Гипергеометрические функции многих переменных как решения системы уравнений Горна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

п

О л

САДЫКОВ ТИМУР МРАДОВИЧ

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГОРНА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2000

Работа выполнена в Красноярском государственном университете.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 27 декабря 2000 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета 064.61.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

профессор Цих А. К.

профессор Капцов О. В.

доктор физико-математических наук,

профессор Царев С. П.

Ведущая организация Институт математики СО РАН,

г. Новосибирск.

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

В/6У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Многие задачи современной математики и теоретической физики приводят к исследованию гипергеометрических функций многих комплексных переменных. К ним относятся, например, задачи теории суперструн [8], аналитического продолжения интегралов типа Меллина-Барнса [5] и алгебраической геометрии [13]. Системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа широко используются в качестве нетривиальных модельных примеров при реализации и отладке алгоритмов для символьных вычислений, используемых в современных системах компьютерной алгебры [16].

Гипергеометрические функции многих переменных возникают в квантовой теории поля как решения уравнений Книжника-Замо-лодчикова [18]. Эти уравнения могут рассматриваться как обобщенные уравнения гипергеометрического типа, а их решения допускают интегральные представления, обобщающие классические интегралы Эйлера для гипергеометрических функций одного переменного. Такой подход позволяет связать специальные функции гипергеометрического типа и актуальные задачи теории представлений алгебр Ли и квантовых групп.

Первоначально специальные функции вводились многими не связанными между собой способами. Их возникновение определялось, как правило, необходимостью решения задач, которые приводили к дифференциальным уравнениям (или системам таких уравнений), неразрешимым в классе элементарных функций. Так возникли функции Бесселя, функции Эрмита, гипергеометрическал функция Гаусса. В дальнейшем появление большого количества формул, связывающих различные специальные функции, естественно привело к стремлению классифицировать и систематизировать существующее многообразие специальных функций.

Гипергеометрические функции занимают важное место в ряду специальных функций математической физики. В настоящий мо-

мент существует по крайней мере четыре подхода к понятию гипергеометрической функции многих переменных. Такие функции могут определяться как суммы степенных рядов определенного вида (так называемых Г-рядов) [1], как решения систем дифференциальных уравнений [15], [18], как интегралы типа Эйлера [8] и интегралы Меллина-Еарнса [15].

Проблемы, рассматриваемые в диссертации, связаны с подходом к теории гипергеометрических функций на основе переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Они имеют также непосредственное отношение к исследованию фундаментального периода в теории суперструн.

Цель диссертации

Целью диссертации является исследование свойств гипергеометрической системы дифференциальных уравнений Горна и ее решений, а именно:

- получение формулы, представляющей решение системы уравнений Горна в виде кратного степенного ряда;

- изучение модуля над алгеброй Вейля, ассоциированного с системой уравнений Горна;

- вычисление размерности пространства решений системы Горна в классе функций, голоморфных в окрестности заданной точки общего положения и построение базиса в этом пространстве;

- изучение множества особенностей рядов Пюизо, представляющих гипергеометрические функции многих переменных. Получение оценки для числа разложений таких функций в ряды Лорана с центром в нуле;

- классификация рациональных функций гипергеометрического типа при помощи ядер Бергмана комплексных эллипсоидальных областей.

Методика исследования

Для построения базиса в пространстве решений системы уравнений Горна используется интегральное представление Меллина-

Лапласа. В пространстве образов гипергеометрической системе дифференциальных уравнений Горна соответствует переопределенная система разностных уравнений первого порядка с полиномиальными коэффициентами. Разрешимость таких систем уравнений описывается теоремой Оре-Сато (см. [17] и § 1.2 в [1]). При доказательстве формулы, представляющей решение системы Горна в виде кратного степенного ряда, используется теория многомерных вычетов, а также теоремы Серра, Де Рама и теорема о разделении особенностей.

В главе 2 вычисляется размерность пространства решений системы уравнений Горна. При этом решения ищутся в классе функций, голоморфных в окрестности заданной точки общего положения. В доказательстве теоремы 2.13, позволяющей вычислить данную размерность при некоторых дополнительных предположениях относительно параметров рассматриваемой системы уравнений, используется теория модулей над алгеброй Вейля дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (см. [4], [б], [7]). В данной главе используются также теоремы о сингулярном носителе решений системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных [14].

В главе 3 для классификации рациональных функций гипергеометрического типа применяются теоремы о свойствах ядер Бергмана некоторых областей Рейнхарта [3], [10]. В доказательстве теоремы о рациональности мероморфных неконфлюэнтных функций гипергеометрического типа используется понятие торического многообразия [11].

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Полученные результаты позволяют вычислять размерность пространства решений переопределенных систем дифференциальных

уравнений гипергеометрического типа и строить решения таких систем уравнений в явном виде. Они могут быть применены в анализе для получения формул аналитического продолжения гипергеометрических рядов и в теории специальных функций для нахождения соотношений между функциями гипергеометрического типа.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались па следующих конференциях и конгрессах:

- Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997 г.).

- Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998 г.).

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и математической физике (Бирмингем, Алабама, США, 1999 г.).

- Международная конференция по вычислительному алгебраическому анализу (Беркли, Калифорния, США, 2000 г.).

- Международная конференция по специальным функциям (Темпе, Аризона, США, 2000 г.).

Кроме того, изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (19952000 гг.).

Публикации

Основные результаты опубликованы в шести работах [19]—[24].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав основного текста. Список литературы содержит 50 наименований. Работа изложена на 106 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое изложение содержания диссертации, а также приводятся некоторые предварительные сведения.

В главе 1 вводится гипергеометрическая система уравнений Горна. Пусть п - натуральное число, Р\,...,Р„, Qi,...,Qn ~ ненулевые полиномы, зависящие от п комплексных переменных xi,...,xn. Система уравнений Горна, ассоциированная с этим набором данных, имеет вид [1]

XiPi У(х) = Qi у(х)' г = п• М

Здесь

did д

Х О — I Q ' О

ох \ ах 1 охь х = (xi,...,xn), у(х) - неизвестная функция. На протяжении всей диссертации используется следующее

Определение. Аналитическая функция (вообще говоря, многозначная) называется гипергеометрической, если она удовлетворяет гипергеометрической системе Горна (1) при некотором выборе полиномов Pi, Qi.

В § 1.1 дано интегральное представление решений системы (1). Ее решения ищутся в виде

у(х) = J tp(s)x'ds, (2)

с

где s = (si,... , sn), xs = Xj1... ds = ds\... dsn.

Для построения решений системы (1) необходимо исследовать систему разностных уравнений

y>(s + e,) = Ri{s)<p(s), i = 1,... (3)

где Ri(s) = Pi(s)/Qi(s + e,), et- = (0,..., l,-.,0) (1 на г'-ом месте). Разрешимость данной системы уравнений описывается теоремой 1.2: Теорема 1.2. Для разрешимости системы (3) необходимо и достаточно выполнение условий согласования

Ri(s -f ej)Rj(s) = Rj(s + ei)Ri(s), г, j = 1,... , п. (4)

При этом если решение системы (3) существует, то оно единственно с точностью до произвольного множителя ф{в), удовлетворяющего условиям периодичности ф(в + е¿) = </>(в), для всех г = 1,... , п.

Утверждение данной теоремы вытекает из известной теоремы Оре-Сато (см. [17], а также [1], § 1.2), однако приведенное в § 1.2 доказательство является новым и конструктивным, причем конструкция общего решения существенно используется в последующих разделах диссертации. Речь идет об общем виде решения системы разностных уравнений (3) в случае, когда полиномы Pi,Qi разлагаются в произведения линейных множителей. Это решение имеет вид

ПГХ(Аиз)-а) ф) К*?-ф(з). (5)

¿=1

Здесь ф(з) - произвольная функция со свойством ф(в + е*) = ф{з), г = 1,...,п, сь...,Ср, 6 С, ЛЬ...,ЛР, Ви...,Вч € 2".

Отметим, что класс функций, которому принадлежит решение системы разностных уравнений, определяется выбором периодической функции ф(э).

Функция (5) имеет вид произведения трех функций: показательной функции, так называемой Г-дроби (отношения произведений Г-функций в линейных по переменным суммирования аргументах) и периодической функции. Предположим, что функция ф(з) — целая. Тогда множество особенностей функции (5) представляет собой конечный набор счетных семейств гиперплоскостей, каждое из которых соответствует множителю в числителе Г-дроби. Аналогом простых полюсов в этом случае является ситуация, когда через каждую точку проходит не более чем п полярных гиперплоскостей. Заметим, что в теории Гельфанда и его соавторов такая ситуация соответствует нерезонансному случаю. Базисными элементами группы п-мерных гомологий дополнения ко множеству особенностей

функции (5) являются в данном случае остовы т(т), которые фактически являются топологическими произведениями п окружностей и представляются системой уравнений

{|(A,,s) - Cf, +mi\ = е,

\{Ain,s) -ап + тпп\ = £,

где гщ € No, Л;,,... , Л;п - линейно независимая система векторов, фигурирующих в числителе (5).

Для того чтобы интеграл (2) определял решение системы уравнений Горна, контур интегрирования С должен удовлетворять следующим условиям:

1. Для любого i— 1,... , п контур С,-, получающийся из контура С сдвигом на базисный вектор е,-, гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (2).

2. Интеграл (2) сходится.

В §§ 1.3, 1.4 рассмотрены условия 1, 2 соответственно и сформулированы ограничения на параметры системы (1), при которых эти условия удовлетворяются. Доказано следующее предложение.

Предложение 1.6. В нерезонансном случае контур С = Yh r(m)

тем;

удовлетворяет условию 1.

В нерезонансном случае решения системы (1), соответствующие набору линейно независимых векторов Л,-,,... , Л,п, могут быть представлены в виде Г-рядов, то есть в виде стеленных рядов, коэффициенты которых являются отношениями произведений Г-функ-ций в линейных по переменным суммирования аргументах. Однако для представления интеграла (2) в виде ряда необходимо обеспечить выполнение условия 2. Для этого рассмотрим полупростран-

р ч

ство П = {Re(A, s) < 0}, где А = Л; — 5*. Напомним, что конус,

i=i j=1

двойственный заданнному конусу С С К", определяется при помощи равенства Cv = {v 6 К" : (u,v} > 0, У и 6 С}. Условие 2 будет

выполнено, если конус Ку, двойственный конусу К, порожденному системой векторов Л;,,... , Л;п, лежит в полупространстве П. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.7. Если набор векторов Л;,,... ,Л,п удовлетворяет условиям предложения 1.6 и конус Ку С П, то ряд

(_!)»>,,+•••+".,„ у(х) = > -:---7--Г-тХ

ПГ((ЛЬ5(Л,ш))-ск) х^Х!)81^"0 • ■ ■ (<пХпУ^^г1-- (6)

7=1

удовлетворяет системе уравнений Горна (1); здесь I = {¿1,гп}, 3](А,т) = , 'А ,, причем через

обозначена матрица, полученная из матрицы А со строками Л,-,,... Л,- п заменой j-го столбца столбцом

С;, — ГП1 \

~тп )

Целью главы 2 является вычисление размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна в окрестности точки общего положения и построение базиса в этом пространстве. Важную роль играют при этом условия нерезонанс-ности параметров системы Горна и конкретная конструкция общего решения системы разностных уравнений (3). В § 2.3 построен базис в пространстве голоморфных решений системы Горна при некоторых предположениях относительно параметров данной системы. А именно, предположим, что для любого г = 1,...,гг полином (¿¡(я) зависит лишь от переменного в,- и запишем этот полином в виде (^(й) = П?=1 (*.— «<,•),« = 1> • • • £ С. Основной результат

главы 2 состоит в следующем.

Теорема 2.14. Предположим, что для всех г = 1, ...,п полином (^¡(з) зависит лишь от переменного в; и с\egQi > с1е5 Р{. Для любого мулъ-тииндекса I = (¿х,гп), г^ € {1,...,^} положим 7/ = (ах,, ап;п). Тогда при выполнении условий нерезонансности существуют р € Мо, <1,..., сх,..., ср € С, А\,..., Ар € такие, что семейство, состоящее изй\..Ап функций

П"=1 Ш=1 Г(5к + аИк - ау + 1)

есть базис в пространстве голоморфных решений системы уравнений (1) в окрестности любой точки х € (С*)п = (С \ {0})".

Напомним, что носителем ряда Лорана <р(з)ха называет-

ся множество 6 2" : у>(в) ф 0}. Доказательство теоремы 2.14 опирается на представление (6) решения системы Горна в виде кратного ряда, полученное в главе 1, и на теорему 2.2, в которой дано описание носителей решений системы Горна. Для обоснования того, что построенное семейство функций (7) исчерпывает пространство голоморфных решений системы Горна, используется следующая теорема о размерности данного пространства, доказанная в § 2.2.

Теорема 2.13. Предположим, что полиномы удовлетво-

ряют условиям согласования (4) и что для любого г = 1,... ,п полином (¿¡(в) зависит лишь от переменного Si. Если главные символы Н 1(а;(0', г),... ,Нп(х^°\г) дифференциальных операторов, определяющих систему Горна (1), образуют регулярную последовательность в точке х(0) £ сп) то размерность пространства голоморфных решений системы уравнений (1) в окрестности точки х^ равна

При доказательстве теоремы 2.13 оказывается удобным встать на "алгебраическую" точку зрения и рассматривать гипергеометрическую систему уравнений Горна как левый модуль над алгеброй Вейля Т> дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Напомним, что алгебра Вейля порождается опе-

11

раторами х1,...,х„, ■■■>(£- со стандартным коммутационным сс отношением — = Перевод задачи о вычислении ра:

мерности пространства голоморфных решений системы уравнени Горна на язык Р-модулей является частью следующей более обще схемы.

Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей, 3 С К - левы идеал, Р - левый К-модуль. Тогда имеет место изоморфизм абс левых групп

Нотк(К/3, ]?) =г {у € Р : Ру = О, УР € 3}. (*

Действительно, любое /¿-линейное отображение из К/3 в К-мс дуль Р задается своим значением у на образе единичного элемент: кольца К в факторкольце К/3 и является корректно определенныь если Ру = О, УР £ 3. Заметим, что в правой части формулы (£ записано пространство решений системы уравнений Ру = О, Р 6 . Если идеал 3 порождается элементами С?1,..., б,,, то данная систем уравнений эквивалентна системе 0{у = 0, г = 1,...,п. Поэтому дл изучения пространства решений данной системы уравнений достг точно рассмотреть Нотк(К/3,Р).

Положим теперь К = Т>, обозначим через 3 С V идеал, порой денный дифференциальными операторами, определяющими систег уравнений Горна, и выберем в качестве Р Р-модуль функций, гол< морфных в окрестности фиксированной точки а;'0' € С". Примеш описанную выше схему рассуждений к гипергеометрической си* теме Горна, мы приходим к задаче изучения Р-модуля М = V/ ассоциированного с дашюй системой уравнений.

Изучение свойств Х>-модуля Л4 составляет основное содерж; ние главы 2 и приводит к формуле для размерности простра] ства решений системы уравнений Горна (теорема 2.13). Одни из ключевых результатов, на которые опирается доказательст! теоремы 2.13, является следующая теорема. Теорема 2.9. Существует семейство линейных операторов

действующих на кольце полиномов С[а;1, ...,хп, г\,..., г„], таких, что дляТ>-модуля М, ассоциированного с системой Горна, имеет место

В § 2.2 данное семейство операторов выписано в явном виде. Подробное изложение применений теории Р-модулей к дифференциальным уравнениям содержится в монографии [4].

Глава 3 посвящена изучению рядов Пюизо, представляющих гипергеометрические функции многих переменных. В ней решаются следующие две задачи.

Пусть / - полином Лорана, зависящий от переменных Х1,...,ХП. Его амебой А/ называется образ множества нулей полинома / в торе (С*)" при отображении Ьо§ : (х\,..., хп) и- (1п |аг1 ],..., 1п |а;п|) (см. § 1 главы 6 монографии [12]). Задача изучения амебы А/ названа в [12] трудной и интересной. В главе 6 монографии [12] показано, что связные компоненты дополнения к амебе А/ выпуклы и находятся во взаимно-однозначном соответствии с разложениями рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле. Таким образом, изучение разложений рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле естественно приводит к рассмотрению амебы А¡.

В главе 3 вычисляется количество связных компонент в дополнении к амебе ядра Бергмана комплексного эллипсоида Вр,'"'рп = {х £ С" : |а:1|2/р1 + ... + \хп^Рп < 1}. Здесь рх,...,рп ~ натуральные числа. Показано, что число таких компонент не зависит от параметров р1, ...,рп и равно п + 1.

В главе 6 монографии [12] показано, что число связных компонент дополнения к амебе полинома не может быть меньше числа вершин многогранника Ньютона данного полинома. Амеба полинома Лорана называется минимальной, если число связных компо-

изоморфизм

М ~ С[ж1,..., хп,г\,..., 2П] ^2]¥}С[х1,...,хп,ги...,г„] I .

1=1 )

п

нент ее дополнения равно числу вершин многогранника Ньютон данного полинома. А.К. Цихом был предложен следующий вопрос всегда ли амеба особенности гипергеометрической функции мини мальна? (Особенности гипергеометрических функций алгебраичш и потому можно говорить об амебе такой особенности.) В § 3. дается частичный ответ на данный вопрос. Следующая теорем показывает, что амебы знаменателей рациональных гипергеомет рических функций минимальны.

Теорема 3.18. Пусть f(x) - знаменатель рациональной гипергеомеп рической функции, тогда число связных компонент множества СЛ равно числу вершин многогранника Ньютона полинома f(x).

Система Горна (1) называется неконфлюэнтной, если deg Pi -deg Qi для всех i = 1, ...,п. Решения такой системы уравнений назь: ваются неконфлюэнтными гипергеометрическими функциями. Связ между носителем произвольного ряда Лорана (то есть множество: точек целочисленной решетки, отвечающих ненулевым коэффицк ентам ряда) и его областью сходимости устанавливается леммо Абеля 3.4 (см. [2], § 1). Для рядов гипергеометрического тип доказана следующая более сильная версия данного утверждения Лемма 3.20. (Двусторонняя лемма Абеля) Предположим, что Н( конфлюэнтный гипергеометрический ряд с носителем S имеет т пустую область сходимости D. Обозначим через С конус рецессь выпуклой оболочки лтожества S. Тогда существуют (Е С

такие, что

Log (*<°>) - Cv С Log (D) С Log (х^) - Cv.

Второй задачей, рассматриваемой в главе 3, является проблем классификации рациональных функций гипергеометрического ti па. Она была сформулирована Каттани, Дикенштейн и Штур» фельсом в работе [9]. В настоящее время известно несколько нео( ходимых условий рациональности сумм гипергеометрических pj дов, однако эти условия не являются достаточными. При выпо. нении этих условий рациональные функции гипергеометрическо1

14

типа допускают представление в виде торических вычетов [9]. Следующая теорема устанавливает рациональность мероморфных не-конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Теорема 3.21. Все неконфлюэнтные мероморфные гипергеометрические функции рациональны.

Для классификации рациональных функций гипергеометрического типа используется п-параметрическое семейство ядер Бергмана комплексных эллипсоидов ВРи'"'Рп. Напомним, что два гипергеометрических ряда называются контигуально эквивалентными, если отношение их коэффициентов есть произведение экспоненциальной и рациональной функций от индексов суммирования. Следующее утверждение является следствием более общей теоремы о структуре особенностей неконфлюэнтных гипергеометрических рядов Пюизо (теорема 3.23).

Следствие 3.25. Предположим, что для любого г = 1 ,...,п полином (¿{(в) зависит лишь от переменного я,-. Тогда при выполнении условий нерезонансности любое рациональное решение неконфлюэнт-ной системы Горна контигуально эквивалентно ядру Бергмана комплексного эллипсоида £)*>'•■ • ,рл ¿ля некоторых р1, ...,р„ 6 N.

В заключении выделены основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- получено интегральное представление для решений гипергеометрической системы дифференциальных уравнений Горна;

- исследован ©-модуль системы Горна, на основе чего найдены размерность и базис пространства ее решений при некоторых предположениях относительно параметров системы;

— доказана слабая регулярность неконфлюэнтной системы Горна: всякое мероморфное решение такой системы рационально;

— дана классификация рациональных решений некоторых гипергеометрических систем уравнений при помощи ядер Бергмана комплексных эллипсоидальных областей.

15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Общие гипергеометрические системы уравнении и ряды гипергеометрического типа // УМН. Т. 47:4. 1992. С. 3-82.

[2] Гельфанд И.М., Зелевинский А.В., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торические многообразия // Функциональный анализ и его приложения. Т. 23. Вып. 2. 1989. С. 1226.

[3] Зиновьев B.C. О воспроизводящих ядрах для кратно-круговых областей голоморфности // Сиб. матем. журнал. Т. 15. 1974. С. 35-48.

[4] Кашивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997.

[5] Пассаре М., Них А.К., Чешель А.А. Кратные интегралы Мел-лина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями // Теор. и матем. физика. Т. 109. 1996. С. 381-394.

[6] Bjork J.-E. Rings of Differential Operators. North. Holland Mathematical Library. 1979.

[7] Bjork J.-E. Analytic V-Modules and Applications. Kluwer Academic Publishers. 1993.

[8] Candelas P., de la Ossa X., Greene P. and Parkes L. A pair of Calabi- Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory // Nucl. Phys. 1991. V. B539. P. 21-74.

[9] Cattani E., Dickenstein A. and Sturmfels B. Rational hypergeometric functions // Preprint. 1999. math.AG/9911030. P. 1-26.

[10] Francsics G. and Hanges N. The Bergman kernel of complex ovals and multivariable hypergeometric functions // J. Funct. Anal. V. 142. 1996. P. 494-510.

[11] Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies. V. 131. Princeton University Press. 1993.

[12] Gelfand I.M., Kapranov M.M. and Zelevinsky A.V. Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants. Birkhäuser. Boston. 1994.

[13] Horja R.P. Hypergeometric functions and mirror symmetry in toric varieties U Preprint. 1999. math.AG/9912109. P. 1-103.

[14] Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer-Verlag. 1990.

[15] Passare M., Tsikh A. and Zhdanov O. A multidimensional Jordan residue lemma with an application to Mellin-Barnes integrals // Aspects Math. E. 26. 1994. P. 233-241.

[16] Saito M., Sturmfels B. and Takayama N. Gröbner Deformations of Hypergeometric Differential Equations. Springer Verlag. Berlin, Heidelberg. 1999.

[17] Sato M. Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part) 11 Nagoya Math. J. V. 120. 1990. P. 1-34.

[18] Varchenko A. Multidimensional Hypergeometric Functions and Representation Theory of Lie Algebras and Quantum Groups. Advanced Series in Mathematical Physics 21. World Scientific. 1995.

Работы автора по теме диссертации

[19] Садыков Т.М. О решении многомерных гипергеометрических дифференциальных уравнений с помощью кратных вычетов // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1996. С. 184-196.

[20] Садыков Т.М. О многомерных системах гипергеометрического типа и их разностных а71алогах // Труды XXX научной студенческой конференции. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1997. С. 84-94.

[21] Садыков Т.М. О многомерной системе дифференциальных гипергеометрических уравнений // Сиб. матем. журнал. Т. 39. 1998. С. 1141-1153.

[22] Садыков Т.М. The dimension of the solution space of the Horn hy-pergeometric system // Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1998. С. 190-202.

[23] Sadykov Т.М. On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeometric type // Research Reports in Mathematics. Department of Mathematics, Stockholm University, no. 6. 1999. P. 1-20. (Принято к печати в журнале Mathematica Scandinavica.)

[24] Садыков Т.М. On a generalization of the Horn hypergeometric system // Комплексный анализ и дифференциальные операторы. Красноярск: Красноярский государственный университет. 2000. С. 114-126.

Диссертационная работа выполнена при поддержке Российского

Фонда Фундаментальных Исследований (грант для ведущих научных школ 96-15-96266).

Введение.

1. Интегральное представление для решений гипергеометрической системы Горна

1.1. Система разностных уравнений для веса интегрального представления

1.2. Решение системы разностных уравнений.

1.3. Условия трансляционной инвариантности контура интегрирования

1.4. Условие существования интегрального преобразования

1.5. Представление решения системы уравнений Горна в виде кратного ряда (случай простых особенностей).

2. Х>-модуль системы Горна и базис в пространстве ее голоморфных решений

2.1. Условия разрешимости, ряды Горна и их носители.

2.2. Х>-модуль, ассоциированный с системой Горна

2.3. Базис в пространстве решений некоторых систем уравнений гипергеометрического типа

3. Об особенностях гипергеометрических функции и рациональных решениях системы Горна

3.1. Понятие результанта системы Горна и его амебы

3.2. Минимальность амеб особенностей рациональных гипергеометрических функций.

3.3. Рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций.

3.4. Рациональные гипергеометрические функции, контигуально эквивалентные ядрам Бергмана

Теория специальных функций является одним из основных разделов математической физики. На протяжении последних трех столетий необходимость решения задач гидродинамики, теории управления, классической и квантовой механики стимулировала развитие теории специальных функций одного и нескольких переменных. Математические модели физических процессов содержат, как правило, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных или системы таких уравнений. Однако лишь немногие из встречающихся на практике уравнений могут быть решены в классе элементарных функций. Поэтому возникла необходимость расширения класса изученных функций. Новые функции определялись зачастую как решения дифференциальных уравнений или их систем и назывались специальными функциями. Так возникли функции Бесселя, функции Эрмита, гипергеометрическая функция Гаусса.

Введенные таким образом специальные функции математической физики не являются независимыми. Многие специальные функции могут быть выражены через другие. Детальное изучение и систематизация соотношений между ними являются одной из основных целей фундаментальных трудов [11],[18]. Однако, несмотря на все приложенные усилия, эту цель вряд ли можно считать достигнутой. Связь между различными специальными функциями математической физики нуждается в дальнейшем изучении. Тем сильнее ощущается необходимость создания единой теории специальных функций.

Важный класс специальных функций составляют функции гипергеометрического типа. Первоначально термин "гипергеометрический" применялся к следующим объектам:

Гипергеометрическое уравнение Гаусса" - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка х(х - 1 )у\х) + ((а 4- /3 + 1)х - 7)у\х) + а/3у(х) = 0. (0.1)

К этому виду приводится произвольное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками.

Гипергеометрическая функция" - решение гипергеометрического уравнения.

Гипергеометрический ряд Гаусса" - следующий степенной ряд, являющийся одним из решений гипергеометрического уравнения: ci / о \ V" (a)k{P)kXk k=0 V ]}К где (a)jt = Г(а + к)/Г(а) - символ Похгаммера. Выбирая подходящим образом значения параметров а, /5, ■у, можно получить многие элементарные и специальные функции. Например, полные эллиптические интегралы первого и второго рода, присоединенные функции Лежандра, ультрасферические многочлены и др. являются частными случаями функции 2^1 А 75 х)

Следующим шагом в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного явился переход от уравнения Гаусса (0.1) к так называемому обыкновенному обобщенному гипергеометрическому дифференциальному уравнению [12]: хР(в)у(х) = Q(9)y(x). (0.2)

Здесь 9 = х-^, а Р и Q — полиномы: р ч

P(s) = t JJ(S - Oit), Q(s) = П(5 - ДО, k=1 fc=l t,ak,f3k £ С. Гипергеометрическое уравнение Гаусса (0.1) соответствует случаю P(s) — s2jt-(a+(3)s+a(3, Q(s) = s2+(7—l)s. Уравнениям вида (0.2) удовлетворяет подавляющее большинство специальных функций математической физики.

Для гипергеометрических функций одного комплексного переменного существует хорошо развитая теория с многочисленными приложениями. Все основные системы компьютерной алгебры (такие как Mathematica и Maple) содержат процедуры, позволяющие работать с гипергеометрическими функциями. Существует также большое количество пакетов для таких систем, поддерживающих символьные вычисления с использованием функций гипергеометрического типа. К ним относится, например, пакет HYPERG, разработанный в институте им. Гаспара Монжа (Франция).

В многомерном случае существует несколько подходов к понятию гипергеометрической функции. Такие функции могут быть определены как суммы степенных рядов определенного вида (так называемых Г-рядов) [5],[7],[8], как решения систем дифференциальных уравнений [9],[39], как интегралы типа Эйлера [25],[34] и интегралы Меллина-Барнса [39].

Многомерные системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа возникают в некоторых задачах математической физики. В частности, такие уравнения появляются при изучении фейнмановских интегралов [10], в теории суперструн при исследовании юкавских констант связи [25], а также при решении алгебраических уравнений [19],[38],[44].

В 1989 году в работе [9] была детально рассмотрена система дифференциальных уравнений, которая в настоящее время широко известна как система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений задается натуральным числом N и произвольной подрешеткой В С hN. Пусть L С CN - линейное подпространство, натянутое на решетку В, и А С (CN)f - аннулятор L. Системой Гельфанда-Капранова-Зелевинского, ассоциированной с решеткой

В, называется следующая система дифференциальных уравнений на С^:

П (¿) у = П (¿) для любого ь е n ду = {а.,а)у для любого а £ А. (0.4) 1 дх

Здесь а £ С /Ь - фиксированный вектор, играющий роль параметра. Данная система уравнений интенсивно изучалась на протяжении последнего десятилетия, вызвав к жизни дальнейшие обобщения понятия гипергеометричности. В частности, была построена теория гипергеометрических функций на грассмановых многообразиях [6].

Однако гипергеометрические функции многих переменных могут быть введены при помощи более классической системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа, нежели система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений естественно возникает из определения гипергеометрического ряда, предложенного Горном [35]. По Горну формальный (лорановский) ряд от п переменных называется гипергеометрическим, если для любого г = 1,.,п отношение + ег)/^(5) является рациональной функцией. Здесь е* = (0,,., 1,., 0) (1 на ¿-ом месте), -в = («г, .,5П)> ® = пг*>п

Нетрудно выписать систему дифференциальных уравнений, которой формально удовлетворяет ряд (0.5). Пусть (р(в + е^До^) = + где Рг^Яг - полиномы, тогда ряд (0.5) является формальным решением системы уравнений х&(в)у(х) = д,-(%(®), » = 1,п. (0.6)

Здесь в = (#1, .,0П), Ог — Система (0.6) восходит к Меллину и

Горну [35] . Частные случаи данной системы уравнений, особенно в двух- и трехмерном случае, рассматривались во многих работах (см., например, [28],[38],[42]). Всюду в дальнейшем мы будем называть систему (0.6) гипергеометрической системой дифференциальных уравнений Горна и исходить из следующего определения:

Определение. Аналитическая функция (вообще говоря, многозначная) называется гипергеометрической, если она удовлетворяет гипергеометрической системе Горна (0.6) при некотором выборе

ПОЛИНОМОВ

Изучение системы уравнений Горна мотивируется стремлением создать единую стройную теорию специальных функций гипергеометрического типа. В рамках этой теории гипергеометрические функции возникают как решения универсальной системы дифференциальных уравнений, а не большого количества слабо связанных между собой уравнений математической физики, как это сложилось исторически.

Во введении к работе [6] отмечается, что, по сравнению с рядами Горна и соответствующей им системой Горна, система Гель-фанда-Капранова-Зелевинского и ее формальные решения в виде рядов гипергеометрического типа имеют существенно более простую структуру. Поэтому, с учетом сказанного выше, задача исследования гипергеометрической системы Горна представляется весьма актуальной и непростой.

Целью настоящей диссертации является систематическое изучение системы уравнений Горна: исследование ассоциированного с ней модуля над алгеброй Вейля, построение базиса в пространстве ее голоморфных решений, описание множества особенностей решений, классификация рациональных решении и изучение вопроса о представимости решений степенными рядами.

В одномерном случае система Горна совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением (0.2), которое играет важную роль в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного. Вкратце проиллюстрируем программу нашего исследования многомерной системы Горна на примере обыкновенного дифференциального уравнения (0.2).

I. В одном из вариантов метода Лапласа [12] общее решение уравнения (0.2) ищется в виде

-/*.)«•*. (0.7) С

При этом на контур С накладываются два условия:

A. Контур получающийся из контура С сдвигом на 1 (параллельно действительной оси), гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.7).

B. Интеграл (0.7) сходится.

Функция у(х), представленная интегралом (0.7), заведомо удовлетворяет уравнению (0.2), если вес интегрального представления удовлетворяет разностному уравнению ф + 1)<Э(в + 1) = <р(з)Р{з). (0.8)

Общее решение этого разностного уравнения имеет вид [12] п Г(б — а\). Г(б — ар) = 4 + 1). где ф(в) - произвольная периодическая функция с периодом 1. Поэтому при построении решений уравнения (0.2) подбирается не только контур интегрирования С, но и функция ф(з). Возможности выбора контура сильно ограничиваются условием А. Согласно этому условию, если один из полюсов функции Г(я — с^) обходится контуром С, то им должны обходиться и остальные полюсы этой функции.

II. Опишем процесс построения фундаментальной системы решений уравнения (0.2) при некоторых ограничениях на величины oik,fik [12]. Например, рассмотрим случай, когда р = q и мнимые части всех этих величин попарно различны. Рассмотрим полуполосы

Lk = {s : |Im(s - ак)\ < е, Re(s - ак) < е},

Ll = {5 : |Im(s -рк)\< в, Re(pk -s- 1) < е}, где число е столь мало, что полуполосы Lk и Lv (а также L£ и L*v) не имеют общих точек при к ф v.

Границы дЬк полуполос Lk удовлетворяют условию Л, а при выполнении неравенства \tx\ > 1 они удовлетворяют и условию В. Поэтому функции

- h / г (о-9) дЬк при \tx| > 1 являются решениями уравнения (0.2).

Интеграл (0.9) равен сумме вычетов в полюсах функции F(s—ак). Вычисляя эти вычеты, получаем разложения

Г(п + а„ - or* + 1) где р

П sinTr(Р„-ак)

Ак 1 t/=1 тг П Sin7r(aifc - avy уфк

Можно показать, что функции yi(x),. ,ур(х) линейно независимы и потому образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.2).

Построим фундаментальную систему решений уравнения (0.2), определенную при \tx\ < 1. С этой целью заметим, что функция r(ft-.).!■&-.) r(a1-s + l).r(aJ,-s + l) также является решением уравнения (0.8). Поэтому функция Г т-.) Щ-е)

УкК } 2т] Г(ах — в + 1). Г(ар — 5 Н- 1) ; v 1 Щ является решением уравнения (0.2) при < 1. Интеграл (0.10) равен сумме вычетов в полюсах функции Г(/^ — в) и, вычислив эти вычеты, получаем разложения п=0 V—1 4 '

Здесь В к - некоторые постоянные. Функции у1(х),. ,Ур(х) также линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.2).

Таким образом, в одномерном случае при указанных условиях на параметры уравнения (0.2) удается построить фундаментальную систему решений обобщенного гипергеометрического уравнения.

В рассмотренном выше одномерном случае условие, согласно которому все величины а^Д, имеют попарно различные мнимые части, автоматически обеспечивает простые полюсы подынтегрального выражения в (0.7) и, кроме того, позволяет удобно сконструировать инвариантный относительно сдвига контур С в виде границы дЬк соответствующей полуполосы. Разумеется, контур дЬк можно заменить на сумму окружностей малого радиуса с центрами в полюсах из этой полуполосы.

III. Вопрос об особенностях решений в одномерном случае также решается просто. Например, при р = д коэффициент при старшей производной в уравнении (0.2) равен хр(1х—1), поэтому его решение может иметь особенности в трех точках: 0,1/£, оо. При р ф д особенностями могут быть лишь 0 и оо. Таким образом, одномерное гипергеометрическое уравнение обладает свойством минимальности его сингулярного множества (см. § 3.1). Отсюда следует, что все его решения допускают не более двух разложений в ряды (Пюизо) с центром в нуле.

Главы настоящей диссертации находятся в соответствии с тремя приведенными выше разделами, в которых рассматривается обыкновенное обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение (0.2). В главе 1 приводится интегральное представление для решений системы Горна и изучается связанная с этим представлением система разностных уравнений. В соответствии с теоремой Оре-Сато решения представляются кратными интегралами Меллина-Барнса. В главе 2 вычисляется размерность пространства голоморфных решений системы Горна и строится базис в этом пространстве. Для этого изучается Р-модуль системы Горна и используется алгебраический аппарат теории дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. В главе 3 исследуется множество сингулярностей решений системы Горна. Подобно тому как в одномерном случае это множество задается нулями коэффициента при старшей производной, в многомерном случае это есть алгебраическая гиперповерхность, задаваемая нулями результанта главных символов дифференциальных операторов в системе Горна. Здесь свойство минимальности оказалось удобным выразить при помощи понятия амебы.

Перейдем к описанию результатов диссертации. В § 1.1 дано интегральное представление решений системы (0.6). Ее решения ищутся в виде С где s = (si,. , sn), xs = xsi . ж®", ds = ds\ . dsn.

Для построения решений системы (0.6) необходимо исследовать систему разностных уравнений где = Р^/С^^в + ег), е* = (0,., 1, .,0) (1 на г-ом месте). Разрешимость данной системы уравнений описывается теоремой 1.2:

0.11) p(s + е») = Ri{s)(p(s), i = 1,. , n,

0.12)

Теорема 1.2. Для разрешимости системы (0.12) необходимо и достаточно выполнение условий согласования + г, 7 = 1,., п. (0.13)

При этом если решение системы (0.12) существует, то оно единственно с точностью до произвольного множителя ф(з), удовлетворяющего условиям периодичности ф^в+е^ = (/»(в), для всех г — 1,. , п.

Утверждение данной теоремы вытекает из известной теоремы Оре-Сато (см. [41], а также [6], § 1.2), однако приведенное в § 1.2 доказательство является новым и конструктивным, причем конструкция общего решения существенно используется в последующих разделах диссертации. Речь идет об общем виде решения системы разностных уравнений (0.12) в случае, когда полиномы разлагаются в произведения линейных множителей. Это решение имеет вид

Пг ((Л, 5}-с) <р(в) = # . Л^-ф(з). (0.14)

П1

3=1

Здесь ф(в) - произвольная функция со свойством ф(в + ег) = ф(я), г = 1, .,п, С1,.,Ср, € С, АЪ.,АР, В1,.,ВС1 е Ъп.

Коэффициенты векторов Д-, В^ определяются по полиномам Д, в соответствии с конструкцией (1.17). Отметим, что класс функций, которому принадлежит решение системы разностных уравнений, определяется выбором периодической функции ф(з).

Функция (0.14) имеет вид произведения трех функций: показательной функции, так называемой Г-дроби (отношения произведений Г-функций в линейных по переменным суммирования аргументах) и периодической функции. Предположим, что функция ф(в) - целая. Тогда множество полюсов функции (0.14) представляет собой конечный набор счетных семейств гиперплоскостей, каждое из которых соответствует множителю в числителе Г-дроби. Аналогом простых полюсов в этом случае является ситуация, когда через каждую точку проходит не более чем п полярных гиперплоскостей. Заметим, что в теории Гельфанда и его соавторов такая ситуация соответствует нерезонансному случаю. Роль окружностей в одномерном случае теперь играют остовы т(т), которые фактически являются топологическими произведениями п окружностей и представляются системой уравнений где гп1 6 N0, Д,,. ,Дп - линейно независимая система векторов, фигурирующих в числителе (0.14).

Многомерными аналогами условий А, В являются следующие условия:

А\. Для любого г — 1,. , п контур Сг-, получающийся из контура С сдвигом на базисный вектор ег-, гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.11).

В\. Интеграл (0.11) сходится.

В §§ 1.3, 1.4 рассмотрены условия В\ соответственно и сформулированы ограничения на параметры системы (0.6), при которых эти условия удовлетворяются. Доказано следующее предложение.

Предложение 1.6. В нерезонансном случае контур С = ^ т(га) щие набору линейно независимых векторов . , Дп, могут быть представлены в виде Г-рядов, то есть в виде степенных рядов, коэффициенты которых являются отношениями произведений Г-функций в линейных по переменным суммирования аргументах. Однако для представления интеграла (0.11) в виде ряда необходимо обеспечить выполнение условия В\. Для этого рассмотрим полупрор д странство П = {11е(Д,.в) < 0}, где Л — ~ XI Напомним, г=1 з=\ что конус, двойственный заданнному конусу С С Мп, определяется при помощи равенства = ^ 1" : {и, у) > 0, Уи Е С}. Условие будет выполнено, если конус К4, двойственный конусу К, порожденному системой векторов Д-п . , Д„, лежит в полупространстве П. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.7. .Ес/ш набор векторов . , Дп удовлетворяет условиям предложения 1.6 и конус Ку С П, то = £ -г-^ т • I т • I т^Ч-----Ьт;п тек» ! • • • ' • • • ' Аи) X х^хгУ^ . (¿ЛГ"(Дт)^-- (0.15) 1 удовлетворяет системе уравнений Горна (0.6); здесь I = {¿1,.,гп}, 3](А,т) = у причем через А^ обозначена матрица, полученная из матрицы А со строками А^,. Дп заменой^-го столбца столбцом - гп1 Сг„ -тп

Целью главы 2 является вычисление размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна в окрестности точки общего положения и построение базиса в этом пространстве. Важную роль играют при этом условия нерезонанснос-ти параметров системы Горна и конкретная конструкция общего решения системы разностных уравнений (0.12). В § 2.3 построен базис в пространстве голоморфных решений системы Горна при некоторых предположениях относительно параметров данной системы. А именно, предположим, что для любого i = 1,.,п полином Qi(s) зависит лишь от переменного и запишем этот полином в виде Qi{s) = — aíj)> i — 1) • • • > aij £ Основной результат главы 2 состоит в следующем.

Теорема 2.14. Предположим, что для всех i = 1, .,п полином Qi(s) зависит лишь от переменного s¿ и deg Qi > degP¿. Для любого муль-тииндекса I = (¿i, .,гп), г^ 6 {1, .,dk} положим 7/ = (а^,. ,а;Шп). Тогда при выполнении условий нерезонансности существуют р £ No, ti,.,tn, ci,.,cp £ С, Лх,., G Zn, такие, что семейство, состоящее U3d\.dn функций

У1(х) = Х-" У t'+-n-Ш=1 Г((Л, 8 + 7j) - c¡)-(0Л6) есть базис в пространстве голоморфных решений системы (0.6) в окрестности любой точки х £ (С*)п = (С \ {0})п.

Напомним, что носителем ряда Лорана называется множество {s £ Zn : cp(s) ф 0}. Доказательство теоремы 2.14 опирается на представление (0.15) решения системы Горна в виде кратного ряда, полученное в главе 1, и на теорему 2.2, в которой дано описание носителей решений системы Горна. Для обоснования того, что построенное семейство функций (0.16) исчерпывает пространство голоморфных решений системы Горна, используется следующая теорема о размерности данного пространства, доказанная в § 2.2.

Теорема 2.13. Предположим, что полиномы P¿(s),Q¿(s) удовлетворяют условиям согласования (0.13) и что для любого г = 1,. ,п полином Qí(s) зависит лишь от переменного s¿. Если главные символы . ,Hn(x(°\z) дифференциальных операторов, определяющих систему Горна (0.6), образуют регулярную последовательность в точке х^ £ Сп, то размерность пространства голоморфных решений системы уравнений (0.6) в окрестности точки х^ равна

IlIUdeg

При доказательстве теоремы 2.13 оказывается удобным встать на "алгебраическую" точку зрения и рассматривать гипергеометрическую систему уравнений Горна как левый модуль над алгеброй Вейля Т> дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Напомним, что алгебра Вейля порождается операторами жп, со стандартным коммутационным соотношением — = ^з- Перевод задачи о вычислении размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна на язык £>-модулей является частью следующей более общей схемы.

Пусть К - ассоциативное кольцо с единицей, 3 С К - левый идеал, Р - левый К-модуль. Тогда имеет место изоморфизм абе-левых групп

Нотк(К/3, - {У е Р : Ру = О, УР 6 3}. (0.17)

Действительно, любое ^-линейное отображение из К/3 в ^-модуль Р задается своим значением у на образе единичного элемента кольца К в факторкольце К/3 и является корректно определенным, если Ру = 0, \/Р 6 3. Заметим, что в правой части формулы (0.17) записано пространство решений системы уравнений Ру = 0, Р € 3. Если идеал 3 порождается элементами ., то данная система уравнений эквивалентна системе С^у = 0, % — 1,.,п. Поэтому для изучения пространства решений данной системы уравнений достаточно рассмотреть Нотк{К/3, Р).

Положим теперь К — V, обозначим через 3 С Т> идеал, порожденный дифференциальными операторами,-определяющими систему уравнений Горна, и выберем в качестве Р 1>-модуль функций, голоморфных в окрестности фиксированной точки Е Сп. Применяя описанную выше схему рассуждений к гипергеометрической системе Горна, мы приходим к задаче изучения Т>-модуля М. = Т)/3, ассоциированного с данной системой уравнений.

Изучение свойств Т>~модуля Л4 составляет основное содержание главы 2 и приводит к формуле для размерности пространства решений системы уравнений Горна (теорема 2.13). Одним из ключевых результатов, на которые опирается доказательство теоремы 2.13, является следующая теорема.

Теорема 2.9. Существует семейство линейных операторов действующих на кольце полиномов С[ж1,., хп, ., гп], таких, что для Т>-модуля Л4, ассоциированного с системой Горна, имеет место изоморфизм

М ~С[х1,.,хп,гъ.,гп} I .,хп, гъ гп]

В § 2.2 данное семейство операторов выписано в явном виде. Подробное изложение применений теории Х>-модулей к дифференциальным уравнениям содержится в монографии [16].

Глава 3 посвящена изучению рядов Пюизо, представляющих гипергеометрические функции многих переменных. В ней решаются следующие две задачи.

Пусть / - полином Лорана, зависящий от переменных х\,.,хп. Его амебой Л/ называется образ множества нулей полинома / в торе (С*)п при отображении Ьс^ : (х1,.,хп) И- (1п |а;1.|,., 1п \хп\) (см. § 1 главы 6 монографии [33]). Задача изучения амебы А/ названа в [33] трудной и интересной. В главе б монографии [33] показано, что связные компоненты дополнения к амебе Л/ выпуклы и находятся во взаимно-однозначном соответствии с разложениями рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле. Таким образом, изучение разложений рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле естественно приводит к рассмотрению амебы А}.

В главе 3 вычисляется количество связных компонент в дополнении к амебе ядра Бергмана комплексного эллипсоида ВРи-,Рп = {х 6 С : |я1|2//р1 + . + \хп\2,Рп < 1}. Здесь .,рп - натуральные числа. Показано, что число таких компонент не зависит от параметров .,рп и равно п + 1.

В главе 6 монографии [33] показано, что число связных компонент дополнения к амебе полинома не может быть меньше числа вершин многогранника Ньютона данного полинома. Амеба полинома Лорана называется минимальной, если число связных компонент ее дополнения равно числу вершин многогранника Ньютона данного полинома. А.К. Цихом был предложен следующий вопрос: всегда ли амеба особенности гипергеометрической функции минимальна? (Особенности гипергеометрических функций алгебраичны и потому можно говорить об амебе такой особенности.) В § 3.2 дается частичный ответ на данный вопрос. Следующая теорема показывает, что амебы знаменателей рациональных гипергеометрических функций минимальны.

Теорема 3.18. Пусть f{x) - знаменатель рациональной гипергеометрической функции, тогда число связных компонент множества СЛ/ равно числу вершин многогранника Ньютона полинома f(x).

Система Горна (0.6) называется неконфлюэнтной, если deg Pi — deg Qi для всех i — 1, .,п. Решения такой системы уравнений называются неконфлюэнтными гипергеометрическими функциями. Связь между носителем произвольного ряда Лорана (то есть множеством точек целочисленной решетки, отвечающих ненулевым коэффициентам ряда) и его областью сходимости устанавливается леммой Абеля 3.4 (см. [9], § 1). Для рядов гипергеометрического типа доказана следующая более сильная версия данного утверждения.

Лемма 3.20. (Двусторонняя лемма Абеля) Предположим, что не-конфлюэнтный гипергеометрический ряд с носителем S имеет непустую область сходимости D. Обозначим через С конус множества S. Тогда существуют а^0),^1) £ Сп, такие, что

Log (s<°>) - Cv С Log (D) С Log (*«) - Cv

Второй задачей, рассматриваемой в главе 3, является проблема классификации рациональных функций гипергеометрического типа. Она была сформулирована Каттани, Дикенштейн и Штурмфельсом в работе [27]. В настоящее время известно несколько необходимых условий рациональности сумм гипергеометрических рядов, однако эти условия не являются достаточными. При выполнении этих условий рациональные функции гипергеометрического типа допускают представление в виде торических вычетов [27]. Следующая теорема устанавливает рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций.

Теорема 3.21. Все неконфлюэнтньье мероморфные гипергеометрические функции рациональны.

Для классификации рациональных функций гипергеометрического типа используется п-параметрическое семейство ядер Бергмана комплексных эллипсоидов 0Ри",Рп. Напомним, что два гипергеометрических ряда называются контигуально эквивалентными, если отношение их коэффициентов есть произведение экспоненциальной и рациональной функций от индексов суммирования. Следующее утверждение является следствием более общей теоремы о структуре особенностей неконфлюэнтных гипергеометрических рядов Пюизо (теорема 3.23).

Следствие 3.25. Предположим, что для любого % = 1, полином С^^в) зависит лишь от переменного Тогда при выполнении условий нерезонансности любое рациональное решение неконфлюэнт-ной системы Горна контигуально эквивалентно ядру Бергмана комплексного эллипсоида 0Ри",Рп для некоторых .,рп € N.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Пиху за постановку задачи и внимание к работе. Автор благодарен Микаэлю Пассаре за многочисленные плодотворные обсуждения и замечания о результатах настоящей диссертации. Автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований (грант 96-15-96266) за финансовую поддержку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- получено интегральное представление для решений гипергеометрической системы дифференциальных уравнений Горна;

- исследован Р-модуль системы Горна, на основе чего найдены размерность и базис пространства ее решений при некоторых предположениях относительно параметров системы;

- доказана слабая регулярность неконфлюэнтной системы Горна: всякое мероморфное решение такой системы рационально;

- дана классификация рациональных решений некоторых гипергеометрических систем уравнений при помощи ядер Бергмана комплексных эллипсоидальных областей.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы в комплексном анализе и в теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также в математической физике.

Основные обозначения

N - множество натуральных чисел; N0-NU{0};

Ъ - множество целых чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел;

Кп - вещественное пространство размерности щ

Сп - комплексное пространство размерности п; С* = С\{0}; a, b) = a\b\ + . + anbn - скалярное произведение векторов а = (ai,., ап) и 6 = (&i,., 6П);

I = (¿i,.,гп) - мультииндекс;

Pí,Qí - полиномы, определяющие гипергеометрическую систему уравнений Горна (1.1); ei,.,еп - стандартный базис решетки Zn; s) - периодическая функция, удовлетворяющая условиям 0(s + е») ~ ф(в), г = 1,., щ в = (в\, .,вп), В{ = Xi-^r. ~ т.н. производная Фукса;

V - алгебра Вейля линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, порожденная ., хп, .,

G{ — xíPí(0) — Qi(6) - дифференциальный оператор в г-ом уравнении системы Горна;

Hi(x,z) - главный символ дифференциального оператора

М - модуль над алгеброй Вейля, ассоциированный с системой уравнений Горна;

102 char(A^) - характеристическое многообразие системы уравнений Горна;

UM = {х £ Cn : 3 £ ф 0 такой, что (ж, z) £ char(A^)}; А/ - амеба полинома Лорана /; Aff - многогранник Ньютона полинома Лорана /; vert (Л/*) - множество вершин многогранника М\ Log - отображение Log : (xi, .,хп) (In jxi), .,1п|жп|); DPl,"'Pn = {х £ С1 : \xi\2/pl + . + \хп\2'р» < 1} - комплексный эллипсоид;

Kpi,-,pn ~ ЯДР° Бергмана области DPu" 'Pn\

Xs - торическое многообразие, ассоциированное с веером Е; Cv = {г> £ Rn : {u,v) > 0, \/и £ С} - конус, двойственный к заданному конусу С.

Заключение

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.

2. Айзенберг JI.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск.: Наука, 1990.

3. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск.: Наука, 1979.

4. Гельфанд И.М., Граев М.И. GG-функции и их связь с общими гипергеометрическими функциями // УМН. Т. 52:4. 1997. С. 3-48.

5. Гельфанд И.М., Граев М.И., Зелевинский A.B. Голономные системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // ДАН. Т. 295. 1987. С. 14-19.

6. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Общие гипергеометрические системы уравнении и ряды гипергеометрического типа // УМН. Т. 47:4. 1992. С. 3-82.

7. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах B.C. q-Гипергеометрическое уравнение Гаусса и описание его решений в виде рядов и интегралов // ДАН. Т. 331. 1993. С. 140-143.

8. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Общие гамма-функции, экспоненты и гипергеометрические функции // УМН. Т. 53:1. 1998. С. 3-60.

9. Гельфанд И.М., Зелевинский A.B., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и тори-ческие многообразия // Функциональный анализ и его приложения. Т. 23. Вып. 2. 1989. С. 12-26.

10. Голубева В.А. Некоторые вопросы аналитической теории фейнмановских интегралов // УМН. Т. 31:2. 1976. С. 135-220.

11. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз, 1963.

12. Евграфов М.А. Ряды и интегральные представления. Итоги науки и техники. М.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 13. 1986.

13. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск.: Наука, 1977.

14. Жданов О.Н, Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. матем. журнал. Т. 39. 1998. С. 281-298.

15. Зиновьев B.C. О воспроизводящих ядрах для кратно-круговых областей голоморфности // Сиб. матем. журнал. Т. 15. 1974. С. 35-48.

16. Кашивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997.

17. Никифоров А.Ф., Уваров В.В. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974.

18. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

19. Семушева А.Ю., Цих А.К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы. Красноярск: Красноярский государственный университет. 2000. С. 134-146.

20. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

21. Adolphson A. Hypergeometric functions and rings generated by monomials // Duke Math. J. V. 73. 1994. P. 269-290.

22. Behnke H. and Thullen P. Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Springer-Verlag. 1970.

23. Björk J.-E. Rings of Differential Operators. North. Holland Mathematical Library. 1979.

24. Björk J.-E. Analytic V-Modules and Applications. Kluwer Academic Publishers. 1993.

25. Candelas P., de la Ossa X., Greene P. and Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory // Nucl. Phys. V. B539. 1991. P. 21-74.

26. Cattani E., D'Andrea C. and Dickenstein A. The Л-hypergeometric system associated with a monomial curve // Duke Math. J. V. 99. 1999. P. 179-207.

27. Cattani E., Dickenstein A. and Sturmfels В. Rational hypergeometric functions // Preprint. 1999. http://xyz.lanl.gov/abs/math.AG/9911030. P. 1-26.

28. Erdelyi A. Hypergeometric functions of two variables // Acta Math. V. 83. 1950. P. 131-164.

29. Forsberg M. Amoebas and Laurent series. Doctoral thesis. Royal Institute of Technology, Stockholm. 1998.

30. Forsberg M., Passare M. and Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas // Adv. Math. V. 151. 2000. P. 45-70.

31. Francsics G. and Hanges N. The Bergman kernel of complex ovals and multivariable hypergeometric functions // J. Funct. Anal. V. 142. 1996. P. 494-510.

32. Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies. V. 131. Princeton University Press. 1993.

33. Gelfand I.M., Kapranov M.M. and Zelevinsky A.V. Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants. Birkhäuser. Boston. 1994.

34. Gelfand I.M., Kapranov M.M. and Zelevinsky A.V. Generalized Euler integrals and A-hyper-geometric functions // Adv. Math. V. 84. 1990. P. 255-271.

35. Horn J. Uber hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen // Math. Ann. V. 117. 1940. P. 384-414.

36. Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer-Verlag. 1990.

37. McDonald J. Fiber polytopes and fractional power series // J. Pure Appl. Algebra. V. 104. 1995. P. 213-233.

38. Mellin Hj. Resolution de U'equation alg'ebrique g'en'erale a l'aide de la fonction Г // С. R. Acad. Sc. V. 172. 1921. P. 658-661.

39. Passare M., Tsikh A. and Zhdanov О. A multidimensional Jordan residue lemma with an application to Mellin-Barnes integrals // Aspects Math. E. 26. 1994. P. 233-241.

40. Saito M., Sturmfels В. and Takayama N. Gröbner Deformations of Hypergeometric Differential Equations. Springer Verlag. Berlin, Heidelberg. 1999.

41. Sato M. Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part) // Nagoya Math. J. V. 120. 1990. P. 1-34.

42. Srivastava H.M. and Karlsson P.W. Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Limited. 1985.

43. Stanley R.P. Enumerative Combinatorics, V. 1. Wadsworth & Brooks/ Cole Mathematics Series. 1986.

44. Sturmfels В. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series // Discrete Math. V. 210. no. 1-3. 2000. P. 171-181.

45. Работы автора по теме диссертации

46. Садыков Т.М. О решении многомерных гипергеометрических дифференциальных уравнений с помощью кратных вычетов // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1996. С. 184-196.

47. Садыков Т.М. О многомерных системах гипергеометрического типа и их разностных аналогах // Труды XXX научной студенческой конференции. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1997. С. 84-94.

48. Садыков Т.М. О многомерной системе дифференциальных гипергеометрических уравнений // Сиб. матем. журнал. Т. 39. 1998. С. 1141-1153.106

49. Садыков Т.М. The dimension of the solution space of the Horn hypergeometric system // Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск: Красноярский государственный университет. 1998. С. 190-202.

50. Садыков Т.М. On a generalization of the Horn hypergeometric system // Комплексный анализ и дифференциальные операторы. Красноярск: Красноярский государственный университет. 2000. С. 114-126.