Построение вариационных множителей для квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0.1. Вспомогательные сведения и постановки обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ).

Введение.

Глава 1. Конструктивные построения вариационных множителей для различных типов линейных дифференциальных операторов с частными производными.

§1. Необходимые и достаточные условия существования вариационных множителей для общего линейного дифференциального оператора с частными производными второго порядка.

§2. Условия потенциальности линейного эволюционного оператора с высшими производными.

Глава 2. Конструктивные построения вариационных множителей для различных типов квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными

§1. Структура одного квазилинейного дифференциального оператора с частными производными, допускающего вариационный принцип случаи я = 2,3.).

§2. Необходимые и достаточные условия существования прямой вариационной формулировки одного квазилинейного дифференциального оператора второго порядка.

§3. Построение вариационного множителя для оператора системы эволюционных квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными.

§4. Исследование на потенциальность оператора одной системы нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными.

Глава 3. Преобразования неизвестных переменных и вариационные принципы.

§ 1. Преобразования неизвестных переменных и вариационные множители.

§2. Построение вариационного принципа для оператора уравнения типа

Кортевега - де - Фриза.

Диссертация посвящена построению вариационных множителей для квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными.

Актуальность темы диссертации Прямой вариационный метод исследования дифференциальных операторов с частными производными получил, начиная с работы Д. Гильберта [46], дальнейшее развитие и глубокое обоснование в работах C.JI. Соболева [19], С.М. Никольского [11,12], Л.Д. Кудрявцева [6] и других. Однако продолжительное время прямой вариационный метод распространялся в основном только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные, монотонные операторы. Этот период развития отражен в известных книгах С.Г. Михлина [10], М.М. Вайнберга [1] и К. Ректориса [50]. В дальнейшем в работах А.Е. Мартынюка [9], В.В. Петришина [49], А.Д. Ляшко [8], В.М Шалова [38-41], В.М. Филиппова [20-31], Э. Тонти [52-55], В.М. Савчина [14-18, 51] и других были предложены некоторые общие приемы построения вариационных принципов для задач с непотенциальными операторами.

После установления несуществования полуограниченных решений обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) в классах функционалов Эйлера - Лагранжа для простейших операторов уравнений математической физики, В.М Филипповым [25] были предложены конструктивные приемы построения полуограниченных функционалов ОЗВИ с использованием неэйлоровых классов функционалов, введены и исследованы свойства новых функциональных пространств, порожденных такими классами функционалов.

Наиболее привлекательным классом функционалов - решений ОЗВИ для дифференциальных операторов является класс функционалов Эйлера-Лагранжа. В этом случае норма соответствующего «энергетического» пространства порождает некоторое функциональное пространство Соболева, где с помощью известных теорем вложения возможно установить гладкость обобщенного решения уравнения, а с помощью результатов теории приближений получить и априорную оценку приближенного решения вариационной задачи.

Ранее было известно (Е.Т. Копсон, Г. Адлер, Ф. Балатони ) несуществование вариационных множителей для параболических операторов.

Е.Т. Копсон в [44] показал, что для широких классов линейных уравнений эллиптического и гиперболического типов п п s XаИ иОААЧ*)+ X4X)DMX) + г(х)и(х) = fix), (Л) = 1 (=1 xeQczRn; D(Ln) = C2(Q)nC'(Q)nC(Q); Diu=du/dxi =u{ существует вариационный множитель-функция ц{х) ( /л(х) * 0, х е Q ), ив классе функционалов Эйлера-Лагранжа F[u\ = jf(x,u(x),uk(x))dx найдется п функционал F[u] такой, что из равенства нулю первой вариации Гато

SF[u,h] = 0, и е D(Ln) , V/i е D(Ln) , (В) будет следовать уравнение

M(x)Ln[u]= 0, и е D(Ln), (С) эквивалентное (А). Если же (А) - параболического типа в Q, то не существует указанной функции /л(х) ив классе функционалов Эйлера -Лагранжа нет функционала, для которого из (В) следовало бы уравнение (С) или эквивалентное ему уравнение параболического типа.

В 1960 г. Ф. Балатони [43], обобщив вариационный множитель Е.Т. Копсона [44] (вместо ju(x) рассмотрел /л(х,и,их,иу)), получил аналогичные результаты для квазилинейного уравнения с частными производными.

Следует подчеркнуть, что имеются широкие классы уравнений параболического, смешанного, составного и других типов, для которых вопрос существования решений ОЗВИ либо оставался открытым, либо решался отрицательно в постановках соответствующих ОЗВИ

Под задачей построения интегральных вариационных принципов для системы уравнений некоторой заданной модели в общем случае имеют в виду построение таких функционалов, множество критических (экстремальных или стационарных ) точек которых совпадает с множеством решений исходной системы.

Как известно [28], широкое распространение и систематическое использование вариационных принципов в математике, классической механике, теоретической физике, механике сплошной среды обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок:

- в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решений исходных уравнений;

- в приложениях важной является возможность получения устойчивых приближений решений рассматриваемых уравнений так называемыми вариационными методами;

- на основе вариационных формулировок возможно получение первых интегралов уравнений эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.

Вместе с тем, все эти преимущества вариационных принципов в течении длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса так называемых потенциальных операторов. Таким образом, для уравнений с непотенциальными операторами поиск функционалов соответствующих вариационных принципов является актуальной и нетривиальной проблемой : несмотря на значительное количество работ в этом направлении за последние три десятилетия, имеется ряд проблем, в основном, в области конструктивного построения решений обратных задач вариационного исчисления для таких операторов. Многочисленные попытки и важность получения частных решений ОЗВИ привели к их различным постановкам и методом решения.

Представляет значительный интерес распространить известные результаты по ОЗВИ для линейных дифференциальных операторов с частными производными и для обыкновенных дифференциальных операторов на квазилинейные дифференциальные операторы с частными производными. Этой задаче посвящена данная диссертация.

В диссертации основное внимание уделяется непотенциальным операторам. В связи с этим решается задача о замене уравнения N(u) = О эквивалентным уравнением N(u) = MN(u) = 0, где N - потенциальный оператор, а М- искомый вариационный множитель.

Цель работы состоит в исследовании задачи существования вариационных множителей для различных типов квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными и в развитии методов их построения.

Методы исследований. В работе используются современные методы решения обратных задач вариационного исчисления, методы нелинейного функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1) получены необходимые и достаточные условия существования вариационных множителей для общего линейного дифференциального оператора с частными производными второго порядка, а также предложены конструктивные приемы их построения; 2) получены необходимые и достаточные условия существования вариационных множителей для достаточно общих квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, а также для достаточно общих линейного эволюционного и квазилинейного дифференциальных операторов с частными производными более высоких порядков; 3) получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданного в матричном виде дифференциального оператора и получена система уравнений для нахождения в матричном виде вариационного множителя; 4) даны конструктивные построения вариационных множителей в операторном виде для ряда квазилинейных непотенциальных операторов ; 5) в терминах необходимых и достаточных условий установлена структура достаточно общего квазилинейного дифференциального оператора с частными производными второго порядка, допускающего вариационные формулировки; 6) получил развитие метод построения вариационных множителей для непотенциальных квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными, основанный на применении преобразований неизвестных переменных. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы рядом конкретных примеров.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при исследовании потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых квазилинейными дифференциальными операторами.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде теорем и строго доказаны.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах Филиппову В.М. принадлежат постановки задач.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались :

- на научном семинаре "Вариационные принципы и методы в математике и естествознании" кафедры математического анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов под руководством профессоров В.М Филиппова и В.М. Савчина ;

- на XXXIV-XXXVIII научных конференциях Российского университета дружбы народов (Москва, 1997- 2002 г.г.);

- на первой международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования », посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева ( Москва, 1998 г.).

- на второй международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования », посвященной 80-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева ( Москва, 2003 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации -105 страниц, список литературы включает 56 наименований.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- получены необходимые и достаточные условия существования вариационных множителей для общего линейного дифференциального оператора с частными производными второго порядка, а также предложены конструктивные приемы их построения;

- получены необходимые и достаточные условия существования вариационных множителей для достаточно общих квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, а также для достаточно общих линейного эволюционного и квазилинейного дифференциальных операторов с частными производными более высоких порядков;

- получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданного в матричном виде дифференциального оператора и получена система уравнений для нахождения в матричном виде вариационного множителя;

- даны конструктивные построения вариационных множителей в операторном виде для ряда квазилинейных непотенциальных операторов ;

- в терминах необходимых и достаточных условий установлена структура достаточно общего квазилинейного дифференциального оператора с частными производными второго порядка, допускающего вариационные формулировки;

- получил развитие метод построения вариационных множителей для непотенциальных квазилинейных дифференциальных операторов с частными производными, основанный на применении преобразований неизвестных переменных;

- полученные теоретические результаты проиллюстрированы рядом конкретных примеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов .- М.: Гостехиздат, 1956.-334с.

2. Л. Д. Кудрявцева. Тезисы докладов -М.: Физматлит, 2003 С. 152.

3. Заштатный В.И. О построении плотности функции Лагранжа по заданной системе уравнений с частными производными второго порядка // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. - С. 535-539 .

4. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. Мат. института АН СССР. 1959. -Т.55.- С.1-181.

5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. -Т.1.- 476 с. Т.2.-544 с.

6. Ляшко А.Д. О вариационном методе для нелинейных операторных уравнений//Уч. Записки Казанск. ун-та. 1965.-Т.125, №.2.- С.95-101.

7. Мартынюк А.Е. О некотором обобщении вариационного метода // Докл. АН СССР. 1957. - Т.117, N3. - С. 374-377.

8. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике .- М.: Наука, 1970. 512с.

9. Никольский С.М. К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным методом // Докл. АН СССР.-1953.-Т.38, № 3.- С. 403-411.

10. Никольский С.М. Вариационная задача II Мат. сб.- 1965.- Т.62 , N. 1.- С.53-75.

11. П.Няшин Ю.И. О вариационной формулировке нестационарной задачи теплопроводности // Сб. науч. тр. Пермского политехи. ин-та.-1974. -N.152. -С. 3-8.

12. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991. - 237 с.

13. Савчин В.М. Критерий существования обобщенных интегральных вариационных принципов для заданных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1993,- Т.29, № 8. С. 1425-1432.

14. Савчин В.М. О структуре вариационных уравнений с симметрическим оператором // Дифференциальные уравнения. -1993.-Т.29, № 10. -С.1765-1771.

15. Савчин В.М. Построение полуограниченного функционала для краевой задачи для нелинейных нестационарных уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения . -1994.-Т.30, №.1. - С 162-168 .

16. Савчин В.М., Будочкина С.А. О структуре вариационного уравнения эволюционного типа со второй производной по t // Дифференциальные уравнения .-2003,- Т.39, № 1.-С.118-124.

17. Соболев С.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике . JL: Изд-во ЛГУ. - 1950. - 255 с.

18. Филиппов В.М. Вариационный метод решения уравнений математической физики и функциональные пространства // Дифференциальные уравнения. -1979.-Т. 15, №.11. С. 2056-2065.

19. Филиппов В.М. Функциональные пространства и их приложения к решению вариационным методом параболических уравнений // Дис. канд. физ.-мат. наук.- М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова. 1980 .-103 С.

20. Филиппов В.М. Вариационный метод решения волнового уравнения с граничными условиями на всей границе области // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: Изд- во УДН. - 1983. - С. 114119.

21. Филиппов В.М. Вариационный метод решения нелокальной краевой задачи для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М.: Изд- во УДН.- 1983. - С. 26-30.

22. Филиппов В.М. К прямому вариационному методу решения сложных краевых задач для волнового уравнения // Численные методы теоретической физики и физической химии. М.: Изд-во УДН. - 1983. - С. 84-88.

23. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. М.: Изд-во РУДН. 1985. 206 с.

24. Филиппов В.М. Квазиклассические функционалы Эйлера Лагранжа для нелинейных операторов // В сб: Аналогии гравитационных и электромагнитных полей.-М.: Изд-во УДН, - 1985.-С. 124-128.

25. Филиппов В.М. Квазиклассические решения обратных задач вариационного исчисления в неэйлеровых классах функционалов и функциональных пространств // Дис. док. физ.- мат. наук М.: МИАН СССРим. В.А. Стеклова. 1986. - 288с.

26. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике . JL: Изд-во ЛГУ. - 1950. - 255 с.

27. Филиппов В.М. Вариационный метод решения уравнений математической физики и функциональные пространства // Дифференциальные уравнения. -1979.-Т. 15, №.11. -С. 2056-2065.

28. Филиппов В.М. Функциональные пространства и их приложения к решению вариационным методом параболических уравнений // Дис. канд. физ.-мат. наук.- М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова. 1980 .-103 С.

29. Филиппов В.М. Вариационный метод решения волнового уравнения с граничными условиями на всей границе области // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: Изд- во УДН. - 1983. - С. 114119.

30. Филиппов В.М. Вариационный метод решения нелокальной краевой задачи для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М.: Изд- во УДН.- 1983. - С. 26-30.

31. Филиппов В.М. К прямому вариационному методу решения сложных краевых задач для волнового уравнения // Численные методы теоретической физики и физической химии. М.: Изд-во УДН. - 1983. - С. 84-88.

32. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. М.: Изд-во РУДН. 1985. 206 с.

33. Филиппов В.М. Квазиклассические функционалы Эйлера Лагранжа для нелинейных операторов // В сб: Аналогии гравитационных и электромагнитных полей.-М.: Изд-во УДН, - 1985.-С. 124-128.

34. Филиппов В.М. Квазиклассические решения обратных задач вариационного исчисления в неэйлеровых классах функционалов и функциональных пространствах // Дис. док. физ мат. наук.-М.: МИАН СССРим. В.А. Стеклова. 1986. - 288с.

35. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные методы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ , 1992.- Т. 40.-С.З-178.

36. Филиппов В.М. , Тищенко А.Н. Прямой вариационный метод для операторных уравнений u{k)+Cmu = f , к =1,2; meR //Дифференциальные уравнения. -1992. Т. 28, № 9. - С. 1642-1643.

37. Филиппов В.М. Обобщение вариационного принципа А. Вандербауведа // Дифференциальные уравнения.-1994.-Т.30, № 4. -С.692-698.

38. Филиппов В.М., Савчин В.М. О несуществовании полуограниченных решений обратных задач вариационного исчисления. Деп. в ВИНИТИ, №. 736.- 1987.-21 с.

39. Филиппов В.М., Гондо Яке. Конструктивные построения вариационных множителей для различных типов линейных ДУЧП // XXXIV научная конференция. 19- 22 мая 1998 г. Тезисы докладов. Математические секции. -М.: Изд во РУДН, 1998.- С 44-45 .

40. Л.Д. Кудрявцева. Труды конф. М.: Изд-во РУДН, 1998 .-Т.2.- С.172-176.

41. Шалов В.М. Некоторое обобщение пространства К.О. Фридрихса // Докл. АН СССР, 1963. Т.151, №2. - С. 292-294.

42. Шалов В.М. Решение несамосопряженных уравнений вариационным методом // Докл. АН СССР.-1963.-Т. 151, №.3. С. 511-512.

43. Шалов В.М. Вариационный метод решения несамосопряженных уравнений // Дисс. канд. физ.- мат. наук М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1964.

44. Шалов В.М. Принцип минимума квадратичного функционала для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения.- 1965. -Т.1, №.10. С. 13381365.

45. Adler G. Sulla caractterizabilita dell' equation del caloro de punto di vista del calsolo dellt variazioni // Magyar tud. Akad. Mat. Kutato int. Kozl 1957.T.2, N.3-4. - P. 153-157.

46. Balatoni F. Uber die Characterisierbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Hilfe der Yariationsrechnung // Magyar tud. akad. Mat. Kutato int.Kozl.-1960. Ser. A , B. N.l-2. S. 229-233.

47. Copson E.T. Partial differential equations and the calculus of variations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh.-1925.-V.46.-P. 126-135.

48. Filippov V.M., Mixailovna S.P., Gondo Yake. Construction of variational factors for second order partial differential equations // Computer Physics Communications. 2000. N.126. -P. 67-71.

49. Hilbert D. Uber das Dirichletsche Prinzip // Jber. Deutsh .Math.-1900 .V.8. -P.184-188.

50. Hilbert D. Uber das Dirichletsche Prinzip // Math. Ann.-1904 .-V.59.-P.161-186.

51. Nashed M.Z. The convergence of the method of steepest descents for nonlinear equations with variational or quasivariational operators // J. Math, and Mech.-1964. V.13.-P. 765-794.

52. Petryshyn W.V. Direct and iterative methods for the solution of linear operator equations in Hilbert space // Trans. Amer. Math.Soc.-1962.-V. 105.- P.136-175.

53. Rectoris K. Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering . -Prague : SNTL, 1980. 590p.

54. Savchin V.M. An operator approach to Birkhoff s equations // Вестник РУДН. Сер. Математика, 1995.-№ 2. C.l 11-123.

55. Tonti E. Variational formulation of nonlinear differential differential equations // Bull. CI. Sci. Acad. Rot. Belg.-1969.-V.55, N. 3. -P. 137-166; N. 4. P. 262-278.

56. Tonti E. On the variational formulation for linear initial value problems // Ann. Math. Pure et Appl. 1973.-V.95.- P.331-359.

57. Tonti E. A general solution of the inverse problem of calculus of variations

58. Hadronic J.-l 982. -V.5, N 4. P. 1404-1450.

59. Tonti E. Variational formulation for every nonlinear problem // Int. J. Eng. Sci.-1984.-V.22, N. 11-12. -P. 1343-1371.

60. Volterra V. Le9ons sur les fonctions de lignes.- Paris : Gautier- Villars, 1913. -230 p.