Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

I Порядок и тип оператора и последовательности операторов

1.1 Порядок и тип оператора и последовательности операторов, операторный порядок и тип вектора: определение, основные свойства и примеры.

1.2 Порядки и типы некоторых операторов, действующих в конкретных функциональных пространствах

1.3 Порядок и тип сопряженного оператора и обратного оператора

II Применения понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов к решению задач анализа

2.1 Изучение специального класса векторнозначных функций

2.2 Изучение операторов с векторнозначной характеристической функцией.

2.3 Регулярные операторы, спектр и резольвента.

2.4 Собственные вектор-функции оператора.

2.5 Изучение операторов, коммутирующих с оператором конечного порядка, обладающим целой собственной вектор-функцией

2.6 Изучение операторов, коммутирующих с оператором конечного порядка, обладающим собственной вектор-функцией, аналитической в круге.

В середине 80-х гг. XX в. В.П. Громов [1, 2], развивая некоторые задачи работ А.Ф. Леонтьева [25, 26] о разложении функций в ряды экспонент, ввел понятия порядка и типа оператора и операторного порядка и типа вектора относительно оператора, действующего в отделимом локально выпуклом пространстве. Вначале эти понятия применялись им при решении задач о разложении векторов локально выпуклого пространства в ряд по собственным элементам линейного оператора. Позже В.П. Громов и его ученики понятия порядка и типа оператора эффективно использовали и при решении многих других задач современного анализа: в задачах о полноте систем значений голоморфных вектор-функций (см. [3, 40, 41]), при изучении характеристик роста целых векторнозначных функций (см. [2]), в задаче о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщенный ряд Тейлора (см. [5]), при исследовании подпространств локально выпуклого пространства Н, инвариантного относительно оператора А конечного порядка Р(А) > 0 и типа а(А) < оо (см. [39, 42]), при изучении операторов с векторнозначной характеристической функцией (см. [2]).

В работе [2] В.П. Громов модифицировал понятие порядка и типа оператора и распространил его на последовательности линейных непрерывных операторов, действующих в отделимом локально выпуклом пространстве. Там же были указаны применения этих понятий.

Интересные и эффективные применения операторных порядков и типов вектора относительно линейного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, В.П. Громов изложил в работе [4]. Эта работа посвящена дифференциально-операторным уравнениям, включающим в себя, как частный случай, дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциально-разностные и интегральные уравнения, а также другие функционально-операторные уравнения.

Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению, развитию и более глубокому исследованию понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов, действующих в произвольных локально выпуклых пространствах, а также новых приложений этих понятий. В частности, дано более общее понятие порядка оператора, проведено подробное исследование операторов отрицательного и нулевого порядка (в работах В.П. Громова изучались лишь операторы положительного порядка). Операторы, имеющие отрицательный и нулевой порядок, встречаются на практике довольно часто и им отведено в нашей работе определенное место. Все рассматриваемые в работе локально выпуклые пространства предполагаются отделимыми.

В работе введены понятия порядка и типа оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, на котором определены две, вообще говоря, различные топологии. При этом понятия порядка и типа оператора, введенные В.П. Громовым в нашем общем определении содержатся как один из важных, но частных случаев (когда топологии совпадают). Обобщение порядка и типа оператора позволило решать ряд задач, связанных с изучением операторов, имеющих векторнознач-ную характеристическую функцию; операторов, коммутирующих с заданным и др.

Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.

В первой главе подробно изучаются понятия порядка и типа оператора и последовательности операторов, а также понятия операторного порядка и типа вектора; полученные результаты иллюстрируются разнообразными примерами.

В параграфе 1.1 дано обобщение понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах с разными топологиями. В этом параграфе детально и более глубоко исследуются порядки и типы операторов и отмечаются основные свойства этих понятий. В частности, здесь рассмотрены операторы отрицательного и нулевого порядка (такие операторы в работах В.П. Громова не рассматривались); здесь же доказываются теоремы о связи порядка и типа оператора (последовательности операторов) с операторными порядками и типами векторов локально выпуклого пространства (теоремы 1.6 и 1.7); найдены необходимые и достаточные условия (критерии), в которых порядок и тип оператора можно находить через операторные порядки и типы векторов, которые, как правило, выписляются проще.

В параграфе 1.2 находятся порядки и типы некоторых часто встречающихся на практике операторов, действующих в конкретных функциональных пространствах, а также операторные порядки и типы векторов этих пространств относительно действующих операторов. Показано, в частности, что оператор дифференцирования £ : Н(Б) Наф) имеет порядок /3 {£) = 1 и тип а (£) = ± (теорема 1.10). Здесь Н(П) — пространство всех функций, аналитических в выпуклой односвязной области В с топологией равномерной сходимости на компактах, исчерпывающих область Но(П) — пространство всех функций, аналитических в И с топологией равномерной сходимости на компактах, исчерпывающих область (2, для которой область Б является с?-расширением (¿-окрестностью). Также показано (теорема 1.9), что функция аналитическая в выпуклой односвязной области С? и имеющая операторный порядок

3(.Р) = 1 и тип а(^) < оо относительно оператора дифференцирования ^ : Я(С) —> Я(£), может быть аналитически продолжена в область I), которая является расширением области в на (1= . Если /З(^) <1, то Я может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость.

В параграфе 1.2 также изучаются функциональные пространства, в которых оператор дифференцирования имеет порядок как меньше 1 (пространства типа [р, а]), так и больше 1 (пространства бесконечно дифференцируемых неаналитических функций с ограничением на рост производных). Здесь же находятся порядки и типы операторов интегрирования и умножения в пространствах аналитических функций.

В параграфе 1.3 установлена связь между порядками и типами оператора А : Я —> Я, сопряженного к нему оператора А* : Я* —> Я* и обратного оператора А~г : Я —>■ Я, приводятся примеры. Показано, что порядок сопряженного оператора Р(А*) ^ /3(Л); если же Р(А*) = то а(А*) ^ аг(А) (теорема 1.21). В случае, когда Я — рефлексивное пространство, всегда /3(А*) = (3(А), а(А*) = а(А) (теорема 1.22). В параграфе 1.3 также показано, что порядок оператора А"1 : Я —^ Я (если он существует) /3(А-1) ^ /З(-А); если же /3(А'1) = /5(Л), то а{А~г) ^ (теорема 1.24).

Вторая глава посвящена применениям понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов к решению ряда задач современного анализа.

В.П. Громовым [2] изучались векторнозначные функции вида оо а)

71=О

ОО порожденные целой скалярной функцией </?(£) = сп£п конечного поп=О рядка роста р > 0 и типа ст. Здесь А — линейный (вообще говоря неограниченный) оператор, действующий в пространстве Фреше Н, xq £ Н — фиксированный вектор. Было показано, что если вектор ж0 имеет операторный порядок ß(xo) ^ причем при /З(ссо) = его операторный тип а(жо) = 0, то ряд (1) сходится абсолютно в каждой точке t £ С по топологии пространства Н и определяет целую вектор-функцию f(t) : С —>• Н. Если при этом существует предел lim = (ерсг)1/р, п—>оо то характеристики роста функции / (р -порядки и р -типы) вычисляются по формулам

Pp(f) = 1 pPß , <TP{f) = 1 - (ар(х

Р Р хо ер ^

В работе [3] В.П. Громовым указаны достаточные условия полноты систем {/(Ап)} значений вектор-функции вида (1), которые являются обобщением классических систем: {eXnZ}: {F(An;?)}, {F(z + Ап)} и др. В работе [4] В.П. Громов эффективно использовал функции вида (1) для решения широкого класса дифференциально-операторных уравнений, в том числе для решения задачи Коши и ее обобщений.

В параграфе 2.1 данной диссертации формулы (2) обобщаются на случай, когда в (1) {сп} — произвольная последовательность комплексных чисел, на которую накладывается единственное условие: существование пределов lim —^ = 7 т^ ioo, lim n7 \/|cn| = £ < oo. n-+ oo П In Tl n-¥co

При этом доказываются условия сходимости ряда (1) к целой функции или аналитической в круге. В частности, если последовательность {сп} порождает целую скалярную функцию (случай 7 > 0 ), то полученный результат совпадает с результатом В.П. Громова.

В работах многих математиков изучались задачи применимости операторов вида

00 JTI в = и п=0 к тем или иным функциональным пространствам. Таким операторам посвящено большое число работ отечественных и иностранных авторов и особенно много работ — операторам с постоянными коэффициентами (см. [25, 48, 50] и др.).

В работах Ритта [47] и Валирона [49] было установлено, что оператор оо ,п = 5>S= № п=О применим к любой аналитической функции во всей области ее аналитичности, если lim л/\сп\п\ = 0. Если же lim л/|сп|п! = а < оо, то п—ОО п—>0о оо ряд cnF^n\z) сходится равномерно внутри круга \z\ < R для люп=0 бой функции, аналитической в круге \z\ < R + a и оператор В непрерывно действует из HR+a в Яд.

В работе Муггли [46] рассмотрены вопросы применимости оператора (4) к важным пространствам аналитических функций ( Н{С), Но, [1, er], [р, оо], р ^ 1) и найдены критерии применимости. В случае Но (пространство всех функций, аналитических в нуле) применимость пооо нимается в том смысле, что ряд cnF^n\z) сходится в любой точке п=0 круга \z\ < r(F), а для остальных пространств — в любой конечной точке. Применимость операторов вида (4) в естественных для [1,сг] и [р, оо] весовых топологиях Муггли не рассматривает. Это приводит к тому, что в случае пространств [1,сг] и [р, оо], снабженных топологиями поточечной сходимости, имеются операторы вида (4), которые применимы к этим пространствам, однако не являются непрерывными. Муггли показывает также, что если оператор (4) применим к одному из рассматриваемых пространств, то он переводит это пространствов себя.

Сиккема [48] и Ван-Стин [50] изучали вопросы применимости к пространствам типа [р, ст] операторов вида (3), где сп(^) — многочлены. Вопросы применимости операторов вида (3) с переменными коэффициентами, где сп(г) — аналитические функции изучались Ю.Ф. Коробейником и его учениками. Операторы вида (4) эффективно использовались А.Ф. Леонтьевым при решении задач о разложении в ряды экспонент (см. [25]).

В.П. Громов [2] рассматрел вопросы применимости операторов общего вида

00 в = хпАп (5) п=О с целой векторнозначной характеристической функцией оо хпгп : с я, п=О где Я — полная счетно-нормированная алгебра, хп £ Я — фиксированная последовательность векторов из Я, Ап : Я -4 Я — последовательность линейных непрерывных операторов, действующих в Я, имеющая конечный порядок. Им были указаны достаточные условия применимости операторов вида (5) к пространству Я. При этом приоо менимость понимается в том смысле, что ряд хпАп(х) сходится по п=о топологии пространства Я для всех х Я. Оператор В, удовлетворяющий описанным в работе [2] условиям применимости, является непрерывно действующим из Я в Я.

В параграфе 2.2 данной диссертации операторы вида (5) рассматриваются в более общем случае, когда Ап : Яо —Я\ — последовательность линейных непрерывных операторов, действующих из локально выпуклого пространства Но в локально выпуклое пространство #1, имеющая конечный порядок, {хп} С Яг — фиксированная последовательность векторов из локально выпуклого пространства Я2. Предполагается, что определено умножение векторов из Н\ на векторы из Я2 со значениями в счетно-полном локально выпуклом пространстве Я, удовлетворяющее условию непрерывности. Нами доказаны достаточные условия применимости операторов вида (5) к пространству Я0 (теореоо ма 2.2). Применимость понимается в том смысле, что ряд хпАп(х) п=о сходится по топологии пространства Я для всех х € Я0. Оператор Я, удовлетворяющий описанным в параграфе 2.2 условиям применимости, является непрерывно действующим из Яо в Я. В частности, если Яо = Нг = Я2 = Я, то полученный результат совпадает с результатом В.П. Громова.

Параграф 2.3 посвящен применениям понятий порядка и типа оператора в спектральной теории линейных непрерывных операторов, действующих в локально выпуклых пространствах. Эта теория в настоящее время активно развивается и связана с понятием регулярного оператора, введенным Я.В. Радыно (см. [36]). В наших терминах регулярность оператора А означает, что его порядок /3(А) либо отрицательный, либо нулевой, но тогда тип а(А) конечный. Спектральная теория линейных непрерывных операторов в локально выпуклых пространствах, как известно, существенно отличается от аналогичной теории в банаховых пространствах. Для линейного непрерывного оператора А, действующего в банаховом пространстве Я, резольвентное множество определяется как совокупность точек Л £ С, таких что оператор (А — \Е)~г определен на всем пространстве Я и непрерывен. Спектр оператора определяется как дополнение к резольвентному множеству (см. [15, 27]). Известно, что спектр линейного непрерывного оператора А, действующего в банаховом пространстве замкнут, а резольвентное множество открыто и на нем резольвента оператора А является аналитической операторнозначной функцией. Это свойство распространяется на все линейные непрерывные операторы, действующие в произвольном счетно-полном локально выпуклом пространстве, однако на резольвентное множество накладывается дополнительное условие: резольвентным множеством линейного непрерывного оператора А, действующего в счетно-полном локально выпуклом пространстве Я, называется совокупность точек Л € С, таких что оператор [А — \Е)~1 определен на всем Я, является непрерывным и регулярным (см. [36]). В работе Я.В. Радыно [36] было отмечено (без доказательства), что спектр всякого регулярного оператора А, действующего в локально выпуклом пространстве, замкнут, а резольвентное множество открыто. В параграфе 2.3 данной диссертации мы приводим строгое доказательство этого факта в общем случае, не требуя регулярности оператора А (теорема 2.3). Все точки Л, такие что оператор (А — \Е)~г определен на всем Я, непрерывен, однако не является регулярным, образуют новый вид спектра, который мы называем регулярным. В точках регулярного спектра резольвента не является аналитической функцией, хотя она в них определена. Поскольку линейный непрерывный оператор, действующий в банаховых пространствах автоматически является регулярным, то данное выше определение резольвентного множества (для случая банаховых пространств) совпадает с принятым; регулярный спектр при этом пуст.

Параграф 2.4 данной диссертации посвящен изучению линейных непрерывных операторов, действующих в счетно-полном локально выпуклом пространстве, у которых точечный спектр заполняет круг

КЕ(Хо) = {Л е С : |А - А0| < Я ^ оо}, при этом существует аналитическая в этом круге вектор-функция /(Л), не имеющая нулей, такая что

Л(/(А)) = А/(А), УХеКп(Хо). (6)

К таким операторам, в частности, относятся операторы дифференцирования и сдвига. Так как значениями вектор-функции / являются собственные векторы оператора А, то ее естественно называть собственной вектор-функцией оператора А (см. [5]). В параграфе 2.4 указан критерий существования собственной вектор-функции оператора, свойства коэффициентов ее разложения в круге Кц(До), а также условие единственности собственной вектор-функции в том смысле, что каждая вектор-функция д(Х), удовлетворяющая равенству (6), представляется в виде д(Х) — у>(А)/(А), УА £ Кц(Д0), где </?(А) — скалярная функция, аналитическая в Кя{А0). Случай Н = оо, т.е. когда у оператора А имеется целая собственная вектор-функция, рассматривался В.П. Громовым (см. [5]). При этом было показано, что порядок роста целой собственной вектор-функции оператора А, р(/) ^ -^щ; если же р(/) = то тип функции /(А), <т(/) ^ и*) • Отметим, что оператор, имеющий собственную вектор-функцию, аналитическую в круге ^л(Ао), имеет р -порядки /3Р(А) > 0 или (3Р{А) — О, ар(А) ^ Я, либо не имеет порядка. Операторы, имеющие целую собственную вектор-функцию (случай Я = оо ), не являются регулярными и имеют чисто точечный спектр, заполняющий всю комплексную плоскость.

На протяжении XX века математиками интенсивно исследовались линейные операторы, коммутирующие с операторами дифференцирования, интегрирования, а также их обобщениями (см. [8]-[10], [17, 18] и т.д.). Боас [45] показал, что каждый линейный непрерывный оператор Я, коммутирующий с дифференцированием в пространстве Я, которое является подпространством пространства Я0 функций, аналитических в нуле, и содержит все многочлены, представляется в виде оо оо п—А;

7)

71=0 к=0 ^ где Рп — коэффициенты степенного разложения функции Г в окрестности нуля. Если при этом в (7) возможна перестановка порядка суммирования, то оператор В записывается в виде оо к=О

М.Г. Хаплановым [43, 44] найдено общее представление произвольного линейного непрерывного оператора В : Нцг —> Нц2, коммутирующего с оператором дифференцирования. Всякий такой оператор представляется в виде интегрального оператора, дифференциального оператора бесконечного порядка и матричного оператора. И.С. Елисеев [8]-[10] получил ряд результатов о представлении линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором кратного дифференцирования действующим в пространствах аналитических функций. Ю.Ф. Коробейником [19] изучались операторы сдвига на числовых семействах, а также коммутирующие с ними операторы.

В параграфах 2.5 и 2.6, используя понятия порядка и типа оператора, мы проводим исследование линейных непрерывных операторов, коммутирующих с фиксированным оператором А конечного порядка, действующим в счетно-полном локально выпуклом пространстве и обладающим аналитической в некотором круге собственной вектор-функцией.

В параграфе 2.5 указаны достаточные условия разложимости линейного непрерывного оператора В : Н\ —Н, коммутирующего с

А : Н Я, обладающим целой собственной вектор-функцией, в ряд 00 вида В= ^2скАк, где — коэффициенты характеристической функ-к=о ции оператора Я, а Н\ С Н — инвариантное относительно оператора А подпространство Н.

В параграфе 2.6 указаны условия разложимости линейного непрерывного оператора В : Н —Н, коммутирующего с оператором А : Н Н, обладающим собственной вектор-функцией, аналитичеоо ской в круге |А — Ао| < Я < оо, в ряд вида В = ^ с^Ак, а также к=о оо в ряд вида В = Ск(^){А — ¡лЕ)к, где // — фиксированная точка, в к=0 которой характеристическая функция оператора В является аналитической, и — коэффициенты степенного разложения характеристической функции оператора В соответственно в окрестности нуля и Такие представления, на наш взгляд, представляют определенный интерес и могут в дальнейшем найти свое применение. Полученные в параграфах 2.5 и 2.6 результаты иллюстрируются на примере операторов, коммутирующих с операторами дифференцирования и сдвига, действующими в некоторых локально выпуклых пространствах.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [28]-[31] и доложены на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель — профессор Костюченко А.Г.), в отделе теории функций Математического института им. В.А. Стеклова РАН (руководитель — член-корр. РАН Бесов О.В.), а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2000-2002 гг.

Автор выражает признательность профессору В.П. Громову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при написании данной работы.

1. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям. ДАН СССР, 1986, т.228, Х21, с. 27-31.

2. Громов В.П. Порядок и тип оператора и целые векторнозначные функции. Ученые записки, Орел, ОГУ, 1999, с. 6-23.

3. Громов В.П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше. Ученые записки, Орел, ОГУ, 1999, с. 24-37.

4. Громов В.П. Операторный метод решения линейных уравнений. Ученые записки, Орел, ОГУ, вып. 3, 2002, с. 4-36.

5. Громов В.П. Аналоги разложения Тейлора. Фунд. и прикл. мат., 1999, том 5, №3, с. 801-808.

6. Громов В.П. Некоторые задачи разложения по собственным функциям линейного оператора. Исслед. по теор. опер., Уфа, 1988, АН СССР, институт математики, с. 141-155.

7. Громов В.П. Некоторые задачи, связанные с разложением в ряд по собственным функциям линейного оператора. Труды 2-й Саратовской зимней школы., 1986, с. 15-24.

8. Елисеев И.С. Об операторах, перестановочных с кратным дифференцированием. Дисс. • • • к. ф.-м. н., Уфа, 1981.

9. Елисеев И.С. Перестановочность с линейным дифференциальным оператором. Мат. зам., 1979, т. 26, №5, с. 719-738.

10. Елисеев И.С. Перестановочность с в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций, Баршкир. фил. АН СССР, Уфа, 1979, с. 133-155.

11. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1959.

12. Кирютенко Ю.А. Об операторах, перестановочных с оператором обобщенного интегрирования в некоторых пространствах целых функций. В сб.: Матем. ан. и его приложения, Ростов н/Д, 1975, т. 7, с. 170-176.

13. Кирютенко Ю.А. Операторы, перестановочные с интегрированием в пространствах функций, аналитических в односвязных областях. Мат. зам., 1981, т. 29, №3, с. 409-419.

14. Кирютенко Ю.А., Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейные операторы, перестановочные с обобщенным интегрированием и их непрерывность. Деп. в ВИНИТИ, 1982, №467-82 Деп., РЖМат, 1982, 5Б801.

15. Князев П.Н. Функциональный анализ. Мн., Выш. шк., 1985.

16. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989.

17. Коробейник Ю.Ф. Общий вид перестановочных с оператором дифференцирования линейных операторов в пространствах аналитических функций. Функц. анализ и его прилож. 1973, т. 7, №1, с. 74-76.

18. Коробейник Ю.Ф. О представлении линейных операторов, непрерывно действующих в пространствах аналитических функций и перестановочных с оператором дифференцирования. Изв. матем. инст. Волг. АН, 1974, т. 5, с. 359-388.

19. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Изд. Рост, ун., 1983.

20. Коробейник Ю.Ф. О некоторых характеристических свойствах дифференциальных операторов бесконечного порядка. Изв.4 АН СССР, сер. матем., 1966, т. 30, №5, с. 933-1016.

21. Коробейник Ю.Ф. О применимости дифференциальных операторов бесконечного порядка. Сиб. матем. ж., 1969, т. 10, №3, с. 549-567.

22. Коробейник Ю.Ф. О применимости дифференциальных операторов бесконечного порядка к некоторым классам аналитических функций. Сиб. матем. ж., 1973, т. 14, №4, с. 883-888.

23. Коробейник Ю.Ф., Кирютенко Ю.А. Операторы, коммутирующие с оператором обобщенного интегрирования. В сб.: дифф. и инт. ур-я, Горький, 1979, вып. 3, с. 101-107.

24. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956.

25. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М., Наука, 1976.

26. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., Наука, 1983.

27. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., Высш. шк., 1982.

28. Мишин С.Н. О порядке и типе оператора. ДАН, 2001, т. 381, №3, с. 309-312.

29. Мишин С.Н. Операторы конечного порядка. Ученые записки, Орел, ОГУ, 2001, с. 28-75.

30. Мишин С.Н. О спектре оператора конечного порядка. Ученые записки, Орел, ОГУ, 2001, с. 96-115.

31. Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах. Ученые записки, Орел, ОГУ, вып. 3, 2002, с. 47-99.

32. Моржаков В.В., Еременко П.Л. О поточечной применимости одного дифференциального оператора бесконечного порядка. В сб.: Актуальные проблемы мат. анализа, Ростов н/Д, 1978, с. 125-131.

33. Нагнибида Н.И. О линейных непрерывных операторах в аналитическом пространстве, перестановочных с оператором дифференцирования. В сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1966, вып. 2, с. 160-164.

34. Напалков В.В. Об операторах, перестановочных с дифференцированием, в пространствах функций от нескольких переменных. Мат. зам., 24, №6, 1978, с. 829-838.

35. Нарахсиман Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М., Мир, 1971.

36. Радыно Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах I. Регулярные операторы и их свойства. Дифф. ур-я., 1977, т. 13, №8, с. 1402-1410.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М., Мир, 1977.

38. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Наука, 1999.

39. Соломатин О.Д. К вопросу об инвариантных подпространствах локально выпуклых пространств. Фунд. и прикл. мат., МГУ, 1997, т. 3, №3, с. 937-946.

40. Соломатин О.Д. Обобщение экспоненциальной функции и полнота систем обобщенных экспонент. Ученые записки, Орел, ОГУ, вып. 2, 2001, с. 90-95.

41. Соломатин О. Д. О полноте системы обобщенных экспонент в пространстве Фреше. Ученые записки, Орел, ОГУ, вып. 3, 2002, с. 37-46.

42. Соломатин О.Д. Некоторые задачи разложения в ряд по собственным векторам линейных операторов и инвариантные подпространства в локально-выпуклых пространствах. Дисс. • • • к. ф.-м. н., Орел, 1997.

43. Хапланов M.Г. Линейные преобразования аналитических пространств. ДАН СССР, 1951, т. 80, №1, с. 21-24.

44. Хапланов М.Г. Линейные операторы в аналитическом пространстве. Ученые записки Рост, ун-та, 1959, т. 43, вып. 6, с. 83-118.

45. Boas R.P. Functions of exponential type, III. Duke Math. Jörn., 1944, p. 507-511.

46. Muggli H. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffitienten. Commentarii Mathem. Helvetici, 1938, 11, p. 151-179.

47. Ritt J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients. Transac. of the Amer. Math. Soc., 1917, v. 18, p. 21-49.

48. Sikkema P.C. Differential operators and differential equations of infinite order with constant coefficients. Groningen, 1953.

49. Valiron G. Sur les solitions des équations différentielles linéaires d'ordre infini et à coefficients constants. Ann. scient. École Norm, sup., 1929, v. 16, p. 25-53.

50. Van der Steen P. On differential operators of infinite order. Delft, 1968, p. 8-101.РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯшгалиотш-; "Г^