Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К УСРЕДНЕНИЮ

ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Физический факультет

Грачев Денис Александрович

Москва - 2011

? А \У.-л 2011

4841177

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Д.Д. СОКОЛОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. ТУТУБАЛИН

доктор физико-математических наук A.C. ПЕТРОСЯН

Ведущая организация: ИЗМИРАН имени Н.В. Пушкова

Защита состоится « М-аПА . 2011 г. в _часов на заседании

Диссертационного Совета; Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. С-ФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическою факультета МГУ.

Автореферат разослан « ». feßpfi/lSL 2011 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.002.10

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Несмотря на значительный прогресс в развитии методов изучения эволюционных уравнений со случайными коэффициентами, исследование как уравнений в частных производных, так и обыкновенных дифференциальных уравнений подобного тина сопряжено с серьезными затруднениями. Дело в том, что аналитические результаты, как правило, представляют собой лишь некоторые утверждения об асимптотическом поведении типичной реализации решения без оценки скорости выхода па асимптотику. Эту трудность в некоторых случаях удается преодолеть при помощи численного моделирования, однако возможности последнего ограничивает проблема, связанная с объемом выборки независимых случайных реализаций решения, который требуется в численном эксперименте для изучения свойств его математического ожидания и высших статистических моментов. Даже для достаточно простых линейных уравнений этот объем может быть очень большим, порядка полумиллиона реализаций. Вместе с тем, решение проблемы моментов актуально и с точки зрения аналитической теории, поскольку далеко не всегда понятно, как подойти к выводу замкнутых уравнений для моментных функций решения (особенно это касается нелинейных задач).

Специфика решения проблемы моментов определяется как видом самого уравнения, так и структурой его случайных коэффициентов, поэтому для разных классов задач приходиться исполшовать разные методы усреднения. Иногда решение задачи удается выписать в явном виде через коэффициенты уравнения, после чего непосредственным усреднением и находятся его моментныс функции. Развитию такого подхода, оказавшегося особенно эффективным при исследовании линейных задач, посвящены многочисленные работы Дж. Адомиана, В.И. Кляцкина, С.А. Молчанова, В.И. Тихонова и др. Другой подход состоит в том^

что для моментных функций строятся цепочки дифференциальных уравнений, которые оказываются, как правило, бесконечными, связанными и незамкнутыми. Проблеме замыкания этих цепочек посвящена обширная литература (отметим, например, работы A.B. Фуреикова, в которых построена моментная теория для уравнений Навье-Стокса). Еще один подход, опирающийся на аппарат вариационных (функциональных) производных, развит в недавних работах В.Г. Задорожним.

Вместе с тем, в физических приложениях (в частности, в задачах магнитной гидродинамики) нередко возникает проблема усреднения дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде короткокоррели-ровапных случайных процессов, когда корреляционная длина для коэффициентов уравнения считается малой и детали поведения решения на соответствующих масштабах игнорируются. Подобные задачи впервые были рассмотрены в контексте теории гидромагнитного динамо А.П. Казанцевым и позднее исследовались в работах Я.Б. Зельдовича, A.A. Рузмайкина, С.А. Молчанова, Д.В. Семенова и др.

Важным преимуществом модели с мгновенными корреляциями является то обстоятельство, что формальный предельный переход при устремлении корреляционной длины к нулю позволяет получить для моментных функций дифференциальные уравнения, а не интегро-разностные, которые возникают при учете эффектов памяти. В диссертации в данном контексте исследуется проблема моментов в классе линейных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами, а также ряд возможных подходов к изучению типичных реализаций и статистических моментов решений некоторых нелинейных уравнений со степенной нелинейностью специального вида. Предложенный для линейных уравнений метод усреднения затем применяется к исследованию одного тонкого эффекта, впервые обнаруженного Я.Б. Зельдовичем в контексте космологии.

Как известно, Вселенная в больших масштабах обладает исключительной

степенью однородности и изотропии, однако в малых масштабах она неоднородна и анизотропна из-за концентрации материи в массивных небесных телах. Еще в 1964 году Я.Б. Зельдович показал, что флуктуации плотности, вызванные такими неоднородностями, приводят к небольшому систематическому искажению космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна нулю, в известной степени похожей на открытую космологическую модель. Эффект Зельдовича с геометрической точки зрения удобно описывать в терминах полей Якоби на геодезических пространственного сечения, вдоль которых и распространяются лучи света. Поле Якоби при этом удовлетворяет уравнению Якоби, которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Коэффициент в этом уравнении - гауссова кривизна - полагается случайным процессом, принимающим как положительные, так и отрицательные значения.

В недавних работах В.Г. Ламбурта, Д.Д. Соколова и В.Н. Тутубалина показано, что эффект Зельдовича можно понимать как возникновение небольшой эффективной добавки к усредненному значению кривизны в уравнении для математического ожидания поля Якоби. Вывод этого уравнения проводился в рамках короткокоррелировапного приближения; при этом актуальной задачей оставалось получение явных уравнений для высших статистических моментов поля Якоби, входящих в описание эффекта Зельдовича. В диссертации на основе предлагаемого тензорного подхода к усреднению линейных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными коэффициентами эта задача решена.

Еще одной актуальной задачей является прояснение вопроса об устойчивости результатов при переходе от модели с мгновенными корреляциями к модели с памятью. В диссертации в данном контексте рассматривается поведение математического ожидания ноля Якоби в случае, когда кривизна представляет собой обновляющийся случайный процесс с малой, но конечной корреляционной длиной. В этом же

контексте исследуются нелинейные уравнения, для которых полученные в рамках короткокоррелированного приближения аналитические результаты сопоставляются с результатами численного эксперимента, проведенного при фиксированной корреляционной длине.

Цели и задачи работы

В ходе проведенных исследований решались следующие основные задачи:

1. Нахождение конструктивного метода решения проблемы моментов в классе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами.

2. Получение явных уравнений для высших статистических моментов поля Якоб и. Нахождение из этих уравнений показателей скоростей прогрессивного роста моментов и сравнение их с соответствующими показателями, полученными ранее из численного эксперимента.

3. Выявление роли памяти для экспоненциального роста среднего решения уравнения Якоби в контексте знакопеременносги случайной кривизны в модели с мгновенными корреляциями.

4. Проведение аналитического и численного исследований некоторых модельных нелинейных задач, в рамках которых на начальной стадии воспроизводятся эффекты перемежаемости.

5. Определение минимального объема выборки независимых случайных реализаций решений рассматриваемых нелинейных у равнений, необходимого в численном эксперименте для изучения их статистических моментов. Сравнение этого объема с объемом, который требуется для численного моделирования соответствующих линейных задач.

Научная новизна

Представленный в данной работе подход позволяет исследовать высшие статистические моменты решения любого линейного однородного уравнения с короткокоррелированными случайными коэффициентами. На основе

введенного понятая линеаризирующего тензора впервые удалось построить конструктивный алгоритм, позволяющий выводить явные уравнения для момеитных функций произвольных натуральных порядков.

Для рассмотренных нелинейных уравнений со случайными коэффициентами предложен метод, позволяющий исследовать поведение высших статистических моментов решений. Новизна этого метода заключается в том, что вместо момеитных функций решений, явные уравнения для которых получить не удается, исследуются моментные функции некоторых функционалов от решений.

Аналитически продемонстрировано и затем численно подтверждено, что эффекты перемежаемости, характерные для линейных уравнений со случайными коэффициентами, имеют место на начальных стадиях и для нелинейных задач. При этом оказалось, что скорости начальною прогрессивного роста статистических моментов не зависят от порядка нелинейности и совпадают со скоростями роста моментов решений соответствующих линейных задач.

Защищаемые положения

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Построен конструктивный алгоритм вывода явных уравнений для моментных функций решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами.

2. Получены явные уравнения для статистических средних поля Якоби 2-ого, 3-его и 4-ого порядков. Предложен простой способ исключения посторонних решений этих уравнений, появление которых обусловлено структурой линеаризирующего тензора поля Якоби. Найдено соотношение между показателями скоростей прогрессивного роста моментов, которое практически совпадает с соответствующим соотношением, полученным ранее из численного эксперимента.

3. Показано, что рост математического ожидания поля Якоби в модели с

памятью определяется соотношениями того же характера, что и в модели с мгновенными корреляциями. Тем самым подтверждено, что этот рост связан именно с малыми флуктуациями кривизны, а не с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной.

4. На примере простых нелинейных лагранжевых моделей демонстрируется подавление эффектов перемежаемости, выражающееся в прекращении начального прогрессивного роста высших статистических моментов.

5. Оценен объем выборки независимых случайных реализаций решенийрассматриваемых нелинейных уравнений, который необходим для воспроизведения свойств их статистических моментов. Показано, что этот1 объем не превосходит того объема, который требуется для численного моделирования соответствующих линейных задач.

Теоретическая и практическая значимость работы

Систематизированная техника вывода замкнутых моментных уравнений, основанная на предложенном тензорном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях. Показательным примером последних могут служить задачи, связанные с различными моделями явлений переноса в случайных средах, и, в частности, с моделями динамо, где одним из ключевых этапов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений для магнитного поля в соответствующем случайном потоке.

Моменты поля Якоби являются одной из ключевых характеристик, описывающих поведение' геодезических на многообразиях случайной кривизны. Поэтому найденные моментные уравнения не только входят в описание эффекта Я.В. Зельдовича, но и представляют самостоятельный геометрический интерес.

Результаты проведенного в рамках простых лагранжевых моделей численного эксперимента могут принести пользу при численном исследова-

нии более сложных эволюционных уравнений со случайными коэффициентами. В частности, это касается полученных оценок минимальных объемов выборки независимых случайных реализаций решений, необходимых для моделирования их статистических моментов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих международных семинарах и конференциях:

1. "Неравновесные процессы в сплошных средах", г. Пермь, 2007.

2. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", г. Пущино, 2007.

3. "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, 2008.

4. "Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова", п. Абрау-Дюрсо, 2008.

5. "Transport in hydrodynamic flows: analytical and numerical approaches", г. Москва, 2008.

6. "Механика сплошных сред как основа современных технологий", г, Пермь, 2009.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ (5 статей в рецензируемых журналах, 2 статьи в сборниках трудов конференций и 4 тезиса конференций). В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения и списка литературы из 57 наименований. Диссертация содержит 118 страниц, включая 15 рисунков.

Краткое содержание работы

В первой главе, являющейся введением, поставлены основные цели работы, приведены защищаемые положения, указана научная новизна полученных результатов и кратко изложено содержание диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию проблемы моментов в классе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с короткокоррели-рованными случайными коэффициентами.

В §2.1 приводится краткий обзор некоторых подходов, используемых при нахождении моментных функций решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.

В §2.2 ставится задача усреднения т-ого порядка, состоящая в сопоставлении уравнению

с коэффициентами в виде короткокоррелированных случайных процессов а^-(ж):. = 3 ■■ = 0,1,...,п дифференциального уравнения для

< ут >, где т б N. Указываются трудности, возникающие на пути непосредственного усреднения и вывода моментных уравнений.

В §2.3 предложен способ вывода дифференциального уравнения для среднего решения < у >, т.е. решена задача усреднения 1-ого порядка. Рассматриваемое уравнение сводится стандартным образом к системе уравнений первого порядка для (п + 1)-мерного вектора-строки г с компонентами г\{х) = у{х), г2(х) = у'{х), ..., гп+1(х) = у^п\х):

+ ... + ах(х)—- + а0(х)у = О

г(х) = г(х)А(х), где А(х) =

/ООО ... О -а0(:г) Д 10 0 ... 0 -а^х) 0 10 ... 0 -а2{х)

\0 I) 0 ... 1 —а„(х)

Затем для данной системы вводится фундаментальная матрица, которая выражается через т.н. мультипликативный интеграл (известный в теории поля под названием Т-нроизведения). Конструкция мультипликативного интеграла позволяет избежать проблемы, связанной с усреднением статистически зависимых случайных сомножителей. При этом оказывается, что среднее < у > удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

В §2.4 дается определение линеаризирующего тензора и формулируются некоторые его простейшие свойства. Линеаризирующим тензором т-ого порядка назовем тензор

где г, к,... ,р —некоторые т индексов, каждый из которых независимо от других пробегает от 1 до п + 1 (здесь г,- —индексная форма записи (п + 1)-мерного вектора-строки ъ). Введенный объект является тензором ранга т и имеет (п + 1)т компонент, однако различных компонент в силу его симметричности будет гораздо меньше. В частности, линеаризирующие тензоры второго и третьего порядков имеют по

различных компонент соответственно.

В §2.5 доказана лемма, об одном важном свойстве математического ожидания линеаризирующего тензора — оказывается, величина < > удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами. Перебором всевозможных значений индексов г,1,к,...,р это тензорное уравнение сводится к линейной системе скалярных уравнений первого порядка для усредненных компонент гщс...р. Одной из таких компонент и является искомая компонента < ут > (как несложно заметить, она отвечает' набору индексов 1 = 1 = к = ...=р — 1).

В §2.6 в виде конструктивного алгоритма приведено решение задачи усреднения т-ого порядка и доказана основная теорема, согласно

(п + 1)(п + 2) 2

и

которой величина < ут > удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, причем порядок этого уравнения не превосходит числа различных компонент гцк...р.

В §2.7 обсуждается проблема появления посторонних решений у моментных уравнений, а также возможность применения тензорного подхода при исследовании уравнений со случайнымй коэффициентами в частных производных.

В §2.8 кратко изложены основные выводы второй главы.

В третьей главе на основе введенного понятия линеаризирующего тензора проводится усреднение полей Якоби вдоль геодезических риманова многообразия со случайной кривизной. В рамках короткокоррелированного приближения выводятся уравнения для высших статистических средних поля Якоби, входящих в описание эффекта Я.Б. Зельдовича.

В §3.1 рассматривается первоначальная модель эффекта, для которой Я.Б. Зельдович получил явное решение уравнения Эйнштейна и нашел геодезическое отклонение.

В §3.2 дано описание эффекта Я.Б. Зельдовича в терминах полей Якоби. При этом рассматриваемая задача, являющаяся в исходной постановке задачей о поведении геодезических в четырехмерном псевдоримановом пространстве-времени, сводится к изучению семейства геодезических на двумерном римановом многообразии, натянутом на проекции двух близких изотропных геодезических.

Пусть -у(9, х) — двупараметрическое семейство геодезических, проходящих через некоторую точку двумерного риманова многообразия, причем х — расстояние от точки их пересечения, а в — угол, отсчитываемый от определенной базовой геодезической этого семейства, для которой 0 = 0. Тогда расстояние между точками, находящимися на близких геодезических на расстоянии х ог точки пересечения, равно (с точностью до малых высшего порядка) у(х)9, где у(х) и есть, по определению, ноле Якоби вдоль

базовой геодезической. Поле Якоби можно найти из уравнения Якоби:

у" + К{х)у = О,

где К(х) — гауссова кривизна, а производные берутся по расстоянию х от начальной точки. Уравнение Якоби дополняется естественными начальными условиями у{0) = 0 (все геодезические семейства выпущены из одной точки) и ?/(0) = 1 (условие нормировки). Физический смысл поля Якоби состоит в следующем: величина у(х)в представляет собой линейный размер удаленных объектов с малым угловым размером в, расположенных во Вселенной на расстоянии х от наблюдателя.

В рассматриваемой статистической модели эффекта Я.Б. Зельдовича мы не интересуемся подробным описанием связи между флуктуациями плотности вещества и флуктуациями кривизны, которая, в принципе, может быть получена из уравнений Эйнштейна. Вместо этого К(х) полагается случайным процессом, принимающим как положительные, так и отрицательные значения.

В §3.3-§3.5 получены явные моментные уравнения для статистических средних 2-ого, 3-его и 4-ого порядков:

< у2 >" +4(к - -к:) < у2 >= 0,

< у3 +10(К - \К) < у3 >" +9(К - |/С)2 < у3 >= 0,

< у4 +20(7? - \к) < у4 >" +64(¥ - Ьс)2 < у4 >= 0.

о о

Наличие эффективной добавки 1С в этих уравнениях приводит к прогрессивному росту статистических моментов поля Якоби < ур >1/,р даже в том случае, когда среднее значение кривизны равно нулю.

В §3.6 рассмотрен способ исключения посторонних решений у уравнений для < у3 > и < у4 >.

В §3.7 сравниваются скорости прогрессивного роста статистических моментов, полученные аналитически, с соответствующими скоростями роста, полученными из численного эксперимента. Показано, что в

тех пределах, в которых прямой численный эксперимент позволяет исследовать моменты поля Якоби, его результаты с хорошей точностью совпадают с результатами, полученными аналитически.

В §3.8 кратко изложены основные выводы третьей главы.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости результатов, касающихся поведения математического ожидания поля Якоби, при переходе от модели с мгновенными корреляциями к модели с памятью. В этой модели кривизна полагается случайным процессом с обновлением, имеющим конечную корреляционную длину.

В §4.1 показано, что при выводе моментных уравнений в рамках короткокоррелированного приближения при любом соотношении между К и К, кривизна К(х) меняет знак. В результате этого остается неясным, с чем именно связан эффект Я.Б. Зельдовича — с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной, или же с наличием небольших флуктуаций кривизны, вызванных флуктуациями плотности. Для прояснения этого вопроса необходимо отказаться от условия короткокоррелированности и ввести в описание случайного процесса К(х) эффекты памяти, что и составляет содержание четвертой главы.

В §4.2 приведено описание модели случайной кривизны с обновлением, которая используется при выводе уравнения для математического ожидания поля Якоби. Эта модель предполагает статистическую независимость значений кривизны в достаточно далеко отстоящих друг от друга точках пространства Вселенной.

В §4.3 получено уравнение для < у >. В силу конечности корреляционной длины оно является разностным, однако, как и соответствующее дифференциальное уравнение, оно описывается эффективным значением кривизны, приводящим к некоторому уменьшению осредненного значения К. Другими словами, рост математического ожидания поля Якоби в модели с памятью определяется соотношениями того же характера, что и в модели с мгновенными корреляциями. Тем самым подтверждено, что

эффект Я.Б. Зельдовича действительно связан с малыми флуктуациями кривизны, а обращения ее знака при выводе уравнений в короткокоррели-рованной модели с физической точки зрения несущественны.

В §4.4 обсуждается полученная с учегом постепенной потери памяти формула для эффективного значения кривизны. Показано, что она является обобщением на случай произвольного корреляционного радиуса соответствующей формулы, нолученной ранее.

В §4.5 кратко изложены основные выводы четвертой главы.

В пятой главе исследуется зависимость минимального объема выборки независимых случайных реализаций, необходимого в численном эксперименте для моделирования моментов лаграижева решения, от коммутационных свойств некоторых алгебраических операторов.

В §5.1 обсуждается связь проблемы минимального объема выборки со свойствами перемежаемости.

В §5.2 показывается, что лагранжево решение в случае конечного корреляционного времени среды имеет вид произведения независимых операторов, действующих на начальное условие.

Пусть и — скалярное или векторное (не обязательно трехмерное) поле, удовлетворяющее уравнению вида

^ + (у\7)и =■ Ь(Ь, х)и + г/Ди.

Оператор Ь здесь является алгебраическим и содержит случайный параметр. Переносной член (уУ)« тоже может содержать случайную скорость. Мы интересуемся решением задачи Коши в безграничном пространстве, т.е. эволюцией первоначально заданного распределения щ.

В случае малого коэффициента и при лапласиане лагранжево решение получается путем перехода в систему отсчета, движущуюся вместе со средой, и отбрасывания члена со вторыми производными. Если корреляционное время 6 среды конечно, то это решение имеет вид

и = АгАг-1 . . . АхЩ,

где Аг = ехрг = 1 ,...,п.

В §5.3 рассматриваются два возможных случая: случай, когда А{ являются некоммутирующими, и случай, когда все эти операторы коммутируют друг с другом. Показано, что особенности поведения типичной реализации лагранжева решения, обусловленные коммутационными свойствами Д-, можно рассматривать в контексте противопоставления свойств произведений случайных матриц и случайных чисел. В отличие от случайных чисел, произведение независимых случайных матриц при увеличении числа сомножителей асимптотически растет по экспоненциальному закону (этот важный и нетривиальный факт установлен в т.н. теории Ферстенберга). Далее в §5.3 приводится краткий обзор основных результатов аналитического исследования соответствующих задач.

В §5.4 представляются результаты численного эксперимента. Показано, что для моделирования моментов случайных величин, представляющих собой произведение независимых случайных чисел, требуется объем выборки порядка 103 реализаций. Этот объем много меньше аналогичного объема, необходимого при моделировании мультипликативных конструкций из некоммутирующих сомножителей (случайных матриц), где требуется не менее 105 реализаций.

В §5.5 сравнивается соотношение между скоростями роста последовательных статистических, моментов, полученное численно, с соответствующим соотношением, найденным из аналитической теории.

В §5.6 кратко изложены основные выводы пятой главы.

Шестая глава посвящена изучению некоторых нелинейных модельных задач, в рамках которых на начальном режиме воспроизводятся эффекты перемежаемости.

В §6.1 и §6.2 формулируются основные цели и задачи шестой главы. Нас интересует подавление перемежаемости и последующая стабилизация в рассмотренных ранее лагранжевых моделях в случае, когда в них введена

нелинейность. Для определенности мы выбираем нелинейность степенного тина и изучаем указанный круг вопросов в рамках задач

+ = у'(0) = 1, y(0)=yi,

1 + Г

, а(х) + к .

У = . , 2 У' = А4' к = const'

1 + У

Qj(x)

г/' = 1 , .уУ + ку, у(0) = ¡1, к = const, 1 + Уг

которые получаются из соответствующих линейных уравнений добавлением членов со степенной нелинейностью и стабилизационного члена ку соответственно.

В §6.3 предложен простой аналитический метод, позволяющий преодолевать трудности, связанные с выводом замкнутых моментных уравнений. В ходе исследования параметры /ли к варьировались. В частности, отдельно рассмотрен случай 0 < /х ■С 1, который интересен тем, что позволяет обнаружить подавление эффектов перемежаемости при переходе начального линейного (неустойчивого) режима в нелинейный.

В §6.4 представляются результаты численного моделирования. Показано, что с развитием нелинейности быстро падает минимальное число независимых случайных реализаций, необходимое для исследования среднего решения и его высших статистических моментов. Кроме того, по результатам численного эксперимента сделан вывод об отсутствии финального распределения, что свидетельствует о принципиальной ограниченности лагранжева подхода при исследовании нелинейных эволюционных задач.

В §6.5 обсуждаются возможные пути обобщения полученных результатов. В частности, внимание обращается на то, что предложенный в главе аналитический подход родственен методу интегрирующего множителя.

В §6.6 кратко изложены основные выводы шестой главы.

Основные выводы

В ходе проведенного в диссертации исследования установлено, что:

1) Прием взятия математического ожидания от тензорной величины, характерный для задач статистической гидродинамики, может1 быть достаточно эффективным и при решении проблемы моментов в более широких классах уравнений, не имеющих, вообще говоря, прямой гидродинамической интерпретации. Систематизация данного приема позволяет выводить по общей схеме уравнения для моментов любых натуральных порядков, избегая при этом проблемы усреднения нелинейных уравнений для соответствующих степеней решения.

2) Структура линеаризирующих тензоров поля Якоби приводит к появлению посторонних решений у моментных уравнений, которые можно исключить, положив флуктуации кривизны равными нулю. При этом использование относительной величины, показывающей, во сколько раз скорость прогрессивного роста момента (р -I- 1)-ого порядка отличается от скорости роста р-ого, позволяет сравнивать аналитические результаты с результатами, полученными ранее в численном эксперименте.

3) Усложнение модели случайной кривизны введением эффектов памяти приводит к усложнению моментного уравнения для математического ожидания поля Якоби — оно становится разностным. Однако, как и соответствующее дифференциальное уравнение, оно описывается эффективным значением, приводящим к некоторому уменьшению средней кривизны. При этом в рассмотренной модели случайного процесса с обновлением эффективная кривизна не является константой, а представляет собой знакоотрицательную функцию от корреляционной длины.

4) Численное исследование моментов случайных величин, представляющих собой произведение большого числа статистически независимых случайных чисел, требует объема выборки порядка 103 реализаций. Этот объем много меньше аналогичного объема, необходимого при моделировании мультипликативных конструкций из некоммутирующих сомножителей (случайных матриц), где требуется не менее 105 реализаций.

5) С развитием нелинейности быстро падает число независимых случайных реализаций, необходимое для исследования статистических моментов решений уравнений, воспроизводящих на начальном этапе эффекты перемежаемости.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Грачев Д.А. Тензорный подход к проблеме усреднения дифференциальных уравнений с ¿-коррелированными случайными коэффициентами // Математические заметки, - 2010, - Т. 87(3), - С. 359-368.

2. Grachev D.A. Averaging of Jacobi fields along geodesies on manifolds of random curvature // Journal of Mathematical Sciences, - 2009, - V. 160(1), -P. 128- 138.

3. Грачев Д.А. О соотношении между аналитическим и численным подходами к исследованию стохастических дифференциальных уравнений // Вычислительные методы и программирование, - 2008, - Т. 9(2), - С. 8590.

4. Грачев Д.А. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, - 2008, - (1), - С. 16-19.

5. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин // Вычислительные методы и программирование, - 2007, - Т. 8(1), - С. 5-9.

6. Грачев Д.А. Моделирование эффектов перемежаемости при помощи уравнений со случайными коэффициентами. Материалы конференции "Неравновесные процессы в сплошных средах"// Пермь, - 2007, - С. 142145.

7. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении. Сб. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", тезисы докладов XXIV конференции // Пущино, - 2007, - С. 4.

8. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Высшие статистические моменты решения уравнения Якоби со случайной кривизной. Сб. "Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3", труды пятой Всероссийской научной конференции // Самара, - 2008, - С. 83-86.

9. Грачев Д-А., Соколов Д.Д. Об усреднении нолей Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной. Сб. "Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова"// Абрау-Дюрсо, - 2008, - С. 217-219.

10. Grachev D., SokoloffD. Moment équations for linear and nonlinear équations with randoin coefficients. Материалы французско-русского семинара "Transport in hydrodynamic flows: analytical and numerical approaches"// Москва, - 2008. ..

11. Грачев Д.А., Жданов A.Г., Соколов Д.Д. Перемежаемость в нелинейной случайной среде. Сб. "Механика сплошных сред как основа современных технологий", тезисы докладов XVI Зимней школы по механике сплошных сред // Пермь, - 2009, - С. 123.

Подписано к печати i7.Q2.i4

Тнрик Заказ 29. _

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

1.1 Актуальность исследований

1.2 Цели и задачи работы.

1.3 Защищаемые положения.

1.4 Научная новизна.

1.5 Теоретическая и практическая ценность.

1.6 Апробация работы.

1.7 Краткое содержание работы.

2.2 Постановка задачи усреднения т-го порядка .24

2.3 Математическое ожидание решения.28

2.4 Понятие линеаризирующего тензора.30

2.5 Уравнение для математического ожидания линеаризирующего тензора и его скаляризация.32

2.6 Основная теорема и алгоритм решения задачи усреднения . 33

2.7 Обсуждение результатов главы .35

2.8 Выводы.36

3 Усреднение полей Якоби вдоль геодезических риманова многообразия со случайной кривизной 38

3.1 Введение.38

3.2 Постановка задачи.41

3.3 Уравнение для статистического среднего 2-го порядка . 44

0и

3.3.1 Следствия из уравнения Якоби.44

3.3.2 Вывод уравнения для среднего квадрата.45

3.4 Уравнение для статистического среднего 3-го порядка . 47

3.4.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 3-го порядка . 48

3.4.2 Скаляризация тензорного уравнения.49

3.5 Уравнение для статистического среднего 4-го порядка . 50

3.5.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 4-го порядка . 50

3.5.2 Скаляризация тензорного уравнения.51

3.6 Посторонние решения моментных уравнений и их исключение 52

3.7 Обсуждение результатов главы .54

3.8 Выводы.57

4 Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями 58

4.1 Введение .58

4.2 Постановка задачи.59

4.3 Математическое ожидание поля Якоби и эффекты памяти . 60

4.4 Обсуждение результатов главы .64

4.5 Выводы.65

5 Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин 66

5.1 Введение.66

5.2 Постановка задачи.67

5.3 Законы роста произведения случайных матриц и произведения случайных чисел .69

5.3.1 Теория Ферстенберга.69

5.3.2 Применение теории Ферстенберга к уравнению Якоби 72

5.4 Результаты численного эксперимента.74

5.5 Обсуждение результатов главы .85

5.6 Выводы.85

6 Некоторые модели слабонелинейного режима для уравнений со случайными коэффициентами 87

6.1 Введение.87

6.2 Постановка задач .88

6.3 Аналитические результаты.89

6.4 Результаты численного моделирования.95

6.5 Обсуждение результатов главы .108

6.6 Выводы.109

Заключение 110

Список литературы 111

1 Введение

6.6 Выводы

Проведенное в этой главе исследование показало, что:

1) прием, состоящий в замене решения на некоторую функцию от решения, в ряде случаев может быть достаточно эффективным при изучении статистических моментов решений уравнений со случайными коэффициентами. Особенно это касается нелинейных задач, где вывести замкнутые моментные уравнения, как правило, не представляется возможным;

2) с развитием нелинейности быстро надает число независимых случайных реализаций, необходимое для исследования статистических моментов решений уравнений, воспроизводящих на начальном этапе эффекты перемежаемости.

Результаты главы 6 представлены в работах [55] - [57[.

Заключение

В заключение еще раз сформулируем защищаемые положения.

1. Построен конструктивный алгоритм, позволяющий аналитически исследовать высшие статистические моменты решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами.

2. Получены явные уравнения для статистических средних поля Якоби 2-ого, 3-его и 4-ого порядков. Предложен простой способ исключения посторонних решений этих уравнений, появление которых обусловлено структурой линеаризирующего тензора поля Якоби. Найдено соотношение между показателями скоростей прогрессивного роста моментов, которое практически совпадает с соответствующим соотношением, полученным ранее из численного эксперимента.

3. Показано, что рост математического ожидания поля Якоби в модели с памятью определяется соотношениями того же характера, что и в модели с мгновенными корреляциями. Тем самым подтверждено, что этот рост связан именно с малыми флуктуациями кривизны, а не с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной.

4. На примере простых нелинейных лагранжевых моделей демонстрируется подавление эффектов перемежаемости, выражающееся в прекращении начального прогрессивного роста высших статистических моментов.

5. Оценен объем выборки независимых случайных реализаций решений рассматриваемых нелинейных уравнений, который необходим для воспроизведения свойств их статистических моментов. Показано, что этот объем не превосходит того объема, который требуется для численного моделирования соответствующих линейных задач.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дмитрию Дмитриевичу Соколову за постановку интересных задач, а также за постоянную заботу и внимание к работе.

1. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. 152(1). 3-32.2J Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. The Almighty Chance // Singapore, World Scientific, 1991.

2. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы // Автоматика и телемеханика. 1958. 19(8). 717-723.

3. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.:Мир, 1987.

4. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Статистические средние в динамических системах // ТМФ. 1973. 17(2). 273-282.

5. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса // ДАН СССР. 1991. 319(1). 8387.

6. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. 56(6). 12731315.

7. Шапиро В. Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

9. Задорожпий В.Г., Строева Л.Н. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первогопорядка со случайными коэффициентами // Дифференц. уравн. 2000. 36(3). 377-385.

10. Задорожний В. Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / / Фундаментальная и прикладная математика. 2001. 7(2). 351-371.

11. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66(4). 119-136.

12. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

13. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

14. Казанцев А. П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью // ЖЭТФ. 1967. 53. 1806-1813.

15. Семенов Д. В. Усреднение параболических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. заметки. 1989. 45(3). 123-126.

16. F. Krause, К.-H. Rädler. Mean field magnetohydrodynamics and Dynamo theory. Pergamon Press, Oxford, 1980.

17. Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелированном поле скорости // Магнитная гидродинамика. 1983. 4. 67-72.

18. Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке // УФН. 1985. 145(4). 593-628.

19. Lamburt V.G., Sokoloff D.D., Tutubalin V.N. Light propagation in a Universe with spatial inhomogeneities // Astrophysics and Space Science. 2005. 298. 409-418.

20. Грачев Д.А., Соколов Д-Д- Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин // Вычислительные методы и программирование. 2007. 8(1). 5-9.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

22. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.

23. N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffusion. // Phys. Rev. E., 2002, - V. 65, - P. 036303-7.

24. Грачев Д.А. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2008. 1. 16-19.

25. Грачев Д.А. Тензорный подход к проблеме усреднения дифференциальных уравнений с ¿-коррелированными случайными коэффициентами // Математические заметки. 2010. 87(3). 359-368.

26. Грачев Д.А. О соотношении между аналитическим и численным подходами к исследованию стохастических дифференциальных уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9. 234-238.

27. Зельдович Я.Б. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем // Астрон. ж. 1964. 41. 19-24.

28. Я. Б. Зельдович, И.Д. Новиков Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.

29. Я. Б. Зельдович, И.Д. Новиков Строение и эволюция Вселенной. М.:Наука, 1975.

30. Е. V. Ivanovo,, О. S. Khovanskaya. Effective curvature of the Universe in observations of distant objects //Astronomy reports, 2005, - V. 49, -P. 771-776.

31. E. A. Gann. A fundemental limitation on the accuracy of angular measurements in observational cosmology. // Ap. J. 1967, - V. 147, - P. 61-68.

32. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Поля Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной // Матем.заметки. 2003. 74(3). 416-424.

33. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. М.: РХД, 2003.

34. М. V. Sazhin, V. Е. Zharov, Т. A. Kalinina. Parallax distortion by weak microlensing effect. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 2001, - V. 323,- P. 952-964.

35. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, A. V. Volynkin, et al. Microarcsecond instability of the celestial reference frame. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc.,- 1998, V. 300, - P. 287-291.

36. B.E. Жаров, M.B. Сажин, H.A. Чуйкова. Влияние нестабильности земной и небесной систем координат на определение параметров ориентации Земли. // Астрон. ж., 2000, 77(2), С. 144-160.

37. М.В. Сажин. Фундаментальный предел точности астрометрических измерений. // Письма в Астрон. ж., 1996, 22, С. 643-647.

38. F. De Felice, C.J.S. Clarke. Relativity on curved manifolds. Cambridge, 1990.

39. Дою. Сииг. Общая теория относительности. M.: Изд-во иностр. лит., 1963.

40. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля (8-е издание). М.: Наука, 2001, Т.2.

41. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в делом. М.:Мир, 1971.

42. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной // Вычислительные методы и программирование. 2004. 5.(2). 172-177.

43. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной // Астрон. ж. 2005. 82(7). 584-589.

44. Artyushkova М.Е., Sokolojf D.D. Modelling small-scale dynamo by the Jacobi equation // Magnetohydrodynamics. 2006. 42(1). 3-19.

45. Grachev D.A. Averaging of Jacobi fields along geodesies on manifolds of random curvature // Journal of Mathematical Sciences. 2009. V. 160(1). P. 128- 138.

46. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Высшие статистические моменты решения уравнения Якоби со случайной кривизной. Сб. "Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3", труды пятой Всероссийской научной конференции // Самара. 2008. 83 86.

47. Грачев Д.А., Соколов Д.Д. Об усреднении полей Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной. Сб. "Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова"// Абрау-Дюрсо. 2008. 217-219.

48. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Турбулентная диффузия в межзвездной среде // Астрономический журнал, 2000. 77(10). 743-749.

49. Грачев д.А., Соколов Д.Д. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении. Сб. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", тезисы докладов XXIV конференции // Пущино. 2007. 4-5.

50. Furstenberg Н. Noncoiiiinutiiig random products // Trans.Amer.Math.Soc. 1963. 108(3). 377-428.

51. Furstenberg H. A Poisson formula for semi-simple Lie groups // Ann.Math. 1963. 77(2). 335-386.

52. Ya.B. Zeldovich, A.A. Ruzmaikin, S.A. Molchanov,D.D. Sokoloff. Kine-maic Dynamo Problem in a Linear Velocity Field. // J.Fluid Mech., -1984, V. 144, - P. 1-32.

53. Грачев Д.А. Моделирование эффектов перемежаемости при помощи уравнений со случайными коэффициентами. Материалы конференции "Неравновесные процессы в сплошных средах"// Пермь. 2007. С. 142-145.

54. Grachev D., Sokoloff D. Moment equations for linear and nonlinear equations with random coefficients. Материалы французско-русского семинара "Transport in hydrodynamic flows: analytical and numerical approaches"// Москва. 2008. C.l.

55. Грачев Д.А., Жданов А.Г., Соколов Д.Д. Перемежаемость в нелинейной случайной среде. Сб. "Механика сплошных сред как основа современных технологий", тезисы докладов XVI Зимней школы по механике сплошных сред // Пермь. 2009. С. 123.