Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005531954

На правах рукописи

Ушакова Елена Павловна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико- математических наук

" 8 АВГ 2013

Хабаровск — 2013

005531954

Работа выполнена в лаборатории приближенных методов и функционального анализа Федерального государственного бюджетного учреждения науки Вычислительного центра Дальневосточного отделения Российской академии наук.

Научный консультант: член-корреспондент РАН. доктор физико-математических наук, профессор Степанов Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Гольдман Михаил Лыювич. доктор физико-математических паук, профессор. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов», профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук

Кусраев Анатолий Георгиевич, доктор физнко- математических наук, профессор. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, директор института / заведующий отделом функционального анализа

Романов Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, доцент. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник лаборатории прикладного анализа

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»

Защита состоится « 26 » августа 2013 года в 11.00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03. созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090. г. Новосибирск, пр. Академика Копгю-га 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан «¿О » ыЛОа-С^ 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются классы весовых интегральных операторов, представителями которых являются преобразования Лапласа и Стилтьеса, оператор Харди-Стеклова и некоторые многомерные аналоги оператора Харди. Указанные преобразования хорошо известны в классическом анализе. Их изучение берет начало в работах Ж. Лиувилля, И. Э. Фредгольма, Э. Шмидта, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна и многих других. Диссертационная работа, охватывает ряд задач, посвященных изучению свойств ограниченности, компактности и поведения характеристических чисел этих операторов. Задачи такого типа возникли в связи с приложениями исследуемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений, а также в связи с развитием спектральной теории и теории приближений. За последние 40-50 лет решению этих фундаментальных вопросов уделялось большое внимание как в отечественной, так и в зарубежной литературе. В частности, были разработаны эффективные методы получения точных критериев ограниченности и компактности одномерных весовых интегральных операторов Харди, найдены оригинальные способы анализа, поведения их характеристических чисел. Особое внимание в этой связи было уделено операторам Вольтерра с ядрами Ойнарова и Римана-Лиувнлля. Однако, многие другие типы линейных интегральных преобразований оставались недостаточно изученными. Результаты данной диссертационной работы дают полное представление о свойствах некоторых из таких интегральных преобразований в функциональных пространствах Лебега на полуоси.

Исследование линейных интегральных операторов, предложенное в настоящей работе, можно назвать комплексным и в то же время детальным анализом преобразований с точки зрения их свойств ограниченности и компактности, особенностей поведения характеристических чисел, а также некоторых приложений исследуемых отображений к решениям смежных задач. Такой подход помогает получить представление о поведении операторов. Он же формирует и основную цель настоящей работы, которая состоит в получении условий или даже критериев выполнения тех

или иных свойств для некоторых типов интегральных преобразований, полезных п анализе и его приложениях.

Основными результатами диссертационной работы являются точные критерии или условия ограниченности и компактности для следующих классов интегральных преобразований:

(1) с ядрами, удовлетворяющими условиям монотонности,

(2) типа Харди-Стсклова,

(3) многомерных типа Харди

в функциональных пространствах Лебега. Найдены оценки на аппроксимативные числа исследуемых операторов. Даны приложения некоторых из полученных результатов к решениям смежных задач.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы в смежных разделах анализа, а также для исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, теории приближений, спектральной теории, теории сигналов, при моделировании экономических процессов и т.д.

Достоверность результатов. Все утверждения, представленные в диссертации, являются обоснованными и подтверждены строгими и подробным и доказательствам и.

Апробация работы. Все результаты диссертации докладывались на следующих зарубежных и российских международных научных конференциях:

— Международная школа-конференция по анализу и геометрии (Новосибирск, ИМ СО РАН, 23 августа - 2 сентября 2004 г.),

— International Conference «Mathematical inequalities and applications 2008» (Croatia, Split-Trogir, 8-14 June 2008.),

— Международная конференция «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 14-20 сентября 2009 г.),

— The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC) (Moscow, Peoples' Friendship University of Russia, 22-27 August 2011.),

— International Conference 011 Function Spaces and Variable Exponent Analysis (Spain, Barcelona, Centre tie Recerca Matcinatica-Bellatcrra, 2630 September 2011.),

— 1С N PA A 2012 World Congress: 9 th International Conference 011 Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences. Special Session (SSG): «Harmonic Analysis, Inequalities, Homogenization Theory and Applications» (Austria, Vienna, The Vienna. University of Technology, 10-14 July 2012.),

— 4-ая Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 90-летию со дня рождения Л.Д. Кудрявцева (Москва, Российский университет дружбы пародов, 24 -29 марта 2013 г.).

Обсуждение большинства из полученных результатов проводилось на. следующих научных семинарах:

— Seminar of Dynamical systems, Number Theory and Analysis (Uppsala University, Sweden, 14 May 2009.),

— Pure Mathematics Seminar (University of York, United Kingdom, 01 December 2010.),

— Analysis Seminar (Lund University, Sweden, 31 May 2011.),

— Yorkshire Functional Analysis Seminar (Leeds University, United Kingdom, 11 October 2011.),

— Functional Analysis Seminar (University of Oxford, United Kingdom, 29 November 2011.),

— Analysis Seminar (Newcastle University, United Kingdom, 08 March 2012.),

— Семинар по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Отдел теории функций, 27 марта 2013 г.).

Исследования, проводимые в рамках диссертации, были частью научно-исследовательских проектов, поддержанных в разные годы следующими организациями:

— Российский фонд фундаментальных исследований (гранты 00-0100239, 01-01-06040, 02-01-06572, 03-01-00017, 07-01-00054, 09-01-98516);

— Дальневосточное отделение Российской академии наук (гранты 04-03-Г-01-049. 04-Ш-Г-01-113, 05-Ш-Г-01-108, 05-III-A-01-12, 06-III-B-01- 018. 06-III-A-01-003, 09-01-98516, 09-I-OMH-02, 09-II-CO-01-003);

— The Swedish Institute: Postdoctoral scholarship grant (Project 00105/2007 Visby Program. 382), Uppsala University. Sweden;

— European Research Agency (Seventh Framework Programme): Marie Curie Intra-European Fellowship (Project FP7-PEOPLE-2009-IEF-252784). University of York, United Kingdom.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей в журналах из реестра ВАК [1-3, 5-7, 9, 10, 12, 13, 15-18, 22]. Из них 9 работ написано в соавторстве с В. Д. Степановым, одна работа, с Л.-Е. Псрссо-ном, и одна работа — совместно с В. Д. Степановым и JI.-E. Перссоном. В диссертационной работе использованы результаты указанных публикаций, полученные непосредственно соискателем.

Кроме журнальных статей по теме работы опубликованы тезисы докладов, сделанных автором на зарубежных и российских международных конференциях [4, 8, 11, 14, 19-21]. В списке публикаций диссертации также перечислены некоторые из работ соискателя в печатных или электронных изданиях с открытым доступом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, посвященных трем различным классам интегральных операторов, и списка литературы, включающего 124 наименования. Объем диссертации составляет 206 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит разъяснепия о характере и постановке вопросов, которые охватывает данная работа. В частности, подробно изложены все исследуемые задачи и дан краткий обзор методов, используемых для их решения. В вводной части работы также обосновывается актуальность и цели исследования, приводится краткое описание структуры и содер-

жания диссертации по главам. Кроме этого, введение к работе содержит определения и обозначения, необходимые для изложения и понимания ее результатов. Приведем некоторые из них.

Определение 1. Пусть Т : X Y — линейный оператор, где X к Y — произвольные (квази)-банаховы пространства. Величину

«„(Г) = inf{ЦТ - Р\\х^г- Р ■ X Y, rankР < п) (п € IM)

называют n-ьш аппроксимативным числом Т из X в У.

Если Т : Н —» Н компактен в сепарабелыгом гильбертовом пространстве Н, то ап{Т) = sn(T), где

является п-ым сингулярным числом оператора Т : Н —> Н.

Для изучения поведения последовательностей {а„}„е|м в диссертационной работе используются два способа. Первый состоит в получении асимптотических оценок на а„, а второй — в нахождении оценок на (квази)-нормы Шаттсна-Лорспца

и (квази)-нормы Шаттсна-фон Неймана ||Т||з„ = ЦТЦз,,,,.

Главы диссертации посвящены трем классам операторов: с ядрами, удовлетворяющими условиям монотонности (глава 1), типа Харди-Стеклова (глава 2) и многомерным операторам Харди (глава 3).

Указанные классы преобразований действуют в пространствах Лебега

На протяжении всей работы через V и ги обозначаются неотрицательные весовые функции на (0, оо). Мы полагаем р' := р/{р — 1), г := ря/(р — <?), используем символ А <С В, когда А < сВ с константой с, зависящей только от числовых параметров, и пишем А и В, если А <С В А.

(г) = л „(Vf^)

(О < а, в < оо)

Lp ■= {/: 11/Ц,, < оо}, где 0 < р < ос и

В первой главе изучаются операторы

поо

К f{x): = w(x) / k(x, y)f{y)v(y) d у (х > 0) J о

из D' в L'1 с неотрицательными ядрами к(х,у), не возрастающими по одной или двум переменным х и у. В качестве модельной здесь рассматривается ситуация, когда функция к(х, у) в определении К не возрастает по у.

В § 1.1 найдены необходимые и достаточные условия ограниченности К из L1' в L'1. Результаты такого типа представлены в диссертации в виде двусторонних оценок на норму ||Ä'||ii>->£i для всех р > 1 и q > 0. Основные положения §1.1 содержатся в двух следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть измеримая на (0, оо) х (0, оо) функция 0 < к(х, у) < 1 убывает по у, причем

/•оо г оо

lim / к(х. y)wq(x) dx = lim / kq(x. y)wq(x) dx = 0. и-*» Jо Jo

Тогда для нормы Ц/Як'1-»!« выполняются следующие оценки: sup QH kq(x, t)wq(x) dx j ' Qf "' « \\K\\L,.^ (2)

sup ^ k(x, t)wq(x) dx^ ' ^ jf ' , если 1 < p < q < ос; при 1 < q < p < oc

<7 Г fl <1

/ v"

Jo

/ f00 \ fX' 5 r

< / / fc(x,i)w''(^)dx /

\Jo [-»о J lyo

<?ля O<5<I<P<00

/■оо Г /*оо

/ / kq{x,t)wq{x)dx

Jo |yo

i/(£)di) (3)

t/(i)diY;

0 Г ft ,1

/ г/

.Л .

/■ оо г /*оо «, Г

/ / fc''(x,i)u/'(x)dx / г/

Uo J L/o

t/ (£) di

и в случае 0 < q < 1 = р

^sssup { f кч{х. t.)w''(x) d.r J 't'(t) < t> о \Л) /

«

/>

Л L о

esssup г;(у) | d 0<y<'

fc'^M)«''^) dx

Теорема 2. Пусть k(x,y) > 0 убывает но y, причем lim^oo /0°° кч(х, y)wq{x) da; = 0. Тогда правые оценки в (2) и (3), соответственно, нужно заменить на следующие:

|| « sup ( П Г k"(x, y)w"(x) dJ v"') Г if(z) dz

t>о \j(> uо j / \jt

|_.7o IVo

kq(x,y)wq{x)d

.rjV'

f-T

Ы ày

vv (i) d£ .

Аналогично можно получить условия ограниченности оператора Я" из Ьр в Ь'! с ядром к(х,у), неубывающим по у, или с к(х,у), неубывающим/невозрастающим по х.

В общем случае необходимые и достаточные условия ограниченности К из Ьр в Ь'1, найденные в теоремах 1 и 2, различны. Но при некоторых дополнительных требованиях на функции к(х, у), г<(у) и и>(х) их можно преобразовать в критерии, которые являются гораздо более удобными в использовании. Поэтому, вторая часть первой главы, а именно § 1.2, посвящена двум представителям класса (1) с монотонными ядрами, для которых как раз и были получены критерии ограниченности. В § 1.2 в качестве К рассматривается преобразование Лапласа

рос

Cf(x):= с~^f(y)v(y)dy (х > 0) J о

и преобразование Стилтьеса.

f(y)v{y)dy

Sf(x) := w

(х) Г

J о

Xх + ух

(х > 0)

(4)

(5)

с А > 0. Условия ограниченности операторов (4) и (5) из Lp в Lq представлены в § 1.2.1 нашей работы.

Теорема 3. Следующее верно для Н^СЦ^,^,;

llalli"

supt>0rVí(/0V)

(S™y-X"'vv\y)áy)lh',

(fo° t v1''{y) dí/j vp'(t) di

(/oeoí-A[/o«]í"1«(í)dí)1/,>

css sup(>(1 t-x/'i css supn<(;<( v{y),

i < p < q < oo,

1 = q < p < oo, 1 < q < p < oc, 1 < q < p = oo, 1 = p < q < oo, 1 < p < q — oo;

если 0<g<l<p<oo, m,o

пр и О < q < 1 = p

csssup t 1 l'(t) <C ||£||¿1->£1 <C oo \Jo

для 0<q<l<p = oo

r oo

/ t~*v{t) át <SL ||£||l= Jo

t ¡-i 1 I csssup i>(y) | 'di L o<j/<í

« ( / Г

/

VO

5-1

i>(í)dí .

Теорема 4. Для ||«S||¿í'—справедливо:

llalli"->L" ~ supl / i>o Vio

iu'l(x) dx^ 1 xXq

+ sup

í>0 V^í

если 1 < p < q < oo,• при O < q < oo, p > 1

w''(x) dx

llalli,

í

'(QdtV

íA« У

r30 i,P

+

(y) dy

Jo

wq{t)dt) ■

||5||ц^ь* ~ ( [ Гсззвир^у)] [ \Уо 1 0 <у<1 -I У г

и)ч(х) Ах

гМ

гл<г

[ и А еззвир г;(у)1' ' [

Jo 1 Ку«х} -1 [7 О

+ вир í евв

¡>0 I- Ку<оо

зв вир ?;(?/)] [

<у<оо -1 J о

и>.

если 0 < д < 1 = р; и в случае р = <? = 1

[1 Лх

свв 8ирг;(?/) / -V—

о<г/<г -1 Л ж

Решение задачи о компактности преобразований Лапласа С и Стил-

тьеса 5 из Ьр в Ьч представлено в работе во второй части § 1.2.1.

Теорема 5. Если 1 < р < q < оо, то С : Ьр Ь'1 компактен тогда и только тогда, когда 8ир(>0 ¿~А/'г ^ур' ^ < оо и

Пт £

¡->о

-А/в

■г \ 1/р'

= Нт ГА/«

"(И"

= 0.

С : Ь1' —> Ь'7 компактен при 1 < д < р < оо, если и только если

-А,-/«

г/(г)с]г) < оо.

/t И '79 \ 1

V1'' г/(г)<и)

(б)

.Если 1 = <2 < р < оо, то компактность С : Ьр —> Ь1 эквивалентна выполнению условия у~Аг' ър (у) < оо.

Пусть 0<д<1<р< оо. Оператор С : Ьр —¥ Ьч компактен тогда, когда выполнено (0). .Если £ компактен из V' в Ьч, то /0°° £ « г;р (¿) с1й < оо.

Пусть 0 < д < 1 = р. С компактен из Ь1 в Ьч, если

ОО -7 1 -I?

I / С88 3ир1)(у) Г * <И ) < ОО.

Если £ является Ь1 — Ьч - компактным, 0 < д < 1, то еввзир^« у(Ь) <

оо.

оо

При 1 = р < д < оо оператор С : Ь1 —> Ь9 компактен, если и только

если сз8 8ир£~А/''сзз8ир0<ц<<г;(?/) < оо и «>о

Пт£ ч сй8 8ирг)(2/) = Нт £ « сзззирг>(2/) = 0.

Если 1 < (/ < р = оо, то С : Ь°° —» I/1 компактен тогда и только тогда, когда

1 /ч

< оо. (7)

Пусть 0<д<1г(р = ос. Оператор С является Ь°° — Ц1 - компактным, если верно (7). Если С компактен из в Р. О < д < 1, то /0°° 5"гт(£) с^ < оо.

При 1 < р < ос оператор С : V -¥ Ь°° компактен, если и только если 1М1р' < оо.

Теорема 6. Если 1 < р < ц < ос, то Б : Ьр —> Ьч компактен тогда и только тогда, когда

вир

г>о

и Нт

(-»О

Ь—>оо

Xх''

< оо

= 0.

Пусть 0<д<р<ооир>1. Если <7^1. то Б компактен тогда и только тогда, когда

Г [/VIIГ

■Л) |уо ] [у<

ги''(х)

ххч

+

■щЧЦ)

Ж

ь"'(у)йу

При д = 1 оператор Б является V — Ь1 - компактным, если и только если

ю(х) ёж4''

аг

1>р {у) с!г/ < оо.

хх + ух _

Если 0 < д < 1 = р, то Б Ь1 — Ь'1 -компактен тогда и только тогда, когда

ГОО Г ГО

/ сев вир г; (у) ' " / 3 о 1 о<у<( -1 |_Л

и'''(х) <\х

г\Ч

(

+ (/ "ЛС88 8ирг.1(7/)1 /

1 «!/< ЭО -1 и'о

ги'

ги?(<)с1г < оо.

Если р = \ < г/ < ос, то оператор Б : Ь1 —> Ь'1 компактен, если и только если

вир

оо

сээ вир г;(у) | . о<у<£ \>/(

' ъи'Цх) с!ж\' >

2-А9

еззэир^г/) I /

< ОО

Пт вир

0<«а

Пт яир

Ь-*00 (<<«оо

СЭв вир V

I 0<»<(

Свв вир V ь<у<г

ы(/

, ч / Гх го«(х)с1а:\'

ыи

+ Ь лезззири

Ф Лу)[ /

а О

= о,

= 0.

£ ' / «¡/<оо

В § 1.2.2 рассматриваются преобразования Лапласа £ и Стилтьеса 5 из Ьр в Ьч, когда р = д = 2. В частности, получены двусторонние оценки на нормы Шаттена-фон Неймана для преобразования С вида (4) и оператора 5 вида (5) в случае и> = V.

Теорема 7. Пусть С, : I? —> Ь2 компактен. Если 1 < а < оо, то

1|£|к » х-*?-1 У2(у) ау)2а*)".

Для 0 < а < 1 верно, что

Теорема 8. Пусть оператор 5 еис?а (5) сю = V компактен из I? в Ь2. Если 1/2 < а < оо, то

||5||Ё„ « V2(у) ¿уу<1ху.

Для 0 < а < 1/2 верно, что

£ х -1 ^Г "" « ||5||ги « ^ х-^-1 г,2^ 2 ах.

Результат теоремы 8 следует из теоремы 7 в силу того, что 5 = С"С в случае т = V, где С*д(у) := у(у) /0°° с~хуХд{х) &х.

Последний параграф 1.2.3 первой главы посвящен изучению поведения аппроксимативных чисел преобразования Лапласа £ : I/ Ьч вида (4). Приведем полученные здесь результаты.

Теорема 9. Пусть преобразование Лапласа С вида (4) компактно из Ьр в и. Если 1 < р < ц < оо и а > р'д/{р' + q) или 1 < q < р < оо и р'ч/{р' + <?)<«< г, то

71 6 IN

Если 1 < q < р < оо и а > г, то

и eN

t ~

[ ?/ J о

[ г/

Jo

7-1

v1' (t) di .

vp (í) di

Для 0<g<l<p<oo и a > p'q/{p' + q) верно, -что

fovV'(y)dy Jo уР'{у) dy"

'(t) di)". '(í)dí)7.

Q > Г.

Для l=p<<7<a<oo имеем:

(E^))" « f supi;(?/)]0 r^-Ut)".

\eN У VA 0<„<г /

Если Q<q<\=p и a>q, то

'(/^[csssup^r

4 0<y<t '

í _a_ Л \ ^

(/o°°[csssupv(í/)]A d[-í"—]) ' , a > v O<y<t ' 4

neN

O < -Г2-,

— l—q

Теорема 10. Пусть 1 < p < q < оо и С, : Lp —» Lq компактен. Если p> 1 и /0°° í"?^ t/J "" up'(¿) di < оо, то

lim sup Ti"

n—>00

Если p = 1, /0°° i Л 1[esssupü<¡/<f «(y)]''di < оо, а также существует измеримая v,(t) = lim,^0 ||v||£=o(t_fií+f), i > О, то

, / r°° \ l!q

limsupnían(£) < ( / rx~lvqt{t) át n-»oo \J o y

Во второй главе изучаются свойства интегральных преобразований типа Харди-Стеклова из 1/ в Ьч, когда р > 1 и д > 0, и некоторые их приложения. Оператор Харди-Стеклова

гЬ{х)

Н1{х):=гю{х) 1(уМу)ау (х>0) (8)

Ja{x)

исследуется в настоящей работе в случае, когда граничные функции а(х) и Ь(х) удовлетворяют следующим условиям:

а(х) и Ь(х) дифференцируемы и строго возрастают на(0,оо); (И) а(0) = 6(0) = 0, а(х) < Ь(х) для х > 0, а(оо) — Ъ{оо) = оо.

(9)

В первом параграфе второй главы приводятся вспомогательные результаты и разъясняются используемые методы исследования. В частности, в § 2.1.3 вводится понятие фарватер-функции.

Определение 2. Для р > 1, заданных граничных функций а(х), Ь{х), удовлетворяющих условиям (9), и почти всюду конечной и положительной на (0, оо) весовой функции у(х), локально интегрируемой со степенью р' на (0, оо), фарватер-функция сг(х) определяется с помощью уравнения

га(х) Мх)

/ ур'(у)Ау = / ур (у) ¿у (х>0), (10)

Ja(x) иа(х)

где а(х) < сг(х) < Ь(х) для всех х > 0.

В терминах о(х) формулируется основной результат § 2.2.1, который дает ответ на вопрос об ограниченности оператора Харди-Стеклова И из Ьр в £,«.

Теорема 11. Пусть "Н — оператор вида (8) с граничными функциями а{х) иЬ(х), удовлетворяющими условиям (9). Пусть а(х) является фарватером, то есть выполнено (10). Если 1 < р < д < оо, то

вир

оо

а^т) »-■(«(Ч)

[ УР

.■/дм

Если 0 < д < р < оо ир> I, то ||К||х,р->£, Г"1 (КО) г г Л ч

/0 |_"/сг-1(а(0)

и)ч{х) Ах

6(0

а(0

Вря, где

ВРЗ- =

Г~Х(К0) г г

/ \ ур' ^ и>ч{х)<1х

■/а-МаМ) идн

р Г Гт 1

/ Ур'

§ 2.2.2 посвящен изучению свойств ограниченности и компактности обобщенного оператора Харди-Стеклова

с теми же. граничными функциями, что и выше, и неотрицательным ядром к(х,у), удовлетворяющим следующему условию: существует константа И > 1, не зависящая от х, у и 2, такая, что

к(х,у)ък(х,Ь(г)) + к{г,у), г < х, а{х) < у < Ь(г), (12)

к{х,у)ък{х,а{г)) + к{г,у), х < г, а(г) < у < Ь{х). (13)

При таких предположениях основной результат § 2.2.2 имеет форму необходимых и достаточных условий ограниченности и компактности оператора (11) из Ьр в Ьч. Для их формулировки нам потребуется расширенное понятие фарватера.

Определение 3. Для граничных функций а(х) и Ь(х), удовлетворяющих условиям (9), чисел р,д € (1,ос), непрерывной функции 0 < к(х,у) < оо п.в. на {(х,у): х > 0, а(х) < у < Ь(х)} и весовых функций О < v, ги < оо п.в. на (0, оо) таких, что для любого х > 0 функция кр (х, у)ьр (у) является локально интегрируемой на (0, оо) по пере,мен-ной у и для любого у > 0 произведение к'!(х, у)и)ч(х) — локально интегрируемо на (0, оо) по х, определим две фарватер-функции <;(х) и р{у) такие, что а(х) < я(х) < Ь(х), Ь~1(у) < р(у) < а~1(у) и

гь(х)

КПх) := и>(х) / к(х,у)/(у)у(у)<1у (х > 0) (11)

либо

а(х)

к»'(х, у)ир'{у) йу = кр'(х, у)у»'(у) Ау (х > 0),

кч{х,у)и)ч{х)Ах = / кч{х,у)и)ч(х)йх {у > 0).

Введем обозначения:

«>о оо \Л-](г) / \Л(р(<))

В! :=

1а I

/*00 Г /•

-»О Л

а"1 С)

ь-ЧО «"'(«(О)

[ УР'(У) ¿У

■><ыт

ГЩ)

[ к"'Ц,уУ(у)йу

ьч«

./, .— оир^дь; .— оир| I кЧ(х,1)т''(х) ¿X

«>о (>о чЛ-'м

.4,, := зирДДг) :=

■МО)

«/'(£) с« М/>М)

? / /-Ч/'М)

чЛ(л(<))

/ га-'Ш) / /-ВД л := 8ир:= вир / / с1т/

(>0 оо \Л-1(4(()) / \Л(<)

В„:=

/■«"'(О

Л-•

/•оо />а

Л)

Ь-1(0 «-1 (<(«))

С) адО)

■•4,40)

гь(0

/ ^(г.г/ХМёу

.-'«(О

«/'(£) с!*

'о иь-'Ш)

Теорема 12. Пусть оператор К, задан формулой (11) с граничными функциями а(х) и Ь(х), удовлетворяющими условиям (9), и непрерывным па {(х,у): х > 0,а(х) < у < 6(ж)} ядром к(х,у) > 0 из класса (12). Предположим также, что функции р(у) и строго возрастают на (О, оо) и удовлетворяют условиям определения 3. Если 1 < р < д < оо, то

Л~ + Д+ < Ц^СЦх,^!, < Лр + Л-Кроме, того, если К, : Ь1' —>• компактен, то < оо и

Нт(-ю = НтмоЛ+Й = 0. Наоборот, оператор К. : Ьр -»•

(-»зо «-ЮО

компактен, еслиЛ(„Л^ < оо и Пт ^4/,(г) = Нт^о = 0. При

1 < д < р < оо верно, что

В- + < ||/С|и,_>£, « в, + вя.

Кроме того, оператор К, : Ьр Ьч компактен, если ВР,ВЯ < оо, и, обратно, если К. : V' —» компактен, то В~,В+ < оо.

Похожий результат имеет место и в случае, когда ядро к оператора К. принадлежит классу (13).

При некоторых дополнительных требованиях па к и весовые функции V, и;, полученные выше условия ограниченности и компактности преобразования (11) из V в Ьч приобретают форму критериев.

Теорема 13. Пусть К, задан формулой (11) с а(х) и Ь(х), удовлетворяющими (9), и непрерывным ядром к(х,у) > 0. Предположим, что функции р(х) и па (0, оо) являются строго возрастающими фарватерами из определения 3. Утверждения

м~„ ]Л, + Л, 1<Р<<7<оо

II <Ч| £?-»■£,<! ^ N

\Вп + Вя, 1 < д < р < оо

К, : Lp Lq компактен тогда и только тогда, когда

{Ар, А; < оо, Нш(-»о Ap(t) = lim t->o A^(t) = 0, 1 < p < g < oo

t—>oo t—>oo

Bp, ßj < ОО, 1<5<р<00

выполняются для К. в следующих случаях: а) если к(х,у) € (13) П (12);

b) если к(х, у) S (12) и для всех t > 0

ft fb(p(t)) га-*№) /-а'1 Mi))

/ vp' И / vp' и I wq » / w«;

Л(р(<)) -Мр(О) Jt Jb-Цф))

c) если к(х, у) € (13) и для всех t > 0

rHp(t)} rb(p(t)) rt /•«-'№))

/ ^(у) « / vp и wq « / «Л

Jt Ja(p(t)) Л-'(ф)) Л-'М 0)

Следующий параграф второй главы (§ 2.3) посвящен приложению результатов § 2.2 к решению некоторых смежных задач. Таковой, например, является задача о весовом Lp — ^-неравенстве для оператора Харди-Стеклова (8), суженного на подкласс невозрастающих неотрицательных функций:

т\\ч<с^\\мР (/I). (14)

Это неравенство охарактеризовано в § 2.3.1 с помощью результатов, полученных в § 2.2.2 для обобщенного оператора/С.

Теорема 14. Предположим, что параметры суммирования р, д € (1,оо), весовые функции и,у,т и пределы интегрирования а(х) и Ь(х) оператора (8) таковы, что фарватеры я и р (см. определение 3), удовлетворяющие условиям а(х) < я{х) < Ь(х), Ь_1(г) < р(г) < а~1(г)

/ ~r77 Iй ^ dz = / ( ~r3 ~ ) up(z) dz (x > o ,

•/«M V Jo / ÁM \JouP J

fP(~) / \í ra-'(:) / rz \q

/ [ v) wq{x)dx= / / w) w?(x)da: (2 > 0),

Л-'(г) VA(j-) / .//>(-) \Л(.г) /

строго возрастают на (0, oo). Тогда для наилучшей константны о неравенстве (14) выполнены следующие оценки: если1 < р < q < оо, то

Л10 + Л},о + Л1Р>+ + « С* « Л£ + + Л* + Л*, -где

up(z) dz

u¡'(z) dz

</(z)d;

up di

a(í) V«(i] / ¡>C) / f? \1'' / fz \ -P'

И I / UP UP(z)dz ) ,

и 4- — и i _L л-l л! — л-I- i

а в случае 1 < q < p < oo верно, что

А^ + 0 + + Bi_ « C¿ « Ai + Bt.o + + »de

BÍ.o-=

Ш'(') "I «

uj w?(x)dx

p' Ib(t)d{Io U } ■ ,-b(t)

Jatt)

wq{t)dt

г» г Г* 1 Г Гт ( Г V { [2 \~р 1?

(ф_)г:= / / и;9 [ V) ( и») ир(г) сЬ

•Л) иЬ-'МО) J 1-Л(0 \Уа(0 / \Л / лоо г ла-'МО) 1 ? Г /-ад / /•- \р' / /-2 \-р' 17 [В1+у-.= / и;' [ у) [ ир) ир(г) ¿г

Jo [.-Л ] 1у<1(/) \7а(() / ЧЛ /

роо Г га-'(1) Г Н Ч 9 "1 5

(В1Г:= / / Л «;«(*)(!*

х [ й( [ и"\ " ' й [ ир Р Ja(,,(t)) 1-Л) ) \ [Л ]

(£,-.+ )'':= 4 Г\Г

Р'Л) 1/ь-ЧО 1Ли J

г в Г*40' Г г 1 г /"'

-Я ТН 14/'" ■

^ := + + ) В,1 := В' +

Похожий результат можно получить и для неубывающих на (0, оо) функций / 1\

В следующей задаче, которая решается в третьем параграфе второй главы с помощью результатов из § 2.2, рассматривается оператор геометрического среднего

£?/(*) := ехр ( 1 (Ь(1) 1о8 Г (у) (/ > 0) (15)

\Ь(х) - а{х) Лм /

в пространствах Лебега Ьр и Ьч, когда 0 < <? < р < оо. Здесь граничные функции а(х) и Ь(х) нелинейного преобразования (15) удовлетворяют условиям (9). В следующей теореме из параграфа 2.3.2 охарактеризовано весовое Ьр — //'-неравенство для

Теорема 15. Пусть 0 < д < р < оо и оператор 0 задан формулой (15) с граничными функциями а(х) и Ь(х), удовлетворяющими условиям (9). Тогда

зи \\(бЛМ\я „ ( ГТ Г°1(т) (Си-1)"-^]" V

/>о \\МР ~Ц, 1М Т \Ь(1) - аи)У,р) '

где <r(|(¿) = (a{t) + b(t))/2 и u{t) := (Ov'1) (t)w{t).

Еще одним приложением результатов об ограниченности операторов Харди-Стеклова Tí является задача о вложениях весовых пространств Соболева

И;1.., := {/ 6 ЛС(0,оо): ||/||„-;я := ||/rn||s + Wf'v^, < 00}

в весовое пространство Лебега. L\, := {/ : ||/и>||(/ < ос}. При некоторых условиях на числовые параметры р > 1, q > 0, s > 0 и неотрицательные весовые функций v0. Vi и w такая задача решена в § 2.3.3 нашей работы. Для простоты мы ограничиваемся подмножеством ,4С(0, оо) всех / € Il';Js с компактными носителями в (0, оо) и обозначаем И^1, — замыкание .4(7(0,00) по норме Н/Ццу , = И/Ицд,-

Для заданных 1 < p,q,s < 00 и весовых функций г>о, vi и w таких, что 0 < vQ(x),vi(x),w(x) < ос для п.в. х е (0, оо) и г'0 € ¿¡;1С(0, оо), v! 6 ¿foc(0, оо), 1/п € Ljf)c(0,oo), и, £ £¡^(0,00), 1/ш € ^(О.оо), если q > 1, рассмотрим задачу о характеризации неравенства

11/41, <Cill/ll„-.„ (1С)

с константой С% > 0, которую будем считать наименьшей из возможных и независимой от / € И7,}..,- Неравенство (1G), очевидно, соответствует задаче о непрерывном вложении пространства Wj) s в L4W. Центральным результатом этой части нашей работы является так называемый принцип двойственности (см. теорему 16), с помощью которого происходит связывание неравенства (1G) с задачей об ограниченности оператора Харди-Стеклова Л вида (8) в пространствах Лебега на (0, оо).

Теорема 16. Пусть 1 < р, s < 00 и 0 < g € £^(0, 00). Предположим, что функции а{х) и Ь(х) таковы, что для всех х > О

рх [■!>{ х)

/ V = / "Гр (17)

•/«(. г) J х

/ гК*) Д ¡7 / rbH \ i

/ ^ ( Я =1' (18)

\Ja(x) / \Ja(x) /

Обозначим

Если р > в, то

Со (.9) вир о^/еи-

/>о

11/11,Р

« с^д).

В случае р < в верно, что

£1(3) < эир о^/еи;1. />о

,ГЛ0д(0<Ц 11/11„-.

« СоЫ + С^д).

р.я

На основе принципа двойственности, сформулированного в теореме 16, устанавливаются необходимые и достаточные условия выполнения неравенства (16).

Теорема 17. Пусть 1 < р, д,э < оо. р := — д) и функции а(х),

Ь(х) удовлетворяют условиям (17) и (18) для всех х > 0. Тогда для наилучшей константы Сц в неравенстве (16) справедливы следующие оценки: если 1 < р < ц < оо и \ < я < д. то

(19)

если i<p<<7<s<00, то

Лг <С Сг <С

+А;

прм 1<<7<P<OOM1<S<P

В,(в) < Сц «С

V

-.В,.

для I<<7<P<S<00 верно, что

Вг « Сц «БД«) + Вг. (20)

Теорема 17, в частности, даст критерий непрерывности вложения пространства И^1, в Ц1% для 1 < р < г/ < ос и 1 < л < г/ (см. (19)). Также из данной теоремы (см. (20)) следует критерий для вложения в случае 1 < (] < р = в < оо, а именно С]1 « В, .

Завершает вторую главу параграф 2.4 об оценках на нормы Шаттсна-фон Неймана для оператора Харди-Стсклова Н : Ь1' —>• Ь1', в рамках которого получен следующий результат.

Теорема 18. Пусть 1 < а,р < оо. Предположим, что оператор ~Н : V —> Ь1' компактен. При этом его граничные функции а(х) и Ь(х) удовлетворяют условиям (9) и сг(х) € (10). Если а < р, то

||^||з„ -С V, где.

(21)

V : =

/■оо Г гч '(') ] J, Г Л

/ / /

J 0 Jb'Ht) . Jai

1о ЫЬ-ЧО В случае р < а верно, что

Мст-чо)

Т--1

vp (t) dt.

IIWIIs,. « W,

W :=

■ /*оо г ra~l{a(t)) -1 £-1 r r,

/ / W" /

VO Ub '(ad)) J Ual

где

b(t)

V1

L Ja(t)

WP(t) С\t

Отметим, что оценка (21) верна для всех 1 < а,р < оо. Основным результатом § 2.4 является оценка снизу на нормы Шаттепа-фон Неймана ||Н||б„ оператора Харди -Стсклова % : Ьр —>• V' для а > 0.

Теорема 19. Для всех а > О

m\s„» £ sup

VeZ

Г f<i-\«(t)) l> Г fb[t) 1

/ wp / v"'

Jl'-'wt))

/._. Г rUn 1;Г гЧ"

> fe / /

\k€l Uh J Ua(a~'

п^-ЧКШ

где точки {£д }Ае2 выбраны таким образом, что = 1 и «(^-+1) = &(£*:), «Г7Ё (10).

Третья глава посвящена многомерному оператору Харди

Я„/(хь...,1„): =/ ... /(2/1, - - •, У„) ¿уп... ¿уи (22) ио J о

..., хп > 0, действующему из весового пространства Лебега в

¿Ж), где

Ц'АК) := {/= 11/1ик. := (/1 1/1'")" <

для 1 < р < оо и неотрицательной весовой функции ы на := х ... х с := [0, оо). Известны приложения

и раз

<Сп\тр.г^ (23)

к весовым неравенствам для преобразования Фурье, Гильберта и максимальной функции. Многомерное неравенство Харди (23) соответствует задаче об ограниченности линейного оператора (22) из£р(К,|) в и является основным объектом изучения в третьей главе.

Главным результатом § 3.1 является достаточное условие для выполнения неравенства (23) в случае q < р.

Теорема 20. Пусть п = 2 и \ <q<p<oo. Тогда неравенство (23) выполнено, если

h := (^Jjv^z)}1^'^ ^[Н^-^-'иУ dudzy

или

^ w(u,zjf [mwY'^v1-"'^" dudzy

< оо

Вш := I / w(u,z) I I I \H;w\1'-ivi-p 1 dudz ) < oo, где

/ОО POO

j| w(x, y)dydx. При этом C2 <C В„ и Сг Вш, где Сг — наименьшая о (23).

В следующем параграфе 3.2 рассматривается задача о характсриза-ции (23) для п € Ы и 1 < p,q < оо в ситуациях, когда по меньшей мерс одна весовых функций v и w факторизуема, то есть представима

в виде /1(2/1,... ,г/„) = /11(2/1) • • • к „(у,,). Здесь получены несколько новых критериев выполнения неравенства (23).

Теорема 21. Пусть 1 < р, ц < оо и весовая функция V является фак-торизуемой. Если 1 < р < </ < оо, то для, наименьшей константы Сп в неравенстве (23) верны следующие оценка:

а« 8ир (Гу\~р') ■■■([ >■).

/•'»

ч 'Г VI-"'

Уо УО

(1х„ . .. с1х1

Есл и 1 < д < р < оо и

/■оо />ос

/ = ...= /

./о Л)

= оо,

»¿о Лдя наилучшей константы С„ в (23) выполнены следующие оценки:

' г ос гоо Г Си , л

/ и) /

Л Л. . Уо

"Г'Ч1,-"'

Уо

а « С [ \Г... Г ..., гт„) (Г V...

ч^е,; 1уо J о ио J

-{М

... Г VI-"'

УО

с1ж„... (1x1

У О

Похожие критерии для выполнения неравенства (23) найдены в § 3.2 в случае, когда возможна факторизация второй весовой функции«;.

В заключительном параграфе 3.3 третьей главы рассматривается неравенство

l|G„/IUR. < CgII/II,,,,^ (24)

для n-мерного оператора геометрического среднего

Gnf(xi,...,x„)-. = ехр{--- [ '■■■[ "logД (25)

V^i ■■■XnJa Ja J

Неравенство (24) является предельным случаем (23) в том смысле, что lim (l/x(#„/1/")(x)Y = G„/(x).

р—>оо V /

В работе с помощью результатов § 3.2 найден критерий выполнения (24) при 0 < р < q < оо. Кроме того, найдено достаточное условие выполнения неравенства (24) для 0 < q < р < оо, которое является также и необходимым в случаях, когда функция (GHv)~iw факторизуема.

Теорема 22. Пусть 0 < р, q < оо и Cg = supy>0 ^ ц}^*1'"''"'' • Тогда в случае 0 < р < q < ос

CG « sup t~K..t~H [ 1... [ uY, t,> 0 \J 0 J 0 /

где u(x\... x„): = (G„v)(x\... x„)^pw(xi ... x„), и. если 0 < q < p < oo,

nl° r 1

Cg ^ (X (/1" ■ Lм) ■ ■ ■'dii" ■di") ■

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования / / Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. - 2001. - Т. 232. - С. 298-317.

|2] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменной областью интегрирования // Доклады АН. — 2003. — Т. 393, № 5. - С. С00-004.

[3] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами // Сиб. матем. журнал. - 2004. - Т. 45, № 0. - С. 1378-1390.

[4] Ushakova Е. P. Integral operators with variable domain of integration // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. - С. 254.

[5| Перссон Л.-Э., Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с монотонными ядрами / / Доклады АН. — 2005. — Т. 403, № 1. - С. 11-14.

[С] Степанов В. Д., Ушакова. Е. П. Весовые оценки норм операторов с двумя переменными пределами интегрирования // Доклады АН. — 2008. - Т. 421, № 3. - С. 1-3.

[7| Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования //' Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. - 2008. - Т. 2G0. - С. 2G4-288.

[8] Ushakova Е. P. On a certain class of kernel operators with variable limits of integration // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2009. - С. 1С4.

[9] Ушакова Е. П. О сингулярных числах обобщенного преобразования Стилтьеса ,/,/ Доклады АН. - 2010. - Т. 431, № 2. - P. 175-17G.

[10] Ушакова Е. П. Оценки сингулярных чисел преобразований типа Сти-лтьеса /7 Сиб. матсм. журнал. - 2011. - Т. 52, № 1. - С. 201-209.

]11] Ушакова Е. П. Принцип двойственности в пространствах Соболева /7 Тезисы докладов 4-ой Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», Москва, 24-29 марта 2013 г. - Москва: РУДН, 2013. - С. 133-134.

[12] Stcpanov V. D., Ushakova Е. P. Hardy operator with variable limits oil monotone functions /7 J. Funct. Spaces Appl. — 2003. — Vol. 1, N 1. — P. 1-15.

[13] Persson L.-E., Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy type integral inequalities / / J. Math. Incqual. - 2007. - Vol. 1, N 3. - P. 301319.

[14] Ushakova E. P. Hardy inequalities with both variable limits of integration oil subclasses of monotone functions // Abstracts of the International Conference «Mathematical inequalities and applications 2008», Split Trogir, June 8-14, 2008. - 2008. - Zagreb: Element. - P. 139-140.

[15] Stcpanov V. D., Ushakova E. P. Alternative criteria for the boundedness of Volterra integral operators in Lebesguc spaces // Math. Inequal. Appl.

- 2009. - Vol. 12, N 4. - P. 873-889.

[16] Stcpanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesguc spaccs and applications // Math. Inequal. Appl.

- 2010. - Vol. 13, N 3. - P. 449-510.

[17] Stcpanov V. D., Ushakova E. P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesguc spaces /'/ Banacli J. Math. Anal. - 2010. - Vol. 4, N 1. - P. 28-52.

[18] Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class of kernel operators /7 J. Funct. Spaccs Appl. — 2011. — Vol. 9, N 1. — P. 67-107.

[19] Ushakova E. P. On upper estimates for approximation numbers of a Laplace type transformation //' Abstracts of the 8th Congress of the

International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC), Moscow, August 22-27, 2011. - 2011. - Moscow: Peoples' Friendship University of Russia. — P. 207.

[20] Ushakova E. P. Mapping properties of a Laplace type transform in Lcbcsgue spaces on the semi-axis /7 Abstracts of the International Conference on Function Spaces and Variable Exponent Analysis, CRM Bellaterra, Barcelona, September 2G-30, 2011. - 2011. - CRM. - P. 29.

[21] Ushakova E. P. On Schatten-von Neumann ideal behaviour of Hardy-Steklov operators in Lebesgue spaces /7 Abstracts of ICNPAA 2012 World Congress: 9th International Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (Special Session (SS6): «Harmonic Analysis, Inequalities, Homogoiiization Theory and Applications»), Vienna, July 10-14, 2012. - 2012. - URL: ienpaa.com/index.php/icnpaa/2012/papcr/view/875. — 1 p.

[22[ Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces /7 J. Operator Theory. — 2013. — Vol. G9, N 2. - P. 511-524.

Ушакова Елена Павловна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Автореферат диссертации на. соискание ученой степени доктора физико- математических наук

Подписано и печать '22.05.2013. Формат 60 х 84 1/16. Печ. л. 2. Тираж 100 экз.

Вычислительный центр ДВО РАН 680000. г. Хабаровск, ул. Ким Ю Чена 65.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

, ^ ж . На правах рукописи

05ШЗЙ!ЗЗб

Ушакова Елена Павловна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, член корреспондент РАН

Степанов В.Д.

ХАБАРОВСК - 2013

содержание

Стр.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ....................................... 4

ВВЕДЕНИЕ ...................................................... 5

ГЛАВА 1 Классы операторов с монотонными ядрами 29

1.1 Ограниченность из 17 в Ья.............................................. 30

1.1.1 Вспомогательные утверждения...................................... 31

1.1.2 Условия ограниченности............................................. 35

1.1.3 Примеры............................................................... 37

1.2 Преобразования Лапласа и Стилтьеса из № в Ь'1 .................... 40

1.2.1 Ограниченность и компактность.................................... 40

1.2.1.1 Условия компактности преобразования Лапласа......... 45

1.2.1.2 Условия компактности преобразования Стилтьеса........ 52

1.2.2 Оценки норм Шаттена-фон Неймана в случае р = д = 2........ 55

1.2.3 Оценки на аппроксимативные числа преобразования Лапласа— 60

1.2.3.1 Предварительные оценки..........................................................................61

Случай 1 < р,д < оо..........................................................................................61

Случай 0<д< 1 <р< оо............................................................................63

1.2.3.2 Нормы типа Шаттена..................................................................................64

Случай р > 1 ..........................................................................................................64

Случай р = 1 ..........................................................................................................70

1.2.3.3 Асимптотическое поведение....................................................................72

ГЛАВА 2 Операторы типа Харди-Стеклова 77

2.1 Методы и вспомогательный материал.................................. 78

2.1.1 Блочно-диагональный метод........................................ 78

2.1.2 Оценки на нормы операторов типа Харди......................... 80

2.1.3 Фарватер-функция................................................... 93

2.2 Ограниченность и компактность из V в Ьч........................... 98

2.2.1 Оператор Харди-Стеклова........................................... 99

2.2.2 Обобщенный оператор Харди-Стеклова...........................110

2.3 Приложения...............................................................133

2.3.1 Ьр — Ьч неравенства на монотонных функциях...................133

2.3.2 № — Ьч неравенство для оператора геометрического среднего типа Харди-Стеклова...................................................137

2.3.3 Вложения весовых пространств Соболева в весовое Ьд..........144

2.3.3.1 Конструкция Ойнарова Отелбаева.........................145

2.3.3.2 Принцип двойственности ....................................146

2.3.3.3 Условия непрерывности вложений..........................157

2.4 Оценки норм Шаттена-фон Неймана .................................159

2.4.1 Основной результат...................................................161

2.4.1.1 Предварительные оценки....................................161

2.4.1.2 Обозначения и технические леммы.........................167

2.4.1.3 Нижние и верхние оценки на нормы Шаттена............169

2.4.2 Альтернативные верхние оценки....................................173

ГЛАВА 3 Многомерные операторы Харди из LP в Lq 177

3.1 Двумерное весовое неравенство Харди.................................179

3.2 n-мерное неравенство Харди с условиями на весовые функции — 183

3.2.1 Случай 1 < р < q < ос................................................185

3.2.2 Случай 1 < q < р < оо................................................191

3.3 Предельное весовое неравенство Харди для га-мерного оператора геометрического среднего.......................................................195

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................... 198

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N — множество натуральных чисел

Z — множество целых чисел

R — действительная ось (—оо, +оо)

М+ — неотрицательная полуось [0, +оо)

М+ — множество К+ х ... х R+

" N-v-'

п раз

(-, ■) — любой из промежутков (■, •), [•, ■], [•, ■) или (•, ■]

||Т||х->г — норма оператора Т из функционального простран-

ства X в функциональное пространство Y

А В или В — выражения вида А < сВ или А > сВ с константами

с, зависящими только от числовых параметров

А « В — выражение вида А В А

Хе — характеристическая функция множества Е С М+

х = f~l(y) — обратная функция к у = f(x)

jj{М С Z} — счетная функция множества М С Z

/ 4- (/ t) — невозрастающая (неубывающая) функция / > О

АС(1) — множество абсолютно непрерывных на I С (0, оо)

функций

и, v, D0, Vi, w — неотрицательные весовые функции (веса) на М+

р' — параметр, сопряженный к р > 0 и равный ^у

г — параметр, равный ^ = где p,q> О

п.в. — почти всюду

:= или =: — значки для определения новых величин

введение

Данная работа охватывает ряд задач функционального анализа, изучающих свойства линейных преобразований функциональных пространств как отображений. В качестве таких преобразований рассматриваются интегральные операторы Т в пространствах функций одной или нескольких переменных, а изучаемые свойства включают ограниченность, компактность и поведение аппроксимативных чисел Т, действующих из одного функционального пространства X в другое У, где X и У могут совпадать. В подавляющем большинстве случаев X и У пространства Лебега № (О < р < оо) на или их подклассы. И только в одном из разделов мы переходим к функциональным пространствам Соболева И^ на К+.

В качестве Т в основном рассматриваются одномерные операторы вида / —> /о°° кт{х, ?/)/(?/) , х > 0, с неотрицательными и измеримыми на М^ ядрами кт(х,у). Среди них — класс преобразований типа Вольтерра с кт(х,у) = д'(0,х){у)к{х, у), представителем которого при к(х, у) = 1 является оператор Харди, преобразования Лапласа (кт(х,у) = е~'ху) и Стилтьеса (кт(х,у) = 1/(х + у)), а также оператор Харди-Стеклова с кт{х,у) — Х(а(х),ь(х))(у)- Дополняют наше исследование несколько результатов об ограниченности из № в Ьч многомерных аналогов оператора Харди. Кроме В. Вольтерра, Г. X. Харди, П.-С. Лапласа, Т. И. Стилтьеса и В. А. Стеклова указанные отображения изучались в работах Ж. Лиувилля, Э. И. Фредгольма, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна, В. Б. Короткова и многих других (см., например, [4, 9, 13, 21, 26, 27, 29, 34, 44, 47, 58, 59, 64, 65, 68] и ссылки там же).

Свойства линейных преобразований Т, изучаемые в настоящей работе, являются основой для приложений рассматриваемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений [56, 58]. Они также находят применение в спектральной теории [22], теории приближений [24] и других областях.

Вопрос (А) об ограниченности оператора Т из X в У является традиционно первоочередным и исследуется в нашей работе в эквивалентной формулировке. Задача (В), равноценная данной для линейного преобразования Г, состоит в характериза-ции неравенства вида

где константа С — наименьшая и не зависит от /, а символ || • || обозначает (квази)-норму функции / в X или ее образа Г/ в У. Характеризация таких неравенств в данной работе осуществляется с помощью метода В. Д. Степанова [23, 85, 87]. Сам метод заключается в получении двусторонних оценок на С — ||Г||а'-)-г вида

\\Tf\W < СМх (/ > 0)

(0.0.1)

а ■ F < ||Г||Х_У </3-в

(0.0.2)

функционалами F и G, не зависящими от /. Константы а и /3 в (0.0.2) подразумеваются либо абсолютными, либо зависящими только от числовых параметров. При наличии оценки (0.0.2) конечность функционалов F и G формирует, соответственно, необходимое и достаточное условие выполнения неравенства (0.0.1) (либо, эквивалентно, необходимое и достаточное условие ограниченности оператора Т из X в У). Ситуация, когда функционалы F и G равны, является наиболее предпочтительной, так как при этом извлекается точный критерий ограниченности Т из X в У, a F = G становится эквивалентом операторной нормы ||Т||х->г, который не зависит от /.

К сожалению, оценки вида (0.0.2) удается получить не всегда. В таких случаях мы ограничиваемся только одной из двух частей неравенства (0.0.2), извлекая при этом либо только достаточные, либо только необходимые условия ограниченности Т.

Как уже было отмечено, задачи (А) и (В) эквивалентны друг другу, если речь идет о линейных Т. Чтобы подчеркнуть этот факт, мы используем обозначение (А) = (В) в соответствующих ситуациях и рассматриваем только вопрос (В), если Т нелинеен.

Иногда бывает полезным рассмотреть задачу (С) о характеризации неравенства (0.0.1) на подклассах функций. Такой подход нередко приводит к несколько другим результатам. Так, например, в работе [30, р. 728] был найден пример весового неравенства Харди, которое выполняется на подклассе неотрицательных невозрастающих функций, в то время как соответствующий функционал F — G ~ С (см. (0.0.1) и (0.0.2)) все еще не является конечной величиной. Этот факт, а также некоторые другие, говорит в пользу отдельного изучения неравенств типа (0.0.1), суженных на подклассы функций, имеющих важное прикладное значение. В нашей работе подобная задача на монотонных функциях решена для оператора Харди-Стеклова. В качестве основного метода при этом используется критерий Э. Сойера [79].

Для изучения (D) свойств компактности Т : X Y в работе используется метод представления исходного преобразования Т в виде суммы компактного оператора То и операторов с малой нормой. Для доказательства компактности Т0 применяются классические теоремы современного анализа [9, 25, 32], а полученные нами результаты представляют собой необходимые и достаточные условия компактности Т : X —Y. При этом, когда X и Y — банаховы, эти условия совпадают, формируя точные критерии, выраженные в терминах ядер исследуемых операторов, а также числовых характеристик пространств, в которых эти операторы действуют.

Поведение аппроксимативных чисел (Е) компактных операторов Т : X —> Y исследуется в нашей работе в терминах норм типа Шаттена (Е1) и в виде асимптотических оценок (Е2) па последовательность {апСГ)}пем. Напомним, что величину

ап (Т) = inf{||T - P\\x-*y : Р : X Y, rank Р < п) (n € N)

называют n-ым аппроксимативным числом линейного преобразования Т из X в Y. Последовательности аппроксимативных чисел являются невозрастающими и выра-

жают степень (погрешность) аппроксимации Т : X —> У операторами Р конечного ранга. В гильбертовом случае аппроксимативные числа оператора Т совпадают с его сингулярными числами а'п(Г) = Хп(у/Т*Т) (см. [1, 6]), а в общем — тесно связаны с другими характеристическими величинами такими, как числа Гельфанда, Колмогорова, Вейля, Гильберта, энтропийные и т. д. (см. [38, 55, 74, 91]). В зависимости от поведения {а„}пек вполне непрерывные линейные операторы можно разделить на классы. Так множества всех компактных операторов Т : X У, удовлетворяющих условию

(оо \ -3-

5>£СГ)Г<оо (0 < « < оо), (0.0.3)

71 = 1 '

образуют классы Шаттена-фон Неймана §„ по а > 0 (см. [5, Гл. 11], [6, Гл. 3], [55], [74]). Если (0.0.3) выполнено для а = 2, то Т является оператором Гильберта-Шмидта. Если ||Т||з] < оо, то Т — ядерный оператор. Более общие, чем классы Шаттена-Лоренца определяются следующим образом [70]:

:= |Т: ||Г||^ := (¿>£"Ч(Г)) ° < 00} (0 < а,/5 < оо). (0.0.4)

В нашей работе оценки типа (0.0.2) на нормы Шаттена ЦГЦз^ = ЦТЦэ,,^ и получены для трех классов интегральных операторов в пространствах Лебега на полуоси: преобразований типа Лапласа Стилтьеса и оператора Харди-Стеклова. Задача (Е2) об асимптотическом поведении последовательности {ап(Т)}пеи рассматривается только для преобразования . В исследовании аппроксимативных чисел мы опираемся на методы, разработанные в [26, 40-42, 61] для решения аналогичных задач в случае весового оператора Харди (0.0.5). Однако, особенности преобразований Т, изучаемых в этой работе, потребовали их серьезной доработки и адаптации к свойствам ядер к?, отличных от кц(х,у) = Х(о,х){у)-

Исследование интегральных операторов Т как отображений одного функционального пространства X в другое У, предложенное в настоящей работе, можно назвать комплексным и в то же время детальным анализом преобразований Т с точки зрения их ограниченности и компактности из X в У, особенностей поведения последовательностей {ап(Т)}г,еи, а также некоторых приложений Т для решения смежных задач. Такой подход помогает лучше понять поведение Т, действующих на различные классы функций из X. Он же формирует и основную цель нашего исследования, которая состоит в получении точных критериев (или точных необходимых и достаточных условий) выполнения тех или иных свойств для классов интегральных преобразований, полезных в анализе и его приложениях.

Подобное исследование проводилось в отношении немногих классов интегральных операторов. Среди них — преобразование <3 на Ь2(Ш+) вида С}/(х) = /0°° ^>(шах{ж, у})/(у) с1 у [26], весовой оператор Римана-Лиувилля 11а/(х) = го(х)

у)а~1/(у)у(у)Лу [12, 21, 75, 84], а также еще один класс весовых интегральных операторов типа Вольтерра с неотрицательным ядром Ойнарова к(х,у) (см. [16, 46, 60, 88, 113]). Несомненным лидером по количеству результатов, касающихся ограниченности и компактности в функциональных пространствах Лебега и не только, является интегральный оператор Харди

Этот оператор имеет массу приложений в анализе, смежных с ним дисциплинах и многих других областях. Свойства ограниченности и компактности Н из Ьр в Ьч изучались очень многими авторами (см. [14, 19, 40-44, 49, 57-59, 61, 73, 86]). Интегральные преобразования, изучаемые в данной работе, так или иначе связаны с оператором Н. Однако, как показывает наше исследование, их свойства и способы исследования существенно отличаются от таковых для (0.0.5).

Перейдем к более детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, каждая из которых разбита на параграфы и подчиненные им пункты. Нумерация рисунков, определений, примеров, теорем и других утверждений — двухуровневая, то есть внутренняя для каждой главы. Счетчики формул имеют три уровня и являются внутренними для каждого параграфа. Все обозначения, кроме общего списка на стр. 4, а также установленных во введении, действуют в пределах только той главы, в которой они определены. Для удобства чтения в диссертации приводятся известные результаты, используемые в доказательствах. Эти материалы, а также работы автора вне обозначенных рамок, приводятся в основном тексте в виде ненумерованных определений, теорем, лемм и т. д. с обязательным указанием имен авторов и источников цитирования.

Главы диссертации посвящены изучению свойств (А), (В), (С), (Б) и (Е) трех классов интегральных преобразований:

(1) с ядрами, удовлетворяющими условиям монотонности;

(2) типа Харди-Стеклова;

(3) многомерным операторам Харди.

Свойства (А), (В), (С), (Б) и (Е) вышеуказанных операторных классов изучены в нашей работе в разной степени. Так, например, в главе I, посвященной интегральным преобразованиям типа (1), задача (А) = (В) решена в общем виде, в то время как вопросы (Э) и (Е) рассматриваются только в отношении двух представителей класса (1), а именно, преобразований Лапласа и Стилтьеса. Задача (С) обсуждается в нашей работе только в главе II, посвященной операторам типа Харди-Стеклова (2), где не затрагивается вопрос (Е2), однако, представлен материал об интересных

(х > 0).

(0.0.5)

приложениях некоторых из полученных там результатов. Глава III содержит ответы только на вопрос (А)=(В) относительно многомерных операторов Харди (3). Остальные задачи по разным причинам не вошли в данную диссертацию.

Обзор литературы по теме работы частично представлен во введении, а также в начале каждой главы или в тексте параграфов, непосредственно перед изложением соответствующего материала.

Для перечисления полученных результатов введем несколько обозначений.

Пусть I CR. Мы говорим, что / £ LP(I) для 0 < р < оо, если ||/||р,/ < оо, где

В случаях, когда / = М+, мы пишем V := ЬР(Ш+). Если I — открытое множество, то / 6 Ь^ос(1), если / е ЬР(Г) для любого компактного подмножества V в I. Для О < р, 5 < сю определим параметр г таким образом, что

1 _ 1 _ 1 г <7 р

и заметим, что 1 /г = 1/р' — 1/д', где р' :— р/{р - 1) и д' := — 1).

Пусть весовые функции ур' и хич локально интегрируемы на (0, оо). В ГЛАВЕ I изучаются свойства (А) = (В), (Б) и (Е) классов операторов

/■ОО

К/{х): =у){х) к(х,у)/(у)у{у)<1у {х > 0) (0.0.6)

Jo

из в Ьч с неотрицательными ядрами к(х,у), невозрастающими по одной или двум неременным х и у. Два основных результата первого параграфа (§ 1.1) данной главы относятся к случаю, когда функция к(х,у) в определении К не возрастает по у, и дают ответы на вопрос (А) = (В) для операторов такого типа из ЕР в Ья.

Теорема 0.1. (см. теорему 1.1 на стр. 35) Пусть измеримая на функция 0 < к(х, у) < 1 убывает по у, причем

11/11.

| р ■

11/11

p,i

(JJ/WI'dtr', Р«*>, esssupt€/|/(i)|, р = оо.

Тогда для нормы ||ä'||lp->l4 выполняются следующие оценки:

(0.0.7)

если 1 < р < д < ос; при 1 < д < р < оо

роо Г РОС 1 - г р1 1

/ / /сч(з:,£)г(;9(ж)аж / (у) ау ./О |_Л) ] [-/о

<

/ ьр'{у)Ау

.3о

(0.0.8)

для 0<д<1<р<оо

/-оо Г /-оо

/ / /с9(:с, г)ш9(а;) (1х чЛ) 1.-/0

< НяЦ^р-^«

(/•оо г /-оо -1 | Г /-4

J I кч{х,1)Шч{х)<1х I Ур\у)^у

и в случае 0 < д < 1 = р

^ кЦх^^йхУу^) < \\К\\^Ья

ур'{1)М

е.чн вир I ¿>о \7о

<

/

./0

евэ вир у (у)

1 О<у<Ь

ч-1

кч(х,^"(х) ах

1—г

Теорема 0.2. (см. теорему 1.2 на стр. 37) Пусть к(х,у) > 0 убывает по у, причем Нш^оо /0°° кч(х, у)тч(х) ёх = 0. Тогда правые оценки в (0.0.7) и (0.0.8), соответственно, нужно заменить на следующие:

\\К\\ЬР^ЬЧ < 8ир ( [ к4(х,у)тч(х)(1х оо \7о ио

(у) йу) " [ / ур' (г) <1г

¡1 «

Р

кч(х, у)гич{х) ё.х ^ ур' (у) ёу

о

-Г7-1

ЯР

ур (г) сЬ (¿) а«

Тем же способом, что и в § 1.1, можно получить аналогичные результаты для оператора К из 1У в Ьч с ядром к(х,у), неубывающим по переменной у, или с функцией к(х, у), неубывающей/невозрастающей