Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Елецких Ирина Адольфовна

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ И УРАВНЕНИЙ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Липецком государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.C. Калитвин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г. Баскаков

доктор физико-математических наук, профессор В.Г Курбатов

Ведущая организация: Рязанский государственный педагогический

университет имени С.А. Есенина

Защита состоится «31» мая 2005г. в 15 ч 40 мин на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «££ » апреля 2005г.

Ученый секретарь I ут/Г

диссертационного совета Ю.Е. Гликлих

Zqp5- К ЗИ5*

231

^ 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским, приводится к интегральному уравнению вида

x(t, s) = J m(t, s, a)x(a, t)dcr + f(t, s). (1)

Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций m(t,s,(T) и f(t,s). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный.

Уравнение (1) является частным случаем уравнения

x{t,a) = KIlx(t,s) + f{t,s) (2)

типа Романовского с частными интегралами, где Tlx(t, s) = x(s,t), а

(Kx)(t,s) = / î(t, s, т)х(т, s)dr + I m(t,s,a)x(t,<7)dcr

Ja Ja /o\

pb ,ь yy)

+ I I n(t,s,T,a)x(t,a)dTdcr.

Ja Ja

Свойства оператора (3) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в работах A.C. Калитвина, в которых приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а ТЭ/КЖ6 библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами.

Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным, О.П. Околе-ловым, Е.В. Фроловой. Операторы и уравнения с частными интегралами в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций и

вырожденными ядрами изучались JI.3. Битовой, В.А. Какичевым, Н.В. Коваленко, с симметричными ядрами - В.В. Болтянским, JI.3. Битовой, JI.M. Лихтарниковым, случай жордановых ядер рассматривался JI.3. Битовой. Свойства оператора (3) в других функциональных пространствах изучались A.C. Калитвиным.

Спектральные свойства линейных операторов с частными интегралами рассматривались JI.M. Лихтарниковым, В.В. Болтянским, Л.З. Битовой, A.C. Калитвиным, П.П. Забрейко, О.П. Око-леловым, Е.В. Фроловой. Достаточные условия фредгольмовости. обратимости и разрешимости уравнения

с непрерывными ядрами получены с использованием техники определителей Фредгольма О.П. Околеловым; им же найдено представление решений с помощью резольвентных ядер. Условия нётерово-сти, фредгольмовости и обратимости в случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер изучались A.C. Калитвиным, П.П. Забрейко, Е.В. Фроловой. Детальный анализ спектральных свойств различных классов операторов с частными интегралами в функциональных пространствах проведен A.C. Калитвиным.

Уравнение (1) является частным случаем уравнений

x(t,s) = {Kx)(t,s) + f(t,s)

(4)

x(t,s) = {Kix){t,s) + f(t,s),

(5)

где Ki(i = 1,..., 7) — операторы типа Романовского:

Ki = LoTl + М + N, K2 = LoU + M + NoU,

К3 = L + MoU + N, K4 = L + MoIl + NoIl, K5 = L + M + NoU, K6 = LoIl + Mon + N, K7 = L oU + M oll + N oU = К oU,

здесь

/ т(г,з,а)х(г,о)<1о, (7)

¿а

(Ых)^, в) = I I п^,з,т,сг)х(т,сг)с1т(1<т, (8)

¿а </ а

/(<, 5. г), 5, а). г, с) — функции, измеримые по совокупности переменных t,s,т,a € [а, Ь], а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Вопросы разрешимости уравнений (5) тесно связаны со свойствами операторов Кг (г = 1,..., 7). Операторы Кг являются операторами с частными интегралами, так как они содержат интегралы, в которых неизвестная функция интегрируется по части переменных. Свойства операторов типа Романовского зависят от пространств, в которых они изучаются, и сильно отличаются от свойств обычных интегральных операторов.

Линейные операторы типа Романовского с частными интегралами исследовались А.С. Калитвиным, Л.М. Лихтарниковым, Л.Л. Морозовой. Наиболее подробно разработана теория оператора К о П. Операторы Кг (г = 1,...,6) типа Романовского фактически не изучались. Поэтому актуальной задачей стало исследование свойств таких операторов, описание критериев и достаточных условий действия операторов типа Романовского, исследование свойств пространств этих операторов.

Уравнение (1) двусвязных цепей Маркова исследовано В.И. Романовским методом, аналогичным методу определителей Фредголь-ма, в случае непрерывного ядра, в случае вырожденных ядер уравнение изучалось В.А. Щелкуновым. Спектральные свойства оператора двусвязных цепей Маркова при достаточно общих предположениях относительно ядра рассмотрены А.С. Калитвиным, им же установлены условия обратимости, нётеровости и фредгольмовости уравнения (1). Спектральные свойства операторов К, (г = 1,...,б) типа Романовского оказались недостаточно изученными. В связи с этим стало актуальным'изучение условий нетеровости, фредгольмовости и обратимости таких операторов.

Решение уравнений типа Романовского с частными интегралами удается найти в редких случаях. Поэтому возникла необходимость изучения условий, при которых уравнения типа Романовского

являются фредгольмовыми или сводятся к уравнениям Фредгольма.

Цель работы. Изучение условий действия, нетеровости, фред-гольмовости, обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами в пространствах непрерывных функций и функций, суммируемых с р-ой степенью, исследование условий регулярности операторов типа Романовского и изучение свойств пространств таких операторов, определение условий разрешимости уравнений типа Романовского с частными интегралами.

Методы исследования. Доказательства проводятся общими / методами функционального анализа (представление линейных непрерывных операторов в виде двумерных интегралов Стильтьеса, слабая сходимость, теорема Банаха о замкнутом графике и др.)> методами спектральной теории линейных операторов и теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Построена новая теория линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций и в пространстве функций, суммируемых с р-ой степенью, основу которой составляют критерии действия, непрерывности и регулярности операторов типа Романовского, различные свойства пространств этих операторов, критерии нетеровости, фредгольмовости и обратимости оператора I — Кг (г = 1,..., 4). Полученные результаты применены к исследованию разрешимости уравнений типа Романовского с частными интегралами.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в других функциональных пространствах, при разработке методов исследования уравнений с частными интегралами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1996-2005 годы), в Елецком государственном университете имени И. А- Бунина, на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе, посвященной 60-летнему юбилею профессора Ю.В. Покорного (Воронеж, 2000), на международных научных конференциях "Нелинейный

анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 2001), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. В совместных работах [9-14] научному руководителю принадлежит только постановка задач и обсуждение результатов. В работе [14] профессору Ю. Аппеллю принадлежит общее редактирование статьи.

Структура диссертации. Диссертация содержит 112 страниц и состоит из введения, двух глав, объединяющих девять параграфов, и списка литературы из 109 наименований.

С О ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 изучаются общие свойства линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве С (И) непрерывных на Б = [а, Ь] х [а, Ь] функций и в пространствах Ьр — ¿р(£>) (1 < Р < оо)-

§1 содержит формулировку задачи теории марковских цепей, решение которой приводит к интегральному уравнению (1).

В §2 приведена классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в зависимости от вида ядер операторов Ь, М и N (вырожденные, симметричные и др.) и пределов интегрирования (постоянные, переменные, смешанные).

В §3 изучаются свойства операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций. Хорошо известно, что из действия оператора К в пространстве С(£>) вытекает его непрерывность. Отсюда и непрерывности оператора П вытекает непрерывность действующего в С {И) оператора К-?. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике аналогичное утверждение доказывается для оператора Ki (г = 1,..., 6).

Теорема 3.1. Если оператор С + Кг (г = 1,... ,6) с частными интегралами действует в пространстве С (И) то он непрерывен. Здесь С - оператор, определяемый равенством (Сх)(£. в) = с(2, «)а;(г,«).

В теореме 3.2 приводятся достаточные условия действия оператора Кг в пространстве С(В) в случае непрерывных в делом и интегрально ограниченных ядер.

Напомним, что измеримые по совокупности переменных функции в, г), в,<т), п(£, я, г, <т) называются непрерывными в целом, если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что при |«1 -*2|<<5, |ях — *з| <<5

лЬ у»6

/ Hh,s1,T)-l(t2,s2,r)\dT<£, |m(ii,«i,a) - m(t2, s2,a)\d< J a J a

n|n(ii,si,r,cr) -n(t2,s2,T,a)\dTda < e,

'a < e,

и интегрально ограниченными, если

sup I |i(t, s, r)\dr = Сi < -t-oo, sup I Im(t, s, o)\d(7 = C2 < +oo, D J a D Ja

sup I I |n(i, s,t, a)\drda = C3 < +00.

D Ja Ja

Теорема 3.2. Если функция c(t,s) непрерывна, ядра l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t,s,T,a) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то C+Kt (г = 1,... ,6) является непрерывным линейным оператором в C(D), причем

||C + tf,-||<8up^|c(<,a)| + jf \l(t,s,T)\dr+ ji \m(t,s,a)\da

I I 5'r''

Введем следующие обозначения для операторов типа Романовского с частными интегралами:

Д = Со1Г + £оПр + MoIF + iVoIT {i,p,q,j G {0,1} ),

где П1 = П, П° — единичный оператор и хотя бы один из индексов р или q равен единице.

Для операторов типа Романовского с частными интегралами установлены критерии действия в пространстве C(D). При этом использовалась непрерывность действующего в C(D) оператора R и теорема Радона, согласно которой оператор R допускает представление в виде двумерного интеграла Стильтьеса.

Из критерия действия оператора К% (г = 1____, 6) в пространстве

C(D) вытекает равенство

IM = lililí, 0II¿. + IK*,*, Olli. + IK*,-)lb llc(B).

Далее в §3 изучаются соотношения между пространством С —-непрерывных линейных операторов, действующих в C(D), и множествами С\ и £0, действующих в C(D) операторов СоП + ХоП + Мо П + ]УоП = ^!"о11иСоП-1-1-оГЦ-Мо1Ц-]У соответственно. Критерий действия даёт полную характеристику операторов, входящих в £, (г = 1,0). Из него следует

Теорема 3.5. Ct (i = 0,1) — замкнутое собственное подпространство пространства С.

Действие в C(D) операторов СоП, Loll, М о П, JV о П равносильно действию в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Следовательно, замкнутость пространств Cíc, Сц, Cim, С\п действующих в C{D) операторов СоП, ХоП. МоП, Л^оП, совпадает с замкнутостью пространств £ос, £от, £оп действующих в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Отсюда вытекает

Теорема 3.6. Прямая сумма С{с ® Cp¡ ф Cqm ф Cjn (i,j,p,q € {0,1}) является замкнутым подпространством пространства Cr действующих в С(D) операторов R = СоП1 + X о Пр + МоШ + Noff.

Оператор R является суммой четырех операторов. Если каждый из них действует в пространстве C(D), то и оператор R действует в C(D). В примере 3.1 показывается, что обратное утверждение неверно. Из действия в C(D) оператора R не следует действие в C(D) операторов СоП, ХоП, МоПиТУоП.

Пространство С с естественной операцией композиции операторов в качестве умножения является банаховой алгеброй. В работах Ю. Аппелля, П.П. Забрейко, A.C. Калитвина, Е.В. Фроловой показано, что подпространство операторов вида К = C+L+M+N является подалгеброй алгебры С, причем композиция таких операторов

является оператором с частными интегралами того же типа. Для операторов типа Романовского аналогичное утверждение не имеет места. В теореме 3.8 выделены множества операторов, композиции которых есть интегральные операторы (операторы с частными интегралами).

В §4 свойства операторов типа Романовского с частными интегралами рассматриваются в пространстве Ьр. В теореме 4.1 устанавливается, что если оператор С + К{ {г = 1,... ,6) действует из Ьр в Ьч, то он непрерывен.

Регулярность операторов типа Романовского изучается только для операторов вида = К о П, К2 = С + ЬоИ + Мо'П. + М, Къ — С-ЦоП+МоП+Л^оП, КА = С+Ь+М+ИоЛ. Регулярность оператора совпадает с регулярностью оператора К = С + Ь + М + N и означает действие из Ьр в Ьч оператора

Регулярность оператора К\ совпадает с регулярностью оператора К и означает действие из Ьр в Ьч оператора ]К[. В теоремах 4.2 - 4.3 устанавливаются условия регулярности оператора Кг (г = 2,3,4). В частности, оператор Кг : Ьр —* Ьч и регулярен тогда и только тогда, когда из Ьр в Ьч действует оператор ]Кг[. При этом \Кг\ =]А',[, где \К{\ — абсолютная величина оператора К,.

Далее в §4 определяются условия существования и вид операторов, сопряженных к операторам АГ, (» = 1, • • •, 6). Доказывается

Теорема 4.4. Если операторы Ь, М, N действуют из Ьр в Ьч и регулярны, то оператор Кг (г = 1,...,6) действует из Ьр в Ьч и регулярен. При этом

а

К\ = П о Ь* + М* + ЛГ#, К1 = п о Ь* + М* + П О

+11оМ* + ^4*=1# + ПоМ# + По ЛГ#,

к; = ь* + м* + п о и*, к; = п о ь* + п о м* + и*.

и

Здесь Af*, N* — операторы, определяемые равенствами

(.L*y)(t,s)= l(T,s,t)y(T,s)dT,(M*y){t,s)= m{t,o,s)y{t,o)da,

В главе 2 рассматриваются условия нётеровости, фредгольмо-вости и обратимости оператора I — Кг (г = 1,..., 4) и соответствующего ему уравнения (I — Kj)x = /, где I — тождественный оператор, а, К, (г = 1,..., 4) — операторы типа Романовского с частными интегралами вида Ki— LoU + M + N, К2 = L оП + М + N оП, Къ — L + М о П -f N, К± = L + MoII + JVon. Здесь под нётеровым (фредголъмовым) оператором понимается линейный оператор с замкнутой областью значений, у которого размерности ядра и коядра конечны (размерности ядра и коядра конечны и совпадают).

§5 содержит критерии фредгольмовости уравнения х = Кгх + f в практически важном случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер (теоремы 5.1 - 5.2). В частности, справедлива

Теорема 5.1. Пусть l{t,s,r),m(t,s,a) и n(t,s,r,a) — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции маРх[а,Ь] uDxD соответственно. Тогда справедливы утверждения:

1) фредгольмовость в C(D) оператора I — К{ (х = 1,2) равносильна фредгольмовости в C{D) оператора I — М, которая равносильна обратимости последнего оператора;

2) фредгольмовость в C(D) оператора I — Kt (г = 3,4) равносильна фредгольмовости в C{D) оператора I — L, которая равносильна обратимости последнего оператора.

Анализ доказательства теоремы 5.1 показывает, что требование непрерывности в целом и интегральной ограниченности функций l(t, s, т), m(t, s, а) и n(t, s, т, а) можно заменить предположением о действии в C(D) операторов L, М, N и непрерывностью в целом и интегральной ограниченностью функций n(t, s, т, о) + m(t, s, т)Щ, т, а), l(t, s, r)I(s, г, а) для операторов К\ и Кя, n(t, s,t, o) + l(t, s,o)m(o, s, т), m(t, s. a)m(a, t, т) для операторов Кл и Таким образом, справедлива

Теорема 5.3. Пусть операторы L, M, N действуют в C(D). Тогда справедливы утверждения:

1) если функции n(t,s,r,o) + m(t, s,T)l(t,T,cr) (n(t, s, о, т) + m(t, s, r)l(t, т, a)) и l(t, s, t)1(s, t, a) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х D, то нётеровость и фредголъмовость уравнения х = Kix+f (х = K2x + f) равносильна соответственно нётеровости и фредголъмовости уравнения х = Мх + /•

2) если функции n(t,s,r,a) + l(t,s,cr)m(cr,s,T) (n(t,s,cr,T) + l(t, s, cr)m(cr, s, г)) и m(t, s,a)m(a,t,T) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х D, то нётеровость и фредголъмовость уравнения х = К$х + / (х = К^х + /) равносильна соответственно нётеровости и фредголъмовости уравнения х = Lx + /.

В теоремах 5.4 и 5.5 показано, что фредголъмовость уравнения х = Кгх + f с вырожденными ядрами

= '%2lr{t,s)a1(T), m(t, s, а) = ^тл(«,а)ЬД<г),

i-1

4 = 1

n(t, s, = nk(t, s)cfc(r, cr),

fc=l

где 1г,аг (г = 1,2,т],Ъ] (з = 1,2,...,?), пк,ск (к = 1,2,...,г)— непрерывные функции, а системы функций {а,(г = 1,... .р} и {Ь3 \з = 1,...,д) ортонормированы, равносильна условию (¿) ф 0 для г = 1,2 и условию ДДв) ф 0 для г = 3,4, где и 1)2{з)— определители

А(<) =

l-fllW ... ~Vlq{t)

~Vql{t) ... 1 -Ugg(t)

Ms) =

l-fti(s) ■■■

-Ml p(s)

-Vpi(s) ... 1 - Hpp(s)

Vjk(t)= / bj(a)mk{t,a)dcr (j,k G l,...,ç), J a

/4j(s) = / a,(r)l3(T,s)dT (i,j G 1,... ,p). Ja

§6 содержит условия нётеровости и фредгольмовости оператора / — Кг (г = 1...., 4) в пространстве £р(£>) (1 < р < оо). Показывается, что в случае непрерывности операторов М. N и компактности операторов (Ь о П)2 и N о П' + М о {Ъ о П) в пространстве Ьр нётеровость оператора I — Кг (г = 1,2) (I — К, (г = 3,4)) равносильна нётеровости оператора I — М (I — Ь), а фредгольмовость I — К, (г = 1,2) (I — К{ (г = 3,4)) равносильна фредгольмовости I — М (I — X). Теорема 6.2 устанавливает условия фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,..., 4) в случае вырожденных ядер операторов М и компактности оператора N.

В §7 исследуются условия обратимости в С(Г>) оператора I — Кг (г = 1,..., 4) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами. Установлено, что, если операторы I — ЬоЛти I — М обратимы, то обратимость оператора I — Кг равносильна обратимости оператора I — Р, где

где гх и г2 — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции.

В случае, когда ядра операторов Ь, М и N удовлетворяют равенствам

Р={1-Ьо П)"1 о (7 - М)-1 + П)).

В этом случае операторы (I — Ь о П)-1, (Г — М)-1 имеют вид

+ Г1 (<, в, г, сг)х(т, а)с1тйа,

р

я

ТП1

.(<, в,(т) = т(з,сг) = п(<, в,-!-, ст) = О,

где /,,а,- (г = 1,... (у = 1, ■■■ ,д) — непрерывные функции,

а системы функций {а,|г = 1 ,...,р} и = 1,...,д} ортонорми-

рованы, обратимость оператора I — К\ равносильна разрешимости матричного уравнения У = Т+СУ*, которое при условии существования обратной матрицы С-1 приводится к виду

^У - УС" = Д (9)

где £> — С_1Р, Р = С-1. Уравнение (9) есть матричное уравнение Ляпунова.

§8 содержит теоремы об обратимости и фредгольмовости оператора I — Кг (г = 1, ...,4) в пространстве 1?. В частности, доказывается, что если операторы (£оП)2 и .ЛГоИ* +Мо(1,оП) компактны в Ьр, то фредгольмовость оператора I —X, (¿ = 1,2) вытекает из обратимости оператора I — М. Аналогично, если операторы (М о П)2 и N о П' + Ь о (М о П) компактны в Ьр, то фредгольмовость оператора I — Кг (г = 3,4) следует из обратимости оператора I — Ь.

В § 9 устанавливаются условия фредгольмовости уравнений

х = КгХ + / (г = 1,... ,4), (10)

где Кг (г = 1,..., 4) — операторы типа Романовского. Теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фредгольмовости линейных уравнений с частными интегралами и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приведенные в §9, вытекают из результатов §5 в случае пространства С(£>), и § 6 - в случае пространства £гр(£>). В теоремах 9.1 - 9.4 устанавливаются условия, при которых для уравнения (10) справедлива альтернатива Фредгольма.

Теорема 9.1. Пусть операторы Ь, М, N непрерывны в пространстве Ьр, операторы (Ь о П)2 и N о П' + М о (Ь о П) (г = 0,1) компактны в Ьр и 1 ^ <т(М). Тогда справедлива альтернатива Фредгольма:

1) либо уравнения х = К{Х + / (г = 1,2) и у = К*у + д (г = 1,2) разрешимы при любых правых частях и их решения единственны;

2) либо однородные уравнениях = К{Х и у = К*у имеют одинаковое число линейно-независимых решений хх,... ,хп и у\,... ,уп соответственно. При этом уравнения х = К{Х + / и у = К* у + д (г = 1,2)

разрешимы тогда и только тогда, когда yk(f) — 0, gixk) = О (к = 1,..., п), где (ук, /) = О, (у, хк) = О.

Теорема 9.3. Если ядра l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t,s,r,o) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то для уравнения х = К,х + f (i = 1,2) (х = К,х + f (г — 3,4)) в C(D) альтернатива Фред-гольма справедлива точно тогда, когда 1 ^ а{М) (1 ^ a(L).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю A.C. Калитвину за постоянный интерес и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие её написанию.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Елецких И. А. Действие и непрерывность операторов типа Ё.И. Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких //Операторы с частными интегралами. 2: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997. — С. 23-30.

2. Елецких И. А. Критерий действия операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций/ И.А. Елецких //Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 29-39.

3. Елецких И.А. Алгебры операторов типа Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких. — Елец, 2000.— 13 с.— Деп. в ВИНИТИ 31.07.00, №2119-В00.

4. Елецких И.А. О нётеровости и фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами и вырожденными ядрами/ И.А. Елецких. — Елец, 2000.— 6 е.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, №3214-В00.

5. Елецких И.А. Нётеровость и фредгольмовость уравнений типа Романовского с частными интегралами и непрерывными ядрами/ И.А.Елецких. — Елец, 2000 — 9 е.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, №3215-В00.

6. Елецких И.А. О фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких, A.C. Калитвин //Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. междунар. конф.— Минск, 2001. —С. 59-60.

7. Елецких И.А. Об обратимости одного класса операторов с частными интегралами/ И.А. Елецких //Операторы с частны-

2005г4 31458

ми интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 5.— С.

8. Елецких И.А. Нётеровость и фредгольмовость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве £р/ И.А. Елецких //Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003 — Вып. 6.— С. 59-65.

9. Калитвин A.C. Регулярность операторов типа Романовского с частными интегралами/ A.C. Калитвин, И.А. Елецких // Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк,

1999. — С. 39-44.

10. Калитвин A.C. Об операторах типа Романовского с частными интегралами в С(Т х Т) и в LP(T х Т)/ A.C. Калитвин, И.А. Елецких // Воронежская весенняя математическая школа "Пон-трягинские чтения - ХГ', Воронеж, 3-9 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 73.

11. Калитвин A.C. Операторы типа Романовского с частными интегралами в С(ТхТ)/ A.C. Калитвин, И. А. Елецких // Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально -дифференциальные уравнения", Воронеж, 15-20 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 115-116.

12. Калитвин A.C. Пространства операторов типа Романовского с частными интегралами/ A.C. Калитвин, И.А. Елецких // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк,

2000. — С. 21-28.

13. Калитвин A.C. К теории уравнений типа Романовского с частными интегралами/ A.C. Калитвин, И.А. Елецких // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XIII", Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Материалы шк. — Воронеж, 2002. — С. 70-71.

14. Appell J. A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type/ J. Appell, I.A. Eletskikh, A.S. Kalitvin //J. Integral Equ. Applications. — 2004.,— V.46, J$*l. — P. 25-32.

Заказ №3а0от 25.04.2005 г. Тир 1001кз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

48-56.

1640

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА

РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§1. Задача, приводящаяся к уравнению типа Романовского.

§2. Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами.

§3. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций.

3.1. Непрерывность действия операторов типа Романовского в C(D).

3.2. Достаточные условия действия.

3.3. Критерии действия.

3.4. Пространства операторов типа Романовского.

3.5. Композиции операторов типа Романовского.

§4. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега.

4.1. Непрерывность действия.

4.2. Регулярность операторов типа Романовского.

4.3. Сопряженные операторы к операторам типа Романовского.

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ И УРАВ -НЕНИЙ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕ

ГРАЛАМИ.

§5. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций.

5.1. Операторы и уравнения с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами.

5.2. Операторы и уравнения с вырожденными ядрами.

§6. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега.

§7. Обратимость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D).

7.1. Условия обратимости.

7.2. об обратимости одного класса операторов.

§8. Условия обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами в L р.

§9. Альтернатива Фредгольма для уравнений типа Романовского с частными интегралами.

1. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским [87,108], приводится к интегральному уравнению вида

Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций m(t,s,cr) и f(t,s). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный.

Уравнение (1) является частным случаем уравнения типа Романовского с частными интегралами, где s) = t), а (Kx)(t,s) = s,a)x(t,a)da

Свойства оператора (3) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в [42], там же приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а также библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами.

Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (J.Appell), П.П.Забрейко, А.С.Калитвиным,

1) x(t,s) = KHx(t, s) + f(t, s)

2)

3)

О.П.Околеловым, Е.В.Фроловой в работах [20, 24, 29, 42, 47, 59, 8385, 89-94, 97, 109]. Операторы и уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций изучались JI.3.Битовой [3-6], с симметричными ядрами В.В.Болтянским, JI.3.Битовой, Л.М.Лихтарниковым в [2, 6, 74], случай жордановых ядер рассмотрен в [6-8]. Свойства оператора (3) в других функциональных пространствах приведены в работах [29, 36, 42, 47, 102, 103].

Спектральные свойства линейных операторов с частными интегралами рассматривались в работах [2-4, 6, 7, 20, 26-29, 33, 34, 37, 42, 47, 97, 102, 103]. Достаточные условия фредгольмовости и обратимости уравнения x{t,s) = {Kx){t,s) + f{t,s) (4) с непрерывными ядрами, а также достаточные условия существования решений получены с использованием техники определителей Фредгольма в [83-85]; здесь же найдено представление решений с помощью резольвентных ядер. Условия нётеровости, фредгольмовости и обратимости в случае вырожденных, непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер приведены в [42, 47, 57, 58, 90-94, 97, 103]. Детальный анализ спектральных свойств различных классов операторов с частными интегралами в функциональных пространствах проведен А.С. Калитвиным [26-29, 33-35, 37, 42, 47], в пространстве непрерывных функций Е.В.Фроловой [90-94], А.С. Калитвиным [42, 47].

Важнейшие частные случаи уравнения (4) — уравнения Воль-терра и Вольтерра-Фредгольма, которые впервые изучены В. Воль-терра [9] для случая непрерывных ядер. Операторы и уравнения более общего вида исследовались П.П. Забрейко, А.С.Калитвиным,

В.А.Калитвиным, Е.В.Фроловой в работах [23, 40-42, 44, 45, 47, 48, 54, 60-62, 95-97, 104, 106]. Приближенные методы решения таких уравнений разработаны в [60, 61].

Уравнение (1) является частным случаем уравнений x(t,8) = {Kix)(ti8) + f(t,s), (5) где К{ (г = 1,., 6) — операторы типа Романовского

Кг = L о П + М + N, К2 = L о П + М + N о П, /<Г3 = L + М о П + N, IQ = L + MoIl + NoIl,

К5 = L + М + N о П, К6 = L о П + М о П + N.

Здесь pb pb (Lx)(t,s) — / /(<, s, т)гс(г, s)dr, (Mx)(t,s) = I m(t,s,a)x(t,a)da, J a J a pb pb

Nx)(t,s)= I I n(t, s,r,a)x(r,cr)dTda, J a J a заданные функции l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t,s,r,cr) измеримы по совокупности переменных t, s, r, a 6 [а, Ь], а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Вопросы разрешимости уравнений (5) тесно связаны со свойствами операторов IQ (г = 1,., 6). Операторы К{ являются операторами с частными интегралами, так как в первых двух слагаемых их правых частей интегрирование неизвестной функции ведется по части переменных. Свойства операторов типа Романовского зависят от пространств, в которых они изучаются, и сильно отличаются от свойств обычных интегральных операторов.

Линейные операторы типа Романовского с частными интегралами исследовались А.С.Калитвиным [25-29, 30-34, 38, 42, 47, 55,105],

JI.M. Лихтарниковым [70-73, 75-77], Л.Л. Морозовой [79-82]. Наиболее подробно разработана теория оператора К о П для различного вида ядер. Свойства этого оператора с вырожденными ядрами рассматривались в работах [25, 42, 47], с симметричными ядрами — в [70-73, 82], с симметризуемыми ядрами — в [27-29, 42]. Спектральные свойства операторов типа Романовского для различных классов ядер изучались в [26-29, 30-34, 42, 47, 105]. Структура собственных чисел и собственных функций операторов типа Романовского изучалась в [38, 42, 82].

Уравнение (1) двусвязных цепей Маркова исследовано В.И. Романовским методом определителей Фредгольма в случае непрерывного ядра [87,108], в случае вырожденных ядер уравнение изучалось В.А.Щелкуновым [99, 100]. Спектральные свойства оператора двусвязных цепей Маркова приведены в [42, 47], там же рассмотрены условия обратимости, нётеровости и фредгольмовости уравнения (!)•

Приближенные методы решения уравнений типа Романовского с частными интегралами рассматривались в [56, 79-81, 88]. Следует отметить, что найти решения таких уравнений удается в редких случаях.

Из приведенного обзора видно, что задача изучения операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами имеет важное прикладное значение и актуальна. При этом следует заметить, что многие вопросы теории таких операторов и уравнений были не исследованы.

2. В диссертации изучаются условия действия операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D) непрерывных на D = [a,b] х [а,Ь] функций ив Lp = LP(D) (1 < р < оо), их непрерывность, регулярность, вид сопряженного оператора. Исследуются нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и уравнений типа Романовского, рассматриваются их спектральные свойства. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований (всего 112 страниц машинописного текста).

В главе 1 изучаются общие свойства линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространствах C(D) и Lp.

В §1 формулируется задача теории марковских цепей, решение которой приводит к интегральному уравнению (1) [87, 108].

В §2 проведена классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в зависимости от вида ядер операторов L, М и N (вырожденные, симметричные и др.) и пределов интегрирования (постоянные, переменные, смешанные).

В §3 изучаются свойства операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается теорема 3.1, утверждающая, что если оператор К{ (г = 1,., 6) действует в пространстве C(D), то он непрерывен.

В теоремах 3.2 - 3.3 приводятся достаточные условия действия оператора Ki в пространстве C(D) и формулы для вычисления норм операторов типа Романовского с частными интегралами.

Из критерия действия оператора Ki (г = 1,., 6) в пространстве C{D) вытекает равенство ii^ii - \\\т s, -)\\l* + im*> + in*, on lawd).

Далее в §3 изучаются соотношения между пространством С — непрерывных линейных операторов, действующих в C(D), и множествами С\ и Со, действующих в C(D) операторов

CoU-\-LoU + MoU + NoU = KoU и

CoU + LoU + MoU + N соответственно. Здесь (Cx)(t,s) = c(t,s)x(t,s).

Критерий действия даёт полную характеристику операторов, входящих в С{ (г = 1,0). Из него следует, что А — замкнутое собственное подпространство пространства С.

Действие в C(D) операторов СоП, Loll, МоП, iV о П равносильно действию в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Следовательно, замкнутость пространств Ас, £ц, Am, Ап, Действующих в C(D) операторов СоП, LоП, МоП, iVon, совпадает с замкнутостью пространств Cqc, Az, Am, An действующих в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Отсюда вытекает, что прямая сумма С{с@ Ср1® СЯт ® £>jn (hj,P,Q £ {0? 1}) является замкнутым подпространством пространства Cr действующих в C(D) операторов R = С о Пг' + L о Пр + М о П9 + N о Ш.

Для того чтобы оператор R действовал в пространстве C(D) достаточно, чтобы в C(D) действовали операторы L, М и N. Обратное утверждение не верно. В примере 3.1 показывается, что из действия в C(D) оператора R не следует действие в C(D) операторов СоП, LoU, М о П и iV о П.

Пространство С с естественной операцией композиции операторов в качестве умножения является банаховой алгеброй. В работах [42, 102, 109] показано, что подпространство операторов вида К = С + L + М + N является подалгеброй алгебры А причем композиция таких операторов является оператором с частными интегралами того же типа. Для операторов типа Романовского аналогичное утверждение не имеет места. В теореме 3.8 выделены множества операторов, композиции которых есть интегральные операторы (операторы с частными интегралами).

В §4 свойства операторов типа Романовского с частными интегралами рассматриваются в пространстве Lp. В теореме 4.1 устанавливается, что если операторы L, М, N действуют в 1р, то

Ш\с(Ы>) < PILc(LP) + WMWc(Lr>) + IMLc(LP) (i = 1, . . ., 6).

Регулярность операторов типа Романовского изучается только для операторов вида К\ = К о П, К2 = С + L о П + М о П + N, К3 = C-hLoIl+MoU+NoU, КА = C+L+M+NоП. Регулярность оператора К\ совпадает с регулярностью оператора К = С + L + М + N и означает действие из Lp в Lq оператора лЬ >

I<x[(t, s) = |c(t, s)|z(f, s)+ s, t)\x(t, s)dr

J a / \m(t, s, cr)\x(t, a)da + / / \n(t, s, r, cr)|a:(r, a)drda.

Ja J JD

В теоремах 4.2-4.3 устанавливаются условия регулярности оператора I<i (г = 2,3,4).

Далее в §4 определяются условия существования и вид операторов, сопряженных к операторам К{ (г = 1,.,6). Устанавливается, что если операторы L, М, N действуют из Lp в Lq и регулярны, то оператор К{ (г = 1,., 7) действует из Lp в Lq и регулярен. При этом

К{ = П о L* + М* + N*, IQ = П о L* + М* + П о N*,

К* = L* + П о М* + N*, IQ = L* + П о М* + П о N*,

Kl = L* + М* + П о N*, К; = П о L* + П о М* + N*, К* = Uo(L* +М# +N*), где — операторы, транспонированные к операторам

L, М, N.

В главе 2 рассматриваются условия нётеровости, фредгольмо-вости и обратимости оператора I — К{ (г = 1,., 4) и соответствующего ему уравнения {I — Ki)x = /, где I — тождественный оператор, a Ki (г = 1,., 4) — операторы типа Романовского с частными интегралами вида Kl = L о П + М -f iV, К2 = L о П + М + N о П, К3 = L + М оП + Ny КА = L + М о П + N о П. Здесь под нётеровым (фред-гольмовым) оператором понимается линейный оператор с замкнутой областью значений, у которого размерности ядра и коядра конечны (размерности ядра и коядра конечны и совпадают).

В §5 для уравнения х = К{Х -Ь / получены критерии фред-гольмовости в практически важном случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер. Установлено, что если ядра /(£,s,t), m(t,s,cr) и n(t,s,T,cr) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х [а, Ь] и D х D соответственно, то при г = 1,2 оператор I — Ki фредгольмов в C{D) тогда и только тогда, когда в C(D) фредгольмов оператор I — М, а при i = 3,4 — тогда и только тогда, когда в C(D) фредгольмов оператор I — L (теорема 4.1). В условии этой теоремы фредгольмовость уравнения х = К{Х + / (г = 1,., 4) равносильна при г = 1,2 обратимости уравнения х = Мх + /, а при г = 3,4 — обратимости уравнения х = Lx + /.

В теоремах 5.5 и 5.6 показано, что фредгольмовость уравнения х = К{Х + / с вырожденными ядрами р я l(t, s, т) = ^Г /,•(*, s)aj(r), m(t, s, a) - ^ s)bj(a), 2=1 j=l Г n(t, s, Т,<7) = ]Г nfc(f, s)cfc(r, a), k=l где li,ai (г = 1,2,.,р), mj,bj (j = 1,2, .,g), тгк,ск (к = 1,2,., г)— непрерывные функции, а системы функций {а,|г = 1,. ,р} и {bj|i = 1 ,ортонормированы, равносильна условию .Di(0 Ф 0 для г = 1,2 и условию D2{s) ф 0 для г = 3,4, где и D<i(s)— определители

1 -1/ц(<) . • "МО

-МО • • 1 - МО

-Mpi(s) ■ ■ • 1 - Mpp(s)

2(s) =

Vjk(t)= / bj(cr)mk(t,cT)dcr (i,k G 1,.,<?), J a цф) = f ai(T)lj(T,s)dT (i,j el,. ,p). a

§6 содержит условия нётеровости и фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,. ,4) в пространстве LP(D) (1 < р < оо). Показывается, что в случае непрерывности операторов L, М, iV и компактности 2 *

L о П) и NoTV+Mo^LoU) в пространстве Lp нётеровость оператора I — Ki (г = 1, 2) (I — К{ (i = 3,4)) равносильна нётеровости оператора I — М (I — L), а фредгольмовость / — К{ (г = 1,2) (I — К{ (г = 3,4)) равносильна фредгольмовости I — М (/ — L). Теорема 6.2 устанавливает условия фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,.,4) в случае вырожденных ядер операторов L, М и компактности оператора iV.

В §7 исследуются условия обратимости оператора I — К\ (г = 1,.,4) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами. Установлено, что, если операторы I — L оИ и I — М обратимы, то обратимость оператора I — К\ равносильна обратимости оператора 7 — Р, где

Р = (7 - L о П)"1 о (7 - М)"1 о (N + М о (L о П)). В этом случае операторы (7 — L о П)-1, (7 — М)-1 имеют вид гЬ

I — LoH) 1x(t,s) = x(t,s) + / l(t,s,r)x(s,r)dT

J a pb лЬ / / ri(t, 5, г, сг)х(т, a)drda, J a J a

-1 ГЬ

7 — M) x(t, s) = x(t, s) -f / Г2 (i, S, <J(7)б?<7,

J a где ri и Г2 — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции.

В случае, когда ядра операторов L, М и N удовлетворяют равенствам р г=1 Я m(t, s, ст) = m(s, сг) = ^^ rrij(s)bj(cr),n(ty s, г, сг) = О, i=i где /г-,аг- (г = 1,. mj, bj (j = — непрерывные функции, а системы функций {ai|i = 1,.,р} и {bj\j = l,.,g} ортонорми-рованы, обратимость оператора 7 — Ki равносильна разрешимости матричного уравнения У = JF+CY*, которое при условии существования обратной матрицы С-1 приводится к виду

FY - УС* = D, (6) где D = С-1Р, Р = С-1. Уравнение (6) есть матричное уравнение Ляпунова. Решение таких уравнений приведено, например, в [10], в операторной форме — в [6]. В [6] установлено, что после приведения матриц F и С к жордановой форме решения уравнения (6) совпадают с решениями одного из уравнений

HPY - YFq = 0, (7)

Y + Hp-YFq = 0(А^0), (8)

HPY - YFq = DpXq, (9)

ЛУ + HPY - YFq = DpXq (А ф 0). (10)

Здесь Hp — квадратная матрица порядка p, Fq — матрица, транспонированная к Hq, DpXq — известная матрица.

Приводятся условия, при которых уравнения (7)-(10) имеют решения.

§8 содержит теоремы об обратимости и фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1, .,4) в пространстве Lp. В частности доказывается, что если операторы (L о П)2 и N о Пг + М о (L о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 1,2) следует из обратимости оператора I — М. Аналогично, если операторы (М о П)2 и N о Пг + L о (М о П) компактны в то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 3,4) следует из обратимости оператора I — L.

В § 9 устанавливаются условия фредгольмовости уравнений вида х = Kix + f (г = 1,.,4), (И) где К{ (г = 1,. ,4) — операторы типа Романовского. Теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фредгольмовости линейных уравнений с частными интегралами и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приведенные в §9, вытекают из результатов §5 в случае пространства C(D), и § 6 - в случае пространства LP(D). В теоремах 9.1-9.4 устанавливаются условия, при которых для уравнения (11) справедлива альтернатива Фред-гольма.

В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (3.1) означает, что речь идет о формуле 1 из §3.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1996-2005 годы), в Елецком государственном университете имени И.А. Бунина, на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе, посвященной 60-летнему юбилею профессора Ю.В. Покорного (Воронеж, 2000), на международных научных конференциях "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 2001), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 2002) и опубликованы в работах [12-19, 49-53, 101], из которых [17, 49-53, 101] — совместно с научным руководителем А.С.Калитвиным.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю А.С.Калитвину за постоянный интерес и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие её написанию.

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учебное пособие. / А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 1987. — 164 с.

2. Болтянский В.В. Об одном классе линейных интегральных уравнений с частными интегралами/ В.В. Болтянский, Л.М. Лихтарников // Дифференц. уравнения. — 1982.— Т.18, №11.— С. 1939 1950.

3. Витова Л.З. Вид собственных функций и собственных чисел интегрального оператора с частными интегралами и вырожденными ядрами/Л.З.Витова // Функц. анализ: Сб. науч. тр./ УГПИ.— Ульяновск, 1975. — Вып. 6. — С. 34-43.

4. Витова Л.З. Присоединенные функции интегрального оператора с частными интегралами и вырожденными ядрами/ Л.З. Витова // Функц. анализ: Сб. научн. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 6. — С. 35-44.

5. Витова Л.З. Разрешимость интегрального уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами/ Л.З. Витова // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 41-53.

6. Витова Л.З. К теории линейных интегральных уравнений с частными интегралами: Дисс. . канд. физ.- матем. наук/ Л.З. Витова. — Новгород, 1977. — 146 с.

7. Витова Л.З. Вид собственных чисел и собственных функций линейного интегрального оператора с частными интегралами и жордановыми ядрами/ Л.З. Витова //Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1984. — Вып. 23. — С. 52-61.

8. Витова Л.З. О разрешимости линейных интегральных уравнений с частными интегралами и жордановыми ядрами/ JI.3. Витова. — Новгород, 1988. — 12 е.— Деп. в ВИНИТИ 17.02.88,№1280-В88// РЖ: 13Б. Математический анализ — 1988 — №6.—6Б624ДЕП.

9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений/ В. Вольтерра. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц/ Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1988.— 552 с.

11. Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса/ В.И. Гливенко. — M.-JI.: ОНТИ, 1936. — 216 с.

12. Елецких И.А. Действие и непрерывность операторов типа В.И. Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких // Операторы с частными интегралами. 2: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997.— С. 23-30.

13. Елецких И.А. Критерий действия операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций/ И.А. Елецких //Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 29-39.

14. Елецких И.А. Алгебры операторов типа Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких. — Елец, 2000.— 13 с.— Деп. в ВИНИТИ 31.07.00, №2119-В00// РЖ: 13. Математика.— 2001.— №1 — 13Б762ДЕП.

15. Елецких И.А. О нётеровости и фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами и вырожденными ядрами/ И.А. Елецких. — Елец, 2000.— 6 с.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, №3214-В00// РЖ: 13.Математика.— 2001 — Ш — 13Б347ДЕП.

16. Елецких И.А. Нётеровость и фредгольмовость уравнений типа Романовского с частными интегралами и нерерывными ядрами/ И.А.Елецких. — Елец, 2000 — 9 е.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, №3215-В00// РЖ: 13. Математика.— 2001.— №6 — 13Б348ДЕП.

17. Елецких И.А. О фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами/ И.А. Елецких, А.С. Калитвин //Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. междунар. конф.— Минск, 2001. —С. 59-60.

18. Елецких И.А. Об обратимости одного класса операторов с частными интегралами/ И.А. Елецких //Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 5.— С. 48-56.

19. Елецких И.А. Нётеровость и фредгольмовость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве Lp/ И. А. Елецких //Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6.— С. 59-65.

20. Забрейко П.П. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ П.П. Забрейко, А.С. Калитвин, Е.В. Фролова // Дифференц. уравнения, 2002.Т. 38, №4. — С. 538-546.

21. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. — М.: Наука, 1966.— 500 с.

22. Интегральные уравнения/ П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский, С.Г. Михлин, Л.С. Раковщик, В.Я. Стеценко.М.: Наука, 1968. — 488 с.

23. Забрейко П.П. Интегральные операторы Вольтеррав пространствах функций двух переменных/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломако-вич //Укр. матем. журн.— 1990. — Т. 42, №9. — С. 1187-1191.

24. Калитвин А.С. Об операторах с частными интегралами/ А.С. Калитвин. — Ленинград, 1983. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 27.06.83, №3461-83// РЖ: 13Б. Математический анализ.— 1983.— №10.—10Б698ДЕП.

25. Калитвин А.С. О спектре и собственных функциях оператора с частными интегралами и оператора типа В.И. Романовского/ А.С. Калитвин // Функц. анализ: Сб.науч. тр. — Ульяновск, 1984. — Вып. 22. — С. 35-45.

26. Калитвин А.С. О спектре некоторых классов операторов с частными интегралами/ А.С. Калитвин //Операторы и их приложения. Приближение функций. Уравнения: Сб.науч. тр. — Ленинград, 1985. — С. 27-35.

27. Калитвин А.С. О мультиспектре линейных операторов/ А.С. Калитвин //Операторы и их приложения. Приближение функций. Уравнения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1985. — С. 91-99.

28. Калитвин А.С. Исследование операторов с частными интегралами: Дисс. . канд. физ.-мат. наук/ А.С. Калитвин.— Ленинград: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1986. — 143 с.

29. Калитвин А.С. Интегральные уравнения типа В.И. Романовского с частными интегр а л ами.1/ А.С. Калитвин. — Липецк, 1987.— 11с. — Деп. в ВИНИТИ 22.01.87, №503-В87// РЖ: 13Б. Математический анализ. — 1987. — №5 —5Б423ДЕП.

30. Калитвин А.С. Интегральные уравнения типа В.И. Романовского с частными интегралами.2/ А.С. Калитвин. — Липецк, 1987.—11 е.— Деп. в ВИНИТИ 22.01.87, №502-В87// РЖ: 13Б. Математический анализ. — 1987. — №5 —5Б424ДЕП.

31. Калитвин А.С. Интегральные уравнения типа В.И. Романовского с частными интегралами.З/ А.С. Калитвин. — Липецк, 1988.—12 с. — Деп. в ВИНИТИ 26.04.88, №3229// РЖ: 13В. Математический анализ. — 1988. — №8 —8Б889ДЕП.

32. Калитвин А.С. О позитивных собственных числах операторов с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Межвузовская конференция молодых ученых: Тез. докл. конф. — Липецк, 1988. — С. 101.

33. Калитвин А.С. О спектре линейных операторов с частными интегралами и положительными ядрами/ А.С. Калитвин // Операторы и их приложения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1988. — С. 43-50.

34. Калитвин А.С. О разрешимости некоторых классов интегральных уравнений с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1989.— Вып. 29.— С. 68-73.

35. Калитвин А.С. Норма операторов с частными интегралами в L°° и в L1/ А.С. Калитвин // Современные методы нелинейного анализа: Тез. докл. конф., Воронеж, 26-29 апр. 1995 г. — Воронеж, 1995. — С. 43-44.

36. Калитвин А.С. О спектральном радиусе операторов с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — VII", Воронеж, 17-23 апр. 1996 г.: Материалы шк. — Воронеж, 1996.— С. 90.

37. Калитвин А.С. Теорема о замкнутом графике в теории операторов с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Операторы с частными интегралами. 2: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997. — С. 3-7.

38. Калитвин А.С. Об операторах Вольтерра с частными интегралами/ А.С. Калитвин //Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения IX", Воронеж, 3-9 мая 1998 г.: Материалы шк. — Воронеж, 1998. — С. 89.

39. Калитвин А.С. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами теории упругости/ А.С. Калитвин // Сб. Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства, Воронеж, 12-16 окт. 1998 г.: Материалы конф. — Воронеж, 1998. — С. 85-89.

40. Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами/ А.С. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

41. Калитвин А.С. Уравнения с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально дифференциальные уравнения", Воронеж, 15-20 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 112-113.

42. Калитвин А.С. Уравнения Вольтерра с частными интегралами в функциональных пространствах/ А.С. Калитвин // Труды института математики НАН Беларуси. — Минск, 2000. — Т. 5. — С. 72-76.

43. Калитвин А.С. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Дифференц. уравнения.2001. — Т. 37, №10. — С. 151-152.

44. Калитвин А.С. Нелинейные операторы с частными интегралами/ А.С. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2002. — 208 с.

45. Калитвин А.С. Операторы и уравнения с частными интегралами и их приложения: Дисс. . доктора физ.-матем. наук/ А.С. Калитвин.— Липецк, 2003. — 267 с.

46. Калитвин А.С. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами/ А.С. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6. — С. 52-58.

47. Калитвин А.С. Регулярность операторов типа Романовского с частными интегралами/ А.С. Калитвин, И.А. Елецких // Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 39-44.

48. Калитвин А.С. Пространства операторов типа Романовского с частными интегралами/ А.С. Калитвин, И.А. Елецких // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000.С. 21-28.

49. Калитвин А.С. К теории уравнений типа Романовского с частными интегралами/ А.С. Калитвин, И.А. Елецких // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XIII", Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Материалы шк. — Воронеж, 2002.С. 70-71.

50. Калитвин А.С. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами в С(Т X S)/ А.С. Калитвин, В.А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6.— С. 3-24.

51. Калитвин А.С. Об интегральных уравнениях типа В.И. Романовского с частными интегралами/ А.С. Калитвин, Л.М. Романова // Конференция молодых учёных: Тез. докл. — Липецк, 1993. — С. 15.

52. Калитвин А.С. Об уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ А.С. Калитвин, Е.В. Фролова // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XI", Воронеж, 3-9 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 74.

53. Калитвин А.С. Линейные уравнения с частными интегралами. С-теория/ А.С. Калитвин, Е.В. Фролова. Липецк: ЛГПУ, 2004.- 194 с.

54. Калитвин А.С. Операторы с частными интегралами в пространстве нерерывных функций. I/ А.С. Калитвин, Е.В. Янкелевич // Вестник Чел. гос. ун-та. Сер. мат., мех. — 1994. — №1. — С. 61-67.

55. Калитвин В.А. Об одном алгоритме численного решения уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.Липецк, 2000. — Вып. 4. — С. 41-50.

56. Калитвин В.А. О решении уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин // Труды института математики НАН Беларуси. — Минск, 2000. — Т. 5. — С. 77-79.

57. Калитвин В.А. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В.А. Калитвин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8. — Вып. 2. — С. 602.

58. Калитвин В.А. О двух обобщениях уравнения Романовского/ В.А. Калитвин // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 25-30 янв. 2002 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2002. — С. 33-34.

59. Калитвин В.А. Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра Фредгольма с частными интегралами: Дисс. . канд. физ.-матем. наук/ В.А. Калитвин. — Липецк, 2003.132 с.

60. Канторович Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 744 с.

61. Канторович Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах/ Л.В. Канторович, Б.З. Вулих, А.Г. Пин-скер. — М.- Л.: Гостехиздат, 1950. — 548 с.

62. Като Т. Теория возмущений линейных операторов/ Т. Като. — М.: Мир, 1972. — 740 с.

63. Курбатов В.Г. Интегральные операторы: Учебное пособие/B.Г. Курбатов. — Липецк: ЛГТУ, 1998. — 100 с.

64. Ланкастер П. Теория матриц/ П. Ланкастер.—М.: Наука, 1982. — 272 с.

65. Лихтарников Л.М. О спектре интегрального оператора с частными интегралами типа В.И. Романовского/ Л.М. Лихтарников // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. —C. 95-105.

66. Лихтарников Л.М. О спектре интегрального оператора с частными интегралами типа В.И. Романовского, содержащего вполне непрерывный оператор/ Л.М. Лихтарников // Дифференц. уравнения (в частных производных): Сб. науч. тр. — Рязань, 1980. — С. 42-51.

67. Лихтарников Л.М. О разрешимости линейного интегрального уравнения с частными интегралами типа В.И. Романовского, содержащего вполне непрерывный оператор/ Л.М. Лихтарников // Дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. — Рязань, 1981. — С. 64-73.

68. Лихтарников Л.М. О спектре интегрального оператора типа В.И. Романовского в самосопряженном случае/ Л.М. Лихтарников // 12-ая школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. шк. — Тамбов, 1987.— Ч. 1. — С. 128.

69. Лихтарников Л.М. О разрешимости линейного интегрального уравнения с частными интегралами/ Л.М. Лихтарников, Л.З. Витова // Укр. матем. журн.— 1976. — Т. 28, №1. — С. 83-87.

70. Лихтарников Л.М. Об уравнениях типа В.И. Романовского/ Л.М. Лихтарников, А.С. Калитвин // 14-ая Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 8-14 сент. 1989 г.: Тез. докл. — Новгород, 1989. — Ч. 2. — С. 57.

71. Лихтарников Л.М. О разрешимости интегрального уравнения с частными интегралами типа В.И. Романовского/ Л.М. Лихтарников, Л.В. Спевак // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 106-115.

72. Лихтарников Л.М. Линейное интегральное уравнение с частными интегралами типа В.И. Романовского с двумя параметрами/ Л.М. Лихтарников, Л.В. Спевак // Дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. — Рязань, 1976. — Вып. 7. — С. 165-176.

73. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям/ С.Г. Михлин. — М.: Физматгиз, 1959. — 232 с.

74. Морозова JI.JI. Структура собственных функций и собственных чисел интегрального оператора с частными интегралами типа В.И. Романовского/ JLJI. Морозова // Дифференц. уравнения в частных производных: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1986. — С. 58-63.

75. Околелов О.П. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами/ О.П. Околелов // Дифференциальные и интегральные уравнения. — Хабаровск, 1967. — Т. 3. — С. 142-149.

76. Околелов О.П. Аналоги некоторых теорем Фредгольма для интегральных уравнений с частными и кратными интегралами/ О.П. Околелов // Тр. Иркутского ун-та. — 1968.

77. Околелов О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами: Дисс. . канд. физ.-матем. наук/ О.П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с.

78. Радон И. О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях/ И. Радон // Успехи матем. наук. — 1936. — Вып. 1. — С. 200-227.

79. Романовский В.И. Избранные труды. Т.2: Теория вероятностей, статистика и анализ/ В.И. Романовский. — Ташкент: Наука, 1964. — 390 с.

80. Смирнова Т.И. О численном решении нелинейного интегрального уравнения типа В.И. Романовского с частными интегралами/ Т.И. Смирнова // 6-ая межвузовская конференция молодых ученых: Тез. докл. конф. — Липецк, 1992. — С. 188.

81. Фролова Е.В. Критерии действия операторов с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк,1996. — С. 3-12.

82. Фролова Е.В. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова. — Липецк, 1998. — 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 14.08.98, №2577-В98// РЖ: 13. Математика. — 1999. —№1. — 1Б447ДЕП.

83. Фролова Е.В. Об обратимости оператора с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова. — Липецк, 1998. — 18 с. — Деп. в ВИНИТИ 14.08.98, №2577-В98// РЖ: 13. Математика. — 1999. — №1. — 1Б448ДЕП.

84. Фролова Е.В. О фредгольмовости операторов с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 13-22.

85. Фролова Е.В. Фредгольмовость оператора с частными интегралами// Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 янв.-4 февр. 2000 г.: Тез. докл. шк. — Воронеж, 2000. — С. 167-168.

86. Фролова Е.В. Некоторые признаки равенства нулю спектрального радиуса операторов Вольтерра с частными интегралами/ Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000. — Вып. 4. — С. 33-41.

87. Фролова Е.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е.В. Фролова //Труды института математики HAH Беларуси. — 2000. — Т. 5.С. 131-135.

88. Фролова Е.В. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций: Дисс. . канд. физ,- матем. наук/ Е.В. Фролова. — Липецк, 2000. — 123 с.

89. Фролова Е.В. Линейные операторы с частными интегралами в С/ Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2003.— Вып. 5.— С. 65-76.

90. Щелкунов В.А. Интегральные уравнения, ядра которых зависят от трех переменных/ В.А. Щелкунов // Сб. науч. тр. кафедры высшей матем. — Тула, 1972. — Вып. 1. — С. 34-38.

91. Щелкунов В. А. Интегральные уравнения, ядра которых зависят от трех переменных/ В.А. Щелкунов // Сб. науч. тр. кафедры высшей матем. — Тула, 1974. — Вып. 2. — С. 45-51.

92. Appell J. A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type/ J. Appell, I.A. Eletskikh, A.S. Kalitvin //J. Integral Equ. Applications. — 2004. — V. 16, №1. — P. 25-32.

93. Appell J. Partial integral operators and integro-differential equations/ J. Appell, A.S. Kalitvin , P.P. Zabrejko. — New York: Marcel Dekker, 2000. — 560 p.p.

94. Kalitvin A.S. On the theory of partial integral operators/ A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko //J. Integral Equ. Applications. — 1991. — V. 3, №3.P. 351-382.

95. Kalitvin A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra-Fredholm type/ A.S. Kalitvin // Zeitschr. Anal. Anw. — 1998. — Vol. 17, №2. — P. 297-309.

96. Kalitvin A.S. Romanovskij Type Equations with Partial Integrals/ A.S. Kalitvin // International conference on functional analysis: Abstracts,Kyiv, August 22-26, 2001/ IM HAH Украши. — Kyiv, 2001. — P. 43-44.

97. Kalitvin V.A. On Volterra Fredholm equation with partial integrals/ V.A. Kalitvin // International conference on functional analysis: Abstracts, Kyiv, August 22-26, 2001/ IM HAH Украши. — Kyiv, 2001. — P. 44.

98. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov // Kluwer Academic Publishtrs. Dordrecht Boston -London, 1999. — 428p.p.

99. Romanovsky V. Sur une classe d'equation integrales lineares/ V. Romanovsky // Acta Mathematica. — 1932. — Vol. 59. — P. 99-208.

100. Partial integral operators on C(a,b. x [c, d])/ J. Appell, E.V. Frolova, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Integr. equ. oper. theory, — 1997.— V. 27. — P. 125-140.