Обобщенное преобразование Фурье и его применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи Панюшкин Сергей Владимирович

Обобщенное преобразование Фурье и его применения

(01. 01. 01. — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в лаборатории теории функций и функционального анализа Орловского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Громов В.П. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гольдман M.JL; доктор физико-математических наук, профессор Латышев A.B. Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится 29 декабря 2005 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117419, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан " " 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.203.04, Куценко И.Л.

1115383

£> ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для решения разнообразных задач анализа часто применяется преобразование Фурье сопряженного пространства и его обобщения. Пусть Н — отделимое локально выпуклое пространство функций аргумента z. Оператор Т, действующий на сильно сопряженном к Я пространстве по правилу:

Т(1) = l{eXz) = ¥>(Л), VZ е Я*,

называется преобразованием Фурье пространства Я*. В литературе употребляются также и другие названия оператора Я* : преобразование Фурье-Лапласа, преобразование Лапласа, преобразование Фурье-Бореля.

Образом преобразования Фурье часто является некоторое пространство целых функций Л, представляющее собой реализацию пространства Я*. Как правило, оно обладает достаточно "хорошими" свойствами, позволяющими изучать пространства Я и Н*.

К числу наиболее ранних исследований по данной теме относятся работы Л.Эренпрайса, И.М. Гельфанда и Г.Е. Шилова. Дальнейшие наиболее значимые результаты в данном направлении получены Б.А.Тейлором, В.В.Напалковым, И.Ф.Красичковым, Ю.А.Дубинским, О.В.Епифановым, Р.С.Юлмухаметовым. В работах этих авторов преобразование Фурье использовалось для решения задачи Коши и уравнений свертки в различных функциональных пространствах, решения задач спектрального синтеза, нахождения общего вида оператора, перестановочного с дифференциальным оператором, описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования, исследования равномерно аналитических пространств.

Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Различные обобщения преобразования Фурье рассматривались Ю.Ф.Коробейником и С.Н.Мелиховым, И Ф.Краси i

iitfxm^AÜfoíWJNWWty И.С.Елисеевым. БИБЛИОТЕК САмеМурр W iQp .

1 М

J

да

Цель работы - исследование обобщенного преобразования Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому пространству, в случае, когда ядром является аналитическая вектор-функция.

Методика исследования. В работе используются методы теории локально выпуклых пространств, теория целых векторнозначных функций, теория порядка и типа оператора.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть применены для решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений, в частности, уравнений свертки, решению задач спектрального синтеза, нахождению общего вида оператора, перестановочного с данным оператором, описанию инвариантных подпространств и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель — профессор А.Г.Костюченко), по дифференциальным уравнениям Московского Энергетического института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), по комплексному анализу Российского университета Дружбы Народов (руководитель — профессор А.В.Арутюнов), на Воронежской зимней математической школе — 2005 "Современные методы теории функций и смежные проблемы", а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2003-2005 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Дисертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем работы — 86 листов машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбора темы исследования, ее исторические аспекты, дается содержание основных результатов работы.

В первой главе подробно изучается обобщенное преобразование Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому, с ядром, являющимся целой векторнозначной функцией довольно общего вида. Полученные результаты иллюстрируются разнообразными примерами.

В §1.1 дано определение обобщенного преобразования Фурье в пространстве, сопряженном к локально выпуклому, в случае, когда ядром является произвольная аналитическая вектор-функция.

Пусть Н — локально выпуклое отделимое линейное топологическое пространство, топология которого определена мультинормой |||-||р|, р & V и Н* — сопряженное к нему.

Определение. Пусть / : С —> Н — фиксированная аналитическая в некоторой области б вектор-функция. Оператор

Т:Н*->Л-, Н* э1 Т(1) = ¿[/(А)] = ^(А)

назовем обобщенным преобразованием Фурье с ядром }. Здесь А — множество значений оператора Т : А = = Т(1); V/ € Н*} .

Значениями обобщенного преобразования Фурье являются скалярные функции, аналитические в С.

В данной диссертации (за исключением §1.3) ограничиваемся рассмотрением случая, когда / — целая вектор-функция:

оо

/(А) = £>„А", х„ен, А 6 С.

п=0

В этом достаточно общем случае получены достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и весовым пространством целых функций индуктивного типа.

Пусть ДОр(г), р е V — семейство действительнозначных функций положительного аргумента г, определенных следующим образом:

ВД = £|М/\ г>о.

п=0

Рассмотрим семейство пространств целых функций

< = ЫА):МА)|<СЛГР(|А|)}, per

с нормой

fmjxWAJIl

Пусть пространство AN = lim ind Л^ — предел индуктивного спектра №

Теорема 1.1. Пусть Н — бочечное пространство и {х„} С Н — базис, по которому каждый вектор х 6 Н разлагается в ряд с коэффициентами {сп(а:)} • Пусть

Vper, VxeH, ]£м*)|ар >п < +оо,

п=0

п=0

где

аР,п = inf

г>0 Гп

Тогда А совпадает с AN алгебраически.

При определенных условиях имеет место и топологическое соответствие пространств Л и AN, ЛМ:

Теорема 1.2. Пусть в условиях теоремы 1.1 Н — пространство Фреше и функции Np(r) удовлетворяют условию:

Vp ^ 1, lim (iWr) ~ HP{r)) = +оо.

г-foo

Тогда Л = \N.

Замечание 1.3. Система функционалов {с„(х)} является биортогональной к базису {хп}, то есть Сп(хт) = 5пт, Vm, Vn. Оператор, обратный обобщенному преобразованию Фурье — Т-1 : Л —¥ Я", записывается в виде:

оо

Vy € Л, Vx6 Я, (T"V)(«) = ^VnCn{x)-

n=0

В частности, если Я — функциональное пространство, а ядром обобщенного преобразования Фурье является экспонента, то Сп — ¿М и обратное преобразование имеет вид

оо

vv e л, Vz е я, (T"V)(z) =

ч=0

В ряде работ, в том числе в работах Ю. А. Дубинского, именно этот оператор называется преобразованием Фурье.

В §1.2 детально иследованы случаи совпадения множества значений обобщенного преобразования Фурье с распространенными и широко применяемыми в анализе пространствами: пространствами целых (Я (С)) и аналитических в круге функций (Яд), весовыми пространствами целых функций с экспоненциальной шкалой ([р, а], [р, сг), [р, оо).) Установлены необходимые и достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье представляет алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и данными пространствами.

Пусть ядро обобщенного преобразования Фурье — целая вектор-функция порядка р и типа сг, рф 0, оо, сг ф 0, оо.

Тогда необходимые условия алгебраического изоморфизма пространства Я* с \р,сг] дает

Лемма 1.4 ■ Пусть Л совпадает с [р, а] поэлементно. В таком случае система {ж„} является минимальной.

Если имеет место не только алгебраическое, но и топологическое соответствие Я* с [р, <т], то можно указать и другие, более содержательные

необходимые условия:

Теорема 1.3. Пусть Л = [р, а\. Тогда система {хп} представляет собой слабый базис в Я;

оо

Ухе Я, 3{с„} С С, V/ € Я*, /(®) = 2 с„/(«„).

п=0

При этом выполняется условие

Шп~г'р (1)

П-400

Достаточные условия алгебраического изоморфизма пространства Я* с [р, ст] устанавливает

Теорема 1.6. Пусть Н — бочечное пространство и система векторов {хп} представляет собой слабый базис в Я, причем Ух 6 Я выполняется условие (1). Тогда оператор Т осуществляет алгебраический изоморфизм пространств Я* и [р, а].

А достаточные условия топологического изоморфизма этих пространств описывает

Теорема 1.8. Пусть Я — полное бочечное пространство и система векторов {х„} представляет собой слабый базис в Н, причем Ух е Я выполняется условие (1.11), и / имеет порядок р ^ 1. Тогда оператор Т осуществляет топологический изоморфизм пространств Н* и [р, а].

Аналогичные результаты получены в данном параграфе для пространств [р, сг), [р, оо), а в §1.3 — дая пространств Я(С) и Яд.

В §1.4 приведены примеры, иллюстрирующие основные теоремы предыдущих параграфов. Многие из них являются достаточно общими и содержат в качестве частных случаев известнын результаты. В частности, рассматривается обобщенное преобразование Фурье пространств, сопряженных к пространствам целых и аналитических функций: Я( С), Нц, Я я, [р, сг], [р, а), [р, оо), а также к пространству быстро убывающих последовательностей

S, пространству E[— 1,1] бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на отрезке [—1,1] и к пространству быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций J (то есть, обобщенное преобразование Фурье обобщенных функций умеренного роста).

Вторая глава посвящена применению обобщенного преобразования Фурье к решению ряда задач современного анализа.

В §2.1 данной работы обобщенное преобразование Фурье применяется к нахождению порядка и типа линейного непрерывного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве.

Теорема 2.2. Пусть в отделимом локально-выпуклом пространстве H действует линейный непрерывный оператор А и /(А) — его собственная вектор-функция порядка р и тип а. Тогда, если обобщенное преобразование Фурье с ядром /(А) устанавливает топологический изоморфизм между Н* и [р, а] (см. теорему 1.8.), то порядок оператора А равен i , а тип бесконечен.

Аналогичные теоремы получены и для пространств H (С), Яд, [р, а), [р, оо).

С помощью этих теорем, в частности, найдены характеристики оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева Dj в пространствах Я (С), Яд, [р,а ], [/>, а), [р, оо), что позволило уточнить и дополнить некоторые оценки итераций такого оператора, полученные ранее А.Ф. Леонтьевым. Данные результаты также обобщают теоремы, полученные С.Н. Мишиным для оператора обычного дифференцирования. Также найдены характеристики оператора обобщенного сдвига и дифференциального оператора с переменными коэффициентами в пространствах Я(С) и Яд.

Найденные характеристики оператора Dj использованы для решения задачи о применимости к различным пространствам целых функций дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в обобщенных

производных Гельфочда-Леонтьева:

оо

B(F) = ^nD](F). п=0

В данной диссертации рассмотрена задача применимости оператора В к пространствам индуктивного типа — [р, а), [р, оо). Также в условиях существования оператора В найдены его характеристики в данных пространствах.

В §2.2 рассматривается применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространства« векторнозначных функций. Установлены теоремы, описывающие общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве целых векторнозначных функций, пространстве аналитических в круге векторнозначных функций (Нд(Я)) и весовом пространстве целых векторнозначных функций с экспоненциальной шкалой ( И?(Н)).

Теорема 2.7. Пусть Н — пространство Фреше, тогда каждый т € Hr{H)' представляется рядом

оо

"»(/) = £*»(«»), ¡"CF (2)

п=0

где последовательность {/„}, имеет порядок /3^0, а при порядке /3 = 0 — тип а < R. И обратно, любая последовательность функционалов {Zn} С Я* с укзанними характеристиками определяет функционал т € TÍr(Я)* по формуле (2).

Теорема 2.8. Пусть Н — пространство Фреше, тогда каждый

m £ %Р(Ну представляется рядом (2), где последовательность {/„} имеет

_ 1 j

порядок /? < а при порядке Р = ~ — тип а < (pea) Р. И обратно, любая последовательность функционалов {1„} С Я* с указанными характеристиками определяет функционал т € "Н£(Я)* по формуле (2).

Данные теоремы сформулированы в терминах порядка и типа последовательности линейных непрерывных функционалов, поэтому для их применения

необходим способ подсчета этих характеристик. Показано, что одним из эффективных способов их нахождения является использование обобщенного преобразования Фурье.

Теорема 2.9. Пусть выполняются условия теоремы 1.2. (следовательно, обобщенное преобразование Фурье устанавливает топологический изоморфизм Н* и Л). Последовательность функционалов {¿„} С Н* имеет порядок и тип тогда и только тогда, когда Зр0 6 V, такое, что С Л^, при этом порядок /? последовательности {7П} вычисляется по формулам:

Р = lim &р,

р-Юо

— 1пЫ|,

Рр = lim —:—s р > ро, n-»oo nmn

о при 0 ф ±оо тип а последовательности {¿„} вычисляется по формулам:

а = lim а„,

р-*оо

_ #4

ар = lim =—, р > ро

п—юО

пР

Здесь же рассмотрены разнообразные примеры.

В §2.3 исследуется применение обобщенного преобразования Фурье к задаче слабого и сильного представления элементов локально выпуклого пространства. Основополагающими в этом направлении являются работы Л.Эренпрайса, который с помощью классического преобразования Фурье получил представление целой функции в виде:

с

где т - комплексная счетно-аддитивная мера ограниченной вариации на С, к{А) — положительная функция.

Применение обобщенного преобразования Фурье дает представление

я,

С

обобщающее указанное выше.

Также в данном параграфе рассматривается представление элементов пространства Я в виде ряда по системе значений функции /. Для случая экспоненты оно изучалось Б.А. Тейлором, В.В. Напалковым, Ю.Ф. Коробейником.

Если 5 = {А,} - дискретное слабо достаточное множество пространства Л, то имеет место слабое представление векторов пространства Я рядом вида:

* = Ухе Я.

(А,)

Приведены условия, в которых данный ряд сходится сильно и абсолютно по топологии Я.

Автор выражает признательность профессору В.П.Громову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при написании данной работы

Публикации автора по теме диссертации

[1] Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применение к нахождению порядков и типов операторов. // Ученые записки / ОГУ. — Орел, 2003. - вып. 4. - С. 47-69.

[2] Панюшкин, C.B. Об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах аналитических векторнозначных функций. // Ученые записки / ОГУ. - Орел, 2003. - вып. 4. - С. 70-79.

[3] Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применение к нахождению порядков и типов последовательностей функционалов. // Ученые записки / ОГУ. - Орел, 2005. — вып. 5. — С. 79-85.

[4] Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применения. // Материалы ВЗМШ Современные методы теории функций и смежные проблемы. — 2005. - С. 176-177.

[5] Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применение к нахождению порядка и типа операторов. // Всероссийская научно-практическая конференция: Вклад земляков-орловцев в развитие и становление российской науки, культуры и образования. Тезисы доклада. - 2003. - С. 36-37.

[6] Панюшкин, С В. Об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах аналитических векторнозначных функций. // Всероссийская научно-практическая конференция: Вклад земляков-орловцев в развитие и становление российской науки, культуры и образования. Тезисы доклада. — 2003. — С. 37-38.

Панюшкин Сергей Владимирович (Россия, Орел) «Обобщенное преобразование Фурье и его применения» Исследуется обобщенное преобразование Фурье пространства, сопряженного к локально выпуклому в случае, когда ядром преобразования является аналитическая векторнозначная функция. Полученные результаты применяются для решения ряда новых задач функционального анализа.

Panjushkin Sergey Vladimirovich (Russia, Oryol) «Generalized Fourier transormation and its applications» The generalized Fourier transormation of space, conjugate to the locally convex space, in case of kernel of transformation is analitical vector-valued function, is investigated. The obtained outcomes are applied to a solution of a series of new problems of the functional analysis.

Отпечатано в типографии МП «Переплетчик» Орел, ул. Пушкина, 20 объем 0,9 п.л., тираж 100 экз., заказ № 378

I

I

•I

I

!

I

i

I I

¡ к

(

4

»23363

РНБ Русский фонд

2006-4 25138

Введение

I Обобщенное преобразование Фурье

1.1 Определение и основные свойства обобщенного преобразования Фурье

1.2 Весовые пространства целых функций как множество значений обобщенного преобразования Фурье.

1.3 Пространства аналитических функций как множество значений обобщенного преобразования Фурье.

1.4 Обобщенное преобразование Фурье в конкретных пространствах

II Применения обобщенного преобразования Фурье

2.1 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению порядков и типов операторов

2.2 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций . 65 2.3 Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства . 77 Список литературы.

Для решения разнообразных задач анализа часто применяется преобразование Фурье сопряженного пространства и его обобщения. Пусть Н — отделимое локально выпуклое пространство функций аргумента содержащее экспоненты. Оператор Т, действующий на сильно сопряженном к Н пространстве по правилу:

Т(1) = 1{еХг) = <р(А), VI £Н*, называется преобразованием Фурье пространства Н*. В литературе употребляются также и другие названия оператора Т : преобразование Фурье-Лапласа, преобразование Лапласа, преобразование Фурье-Боре ля.

Образом преобразования Фурье часто является некоторое пространство целых функций А. Как правило, оно обладает достаточно "хоро-шими"свойствами, позволяющими изучать пространства Н и Я*.

К числу наиболее ранних исследований по данной теме относятся работы Л.Эренпрайса [43], [44], [45]. В них рассмотрено, в частности, преобразование Фурье пространства, сопряженного к пространству целых функций Н(С) и установлено, что это пространство является изоморфным пространству целых функций экспоненциального типа. В дальнейшем Л.Эренпрайс применил преобразование Фурье для введения важного понятия равномерно аналитических пространств и изучения их свойств (см. [42]).

И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов в работе [3] рассмотрели преобразование Фурье пространства обобщенных функций (как функционалов на пространстве основных функций) и применили его к решению задачи Коши в данном пространстве.

Преобразование Фурье в весьма широком классе весовых пространств целых функций рассматривалось Б.А. Тейлором в работе [48]. В этой же работе преобразование Фурье применяется для решения задач спектрального синтеза и решения уравнений свертки в данных пространствах. В работе Б.А. Тейлора [49] с помощью преобразования Фурье доказана равномерная аналитичность ряда пространств бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного.

И.Ф. Красичков применял преобразование Фурье для решения задач спектрального синтеза и описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования в пространствах аналитических функций, (см. [19], [20])

Ю.А.Дубинский эффективно использовал преобразование Фурье для решения задачи Коши в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных (см. [11]).

Преобразование Фурье использовалось В.В. Напалковым для решения уравнений свертки ([31]). И.Х. Мусин ([28], [29]) с помощью преобразования Фурье дал описание сопряженных пространств к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного, О.В. Епифанов ([42]), Н.Ф. Абузярова и P.C. Юл-мухаметов ([2]) - сопряженных пространств к весовым пространствам аналитических функций.

Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Укажем ряд работ, в которых проводилось обобщение преобразования Фурье в различных направлениях. Наиболее распространенным способом обобщения является использование вместо экспоненты какой-либо другой векторнозначной функции в качестве ядра.

И.С. Елисеев рассмотрел в пространстве, сопряженном к пространству Hr функций, аналитических в круге, обобщенное преобразование

Фурье с ядром у (г, А) , являющимся решением уравнения Вп{у) = \пу с начальными условиями у^ (О, Л) = — Хк, к = 0,1,., п — 1, где Бп — дифференциальный оператор

Dn{y) - у{п) + <ЭоМу(п1) + ■ ■ • + Яп-1{г)у, ок{я) е Яд.

С помощью обобщенного преобразования Фурье И.С.Елисеев получил общий вид оператора, перестановочного с оператором Бп в пространстве Яд (см. [12]).

В.П. Громов, используя обобщенное преобразование Фурье с ядром f(Xz), где / — целая функция, установил полноту некоторых систем вида {/(Лпг)} в пространствах Фреше (см. [4]).

Весьма широкое обобщение преобразования Фурье исследовалось в работах Ю.Ф. Коробейника и С.Н. Мелихова [16], Ю.Ф. Коробейника [17]. Реализация сопряженного пространства при этом подходе дается в виде пространства последовательностей.

Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению преобразования Фурье, исследованию его свойств и возможностей применения к решению ряда задач анализа.

Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.

В первой главе подробно изучается обобщенное преобразование Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому, с ядром, являющимся целой векторнозначной функцией довольно общего вида. Полученные результаты иллюстрируются разнообразными примерами.

В параграфе 1.1 дано определение обобщенного преобразования Фурье в пространстве, сопряженном к локально выпуклому, в случае, когда ядром является произвольная аналитическая вектор-функция. Найдены достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и весовым пространством целых функций.

В параграфах 1.2, 1.3 детально иследованы случаи совпадения множества значений обобщенного преобразования Фурье с распространенными и широко применяемыми в анализе пространствами: пространствами целых и аналитических в круге функций, весовыми пространствами целых функций с экспоненциальной шкалой. Предпосылками результатов данного параграфа являются теоремы А.Ф. Леонтьева и А. И. Маркушевича об общем виде линейного непрерывного функционала на них. Даны необходимые и достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и данными пространствами.

В параграфе 1.4 приведены примеры, иллюстрирующие основные теоремы предыдущих параграфов. Многие из них являются широкими обобщениями известных результатов. В частности, рассматривается обобщенное преобразование Фурье пространств, сопряженных к пространствам целых и аналитических функций: Н(С), Нц, Нц, [р, ст], [р, сг), [р, оо), а также к пространству быстро убывающих последовательностей Е, пространству Е[—1,1] бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на отрезке [—1,1] и к пространству быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций ^ (то есть, обобщенное преобразование Фурье обобщенных функций умеренного роста).

Вторая глава посвящена применению обобщенного преобразования Фурье к решению ряда задач современного анализа.

В параграфе 2.1 данной работы обобщенное преобразование Фурье применяется к нахождению порядка и типа линейного непрерывного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве.

Порядок и тип оператора — его важные внутренние характеристики. Они были введены в работах В.П. Громова [8],[9] и получили дальнейшее обобщение и развитие в работах С.Н. Мишина [24], [25], [26]. Они применяются при решении разнообразных задач анализа: решении дифференциально-операторных уравнений (см. [6],[7]), изучении операторов, коммутирующих с данным (см. [24], [25]), построении правого обратного оператора к данному (см. [27]), изучении операторов с век-торнозначной характеристической функцией (см. [24], [25]), изучении спектра операторов, действующих в локально-выпуклом пространстве (см. [25]). Вычисление этих характеристик непосредственно по определению весьма затруднительно, поэтому желательно отыскать эффективные косвенные способы их нахождения. Одним из таких способов является применение обобщенного преобразования Фурье.

В данном параграфе приводятся теоремы, позволяющие найти порядок и тип оператора, действующего в локально выпуклом пространстве. С их помощью найдены характеристики оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева Df в пространствах Н(С), Нц, [р,а], [р,&), [р, оо), что позволило уточнить некоторые оценки итераций данного оператора, полученные А.Ф. Леонтьевым (см. [22]). Данные результаты также обобщают аналогичные теоремы, полученные С.Н. Мишиным для оператора обычного дифференцирования (см. [24], [25]). Также найдены характеристики оператора обобщенного сдвига и дифференциального оператора с переменными коэффициентами в пространствах Н(С) и Нц.

Найденные характеристики оператора Df применены к задаче о применимости к различным пространствам целых функций дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в обобщенных производных Гельфонда-Леонтьева: оо п-О

Для важных пространств целых и аналитических функций Н(С), Не., [р,*7], [р, оо] в случае обычных производных эта задача решалась в работах Ритта [47], Валирона [51], Муггли [46]. В данной диссертации рассмотрена задача применимости оператора В к пространствам индуктивного типа — [р, <т), [р, оо); полученные результаты являются новыми. В условиях существования оператора В найдены его характеристики (порядок и тип) в данных пространствах.

В параграфе 2.2 рассматривается применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций.

Для многих используемых в анализе функциональных пространств известен общий вид линейного непрерывного функционала на них (см. [15], [10], [41]). В связи с тем, что векторнозначные функции играют важную роль в современной математике, их изучение средствами функционального анализа имеет большое значение. В последние десятилетия растет интерес к топологическим пространствам векторнозначных функций. Одной из важных задач при их изучении является нахождение общего вида линейного непрерывного функционала на таких пространствах.

В данном параграфе устанавливаются теоремы, описывающие общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве целых векторнозначных функций, пространстве аналитических в круге векторнозначных функций и весовом пространстве целых векторнозначных функций с экспоненциальной шкалой. Данные теоремы сформулированы в терминах порядка и типа последовательности линейных непрерывных функционалов, поэтому для их применения необходим способ подсчета этих характеристик. Показано, что одним из эффективных способов их нахождения является применение обобщенного преобразования Фурье к данной последовательности функционалов, установлены соответствующие теоремы, рассмотрены примеры.

В параграфе 2.3 исследуется применение обобщенного преобразования Фурье к задаче слабого и сильного представления элементов локально выпуклого пространства. Основополагающими в этом направлении являются работы Л.Эренпрайса (см. [42]), который с помощью классического преобразования Фурье получил представление целой функции: = / ^ € я (С), с где ш — комплексная счетно-аддитивная мера ограниченной вариации на С, к(А) — положительная функция.

Применение обобщенного преобразования Фурье дает представление

ЯМ с обобщающее указанное выше.

Также в данном параграфе рассматривается представление элементов пространства Н в виде ряда по системе значений функции /. Для случая экспоненты оно изучалось Б.А. Тейлором (см. [50]), В.В. Напалковым (см. [30]), для функций вида /(Лг) — Ю.Ф. Коробейником (см. [18]).

Если »Б1 = {Л,/} - дискретное слабо достаточное множество пространства Л, (см. [30]) то имеет место слабое представление векторов пространства Н рядом вида:

А.,)

Приведены условия, в которых данный ряд сходится сильно и абсолютно по топологии Н.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [33] — [38] и докладывались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель — профессор А.Г.Костюченко), по дифференциальным уравнениям Московского Энергетического института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), по комплексному анализу Российского университета Дружбы Народов (руководитель — профессор А.В.Арутюнов), на Воронежской зимней математической школе — 2005 "Современные методы теории функций и смежные проблемы", а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2003-2005 гг.

Автор выражает признательность профессору В.П. Громову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при написании данной работы.

Глс1Вс1 I

Обобщенное преобразование Фурье

1. Абанин, A.B. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дис. .д.ф.-м.н. / A.B. Абанин. Ростовский государственный университет. — Ростов-на-Дону, 1995.

2. Абузярова, Н.Ф., Юлмухаметов, P.C. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42, №1. — С. 3-17.

3. Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши. // Успехи мат. наук. 1958. - Т.8, вып. 6(58). - С. 207-214.

4. Громов, В.П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше. // Математические заметки. — 2003. — Т. 73, вып. 6. С. 827-840.

5. Громов, В.П. Аналоги разложения Тейлора. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999. — Т.5, вып.З. — С.801-808.

6. Громов, В.П. Операторный метод решения линейных уравнений. // Ученые записки / ОГУ. — Орел, 2002. — вып.З. — С. 4-36.

7. Громов, В.П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально-выпуклых пространствах. // ДАН. 2004. - Т. 394, №3. - С. 305-308.

8. Данфорд, Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: УРСС. 2004.

9. Дубинский, Ю.А. Задача Коши в комплексной области. — М.: Изд-во МУИ, 1996.ф 12. Елисеев, И.С. Перестановочность с линейным дифференциальнымоператором. // Математические заметки. — 1979. — Т. 23, вып. 5.- С. 719-738.

10. Епифанов, О.В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста. // ДАН СССР. — 1991. —■ Т.319, №6. С.1297-1300.

11. Жаринов, В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства ЕЯ и БРЭ. // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, вып. 4(208).- . С. 97-131.

12. Канторович, Л.В., Акилов, Г.П. Функциональный анализ в норми-^ рованных пространствах. — М.: Физматгиз, 1959.

13. Коробейник, Ю.Ф., Мелихов, С.Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения. // Комплексный анализ и математическая физика. — Красноярск, 1988. С. 62-78.

14. Коробейник, Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы и реализация сопряженного пространства. // Изв. вузов. Математика. —Ф 1990. №2. - С. 68-76.

15. Коробейник, Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы. // Изв. АН СССР. 1986. - Т. 50. №3. - С. 539-565.

16. Красичков, И.Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. // Известия АН СССР. — 1967. — Т. 31, вып.1. С. 37-60.

17. Красичков, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. 1. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Мат. сборник. 1972. - Т. 87, №4. - С. 459-489.

18. Леонтьев, А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. // Мат. сборник, 1951, Т. 29, №3, С.477-500.

19. Леонтьев, А.Ф. Обобщения рядов экспонент. — М.: Наука, 1981.

20. Маркушевич, А.И. Избранные главы теории аналитических функций. М.: Наука, 1976.

21. Мишин, С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах. // Ученые записки, / ОГУ. Орел, 2002. — вып. 3. - С. 47-98.

22. Мишин, С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. // Дис. .к.ф.-м.н. / С.Н. Мишин. Орловский государственный университет. — Орел, 2002.

23. Мишин, С.Н. О порядке и типе оператора. // ДАН. — 2001. — Т. 381, №3. С. 309-312.

24. Мусин, И.Х. Теорема Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций. Известия РАН, серия математическая, 2000, Т. 64, №6, С. 181-204.

25. Напалков, В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. // Докл. АН СССР. — 1980. —• Т.250, т. С.809-812.

26. Напалков, В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

27. Напалков, В.В. (мл.), Юлмухаметов, P.C. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана. // Математические заметки. — 2001. Т. 70, вып. 1. - С. 68-78.

28. Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применение к нахождению порядков и типов последовательностей функционалов. // Ученые записки / ОГУ. — Орел, 2005. — вып. 5. — С. 79-85.

29. Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применения. // Материалы ВЗМШ Современные методы теории функций и смежные проблемы. — 2005. — С. 176-177.

30. Пич, А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

31. Робертсон, А., Робертсон, В. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1979.

32. Садовничий, В.А. Теория операторов. — М.: Наука, 1999.

33. Ehrenpreis, L. Analytically uniform spaces and same applications. // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. -v. 101, Ш. - P.52-74.

34. Ehrenpreis, L. Mean periodic functions. //I, Amer. J. Math. — 1955. v.77. - P.293-328

35. Ehrenpreis, L. Solution of some problems of division. II. // Amer. J. Math. 1955. - v.77 - P.286-292.

36. Ehrenpreis, L. Solution of some problems of division. III. // Amer. J. Math. 1956. v.78. - P.685-715

37. Mnggli, H. Differentialgleichungen unendlich honer Ordnung mit konstanten Koeffitienten. / / Commentarii M at hem. Helvetici. — 1938.- 11. P. 151-179.

38. Ritt, J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients. // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1917. - v. 18. - P. 21-49.

39. Taylor, B.A. Some locally convex spaces of entire functions. // Proc. Symp. Pure Math, XI, Amer. Math. Soc. Prov. Rhode-Island. — 1968.- P.431-467.

40. Taylor, B.A. Analitically uniform spaces of infinitely differentiable functions. // Comm. Pure and App. Math. 1971. v.XXIV. - 1971.- P. 39-51.

41. Taylor, B.A. Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions. // Trans, of Amer. Math. Soc. 1972. - v. 163. - P.207-214.

42. Valiron, G. Sur les solutions des equations différentielles lineaires d'ordre infini et a coefficients constants. // Ann. scient. Ecole Norm, sup. 1929. - v.16. - P. 25-53.