Обратные задачи вариационного исчисления и уравнения с вариационными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

2 1 ДНК £33

На правах рукописи

Задорожний Валерий Григорьевич

Обратные задачи вариационного исчисления и уравнения с вариационными производными

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1998

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Перов А.И..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Стрыгин В.В. кандидат физико-математических наук, доцент Завгородний М.Г.

Ведущая организация - Институт Математики HAH Украины

Защита состоится 22 декабря 1998 года в 15.20, ауд. 314 на заседании Диссертационного Совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского госуниверснтета

" 12» I

Автореферат разослан" Li" ноября 1998 г.

Ученый секретарь ^„t --__>—

диссертационного совета p-tСс СС—. Задорожияй В.Г.

- з -

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению дифференциальных уравнений, содержащих вариационные производные и их приложению к линейным дифференциальным уравнениям со случайными коэффициентами.

Многие процессы в теоретической физике, гидромеханике, экономике, биологии удобно описывать в виде дифференциальных уравнений, содержащих вариационные (функциональные) производные. Теория таких уравнений к настоящему времени состоит из отдельных результатов. Актуальной является развитие техники интегрирования таких уравнений, выявление типов уравнений, встречающихся в приложениях и их анализ.

Широко известная задача вариационного исчисления

является простейшим дифференциальным уравнением в вариационных производных. Несмотря на то, что имеются необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи, их применение связано с большими трудностями, поэтому актуальна задача получения более удобных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и нахождения формул вычисления функционала этой задачи.

Цель работы. Получение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциальных выражений второго порядка от функций, зависящих от трех независимых переменных.

Изучение вполне разрешимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка в вариационных производных.

Разработка метода нахождения математического ожидания линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве с ограниченным оператором и случайными

коэффициентами.

Теоретическая и практическая значимость. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и формула вычисления функционала для такой задачи имеют удобный вид для применения.

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка в вариационных производных получены условия полной разрешимости и получена формула для решения задачи Коши.

Получены формулы для нахождения решений линейной задачи Кош уравнения в банаховом пространстве, которые позволяют находить математическое ожидание решений линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.

Апробация работа. Результаты работы докладывались на кафедре нелинейных колебаний Воронежского госуниверситета, на двадцать шестой Воронежской зимней математической школе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 61.

Структура и об'ем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы из 59 наименований. Об'ем диссертации 106 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации.

В 'первой главе развивается техника вариационного дифференцирования и вариационного интегрирования.

Пусть С - комплексная плоскость, К71-вещественное тг-мерное простанство векторов, Ф с ¡^-ограниченная область в К11, К - банахово пространство функций х: С -*■ К с нормой | • | и а. - подпространство в X.

ОщЬе деление. Если для фунщгюнша у: (Б С приращение у(х+1х)-у(х) люжно записать в виде

у(х+1г)-у(х) = + ш(х,1г), V вди где интеграл

(Б

принимается в смысле Лебега, ср: Ж * (Б -*■ С, причем

£<?(х,«)к(является линейным ограниченным по К С

оператором на А. и ¡ы(х,Ь)\/1Ь1 -*■ О,

то <р(х,Н) называется Вариационной (функциональной) производной функционала у по направлению И й точке х и обозначается ву(х)/ех(1). В свою очередь функционал у(х) называется вариационным интегралом от <?(х,ь) в направлении подпространства И и

обозначается

Отметим, в частности, что для функционала Ь

У(Х) = Sf(t,x(t),x(t))dt а

на множестве функций ^ = ] удовлетворяющим условиям

х(а) = А, х(Ъ) = В, где а, Ъ, А, В, - заданные числа, вариационная производная в направлеши подпространства О. = С1 [а,Ы | Ща)=0, является левой частью

уравнения Эйлера

&У(Х) д?а,х,х) _ <3 д/а,х,х) вх(ТУ~ ох Ш сЗх

В первом параграфе доказываются теоремы о вариационном дифференцировании сложных функционалов.

Во втором параграфе приводятся необходимые и

достаточные условия существования вариационного интеграла. Получаются формулы интегрирования по частям и приводятся две теоремы об интегрировании методом замены переменной. Приведем одну из них.

Теорема 2.5. Пусть g: Ж R, /: К -»- К, х: (БR ff(u)du = у (и) + с.

og(x)

Тогда ff(g(x)) ох = y(g(x)) + С.

Третий параграф посвящен обратной задаче вариационного исчисления.

Под обратной задачей вариационного исчисления для данного дифференциального уравнения

9(x.y,z,u,ux.uy,uz.u^,u^.iixz.uyy,uyz,uzz) = О (1)

понимают задачу нахождения функционала от функции трех переменны; u(x,y,z) для которого уравнение (1) является уравнением Эйлера. На языке вариационных производных эта задача равносильна решению простейшего уравнения в вариационных производных

ти)

ШГЩГЛ = v(x.y.z,u,ux,uy,uz,u^,u^,u^,uyy,uyz,uzz).

Эта задача имеет большую историю, ее исследовали многие авторы, например, Hirsch.А., Коша А., Anderson I.M., Duchamp. Рапопорт И.М. получил необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи и представил формулу для нахождения функционала в виде независящего от выбора пути интегрирования криволинейного интеграла. В этом параграфе получены результаты в другой более удобной форме.

Теорема 3.2. Если функция <р является трижды непрерывно дифференцируемой, то для разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы <р имело вид

9 = а1 - 4у> + ^«к - 4г> + ^у^гг " иР +

а4(их^уг " ихуих2> + а5(ижиУУ ~ "¿¿V + а6(ихуи2г " ^^ +

ъ1ихг + Ь2иху + ЬЗпхг + Ъ4иуу + + Ъ6игг + V

где а^Ь^ 1 = 1,2,...,б, и Ъ? - функции, зависящие

только от переленных х,у,г,и,их,иу,^ и етомииись условия

а3их ~ °'5 а5% - °'5 а6иу = а1иг ~ °'5 а5их ~ °'5 а4иу -

а2и ~ - а6их - °>5 а4иг =

а1у + а}ииу + 0,5 а42 + 0,5 а4ии2 - Ь1и + "у 0, 5 Ч = 0,

а22 + % + °'5 а4у + °'5 а4ииу " Ч + 0, 5ЪЗих = 0,

а1х + а1иих + °'5 а5г + °'5 а5ии2 - ч, * 0, 5Ъ2иу = 0

а4х + а4иих ~0'5 а5у ~ °'5 а5ииу ~0'5 абг ~ 5 абии2 ~

~ Ъ5и + 0,5 Ь^ + 0,5 Ь2и = О, х у

* а2и.их + °'5 абу + абииу * °'5 Ъ3и2 ~ Ь6и = а32 + а3ии2 + 0,5 а^ + 0,5 а5иих - Ь^ + 0,5 Ъ^ = 0,

Озу + а3ииу + а6* + °'5 а6иих - Ъбиу + °'5 Ъ5и2 = а5,. ^ а5паи - 0,5 а4х - 0,5 аА - 0,5 аб2 - 0,5 а6ии2 -

- а

" Ъ3иу + °'5 Ъ2иг + °>5 Ь5их =

Ъ7их ~ Ъ1х ~ Ъ1иих ~ °'5 Ь2у ~ °'5 Ь2и иу ~ °'5 Ъ3г ~ ~ °>5 ъ3ииг =

Ь7и,, ~ Ь4у ~ Ь4ииу ~ °'5 Ъ2Х ~ °>5 Ь2и их ~ °'5 Ъ5г ~

¿7

-0,5 Ь5уа2 = О,

Ъ7иг ~ Ъ62 ~ Ь6ииг ~ °'5 Ь3х ~ °'5 Ъ3и их ~ °'5 Ъ5у ~ ~0'5 ъ5ииу =

Из этой теоремы в одномерном случае получается такой результат.

Теорема 3.3.Пусть (х интервал в Е и функция. <?(х,и,и^и^) трижды непрерывно дифференцируема, тогда для

разрешимости, обратной задачи вариационного исчисления для уравнения <р = О необходимо и достаточно, чтобы <р имело вид чр = ЪСх.и.и^и^ + Ъ7(х,и,их) и выполнялось условие Ь7их - Ь1х * ЬЫих =

Нахождение функционала обратной задачи сложная задача. В четвертом параграфе получена формула для его вычисления в случае отсутствия нелинейных относительно старших производных членов.

Теорема 4.1. Пусть выполнены, необходите и достаточные

условия теореш. 3.2, примем а1 =а2= ... =аб-0. Тогда

функционал 9) б обратной задаче вариационного исчисления для уравнения <р = 0 ложно найти в виде

Ч)(и) = / -р(х,у,г,и,их,Ьу,иг)й1, (4.1)

где функция В вычисляется по формуле

иу иг их

Р Та

и/У ^

- 2X " 2 X Ъ5(а5^7ту + 2 X Ъ2(94'а5'17ту +

их иу их

+ х ихЬ^94,17тх + X Ъ4(а4)иувиу + | X ъ2(б4'?6>~<7тх +

"х

т у а

ихиу игиу иу

+ 2 X X Ь2(ъ4,-г7)бпу(Шх+ ¿XX + Ъ X Ъ5(о4,у7)а1у

ар Т Р Р

и и2 и иу и их

I х X а^ь -1X X - X X ъ^у^ауы -

9 7 Х В |3 в а

UZ UT u ur I

^ г T y

2*X [b3 - Wj^z - ux X W^x - x x W" "

7 а ар

U UX U U2 Uy

2 X X b^c^.j^du^ai - p X X bgyiPeWiP1 ~uyS ^y

В а б у P

u U2 u UT u uy

- X X v2^ - 2 x X -¿XX %2ia5>T7;duydti

3 7 5 a 5 p

Uz u

- UZJ bgdiiz + J- iy^.

т e

В случае одного и двух независимых переменных все значительно упрощается.

Теорема 5.2. Если выполнены, условия теоремы. 3.3, тогда существует вариационный интеграл от у, причем

G

где функция F находится по формуле

их иих их и

Р = ~ ХХЬ^^ ~ «^П7 А + JV"'

а 6а a S

где а,а - заданные числа.

Вторая глава посвящена вполне интегрируемым дифференциальным уравнениям в вариационных производных.

В первом параграфе получены необходимые и достаточные условия полной интегрируемости уравнений с разделяющимися переменными и уравнения Бернулли и найдены формулы для решения • этих уравнений.

Второй параграф посвящен линейному уравнению второго порядка

ШЩща) + *i(*-t-*>~§ffj * +

+ a3(x,t,a)y = f(x,t,3), (2.1)

здесь х е G(G), t,3 в GdR71, у: C(G)'G»G -*■ Е, искомый оператор, Е - банахово пространство, заданы a^CfOG'G-i-iLfE.E;, 1=1,2,3, Q-fS.E; - пространство линейных ограниченных операторов, действующих в Е, f:C(G>G*G Е.

В теореме 2.3. доказываются необходимые и достаточные условия полной интегрируемости уравнения (2.1).

Теорема 2.4. Если Р:G -»• ¡L(E,E; непрерывно на G, P(t)P(3) = P(s)P(t) при (t,3)zG х G,

= P(3)a($P(x)X(x)dx),

G

a2{X,t,3) = P(t)a(SP(x)X(x)dx), G

agix.t.a) = P(t)P(3)L2(SP(x)x(x)dx) + a'(fP(x)x(T)dT)\,

G G

f(x,t,3) = P(t)P(3)q(SP(x)x(x)dx)-r, G

f

где. a,q - иелые аналитические функции, a - производная от a, 7 € E - постоянный вектор, то уравнение (1) вполне интегрируемо на о < В > п(, где лнохество всех суяжирувлсых на G векторных функций <p:G -*. Е.

Оказывается, что можно получить и формулу для решения

уравнения (2.1).

Теорема 2.7. Если при некотором КчС(О) существует

[и(Н)Г1, где и(1х)=$Р( х)Ь.(х)<1х и вшолнены условия теоремы С

2.4, то решение уравнения (2.1) с начальными условиями

у(х0) = у0, » 1<р(г)па)аг

в с

находится по формуле

х хх

у(х) = ехр(-¡'olPüx) |Wx~xQ)^exp(faPsx)Pq(u(x))^sx -

Xq XQ XQ

x x

- fexp($<zPex)(u(x - Xq) )Pq(u(x) )-xöx + yQ + Xq XQ

+ u(x - X0)(u(h)) '[jep(t)h(t)dt + Ja(u(x0))P(t)h(t)dtyQ^. G G

Третья глава посвящена применению уравнений с

вариационными производными при исследовании линейных

дифференциальных уравнений в банаховом пространстве со

случайными коэффициентами.

В первом параграфе рассмотрена задача Коши

^¡fi'V = A(t)y(v,t) + а ^J-J y(v,t), y(v,tQ) = yQ(v), (1.5)

где y:VCE) « T -*■ U, V(T) банахово пространство функций на отрезке OMR, 47 - банахово пространство, а - число, А:Т Ь: V(T>T Y, yQ: 4(1) Y задано.

Теорема 1.2. Если У('£) = 11(Ч1), Л:Т—сильно непрерывен по t, b:V(T) * Т—»V непрерывно и существует

непрерывная вариационная производная sb(v+ax(a,t),a)/sv(t), существует вариационная производная ôiJq(v+a%(tQ, t ) )/sv(a ).

Тогда решение задачи (1.5) дается формулой

t

y(v,t) = U(t,t0)yQ(v+ax(t0,t)) + J* U(t,a)b(vmx(3,t),a)d3

f0

где x(tQ,t)(a) = 1 при. a€(tQ,t) и x(t0,t)(<r) = О при

aë(ÎQ,t), II(t,3) - эволюционный оператор, соответствующий

оператору A(t).

Во втором параграфе рассматривается задача нахождения математического ожидания решения стохастической задачи Коши

Щ = A(t)X + e(t)X + f(t), X(tQ) = Xq (2.1)

где x принадлежит банаховому пространству Ж, е.'R —*■ К - случайный процесс, /: Кслучайный процесс, Xq - случайный вектор.

Оказывается, что для отыскания математического ожидания решения задачи (2.1) можно получить вспомогательное уравнение с вариационными производными вида (1.5). Из решения этого уравнения легко находится математическое ожидание Ых(t). В, частности, пусть задан tyQ(v,u) -характеристический функционал процессов е и /,. тогда математическое ожидание Vtr(t) решения задачи (2.1) находится по формуле.

г o<pn(-tx(a,t),0) Mx(t) = \J(tft0)Uxûp0(-ix(t0,t),0) - tpJ(t.a) °au(3)-da.

fO

Полученный результат применяется для нахождения математического ожидания решения задачи Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. ЗадорожнийВ.Г. О дифференциальных уравнениях второго

порядка в вариационных производных, //Дифференц. уравнения 1989, т. 25, N 10, с. 1679-1683.

2. ЗадорожнийВ.Г. Условия разрешимости обратной задачи

вариационного исчисления для дифференциального уравнения с частными производными. XXVI Еоронежская зимняя математическая школа г.Воронеж 1994,

3. Задорожний В.Г. Функционал обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка з частных производных/'/ Еоронежская весенняя математическая шксла "Понтря-гинские чтения - УН", тез. докл. Воронеж, 1956. - С.80.

4. ЗадорожнийВ.Г. Линейное дифференциальное уравнение в

банаховом пространстве с ограниченным оператором и случайными коэффициентами.//Воронежский университет, 1994. Рук.-13с. Деп. в ВИНИТИ 15.09.94 № 2205 - В94.

5. Задорожний В. Г. Обратная задача вариационного исчисления для квазилинейного дифференциального уравнения в частных произвол-' ных// Воронежская весенняя математическая школа "Понтря-гинские чтения - IX", тез. докл. Воронеж, 1998. - С.77.

6. Задорожний В.Г., Задорожний В.Г. Услоеия, при которых дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера-Остроград-ского // V Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", тез. докл.,ИПУ РАН, Москва, 1998. -С.72.

Заказ № 3££ отг£Ц.1998 г. Тир. ЮС> экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение.

Глава I. Вариационное дифференцирование и вариационное интегрирование.

§1. Вариационная производная.

§2. Вариационный интеграл.

§3, Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с тремя неизвестными переменными

§4. Вычисление функционала в обратной задаче вариационного исчисления.

§5. Примеры.

Глава II. Вполне интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка в вариационных производных.

§1. Вполне интегрируемые дифференциальные уравнения.

§2. Вполне интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка в вариационных производных.

Глава III. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами.

§1. Дифференциальное уравнение с вариационной производной.

§2. Стохастическое дифференциальное уравнение.

Понятие вариационной (функциональной) производной восходит П.Леви [321 и В.Вольтерра [6]. В это же время были рассмотрены и некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в вариационных производных и способы их решения. Многочисленные математические модели с вариационными производными можно найти в монографиях: Н.Н.Боголюбов и Д.В.Ширков [31, А.С.Монин и А.М.Яглом [35,361, В.И.Кляцкин [271, П.Олвер [381, В.И.Татарский [461, В.И.Тихонов [481.

Некоторые вопросы техники вариационного дифференцирования и теории дифференциальных уравнений в вариационных производных изложены, например, в работах: В.И.Авербух, О.Г.Смолянов [II, Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков [31, М.И.Вишик [51, В.Вольтерра [61, И.В.Гайшун [101, И.М.Гельфанд, А.М.Яглом

121, Ю.Л.Далецкий [13,141, А.Н.Деменин, В.С.Королюк [171,

М.Д.Иосипчук [24,251, М.Д.Иосипчук, М.С.Сявавко [261, В.И.Кляцкин [271, И.М.Ковальчик [28,291, П.Леви [321, Н.П.Мельничак [341, А.С.Монин, А.М.Яглом [35-361, Е.А.Новиков [371, М.С.Сявавко, Н.П.Мельничак [451, В.И.Татарский146,471, М.Н.Феллер [501, С.В.Фомин [521, А.Н.Шеретнев [561.

Диссертация посвящена изучению дифференциальных уравнений, содержащих вариационные производные и их приложению к линейным дифференциальным уравнениям со случайными коэффициентами.

В первой главе развивается техника вариационного дифференцирования и вариационного интегрирования для функционалов, зависящих от функций конечного числа переменных.

Первый параграф посвящен основным определениям и доказательству теорем о дифференцировании сложного функционала.

Во втором параграфе вводится операция вариационного интегрирования, являющаяся обратной к операции вариационного дифференцирования- Если вариационный интеграл существует, то он является потенциалом для соответствующего вариационной производной функционала. Вопросы существования и вычисления потенциала изложены, например, в работах: [4,7, 8, 42,431. Дается обоснование метода интегрирования по частям (теорема 2.3) и методов замены переменной (теоремы 2.4, 2.5). Отметим, что задача отыскания вариационного интеграла эквивалентна задаче о решении простейшего дифференциального уравнения в вариационных производных

Третий параграф посвящен нахоздению необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с тремя независимыми переменными.

Под обратной задачей вариационного исчисления для данного дифференциального уравнения р(х,у(х),у(х),уп(х),.,у(п)(х)) = О (1) понимают задачу нахождения функционала $(у) для которого это уравнение является уравнением Эйлера. В терминах вариационных производных эта задача означает решение простейшего уравнения в вариационных производных

ЩЩ = <?(x,y(x),y(x),yh),.,y(n)(x)).

Важность обратной задачи вариационного исчисления об'ясняется, например, теоремой Ветер [38, стр.3341. Оказывается, если для функционала Ч)(у) известна однопараметрическая группа вариационных симметрий, то порядок дифференциального уравнения (1) можно понизить на два. Обратная задача вариационного исчисления возникает также в связи с записью дифференциальных уравнений в виде гамильтоновой системы С38, гл.71.

Обратную задачу вариационного исчисления изучали многие авторы, например, А .Hirsch [ 591, I. М. Anderson, Т.Е. Buchamp 1571 (в этой работе имеется достаточная библиография по этому вопросу), И.М.Рапопорт [42,431 получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и получил выражение функционала в виде независящего от выбора пути интегрирования криволинейного интеграла. Однако вычисления криволинейного интеграла зачастую достаточно сложны и продолжаются поиски других способов вычисления функционала.

Б третьем параграфе сначала доказываются три леммы, которые позволяют в дальнейшем получить необходимые и достаточные условия (3.3)-(3.5), полученные другим способом И.М.Рапопортом, для разрешимости обратной задачи вариационного исчисления, и другие более тонкие результаты.

Дальнейшие исследования показывают, теорема3.2, что для разрешимости обратной задачи вариационного исчисления необходимо и достаточно, чтобы ср имело специальный вид (3.8) р = ^(и^Хуу - ц2у) + - и2хг) + а3(иууи22 - ир + Vих^уг - ихуих7? + а5(ихгиуу ~ + " их^ + Ь1ихх + Ь2иху + ЬЗпХ2 4 Ь4иуу + ь&уг + Ьб%2 + V где а^,. ,. - функции, зависящие от переменных х, у, и, и7;, и выполнялись условия (3.9) - (3.22).

Четвертый параграф посвящен нахождению функционала обратной задачи вариационного исчисления. Показывается (теорема 4.1), что при отсутствии нелинейных членов относительно старших производных функционал может быть вычислен и дается формула для его вычисления (4.1),(4.2).

В пятом параграфе показывается, что в случае двух независимых переменных или одного независимого переменного необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи значительно упрощаются, значительно у пропьются формулы и для вариационного интеграла.

В и. 5.3 отдельно рассмотрен случай квазилинейного уравнения. Даются простые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи и формула для вариационного интеграла (теорема 5.5).

Во второй главе рассматриваются более сложные дифференциальные уравнения в вариационных производных.

В первом параграфе показывается, что уравнения первого порядка, разрешенные относительно вариационной производной, сводятся к многомерным дифференциальным уравнениям. (И.В.Гайшун называет их уравнениями в полных производных). Эти уравнения изучали многие авторы, например, М.Е.Гавурин

71, И.В.Гайшун [9,101, В.Г.Задорожний, А.И.Перов [39-411, В.В.Стрыгин [441, Фробениус и другие. Формулируются условия полной интегрируемости уравнений в вариационных производных. Рассмотрены вполне интегрируемые уравнения с разделяющийся переменными и уравнение Бернулли, получены условия полной интегрируемости и получены формулы общего интеграла (теоремы 1.2, 1.4, 1.5).

§2 посвящен линейному дифференциальному уравнению второго порядка в вариационных производных в конечномерном пространстве + а,(х г з) +

ШГЦЩз7 Щту + а2(х,X,з) + а3(х,1,з)у = ¡(хЛ,8).

При а2 = О и при скалярном уравнении оно является частным случаем уравнений изучавшихся И.М.Ковальчиком [28,291, однако наличие коэффициента ар является естественным и результаты являются новыми даже в скалярном случае.

В теореме 2.3 даются необходимые и достаточные условия полной интегрируемости уравнения. Условия эти достаточно громоздки, но в теореме 2.4 приводятся условия, при которых все условия теоремы 2.3 выполняются. Оказывается, что при выполнении условий теоремы 2.4 уравнение может быть проинтегрировано в квадратурах (теорема 2.7).

В третьей главе изучаются дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, содержащие обычные и вариационные производные.

Первый параграф посвящен изучению дифференциального уравнения dyQt.?i) = Mt)y(v,t) + а y(v,t) + b(v,t) (1.5) с начальным условием y(v,Iq) =Uq(v). Оказывается, что при определенных условиях (см. теорему 1.2) эта задача имеет решение и оно записывается в виде t y(v,t) = U(t,t0)y0(v + ax(t0,t)) f J U(t,s)b(v + ax(8ft),s)d8. f0

Во втором параграфе изучается задача Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Щ = Aft )х + s(i)x + f(t), х(tQ) = xQ, (2.1) где A(t) - линейный ограниченный оператор, е - скалярный случайный процесс, / - случайный процесс со значениями в банаховом пространстве. Рассматривается задача нахождения математического ожидания решения задачи (2.1). Применяется следующий метод. Вводится вспомогательное отображение y(v,u,i) такое, что y(0,0,t) - ISx(i). Для y(v,u,t) получена задача вида (1.5). (Этим и обгоняется важность задачи 1.5!). По формуле (1.6) находится решение y(v,u.t) и затем легко находится формула (2.8) для математического ожидания Кх(i).

В качестве конкретных примеров рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с гауссовскими случайными процессами «? и /, а также случай пуассоновского случайного процесса eft). Результаты легко применимы и для интегродифференциальных уравнений.

1. АвербухВ.И., СмоляновО.Г. Теория дифференцирования влинейных топологических пространствах // Успехи мат. наук. 1967. т. 22, вып. 6(138). с. 201-260.

2. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, I9S7 -376с.

3. Боголюбовы.H., ШирковД.В. Введение в теорию квантовыхполей. М.: Наука, 1976. 479с.

4. Вайнберг М.М Вариационный метод и метод монотонныхоператоров. М. : Наука, 1972. 415с.

5. Вишик М.И. Аналитические решения уравнений Хопфа,соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса //Задачи механики и математической физики. M. ; 1976. с. 69-97.

6. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М. : Наука, 1982. 304с.

7. Гавурин М.К. Аналитические методы исследования нелинейныхфункциональных преобразований. //Уч. зам. ЛГУ, сер. мат. наук, 50, вып. 19. -с. 59 1954.

8. ГаевскийХ., ГрегорК. ,3ахариас К. Нелинейные-операторныеуравнения и операторные дифференциальные уравнения. М. : Мир 1978. -336с.

9. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Минск, . Наука и техника, 1989, 254с.

10. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальныеуравнения. Минск, Наука и техника 1983, 272с.

11. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961, 282с.

12. Гельфанд И.М., Яг лом A.M. Интегрирование в фушсциональных пространствах и его применение в квантовой физике. //Успехи м,ат. наук, 1961, 1956, т. II, N 1(67). с. 77-114.

13. ДалецкийЮ.Л. Дифференциальное уравнение с фушсциональннымипроизводными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов. //Докл. АН СССР, 1966, т. 166, N 5. -с. 1035-1038.

14. Далещсий Ю.Л. 0 некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах с дифференциальными уравнениями в функциональных производных //Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси,1973, с. 78-88.

15. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1979, 534с.

16. ДемидовичБ.П., КовальчикИ.М. Формула Коши для линейныхуравнений с функциональными производными. //Дифференц. уравнения, 1977, т.13, N 8, с. 1509-1511.

17. Деменин А. Н., Королюк В. С. Характеристические функционалы .случайных волновых полей в неоднородных средах. //Физико-технические приложения краевых задач, Киев, Наукова думка, 1978. 295 с.

18. Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 230с.

19. ЗадорожнийВ.Г. Обратная задача вариационного исчислениядля дифференцйального уравнения с частными производными. .//Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1988, с. 117-127.

20. ЗадорожнийВ.Г. 0 дифференциальных уравнениях второгопорядка в вариационных производных. //Дифференц. уравнения 1989, т. 25, N 10, с. 1679-1683.

21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, т.2 . 437с.

22. ИосипчукМ.Д. Решение одного уравнения с функциональнойпроизводной. //Виснык Львивск. политехи, института, 1970, N 44. -с.106-103.

23. ИосипчукМ.Д. О решении одного уравнения в функциональныхпроизводных. //Общ. теория гран, задач. Киев, 1983, -с. 265—266.

24. ИосипчукМ.Д., СявавкоМ.С. ОБ одном классе уравнений вфушщиональных производных //Матем. физика. Респ. межвед. сб. 1974, вып. 15. -с.55-59.

25. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. -333с.

26. Ковальчик И.М. Линейное уравнение с функциональными производными. //Докл. АН СССР, 1970, т.194, N 4. -с.763-766.

27. КовальчикИ.М. 0 линейных уравнениях с функциональнымипроизводными. //УМЖ, 1977, т.29, N I. -с.99-105.

28. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983.-2.79с.

29. КрейнС.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве. М.: Наука, 1967. -464с.

30. ЛевиП. Конкретные проблемы функционального анализа. М.:Наука, 1967. -510с.

31. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. -520с.

32. Мельничак П.П. Неоднородные линейные уравнения сфункциональными производными. //Матем. физика. Респ. межвед. сб., IS77, N 119. -с.Т46-149.

33. Монин A.C., Яг лом А.М. Статистическая гидромеханика, ч. Т.,М.: Наука, 1965. -639с.

34. Монин A.C., Яг лом А.М. Статистическая гидромеханика, ч. II,М.: Наука, 1967. -720с.

35. Новикове.А. Решение некоторых уравнений с вариационнымипроизводными. /'/Успехи мат. наук, 1361, т.16, 'Ii Z. -C.I35-I4I.

36. Олвер П. Приложения группы Ли к дифференциальным уравнениям. М. г Мир, 1989. —637с.

37. Перов А.И. 0 многомерном дифференциальном уравнении второго порядка. //Докл.;АН СССР, 1964, т.159, Н 4. -с.755-758,

38. Перов А.И. Об одном многомерном обобщении определителя Вронского. //Успехи мат. наук, 1964, т.19, вып. 5. -с.194-196.

39. Перов А.И. Омногмерном линейном дифференциальном уравнениивторого порядка с постоянными коэффициентами. //Изв. BV30B. Математика, 1966, N 6. -с.117-124.V •

40. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления.Изв. физ. матем. общества. Казань, 1939, II. -с.47-69. 43. Рапопорт И.М, Обратная задача вариационного исчисления. //Докл. АН СССР, 1938, т.18. -с.131-136.

41. СтрыгинВ.В. Полная разрешимость многомерных дифференциальныхуравнений с потенциальной правой частью. //Дифференц. уравнения, 1969, т.5, N 2. -с.331-342.

42. СявавкоМ.С., Мельничак П.П. Об одном классе уравнений сфункциональными производными. //УМЖ, 1974, т.26, N6. -с.836-841.

43. Татарский В.PL Распространение волн в турбулентной атмосфере М.: Наука, 1979. -286с.

44. Татарский В.И. О первообразном функционале и его применении к интегрированию некоторых уравнений в функциональных производных, / /Успе хи мат. наук, IS6I, т.16,H 4(100),-с.179-136.

45. Тихонов В.И. Стохастическая радиотехника. Ч. -, Советское радж 1966. -678с.

46. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметри-ческиесистемы. //Автоматика и телемеханика, I95S, т.19,N 8. -с.717-723.

47. ФеллерМ.Н. Бесконечномерные элштические уравнения иоператоры типа П.Леви. //Успехи мат. наук, ISS6, т.41, N 4(250). -с.97-140. 61. Фихтенгольц Г.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1963, т.З, -656с.

48. Фомин C.B. Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных. //Докл. АН СССР, 1968, т. 181, М. -с.812-814.

49. Фурсиков A.B. 0 проблеме замыкания цепочек моментных уравнений соответствующих трехмерной системе Навье-Стокса в случаебольших-чисел Рейнольдса. //Докл АН СССР, 1991,т.319. -с.33-37.

50. Фурсиков A.B. 0 единственности решения цепочки моментныхуравнений соответствующих трехмерной системе Навье-СтоксаМатематический сборник, т.63, Ш, 1989. -с.465-490.

51. Шварц JI. Анализ, т. II, М., Мир, 1972, -528с,

52. Шесгернев А.Н. 0 'решении уравнений в функциональных производных. .//Изв. вузов. Математика, IS6Ï, J66. -с. 155-168.

53. Anderson I.M., Puchamp Т.Е. Variational principles lor secondorder qiLSI-linear scalar equations. J.Diff. Eq., 1984-, 51 . c.I-47.

54. Elrod V. Numerical methods for the solution of stohastic differential equations. Ph. D. dissertation (Mathematics), University of Georgia, 1973.

55. Hirscli A. IJher eine clrarakteristisehe Eigensehaft der Differentialgle cliiingeri der Variationsreclinung, Math. Ann 49(1897), 49-72.