Интегралы и последние множители дифференциальных систем уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

ЯНКИ КУПАЛЫ

УДК 517.95

БУСЛЮК ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ

ИНТЕГРАЛЫ И ПОСЛЕДНИЕ МНОЖИТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Р ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Гродно — 2000

Работа выполнена в Гродненском государственном университете имени

Янки Купалы

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Горбузов В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Юрчук Н.И.,

кандидат физико-математических наук, профессор Мироненко В.И.

Оппонирующая организация: Российский государственный

педагогический университет имени А.И. Герцена

Защита состоится 17 ноября 2000 года в 10.00 часов на заседании совета по защите диссертаций К 02.14.02 в Гродненском государственном университете имени Янки Купалы по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22, тел. учёного секретаря 44-24-77.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гродненского госуниверситета имени Янки Купааы.

Автореферат разослан « 3 » 2000 года.

Учёный секретарь совета по защите диссертаций К 02.14.02

В.А. Пронько

В/6У <£&€. 6~03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Изучение свойств интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных является основополагающим для многих разделов теории дифференциальных уравнений, механики и естествознания. Такими, например, являются изучение интегралов и интегральных многообразий автономных обыкновенных дифференциальных систем; построение инвариантов для групп инфинитезимальных преобразований; изучение систем с инвариантной мерой; теория поля; теория гидродинамики и др.

Теория интегралов в своих истоках связана с исследованиями J. Jaco-bi, О. Hesse, G. Darbux, В.Г. Имшенецкого, П.В. Пфейффера, Н.М. Гкж-тера, А.Н Коркина, а затем развита Н.П. Еругиным, К.С. Сибирским, А.И. Яблонским, А.С.Галиуллиным, М.В. Доловым, H.A. Лукашевичем, J1.A. Черкасом, В.И. Мироненко, Н.И. Вулпе. В настоящее время теория интегралов развивается благодаря тесным связям с механикой и естествознанием.

В исследованиях В.И. Мироненко для обыкновенных дифференциальных систем была решена задача наличия стационарных интегралов. Методы построения первых интегралов по частным интегралам для обыкновенных дифференциальных систем и систем уравнений в полных дифференциалах активно развивается В.Н. Горбузовым. Приложения теории интегралов в качественной теории обыкновенных дифференциальных систем разрабатываются М.В. Доловым и его учениками, H.A. Лукашевичем, Л.А. Черкасом, Н.И. Вулпе, А.С. Шубэ. Значительно расширен диапозон группового анализа обыкновенных дифференциальных систем Л.В. Овсянниковым, Н.Х. Ибрагимовым , В.Ф. Зайцевым.

Таким образом, всякий прогресс в развитии теории интегралов важен не только как решение чисто математической задачи, но и с точки зрения многих прикладных проблем. Актуальность и недостаточная разработанность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я. Купалы в рамках научно-исследовательской темы «Дифференциальные уравнения и системы типа

Пенлеве»(регистрационный номер 1097), предусмотренной республиканской программой «Математические структуры» в 1997 - 1999 г.г.

Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование аналитических свойств интегралов и последних множителей Якоби для линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.

Для этого решаются следующие задачи: существование г-цилиндрич-ных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных; построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам и интегральным точкам; построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по инфинитезимальным операторам; построение базиса первых интегралов якобиевой линейной однородной квадратичной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются линейные однородные дифференциальные системы уравнений в частных производных.

Предметом исследования являются частные интегралы, первые интегралы и последние множители Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.

Методология и методы проведённого исследования. В диссертации применяется методология исследования свойств линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных на основании частных и первых интегралов, последних множителей Якоби, инфини-тезимальных операторов. Установлено существование г-цилиндричных частых интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби для линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. Разработан метод построения базиса первых интегралов квадратичной якобиевой линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты данной диссертации являются новыми. Получены необходимые условия

и критерии существования у линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных г-цилиндричных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби. Доказаны критерии и достаточные условия построения первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам, интегральным точкам и инфинитезимальным операторам. На основе полученных результатов проведено построение первых интегралов у яко-биевой квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.

Практическая значимость полученных результатов. Полз'ченные результаты позволили получить ряд новых подходов для изучения аналитических характеристик линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. Конструктивная основа большинства полученных подходов позволяет широко их использовать в приложениях.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Необходимые условия и критерии существования г-цилпндричных интегралов и по. следних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.

Построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам и интегральным точкам.

Построение последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по инфинитезимальным операторам.

Построение базиса первых интегралов для якобиевой квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.

Личный вклад соискателя. В диссертации включены только те результаты, которые получены лично соискателем. Роль научного руководителя, в соавторстве с которым написана одна статья, состояла в постановке задачи и анализе полученных результатов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на:-

VII Беларусской Математической конференции (Минск, 1996);

международной математической конференции «Еругинские

чтения - IV» (Витебск, 1997);

межвузовской математической конференции памяти профессора С.Г. Кондратени (Брест, 1998);

международной математической конференции «Еругинские чтения - V» (Могилёв, 1998);

международной математической конференции «Еругинские чтения - VI» (Гомель, 1999);

международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 1999).

VIII Беларусской Математической конференции (Минск, 2000); Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 журнальных статьях и 7 тезисах докладов. Общее количество страниц опубликованных материалов — 42.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, основной части, которая подразделяется на пять глав и списка цитированных источников.

Объём диссертации — 95 страниц; количество использованных источников — 85.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Данная работа посвящена изучению первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. В ней исследуется аналитическая структура первых интегралов и последних множителей Якоби, а также построение первых интегралов и последних множителей Якоби по частным интегралам и допускаемым линейным дифференциальным операторам первого порядка.

В первой главе даётся обзор литературы по основным направлениям исследования линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.

Во второй главе излагается общая концепция построения первых интегралов и последних множителей Якоби, а также указываются основные методы исследования, с помощью которых решаются поставленные задачи.

В третьей главе рассматривается линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных

$(х)у = 0, ¿ = 1^, (1)

построенная на основании линейных дифференциальных операторов первого порядка

£,-(гв) = и^{х)д{ (г = М), е (?, ; = (2)

при выполнении следующих условий:

1) координаты и^: С -> С, ] = 1 ,т, г = 1,тг, линейных дифференциальных операторов (2) есть голоморфные функции на области б комплексного арифметического пространства Сп ;

2) линейные дифференциальные операторы (2) не являются голоморфно линейно связанными на области С.

Условие 2) по необходимости предполагает, что т ^ п (количество уравнений в системе (1) не превышает размерности пространства, на котором рассматривается система).

В п. 3.1. вводятся определения первого интеграла и последнего множителя системы (1), а также полной, якобиевой и нормальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (1). Излагаются аналитические связи между первыми интегралами, частными интегралами и последними множителями Якоби, при этом отражаются особенности связанные с полной разрешимостью и якобие-востыо системы (1).

В п. 3.2. вводится понятие г-цилиндричного первого интеграла линейной однородной дифференциальной системы в частных производных (1). Доказан необходимый признак существования, г-цилиндричного первого интеграла у системы (1).

Теорема 1. Для того, чтобы линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (1) имела г-цилиндричный первый интеграл

, . Г(хг) - С, 1 < г ^ п , (3)

на области П , необходимо выполнение системы тождеств

И^НОО) = УхеО, у = р = г + 1,п, (4)

где векторные функции

у,у. х ->• (и}1(х), ... , и^{х)), £1, ] = 1,ш.

Также доказан критерий существования г-цилиндричного первого интеграла у системы (1).

Теорема 2. Для того, чтобы линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (1) имела г-цилиндричный первый интеграл (3) на области О, необходимо и достаточно существования вектора-функции

<р: х (<р1{хг), ... , <Рг(хг)), УхеП,

удовлетворяющей функциональной системе

<,?&хи){х) = О,

£ = 0,г - 1, р~г+1,п, ] = 1,щ,

такой, что семейство (3) является общим интегралом уравнения Пфаффа

<р{хг) йхг = 0,

на области Пг, являющейся естественной проекцией области П на координатное подпространство Ох\...хг.

При этом достаточные условия функциональной независимости г-цилиндричных первых интегралов состоят в следующем.

Теорема 3. Пусть система (4) имеет д линейно несвязанных на области С1 решений

р1: х ••• , <Р1г(хг)), Уа:еП,

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

1р1(хт)<1хг = 0, / = 17?,

имеют соответственно общие интегралы

ЖО = еу; I = 171?, (5)

на области Пг, являющийся естественной проекций области П на координатном подпространстве Ох\ ...хг. Тогда общие интегралы (5) функционально независимы на области Пг.

В п. 3.3 и п. 3.4 получены необходимый признак и критерий существования г-цилиндричного последнего множителя Якоби, г-цилиндричпого частного интеграла дифференциальной системы (1), а также решена задача о их функциональной независимости. При этом были использованы подходы аналогично разработанным в п. 3.2 с учётом тех аналитических различий, которые присущи последнему множителю Якоби и частному интегралу по сравнению с первым интегралом.

В четвёртой главе рассматривается полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных

Щ*)У = О, (п<тп). (6)

В п. 4.1 сформулирован критерий существования полиномиального частного интеграла у полиномиальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (6). Даны определения кратности частного интеграла и условного частного интеграла полиномиальной дифференциальной систекы (6).

В п. 4.2 непосредственно решена задача по построению первого интеграла и последнего множителя системы (6) по её частным интегралам. При этом исходим из следующего. Пусть среди полиномиальных частных интегралов

■шк{х) = Ск, к = 1,з + г, (7)

полиномиальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (6) содержится й ^ 0 с кратностями щ , / = 1,5, соответственно, и пусть известно условных частных

интегралов

Еи: х ехри„(х), УхбС", и = 1,д, (8)

где ьи: С" —> С, и = 1,д, суть полиномы, полиномиальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (6). Вводится в рассмотрение число

а = г + я + .XI,

;=1

составленное по количеству я + г полиномиальных частных интегралов (7) с учётом кратностей , / — 1,5, первых й из них и количеству д условных частных интегралов (8).

Если для полиномиальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (6) число а ^ 1, то будем говорить, что система (6) является системой класса 21.

Критерий наличия первого интеграла у системы (6) класса 21 состоит в следующем.

Теорема 4. Для того чтобы полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (6) класса 21 имела первый интеграл

ВДехрУ(х) = С, (9)

необходимо и достаточно существования постоянных , и /3„

таких, что выполняется система тождеств

Е](х) =0, УггбС", ¿ = 1~т,

где

5 Е/ С{!

= ЪпМф) + ЕЕЕ ^яи^д^х) + 1=1 Ь=1 </{,=1

(/г = 1,5- + г, и = \/хвСп, з=Т~т.

Также доказан критерий наличия последнего множителя Якоби у системы (6) класса 21.

Теорема 5. Для того чтобы полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (6) класса 21 имела последний множитель Якоби

ц: хХ(х) ехрУ(х), Ух 6 6?, (10)

необходимо и достаточно существования постоянных , <*1И(1д(1 и Д, таких, что выполняется система тождеств

Б^х) = -сНуфДг), Ухе ё, 3 = 1~т.

Теорема 6. Дифференциальная система (6) класса 21 при о = 5 имеет либо первый интеграл (9), либо последний множитель Якоби (10).

В п. 4.3 расширены возможности построения первого интеграла и последнего множителя системы (6) при наличии у неё интегральных точек.

Определение 1. Для линейной однородной полиномиальной системы уравнений в частных производных (6) класса 21 точку Лд(а;Л) пространства С" назовём интегральной точкой с весом р\ по базе = = 5 ? • • • , }, если при 1 ^ Рх ^ тп выполняются условия

Mmju(*A) = 0, k = l,s + r, j = l7px; Rih(ig(t^{xx) = 0, / = м, Л6 б N,

sv^{xx) = 0, j = ~f»a-

Для интегральных точек A\(xx), яд £ С", А — 1 ,N, введено в рассмотрение специальное число т], в зависимости от которого количество полиномиальных частных интегралов с учётом их кратностей и условных частных интегралов, достаточное для построения первого интеграла и последнего множителя системы (6) класса 21, может быть уменьшено.

• Так, условие о = 0 + 1, которое в соответствии с теоремой 6 является достаточным для построения первого интеграла, при наличии интегральных точек заменено ослабленным требованием а+rj = 0 + 1, при котором система (6) имеет первый интеграл (9).

Также доказана (в которой ослаблены достаточные условия теоремы 6).

Теорема 7. Пусть полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (6) класса 21 имеет частные интегралы (7) и (8), для которых существуют интегральные точки А\(хх), хх б С", с весами р\ ^ 1, Л = 1, N, числом ц ^ 0 и

dLvPy(atA) = 0, А = TjV , jeD,

где Pj(x) — colon (Pji(x)., ... , Pjn(x)), Vx £ C" , j = 1, m. Тогда при a -(- 77 = D дифференциальная система (6) имеет либо первый интеграл (9), либо последний множитель Якоби (10).

В п. 4.4 достаточные условия для построения первого интеграла й последнего множителя Якоби ослаблены на случай, когда система (6) является якобиевой.

Например, достаточные условия, сформулированные в теореме 7 в случае якобиевости системы (6) становятся следующими.

Теорема 8. Пусть у якобиевой системы (6) класса 21 число Э = , £б{1,...,т}, а уравнение

Щх)у = 0

не имеет первых интегралов

Е,(х) + &\%{х) = Су, ¿ = 17т, зфк, и выполняются условия

Мк7(х->) =0, £ = 1,в + г, ¿ = 1 ,т, зфк-, = о, ! = М,

в^х3) - 0, 1>-Т7я, У = 17гп, зфк,

и

сНуфДг'') = С}, з = ]фк,

определитель Д^ ф 0. Тогда функция (10) является последним множителем Якоби системы (б).

В пункте 4.5 решена задача о построении последнего множителя Якоби полной системы (1) на основании допускаемых ею инфинитезималь-ных операторов.

Теорема 9. Пусть полная система (1) допускает их линейные дифференциальные операторы

9Л/с(х) — 1ы{х)д{ (¿ = 1 ,п), Ух 6 С?, к = 1,п — т,

которые в совокупности с т линейными дифференциальными опре-торами £;-, ¿ = 1,т, образует систему из п линейно несвязанных в области О операторов. Тогда система (1) имеет последний множитель Якоби

11(х) = аеГ1 М(£1 ЯЛ 1, ... , ШТп-т ),

и

где квадратная матрица п-го порядка

М =

и

Ь

и = 1К-И

л) Итх л >

Ь = НМ(п-т)

хп •

Эта теорема в совокупности с известными подходами (см. Эйзен-харт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.: ГИИЛ, 1947. -395 с.) построения первых интегралов по допускаемым инфинитезималь-ным операторам решает задачу в замкнутой форме, когда на основании допускаемых инфинитезимальных операторов строится последний множитель либо первый интеграл.

В пятой главе в п. 5.1 рассматривается комплексное проективное пространство СР" с координатами (х, г). Вблизи бесконечно удалённой гиперплоскости 2 — 0 проективного пространства СР" полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных (6) исследуется с помощью проективных преобразований.

В зависимости от того, является ли бесконечно удалённая гиперплоскость г = 0 проективного пространства СР" интегральной для обыкновенных дифференциальных систем, индуцированных системой .(6), а также для самой полиномиальной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных (6), устанавливаются типы системы (б).

Если полиномиальная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных

Рз

Р^,(х)-д{и = 0 (г = 1,п), ] = 1,ш

(И)

где — однородные полиномы степеней

с^Рц3(х) = 5 , .7 = 1 ,т, г = 1 ,п, в = 1 ,

такова, что у матрицы

ад =

Рцр,(х) ... Р}пр,{х)

, \/х 6 С" ,

где ранг гапк^(аг) ^ 1, Ух 6 С" , то будем говорить,

что система (11) имеет особый тип по индексу 3 при проективных преобразованиях. Если система (11) имеет особый тип по всем индексам 3 , 7 = 1,771, то такую систему (И) назовём системой с особым типом в пространстве СРп.

Исследованы инвариантность и изменение типа системы (11) при проективных преобразованиях.

В п. 5.2 для квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве разработан метод построения базиса первых интегралов.

Из всего множества систем (11) при .5 = 2 выделим те, которые имеют особый тип в проективном пространстве СРп .

Предложение 1. Квадратичная линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных является дифференциальной системой с особым типом в пространстве СР" тогда и только тогда, когда она имеет вид

п

1ая(х) ~ ^ дхм = 0, 17т, (12)

:=1

а}Т(х) - -I- а,т<п+1 (г = 17"), Ух € С", 1 = Т7т,

т = 1,п + 1, т < п, коэффициенты а]Тд, суть числа из поля С

п _

такие, что ^ О, ¿ = 1 ,т.

¿=1

Система (12) является системой типа Гессе, её будем рассматривать в предположении что она является якобиевой. Базис первых интегралов якобиевых систем (12) состоит из п — т первых интегралов.

Разработан алгоритмический метод построения таких п — т функционально независимых первых интегралов систем типа Гессе. Метод основан на понятии полиномиального частного интеграла и учитывает его кратность. При этом по собственным векторам матриц aj = || ||, ] — 1,т, строятся функции г/Т,, являющиеся решениями специальным образом построенных линейных функциональных уравнений. Затем, на основании линейных оболочек функции строятся первые интегралы итут} = С системы (12). Доказывается, что в множестве таких первых интегралов содержится п — тп функционально независимых, которые и составляют базис первых интегралов системы Гессе (12).

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе:

получены признаки и критерии существования г-цилиндричных первых интегралов, г-цилиндричных последних множителей Якоби и г-цилиндричных частных интегралов у линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных [4, 8, 9, 10];

на основании полиномиальных частных интегралов с учётом их крат-ностей, условных частных интегралов и интегральных точек линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных построены их первые интегралы и последние множители Якоби [1, 3, 7];

построены последние множители Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по допускаемым ими инфинитезимальным операторам [2, 6, 11];

для квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве разработан метод построения базиса первых интегралов [5, 12].

В работе.приведены примеры в которых подтверждены теоретические исследования, выполнение в диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ Статьи:

1. Буслюк Д.В. Интегралы и последние множители дифференциальных систем в частных производных // Дифференц. уравнения. -

1998. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 07 июля 1998 года, № 2116 -В98. - 16 с.

2. Буслюк Д.В. Построение последнего множителя системы в частных производных по допускаемым операторам // Вестник Бел. гос. унта, Сер. 1. Физ. Мат. Информ. - 1998. - №3. - С. 20 - 23.

3. Буслюк Д.В. Интегралы и последние множители дифференциальных систем в частных производных // Дифференц. уравнения. -

1999. - Т. 35, № 3. - С. 418 - 419.

4. Буслюк Д.В. Об интегралах системы уравнений в частных производных // Вестник Гроднен. гос. ун-та, Сер. 2. - 1999. - №1. -С. 21 - 25.

5. Буслюк Д.В., Горбузов В.Н. Интегралы системы Якоби в частных производных // Вестник Гроднен. гос. ун-та, Сер. 2. - 2000. -№1(3). - С. 4- 11.

Тезисы:

6. Буслюк Д.В. Построение интегралов и последних множителей линейной однородной системы по линейным дифференциальным операторам // VII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. междунар. мат. конф., Минск, 18 - 22 ноября 1996 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Бел. гос. ун-т. - Минск, 1996. - С. 32 -33.

7. Буслюк Д.В. Частные интегралы линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных. // Еругин-ские чтения - IV: Тез. докл. междунар. мат. конф., Витебск, 20 - 22 мая 1997 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Витебский гос. ун-т. - Витебск, 1997. - С. ИЗ - 114.

8. Буслюк Д.В. Цилиндрический последний множителель системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных // Межвузовская математическая конференция памяти профессора С.Г. Кондратени: Тез. докл. межвузов, мат. конф., Брест, 21 - 23 апреля 1998 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Брестский гос. ун-т. - Брест, 1998. - С.45.

9. Буслюк Д.В. Цилиндричность интегралов системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных. // Еругинские чтения - V: Тез. докл. междунар. мат. конф., Могилёв, 26 - 28 мая 1998 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Мо-гилёвский гос. ун-т им. А.А. Кулешова. - Могилёв, 1998. - 4.1. -С. 74 - 75.

10. Буслюк Д.В. Цилиндричность интегралов линейных однородных систем уравнений в частных производных. / / Еругинские чтения - VI: Тез. докл. междунар. мат. конф., Гомель, 20 - 21 мая 1999 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель, 1999. - 4.1. - С. 51 - 52.

И. Буслюк Д.В. Симметрии систем уравнений в частных производных. // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. докл. междунар. конф., Минск, 14 - 18 сентября 1999 г. / Бел. гос. ун-т. - Минск, 1999. - С. 52 - 53.

12. Буслюк Д.В. Базис перпых интегралов якобиевых систем уравнений в частных производных // VIII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. междунар. мат. конф., Минск, 19 - 24 июня 2000 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Бел. гос. ун-т. - Минск, 2000. - 4.1. - С. 176.

РЕЗЮМЕ Буслюк Дмитрий Викторович

Интегралы и последние множители дифференциальных систем уравнений в частных производных

Ключевые слова: дифференциальная система уравнений в частных производных, первые интегралы, частные интегралы, последние множители Якоби, инфинитезимальный оператор.

Объект исследования — интегралы и последние множители дифференциальных систем уравнений в частных производных. Целью работы является исследование анататических свойств интегралов и последних множителей для линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных. В работе применялась методология исследования свойств линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных на основе частных и первых интегралов, последних множителей Якоби, инфинитезимальных операторов. Установлено существование r-цилиндричных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей для линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. Разработан метод построения базиса первых интегралов квадратичной якобиевой линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве. Полученные результаты позволили получить ряд новых подходов для изучения аналитических характеристик линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.

16

РЭЗЮМЭ Буслюк Дзмггрый Вштарав1ч

1нтэгралы i апошшя множшк1 дыферэнцыяльных астэм урауненняу у частковых вытворных

Ключапыя словы: дыферэнцыяльная астэма урауненняу у частковых вытворных, першыя штэгралы, частковыя вытворныя, апошшя множнш Якоб!, шфпптэз1мальныя аператары.

Аб'ект даследвання — штэгралы i апошшя множшк1 дыферэнцыяльных cicT3M урауненняу у частковых вытворных. Мэтай работы з'яуляец-ца даследаванне анал1тычных уласщвасцяу ¡нтэгралау i anouraix множ-niicay для лшейнай аднароднай дыферэпцыяльпай астэмы урауненняу у частковых вытворных. У рабоце выкарыстоувалася метадалогчя да-следавання уласщвасцяу лшейных аднародных дыферэнцыяльных астэм урауненняу у частковых вытворных на аснове частковых i першых ¡нтэгралау, ацошшх множшкау Якоб!, шфшггэз1мальных анератарау. Установлена ¡снаванне r-цылшдрычных частковых ¡нтэгралау, першых ¡нтэгралау i anoiiiiiix множшкау для лшейных аднародных дыферэнцыяльных астэм урауненняу у частковых вытворных. Распрацаваны метад пабудавання базка першых ¡нтэгралау квадратычнай якоб1евай лшейнай аднароднай дыферэнцыяльнай астэмы урауненняу у частковых вытворных з асабл1вым тыпам у праектыунай прасторы. Атрыманыя вышю дазволип атрымаць шэраг падыходау для вывучэння ана/птычных харак-тарыстык лшейных аднародных дыферэнцыяльных астэм урауненняу у частковых вытворных.

SUMMARY Buslyuk Dmitry Victorovich

Integrals and last Jacobi multipliers of systems of partial differential

equations

Keywords: system of partial differential equations, first integrals, partial integrals, last Jacobi multipliers, infinitesimal operator.

Object of investigation — integrals and last Jacobi multipliers of systems of partial differential equations. Investigation of analytic properties of integrals and of last multipliers for linear homogeneous system of partial differential equations is the purpose of this work. Methodology of the investigation

of properties of linear homogeneous systems of partial differential equations based on partial and first integrals, last Jacobi multipliers, infinitesimal operators, was adapted in this work. Existence of r-cylindrical partial integrals, first integrals, last Jacobi multipliers for linear homogeneous systems of partial differential equations was established. The method of the construction of first integrals basis for quadratic Jacobian linear homogeneous system of partial differential equations with singular type in projective space was developed. Obtained results made possible to obtain new approachs for the investigation of analytic characteristics of linear homogeneous systems of partial differential equations.