О вычислении первых собственных чисел некоторых линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Формально-собственные числа

1.1 Определение и свойства формально-собственных чисел

1.2 Сходимость последовательностей формально-собственных чисел

2 Применение формально-собственных чисел

2.1 Приближенное вычисление первых собственных значений некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений со сложным вхождением параметра

2.2 Приближенное вычисление первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с квадратично суммируемым потенциалом

2.3 Приближенное вычисление первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с помощью метода Фубини.

Приближенное вычисление первых собственных значений дифференциального оператора второго порядка с бесконечно дифференцируемым потенциалом

Приближенное вычисление первых характеристических чисел некоторых симметричных интегральных уравнений

В представленной диссертации дано полное обоснование нового метода приближенного нахождения первых собственных чисел вполне непрерывных операторов классов некоторых дискретных и интегральных операторов. Ер — симметрично-нормированный идеал кольца линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве [4].

Актуальность темы исследования.

Известно, что операторы дифференцирования, действующие в гильбертовом пространстве, не являются ограниченными операторами. При их изучении иногда переходят к их резольвентам, которые оказываюся во многих случаях уже ограниченными и даже вполне непрерывными операторами. В теории не само сопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Би-ркгоф (1908 г.), а затем Я.Д.Тамаркин (1911 г.) достигли крупных успехов. Эти авторы отправлялись от методов Коши и Пуанкаре, основанных на изучении аналитических свойств резольвенты задачи.

Проблеме вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов посвящено огромное число исследований. В частности, был разработан ряд методов приближенного вычисления собственных значений различного рода краевых задач для уравнений математической физики. В их числе методы, основанные на применении итерированных функций Грина [7], и многие другие.

В конце 50-х годов 20 века И.М.Гельфанд и Л.А.Дикий [5] предложили метод вычисления собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля, основанный на применении теории р егу ляр и о о в анных следов дифференциальных операторов [2, 3, 6]. С.А.Шкарин [26] доказал, что этот метод нельзя использовать для приближенных вычислений в том виде, в каком он вначале в [5] был предложен. В.А.Садовничий и В.Е.Подольский [21, 22] обосновали метод Гельфанда-Дикого для одного довольно узкого, но тем не менее всюду плотного в соответствующей метрике подкласса 5 дифференциальных операторов второго порядка.

В.А.Садовничим [23] была рассмотрена краевая задача на конечном отрезке для дифференциального уравнения

0 + ^(а, + ••• + ап{х, г)у = 0, (0.1) 5 коэффициенты и граничные условия которого полиномиально зависят от Уравнение для определения собственных значений этой краевой задачи имеет вид:

Нг)=<1еЦ\ЩуА\\ = 0, где /(х) е К. К - это некоторый класс целых функций [23].

Через параметры асимптотики /(х) получаются явные выражения для регуляризованных сумм корней функции /(г), т.е. сумм вида

1>Г"Лп(0} = *т, (0.2) 0 где г} - корни функции /(-г), Ат{1) - некоторые вполне определенные числа, обеспечивающие сходимость рядов, а т - любое натуральное число.

Формулы (0.2) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений

Х>Р = ^, ш — 1,2, (0.3) 1 связывающей первые корни ¡(г). Это обстоятельство особенно существенно при отыскании первых собственных значений краевых задач. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах В.А.Садовничего и его учеников.

Представляет большой интерес изучение возможности получения первых собственных значений, минуя систему (0.3).

Другим из наиболее употребительных подходов является метод, основанный на равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой краевой задачи с ее собственными значениями:

Наиболее полные исследования в этом направлении принадлежат А.А.Дородницыну [7]. Суть метода: обрываем в равенствах (0.4) ряды до слагаемых с номером N и берем первые (М + 1) равенства. Решаем полученную конечную систему и получаем приближенные значения собственных чисел, тем более точные, чем большее N взято. Оценку отброшенного остатка сделать несложно и корректность метода очевидна. В то же время метод обладает существенным недостатком: вычисление конкретных значений интегралов левой части (0.4) не алгоритмизуется и эти интегралы в конечном виде через параметры исходной задачи, вообще говоря, не выражаются.

Заслуживает внимания подход в вычислении первых собственных

0.4) значений, основанный на применении равенств (0.4) без построения системы алгебраических уравнений по методу А.А.Дородницына.

В 1995 году В.В.Дубровским [8] был найден новый способ оценки собственных чисел интегральных и ядерных операторов, зная лишь следы натуральных степеней этих операторов.

Однако по-прежнему нет общего способа нахождения собственных значений интегральных операторов с помощью следов натуральных степеней.

Цель диссертационной работы.

• Построить алгоритм вычисления первых собственных чисел вполне непрерывных операторов классов Ер. р = 1,2,3,., с помощью следов натуральных степеней этих операторов. — симметрично-нормированный идеал кольца линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве [4].

• Построить алгоритм вычисления первых собственных чисел дискретных, в частности дифференциальных, операторов, резольвенты которых — вполне непрерывные операторы класса

• Построить алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений.

Исходя из данных целей, в диссертации ставятся следующие задачи:

1) с помощью следов оператора А е ре ТУ, найти такие числа (в диссертации они называются "формально-собственными числами"), которые с любой наперед заданной точностью аппроксимировали бы собственные числа оператора А;

2) находя различными способами формально-собственные числа, получить алгоритмы приближенного вычисления первых собственных значений а) некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка со сложным вхождением параметра, б) оператора Штурма-Л иу вил ля с квадратично суммируемым и непрерывно дифференцируемым потенциалами, в) дифференциального оператора второго порядка с бесконечно дифференцируемым потенциалом;

3) получить алгоритм приближенного вычисления первых характеристических чисел некоторых симметричных интегральных уравнений;

4) на примере различных абстрактных операторов, дейстующих в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также на примере дифференциального оператора второго порядка с нулевым потенциалом и нулевыми граничными условиями вычислить с помощью PS первые формально-собственные числа и сравнить их с собственными числами данных операторов.

Общая методика исследования. При решении поставленных задач предполагается использование

1) математического аппарата: функциональный анализ, алгебра и теория чисел, теория функций комплексного переменного, теория дифференциальных и интегральных операторов;

2) вычислительного аппарата: система Maple V Release 3 для IBM PS под управлением Windows.

Научная новизна. В диссертации разработан новый метод, позволяющий получать с любой степенью точности первые собственные числа некоторых:

1. интегральных и вполне непрерывных операторов, зная лишь следы натуральных степеней этих операторов,

2. краевых задач со сложным вхождением параметра и обыкновенных дифференциальных операторов, в частности оператора Штурма-Лиувилля, без привлечения системы регуляризован-ных следов по методу И.М.Гельфанда и Л.А.Дикого, а используя лишь дзета-функции этих краевых задач и дифференциальных операторов,

3. обыкновенных дифференциальных операторов по их итерированным функциям Грина без построения системы алгебраических уравнений по методу А.А.Дородницына.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Они могут быть эффективно использованы в математической физике.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре под руководством доктора физико-математических наук, академика РАН Садовничего В.А. в МГУ (г. Москва, 2000 г.), на семинарах под руководством доктора физико-математических наук, профессора Жикова В.В. в ВГПУ (г. Владимир, 1999-2000), на научно-исследовательских семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Дубровского В.В. в МаГУ (г. Магнитогорск, 1996-2000), на международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям в ЧГУ (г. Челябинск, 1999 г.), на всероссийской научно-практической конференции по проблемам физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе (г. Магнитогорск, 1999 г.), на научной конференции по математическому моделированию и краевым задачам в СГТУ (г. Самара, 1998 г.), а также на региональных научно-практических конференциях вузов уральской зоны (г. Магнитогорск, 1998 г., г. Уфа, 1999 г., г. Челябинск, 1998 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих семь параграфов, заключения, приложения и изложена на 90 страницах. Список литературы содержит 30 наименований.

Заключение

В каждой из глав диссертации мы уже сделали определенные выводы. В заключении необходимо подвести общий итог исследования.

1. Найден новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел: а) вполне непрерывных операторов классов р е N; б) краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка со сложным вхождением параметра, минуя систему регуляризованных следов; в) оператора Штурма-Лиувилля с квадратично суммируемым потенциалом; полученные результаты опираются на статьи В.А. Са-довничего и В.Е.Подольского [21, 22] и обобщают исследования A.A. Дородницына [7]; г) оператора Штурма-Лиувилля с непрерывно дифференцируемым потенциалом; существенной стороной данного подхода является метод, который в литературе называют "методом Фубини"; д) дифференциального оператора второго порядка с бесконечно дифференцируемым потенциалом; результаты получены во многом благодаря исследованиям Л.А.Дикого [5, б];

2. Найден новый метод приближенного вычисления характеристических чисел симметричных интегральных уравнений; полученные результаты улучшают в некоторых случаях такие известные методы, как метод Келлога.

Рассмотренные приложения метода формально-собственных чисел относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай приложения этого метода, в частности к дифференциальным уравнениям с частными производными, требует более глубокого и детального рассмотрения и поэтому является предметом дальнейших исследований в этой области.

1. Васильева A.B., Ткхонов H.A. Интегральные уравнения. М.: МГУ, 1989.

2. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1953. Том 88. с. 593-596.

3. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // УМН. 1956. Том 11, N1, с. 191-198.

4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М. 1965.

5. Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля // Докл. АН СССР. 1957. Том 116, N1, с. 12-14.

6. Дикий JI.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. Том 19, N4, с. 187-200.

7. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Том 7, N6, с. 3-96.

8. Дубровский В.В. Обоснование метода вычисления собственных чисел интегральных операторов с помощью теории следов // Дифференциальные уравнения. М., 1995, т.31, N 10, С. 1762 -1763.

9. Дубровский В.В., Малеко Е.М. О сходимости формально-собственных чисел // Вестник Челябинского ун-та. Сер. матем., мех. 1999, N1(4), с. 56-71.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

11. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов не само сопряженных уравнений. ДАН. 77. N1 (1951), С. 11-14.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1983. .

14. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том I. М.: Наука, 1967.

15. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том II. М.: Наука, 1967.

16. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды ММО. 1952. Том 1, с. 327-420.

17. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

18. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Наука, 1959.

19. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

20. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малеко Е.М. Об одном способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля. // Докл. АН, 1999, том 369, N1, с. 16-18.

21. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Об одном классе операторов Штурма-Лиувилля и приближенном вычислении первых собственных значений Матем. сборник. 1998. Том 189, N1, с. 133— 148.

22. Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // Докл. АН. 1996. Том 346, N2, с. 162-164.

23. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Наука, 1986.

24. Тйчмарш Е.К. Дзета-функция Римана. М.: Иностранная литература, 1947.

25. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература, 1962.

26. Шкарин С.А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мех. 1996, N1, с. 39-44.

27. Calkin J.W. Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Ann. Math., 42, N4 (1941), 839-873.

28. Schatten R. A theori of cross-spaces. Princeton. 1950.

29. Schatten R. Norm ideals of completely continuous operators. BerlinGottingen-Heidelberg. 1960.

30. Szego G. Orthogonal polynomials // Amer. Sac. Coll. Publ. N23, (1939; 1948).