Пространства с гипергеометрическими воспроизводящими ядрами и дробные преобразования типа Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Пространства аналитических функций с гипергеометрическими воспроизводящими ядрами.

§1.1 Предварительные сведения

§1.2 Пространства с весом общего вида

§1.3 Пространства целых функций с гипергеометрическими ядрами

§1.4 Пространства с гипергеометрическими ядрами на круге.

ГЛАВА 2. Квадратичная суммщздзрдоедзь,'. с геометрическим весом для классических о^огр^ай^^х'разложений

§2.1 Введение и предварительные результаты

§2.2 Характеризация пространств Л^ - первый метод.

§2.3 Характеризация пространств Л^ - второй метод

ГЛАВА 3. Дробные преобразования типа Фурье

§3.1 Пространства основных и обобщённых функций

§3.2 Дробные преобразования типа Фурье определение и основные свойства

§3.3 Интегральные представления операторов

§3.4 Операционное исчисление для дробного преобразования Ханкеля.

Основным инструментом исследования в диссертации служит теория воспроизводящих ядер (ТВЯ). Истоки этой теории лежат в работах Бергмана [59], Мерсера [97], Мура [99] и Зарембы [135] начала века. Первое полное изложением теории воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах было осуществлено Ароншайном в его работах 1944-го года [51] и 1950-го года [52]. Именно после работ Ароншайна ТВЯ выделяется в отдельный предмет исследований. Одновременно с работами Ароншайна выходят статьи Гарабедяна и Шиффера [76] и Нехари [107, 108], в которых воспроизводящие ядра применяются для решения ряда экстремальных задач в теории функций комплексного переменного и находится связь между ВЯ и функциями Грина. Тогда же появилась ставшая классической монография Бергмана [60], в которой автор при помощи ядра, носящего сейчас его имя, обобщает ряд результатов теории функций одного комплексного переменного на функции нескольких комплексных переменных. Независимо от перечисленных авторов, М.Г. Крейн в это же время публикует большую статью [28], в которой исследует эрмитово-положительные ядра (которые, согласно теореме Мура-Ароншайна, являются воспроизводящими), заданные на однородной топологической группе и инвариантные относительно действия этой группы.

В 1964 году Лоран Шварц [124] обобщает теорию воспроизводящих ядер на пространства с индефинитной метрикой, введённые несколько раньше JI. С. Понтрягиным [35] и, независимо, Неванлинной и Песоненом [111], [112] и изученные М.Г. Крейном, И.С. Иохвидовым и другими авторами. Полное изложение теории пространств с индефинитной метрикой можно найти в книгах Богнара [61] и Т.Я. Азизова, И.С. Иохвидова [1]. Современное изложение ТВЯ в этих пространствах содержится в книге [48], диссертации Соржонена [126], статьях [46, 47]. Хорошим введением в ТВЯ в гильбертовых пространствах могут служить лекции Хилле [83] и книга Мешковского [98].

Применения теории воспроизводящих ядер весьма многочисленны. Об использовании воспроизводящих ядер в теории конформных отображений можно прочесть в книге Нехари [106]. Другие применения ТВЯ в теории функций комплексного переменного включают новые неравенства для аналитических функций [66, 119] и созданную де Бранжем теорию оценивания однолистных функций [7, 64]. В частности, ТВЯ была использована де Бранжем при доказательстве гипотезы Бибербаха. О применениях в теории интерполяции можно прочесть в обзорной статье [73]. Отдельно отметим книги Сайто [120, 121], полностью посвящённые ТВЯ в гильбертовых пространствах и в особенности приложениям. В частности, Сайто применяет ТВЯ для получения ряда новых результатов в теории интегральных преобразований, теории аппроксимации, теории устойчивости, теории нелинейных операторов и в некоторых других областях. В статье Сайто [122] ТВЯ используется для вывода формул аналитического продолжения. Связь ТВЯ с теорией операторов преобразования исследована в книгах Джильберта и Бегехра [77, 78].

Пространства Понтрягина аналитических в круге функций были рассмотрены в обзорной статье [47]. Пространства аналитических в круге функций с ядрами инвариантными относительно вращения и весом общего вида рассматривались в ряде работ, из которых упомянем лишь статьи Алемана и Сискакиса [45] и Крита [93]. Явные выражения для ядер на круге были получены в работе Инниса [85]. В статье МакГрегора и Стессина [95] найдены явные выражения для ВЯ в пространствах с весом в виде степени модуля рациональной функции. Гильбертовы пространства с гипергеометрическими ядрами встречаются в работах Бурбеа [65] и Куткоски [71]. Гипергеометрические функции нескольких переменных являются ядрами Бергмана некоторых специальных областей в Сп, как доказано недавно в [74].

Исследованию связи между поведением коэффициентов Фурье функции по некоторой системе ортогональных полиномов и свойствами самой функции посвящена обширная литература. Отметим лишь книги и монографии об ортогональных полиномах и разложениях по ним, а также некоторые статьи, в которых рассматриваются разложения аналитических функций. Теория общих и классических ортогональных многочленов содержится в классической монографии Сегё [40], в книгах Сансоне [123], Чихары [69], Фройда [75] и монографии Невая [110]. В качестве учебника можно порекомендовать книги П.К. Суетина [42], А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова [31]. Ряд специальных вопросов теории ортогональных полиномов, их связь с гипергеометрическими функциями и применения в некоторых разделах математики рассматриваются в лекциях Ричарда Аски [53]. Разложению аналитических функций в ряды по классическим ортогональным полиномам посвящена книга Русева [118]. Разложение функций аналитических в полосе по полиномам Эрмита изучал Хилле [84]. Разложения распределений умеренного роста по этим полиномам обсуждаются в книге Антосика, Микусинского и Сикорского [49]. Некоторые пространства целых функций, также характеризуемые в терминах коэффициентов Фурье-Эрмита, рассмотрены в статье Янсена и ван Айндхо-вена [86] и в книге Ю.М. Березанского и Ю.Г. Кондратьева [6].

Разложению функций аналитических во внутренности некоторой параболы по полиномам Лагерра посвящена работа Бояджиева [62]. Разложение целых функций по этим полиномам исследуется в заметке Заеда [136], распределений умеренного роста в статье Дурана [72].

Особенности функций, представленных рядом по полиномам Лежандра, на границе эллипса сходимости изучены Нехари в [109]. Его результаты были затем обобщены Джильбертом [79] на разложения по ультрасферическим полиномам и Джильбер-том, Ховардом [80] на разложения по собственным функциям некоторого оператора Штурма-Лиувилля.

Спектр классического преобразования Фурье в Ь2(—оо,оо) состоит из четырех точек, расположенных на единичной окружности: 1, г, —1 и —г. Целые степени преобразования Фурье образуют, поэтому, циклическую группу порядка 4. Идея включить эту дискретную группу в непрерывную со спектром, целиком заполняющим единичную окружность, принадлежит Винеру и была реализована им в работе 1929 года [131]. Несколько позже Кондон [70] (в 1937) а затем Кобер [92] (в 1939) независимо переоткрыли эту группу, которая стала называться дробным преобразованием Фурье (ДПФ). Баргманну [56, 57] принадлежит обобщение на многомерный случай.

Впоследствии дробное преобразование Фурье неоднократно переоткрывалось целым рядом авторов. В книге Антосика, Микусинского и Сикорского [49] под названием "преобразование Фурье-Мелера" упоминается циклическая группа произвольного порядка, в которую можно включить преобразование Фурье. ДПФ изучалось Гинандом [81] и Вольфом [132]. Вавржинчик в [129] приходит к ДПФ рассматривая классическое преобразование Фурье в виде экспоненты от производящего оператора. В.Ф. Осиновым [33] независимо от предыдущих авторов построена теория ДПФ на группах. Намиас [104] переоткрыл дробное преобразования Фурье и использовал его для решения некоторых задач для уравнения Шрёдингера. Керр исследовала дробное преобразование Фурье в пространстве Ь2 в [88] и пространстве Шварца в в [89].

Отдельное направление исследований связано с дробным преобразованием Фурье при чисто мнимых значениях группового параметра. В этом случае чаще всего встречается название "полугруппа Эрмита". Начало этому направлению положила статья Хилле 1926 года [82], в которой оператор ДПФ при мнимых значениях параметра возникает в связи с суммированием методом Абеля разложений по полиномам Эрмита. Позднее, "полугруппа Эрмита" была использована Бабенко [3], Бекнером [58] и Вайсле-ром [130] для получения неравенств в теории классического преобразования Фурье.

Применения дробного преобразования Фурье столь же разнообразны и обширны как и классического. Перечислим лишь некоторые. Применениям в квантовой механике посвящена уже упоминавшаяся работа Намиаса [104]. Использованию ДПФ в оптике и анализе сигналов посвящено несколько десятков статей группы исследователей, формирующейся вокруг Оцактаса, среди которых отметим лишь [68, 113, 114]. Участниками этой группы написана книга [115], целиком посвящённая теории и приложениям дробного преобразования Фурье, и готовящаяся сейчас к изданию. Мастардом

100, 101, 102, 103] найдены аналоги неравенства Гейзенберга, инвариантные относительно дробного преобразования Фурье. В работах [117, 127] показано, что многомерное преобразование Вигнера равно корню шестой степени из обратного преобразования Фурье, и, следовательно, также является частным случаем дробного преобразования Фурье. Бьюн в [67] получил некоторые новые формулы обращения для дробного преобразования Фурье. Аналог дробного преобразования Фурье для д-полиномов Эрмита был введён Аски, Н.М. Атакишиевым и С.К. Сусловым в [54]. Дальнейшие обобщения на операторы с ядрами в форме билинейных производящих функций полиномов Аски-Вилсона рассматривались в [55, 116].

Дробное преобразование Ханкеля (ДПХ) гораздо менее изучено. Оно было введено Кобером в [92] и изучалось Гинандом в [81]. Затем было переоткрыто Намиасом [105] и С.М. Ситником совместно с автором [23]. ДПХ было рассмотрено Керр при действительных значениях группового параметра в пространстве £2(0,00) в работе [90] и в пространствах Земаняна из [11] в работе [91].

Целью диссертационной работы является полное описание пространств, индуцированных воспроизводящими ядрами в форме обобщённого гипергеометрического ряда, применение методов теории воспроизводящих ядер к изучению разложений по классическим ортогональным полиномам и приложение полученных результатов для исследования класса операторов, включающего, как частные случаи, дробные преобразования Фурье и Ханкеля.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Дано полное описание пространств Понтрягина аналитических функций, индуцированных воспроизводящими ядрами в форме обобщённой гипергеометрической функции. Эти пространства обобщают классические пространства Бергмана на круге и Фишера-Фока на всей комплексной плоскости.

2. Получены необходимые и достаточные условия квадратичной суммируемости с геометрическим весом для разложений по полиномам Эрмита, Лагерра и Якоби.

3. Доказаны новые свойства ортогональности для полиномов Эрмита и Лагерра.

4. Доказаны новые критерии возможности аналитического продолжения функций, заданных на всей действительной оси, положительной полуоси и конечном отрезке.

5. На пространствах основных и обобщённых функций введены дробные преобразования типа Фурье, частными случаями которых являются дробные и классические преобразования Фурье и Ханкеля, изучены их свойства.

6. Для дробных преобразований Фурье и Ханкеля доказаны теоремы об интегральных представлениях, расширяющие область возможного применения указанных преобразований. Для дробного преобразования Ханкеля получен ряд формул операционного исчисления, позволяющий применять его для решения дифференциальных уравнений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [13]-[19], [21], [23]-[25]. Две работы - [20, 87] - находятся в печати.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на трёх Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов (Владивосток 1997-1999), на трёх Дальневосточных школах-семинарах имени академика Е. В. Золотова (Владивосток 19971999), на международной конференции в Хабаровске (1993), на VII Понтрягинских чтениях в Воронеже в 1996 году, на семинаре по геометрической теории функций Института Прикладной Математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н. В.Н. Дубинин), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. H.H. Фролов), на объединённом научном семинаре Института Прикладной Математики ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов).

Объём и структура диссертации. Диссертация изложена на 116 страницах машинописного текста и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 136 наименований. Работа набрана в системе KTgX с использованием шрифтов американского математического общества.

1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Москва, Наука, 1986.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве., 2-ое изд., Москва, Наука, 1966.

3. Бабенко К. И. Неравенство в теории интегралов Фурье., Изв. Акад. Наук СССР, Серия Матем. 25, 1961, 531-542.

4. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Том 1, Москва, Наука,1965.

5. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Том 2. Москва, Наука,1966.

6. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе: Киев, Наукова Думка, 1988.7. де Бранж Л. Идеи, лежащие в основе доказательства гипотезы Бибербаха. в: Международный конгресс математиков в Беркли, Москва, 1991.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, вып. 2), ГИФМЛ, М. 1958.

8. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4), Москва, ГИФМЛ, 1961.

9. Евграфов М. А. Аналитические функции. 3-е изд. Москва, Наука, 1991.

10. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщённых функций. Москва, Наука, 1974.

11. Иохвидов И. С., Эктов Ю. С., Эквивалентность трех определений эрмитово-неотрицательных ядер и функциональная реализация порожденных ими гильбертовых пространств, Деп. ВИНИТИ, 1983, № 2384-83.

12. Карп Д. Б. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения в математической физике. Доклады РАН, том 338:1, 1994, стр. 10-14.

13. Карп Д. Б. О коэффициентах Фуръе-Лагерра целой функции. 2-ая Междунар. конф. по мат. моделир., Тезисы докладов, Якутск, 1997, 28-29.

14. Карп Д. Б. Полугруппы интегральных преобразований, построенные на ортогональных разложениях. 1-ая Дальневост. конф. студентов и аспирантов по мат. моделир., Тезисы докладов, Владивосток, 1997.

15. Карп Д. Б. О коэффициентах Фуръе-Лагерра целой функции. Дальневосточный Математический Сборник, 5, Владивосток, 1998, стр. 14-23.

16. Карп Д. Б. Пространства целых функций с гипергеометрическими воспроизводящими ядрами. 2-ая Дальневост. конф. студентов и аспирантов по мат. моделир., Тезисы докладов, Владивосток, 1998, стр. 34.

17. Карп Д. Б. Об интегральных представлениях дробных преобразований Фурье и Ханкеля. 3-ая Дальневост. конф. студентов и аспирантов по мат. моделир., Тезисы докладов, Владивосток, 1999, стр. 29.

18. Карп Д. Б. Критерий квадратичной суммируемости с геометрическим весом для разложений Якоби. Дальневосточный математический журнал, 1, 2000 (в печати).

19. Карп Д. Б., Катрахов В. В. A class of Holomorphic Pontryagin Spaces and Expansions in Orthogonal polynomials. препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1999.

20. Карп Д. Б., Ситник С. М. Формулы композиций для интегральных преобразований с функциями Бесселя в ядрах. Препринт ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1993.

21. Карп Д. Б., Ситник С. М. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения в математической физике. Препринт ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 1994.

22. Карп Д. В., Ситник С. М. Дробное преобразование Ханкеля и его приложения. Воронежская весенняя мат. школа: Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения VII, Тезисы докладов, Воронеж, 1996, стр. 92.

23. Карп Д. Б., Ситник С. М. Полугруппы интегральных преобразований, построенные на ортогональных разложениях, ИНПРИМ-98, Тезисы докладов, Новосибирск, 1998.26 272832 3334