па отрезке.
Теорема 13. Пусть 1 < р < 2 < q < оо, I С (0,оо) конечный интервал, v £ Lq(I). Тогда limsup nxan(Ta>v) < /3x(v), (0.0.22) n-> oo где A = a - 1/2 + min(l/g, l/p').
Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора Римана -Лиувилля на полуоси (0.0.15), (0.0.16) получены с помощью а—чисел диагональных оператров. Кроме этого, в диссертации приведена техника, касающейся изоморфизмов Lp пространств и показано, что оператор Та,v сохраняет тип и дизъюнктность при этих преобразованиях. В § 3.2 доказано, что оператор Т®^ : L°(I) Lq{I) изоморфен оператору \\(р\\ьг • Т° : L°(0,1) -» Lq(0,1), где в качестве весовой функции v(x) выступает интервальная ступенчатая функция N
Р(Х) :=^2akXh{x), ak > 0, при этом k=1 an(TQg = ЫьМТ°), еп(т^) = ЫьМПУ
И далее, для получения нижних оценок а—чисел, а также и е—чисел оператора Римана - Лиувилля, используем лемму 5 и результаты теоремы 11.
Лемма 5. Пусть I С (0, оо) конечный интервал, 0 < v Е L+, v Е Lq(I). Тогда для любого rj Е (0,1) существуют оператор Y : Lq(I) —> Lq(I) и число (3, удовлетворяющие следующим условиям:
Основным результатом четвертой главе диссертации является следующая теорема.
Теорема 14. Пусть 1 < р,q < оо, aG N и оператор Та,v '■ Lp(0, оо) Lq(0, оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, ci, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: i) при l<p<q<2,2<p<q<oo или l<p<2<q<oo
ЬР а
Ь?(0Д) sup nxen(TaiV) < c|u|i/A,
0.0.23) n где параметр А определен формулой (0.0.14), (ii) при 1 < q < р < оо ciMr.oo < supnaen{Ta,v) < c2\v
Г1
0.0.24) П iii) при любых 1 < p, q < оо
СTa,v)
0.0.25) n iv) при l<p,q<oouvEL+ c\\v\\r < liminf naen(Ta)V).
0.0.26)
Для получения верхних оценок е—чисел используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами [39]: для Т G У) и любого 7 > 0 sup n7en(T) < c7sup n7an(T). п п
Оценки снизу (0.0.24), (0.0.25) энтропийных чисел оператора (0.0.13) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров.
Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана - Лиувилля. Результаты третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в [93] - [97].
Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска.
Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетияка (Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.)
Результаты данной работы отражены в публикациях [80]-[97].
Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В.Д. Степанову за многолетнюю совместную работу, доброе внимание и поддержку.
1. Аллахвердиев Д.Э. О скорости приближения вполне непрерывных операторов конечномерными операторами // Уч. зап. Азерб. университета. № 2. 1957. С. 27-35.
2. Апышев О.Д., Отылбаев М.О. О спектре одного класса дифференциальных операторов и некоторые теоремы вложения // Серия математическая. 1979. Т. 43. N 4.
3. Берг Г., Лёфстрём Г. Интерполяционные пространства.-М.: Мир, 1980.
4. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах // Труды МИ РАН 1993. Т. 204. С. 3-34.
5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов I // Вестник ЛГУ. № 7. Вып. 2. 1967. С. 43-53.
6. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов II // Вестник ЛГУ. № 13. Вып. 3. 1967. С. 21-28.
7. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Аппроксимация функций классакусочно полиномиальными функциями // Матем. сб. 73.1967. С. 331-335.
8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. N 1. С. 17-84.
9. Гельфонд А.О. О росте собственных значений однородных интегральных уравнений. Приложение к книге: У.В. Ловитт. Линейные интегральные уравнения. М., Гостехиздат. 1957. С. 233-263.
10. Гольдман M.JI., Степанов В.Д. Пространство дробных потенциалов Римана Лиувилля на полуоси // Препринт ВЦ ДВО РАН № бб. Хабаровск. 2003. 12 с.И. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
11. Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и диаметры конечномерных множеств // Матем. сборник. 1983. Т. 120. С. 180-189.
12. Исмагилов Р.С. n-мерные диаметры компакта в гильбертовом пространстве // ФА и его приложения 2:2 1968. С. 32-39.
13. Исмагилов Р.С. Диаметры множеств в линейных нормированных пространствах и аппроксимация функций тригонометрическими полиномами // УМН 29:3. 1974. С. 161-178.
14. Исмагилов Р.С. Диаметры компактных множеств в линейных нормированных пространствах // Сб. статей "Геометрия линейных пространств и теоря операторов."Ярославль 1977. С. 75-113.
15. Канторович ЛВ., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
17. Кашин B.C. Поперечникии Колмогорова октаэдров // ДАН СССР № 214. 1974. С. 1024-1026.
18. Кашин B.C. Диаметры октаэдров // УМН 30:4. 1975. С. 251-252.
19. Кашин B.C. Диаметры некоторых конечномерных подмножеств и некоторые классы гладких функций // ИАН СССР, сер. матем. 41. 1977. С. 334-351.
20. Лизоркин П.И., Отелбаев М. Оценки аппроксимативных чисел вложений пространств соболевского типа с весами // Труды МИ-РАН СССР 1984. Т. 170. С. 213-232.
21. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Издательство ЛГУ, 1985.
22. Мынбаев К.Т., Отылбаев М.О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.
23. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов // Докл. АН СССР 1992. Т. 44. С. 291-293.
24. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов // Труды ИМ им. Стеклова 1994. Т. 204. С. 240-250.
25. Параска В.И. Об асимптотике собственных и сингулярных чисел линейных операторов, повышающих гладкость // Матем. сб. 68 (110):4. 1965. С. 621-631.
26. Пич А. Операторные идеалы. М: Мир, 1982.
27. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Весовые оценки операторов Рима-на-Лиувилля и приложения // Тр. Мат. ин-та РАН 2003. Т. 243. С. 289-312.
28. Рисс Ф., Сёкифальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-лизу.-М.: Мир, 1979.
29. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ па евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
30. Степанов В.Д. О сингулярных числах одного класса интегральных операторов // Доклады РАН 1994. Т. 336. № 4. С. 457-458.
31. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Тр. Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. №5. С. 298-317.
32. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. МГУ, 1976.
33. Тихомиров В.М. Теория приближений. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 14. М., 1987.
34. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Изд-во "Мир". М. 1980.
35. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ., М., 1948.
36. Aleksandrov А.В., Janson S., Poller V.V., Rochberg R. An interesting class of operators with unusual Schatten-von Neumann behavior // University of Uppsala. Preprint. 2001. P. 1-89.
37. Carl B. Entropy numbers of diagonal operators with application to eigenvalue problems //J. Approx. Theor. 1981. 32. P. 135-150.
38. Carl B. Entropy numbers, s—numbers and eigenvalue problems //J. Funct. Anal. 1981. 41. P. 290-306.
39. Carl B. Entropy numbers of embedding maps between Besov spaces with an application to eigenvalue problems // Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 90. 1981.
40. Carl В., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1990. 277 p.
41. Chen T. and Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures // J. Ineq. Appl. № 7. 2002. P. 829-866.
42. Edmunds D.E., Evans W.D. Spectral theory and differential operators. Oxford: Oxford Univ. Press., 1987.
43. Edmunds D.E., Gurka P., Pick L. Compactness of Hardy-type integral operators in weighted Banach function spaces // Studia Math.109. 1994. P. 73-90.
44. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators //J. London Math. Soc. 1988. V. 38. (2). P. 471-489
45. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. 1997. V. 124. P. 59-80.
46. Edmunds D.E., Harris D.J., Lang J. Two-sidedestimates for the approximation numbers of Hardy-type operators in L^ —> L\ // Studia Math. 130 (1998). P. 171-192.
47. Edmunds D.E., Haroske D.D. Embeddings in spaces of Lipschitz type, entropy and approximation numbers and applications //J. Approx. Theor. V. 104. 2000. P. 226-271.
48. Edmunds D.E., Stepanov V.D. The measure of non-compactness and approximation numbers of certain Volterra integral operatirs // Math. Ann. 1994. V. 289. P. 41-66.
49. Edmunds D.E., Stepanov V.D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators //J. Funct. Anal. V.134. N1. 1995.
50. Edmunds D.E., Tribel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1996.
51. Gogatishvili A. and Lang J. The generalized Hardy operator with kernel and variable integral limits in Banach function spaces // J. Ineq. Appl. № 4. 1999. P. 1-16.
52. Goldman M.L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions // Khabarovsk: Computer Center. Far-Eastern Branch. Russian Academy of Sciences. Preprint № 31. 1998.
53. Haroske D. Approximation numbers in some weighted function spaces // J. Approx. Theor. V. 83. Ж 1. 1995
54. Heinig H.P. and Sinnamon. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math. 129. (1998) P. 157-177.
55. Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators Birkhauser // Boston, 1986.
56. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy operators // Proc. LMS № 79. 1999. P. 649-672.
57. Lang J., Mendez 0., Nekvinda A. Asymptotic behaviour of the approximation numbers of the Hardy-type operator from Lp into Lq // J. Ineq. Appl. V. 5. 2004. P.l-36.
58. Lifshits M.A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volter-ra operators with application to Brownian motion // Mem. Am. Math. Soc. 2002. V. 745, P. 1-87.
59. Linde R. s-numbers of diagonal operators and Besov embedding // Rend. Circ. Mat. Palermo . 1986. P. 83-110.
60. Lomakina E., Stepanov V. On the compactness and approximation numbers of Hardy type integral operators in Lorentz spases // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 53. P. 369-382.
61. Martin-Reyes J., Sawyer E. Weighted inequalities for Reimann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater // Proc. Amer. Math. Soc. 106. 1989. P. 727-733.
62. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with weights // Studia Math. 44. 1972. P. 31-38.
63. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integr. Equat. Oper. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.
64. Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Geest Portig, Leipzig, 1987.
65. Pinkus A. n-widths in Approximation Theory. Spriger Verlag, 1985.
66. Prokhorov D.V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. 617-628 p.
67. Reimenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators // Tohoku Math. Jorn. 26. 1974. 3. P. 385-387.
68. Riesz M. Uber lineare Functionalgleichungen // Acta Math. 41. 1918. P. 71-98.
69. Sawyer E.T. Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator // Trans. Amer. Math. Soc. 281. 1984. P. 329-337.
70. Schmidt E. Entwicklung willkiirlicher Functionen nach Systemen vorgeschriebener // Math. Ann. 63. 1907. P. 433-476.
71. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial type inequalities // J. Math. Anal. App. 160. 1991. P. 433-445.
72. Solomyak M. Estimates of the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371-383.
73. Stepanov V.D. Weighed inequalities for a class of Volterra convolution operators // J. London Math. Soc. 45. 1992. P. 232-242.
74. Stepanov V.D. Weighed norm inequalities for integral operators and related topics // Invited lecture held at the internationl Spring School. Prague. 1994.
75. Stepanov V.D. On the Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // Research Report J№ 30. Khabarovsk: Computer Center FEB RAS, 1998. P. 51.
76. Stepanov V.D. On the lower bounnds for Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // J. Londan Math. Soc. 2000. V. 61. P. 905-922.
77. Schur I. Uber die characteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen // Math. Ann. 66. 1909. P. 488-510.
78. Weyl H. Inequalities between the two kindsof eigenvalues of a linear transformation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA № 35. 1949. P. 408-411.Работы автора по теме диссертации.
79. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространсвах на полуоси // Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 1. С. 21-23.
80. Lomakina Е. and Stepanov V. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces // Public. Matem. Universsitat Autonoma de Barselona. № 42. 1998. P. 165-194.
81. Ломакииа Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Хар-ди в пространствах Лоренца // Сборник научных трудов НИИ КТ. Раздел математика.- Хабаровск: Изд-во Хаб. гос. техн. ун-та. 1999. Выпуск 8. С.45-52.
82. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об асимптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена Неймана интегрального оператора типа Харди // Доклады РАН. Т. 367. №5. 1999. С. 594-596.
83. Lomakina Е., Stepanov V. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and application. Narosa Publishing Hause. New Delhi. 2000. P. 153-187.
84. Lomakina Е. The boundedness of the generalized Hardy operator with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 46. Хабаровск. 2000. 27 с.
85. Lomakina Е. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy integraloperators with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 51. Хабаровск. 2001. 28 с.
86. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов I // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 1. 2003. С. 178-192.
87. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов II // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 2. 2003. С. 372-388.
88. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана- Лиувилля // Препринт ВЦ ДВО РАН № 84. Хабаровск. 2005. 50 с.
89. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана- Лиувилля // Доклады РАН. Т. 403. № 5. 2005. С. 598-599.
90. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Римана Лиувилля // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова: тезисы докладов. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 35.
91. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана Лиувилля // Математические труды. Т. 9. №1. 2006. С. 52-100.
