Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА

ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

§1. Основные свойства линейных операторов с частными интегралами.

1.1. Действие и непрерывность. 1.2. Пространства операторов с частными интегралами

1.3. Условия нетеровости и фредгольмовости

1.4. Обратимость и резольвента ^

§2. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами.

2.1. Операторы Вольтерра с одномерными частными интегралами

2.2. Операторы Вольтерра с частными интегралами в С(Гх£)

§3. Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

3.1. Операторы Вольтерра-Фредгольма с одномерными частными интегралами.

3.2. Операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в С(Гх5).

3.3. Операторы Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами.:.

ГЛАВА И. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬ

ТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§4. Нелинейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций

4.1. Действие, ограниченность, непрерывность и равномерная непрерывность операторов Урысона с частными интегралами

4.2. Условие Липшица и условие Гельдера

4.3. Дифференцирование операторов Урысона с частными интегралами. р 4.4. Операторы Гаммерштейна с частными интегралами .•.

§5. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами.

5.1. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами в C([a,ô]x[c,rf]).

5.2. Случай пространства C(TxS)

§6. Нелинейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА

ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§7. Линейные уравнения с частными интегралами в пространстве непрерывных функций.

§8. Линейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

8.1. Уравнения Вольтерра с частными интегралами

8.2. Уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами

8.3. Уравнения Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами.

§9. Нелинейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

9.1. Нелинейные уравнения Вольтерра с частными интегралами.

9.2. Нелинейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами

§10. О применении уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых прикладных задач.

1. К интегральным уравнениям Вольтерра с частными интегралами ¿с(£, в) = I в, т)х(т,з)с1т -/ ??т.(£, 5, cг)д;(í, ст)с?сг+ гг Л Л (0.1) а)х(т,а)(1т(1а + ¡(г, в) = \К\х){р, я) + /(£, я) «/«/о приводятся различные проблемы дифференциальных уравнений с частными производными [9, 12, 63], теории упругих оболочек [9] и другие задачи [9, 14, ■ 63]. ■

Интегральные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами х(Ь,з) — I /(£,5,г)ж(г,в)(1т 4- / т(1,з,(7)х{1,<т)(1(т-\

Уа (0.2) + уу п(^8,т,а)х(т,а)(1т(1<7 + /(^в) = (К2х)(ь,з) + обобщают уравнения Вольтерра с частными интегралами и находят многочисленные приложения при исследовании задач механики сплошных сред [5, 26, 57, 82, 83], осесимметричных контактных задач [1, 2, 4, 11, 26, 58, 61, 62, 82, 83], смешанных задач эволюционного типа [3, 26, 82, 83], интегро-дифференциальных уравнений Барбашина [83].

В уравнениях (0.1) и (0.2), П — одно из множеств [а,{\ х [с, а], [а, х [с, (¿],[а, Ь] х [с, 8] и [а,£] х [с, в],[а,£] х [с, ¿],[а,Ь] х [с, в], [а, Ь] х [с, с?] соответственно, 1,тп,п, / — заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Разрешимость и свойства решений уравнений (0.1) и (0.2) зависят от пространств, в которых изучаются эти уравнения, и свойств операторов К\ и в выбранных пространствах. Так как оператор К\ содержит интегралы с переменными пределами интегрирования, а К2 — с переменными и постоянными пределами интегрирования и интегралы, в которых з) интегрируется по части переменных, то К\ называют оператором Вольтерра, а К2 — оператором Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Принципиальное отличие операторов с частными интегралами от интегральных операторов связано с тем, что они не являются компактными в пространстве непрерывных функций, даже если их ядра I, т, п непрерывны, тогда как интегральные операторы с непрерывными ядрами компактны в пространстве непрерывных функций. Линейные операторы и уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами изучали В. Вольтерра, Э. Гурса, Г. Мюнтц, П.П. Забрейко, А.С. Калитвин, А.Н. Ломакович, О.П. Око-лелов, В.И. Тивончук, Е.В. Фролова и др.

Уравнение (0.1) с О, = [а, ¿] х [с, 5] и непрерывными ядрами изучалось впервые, по-видимому, В. Вольтерра [98], Э. Гурса [12], Г. Мюнтцем [63]. В пространстве С (Б) непрерывных на Б = [а, Ь] X [с, с(| функций оператор К\ и уравнение (0.1) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами исследовались в [76, 77, 78, 79, 80], в различных классах функциональных пространств оператор К\ и уравнение (0.1) с ядрами достаточно общего вида исследовались в [17, 21, 23, 25, 26, 27, 40, 41, 83, 85, 86, 87, 91]. При этом были получены условия равенства нулю спектрального радиуса оператора К\, решение уравнения находилось методом последовательных приближений и устанавливался вид резольвенты. Пример 2.2 показывает, что спектральный радиус действующего в С {Б) оператора К\ может быть отличен от нуля.

Оператор Кч и уравнение (0.2) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами в С (Б) изучалось в [78], при других условиях на ядра и в других пространствах операторы и уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами изучались в [26, 31, 78, 85]. В этих работах получены условия нетеровости, фредгольмовости и обратимости оператора XI — Кч и уравнения (0.2), строились резольвенты обратимых уравнений.

Приближенное и численное решение уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами рассматривалось в [13, 26, 65, 73, 82, 83, 90].

Уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами теории упругих оболочек, механики сплошных сред, осесимметричных контактных задач изучались в [9, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 74, 75].

К нелинейным уравнениям Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами сводятся некоторые задачи для нелинейных уравнений с частными производными [92, 93, 95, 96], интегро-дифференциальных уравнений Барбашина [83], для температурного поля теплопроводящих тел [7, 8]. Нелинейные операторы и уравнения Вольтерра, Вольтерра-Фредгольма, Гам-мерштейна и Урысона с частными интегралами исследовали Ю. Аппелль, П.П. Забрейко, A.C. Калитвин, А.И. Поволоцкий и др. [32, 33, 34, 35, 39, 66, 70,71,83,92,93,95,96].

Систематическое изложение свойств нелинейных операторов с частными интегралами в функциональных пространствах, отличных от пространства непрерывных функций, проведено в монографии [33], в ней же содержится и библиография работ по теории линейных и нелинейных операторов и уравнений с частными интегралами и их приложениям.

Основные результаты об операторах и уравнениях Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в пространстве С(Т х S) непрерывных на Т х S функций были получены при условии Т = [а,Ь] и S = [с, с£\. В общем случае компактных множеств Т и 5 из конечномерных пространств свойства линейных и нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами оказались фактически неисследованными. Данное обстоятельство и важное прикладное значение линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами свидетельствуют об актуальности исследования этих уравнений и соответствующих им операторов.

2. В диссертации развиты операторные методы исследования линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. Изучаются действие, непрерывность, нетеровость, фредгольмовость, обратимость линейных операторов с частными интегралами, спектральные свойства операторов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами и разрешимость соответствующих интегральных уравнений. Исследуются действие, ограниченность, непрерывность, равномерная непрерывность, лип-шицивость, гельдеровость и дифференцируемость операторов Урысона и Гаммерштейна, а также нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра

Фредгольма с частными интегралами, и разрешимость соответствующих им нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма. Рассмотрено применение линейных и нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых задач механики сплошных сред и теплоизлучающих тел, приведены алгоритмы приближенного и схемы численного решения некоторых классов уравнений с частными интегралами.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего, 98 наименований (всего 132 страницы машинописного текста).

В главе 1 изучаются линейные операторы Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

§1 содержит основные свойства линейных операторов с частными интегралами в пространстве С{Б) непрерывных на В = [а, 6] х [с, й] и на П — Т х 5 функций, где Т и 5 — некоторые компактные множества конечномерных пространств. Основным объектом, рассматриваемым в данном параграфе, является оператор

К=С+Ь+М+ N. (0.3) где операторы С, Ь, М, N определяются равенствами

Сх)(Ь,з) = с(£, я), (Ьх)(Ь, в) = J 1^,з,т)х(т,з)с1т,

М:е)(£,$)= / т(Ь,8,а)х(1,а)(1(т,(Мх)(Ь,8) = // п(1,8,т,а)х(т,(т)(1т(1сг, «/5 «//о с,/,т,п — заданные действительные измеримые на 22, И х Г, Б х 5, £> х Б соответственно функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Пример 1.1 оператора (0.3) с с(£, в) = 0, т(£, в, а) = 0, п(£, й, г, а) = 0, /в, г) = 1 и Т = 5 = [0,1] показывает, что К — не интегральный, а I — К — не нетеров оператор.

Пункты 1.1 и 1.2 носят вспомогательный характер; они содержат известные результаты о непрерывности действия, достаточные условия действия в С(И) оператора (0.3), критерии его действия в С([а,Ь] х [с, и свойства различных пространств операторов вида (0.3). Пример 1.2 показывает, что из действия оператора (0.3) в C(D) не следует действие в C(D) операторов C,L,M,N.

Основные результаты параграфа — это приведенные в пунктах 1.3—1.4 условия нетеровости, фредгольмовости и обратимости оператора I — К в C(D) = С(Т х S) при c(t,s) = 0. В теоремах 1.7 и 1.11 получены условия, при которых в банаховом пространстве X нетеровость оператора 1—А—В—С\ где А, В, С—действующие в X линейные непрерывные операторы, равносильна нетеровости операторов I — А и I — Б, и условия равносильности в X фредгольмовости оператора I — А — В — С и оператора I — В (I — А) при дополнительном условии фредгольмовости или обратимости в X оператора I — А (I — В соответственно ). С применением этих теорем, в теоремах 1.8 и 1.12 получены условия, при которых в C{D) нетеровость оператора I — К равносильна нетеровости операторов I — L и I — М, а фредгольмовость I — К — фредгольмовости I — М (I — L) при дополнительном условии фредгольмовости или обратимости оператора I — L (I — М) соответственно. В теореме

1.9 установлена равносильность в C(D) нетеровости оператора I — К с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами l(t, s,r),m(t, s,a) и n(t, s,r,a) нетеровости более простых операторов I — L и I — М. Теорема

1.10 показывает равносильность в C(D) фредгольмовости оператора I — К с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами фредгольмовости операторов I—L и I—М, которая равносильна обратимости I—L и I—M. В теореме предполагается, что Т и S — компактные множества без изолированных точек. С применением методики из [16] для случая С([а, b] х [с, d]) изучается обратимость в С(Т х S) оператора I — К с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами и строятся резольвенты обратимых уравнений.

В §2 изучаются линейные операторы Вольтерра с частными интегралами. Свойства этих операторов в пространстве С([а,Ь]х [с, d]) приведены в пункте 2.1. Теорема 2.1 дает критерий действия оператора Вольтерра в этом пространстве, пример 2.1 показывает, что его спектральный радиус может быть отличен от нуля, а теоремы 2.2—2.4 и следствия 2.1—2.3 содержат условия равенства нулю спектрального радиуса. В пункте 2.2 операторы Вольтерра с частными интегралами изучаются в пространстве С(Т х 5), где Т и 5 — некоторые компактные множества конечномерных пространств. При этом вводится определение ядер Вольтерра, а оператором Вольтерра с частными интегралами называется оператор с ядрами Вольтерра з,т),т(£, з,сг) и п(£, сг). Ядра оператора К\ являются ядрами Вольтерра, а оператор К\ — частный случай оператора Вольтерра (0.4).

В теореме 2.5 показано, что если операторы Ь, М, N с ограниченными ядрами Вольтерра действуют в С(Тх5), то спектральный радиус операторов К,Ь,М,М равен нулю: г (К) = г(Ь) = г(М) = г(]У) = 0.

Ядра Вольтерра определяют множества Вольтерра Т(£) и 5(я), по которым строятся другие ядра Вольтерра. В теореме 2.6 показано, что если з,т),га(£, 5,сг) и п(£, 5,г,а) непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции, то г(К) = г(Ь) = г(М) = г(]\Г), где ядра оператора (0.4) определяются равенствами

Другие условия, при которых г(К) = г(Ь) = г(М) = г(Л/"), получены в теореме 2.7 и следствиях 2.4—2.6. Из результатов пункта 2.2 непосредственно вытекают приведенные в пункте 2.1 условия обращения в нуль спектрального радиуса оператора К\.

В §3 изучаются операторы Вольтерра-Фредгольма с одномерными частными интегралами, в С(Т х 5) и операторы Вольтерра-Фредгольма-Романовского.

Приводятся схемы получения критериев действия в С([а,Ь]х [с, с1]) следу

Тх5

0.4) п(Ь, з, т, а) = п(г, 5, г, <т)хт(() М, п(Ь,а, т, а) = п(4, в, -г, (<т).

0.5) ющих операторов:

К^х)(¿, в) = / /(¿, з,т)х(т, $)<2г + / 5, сг)с/сг+ (0.6) а «/ с

Ь /»с? / I п(£, 5, Г, (Т)ж(г, СГ)(1Т(1(Т, а «/ с й) = У 5,г)ж(г, 5)с?Г + У т(£, Я, <т):Е(г, £г)^(Т+ (0.7) + У J n(t, s,т,a)x(т,a)dтd<7, рЬ рз l(t,s,т)x(т,s)dт + m(t,s,(т)x(t,(J)d(т+ (0.8) а «/ с / I 7l(t,s,т1a)x(т,(т)dтda,

JтJs где Т = [а, 6] или Т = [а, ¿¡, 5 = [с, с/] или 5 = [с, в].

Если ядра операторов (0.6)-(0.8) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то эти операторы действуют в С([а,Ь] X [с,е£]), в силу теоремы 3.1 для существенного спектра Шехтера этих операторов справедливы равенства аев(К^) = {0},аез(-^4) = = а(Ь). При этом фредгольмовость оператрра XI — (оператора XI — К5) с Т = [а, £] (с 5 = [с, й]) равносильна его обратимости, а также обратимости оператора XI — М (XI — Ь соответственно).

Приводятся условия, при которых фредгольмовость оператора I — цК4 (I — рК^) равносильна фредгольмовости оператора I — рМ (I — цЬ соответственно).

Если среди ядер оператора (0.4) имеются ядра Вольтерра, то он называется оператором Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами и обобщает оператор Вольтерра с частными интегралами.

Через Кт, К% обозначим оператор (0.4) с ядрами Вольтерра I и т, /,т соответственно. В силу теоремы 3.5 ае8(Ко) = {0}, если 1ит- ядра Вольтерра (0.5), а функции 1,тпип непрерывны в целом и интегрально ограничены; если же I (тп)— ядро Вольтерра (0.5), а функции I, тп и п (тп,1,п) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то ае8(К^) = а(М)(ое8{К^) = сг(Ь)).

Теорема 3.6 содержит условия, при которых фредгольмовость оператора XI — К-1 (XI — К$), его обратимость и обратимость оператора XI — М (XI — Ь) равносильны. В теоремах 3.7 и 3.8 приведены условия фредгольмовости операторов I — цКч и I — рК^. Из теорем 3.5 - 3.8 вытекают приведенные выше спектральные свойства операторов К^.

Нелинейные операторы Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма, с частными интегралами исследуются в главе 2.

В §4 рассматриваются условия действия, ограниченности, непрерывности, равномерной непрерывности, липшицивости, дифференцируемости, липши-цивости производных нелинейных операторов с частными интегралами. Изучаются операторы Урысона с частными интегралами, которые в общем случае записываются в виде

А = Р + А1+А2 + А3, " (0.9) где через Л 1,Л2, Аз обозначены операторы аг)^,«) = /(£,$,а;(г,5)), (А^)^) = / ах(г,5,г,ж(г,5))сгг,

Зт

А2я)(М) = Ja2(t,s,a,x(t,a))da,

Азх)(Ь,з) = Л аъ(г,8,т,а,х(т,<т))(1т(1(т,

Т и 5 — компактные множества в конечномерных пространствах, Д = Т х 5, £,г € Т, 8,(т Е 5, а функции /(¿,5,1г), а\(Ь, з,т,и), аз(Ь,8,т,а,и) определены на 1)х(—оо,оо), Г>хТх(—оо, оо), £)х5х (—оо, оо), И х И х (—оо,оо) соответственно и удовлетворяют уловиям Каратеодори. Свойства оператора (0.9) определяются свойствами оператора суперпозиции Р и операторов А\,Ач,Аъ. Основные свойства оператора Р представлены для удобства в теореме 4.1. В теореме 4.2 показано, что операторы А\,А2,А^ с г—непрерывными в целом и г — интегрально ограниченными функциями действуют в С (И), ограничены, непрерывны и равномерно непрерывны на ограниченных множествах. Условия, при которых этими же свойствами обладает оператор (0.9), приведены в теореме 4.3; они получаются объединением условий теорем 4.1 и 4.3. Теорема 4.4 содержит свойства операторов суперпозиции

А3х)(Ь, 5, т, сг) = а3(£, з, т, (7, х(Ь, 8, т, сг), где = а1(£,5,г,и),а2(г,о-,5,п) = а2(£,5,сг,гл),аз(£,5,г,ст,гх) = аз(£, 5, г, сг,и), а теорема 4.5 — условия действия, ограниченности, непрерывности и равномерной непрерывности на ограниченных множествах оператора А, вытекающие из теорем 4.1, 4.4 и равенства Ах = Ех + 3\А\х + 32А2х + ЗъА$х, где 3\,32, 3% — интегралы Лебега по Т, Б, И от А\Х, А2х, А^х по переменным т, сг, (г, сг). Установленные в параграфе глобальное и локальное условия Липшица и Гельдера основаны на глобальном и локальном условиях Липшица и Гельдера соответственно функций 5, гг), а\(£, й, г, и), а2(£,сг, и), аз(£, 5, т, сг, п) по последней переменной. Приведенные в теореме 4.9 условия дифференцируемости по Фреше оператора А получены объединением содержащихся в теореме 4.1 условий дифференцируемое™ оператора суперпозиции Е и аналогичных условий дифференцируемое™ по Фреше операторов суперпозиции А\,А2,А^. При этом

А'(ж)Л(£,5) = а(£,в)/г(^,5) + J Ъ\(т,з,1)}1(т,з)йт+ / &2(£,сг, $)/&(£, О")С£СГ + Ьз(Ь,з,т,а)}г(т,(т)(1тс1(т, где а(£,з) = /¿(г,я)),^(г,= а'1и(т,з,г,х(т,8,г)),Ь2(Ь,а,з) = а'2и{Ь,а,з,х(Ь,а, в)), в, г, сг) = а'2и(Ь, 8,т,<т,х(Ь, 5,т,сг)). Простым достаточным условием дифференцируемое™ по Фреше оператора А является непрерывность функций /, /„, а,-, а,-и(г = 1,2,3). В этом случае

А'(я)Д(г,5) - $))/*(*, я) + J а[и(г,з,т,х(т,з))}1(т,з)(1т+ / а2и(£, сг, х(Ь,(т))Н(Ь,а)й(т + / / а'3и(£, 8,т,а,х{т,а))}1(т,сг)(1т(1(7.

А? 7«/!)

В теореме 4.10 установлены более общие условия дифференцируемости по Фреше оператора А, а в теореме 4.11 приведены полученные в [94] условия липшицивости производной оператора Урысона с частными интегралами. Исследование свойств оператора Гаммерштейна с частными интегралами А — КР, где К — оператор (0.3), а .Р — оператор суперпозиции, основано на объединении содержащихся в §1 свойств оператора (0.3) с приведенными в теореме 4.1 свойствами оператора К

В §5 изучаются нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами. Для оператора

Ах)(Ь,з)= I ах(£, 5,г,ж(г, я))с?т 4- / а2(Ь,з,а,х(Ь,(т))с1(т+ (0.10) + УУ аз(г,5,т,сг,я(т,сг))сгг<&7, где £ £ [а, 6], в Е [с, с[\, В 6 {[о, ¿] х [с, в], [а, Ь] х [с, 5], [а, £] х [с, с?]}, с применением результатов из §4, установлены условия действия, ограниченности, непрерывности, равномерной непрерывности на ограниченных множествах, дифференцируемости. Важное значение имеют условия, при которых некоторая степень оператора (0.10) является сжимающим отображением. В полученных условиях используются предположение о липшицивости оператора (0.10) и приведенные в §2 признаки равенства нулю спектрального радиуса линейного оператора Вольтерра с частными интегралами. Аналогичные результаты получены для нелинейного оператора Вольтерра с частными интегралами, рассматриваемого в С(Т х 5), и для оператора Вольтерра-Гаммерштейна с частными интегралами.

В §6 устанавливаются условия действия, ограниченности, непрерывности, равномерной непрерывности на ограниченных множествах, липшицивости, дифференцируемости нелинейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами РьТ^Т'з, а также признаки обратимости оператора 1-Ц (¿ = 1,2,3).

В главе 3 исследуется разрешимость линейных и нелинейных уравнений с частными интегралами, рассматриваются применения полученных результатов к изучению интегральных уравнений некоторых прикладных задач и приводятся схемы приближенного и численного решения некоторых классов уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Исследование разрешимости интегральных уравнений основано на развитой в главах 1 и 2 теории линейных и нелинейных операторов Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

В §7 изучаются линейные уравнения с частными интегралами. Приведены примеры, подчеркивающие существенное отличие теории интегральных уравнений второго рода с частными интегралами от теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В теоремах 7.1 и 7.3 содержатся условия, при которых нетеровость уравнения с частными интегралами з) = / /(¿,5,г)ж(г, + / т{1,з,<т)х(1,(7)йа->г (0.11)

Л «/ 5 равносильна нетеровости двух более простых уравнений х = Ьх + /,х = Мх + /, (0.12) фредгольмовость уравнения (0.11) — фредгольмовости одного из последних двух уравнений в предположении фредгольмовости другого. В теоремах 7.2, 7.4 и 7.5 рассматривается уравнение (0.11) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами. В этом случае нетеровость уравнения (0.11) равносильна нетеровости уравнений (0.12), а фредгольмовость уравнения (0.11) — фредгольмовости уравнений (0.12), что в свою очередь равносильно их обратимости. В теореме 7.5 получен критерий разрешимости фредгольмового уравнения (0.11), при условии, что однородное уравнение (Ь + М + И)х = 0 имеет ненулевое решение в С(Т х 5).

В §8 приводятся основные утверждения о линейных уравнениях Вольтерра, Вольтерра-Фредгольма и Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами. Теоремы 8.1 — 8.3 основаны на установленных в §2 признаках равенства нулю спектрального радиуса операторов Вольтерра с частными интегралами и содержат условия, при которых уравнения Вольтерра с частными интегралами однозначно разрешимы, а их решения находятся методом последовательных приближений.

Фредгольмовость и обратимость уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами второго рода изучается в теоремах 8.4—8.9. При этом используются установленные в §3 свойства соответствующих уравнениям операторов. В теоремах 8.6—8.8 (8.4) приведены условия равносильности фредголь-мовости уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами фред-гольмовости (обратимости) более простых уравнений, а в теоремах 8.5 и 8.9 — условия, при которых фредгольмовость и обратимость уравнений совпадают. Условия фредгольмовости уравнений Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами получены в теоремах 8.10 и 8.11.

§9 содержит результаты об однозначной разрешимости нелинейных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Рассматриваются уравнения с ядрами, удовлетворяющими условию Липщица по последней переменной. Так же, как в §5, некоторая степень оператора, соответствующего уравнению Вольтерра с частными интегралами, является сжимающим отображением. Поэтому это. уравнение имеет единственное решение и оно может быть получено методом последовательных приближений. Соответствующие утверждения приведены в теоремах 9.1 — 9.3. Приведенные условия разрешимости нелинейных уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами связаны с переходом к равносильному нелинейному уравнению Вольтерра с частными интегралами, которое разрешимо, в силу обобщенного принципа сжимающих отображений [67], и его решение может быть найдено методом последовательных приближений.

§10 посвящен применению уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых прикладных задач.

Линейное уравнение Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами x(t,s)= / l(t,s,r)x(T,s)dT-\- m(t,s,(r)x(t,(T)d(T+ (0.13) J о Js [ [ n(t,s,T,a)x(r,a)dTda + f(t,s) = (L + M + N)x(t, s) + /(¿,s),

Jо Js где 5 — компактное множество положительной меры в <£ [0,а],з,<7 Е

5, / — непрерывная, 1,т,п — измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега, обобщает интегральные уравнения ряда прикладных задач.

Из результатов §3 и §9 вытекает, что фредгольмовость уравнения (0.13) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами, его обратимость и обратимость уравнения х = Мх + / равносильны. В прикладных задачах уравнение х = Мх + / обычно обратимо. Поэтому уравнение (0.13) приводится к линейному уравнению Вольтерра с частными интегралами, решение которого может быть найдено методом последовательных приближений, так как спектральный радиус соответствующего последнему уравнению оператора равен нулю. В примерах 10.1—10.4 эти утверждения применены к интегральным уравнениям некоторых задач механики сплошных сред, смешанных задач эволюционного типа, осесимметричных контактных задач, гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска.

Уравнение Урысона с частными интегралами ж(£, в) = 01(^,5, г,х(т,з))с1т + i т(1,8,а)х(1,а)(1(т+

У г (0Л4) / / аз(£, 5,г, сг,х(т,а))с1т(1(т +/(£, й) ./о »/5 обобщает интегральное уравнение математической модели одной задачи теп-лоизлучающих тел [7, 8] и является частным случаем уравнений, рассмотренных в §9. С применением результатов из §9 в теореме 10.2 устанавливается, что уравнение (0.14) однозначно разрешимо, а его решение может быть найдено методом последовательных приближений.

Заключительный параграф работы содержит схемы приближенного и численного решения некоторых классов линейных уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Необходимость разработки таких схем связана с тем, что явные решения уравнений с частными интегралами удается найти в редких случаях. Приближенное решение уравнений связано с заменой их однозначно разрешимыми системами интегральных уравнений, а при численном решении эти системы заменяются системами линейных алгебраических уравнений, которые решаются последовательно. Линейной интерполяцией находятся приближенные непрерывные решения исходных уравнений. Приведенные численные схемы реализованы автором на языке программирования Borland Delphi 5 и дают неплохие результаты.

В работе принята единая нумерация параграфов, формулы нумеруются в пределах каждого параграфа, причем сначала указывается номер параграфа, а затем номер формулы в параграфе.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (19972003 годы), на семинаре в Липецком государственном техническом университете (руководитель семинара профессор В.М. Тюрин), на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе в 2002 году, на Воронежской зимней математической школе в 2003 году, на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 1999 год), были представлены на международной конференции по функциональному анализу (Киев, 2001 год), на Воронежской и Саратовской зимних математических школах в 2002 году, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2002 год), на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2001 год, Сочи, 2002 год), на 13-ом международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям (Болгария, Пловдив, 2002 год), и опубликованы в работах [36]-[38],[43]-[54],[88]. В совместных работах [36]-[38] соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение полученных результатов.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю В.М. Тюрину за постоянный интерес к работе и за ценные указания, способствовавшие ее написанию.

1. Александров В.М. Осесимметричная контактная задача для линейно- деформируемого основания общего типа при наличии износа/ В.М. Александров, Е.В. Коваленко // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. — №5. -С. 58-66.

2. Александров В.М. Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред/ В.М. Александров, Е.В. Коваленко // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252. - С. 324-328.

3. Александров В.М. О контактном взаимодействии тел с покрытиями при наличии износа/ В.М. Александров, Е.В. Коваленко // Докл. АН СССР.- 1984. Т. 275, т. - С. 827-830.

4. Александров В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями/ В.М. Александров, Е.В. Коваленко. — М.: Наука, 1986. 332 с.

5. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учебное пособие/ А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 1987. — 164 с.

6. Березовский A.A. Нелинейные задачи теплоизлучающих тел с термически тонким покрытием/ A.A. Березовский // Задачи нестационарной теплопроводности. — Препринт 83.29/ Ин-т математики АН УССР. — Киев, 1983. С. 6-11.

7. Березовский A.A. Математическое моделирование температурного поля валков прокатных станов/ A.A. Березовский // Нелинейные краевые задачи теплопроводности и упругости. — Препринт 83.52/ Ин-т математики АН УССР. Киев, 1983. - С. 3-10.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений/ .И.Н. Ве-куа. M.-JI.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — 296 с.

9. Габов С.А. Линейные задачи нестационарных внутренних волн/С.А. Га-бов, А.Г. Свешников. — М.: Наука, 1990. — 344 с.

10. Галин Л.А. Осесимметричная контактная задача теории упругости при наличии износа/ Л.А. Галин, И.Г. Горячева// Прикл. мат. и мех. — 1977. Т. 41. - Вып. 5. - С. 807-812.

11. Гурса Э. Курс математического анализа: В 3 т. /Э. Гурса. — М. Л.: ГТТИ, 1934. — Т. 3. — Ч. 2: Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. — 320 с.

12. Дзядык В.К. О приближённом решении задачи Гурса для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с многочленными коэффициентами/ В.К. Дзядык, Л.А. Островецкий// Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. - №8. - С. 28-31.

13. Дильманов Т.Б. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра на плоскости/Т.Б. Дильманов // Вопросы корректности обрат, задач мат. физ.: Сб. науч. тр. — Новосибирск, 1982. — С. 77-84.

14. Забрейко П.П. С теория линейных интегральных уравнений второго рода/ П.П. Забрейко // Вестник БГУ, 1991. - №3. - С. 38-42.

15. Забрейко П.П. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ П.П. Забрейко, А.С. Калитвин, Е.В. Фролова// Дифференц. уравнения. — 2002. Т. 38, №4. — С. 538 -546.

16. Забрейко П.П. Интегральные операторы Вольтерра в пространствах функций двух переменных/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломакович// Укр. ма-тем. журн. 1990. - Т.42, №9. - С. 1187-1191.

17. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустылышк, П.Е. Соболевский. — М.: Наука, 1966. 500 с.

18. Интегральные уравнения/ П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

19. Калитвин A.C. Об операторах с частными интегралами контактных задач упругости/ A.C. Калитвин // 26 ая Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 янв. - 3 февр. 1994 г.: Тез. докл. — Воронеж, 1994. - С. 54.

20. Калитвин A.C. О спектральном радиусе операторов Вольтерра с частными интегралами/ A.C. Калитвин // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения VIIIй, Воронеж, 4-9 мая 1997 г.: Тез. докл. — Воронеж, 1997. — С. 66.

21. Калитвин A.C. Об уравнении Вольтерра Фредгольма с частными интегралами осесимметричных контактных задач/ A.C. Калитвин // Кон-фер. по функц. анализу и уравнениям математической физики, Воронеж, 7-10 окт. 1997 г.: Тез. докл. — Воронеж, 1997. — С. 31.

22. Калитвин A.C. Об операторах Вольтерра с частными интегралами/ A.C. Калитвин // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения IX", Воронеж, 3-9 мая 1998 г.: Тез. докл. — Воронеж, 1998. -С. 89.

23. Калитвин A.C. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами теории упругости/ A.C. Калитвин // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства, Воронеж, 12-16 окт. 1998 г.: Тр. конф. — Воронеж, 1998. — С. 85-89.

24. Калитвин A.C. Уравнения Вольтерра с частными интегралами/ A.C. Калитвин// Междунар. конф. "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", Минск, 14-18 сент. 1999 г.: Тез. докл. — Минск, 1999. С. 97-98.

25. Калитвин A.C. Линейные операторы с частными интегралами/ A.C. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. 252 с.

26. Калитвин A.C. Уравнения Вольтерра с частными интегралами в функциональных пространствах/ A.C. Калитвин // Труды института математики HAH Беларуси. Минск, 2000. - Т. 5. - С. 72-76.

27. Калитвин A.C. Об обобщении одного уравнения механики сплошных сред/ A.C. Калитвин // Нелинейное управление и моделирование: Материалы междунар. семинара, 26-30 июня 2000 г., Самара. — Самара, 2000. С. 50-51.

28. Калитвин A.C. Об обобщении одного уравнения механики сплошных сред/ A.C. Калитвин // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. — 2000. Т.4, №. - С. 81-88.

29. Калитвин A.C. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ A.C. Калитвин // Дифференц. уравнения. — 2001; — Т. 37, N 10. - С. 151-152.

30. Калитвин A.C. О нелинейных уравнениях типа Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в LP/A.C. Калитвин // Обозрение прикладной й промышленной математики. — 2002. — Т. 9. — Вып. 3. — С. 617-618.

31. Калитвин A.C. Нелинейные операторы с частными интегралами/А.С. Калитвин. Липецк: Л ГПУ, 2002. — 208 с.

32. Калитвин A.C. Об операторах Урысона с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/А.С. Калитвин, С.Н. Глотов // Современные методы нелинейного анализа, 26-29 апр. 1995 г., Воронеж: Тез. докл. — Воронеж, 1995. — С. 45.

33. Калитвин A.C. Операторы Урысона с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ A.C. Калитвин, С.Н. Глотов// Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 1996. — С. 18-22.

34. Калитвин A.C. О приближённом решении уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ A.C. Калитвин, В.А. Калитвин // Oneраторы с частными интегралами. 2.: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997. — С. 19-23.

35. Калитвин A.C. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами / A.C. Калитвин, В.А. Калитвин// Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. Липецк, 2003. — Вып. 6. — С. 3-24.

36. Калитвин A.C. О дифференцируемости нелинейных операторов с частными интегралами/ A.C. Калитвин, Г.М. Коренчук, И.В. Евтюхина // 7-ая межв. конф. молодых ученых, Липецк, 1993 г.: Тез. докл. — Липецк, 1993. С. 87-88.

37. Калитвин A.C. Уравнения Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных и ограниченных на а,оо) х [с, d\ функций/ A.C. Калитвин, Е.В. Фролова// Межд. конф. AMADE 2001, Минск, 15-19 февр. 2001 г.: Тез. докл. - Минск, 2001. - С. 76.

38. Калитвин A.C. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных и ограниченных на полуполосе функций/ A.C. Калитвин, Е.В. Фролова// Труды института математики HAH Беларуси. 2001. - Т. 9. - С. 68-72.

39. Калитвин A.C. Операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. I/ A.C. Калитвин, Е.В. Янкелевич // Вестник Челябинского гос. ун та. Сер. мат., мех. — 1994. — №1. — С. 61-67.

40. Калитвин В.А. О построении решений уравнений Вольтерра Фредголь-ма с частными интегралами/В.А. Калитвин // Межд. конф. "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", Минск, 14-18 сент. 1999 г.: Тез. докл. - Минск, 1999. - С. 98-100.

41. Калитвин В.А. Об одном алгоритме численного решения уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин//Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000. — Вып.4. С. 41-53.

42. Калитвин В.А. О решении уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин// Труды института математики HAH Беларуси. - 2000. - Т. 5. - С. 77-79.

43. Калитвин В.А. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т. 8. — Вып. 2. — С. 602.

44. Калитвин В.А. О применении уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых задач теплоизлучающих тел/ В.А. Калитвин// Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ. 2001. - №2(8). - С. 71-73.

45. Калитвин В.А. О двух обобщениях уравнения Романовского/ В.А. Калитвин// Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 25-30 января 2002 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2002. — С. 33-34.

46. Калитвин В.А. О нелинейных уравнениях с частными интегралами/ В.А. Калитвин// Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягин-ские чтения XIII", Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Материалы шк. — Воронеж, 2002. - С. 72.

47. Калитвин В.А. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами для некоторых моделей температурного поля/ В.А. Калитвин// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9. — Вып. 3. - С. 618.

48. Калитвин В.А. Нелинейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ В.А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2003. — Вып. 5. — С. 3-23.

49. Калитвин В.А. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами/ В.А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2003. — Вып. 6. — С. 25-38.

50. Канторович Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. — М.: Наука, 1977. — 744 с.

51. Като Т. Теория возмущений линейных операторов/ Т. Като. — М.: Мир, 1972.- 740 с.

52. Коваленко Е.В. О приближённом решении одного типа интегральных уравнений теории упругости и математической физики/ Е.В. Коваленко// Известия АН Армянской ССР. Сер. механика. — 1981. — Т. 34, №5.- С. 14-26.

53. Коваленко ^Е.В. Исследование осесимметричной контактной задачи об изнашивании пары кольцевой штамп упругое шероховатое полупространство/ Е.В. Коваленко// Прикл. мат. и мех. — 1985. — Т. 49. — Вып. 5. - С. 836-843.

54. Короткой В.Б. Интегральные операторы/ В.Б. Коротков.— Новосибирск: Наука, 1983 224 с.

55. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений/ М.А. Красносельский. — М.: Физматгиз, 1956.- 392 с.

56. Манжиров A.B. Осесимметричные контактные задачи для неоднородно стареющих вязко упругих слоистых оснований/ A.B. Манжиров// Прикл. мат. и мех. - 1983. - Т.47. - Вып. 4. - С. 684-694.

57. Манжиров A.B. Об одном методе решения двумерных интегральных уравнений осесимметричных контактных задач для тел со сложной реологией/ A.B. Манжиров// Прикл. мат. и мех. — 1985. — Т. 49. — Вып. 6. С.1019-1025.

58. Мюнтц Г. Интегральные уравнения Т.1/ Г. Мюнтц. —Л. М.: ГТТИ, 1934. - 330 с.

59. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев. — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

60. Околелов О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами: Дис. . канд. физ.-матем. наук/ О.П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с.

61. Поволоцкий А.И. Разрешимость уравнений Урысона с частными интегралами / А.И. Поволоцкий, A.G. Калитвин// Вестник Челябинского гос. ун та. Сер. мат., мех. — 1994. — №1. — С. 96-103.

62. Приближенное решение операторных уравнений/ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. — М.: Наука, 1969. 456 с.

63. Романовский В.И. Избранные труды. Т.2: Теория вероятностей, статистика и анализ/ В.И. Романовский. — Ташкент: Наука, 1964. — 390 с.

64. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа: Учебное пособие/ Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров. — Челябинск: ЧГУ, 2002. — 179 с.

65. Смирнова Т.И. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с переменными пределами интегрирования/ Т.И. Смирнова//6-ая межвузовская конференция молодых учёных, Липецк, 1992 г.: Тез. докл. Липецк, 1992. — С. 187.

66. Смирнова Т.И. О численном решении нелинейного интегрального уравнения типа В.И. Романовского с частными интегралами/ Т.И. Смирнова// 6 ая межвузовская конференция молодых учёных, Липецк, 1992 г.: Тез. докл. - Липецк, 1992. - С. 188.

67. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса Дарбу/ В.А. Срочко// Сиб. мат. ж. — 1984. - Т. 25, №1. — С. 126-132.

68. Фролова Е.В. Об одном операторе механики сплошных сред/ Е.В. Фролова// Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства, Воронеж, 12-16 окт. 1998 г.: Тез. докл. — Воронеж, 1998. — С. 66.

69. Фролова Е.В. Об одном операторе механики сплошных сред/ Е.В. Фролова// Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Труды конф., Воронеж, 12-16 окт. 1998 г. — Воронеж, 1998. — С. 183-187.

70. Фролова Е.В. Некоторые признаки равенства нулю спектрального радиуса операторов Вольтерра с частными интегралами/ Е.В. Фролова// Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000. — Вып. 4. С. 33-41.

71. Фролова Е.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами/ Е.В. Фролова// Межд. конф. "Нелинейный анализ и функционально дифференциальные уравнения", Воронеж, 15-20 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. - С. 192-193.

72. Фролова Е.В. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций: Дис. канд. физ.-мат. наук/ Е.В. Фролова. Липецк, 2000. - 123 с.

73. Фролова Е.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова// Труды института математики HAH Беларуси. 2000. - Т. 5. - С. 131-135.

74. Фролова Е.В. О спектральном радиусе операторов Вольтерра с частными интегралами/ Е.В. Фролова// VIII Белорусская математическая конференция, Минск, 19-24 июня 2000 г.: Тез. докл. межд. конф.— Минск, 2000. 4.1. - С. 49.

75. Partial integral operators on C(a,b. x [c,<i])/ J. Appell, E.V. Frolova, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko// Integr. equ. oper. theory. — 1997. — Vol. 27. — P. 125-140.

76. Appell J. On some partial integral equations arising in the mechanics of solids/ J. Appell, A.S. Kalitvin, M.Z. Nashed// Zeitschr. Ang. Math. Mech.- 1999. B. 79, №10. - S. 703-713.

77. Appell J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations/ J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. New York: Marcel Dekker, 2000.- 560 p.p.

78. Appell J. Nonlinear superposition operators/ J. Appell, P.P. Zabrejko. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — 311 p.p.

79. Kalitvin A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra Fredholm type/ A.S. Kalitvin// Zeitschr. Anal. Anw. — 1998. — Vol. 17, №2.- P. 297-309.

80. Kalitvin A.S. Volterra Integral Equations with Partial Integrals on the Unbounded Domain/ A.S. Kalitvin, E.V. Frolova// Internacional conference on functional analysis, Kyiv, August 22 26, 2001.: Abstracts. — Kyiv, 2001.- P. 28-29.

81. Kalitvin A.S. On the theory of partial integral operators/ A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko// J. Integral Equ. Applications. 1991. - Vol. 3, №3. - P. 351-382.

82. Kalitvin V.A. On Volterra Fredholm equation with partial integrals/ V.A. Kalitvin// International conference on functional analysis, Kyiv, August 22- 26, 2001.: Abstracts. Kyiv, 2001. - P. 44.

83. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov. — Kluwer Academic Publishers. Dordrecht Boston - London, 1999. - 428 p.p.

84. Mauro P. Su un'equazione integrale lineare di tipo non ancora considerato/ P. Mauro// Rend. Accad. Naz. Detta XL. 1976. - Vol. 5, №1. - P. 55-59.

85. Muresan V. Bezüglich eines Integraloperators vom Typ Volterra-Sobolev/ V. Muresan// Studia Univ. Babes Bolyai Math. - 1982. - Vol. 27. - P. 68-72.

86. Muresan V. Die Methode der sukzessiven Approximationen für die Integralgleichung vom Typ Volterra-Sobolev/ V. Muresan// Mathematica (RSR).—1984. — Vol. 26, JYS2.—P. 129-136.

87. On the Application of the Newton Kantorovich Method to Nonlinear Partial Integral Equations/ J. Appell, E.De Pascale, A.S. Kalitvin and P.P. Zabrejko // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. — 1996. — Vol. 15, №2. - P. 397-418.

88. Pachpatte B. G. On some application of the Wazewski method for multiple Volterra integral equations/ B. G. Pachpatte// Ananele Stiin. Univ. A.L.I. Cuza Iasi-1983. Vol. 29.-P. 75-83.

89. Pachpatte B. G. On mixed Volterra-Fredholm type integral equations/ B. G. Pachpatte// Indian J. Pure Appl. Math. — 1986. Vol. 17, №4. - P. 488-496.

90. Romanovskij V. Sur une class d'équations intégrales linéaires/ V. Romanovskij// Acta Math. 1932. - Vol. 59. - P. 99-208.

91. Volterra V. Leçons sur les equations integrales et les equations integro -différentielles/ V. Volterra. — Paris: Gauthier Villars, 1913.