Обращение интегральных уравнений Вольтерра со специальными функциями в ядре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ од

- ь МЛР 1395

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХУДОЖНИКОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ

ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ЯДРЕ

01,01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ —1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор ЧИБРИКОВА Л.И. Официальные оппоненты доктор физико-математических

диссертационного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете по адресу:

420008, г. Казань, ул. Ленина. 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета:

г. Казань, ул. Ленина, 18.

наук, профессор ГАБДУЛХАЕВ Б.Г. кандидат физико-математических наук ХАЙРУЛЛИН Р.С.

Ведущая организация Самарский государственный

педагогический университет

Защита, состоится "2 Ь "

часов на заседании

Автореферат разослан

1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета доцент

В.В.Шурыгин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена обращению интегральных уравнений Воль террасы основном первого родах ядрами, содержащими специальные функции гипергеометрического типа. Работ, посвященных этой проблеме, к настоящему времени известно много, перечень их можно найти в монографии Самка С.Г., Килб&са A.A. и Маричеда. О.И.', и результаты этих работ находят широкое применение в математической физике: пары взаимно обратных формул составляют основу всех операционных исчислений; при решении многих граничных задач для двумерных уравнений смешанного типа приходится обращать вольтерровы уравнения названного класса; в настоящее время в связи с разработкой теории краевых задач для многомерных уравнений возникла необходимость обращения уравнений с, гипергеометричесгами функциями многих переменных. Поэтому проблема обращения известных уравнений, связанных с прикладными задачами, а также выявление новых типов таких уравнений еще долгчн время будет актуальной задачей.

Цель работы. Изучение возможности применения классического метода интегральных преобразований В.Вольтерра и Ж.Переса при обращении новых классов вольтерровых интегралов с гипергеометрическими функциями как одной переменной, так и многих переменных.

Методы исследования опираются на основные свойства специальных функций и на результаты В.Вольтерра и Ж.Переса2 по изучению композиций функций.

Научная новизна. Получены новые интегральные соотношения типа сверток, а также даны более простые доказательства известных ранее таких соотношений, которые позволяют получить новые пары формул обращения.

Теоретическое и практическое значите Результаты работы в основном

1Gft»«o СГ., Килбас АА, Марич® QH Ингяралы и произволыг дро&гго горчда и их нзюгорыв приленетга. —МьЛаука и тепюга, 1987. —688 с

"ЛШегга V.,Fferes J. LectkxBsurkconpcstknet feBMrtk^ —Pfeui&Gaji.ber-

Villais, 1924.—Шр.

носят теоретический характер, но они могут быть использованы и при решении мьогих задач математической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях КГУ в 1992—94 г.г., на Международной научной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100—летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994) и на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложений Саранск, 1994). _ Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 79 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, подразделяющихся на 10 параграфов, и списка литературы из 58 наименований.

Во введении приведены исторический обзор методов обращения интегральных уравнений Вольтерра первого рода со спецфункциями в ядре, краткое содержание работы и список применяемых обозначений.

В главе I путем вычисления композиций двух гипергеометрических функций получаются формулы типа сверток и с их помощью строятся формулы обращения соответствующих интегралов Вольтерра.

В §1 рассматриваются свойства гипергеометрических функций одной переменной. Даны доказательства различных интегральных соотношений типа свертки для следующих функций:

— для гипергеометрической функции Гаусса (формула А.Эрдейи 2.3(3)3)

Не7, йе£>0, |а^(1-г)| <7Г,

3Бейпмя Г., Эрдейи А. Вьпше травдэдапые фунеди. В 3 т. Т1. Гквргесмэ-тричгнаяфункдая. Фуниця Леяацдра. —2-е гад —М:Наука, 1973. —294с

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

— для вырожденной гипергеометрической функции Куммера

— для вырожденной гипергеометрической функции 0^1(7", г)

Формулы (2), (3) проверяются методом степенных рядов, а формула (4) получена из формулы (3) конфлюэнтным переходом. Ранее формула (2) была доказана методом дробного дифференцирования по частям.

В §2 рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра первого рода с гипергеометрической функцией Гаусса. Решения уравнений получены с помощью следствий формулы (2). Волкодавовым В.Ф. и Николаевым Н.Я.4 рассматривались различные случаи этих уравнений, когда нижний параметр 7 у функции Гаусса принимал значения : 1) 0 < 7 < 1; 2) 7 = 1; 3) 7 = л; 4) п <7 <тг+1. Здесь же показывается, что нет необходимости рассматривать эти случаи отдельно и решение уравнения выражается одной формулой, содержащей параметр п = [Иет]> т е- ЧелУК> часть от реальной составляющей параметра 7.

Теорема 2.1. Интегральное уравнение

где Ие7 > 0, -оо <а<х<Ь< +оо, пЬ > 0, д{х) 6 АО*1, п = [Иет] в классе функций Да, Ь) имеет единственное решение, выражающееся формулой

4Волнодасв ВФ., Нинола® НЯ Ингегралыьк ураиния Вольтерра с нвноторьм! аетиалыыжф;уда»1йжвдпреиихприпожзмя —Омара, 1992. —100с.

В §3 рассматриваются уравнения вида (1) с функциями и При построении решения используются формулы (3), (4). Ранее подобные уравнения обращались другими методами.

В §4 вводятся два класса вырожденных гипергеометрических функций многих переменных. Функции, полученные конфлюэнтными переходами из функций Лауричеллы ^в и имеют представление в виде рядов: = 0< ку1,к+1<п)

к

^ ( 7 Г]) Ш '

абсолютно сходящий в области <1,7 =17%

, /Я Ч. \ (ФТШ* п ,

абсолютно сходящий в области <1,1= 1,п— 1.

Рассматриваются их некоторые свойства и интегральные формулы типа (2)—(4), на основе которых даются обращения различных интегральных уравнений, являющихся обобщениями уравнений, рассмотренных в §§2, 3. Следствие 4.1. Интегральное уравнение

где 0 < В/г/ < 1, ■-оо < а < х < Ь < + оо, д(х) е С[а> Ц,д{а) = О, Ь, /2 ф. [о, Ц, Ц -произвольные постоянные, имеет решение

Теорема 4.6. Интегральное уравнение

где 0 <йе7<1, -оо<а< х< Ь<+оо, £ ф [а,^, с-произвольная постоянная, д{х) еЦа,Ь), имеет решение

т=- Му*- ^да |.

В главе II рассмагриваюзся урагпсшет, еодертатне ™»«№1Мктиичс-ские функции и степенно-Л01ъарифмическую особенность. Рассматривается структура коэффициентов полинома от 1л (г - 5).

В §5 рассматривается метод Вольтерра-Переса5 получения интегральных соотношений вида:

(5)

Ее7, М>0.

В указанной работе в соотношениях вида (5) X, з), Щ5. X, 5) — произвольные функции, одна из которых является полиномом от 1п(ж — й) с по стошшыьш коэффициентами, а вторая — несобствешшм интег ралом, впоследствии названным функцией Вольтерра. В данной работе эти функции содержат гипергеомегрические функции, а функция С(7+5,1,5), как в указанной работ«, не содержит гипергеометрнческую функцию.

Тосрс?.~ 5.1. Имеет м-гсто формула?

где функция С{8о,х,1) определяется формулой:

5\№еггаУ.,йте81 Ьесйошзда Ьсопраяйтебквй^ —йгк Ом^Ькг-

Шиз, Ш -184 р.

Щ - некоторые функции от 7, = \¥п, а п— 1) определяются через

и С|, входящую в определение функции С(.). Теорема 5.2. Коэффициенты Ж соотношения из теоремы 5.1 имеют ввд;

' хЦ^)(7)Л(р-/-£¿1,1,747), (6)

где А(£,1,п,7) определяется формулой:

n-fc+l n-A+2 n fc

Щ«+1)!=1).', Sil=Y^iik.

Отметим, что и коэффициенты щ имеют вид (6) с заменой Ь{щ 1, n,j) на

Ыщ 2,п,7).

В §5 также формулируются условия существования соотношений вида (5) с гипергеометрическими функциями в.левой части.

В §§6, 7 рассматриваются интегральные уравнения, в ядрах которых содержится либо полином от логарифма с гипергеометрическими функциями, либо аналоги функции Вольтерра с гипергеометрическими функциями. Показывается, что эти уравнения можно свести к уравнениям с логарифмическим полиномом, но уже без гипергеометрических; функций. Вычисления опираются на интегральные соотношения, полученные в §5. Проверяются условия существования этих формул, указанных там же.

В главе III рассматриваются различные частные случаи, некоторые обобщения рассмотренных в предыдущих параграфах интегральных уравнений, а также уравнения Вольтерра второго рода с гипергеометрическими функциями одной и многих переменных.

Интегральные уравнения с обобщенными гипергеометрическими функциями, допускающими понижение порядка, рассматриваются в §8. Исполь-

зуя формулу 7.2.3(15)6

интегральные уравнения Вольтерра первого рода с этими функциями сводятся к системе линейного дифференциального и интегрального уравнений. Так уралпсштс

сводится к системе

г оПН+тЧх- ФА») = у(4,

fa Г(7+т) с начальными условиями

Рассматриваются также более общие уравнения с функциями pFp±1, ¡^-li^+i и

В §9 рассматриваются интегральные уравнения с функциями гипергеометрического типа; функщш Бесселя первого рода, интеграл вероятности, полиномы Якоби, функция Л ежандра первого рода, полиномы Кравчука. Некоторые из втих уравнений рассматривались другими авторами и обращались другими методами.

В §10 рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра второго рода с вырожденными гипергеометрическими функциями oil, 1F1, и Ф^. Решения получаются в виде рядов, сходимость которых следует из сходимости метода последовательных приближений для втих уравнений. Ранее эти уравнения не рассматривались. Указывается также класс уравнений второго рода, получающихся из уравнений первого рода дифференцированием.

вПруднинов АН, Врьннов ЮА, Шричев О.И. Интегралы и рядх Дрпмяетелыы; главы — М:Наука, 1986. —801 с

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены новые и доказаны (более просто) известные интегральные соотношения типа свертки для рада гипергеометрических функций одной и многих переменных, используемых для обращения интегральных уравнений Вольтерра первого рода, содержащих указанные функции и степенную особенность.

2. Исследованы свойства введенных в работе двух классов вырожденных гипергеометрических функций многих переменных, а также получены обращения интегральных уравнений Вольтерра первого рода с ними.

3. Построены интегральные соотношения, содержащие логарифмическую особенность и гипергеометрические функции, исследозала структура постоянных, входящих в эти формулы, а также схема решения интегральных уравнений, содержащих в ядрах логарифмическую особенность и специальные функции.

4. Дана схема обращения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода, содержащих в ядре некоторые обобщенные гипергеометрические функции.

5. Построены решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, ядра которых содержат гипергеометрические функции одной и многих переменных.

Выражаю свою глубокую и искренную благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Чибриковой Любови Ивановне за постановку задачи, обсуждение результатов и помощь при выполнении работы.

и

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чибрикова Л.И., Художников В.И. Обращение некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода с гипергеометрической функцией в ядре// Казан, уп-т. — Казаль,1992. — 31 с. — Виблиогр.:7 назп. — Дсп. в ВИНИТИ 05.11.82, №3183-В92.

2. ХуДСлЗЛПХОП iJ.il. Обр">™Г*!*'> К"КО?*>рмт И«Т(.1>1Ш1ЬНК|К >|||шпЕ1иШ Вольтерра первого рода с гипергеометрической функцией в ядре// гизал. ун-г. — Казань,1993. — 10 с. — Библиогр.:3 назв. — Деп. в ВИНИТИ 20.10.93, №2623-В93.

3. Художников В.И. Обращение некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода со спецфушадаями в ядре// Тезисы докл. междунар. конференции "Алгебра и Анализ", посвящ. 100-Лстию со дая рождения Н.Г.Чеботарева. Часть 2. — Казань,1994. — С. 141 - 1.42.

4. Художников В.И. Об интегральных уравнетшх Вольтерра с гипер-геометрнческими функциями многих переменных в ядре// Казан, ун- т. — Казань, 199-4. — 23 с. — Библиогр.:8 назв. — Деп. в ВИНИТИ 25.10.94, №2417-В 94.

5. Художников В.И. Об интегральных уравнениях Вольтерра первого рода с некоторыми гипергеометрическими функциями в ял ре// Тезисы докл. междунар. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения''.

— Саранск,1994. — С. 162.

Сдано в набор 8.02.95. Подписано в печать 31.01.95. Форм.бум, 60 х 84 1/16. Печ.л.О,75.Тирах 100. Заказ 76.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5