Обратные задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностных операторов с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ООЗ169155

Колесникова Ирина Анатольевна

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01 01 01 - математический анализ 01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 Ш 2008

Москва - 2008

003169155

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, академик РАО, профессор В М Филиппов доктор физико-математических наук, профессор В М Савчин

Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН,

академик Европейской академии наук Л Д Кудрявцев доктор физико-математических наук, профессор А Г Ягола Ведущая организация:

Московский государственный авиационный институт (Государственный технический университет)

Защита диссертации состоится "с 3 " и^ 2008 года в/^ч мин на заседании диссертационного совета Д 212 203 27 в Российском университете дружбы народов по адресу 117923, Москва, ул Орджоникидзе, 3, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке) Российского университета дружбы народов по адресу 117419, Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6

Автореферат разослан 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

'оссовский Л Е

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию существования и построению решений обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) для дифференциально-разностных операторов с частными производными

Актуальность темы. В последние годы активно разрабатывается проблема получения экстремальных вариационных принципов для новых классов линейных несимметричных операторов и нелинейных непотенциальных операторов Это требует построения полуограниченных функционалов - решений обратных задач вариационного исчисления и исследования соответствующих экстремальных вариационных задач

Вариационный метод исследования дифференциальных уравнений с частными производными получил, начиная с работ Д Гильберта, дальнейшее развитие и глубокое теоретическое обоснование в работах С Л Соболева, С М Никольского, Л Д Кудрявцева и других Большое значение для распространения вариационных методов в приложениях имели работы М М Вайнберга, С Г Михлина Однако разработанный прямой вариационный метод распространялся в основном только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные операторы

В работах А Е Мартынкжа, В В Петришина, В М Шалова, В М Филиппова, Э Тонти, В М Савчина и др были предложены некоторые общие подходы построения и исследования экстремальных вариационных задач для непотенциальных операторов

В плане дифференциально-разностных операторов ОЗВИ почти не рассматривались, хотя прямые задачи вариационного исчисления ставились еще ЛЭ Эльсгольцем, и получили дальнейшее развитие в работах Г А Каменского, А Л Скубачевского и др В этом плане весьма актуальными являются вопросы решения ОЗВИ для дифференциально-разностных операторов с частными производными

Как известно, решение краевых задач для дифференциально-разностных уравнений представляет значительные трудности Это связано с тем, что они имеют свои особенности

Объектом исследования являются обратные задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностных операторов с частными производными

Цель работы состоит в разработке методов построения решений ОЗВИ -вариационных принципов - для различных классов дифференциально-разностных

з

операторов с частными производными, получении условий потенциальности для дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно различных билинейных форм, разработке алгоритмов построения симметрии дифференциально-разностных уравнений с частными производными

Методы исследования. В работе используются современные методы решения обратных задач вариационного исчисления, методы нелинейного функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными

Научная новизна. В диссертационной работе получен ряд новых результатов Выделим некоторые из них

1. Получена достаточно общая классификация линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, допускающих решения ОЗВИ в различных постановках

2 Установлено несуществование вариационного множителя достаточно общего вида для заданного класса ультрапараболических операторов

3 Даны конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами

4 Получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданных нелинейных дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно классической билинейной формы и билинейной формы со сверткой

5. Получена система дифференциальных уравнений с частными производными для нахождения вариационных множителей

6. На дифференциально-разностные уравнения с частными производными распространен метод построения симметрий, основанный на операторе рекурсии

7. Найдены условия, при выполнении которых система дифференциально-разностных уравнений 2-го порядка допускает группу симметрий

8. Установлена взаимосвязь дивергентных симметрий функционалов -потенциалов дифференциально-разностных уравнений с частными производными -с первыми интегралами

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Вместе с тем ряд установленных фактов и их следствий представляют определенный интерес для приложений Результаты диссертации могут быть использованы для изучения потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых

дифференциальными и дифференциально-разностными операторами с частными производными

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде теорем и строго доказаны

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, ежегодно проводимой в Российском университете дружбы народов (1996 - 2008 г г), на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании кафедры математического анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов под руководством профессоров В М Филиппова и В М Савчина (1998 - 2001 г г), на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения под руководством профессора А А Шестакова (2001 г), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов по теории дифференциальных уравнений под руководством профессора МФ Сухинина (2002 г), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского авиационного института (ГТУ) по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессоров Г А Каменского и А Л Скубачевского (2002 г), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Российского университета дружбы народов по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А Л Скубачевского (2006 г), на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством профессоров А Б Бакушинского, А В Тихонравова и А Г Яголы (2007 г), на объединенном научном семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов под руководством профессора А Л Скубачевского и по функциональному анализу кафедры математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов под руководством профессора В Д Степанова (2008 г)

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[16]

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом В

совместно опубликованных работах В M Филиппову и В M Савчину принадлежат постановки задач, другим соавторам - решения ряда технических вопросов

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав В конце диссертации приводится список литературы из 109 наименований Диссертация изложена на 124 страницах

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении кратко излагается история рассматриваемого вопроса и современное состояние проблем, исследуемых в диссертации Приводится обоснование актуальности темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и дается краткое содержание работы

В главе 1 исследуется существование решений обратных задач вариационного исчисления для одного достаточно общего класса дифференциальных операторов с частными производными Доказано, что для некоторых непотенциальных дифференциальных операторов второго порядка существуют вариационные множители и получены формулы для их построения

В параграфе 1 1 рассматриваются основные современные постановки ОЗВИ и изложены необходимые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными Пусть задан оператор N уравнения

N(u) = v, ие D(N) С U,ve R{N) Ç V, (1 1)

где U, V - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел R , D(N) - область определения, a R(N) - область значений оператора N Предположим, что на V х U определена невырожденная билинейная форма

< , > V xU -+ R (12)

Определение 1. Если для некоторого элемента и € D(N) и для h 6 U существует

е->0 £

который является линейным выражением по h , 6N{u,h) = N'uh, то линейный оператор N^ называется производной Гато оператора N в точке и

Определение 2 Оператор N D(N) С U —* V называется потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы (12), если существует дифференцируемый по Гато функционал F/v[u] D(F^) = D(N) —» R такой, что

ади,Л] =< N(u),h > Vue D(N), V/i 6 D{N'U)

6

При этом функционал .?лг[и] называется потенциалом оператора N (1 1) В параграфе 1 2 представлен алгоритм построения вариационного множителя для заданного непотенциального дифференциального оператора с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами

В параграфе 1 3 рассматривается вопрос существования вариационных множителей для дифференциальных операторов с частными производными второго порядка ультрапараболического типа

Теорема 1.1. Для ультрапараболического оператора

т д2 71 д

дх2

°Х« 1=Ш+1

являющегося непотенциальным на D{N) = С2(П)П С(П) П С^П) относительно классической билинейной формы

<v,g>

= J v(x)g(x)dx,

не существует вариационного множителя вида М = М(х, и, и[, ип)

В параграфе 1 4 рассматриваются конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка Теорема 1 2 Если

А(х) =

то непотенциальный оператор

2а11 а12 а13

„21

2а22 а

23

,1 п

„2 п

2 а™

д2и

i=i

1,3=1 г J • !

с областью определения £>(7^) = С2(П)П ¿(П) П допускает вариационный

множитель вида

М

где

ВД =

2а11 а12 . о1-1 фг(х) аи+1 а21 2а22 а2-1 ¿¡(я) а2'+1

а'

о

,2га

Дп

а"1 а"2 а"'"1 0„(х) а"!+1 2а!

Глава 2 посвящена исследованию задачи существования вариационных принципов - решений ОЗВИ - для дифференциально-разностных операторов с частными производными Получены необходимые и достаточные условия потенциальности для заданных нелинейных дифференциально-разностных операторов с частными производными Получена переопределенная система дифференциально-разностных уравнений с частными производными для нахождения вариационного множителя

В параграфе 21 приведены необходимые определения для дальнейшего изложения, а также дан критерий потенциальности операторов

В параграфе 2 2 исследованы на потенциальность дифференциально-разностные операторы простейших задач с частными производными

В параграфе 2 3 исследована задача о существовании вариационных принципов для заданных краевых задач для дифференциально-разностных операторов с частными производными второго порядка Получены необходимые и достаточные условия потенциальности типа Гельмгольца для весьма общего нелинейного дифференциально-разностного оператора с частными производными относительно классической билинейной формы, а также относительно билинейной формы со сверткой Они являются удобными для проверки заданного оператора на потенциальность и служат основой для нахождения вариационного множителя -как решения, в общем случае, переопределенной системы уравнений с частными производными

Решается задача существования вариационных принципов - решений ОЗВИ - для заданных краевых задач для дифференциально-разностных операторов с частными производными вида

^(и) = /(1,и^)(а:,« + Ат)) = 0| (х,£) € Я = П х (io.ii), (2 2)

где О - ограниченная область вР с кусочно-гладкой границей 80.,

к = 0,1, А = -1,0,1,

> 0, а = (ai, ,am), |a| =

Е,=1Н = 0.«. «1 "<о > 2т, иГ = =

неизвестная функция

Область определения оператора N задается равенством

01«!

(3ii)"i (дхт)а™

, U -

D(N) = \ие и = C3xj(QT)

_ _

■gp = f)> (х> Í) е = п X [í0 - Г, í0], к = 0, lo,

qlu _ _

— = ip2k(x,t), (x,t) £Е2 = Пх [<i,íi + r],fc = 0,/o,

д^а дпЧ

гг

= ф„(х,Ь), I/ = 0,5O|

(2 3)

Гт = да х [í0 - Т, <1 + г], <?т = Í2 х (í0 - г, ¿1 + г)

Здесь ^>10, <(320, Фи - заданные достаточно гладкие функии, = (j = 1,2, А: = 0,/о) Числа ¿o,so зависят соответственно от l,s Если l,s— четны, то о = 5 — 1, s0 = § — 1 При нечетном I, s полагаем 10 = ^ — 1,so = ^ — 1

Теорема 2 1 Для потенциальности оператора (2 2) на множестве (2 3) тносительно билинейной формы

¡i

<v,g> = J J f(x,t)g(x,t)dxdt, (2 4)

ío ft

еобходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

df

к=0 jn|=ü

du{a){x,t + \T)/

t—*t—Xr

df

УиеО(дг), У(з:,г) е <Э = П х (МО, л = —1,0,1, и = оЛ, \Р\ = М,

де д(х,г)\1_,_т = д(х,1-т)

Теорема 2 2. Для потенциальности оператора (2 2) на множестве (2 3) тносительно билинейной формы

11

<«,<?>= J у у(х,1)Вд(х,1)с1хсИ,

¿о п

(2 5)

где Вд(х, t) = д(х, ii — t), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

i—*t—\T

df

du(p\x,t + Ar)

V(z,i) e Q = fi x (t0,ii), А = -1,0,1, Vu e D(iV), ¡/ = Щ, \ß\ = ÜTs

Отметим, чго, в частности, из (2 5) следуют известные условия потенциальности дифференциальных операторов с частными производными

В параграфе 2 4 дана одна классификация дифференциально-разностных операторов, основанная на классическом анализе сил

В Глане 3 на дифференциально-разностные уравнения с частными производными распространен метод построения симметрий, основанный на операторе рекурсии Найдены условия, при выполнении которых система дифференциально-разностных уравнений 2-го порядка допускает группу симметрий В параграфе 3 1 исследован вопрос о существовании операторов рекурсии и нахождении группы симметрий для ряда дифференциально-разностных уравнений с частными производными Доказана теорема об операторе рекурсии Получены необходимые и достаточные условия, при которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными второго порядка допускает группу симметрий

Рассматривается операторное уравнение

N{u) = 0, и € D{N) С U, (3 1)

где ii-Heip»Bec 1ная функция, D{N) - область определения оператора N D{N) С U —> V, L. V - действительные линейные нормированные пространства Пусть щ - решение (3 1), те N(uo) = О Рассмотрим оператор G, действующий на U Определение 3. Преобразование

й = и0 + eG(uo) (3 2)

называется симметрией уравнения (3 1), если для любого достаточно малого е и любого решения щ этого уравнения элемент й вида (3 2) также является решением этого уравнения, при этом G называется генератором симметрии

ю

Определение 4. (П Олвер) Если существует линейный оператор Ж такой, что для любого генератора симметрии (7 оператор 3?(? также является генератором симметрии уравнения (3 1), то 9? называется оператором рекурсии Известно, что если существуют линейные операторы 5! и й такие, что

= Ш'и (3 3)

для всех решений заданного уравнения (3 1), то К - его оператор рекурсии

Проиллюстрировано нахождение оператора рекурсии для заданного дифференциально-разностного оператора с частными производными

Теорема 3 1 Если для уравнения (3 1) операторы Э?1, Э?2 являются операторами рекурсии, удовлетворяющими (3 3), то оператор Й = К^г также является его оператором рекурсии

Рассматривается система

№ = Г{х, Ь, и(х, t + \т),щ(х,{ + \т),ик1(х,í + Ат)) = 0, (3 4)

г = 1,п, (а:,*) € П х (io.ii), «СГ,

где т > 0, х = (х1, ,хт), Л = -1,0,1, и = (и1, ип), /г (г = 1 ,п)— заданные функции Обозначим

я..г Я2п1 _

Ищется генератор симметрии вида <?(и) = {д1, ,дп), где

т+1

д'(и) = ф\х, г, и(х, í + А г)) - ^ ч>к{х, Ь, и{х, { + А т))игк (3 5)

к=1

(■I = 1,п)

Получены необходимые и достаточные условия, при которых формула (3 5) определяет генератор симметрии системы (3 4)

и

В параграфе 3 2 исследуется задача существования вариационного принципа для эволюционной задачи 1

лг(и) = ]Г Рх(е)щ(г+\т)-С}{ь,и(г+\т)) = о, и еи(лг), ¿е^Оск (3 6)

Л=-1

Здесь РА(Л = —1,0,1) - линейные операторы, в общем случае, зависящие от í Оператор С} (¿о, tl) х 11х —> \\ - произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный, £>(Л?') - область определения оператора N £)(ЛГ) С и —» V, I/ = СЧ^о-т, Щ), У = г, ¿1+т], Ц), где и^Ух - действительные линейные

нормированные пространства, 1]\ С

Зададим область определения оператора N равенством

С(ЛГ) = {и€С/ и(<) = ¥>1(*). te[t0-т,t0}, и(0 = №(«), е +

где уз,, (г =1,2) - заданные элементы из 11\ Введем билинейную форму

к

Ф (,) = !<, ><И V *и ->Ж (37)

<0

Теорема 3.2. Пусть Д* = —Д на 0(М'и) Тогда для существования прямой вариационной формулировки уравнения (3 6) на £>(ЛГ) относительно (3 7), необходимо и достаточно, чтобы Vи 6 £,(ЛГ),У£ 6 (io.ii) выполнялись следующие условия на

РА + РЛ^-лг = 0,

яр*

+ <2'и- О'Л^-Ьт = 0, Л = -1, 0, 1

Автор благодарит своих научных руководителей В М Филиппова и В М Савчина за постановки задач и внимание к работе

Публикации автора по теме диссертации

[1] Колесникова И А , Михайлова С Р, Филиппов В М Конструктивные построения вариационных множителей В И Заплатного для квазилинейных ДУЧП Тез докл XXXII научная конференция факультета физ -мат и естест наук РУДН - М РУДН, 1996 - С 12-13

[2] Колесникова И А , Гондо Я , Михайлова С Р, Филиппов В М Конструктивные построения вариационных множителей В И Заплатного для некоторых квазилинейных ДУЧП 2-го порядка Тез докл XXXIII научная конференция факультета физ -мат и естест наук РУДН - М РУДН, 1997 - С 24

[3] Колесникова И А, Филиппов В М Несуществование вариационных множителей М = М(х,и,и') для параболических ДУЧП Тез докл XXXIV научная конференция факультета физ -мат и естест наук РУДН - М РУДН, 1998 -С 45-46

[4] Колесникова И А , Гондо Я , Филиппов В М О существовании вариационных множителей для общих линейных ДУЧП второго порядка Труды международной конференции, посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л Д Кудрявцева, 1998 г - М РУДН, 1998 - Т 2 - С 172-176

[5] Колесникова И А Савчин В М О существовании вариационных принципов для некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами Тез докл XXXV научная конференция факультета физ -мат и естест наук РУДН - М РУДН, 1999 - С 16

[6] Колесникова И А Обратная задача вариационного исчисления для ДУЧП 2-го порядка с отклоняющимися аргументами Труды международной конференции "Проблемы реализации многоуровневой системы образования Наука в ВУЗах 1999 г - М РУДН, 1999 - С 341 - 342

[7] Колесникова И А О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами Межвузовский сборник трудов "Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта"

М РГОТУПС, 2000 - С 53-57

[8] Колесникова И А Об операторе рекурсии для ДУЧП с отклоняющимися аргументами Тез докл XXXVII всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин - М РУДН, 2001 - С 10-11

[9] Колесникова И А О вариационности уравнения движения круглой мембраны с отклоняющимся аргументом Тез докл XXXVIII всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин - M РУДН, 2002 - С 11

[10] Колесникова И А Об условиях потенциальности функционально-дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник РУДН, Серия Математика - 2002 - №9(1) - С 83-91

[11] Колесникова И А Построение вариационного множителя для одного дифференциально-разностного оператора с частными производными Тез докл XXXIX всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин - M РУДН, 2003 - С б

[12] Колесникова И А Построение генератора симметрии для одного дифференциально-разностного оператора с частными производными Тез докл XL всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии - M РУДН, 2004 - С 16

[13] Колесникова И А Об условиях потенциальности дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами // Дифференциальные уравнения - 2004 - Т40, №8 - С 1131 - 1132

[14] Колесникова И А Построение генератора симметрии для системы дифференциально- разностных уравнений Тез докл XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии - M РУДН, 2006 - С 7

[15] Kolesnikova I А , Popov A M , Savchin V M On variational formulations for functional differential equations // Journal of Function Spaces and Applications - 2007 -Vol 5, №1, p 89-101

[16] Колесникова И А Об условиях потенциальности дифференциально-разностных операторов Тез докл XLIII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии - M РУДН, 2007 - С 13

It

Колесникова Ирина Анатольевна Обратные задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностных операторов с частными производными"

Исследуется задача существования решении обратных задач вариационно! о исчисления для днфференцналыю-разиосгных операторов с частными производными

Поручены необходимые и достаточные условия потенциальности таки\ операторов Предложены конструктивные приемы построения вариационных множшепей Распространен метод симметрии на дифференциально-разностные уравнения с частными производными

The problem of existence of solutions of inverse problems of the calculus of variations, for partial differential difference opciators is investigated

Necessary and sufficient conditions for potentiality of such operators are obtained Methods of construction of variational multiplies are suggested Symmetries method is extended on differential difference equations with partial derivatives

Kolesmkova Irina "Inverse problems of the calculus of variations for partial differential difference operators"

Подписано в печать 1 % ОН 0% Формат 60x84/1 б Тираж/СО экз Усл. печ л. ¿?,:#73аказ ¿/¡Lii,

/

Типография Издательства РУДН 117923. ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

§0.1. Введение.

1 Построение вариационных множителей для линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами

§1.1. Постановки обратных задач вариационного исчисления

ОЗВИ).

§1.2. Метод решения обобщенных ОЗВИ

§1.3. Несуществование решений ОЗВИ для линейных ультрапараболических операторов с частными производными второго порядка.

§1.4. Конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для линейных непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка

2 Существование вариационных принципов для дифференциально-разностных операторов с частными производными

§2.1. Условие потенциальности дифференциальных операторов

§2.2. Простейшие дифференциально-разностные операторы с частными производными, допускающие вариационные принципы.

§2.3. Условия потенциальности дифференциально-разностных операторов с частными производными.

§2.4. Об одной классификации дифференциально-разностных операторов

3 Вариационность эволюционных дифференциально-разностных уравнений и симметрии

§3.1. Оператор рекурсии и симметрии заданных дифференциально-разностных уравнений.

§3.2. Вариационность эволюционных дифференциальноразностных уравнений.

Диссертация посвящена исследованию существования и построению решений обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) для дифференциально-разностных операторов. Вопросы, рассматриваемые в данной работе, тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую формулировку. Дан произвольный оператор N с отклоняющимися аргументами. Требуется найти функционал, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений задачи И(и) = 0.

Под задачей построения итегральных вариационных принципов для системы уравнений в общем случае имеют ввиду построение таких функционалов, множество критических точек которых совпадает с множеством решений исходной системы. Широкое -распространение и систематическое использование вариационных принципов обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок:

-в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решений исходных уравнений;

-в приложениях важной является возможность получения устойчивых приближений решений рассматриваемых уравнений так называемыми вариационными методами;

-на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.

Однако, все эти преимущества вариационных принципов в течение длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса потенциальных операторов.

Существует потребность в получении вариационных принципов для новых классов линейных несимметричных операторов и нелинейных непотенциальных операторов. Это требует построения функционалов -решений обратных задач вариационного исчисления - и исследования соответствующих экстремальных вариационных задач. Вместе с тем, даже для основных операторов математической физики -параболических, гиперболических и широких классов эллиптических в известных классах функционалов Эйлера-Лагранжа не существует ограниченных сверху или снизу решений ОЗВИ [78].

Прямой вариационный метод исследования дифференциальных операторов с частными производными получил, начиная с работ Д. Гильберта [89], дальнейшее развитие и глубокое теоретическое обоснование в работах С.Л. Соболева [72], С.М. Никольского [45], Л.Д. Кудрявцева [36] и других. Большое значение для распространения вариационных методов в приложениях имели работы М.М. Вайнберга [9], С.Г. Михлина [41], К. Ректориса [102]. Однако разработанный прямой вариационный метод распространялся, в основном, только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные операторы.

В работах А.Е. Мартынюка [40], В.В. Петришина [101], В.М. Шалова [80], В.М. Филиппова [75, 78], Э. Тонти [107], В.М. Савчииа [59, 78, 105] были предложены некоторые общие подходы построения и исследования экстремальных вариационных задач для непотенциальных операторов.

К ОЗВИ привела, в частности, разработка вариационных методов решения линейных уравнений с В-симметрическими и В-положительными операторами и их обобщения на нелинейные уравнения с непотенциальными операторами. Наряду с другими результатами, исследования в этой области показали необходимость изучения классов функционалов, не являющихся функционалами Эйлера-Лагранжа.

В исследованиях по классической ОЗВИ можно выделить две ветви, которые на протяжение длительного периода развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца [90], который нашел необходимые условия представления обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в виде уравнений Эйлера-Лагранжа. Достаточность этих условий была независимо доказана А. Майером [100] и Г.К. Сусловым [73]. Данные условия и некоторые другие эквивалентные формы этих условий в современной литературе принято называть условиями потенциальности Гельмголъца. В случае их невыполнения было предложено рассматривать задачу об отыскании вариационных интегрирующих множителей, с помощью которых можно построить эквивалентные уравнения, допускающие представление в виде уравнений Лагранжа.

Аналогичная задача рассматривалась и для дифференциальных операторов с частными производными. В этом направлении Е.Т. Копсон [87] доказал, что для линейного дифференциального оператора с частными производными параболического типа не существует искомого вариационного интегрирующего множителя, зависящего лишь от независимых переменных. Следует подчеркнуть, что поиск решений соответствующих ОЗВИ велся только в рамках классов функционалов Эйлера-Лагранжа.

Начало второй ветви было положено В. Вольтерра [109] и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.

В настоящее время известны различные подходы к исследованию операторов на потенциальность, основанные на алгебраических и геометрических методах (см., например, [6], [10], [41]).

В плане дифференциально-разностных операторов ОЗВИ почти не рассматривались, хотя прямые задачи вариационного исчисления с одним аргументом ставились еще Л.Э. Эльсгольцем [82] - [85] и получили дальнейшее развитие в работах Г.А. Каменского [15] -[17], [93, 94], А.Л. Скубачевского [70, 71, 106] и др. В этом направлении анализировались различные разделы теории обыкновенных дифференциальных операторов, выясняя, в какой форме соответствующие результаты переносятся на теорию дифференциальных операторов с отклоняющимися аргументами, какие принципиально новые свойства возникают при таком перенесении.

Под обыкновенным дифференциально-разностным уравнением понимается [3] уравнение относительно неизвестной функции и ее производной, вычисленное при некоторых значениях аргумента, отличающихся на постоянные. Например, и"^) - и (г - 1) + и(г) = 0.

Общее обыкновенное дифференциально-разностное уравнение имеет вид

- Шх), - шт),и(г),и{Ь - о^),., и{1 - - ал), - ит)] = 0, где .Р -^заданная функция от 1 +(т + 1)(п + 1) переменных.

В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями с отклоняющимися аргументами, уравнениями с последействием.

Линейные дифференциально-разностные уравнения первого порядка делятся на три вида [82]:

1) уравнения с запаздывающим аргументом;

2) уравнения нейтрального типа;

3) уравнения опережающего типа.

В приложениях наиболее часто встречаются уравнения с запаздывающим аргументом, реже - уравнения нейтрального типа. Прикладных задач, сводящихся к уравнениям опережающего типа известно пока совсем немного. Это обусловлено тем, что методы решения для уравнений с запаздывающим аргументом или нейтрального типа не подходят для таких уравнений. Например, метод шагов, он так же применим к уравнениям опережающего типа, но вообще говоря, эти уравнения теряют запас гладкости, который имела начальная функция, и через некоторое число шагов решение может даже не существовать. Метод преобразования Лапласа (метод последовательного интегрирования, экспоненциальные оценки) непригоден для уравнений опережающего типа. В общем случае, решения не имеют экспоненциального порядка роста, и поэтому интегралы Лапласа будут расходящимися.

В ряде случаев предположение о том, что отклонение постоянно, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. Следует отметить, что подстановка = —£ превращает уравнение запаздывающего типа по t в уравнение опережающего типа по и обратно и превращает уравнение нейтрального типа в другое уравнение нейтрального типа. Уравнения запаздывающего тина в некоторых отношениях проще' уравнений нейтрального или опережающего типа.

В самых разнообразных областях науки часто встречаются системы с запаздывающими связями, динамические процессы, которые описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.

Как известно, дифференциально-разностные уравнения возникают в теории колебаний, при изучении процессов в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, биологии и экологии. Например, клапан в двигателе Дизеля поднимается под действием давления газа, сжимаемого поршнем. Легче описать движение клапана, введя запаздывание по времени в уравнение движения клапана, чем пытаться решить полностью задачу о движении клапана и течении газа в цилиндре [48].

Уравнение у" (г) + 2гу'{Ь) + + - 1) = еу12(г - 1), где г,д,ш,е - постоянные и е мало, исследовал Минорский Н. в связи с теорией самовозбуждающихся колебаний в системах стабилизации судов.

Ранее Горелик Г.С. вывел подобное уравнение при изучении влияния времени пролета электронов в электронных лампах. Своеобразный класс экологических задач порождает теория эпидемий. Введение запаздывания в дифференциальные уравнения, описывающие какойлибо биологический процесс, является естественным математическим приемом [40]. Для модели с запаздыванием х' = Ъх{1—Ь)у{1—К) — сх, у' = сх — Ъху, г' — Ь[ху — х(Ь — К)у{Ь — Н)} с условием х + у + г = 1 и г интегральным ограничением х+у = —а — Ь / хуйв^а > 0 выражающим г наличие инкубационного периода, показано, что решение при ^ —оо стремится к постоянной.

Параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [69]. Квазилинейныепараболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи. Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

С помощью дифференциально-разностных уравнений можно рассмотреть задачу о распространении тепла в системе материальных точек с термальными связями [16]. Также данные уравнения описывают нестационарное течение идеальной жидкости со свободной поверхностью [81]. В частности, путем прямого численного моделирования было рассмотрено возникновение интересного (и сложного) океанологического явления "волны-убийцы". "Волны-убийцы"могут возникать в следствии нелинейных эффектов в уравнениях, описывающих течение идеальной жидкости со свободной поверхностью.

В 1996 г. в докладе [96] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) было предложено следующее определение: Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ, для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов.

Таким образом, "смешанность" уравнения состоит в противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, - ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и уравнениями математической физики.

Среди основных направлений и исследований дифференциально-разностных уравнений следует отметить:

1) прямые вариационные задачи;

2) теорию линейных уравнений;

3) теоремы существования и приближенные методы;

4) теорию устойчивости;

5) исследование периодических решений и др.

При решении задач вариационными методами возникает необходимость построения функционалов, критические точки которых совпадают с решениями исходных уравнений. Исследование проблемы построения искомых функционалов начинается с проверки выполнения условий потенциальности соответствующих операторов. Для обыкновенных дифференциальных уравнений имеются эффективные методы, позволяющие проверять потенциальность соответствующих операторов [78].

Для уравнений с непотенциальиыми операторами поиск функционалов соответствующих вариационных принципов является актуальной и нетривиальной проблемой. Несмотря на значительное количество работ в этом направлении, имеется ряд проблем, в основном, в области конструктивного построения решений обратных задач вариационного исчисления для таких операторов.

Актуальными являются задачи решения ОЗВИ для дифференциально-разностных операторов с частными производными. Такая задача была впервые сформулирована в работе [63].

Попов A.M. [50] получил условия потенциальности дифференциально-разностных операторов второго порядка нейтрального типа. Для систем дифференциально-разностных уравнений n-го порядка нейтрального типа в работе [51] получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно классической билинейной формы. Полученные результаты • применяются к квазилинейным системам первого порядка.

Исследования в области дифференциально-разностных операторов, в настоящее время привлекает к себе все большее внимание (см., например, работы [1], [7], [11], [18],[52], [65], [71], [79], [86], [97]).

Решение задач с дифференциально-разностными операторами представляет специфические трудности, так как сами постановки задач отличаются от соответствующих постановок задач для обыкновенных дифференциальных операторов.

Значительный интерес представляет распространение результатов, полученных по ОЗВИ для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными на дифференциально-разностные операторы с частными производными.

Основная цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения решений ОЗВИ - вариационных принципов -для различных классов дифференциально-разностных операторов с частными производными; получении условий потенциальности для дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно различных билинейных форм; разработке алгоритмов построения симметрий дифференциально-разностных уравнений с частными производными.

Диссертация носит теоретический характер. Вместе с тем ряд установленных фактов и их следствий представляют определенный интерес для приложений. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными операторами с частными производными.

По теме диссертации опубликовано 16 работ автора.

В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах В.М. Филиппову и В.М. Савчину принадлежат постановки задач, другим соавторам - решения ряда технических вопросов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 109 наименований.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации и выводы.

1. Получена достаточно общая классификация линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, допускающих решения ОЗВИ в различных постановках.

2. Установлено несуществование вариационного множителя достаточно общего вида для заданного класса ультрапараболических операторов.

3. Даны конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами.

4. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданных нелинейных дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно классической билинейной формы и билинейной формы со сверткой.

5. Получена система дифференциальных уравнений с частными производными для нахождения вариационных множителей.

6. На дифференциально-разностные уравнения с частными производными распространен метод построения симметрий, основанный на операторе рекурсии.

7. Найдены условия, при выполнении которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными 2-го порядка допускает группу симметрий.

8. Получены необходимые и достаточные условия вариационности операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения.

1. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет J1.E. Управление системами с последействием. - М., 1992. - 342 с.

2. Андреева Е.А., Пустарнакова Ю.А. Оптимизация нейронной сети с запаздыванием. 4.1. // Применение функционального анализа в теории приближений. Сб. науч. тр. Тверь: ТвГУ. - 2000. - С. 14 -30.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548 с.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды Проблемы механики твердого деформированного тела. М.: Наука, 1983.- 447 с.

5. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. M.-JL: Гостехиздат, 1941. - 320 с.

6. Боголюбов H.H., Прикарпатский А.К. Полная интегрируемость нелинейной системы Ито и Бени-Каупа // Теоретическая и математическая физика. 1986. - 67, № 3. - С. 84 - 86

7. Брусин В.А. Решение задачи об абсолютной стабилизации систем с запаздыванием в классе конечномерных регуляторов // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т.39, №11. - С. 1457 - 1466.

8. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М., 2004. 288 с.

9. Вайнберг M. M. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

10. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.- 228 с.

11. Гребенщиков Б.Г.} Клечин Ю.И. Об устойчивости одной однородной нестационарной системы с линейным запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т.39, №12. - С. 1600 - 1604.

12. Долгий Ю.Ф. Характеристика уравнений в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Известия Уральского государственного университета. Серия математика и механика. -1998. №10(1). - С. 34 - 43.

13. Заплатный В. И. О построении плотности функции Лагранжа по заданной системе уравнений с частными производными ~ второго порядка // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. - №2. - С. 535 - 539.

14. Зорин В.А. Математический анализ в 2-х частях. М: МЦНМО, 2002. - 1458 с.

15. Иванова Е.П., Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи для дифференциально- разностных уравнений. М: МАИ, 1993. - 44 с.

16. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом. // Докл. АН СССР. 1958. - Т.120, №4. - С. 697 - 700.

17. Каменский Г.А. О вариационном методе решения краевых задач для одного вида линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Дифференциальные уравнения. -1977. Т.13, №7. - С. 1185 - 1191.

18. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление по временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием

19. Н—Материалы международной— межвузовской конференции "Современные проблемы электроники СВЧ". Саратов. - 2001. - С. 84 - 86.

20. Колесникова И.А., Михайлова С.Р., Филиппов В.М. Конструктивные построения вариационных множителей В.И.Заплатного для квазилинейных ДУЧП: Тез. докл. XXXII научная конференция факультета физ.-мат. и естест. наук РУДН. -М.: РУДН, 1996. С. 12 - 13.

21. Колесникова И.А., Филиппов В.М. Несуществование вариационных множителей М = М(х, и, и') для параболических ДУЧП: Тез. докл. XXXIV научная конференция факультета физ.-мат. и естест. наук РУДН. М.: РУДН, 1998. - С. 45 - 46.

22. Колесникова И.А. Савчин В.М. О существовании вариационных принципов для некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами: Тез. докл. XXXV научная конференция факультета физ.-мат. и естест. наук РУДН. М.: РУДН, 1999. - С. 16.

23. Колесникова И.А. О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами: Межвузовский сборник трудов "Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта". М.:Р ГОТУПС, 2000. - С. 53 - 57.

24. Колесникова И.А. Об условиях потенциальности функционально-дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник РУДН, Серия Математика. 2002. - №9(1). - С. 83 - 91.

25. Колесникова И.А. Построение генератора симметрии для одного дифференциально-разностного оператора с частнымипроизводными:-Тез. докл. XL всероссийская^наунная^конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии. М.: РУДН, 2004. - С. 16.

26. Колесникова И.А. Об условиях потенциальности дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами // Дифференциальные уравнения. -2004. Т.40, №8. - С.1131 - 1132.

27. Колесникова И.А. Построение генератора симметрии для системы дифференциально- разностных уравнений: Тез. докл. XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2006. - С. 7.

28. Колесникова И.А. Об условиях потенциальности дифференциально-разностных -операторов : Тез. докл. XLIII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2007. - С. 13.

29. Колесов А.Ю. Применение техники релаксационных колебаний к одной системе дифференциально-разностных уравнений из экологии // Математический сборник. 1994. - Т. 185, №1 - С. 95 - 106.

30. Колмоновский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование / / Соросовский образовательный журнал, Математика. 1996. - №4. - С. 122 - 127.

31. Кудрявцев Л Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области определения // Докл. АН СССР. 1956. - Т.108, Ж. - С. 16- 19.

32. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений: Тр. МИАН СССР, 1959. Т. 55. - С.1 - 181.

33. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- M.-JL: Гостехиздат, 1951. Т.1 - 476 е., Т.2 - 544 с.

34. Линчук JI.B. Симметрии функционально-дифференциальных уравнений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. С.-Петербург, 2001. 111 с.

35. Мартынюк А. Е. О некотором обобщении вариационного метода // Докл. АН СССР. 1957. -Т.117, №3. - С.374 - 377.

36. Михлии С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

37. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. -Т.З . - С.5-120.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 528 с.

39. Негпер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики, под ред. Полака Л .С. М.: Физматгиз. - 1959.- С. 611 630.

40. Никольский С.М. К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным методом // Докл. АН СССР. 1953. - Т.38, №3. - С. 409 - 411.

41. Няшин Ю.И. О вариационной формулировке нестацжжарной задачи теплопроводности: Сб. науч. тр. Пермского политехнического института. Пермь: ППИ, 1974. - №152. - С. 3 - 8.

42. О леер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1980. 639 с.

43. Пинии Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Из-во иностранной литературы, 1961. - 249 с.

44. Подъяполъский В.В., Скубачевский А. Л. Спектральная ассимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35, №6. -С.793 - 800.

45. Попов A.M. Условия потенциальности дифференциально-разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. -Т.34, №3. - С. 422- 424.

46. Попов A.M. Условия потенциальности Гельмгольца для систем дифференциально-разностных уравнений // Математические заметки. 1998. - Т.64, №3. - С.437-442.

47. Попов А.М. О потенциальности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом относительно билинейной формы со сверткой: Тез. докл. ХЬ всероссийская научная конференция но проблемам математики, информатики, физики, химии. М.: РУДН, 2004. - С. 18.

48. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления // Журнал Института математики АН УССР. 1937. - №4. - С. 35 -40.

49. Рубапик В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Мир, 1969. 231 с.

50. Рыбакова Н.Г. Построение вариационного принципа для-системы-- -уравнений типа Ито: Выпускная работа. М.: РУДН, 1997. - 46 с.

51. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальпых систем. М.: УДН, 1991. - 237 с.

52. Савчин В.М. Критерий существования обобщенных интегральных вариационных принципов для заданных уравнений / / Дифференциальные уравнения. 1993. - Т.29, №8. - С. 1425 -1432.

53. Савчин В.М. О структуре вариационных уравнений с симметрическим оператором ^ // Дифференциальные уравнения.- 1993. Т.29, №10. - С.1765 - 1771.

54. Савчин В.М. Построение полуограниченного функционала для краевой задачи для нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.ЗО, №1. - С.162- 168.

55. Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами: Тез. докл. XXXII научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. М.: РУДН, 1996. - С. 25.

56. Савчин В.М. Вариационный принцип Якоби для одной задачи теории волы: Тез. докл. XXXIII научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. М.: РУДН, 1997. -С. 87.

57. Савчин В.М. Симметрии ДУЧП с отклоняющимися аргументами: Тез. докл. XXXVII всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М.: РУДН, 2001. -С. 7.

58. Савчин В.М. О потенциальности эволюционных операторов первого порядка по времени с отклоняющимися аргументами: Тез.докл. ХЬ всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии. М.: РУДН, 2004. - С. 18.

59. Свирео/сев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978. - 350 с.

60. Силицкий А. М. Третья краевая задача для параболического дифференциально- разностного уравнения / / Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. - Т.21. -С. 114 - 132.

61. Скубачевский А. Л., Шамип Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально- разностного уравнения // Математические заметки. 1999. - Т.66, №1. - С. 145 - 153.

62. Скубачевский А.Л., Шамип Р. В. Параболические дифференциально-разностные уравнения второго порядка / / Докл. РАН. 2001. - Т.379, №5. - С.735 - 738.

63. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 333 с.

64. Суслов Г.К. О кинетическом потенциале Гельмгольца // Математический сборник. 1896. - Т.19, №1. - С. 197 - 210.

65. Филиппов В.М. Вариационный метод решения уравнений математической физики и функциональные пространства / / Дифференциальные уравнения. 1979: - Т.15, №11. - С. 2056- 2065.-

66. Филиппов В.М. Функциональные пространства и их приложения к решению вариационным методом параболических уравнений: Дисс.канд. физ. мат. наук. М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1980. - 103 с.

67. Филиппов В.М. К прямому вариационному методу решения сложных краевых задач для волнового уравнения // Численные методы теоретической физики и физической химии. М.: УДН. -1983. - С. 84 - 88.

68. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. М.: УДН, 1985. - 206 с.

69. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения М.: ВИНИТИ, 1992. - 180 с.

70. Харатишвили Г.JI., Тадумадзе Т.А. О корректности задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с переменными запаздываниями // Дифференциальные уравнения. 2004. - 40, №3.- С. 338 345.

71. Шалое В.М. Вариационный метод решения несамосопряженных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1964. 175 с.

72. Шамин Р. В. К вопросу об оценке времени существования решений системы Коши-Ковалевской с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью / / Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. - Т.21. - С. 133-148.

73. Эльсголъц Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1962. - Т. 1. - С. 3 - 20.

74. Эльсголъц Л.Э. Периодические решения квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: Труды III Всесоюзн. математ. съезда, 1956. М.: АН СССР, 1959. -143 с.

75. Эльсголъц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. - 128 с.

76. Эльсголъц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: Наука, 1971. 296 с.

77. Bezruchko В.P., Seleznev Е.Р., Ponomorenko V.l., Prokhorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V., Karavaev A.S. Specialapproches to global reconstruction of equations from time series // Известия ВУЗов. 2002. - T.10, №3. - С. 137 - 157.

78. Copson E. T. Partial differential equations and the calculus of variations // Proc. Rog. Soc. Edinb, A. 1925-26. - V.46. - P. 126 - 135.

79. Hale J. Theory of Functional Differential Equations. М,:Мир, 1984. -421 с.

80. Hilbert D. Ueber das Dirichletsche Prinzip // Jber. Deutsch. Math. -1900. 8. - S. 184 - 188.

81. Helmholttz H. Ueber die phisikalischt Bedeutung des Prinzips der klieg-sten Wirkung // J.Reien und Andew. Math. 1887. - Bd.100. - S. 137 -166.

82. Hirsch A. Ueber eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgte-ichungen Variationsrechnung // Math. Ann. 1897. - 49. - S. 49 - 72.

83. Hughes D.K. Variational and optimal control problem with delayed arguments // Journal Optimization Theory Appl. 1968. - Vol.2. - P. 1 -14.

84. Kamenskii G.A. Boundary value problems for differential-difference equations arising from variational problems // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1992. - Vol.18, №8. - P. 801 - 813.

85. Kamenskii G.A., Myshkis A.D. One the mixed functional differentional equations // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. -1997. Vol.30, №5. - P. 2577 - 2584.

86. Kamenskii G.A., Myshkis A.D. Periodic solution of linear inhomoge-neous mixed functional differentional equations // Functional differential equations. 1997. - Vol.4, №1-2. - P. 81 - 90.

87. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. On the mixed type functional differential equations // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications.- 1997. Vol.30, № 5. - C. 2577-2584

88. Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series //NDES, Delft, The Netherlands. 2001. - P. 101 - 104.

89. I.A.Kolesnikova, A.M.Popov, V.M.Savchin On variational formulations for functional differential equations // Journal of Function Spaces and Applications. 2007. - Vol.5, №1, P. 89-101.

90. Kupershmidt B.A. Mathematics of dispersive waves // Comm. Math. Phys. 1985. - V.99. - P. 51 - 73.

91. Mayer A. Die existenzbegingungen eines kinetischen potentials. //Ber. Verhand. Kgl. sachs. Ges. Wiss.'Leipzig. 1896. - 48."- S. 519-529.-----

92. Petrishin W. V. Direct and iterative methods for the solution of linear operator equations in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. 1962.- 105. P. 136 - 175.

93. Pectoris R. On application of direct variational methods to the solution of parabolic boundary value problems of arbitrary order in the space variable. // Czech. Math. J. 1971. - P. 318 - 339.

94. Sabbagh L.D. Variational problems with lags //Journal Optimization Theory Appl. 1969. - Vol.3. - P. 34 - 51.

95. Santilli R.M. Foundations of Theoretical Mechanics 1. The Inverse Problem in Newtonian Mechanics. New York - Berlin: - Springer Verlag, 1978. - 370 p.

96. Savchin V.M. An operator approach to Birkhoff's equation// Вестник РУДН, Серия Математика. 1995. - №2(2). - С. Ill - 123.

97. Skubachevskii A.L., Shamin R.V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation // Functional Differential Equations. 2001. - Vol.8, №3-4. - P. 407 - 424.

98. Tonti E. On the variational formulation for linear initial value problems // Ann. Math. Pura Appl. 1970. - Vol.95. - P. 331 - 360.

99. Tonti E. A general solution of the inverse problem of the calculus of variations // Hadronic Journal. 1982. - Vol.5, №4. - P. 1404 - 1450.

100. Volterra V. Leçons sur les Fonctions de Lignes. Paris: Gautier-Villars, 1913. - 230 p.