Моментные функции решений уравнения диффузии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

правах рукописи

4859122

Беседина Татьяна Владимировна

МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ 1 О НОЯ 2011

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2011

4859122

Работа выполнена на кафедре нелинейных колебаний Воронежского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич

Защита состоится 22 ноября 2011 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физико-математических наук

доктор физико-математических наук, профессор Жукова Галина Севастьяновна

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие процессы в природе, технике и экономике описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Если эти уравнения детерминированные, то такие задачи достаточно изучены и иногда могут быть найдены точные решения. Часто реальные процессы зависят от влияния случайных факторов и детерминированные модели не подходят. В этом случае рассматриваются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, при этом решения уравнений также являются случайными процессами. При исследовании случайных процессов наиболее важными характеристиками являются моментные функции.

Задачу нахождения моментных функций решений уравнений со случайными коэффициентами рассматривали Адомиан Дж., Вентцель А.Д., Клякцин В.И., Татарский В.И., Тихонов В.И., Фурсиков A.B., Мо-шш A.C., Яглом A.M. ii другие. Применяют различные подходы. Строят цепочки уравнений для моментных функций, используют метод последовательных приближений, при малых случайных возмущениях строят асимптотическое приближение, для некоторых задач значение моментных функций можно получить из явного вида решения. Для случая линейных дифференциальных уравнений Задорожшш В.Г. рассмотрен метод, основанный на сведении поставленной задачи к нахождению решений детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. В работах Строевой Л.Н. рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, получена формула моментной функции n-го порядка. Боровикова М.М. и Хребтова С.С. рассматривали частные случаи уравнения теплопроводности с двумя и тремя, соответственно, фазовыми переменными, получены формулы для первой, второй, дисперсионной и смешанных моментных функций.

Целью работы является нахождение решений дифференциальных уравнений с вариационными производными и моментных функций решения задачи Коши для уравнения переноса и диффузии с тремя фазовыми переменными.

Методика исследований. Исследование проводится методами теории дифференциальных уравнений, математического анализа, теории уравнений, содержащих вариационные производные, теории вероятно-• стей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми. В работе выведены необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

второго порядка; найдена формула для нахождения вариационного интеграла от систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; выведены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя обратной задачи для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при производных и искомой функции; получены следующие формулы: решения задачи Коши для неоднородных уравнений первого и третьего порядков с обычными и вариационными производными; математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи Коши для уравнения диффузии с тремя фазовыми переменными; первых моментных функций при конкретных законах распределения, как в случае независимых между собой случайных процессов, так и зависимых; коэффициентов разложения характеристического функционала дифференциального уравнения диффузии в степенной ряд; моментной функции п-го порядка для решения уравнения диффузии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут использоваться в вариационном исчислении, теории дифференциальных уравнений с вариационными производными. Полученные формулы моментных функций могут применяться для расчетов конкретных процессов диффузии.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах и научных конференциях Воронежского государственного университета; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме "КРОМШ XX" - 2009 (Украина, Крым); на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" -2009, 2010, 2011 (Воронеж); на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинскис чтения XX, XXI, XXII" - 2009, 2010, 2011 (Воронеж); workshop "Deterministic and stochastic variational methods and application" - 2010 (Германия, Галле).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1]-[11]. Из совместных публикаций [4],[7],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [7] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем диссертации - 130 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении излагается общая характеристика работы, приводится краткое содержание.

В первой главе приводятся определения н вспомогательные результаты, используемые в работе.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения с вариационными производными.

В нервом параграфе исследуется простейшее уравнение с вариационной производной 61(у)/6у{х) - у, которое возникает при решении обратной задачи вариационного исчисления. Исследуется случай, когда <,5 = 0- система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть С*[а, 6] - пространство к-раз непрерывно дифференцируемых функций па отрезке [а, Ь] со значениями в К", М* - множество векторных функций из С£[а,Ь], удовлетворяющих условиям у(а) = уи уФ) = 2/2, да уиу2 ~ заданные векторы из К", Ь - множество дважды кусочно дифференцируемых функций /г на интервале (а, Ь) со значениями в К", удовлетворяющих условиям /г(а) = Л(6) = 0, / : С*[а,Ь] —> К.

Задача состоит в нахождении условий на отображение : [а, Ь] х Е" х К" х Е" Е", при которых существует функционал / такой, что

на множестве в направлении подпространства Ь, и этого функционала, если он существует.

В пункте 2.1.1 получены необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи.

Теорема 2.1.2. Пусть у имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно. Тогда для существования решения обратной задачи вариационного исчисления для уравнения ¡р(х,у,у',у") = 0, необходимо и достаточно, чтобы у имело вид

и Ух е (о, 6), у £ выполнялись условия

А* = Л, {АК)У, = {АК)1„ ВУ, + В;,-2АХ-2АУУ' = 0, 2((ЛЛ); - (Л/г),) - Dy.li = о, 2(в; - Ву) -Ох- Иуу' = о,

где В = В*у,- Ву>, /г - вектор-столбец из Еп, В - функция-строка, оператор А определяется набором функций а^г,] = 1,2, ..п и действует на вектор /г по правилу

(1)

<р = А{х,у,у')1/ + В{х,у,у'),

П

П

11

А-Л —► ( Е а1А Е - Е атЫ

г=1 1=1 1=1

п

п

п

А* -Л ->(Еа«А Еа>2^ ••• Е«.А)-

В пункте 2.1.2 найдено решение уравнения (1) в виде функционала 1(у) = !а F(x,y,y')dx.

В пункте 2.1.3 рассматривается ситуация, когда условия теоремы 2.1.2 не выполнены.

Определение 2.1.1. Невырожденный оператор Т, определяющийся набором функций tij(x,y,y'),i,j = 1,2,..п и действующий на вектор-строку h но следующему правилу

Т: (/ц h2 ... hn ) —► ( tuhi ¿*ЯА, ... ),

i=1 1=1 1=1

называется интегрирующим множителем для системы ¡р = 0, если обратная задача вариационного исчисления для системы Tip = 0 имеет решение.

Пусть А,С,Е - постоянные операторы, действующие на вектор h по правилу (2), G(x) - произвольная функция от х. Для системы

Ау" + Су' + Еу + G{x) = О получены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя и система алгебраических уравнений, для его нахождения.

Второй параграф посвящен рассмотрению уравнений более сложного вида - линейных неоднородных дифференциальных уравнений, содержащих обычные и вариационные производные.

Пусть t G [i0,i] = Т с R, L\(T) - пространство суммируемых на отрезке Т функций, п е N, Ц(Т) - пространство n-мерных векторов, каждая компонента которых принадлежит L\(T), v - вектор из Ц(Т) с компонентами vk, к = 1 ,...,n, а - векторная функция, компоненты которой ак : Г -> С, к = 1,..., п, д : Т х Ц(Т) -* С, у : Т х Ц(Т) -» С, у0 : L?(T) - С.

В пункте 2.2.1 получено решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка

^ = + УМ = М- (3)

Теорема 2.2.2. Пусть а - непрерывная векторная функция, в некоторой окрестности точки (s, v + a\(s, t, •)) существуют непрерывные по Vk при s,t €Т и измеримые nos,tmTxT вариационные производные

5g{s,v + ax{s,t,-))/5vk{t), k= 1 ,...,n, существуют суммируемые на Т функции mk(s) такие, что

\Sg(s, v + a\{s, t, -))/6vk(t)| < mk(s), k = 1,..., n при v из окрестности точки (v + ax(s,t, •)), i G T, g суммируемо на T no первой переменной, в некоторой окрестности точки [v + ax{t0, t, •))

существуют непрерывные no vk вариационные производные 6yo{v + ax(ta,t,-))/6vk(t), к= 1

при t G Т, тогда

t

y{t, v) = yti{v + ax{to, t,-)) + f g(s, v + ax(s, t, ■))ds

к

является решением задачи (3).

Через x{h,t2,s) обозначена функция равная sign(s - ii) при s нрн-падлежащем отрезку с концами ti, t2 и пулю в противном случае.

Пусть v G L\{T), р G Li(T), ак : Т —> С, к = 1,2,3, Ь : Т - С, g : Т х К3 х L\{T) х La(T) - С, у : T х R3 х L3(T) х L^T) -» С, И, : Е3 х 13(Г) х ^(Т) - С.

В пункте 2.2.2 получено решение начальной задачи для дифференциального уравнения третьего порядка

5 д )+

д t f^ K'5vk{t)dxk

J

+b(t)T—rAy{t,x,v,p)+g{t,x,v,p), y(t0,x,v,p) = yQ{x,v,p), dp(t)

где Л - оператор Лапласа но х.

Пусть £ - вектор из R3 с компонентами к = 1,2,3. Обозначим |£|2 = + + £f, £ х а - вектор с компонентами £как, к =1,2, 3.

В формулировке следующей теоремы у отображений g и у0 опущены обозначения аргументов: s,x,v-i£x a(t)x{s,t,-),p-\£,\2b{t)x{s,t,-) у g и х, v - г£ х a{t)x{to, t,-),p~ \Ç\2b(t)x{to, t, •) y i/o-

Теорема 2.2.3. Пусть a и b - непрерывные функции, существует окрестность U нуля в ЬЦТ) х L\{T) такая, что при всех (v,p) 6 U в окрестности точки (s,x,v-iÇ х a(t)x(s,t, -),р ~ \Ç\2b{t)x(s,t, ■)) существуют непрерывные по vk при s,t & Т и измеримые по s,t наТ х Т вариационные производные ôg/5vk(t), к = 1,2,3, существует непрерывная по р при s,t еТ и измеримая по s, t наТ х Т вариационная производная 5g/5p(t), g суммируемо на Т по первой переменной, в окрестности точки (х, v - ii х a(t)x(to, t,-),P~ \£\2b(t)x(ta, t, •)) существуют непрерывные по vk вариационные производные Syo/Svk(t), к = 1,2,3, и непрерывная по р вариационная производная ôy0/5p(t) при t Е Т, функции |уо|, \dyo/dl\, \Sy0/5vk(t)\, \5y0/Sb(t)\, ||£|2ДгМ(01.

\g\, \dg/dt\, \5g/5vk{t)\, \5g/5b(t)\, \Fx[dg/dtm, {Ш^д/ыта №2FS9/m№\,k=W ограничены при s,t G Т суммируемыми на R3 функциями, тогда y{t,x,v,p) = Fr^Fxlyoix^ - г(, х a{t)x{k,t,-),p-

-WMto,t, ОЖО] (*) + f F^\Fx\g(s,x, v-

x a(t)X(s,t,-),P~ является решением задачи (4).

Третья глава посвящена нахождению моментных функций решения начальной задачи для уравнения диффузии

Чг1 = Е^^Г1 + ß№«t,x) + f(t,x), (5)

oí k=i oxk

u(t0,x) = щ(х), (6)

где t 6 [í0,í] = Tcl,i - вектор из R3 с компонентами хк, к = 1,2,3, и : Т х R3 R — искомая функция; £ : Т —> М3 - вектор с компонентами ек, к = 1,2,3, ц : Т R, / : Т х R3 -> К, щ : R3 -> R - случайные процессы.

Предполагается, что случайный процесс щ по зависит от случайных процессов е, ц, /, заданных характеристическим функционалом <p(v,p,w) = Mep(v,p,w), где ev{v,p,w) = exp(i f[< e(s),v(s) > +n(s)p(s)]ds +

T

i f f f(s,q)w(s,q)dqds), M - знак математического ожидания по

Т R3

функции распределения процессов е, ц и /, v е Ll(T), р е Li(T), w € L\{T х R3).

Во втором параграфе вводятся вспомогательные отображения

M(h,xm,v,p,w) = М(и(41,Ж[1])ер(г;,р,№)), V(ti,x[n,t2,x[2\,v,p,w) = М(и(^,а;[1])и(<2,а;[2])е^(и,р,и))),

где u(t, х) - решение задачи (5), (6), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов е, р, / и щ, tk £ Т, Хщ £ R3, к = 1,2. Из этих отображений, положив v, р, и> равными нулю, можно получить математическое ожидание и вторую момеитную функцию. Строятся детерминированные начальные задачи с обычными и вариационными производными третьего порядка для М и для V

дМ(и,хщ,у,р, w) _ S дМ{Ь\,хщ,у,р, w)

dti ^ 6vk(t i) дхЩк

■ 5 Л А ЛП \ -<V(V>P.W)

M{tQ,X[q,v,p, w) =

дк ^ 5ук(к) дхщк

-1Ш т { иХ[1],к'"г м* 1.*[Ц) '

= М(«о(х[1])и(г2,х[2])е^(г;,р,и;)), где Л(1] — оператор Лапласа по хщ.

Решение этих задач в общем виде найдено в главе 2. Положив в полученных решениях V, р, ги равными нулю, получаем соответствующие моментные функции. Если получены решения детерминированных задач в смысле обобщенных функций, то моментные функции называем обобщенными.

Знак ** означает свертку по хц.), к = 1,2, *1;2 - свертку по хщ и хщ.

В формулировке следующей теоремы вновь опущены обозначения аргументов: -£(1]Х(£о,гь-)>«1?|1)|2х(Мь-),0 у (рг если речь идет о вариационной производной ц> но 1ф,Х[1]), то -Ч[1]Х(з,<1,-),г|£[1]|2х(Мъ')>0.

Теорема 3.2.1. Пусть функция М(и0(х[1])) суммируема на К3, существует окрестность II нуля в Ь\(Т) х Ь\{Т) х Ь\(Т х Е3) такая, что при всех (и,р, ги) е V существуют измеримые по в, ¿1 на Т х Т и непрерывные, соответственно, по и р при £ Т вариацгюн-ные производные ¿21р/5Ук(11)5ги(8,хщ), к = 1,2,3, 521р/5р(11)6и1(з, хщ), причем 51р(у,р,гю)/5и;(з,Х[ц) суммируемо по в, существуют непрерывные, соответственно, по и р при € Т вариационные производные к = 1,2,3, функции ^мкыжади |^т,ч[М(ио(х[11))](^[1])5(р/0г1|,

^/¿Р^Цв.Хц])!, ^ДЭ/д^/скф^Щ!])!, ^Ш^хдДМ^о^ц]))]^!])^^«!)!, I|е[1]|2^[Ч[М(«о(аг[1]))](С11])<у¥'/5р(«1)I,

1Кщ1%,[¿¥>/М*> х(1|)]({[!,)I, 11^ [6'-гфр{Ь)6ь,(а, Х[1])](?(1,)I ограничены при в, € Т суммируемыми на К3 функциями, тогда

М(и(к,хщ)) = ■Г1Г-1ГС г^-^МХ^' ^")' *1. 0.0)„г м/ ^

в

является математическим ожиданием решения задачи (5), (6).

Чтобы ослабить накладываемые условия, датсс переходим от рассмотрения моментных функций в классическом смысле к обобщенным моментпым функциям.

Теорема 3.2.2. Пусть функция М(и()(^[1])) суммируема на Е3, функция М(ио(х[1])мо(:Г[2])) суммируема на К3 х К3, существует окрестность и нуля в Ь\(Т) х Ь\{Т) х Ь\(Т х М3) такая, что при всех (у,р,ги) £ II, в, вх, ¿1 £ Т существуют непрерывные по вариационные производные

6(р/дук(^), 62<р/6ук(11)8и)(8,хщ), 53р/6ук(11)5и](з,хщ)6ъ1)(81,х12)), к = 1,2,3, непрерывные по р вариационные производные

5<р/5р(Ь), 521р/6р(Ь)5и>(8,хщ), ¿^¿р^^Цв.я^ЛфьЖр]), где производные вычисляются в точке

-Ч[2]Х(«ъ ¿2, •) - ¿ь •). [2]|2х(«ь ¿2, ■) + г|С[1]|2х(в, ¿1, -)Л тогда

«2

и <1

к

~£|1]Х(8>^Ь ")>^|С|2]|2Х(^0>^2| •) + г|С[1]|2Х(8)^Ь •)> 0)1(^(1])]—

«1 (г 2

-//^^л^^Д^т^т^^^ О-

¿0 ¿0

является обобщенной второй моментной функцией решения задачи (5), (6).

В пункте 3.2.3 выводится формула обобщенной дисперсионной функции решения задачи (5), (6).

В пункте 3.2.4 рассматривается ряд частных случаев.

В подпункте 3.2.4.1 показывается, что если / не зависит от случайных процессов г и ц, то для нахождения моментных функций решения задачи (5), (6) надо знать не характеристический функционал /, а его момент-ные функции до того порядка включительно, какого порядка ищется моментная функция решения задачи (5), (6).

В подпунктах 3.2.4.2, 3.2.4.3 находятся моментные функции решения задачи (5), (6) при конкретных законах распределения в случае независимых и зависимых процессов, соответственно.

Характеристический функционал скалярного рав-

номерно распределенного процесса ¡х{£) имеет вид

-11 -

sin f a,,(s)p(s)ds

Ыр) = Am^s exp{iJ

т T

Характеристический функционал скалярного нор-

мально распределенного процесса имеет вид

<PcJv) = expiifMs^s^vis^ds! - ± / / bu.(sb s2)v(s1)v{s2)ds1ds2),

T T T

где h,k(si,s2) - корреляционная функция процесса £*(t). Введем обозначения

fi

Mi.(s,t1) = fMsl(s1)ds1,

M{s,h) = (M(MiM/2(s, ¿1),Л/3(в,*х)),

_ h t,

Bk,k(si, t2, s, ti) = f f bk.k(su s2)dsids2,

.1, я

11 t, A^(Mi) = /M/x(si)dsi, = / a„(si)dsu

s_ s

Gk = ii,s, ii) + A/„(s, <i) - A„(s, ii),

G£(s, ii) = f s, ii) + M„(s, «0 + Л0, ii),

s' = 4Gi(sb fi) - B2k k(Sl, t2, a, ij),

где fc = 1,2,3, знак ★ обозначает — либо +.

Теорема 3.2.7. Пусть случайные процессы £k(t), к = 1,2,3, Л«(i), f{t,x) независимы, £k{t) распределены по нормальному закону, li(t) распределен равномерно, функция M(m0(£[i])) суммируема на R3, M(/(ii,a;[1])) суммируема наТ х R3. Если

Gk{s,h)> 0, /с = 1,2,3, Vs,ii 6Г, (7)

то математическое ожидание решения задачи (5), (6) находится по формуле

M{u(h,xm)) = M(u0(x[i])) *i ^(io, ii,X[i])+ <i

+ /^ri(s,ii,i|1j) *i M(f(s,x{l]))ds, h

где

= 2^Atl(s,t1)\x[1] + M(s,tl)\*1

3 2 3 2

(8)

Пусть, кроме того, функция M(wo(:e[i])uo(:e[2])) суммируема на М3 х К3, M(/(i1,x|1])/(i2,a;[2])) суммируема наТ хТ хК3 х R3. Если

Hkk(si,t2,s,ti)>0, к = 1,2,3, \/s,sutut2eT,

то вторая моментная функция решения задачи (5), (6) находится по формуле

M(u(ii,a;[i])tt(i2,i|2])) = M(u0(x|i])u0(i[2])) *i,2 хщ)+

t2

+ J M(w0(z[i])) *i T2{s, t2, tQ, tu х(1], xl2]) *2 M(f(s, x[2]))ds+

to t1

+ f M(u0(i|2])) *2 ^(to,h, S, ti,Ж|1],Z[2]) *1 M(/(s,2;[i|)ds+

ta h t2

+ //^2{si,t2,s,tuxw,x[2]) *i,2 M(/(s,:r(1])/(Sb:z;[2j))cMs,

to to

где

*1,2

_ _i__VA^i.friHiMi)_

~ 2e7r6(^(e,ii)|i[2] + A/(e1,i2)|2 + ^(elli2)|a:[11+Ai(s)ii)|J)2 3 1 *1,2(П~7 _ *

k=i JHkk(si,t2,s,ti)

Gk(si,t2)xl{k - Bk,k(su t2, s, Ь)х{1\кх[21к + Gk(s, h)xLk xexp{--u-—7—--71-)-

3 ' 1 -П

к=1 yjHfk(sbt2,s,ti)

, G£(sut2)xl]k- Bktb(sut2,s,ti)xmkxp]k + Gt(s,ti)xl]k

xexp(--u-r-q——--—-)).

Hlk{sbh,s,ti)

Получены формулы для первой и второй моментных функций в случае, когда случайные процессы ек(t), fe = 1,2,3, p(t), f(t, x) независимы, a e(t), p(t) распределены равномерно.

Получена формула для нахождения математического ожидания в случае, когда процессы е, ц, / независимые между собой процессы, компоненты процесса s зависимы и распределены по нормальному закону,

процесс ¡1 распределен равномерно.

U

Обозначим Bij(t2,ti,s,X[i]) = J bij(sus,X[i])dsu где &ij(si,s,X[i]) -

ti

взаимная корреляционная функция £i(si) и /(s,:T[i]).

Теорема 3.2.10. Пусть процессы Е\ и f зависимы, но независимы с е2, £3, /i, которые независимы между собой, г, / распределены по нормальному закону, р, распределен равномерно, функция М(и,о(а^[1])) суммируема на М3, M(f(ti,X[i\)) суммируема наТх R3, выполнено условие (7), тогда

М(?г(гьа;(1])) = М(ио(я[1])) *1 Л^о, ¿1,^(11) + IЬ, £[1])*1

«о

3

является обобщенным математическим ожиданием решения задает (5), (6), где ^(в, ¿1,хщ) определяется по формуле (8).

В третьем параграфе вводится понятие характеристического функционала дифференциального уравнения со случайными коэффициентами - это характеристический функционал коэффициентов и решения уравнения.

Рассмотрим характеристический функционал процессов е, ц, /, и

ф(у,р,и>,г) = Ме^{у,р,т,г), (9)

где еу(у,р,ги,г) = ехр{1 /[< г^),^) > +/х(в)р(в)]ск+

т

+г//[/(в, д)и>(з, д) + «(в, д)г(в, д)]^^), М - знак математического

г и3

ожидания по функции распределения процессов е, /а, / и и, у € Ь\{Т), р € 1х(Т), ш € 1х(Т х Е3), г € и{Т х Е3).

Определение 3.3.2. Характеристический функционал ф(у,р,и),г) назовем характеристическим функционалом дифференциального уравнения диффузии (5), решение которого удовлетворяет начальному условию (6).

Для ф получена детерминированная задача в виде дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными и начального условия, решение которой ищется в виде степенного ряда

+ 00 -п ~ „

Ф = Фо(и,Р,ии) + / ... / фп(у,р,Ю,Зи ...,в„,Я[1|, ...,2Г[„])х

п=1 П'

где интегрирование ведется по переменным в!,..., вп п0 промежутку Г, по переменным ..., Хщ по Е3, отображения фп симметричны по парам переменных (в^ггц.]), к = 1, ...,п.

Получепы рекуррентные задачи для нахождения грп, п = 1,2,...

дф„{у,р, и}, ¿ь ..., х\х),..., ![„]) _ дЬп

_ .■Д 5 д"фп(у,р, IV, ..., ¿щХщ, ...,:£[„]) £

<5ш(г„, ж;,,])

п *=1

Фо(у,р,т) = (р(у,р,ы). Введем следующие обозначения

гт(к1)..., и[/1 = ^„[-[^[/Кем)]-]^,])-

•••1 кт)р(1>,р,ги) =

гг тг

= </>(г>- Е ¿г, •) — Е £{1]Х(з1,Ь,-),Р+

+г Е К[|]|2х(<о,*!,-)+» Е Ы2хЫь-),™),

1=1,Щки...,кт} ¡=1,ге{*с1,...Дт}

п п

У$1р{у,р,и)) = (р(у — Е£[(]Х'(го,гг,-),Р + гЕ КиРх^о,^,-)^)-¡=1 ¡=1 Знак *1,.„,...,1-т} обозначает свертку по переменным х с указанными

индексами.

к

Теорема 3.3.1. Пусть функции М(Д ио(ж[/])) суммируемы на

1=1

К3 х ... х К3, к = 1, ...,п, существует окрестность II нуля в Ь\(Т) х Ь\{Т) х Ь\(Т х К3) такая, что при всех {у,р,т) € II, £ Т

существуют непрерывные по ук вариационные производные S^/8vk{t),52^p/5vk(t)5w{sl,x^l{),...,5n+l^p/vk{t)Sw(sl,xm)...Sw(sn,x^,г]), к = 1,2,3 и непрерывные по р вариационные производные

б1р/6р(1),62<р/6р{1)5и)(8,х),...,6п+1<р/6р(1)5и>(з1,хщ)...5и!(зп,х1п]), где производные вычисляются в точке

п п

V - Е -),Р + г Е 1£[/]12х(«/А •). ш, тогда

1=1 1=1

фп{у,р, Ю, к, ..., ![!],..., Х[п]) = М( Д «оО%])) *1,...,п РЛМХи.Р, ш)] +

+ £нг Ё /-/м( П «о(®м))*1....,п,«»......м

К(ки...,кт), , Т

(1 („

+(-«)"/-/ ^рр-пО.....п)[КГ(1.....«) (12)

—- -- с/в,,..^!

является решениш задачи (10), (11) е смысле обобщенных функций.

В пункте 3.3.2 находятся моментиые функции п-го порядка решения задачи (5), (6).

Из соотношений, связывающих вариационные производные от характеристического функционала и моментные функции случайного процесса, получаем, что ?/>п(0,0,0,вь...,в,г,:Е[1|, ...,£[„]) является моментной функцией п-го порядка решения задачи (5), (6).

Из формулы (12) получается формула для моментной функции п-го порядка решения задачи (5), (6).

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук Владимиру Григорьевичу Задорожиему за научное руководство и постоянный интерес к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Бессдина Т.В. Условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнении / Т.В. Бессдина // Черноземный альманах научных исследований. -2007. - № 2(6). - С. 18-25.

2. Беседниа Т.В. Интегрирующий множитель обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / Т.В. Бессдина // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - 2009. - Вын. 7. - С. 15-19.

3. Бессдина Т.В. О математическом ожидании решения трехмерного стохастического уравнения диффузии / Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Иоптрягинскис чтения XX". - 2009. - С. 24-25.

к=1

4. Бсседина T.B. О трехмерном стохастическом уравнении диффузии / Т.В. Бсседина, В.Г. Задорожний // Spectral and evolution problems. -2009. - Vol. 19. - P. 13-20.

5. Беседина T.B. О математическом ожидании решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч.1: сборник трудов Международной конференции. - 2009. - С. 55-58.

6. Бсседина Т.В. Вторая моментная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXI". - 2010. - С. 32-33.

7. Беседина Т.В. Моментные функции решения уравнения переноса и диффузии / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. - 2010. -№ 2. - С. 15-25.

8. Беседина Т.В. Моментная функция n-го порядка решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXII". - 2011. -С. 34.

9. Беседина Т.В. Дисперсионная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Бсседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. - 2010. - С. 55-57.

10. Беседина Т.В. Характеристический функционал дифференциального уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ-2011). 22-я ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. -2011. - С. 9.

11. Беседина Т.В. Среднее значение решения уравнения диффузии с зависимыми случайными коэффициентами / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. - 2011. -С. 65-68.

Работа [7] соответствует списку ВАК РФ.

Подписано в печать 12.10.11. Формат 60*84 '/16. Усл. печ. л. 0.93.

Тираж 80 экз. Заказ 1258.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

Глава 1. Вариационная производная и характеристики случайных процессов.

§ 1.1. Вариационная производная.

§ 1.2. Обобщенные функции

1.2.1. Свертка

1.2.2. Преобразование Фурье.

§ 1.3. Случайные процессы и их характеристики

§ 1.4. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Дифференциальные уравнения с вариационными производными.

§ 2.1. Обратная задача вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений второго порядка

2.1.1. Условия существования решения обратной задачи

2.1.2. Нахождение вариационного интеграла.

2.1.3. Интегрирующий множитель

§ 2.2. Дифференциальные уравнения с обычными и вариационными производными

2.2.1. Уравнение первого порядка с обычной и вариационными производными.

2.2.2. Уравнение третьего порядка с обычными и вариационными производными.

Глава 3. Моментные функции решения задачи Коши для уравнения диффузии.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Переход к детерминированным задачам

3.2.1. Математическое ожидание .ТО

3.2.2. Вторая моментная функция

3.2.3. Дисперсионная функция

3.2.4. Частные случаи

3.2.4.1. Случай независимости процесса / от процессов е, /

3.2.4.2. Случай независимых процессов при конкретных законах распределения

3.2.4.3. Случай зависимых процессов при конкретных законах распределения

3.2.4.4. Случай дискретных случайных величин

§ 3.3. Характеристический функционал дифференциального уравнения

3.3.1. Разложение характеристического функционала в степенной ряд

3.3.2. Моментная функция п-го порядка решения задачи Коши.

Многие процессы в природе, технике и экономике описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Если эти уравнения детерминированные, то такие задачи достаточно изучены, и иногда могут быть/найдены точные решения. Часто реальные процессы зависят от влияния случайных факторов и детерминированные модели не подходят. В этом случае рассматриваются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными, процессами, при этом решения уравнений также являются случайными процессами; При исследовании' случайных процессов наиболее важными характеристиками являются моментные функции.

Задачу нахождения моментных функций; решений уравнений со случайными коэффициентами рассматривали: Дж. Адомиан, [1], Вент-цель Л.Д. [19], Кляцкин В.И: [39], Татарский В:И. .[511, Тихонов В.И. [52], Фурсиков A.B. [54, 55], Монин A.G., Яглом A.M. [43, 44]; и другие. Применяют различные4подходы. Строят цепочки уравнений для моментных функций, используют метод последовательных приближений, при малых случайных возмущениях строят асимптотическое приближение; для некоторых задач значение моментных функций можно получить из явного вида решения. В случае линейных дифференциальных уравнений применим метод, рассмотренный Задорожним В.Г. в работах [27, 29], [30]-[33] j [36, 38]. Данный метод основан на сведении поставленной задачи к нахождению решений детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. В работах Строевой; Л.Н. [35, 48, 50] рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, в [49] получена формула момент-ной функции; п-го порядка. Боровикова М.М. [13]-[16] и Хребтова С.С.

34, 37, 56, 57] рассматривали частные случаи уравнения теплопроводности с двумя и тремя, соответственно, фазовыми переменными, получены формулы для первой, второй, дисперсионной и смешанных моментных функций.

Целью данной работы является нахождение решений дифференциальных уравнений с вариационными производными и моментных функций решения задачи Коши для -уравнения переноса и диффузии с тремя фазовыми переменными.

Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми. В работе выведены необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; найдена формула для нахождения вариационного интеграла от систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; выведены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя обратной задачи для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при производных и искомой функции; получены следующие формулы: решения задачи Коши для неоднородных уравнений первого и третьего порядков с обычными и вариационными производными; математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи Коши для урав нения диффузии с тремя фазовыми переменными; первых моментных функций при конкретных законах распределения, как в случае независимых между собой случайных процессов, так и зависимых; коэффициентов разложения характеристического функционала дифференциального уравнения диффузии в степенной ряд; моментной функции п-го порядка для решения уравнения диффузии.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты

- б могут использоваться в вариационном исчислении, теории дифференциальных уравнений с вариационными производными. Полученные формулы моментных функций могут применяться для расчетов конкретных процессов диффузии.

Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах и научных конференциях Воронежского государственного университета; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме "КРОМШ XX" - 2009 (Украина, Крым); на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" -2009, 2010, 2011 (Воронеж); на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XX, XXI, XXII" - 2009, 2010, 2011 (Воронеж); workshop "Deterministic and stochastic variational methods and application" - 2010 (Германия, Галле).

Основные результаты работы опубликованы в [2]—[12]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [5] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем диссертации - 130 страниц.

1. Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. - М. : Мир, 1987. - 376 с.

2. Беседина Т.В. Вторая моментная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXI". -2010. С. 32-33.

3. Беседина Т.В. Дисперсионная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. 2010. - С. 55-57.

4. Беседина, Т.В. Интегрирующий множитель обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / Т.В. Беседина // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. 2009. - Выш 7. - С. 15-19.

5. Беседина Т.В. Моментные функции решения уравнения переноса и диффузии / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика.2010. № 2. - С. 15-25.

6. Беседина Т.В. Моментная функция п-го порядка решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXII".2011. С. 34.

7. Беседина Т.В. О математическом ожидании решения трехмерного стохастического уравнения диффузии /Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XX". 2009. -С. 24-25.

8. Беседина Т.В. О математическом ожидании решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. 4.1: сборник трудов Международной конференции. 2009. -С. 55-58.

9. Беседина Т.В. О трехмерном стохастическом уравнении диффузии / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Spectral and evolution problems. -2009. Vol. 19. - P. 13-20.

10. Беседина Т.В. Условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / Т.В. Беседина // Черноземный альманах научных исследований. 2007. - № 2(6). - С. 18-25.

11. Беседина Т.В. Характеристический функционал дифференциального уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ2011). 22-я ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. 2011. - С. 9.

12. Боровикова М.М. Дисперсионная функция решения стохастической задачи Коши для уравнения теплопроводности / М.М. Боровикова // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2008. - Т. 4 (40). - С. 195-198.

13. Боровикова М.М. Моделирование диффузии вещества в плоской случайно-неоднородной среде / М.М. Боровикова, В.Г. Задорож-ний // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. 2006. - № 2. - С. 10-18.

14. Боровикова М.М. Нахождение моментных функций решения двумерного уравнения диффузии со случайными коэффициентами/Боровикова М.М., Задорожний В.Г.// Известия РАН. Серия Математическая. 2010. - Т. 74, Ш. - С. 3-29.

15. Булинский A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А.Н. Ширяев. М. : Физматлит, 2003. - 400 с.

16. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М. : Наука, 1979. - 224 с.

17. Вентцель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных величин / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин. М. : Наука, 1979 - 424 с.

18. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике /B.C. Владимиров. М.: Наука, 1979. - 320 с.

19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М. : Наука, 1967. - 436 с.

20. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд,C.B. Фомин. М. : Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. - 228 с.

21. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. М. : Добросвет, 2000. - 412 с.

22. Гихман И.И1. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гих-ман, A.B. Скороход. М. : Наука, 1977. - 567 с.

23. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М. : Мир, 1964. - 432 с.

24. Задорожний В. Г. Вполне интегрируемые уравнения в вариационных производных / В.Г. Задорожний // Дифференциальные уравнения. 1975. - T.XI, №.11. - С. 2027-2039.

25. Задорожний В. Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000. 368 с.

26. Задорожний В.Г. Интегрирующий множитель для системы дифференциальных уравнений первого порядка / В.Г. Задорожний // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. 2007. - Вып. 6. - С. 42-44.

27. Задорожний В. Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. М. - Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 316 с.

28. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши уравнения переноса с диффузией и случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Доклады академии Наук. 2001. - т. 377, № 5. - С. 588-590.

29. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожний // Доклады академии Наук. 1999. - Т. 364, № 6. - С. 735-737.

30. Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7, № 2. -С. 351-371.

31. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В.Г. Задорожний // Математические заметки. 1993. - Т. 53, вып. 4. - С. 36-44.

32. Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний, Л.Н. Строева // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 3. - С. 377-385.

33. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами /В.Г. Задорожний // Известия АН РАН. Серия математическая. -2002. Т. 66, № 4. - С. 119-136.

34. Задорожний В.Г. Первые моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, С.С. Хребтова // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2009. - Т. 49., № 11. - С. 1-16.

35. Задорожний В.Г. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Вестник ВГУ. Серия Физика. Математика. 2000. - Вып. 1. - С. 119-121.

36. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем / В.И. Кляцкин. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 240 с.

37. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра / А.Н. Кострикин. М. : Физико-математическая литература, 2000. -368 с.

38. Курант Р. Уравнения с чсатными производными / Р. Курапт. М. : Мир, 1964.-830 е.

39. Миллер Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. М. : Физматлит, 2002. - 320 с.

40. Монин A.C. Статистическая гидродинамика. Часть 1 / A.C. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1965. - 640 с.

41. Монин A.C. Статистическая гидродинамика. Часть 2 / A.C. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1967. - 720 с.

42. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М. : Мир, 1989. - 639 с.

43. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика / B.C. Пугачев. М. : Физматлит, 2002. - 496 с.

44. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления / И.М. Рапопорт // Известия физико-математического общества. -1939. № И. - С. 47-69.

45. Строева J1.H. Линейная задача переноса со случайными коэффициентами / J1.H. Строева // Вестник факультета прикладной математики и информатики. 2003. - Вып. 4. - С. 124-135.

46. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М. : Наука, 1979. - 286 с.

47. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В.И. Тихонов // Атоматика и телемеханика. 1958. -Т. 19, № 8. - С. 717-723.

48. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г.М. Фихтенгольц. СПб. : Лань, 1999. - 464 с.

49. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соотвествующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // ДАН СССР. -1991. Т. 319, № 1. - С. 83-87.

50. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / A.B. Фурсиков // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1992. - Т.56, № 6. - С. 1273-1315.

51. Хребтова С.С. Вторая смешанная моментная функция решения задачи Коши для уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / С.С. Хребтова // Материалы 3 международной научной конференции, Воронеж. 2009. - С. 104 - 105.

52. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. - 436 с.

53. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Наука, 1965. - 328 с.

54. Anderson I. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations / I. Anderson, G. Thompson // Memoirs of the American mathematical society. 1992. - № 473. - 110 p.

55. Weisstein E.W. Convolution / E.W. Weisstein // MathWorld. -(http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html).