Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

/

Яровая Елена Борисовна

Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 МАЯ 2013 005058429

Москва - 2013

005058429

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова".

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Колчин Валентин Федорович, ведущий научный сотрудник отдела дискретной математики ФГБУН "Математический институт им. В.А. Стеклова РАН"

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Юрий Леонидович, заведующий лабораторией теории вероятностей и компьютерной статистики ФГБУН "Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН"

доктор физико-математических наук, доцент Ульянов Владимир Васильевич, профессор кафедры математической статистики факультета ВМК ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"

Ведущая организация: ФГБУН "Институт проблем передачи информации

им. A.A. Харкевича РАН"

Защита состоится 21 июня 2013 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»_2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертация посвящена ветвящимся случайным блужданиям — одной из интенсивно развивающихся областей теории вероятностей и случайных процессов. С помощью ветвящихся случайных блужданий изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, гибнуть и перемещаться но пространству в различных средах но правилам, учитывающим фактор случайности. Ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) является стохастическим процессом, сочетающим в себе свойства ветвящегося процесса и случайного блуждания.

Ветвящиеся процессы описывают явления, связанные с размножением и исчезновением совокупностей объектов. Основные идеи теории ветвящихся процессов появились в исследованиях Ф. Гальтона и Д. Ватсона еще во второй половине XIX века. Однако аксиоматические основы этой теории были заложены лишь в середине прошлого века в фундаментальных исследованиях А.Н. Колмогорова, Н.А. Дмитриева, Б.А. Севастьянова, Р. Беллмана и Т. Харриса и получили развитие в многочисленных публикациях современных авторов, в частности, в монографиях Н. Атрея и П. Нея\ К. Мода2, 3. Ли3, П. Ягерса4. Обзор по этой проблематике можно найти в работах В.А. Ватутина и A.M. Зубкова5,0.

Термин "случайное блуждание" был введен, по-видимому, К. Пирсоном7. С помощью случайных блужданий изучаются процессы перемещения частиц под действием некоторого случайного механизма. Широкий круг проблем теории случайных блужданий описан в классических монографиях Ф. Спицера8 и В. Феллера9. Различным подходам к их решению посвящены труды А.А. Боров-

1 Athreya К. В., Ney P. Е. Branching processes. New York: Springer-Verlag, 1972. xi+287 p.

2 Mode C. J. Multitype branching processes. Theory and applications. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, No. 34. American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1971. P. xx-r-330 pp. (loose erratum).

3 Li Z. Measure-valued branching Markov processes. Probability and its Applications (New York). Heidelberg: Springer, 2011. P. xii+350.

4 Jagers P. Branching processes with biological applications. London: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], 1975. P. xiii+268.

5 Ватутин В. А., Зубков A. M. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 3-67.

0 Vatutin V. A., Zubkov А. М. Branching Processes. II // J. Sov. Math. 1993. Vol. 69, no. 6. P. 3407-3485.

7 Pearson K. The Problem of the Random Walk // Nature. 1905. Vol. 72, no. 294. P. 318-342.

8 Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. M.: Мир, 1969. 472 с.

9 Феллср В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.

кова, К.А. Боровкова, Г. Кестена, М.В. Козлова, Я.Г. Синая и других авторов.

В последние годы актуальным стало исследование поведения более сложных стохастических систем с размножением, гибелью и перемещением элементов в пространстве в зависимости от структуры среды и пространственной динамики, которые не вписываются в рамки классических теорий. Подобные модели возникают в статистической физике10,11, химической кинетике12, теории гомополимеров13. Прикладные проблемы, а также логика развития теории случайных процессов привели к формулировке основных принципов ВСБ. Вероятностные Модели ВСБ принято описывать в терминах размножения, гибели и блуждания частиц. Основополагающей в этом направлении признана статья Б.А. Севастьянова14 о ветвящихся процессах с диффузией частиц. Важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся блужданий связаны также с именами А.В. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Реве-са. Однако работы этих и многих других математиков в основном посвящены либо одномерному случаю, либо исходят из предположения об однородности ветвящейся среды. В связи с этим на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц в пространственно неоднородных, "каталитических" средах. Например, в работах15,16 рассмотрены сунердиффузионные процессы, возникающие как "диффузионный" предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц17*18.

Одно из современных направлений анализа ВСБ, возникшее в работах

10 Zel'dovich Y. В., Molchanov S. A., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. Intermittency, diffusion аш! generation in a nonstationary random medium // Mathematical physics reviews, Vol. 7. Cliur: Harwood Academic Publ., 1988. Vol. 7 of Soviet Sci. Rev. Sect. С Matli. Pliys. Rev. P. 3-110.

11 Gartner J., Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. II. Second-order asymptotics and structure of high peaks // Probab. Theory Related Fields. 1098. Vol. Ill, no. 1. P. 17-55.

12 Gartner J., Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. I. Intermittency and related topics // Comm. Math. Phys. 1990. Vol. 132, no. 3. P. 613-655.

13 Cranston M., Koralov L., Molchanov S., Vainberg B. Continuous model for homopolymers //J. Funct. Anal. 2009. Vol. 256, no. 8. P. 2656-2696.

14 Севастьянов В. А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами // Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, Х> 2. С. 121-136.

15 Dawson D. A., Fleischmann К. A super-Brownian motion with a single point catalyst // Stochastic Process. Appl. 1994. Vol. 49, no. 1. P. 3-40.

16 Fleischmann K., Le Gall J.-F. A New Approach to the Single Point Catalytic Super-Brownian Motion // Probab. Theory and Relat. Fields. 1995. Vol. 102, no. 1. P. 63-82.

17 Dawson D. A., Fleischmann K., Le Gall J.-F. Super-Brownian motions in catalytic media // Branching processes (Varna, 1993). New York: Springer, 1995. Vol. 99 of Lecture Notes in Statist. P. 122-134.

18 Vatutin V., Xiong J. Some limit theorems for a particle system of single point catalytic branching random walks // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2007. Vol. 23, no. 6. P. 997-1012.

С. Альбеверио, JI.B. Богачева, С.А. Молчанова и автора диссертации19,20,21, связано с исследованием процессов на целочисленных решетках с непрерывным временем для пространственно неоднородных или случайных ветвящихся сред, представляющих собой совокупность процессов размножения и гибели частиц в узлах решетки. При этом среды с конечным числом источников ветвления называют неоднородными. Весьма актуальным представляется анализ влияния среды на предельное пространственное распределение частиц. Эта проблема интересна также в связи с исследованием пространственных распределений в случайных средах, в которых интенсивности размножения и гибели частиц случайны. Для таких сред характерно возникновение структур с выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием так называемых сильных центров, в окрестности которых происходит основной рост процесса12,22. Такие модели используются в теории надежности [7], [15], при исследовании миграции и деления клеточных популяций [19] и других областях. Свойства ВСБ, связанные с неоднородностью, некомиактностыо, а также размерностью пространства, служат для объяснения эффектов в более сложных неоднородных структурах18'23.

Для понимания особенностей поведения ВСБ фундаментальное значение имеет модель симметричного ВСБ с одним источником ветвления и конечной дисперсией скачков19'24. Эта "точно решаемая" модель позволяет изучить эффекты, обусловленные неоднородностью среды и неограниченностью пространства. В приложениях условие симметричности ВСБ является достаточно ограничительным, в связи с чем возникает необходимость распространения полученных результатов на ВСБ с нарушением симметрии блуждания в источнике [15].

19 Яровая Е. Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т. 88, № 1. С. 25-30.

20 Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. В. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source // C. R. Acad. Sci. Paris Scr. I Math. 1998. Vol. 326, no. 8. P. 975-980.

21 Albeverio S., Bogachev L. V., Molchanov S. A., Yarovaya E. B. Annealed moment Lyapunov exponents for a branching random walk in a homogeneous random branching environment // Markov Process. Related Fields. 2000. Vol. 6, no. 4. P. 473-516.

22 Molchanov S. Lectures on random media // Lectures on probability theory (Saint-Flour, 1992). Berlin: Springer, 1994. Vol. 1581 of Lecture Notes in Math. P. 242-411.

23 Greven A., den Hollander F. Branching Random Walk in Random Environment: Phase Transition for Local and Global Growth Rates // Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. Vol. 91, no. 2. P. 195-249.

24 Богачев Л. В., Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником // Доклады Академии наук. 1998. Т. 363, 4. С. 439-442.

Исследование ВСБ требует развития уже существующих методов, а также создания новых подходов. Традиционный подход связан с представлением ВСБ как ветвящегося процесса с несколькими типами частиц. Он позволил получить25'25,27,28,29 предельные теоремы для критических ВСБ. В диссертации развивается функционально-аналитический подход. Он основан на представлении эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах20,30 (см. также [1]) и исследовании спектра операторов, возникающих в правый частях этих уравнений. Такой подход предлагает единую точку зрения на модели ВСБ различных типов — как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках [12]. Он позволяет использовать при изучении моделей математической физики, химической кинетики и др. методы функционального анализа, в равной стеиени пригодные для исследования как ВСБ с конечным числом источников, так и многих естественнонаучных моделей, не обязательно описываемых в теоретико-вероятностных терминах. В этом контексте предложенный подход можно применять для учета главных членов "теории возмущений" в соответствии с иерархией каталитических центров.

Одним из принципиальных предположений в ранее проводимых исследованиях ВСБ было условие конечности дисперсии скачков случайного блуждания. В этом случае ВСБ оказывается возвратным на одно- и двумерных решетках, но теряет это свойство на решетках более высокой размерности [1]. В последние годы случайные блуждания (без ветвления) с бесконечной дисперсией скачков привлекали внимание многих авторов, см., например, книгу A.A. Боровкова и

25 Ватутин В., Топчий В. Предельная теорема для критических каталитических ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2004. Vol. 49, по. 3. Р. 463-484.

26 Булинская Е. Вл. Предельные распределения численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Математические заметки. 2011. Т. 90, № б. С. 845-859.

27 Булинская Е. Вл. Предельные теоремы для локальных численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Доклады Академии наук. 2012. Т. 444, № 6. С. 733-738.

28 Ватутин В. А., Топчий В. А., Ху Ю. Каталитическое ветвящееся случайное блуждание по решетке Z4 с ветвлением лишь в начале координат // Теория вероятн. и ее прнмен. 2011. Vol. 56, по. 2. Р. 224-227.

29 Ватутин В., Топчий В. Каталитичекое ветвящееся случайное блуждание по Zd .с одним источником ветвления // Мат. труды. 2011. Vol. 14, по. 2. Р. 28-72.

30 Albeverio S., Bogachev L. V. Branching random walk in a catalytic medium. I. Basic equations // Positivity. 2000. Vol. 4, no. 1. P. 41-100.

К.А. Боровкова31 и библиографию и ней. Подобного рода проблемы актуальны и для ВСБ с "тяжелыми хвостами", которые ранее, по-видимому, не рассматривались.

При изучении поведения сложных случайных систем возникает необходимость анализа ситуаций, когда система частиц испытывает большие уклонения. Иными словами, ведет себя нетипично. Начало современной теории больших уклонений было положено в 1938 году в работе Г. Крамера32. В ней исследовались большие уклонения для сумм независимых, одинаково распреде-. ленных случайных величин. Изучение больших уклонений траекторий случайных процессов связано с именами A.A. Боровкова, К.А. Боровкова, С.Р. Вара-дана, А.Д. Вентцеля, Д.А. Коршунова, A.A. Могульского, A.A. Пухальского, М.И. Фрейдлина и других авторов. Задачи такого типа актуальны и для ВСБ на многомерных решетках. К сожалению, для ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или неприменима или по меньшей мере очень сложна. В недавней статье M. Кренстона, J1. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга13, посвященной непрерывной модели гомополимера, где рассматривалось Rd вместо Zd и броуновское движение вместо случайного блуждания, был предложен подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. В рамках этого подхода для исследования спектра эволюционного оператора средних численностей частиц используется информация о переходных вероятностях и функции Грина эволюционного оператора. Анализ резольвенты оператора при больших уклонениях случайного блуждания позволяет существенно расширить результаты предыдущих исследований для ВСБ. К исследованию функции Грина обращался ряд авторов, среди которых П. Кучмент33, К. Ушияма34, а также С.А. Молчанов и автор диссертации [9, 10].

31 Borovkov A., Borovkov К. Asymptotic Analysis of Random Walks. Heavy-Tailed Distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 200 p.

32 Cramer H. Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités // Actualités Scientifiques et Industrielles. 1938. Vol. 736. P. 5-23.

33 Kuchment P., Raich P. A. Green's function asymptotics near the internal edges of spectra of periodic elliptic operators. Spectral edge case // ArXiv.org e-Print archive. 2011, — October. arXiv.U10.0225.

34 Uchiyama K. Green's functions for random walks on ZN Ц Proc. London Math. Soc. (3). 1998. Vol. 77, no. 1. P. 215-240.

Аналогичные вопросы возникают в теории случайных сред, в которых интенсивности деления и гибели частиц являются случайными нолями, однородными по пространству или по пространству-времени. Такие модели важны не только с точки зрения нонуляционной динамики, но и, например, как модели реальных физических явлений. Принципиально новым эффектом, типичным для теории случайных сред, оказывается так называемая перемежаемость, т.е. высокая степень локальной иррегулярности ноля частиц (или магнитного поля в физике): наличие редких высоких пиков, слоистых структур и т.п. Первые математические работы в этой области принадлежат группе Я.Б. Зельдовича (С.А. Молчанов, A.A. Рузмайкин, Д.Д. Соколов)10'35; см. также цикл работ Ю. Гертнера, С.А. Молчанова, Р. Кармоны38,37,38. Основным объектом анализа в этих работах было не само поле частиц, а его первая корреляционная функция (плотность), удовлетворяющая параболическому уравнению Андерсона со случайным потенциалом. Математическим проявлением перемежаемости является прогрессивный рост старших моментов ноля в сравнении с младшими моментами. Технически это связано с весьма трудной задачей решения системы уравнений для соответствующих корреляционных функций. Анализ явления перемежаемости и связанных с ним особенностей предельного поведения ВСБ в случайных средах до сих пор остается одной из актуальных проблем.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании пространственной структуры ветвящихся случайных блужданий с непрерывным временем и лежащих в их основе случайных блужданий по многомерной решетке с различной пространственной динамикой в неоднородных и случайных средах как при фиксированных пространственных переменных, так и при совместном росте пространственных координат и времени.

35 Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физ. паук. 1987. Т. 152, № 1. С. 3-32.

36 Gärtner J., W. К., Molckanov S. A. Geometric characterization оГ intermittency in the parabolic Anderson model // Ann. Probab. 2007. Vol. 35, no. 2. P. 439-499.

37 Carmona R., Koralov L., Molchanov S. Asymptotics for the almost sure Lyapunov exponent for the solution of the parabolic Anderson problem // Random Oper. Stochastic Equations. 2001. Vol. 9, no. 1. P. 77-86.

33 Molchanov S.A. Rcaction-Diffusion Equations in the Random Media: Localization and Intermittency / / Nonlinear Stochastic PDEs. Hydrodynamic Limit and Bürgere' Turbulence / Ed. by T. Funaki, et al. Berlin: Springer, 1996. Vol. 77 of IMA, Math. Appl, P. 81-109.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Проведена классификация асимптотического поведения моментов и вероятностей продолжения процесса для численностей частиц в ВСБ в зависимости от интенсивности источника, свойств блуждания и размерности пространства, как для симметричного блуждания, так и для блуждания с нарушением симметрии в источнике.

2. Выявлен новый эффект возникновения критических и докритических ВСБ в низких размерностях даже при отсутствии гибели частиц, связанный с отказом от конечности дисперсии скачков случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

3. Введена общая модель ВСБ с конечным числом источников различных типов как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках. Для таких ветвящихся случайных блужданий выявлены фаг зовые переходы в надкритическом случае, что существенно отличает их от ВСБ с одним источником.

4. Получены явные формулы, описывающие асимптотическое поведение переходных вероятностей простого симметричного случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени.

5. Доказаны предельные теоремы для функции Грина переходных вероятностей при произвольном положительном значении параметра, что позволяет исследовать фронт популяции и найти предельные распределения для полного числа частиц в популяции или числа частиц вблизи границы фронта.

6. Для моделей однородного и неоднородного симметричного ВСБ в случайной среде получены условия, при которых асимптотическое поведение усредненных по среде моментов совпадает для обеих моделей. Показано, что таким условиям удовлетворяют ВСБ со случайным потенциалом, для которого логарифм распределения "правого хвоста" асимптотически эквивалентен логарифму распределения Гумбеля и Вейбулла.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и случайных процессов, методы теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, методы спектральной теории, методы анализа тригонометрических рядов со знакопостоянными коэффициентами, а также методы асимптотического анализа рядов и интегралов, в частности, тауберовы теоремы, метод перевала и метод интегралов Лапласа.

Автором разработан оригинальный метод оценки скорости роста преобра- • зования Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания с "тяжелыми хвостами", метод анализа резольвенты разностного лапласиана при больших уклонениях для простого случайного блуждания ири произвольных значениях параметра, а также предложена общая схема исследования функций Грина переходных вероятностей ири больших уклонениях для симметричного случайного блуждания.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты и разработанные автором методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы специалистами в области теории вероятностей, случайных процессов, статистической физики, химической кинетики и уже применяются авторами, работающими в Московском государственном университете (МГУ) имени М.В. Ломоносова, в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН и других научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

• на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова в 2005-2012 гг. (руководитель — академик РАН А.Н. Ширяев);

• на Ломоносовских чтениях в МГУ имени М.В. Ломоносова в 2010, 2011 гг.;

•. на семинаре отдела дискретной математики Математического института имени В.А. Стеклова РАН (руководители — член-корреспондент РАН Б.А. Севастьянов, профессора, доктора физ.-мат. наук A.M. Зубков, В.П. Чистяков, В.А. Ватутин) в 2003 г.

По теме диссертации автором сделаны доклады на следующих конференциях:

Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003;

Международная конференция "Ветвящиеся процессы в случайной среде" Фраикфурт-на-Майне, Германия, 2004;

25-й и 26-й Международные семинары по проблемам устойчивости стохастических моделей, Салерно, Италия, 2005 и Нахария, Израиль, 2007; 7-я Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике", Петрозаводск, Россия, 2008; Международный симпозиум но прикладной вероятности (IWAP 2008), Комиьен, Франция;

Международная барселонская конференция по асимптотической статистике, Белатерра, Испания, 2008;

3-й Международный симпозиум "Марковские и полумарковские модели. Теория и приложения", Кальяри, Италия, 2009;

Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ имени М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего, Москва, Россия, 2009; 6-й Санкт-Петербургский симпозиум по моделированию, 2009; 6-я Международная конференция "Математические методы в теории надежности" (MMR 2009), Москва, Россия;

Российско-японский симпозиум "Стохастический анализ современных статистических моделей" Москва, Россия, 2009;

Международная конференция "Стохастические методы моделирования и

анализ данных" (SMTDA 2010), Ханья, Греция, 2010;

10-я Вильнюсская международная конференция по теории вероятностей

и математической статистике, Вильнюс, Литва, 2010;

5-й Международный симпозиум по прикладной вероятности, Кольменаре-

хо, Испания, 2010;

Международный симпозиум "Стохастика и ее видение", Москва, Россия, 2010;

Международные конференции "Прикладные стохастические модели и ана-

ЛИЗ данных" (АБМОА 2007), Ханья, Греция, (А8МВА-2009), Вильнюс, Литва и (АБМБА 2011), Рим, Италия;

• Международный симпозиум "Ветвящиеся и относящиеся к ним процессы" Люмини, Франция, 2011;

• Франкфуртский семинар и рабочее совещание по случайным дискретным структурам, Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011;

• Международная конференция "Марковские, полумарковские процессы и относящиеся к ним области" (МЭИРИР 2011), Порто Каррас, Греция;

• Международный симпозиум по ветвящимся процессам и их приложениям, Бадахос, Испания, 2012;

• 12-я и 15-я Международные летние конференции по вероятности и статистике (18СР8, 2006), Созоноль, Болгария и (КСРЭ, 2012) Поморье, Болгария;

• Международная конференция "Теория вероятностей и ее приложения", посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. Москва, Россия, 2012;

• 8-ой Международный конгресс по вероятности и статистике, Турция, Стамбул, 2012.

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28-и печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них одна монография, 11 статей входят в официальный перечень ВАК, 16 статей опубликованы в рецензируемых отечественных и зарубежных изданиях, 7 из которых включены в международные системы цитирования.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты и основные положения, выносимые на защиту, получены лично автором. Из 28-и работ, опубликованных но теме диссертации, 21 выполнена без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5-и глав и библиографии. Общий объем диссертации 296 страниц, включая 6 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 112 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен краткий исторический обзор по тематике работы, обоснована актуальность и сформулированы цели исследования, описана структура и взаимосвязь различных глав, а также изложены основные результаты.

В главе 1 рассматривается симметричное ВСБ с непрерывным временем но ¿-мерной целочисленной решетке в предположении, что ветвление происходит в единственной точке — источнике. Для простого симметричного ветвящегося случайного блуждания такая модель была введена автором диссертации19. Исследуется эволюция системы частиц, состояние которой описывается числом частиц у) в момент времени t в каждой точке у е в предположении, что в начальный момент времени t = О система состоит из одной частицы, находящейся в точке х. Частицы совершают случайное блуждание по точкам решетки причем в одной из точек решетки хо, источнике, частицы могут размножаться и гибнуть. Каждая из новых частиц эволюционирует по тому же закону, независимо от остальных частиц и от всей предыстории. Лежащее в основе процесса случайное блуждание частиц определяется матрицей переходных интенсивностей А = (а(х,у))ху^ и является однородным по пространству: а(х>у) = о,(0, у - х) = а(у — х). Предполагается также, что случайное блуждание регулярно, симметрично, неприводимо и обладает конечной дисперсией скачков, что в терминах функции о(-) выражается в виде следующих условий:

А1: ф) > 0 при г # 0 и о(0) = - ф) < 0;

А2: ф) = а(—г) для каждого г е

АЗ: функция а(-) неразложима, т.е. для каждого г е ЪА найдется такой набор векторов ги г2,...,гк<= что г = ^=1 11 Ф«) Ф 0 ИРИ г = 1,2,..., А;

А4: И2Ф) < оо.

Механизм ветвления в источнике задается процессом Гальтона-Ватсона с непрерывным временем, определяемым инфинитезимальной производящей . функцией /(и) = £~0Ь„гЛ 0 < и < 1, где Ьп ^ 0 при п ф 1, Ьх < 0 и !2пЬп = 0. Предполагается, что рг = < оо при всех г е К, т.е. число

потомков частицы имеет конечные моменты всех порядков.

Если в момент времени £ в точке хо = 0 находилось ^¿(0) > 0 частиц, то каждая из них может за малое время к либо перейти с вероятностью а{у)Н+о{К) в точку 2/^0; либо произвести потомство из п / 1 частиц (считая, что и сама частица входит в это число); либо погибнуть (случай, когда п = 0) с вероятностью Ь„/1 + о(/г); либо сохраниться (никаких изменений не происходит) с вероятностью 1 — — 1 Ьп1г + о(Л).

Основными объектами исследования являются численности частиц Ць(у) и = (н{у) в произвольной точке и на всей решетке, их целочислен-

ные моменты rnn.it, х, у) = Еи тп^,х) = Ехуц", вероятности =

Р> 0} наличия частиц в произвольной точке у е Ж"2, а также вероятности = Рх{Мг > 0} выживания популяции частиц на всей решетке при старте процесса из произвольной точки х е

Эволюцию переходных вероятностей, моментов и вероятностей продолжения процесса удобно описывать дифференциальными уравнениями в банаховом пространстве. При таком подходе исследование ВСЕ разбивается на три этапа:

• на первом этапе эволюционные уравнения для переходных вероятностей и моментов численностей частиц представляются как линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах,

• на втором этапе в силу линейности полученных уравнений исследование асимптотического поведения решений при £ -> оо сводится к изучению спектра операторов в правых частях соответствующих уравнений,

• на третьем этапе анализ структуры спектра эволюционных операторов позволяет выявить фазовые переходы в асимптотическом поведении моментов численностей частиц как в произвольной точке, так и на всей решетке.

Для моментов тп^,х,у) и тп^, х) мы получаем уравнения вида йтк

-¿г==2Ргпк + Угодк{гп1,...,тк-1), к^ 2,

с начальными условиями тп{0, •, у) = 6У(-) и гоп(0. •) = 1, соответственно. Здесь

и){г) := а(г - ¿>(Л {%и){г) := ВДЦг), г є Iй.

Выражение Жт^ обозначает Жт^Ь, -,у) или й'т^і, •), а функция ^ задается некоторым рекуррентным соотношением. Линейные операторы {/, и ограничены в каждом из пространств 1Р(ХСІ), р Є [1, со]. Выбор пространства диктуется рассматриваемой задачей. Так, при анализе моментов тп(Ь,х,у), удовлетворяющих "точечному" начальному условию тп„(0, - , у) = 6У(-), такими пространствами являются 1р{Ъй) при р < оо. При анализе моментов тп(і,х), удовлетворяющих "распределенному" начальному условию тпп(0,х) = 1, единственным возможным пространством оказывается 1°°(1

Рассмотрим при А > О преобразование Лапласа переходной вероятности р(і,х,у) случайного блуждания

по

(х,у) :=

Є Мр(і,Х,у)(ІІ = 1

(2тг)«

А -Ф{0)

7Г,7Г]<*

где ф(в) — преобразование Фурье функции а(-). Функция Сд(-, ■) называется функцией Грина случайного блуждания. Положим С\ = Сл(0,0). Так как р(Ь, х, у) ~ при і —^ оо, где > 0 — некоторая константа, то С?о (среднее

число возвращений в точку старта процесса) конечно только для размерностей ОЗ. Следовательно, случайное блуждание транзиентно при <1 ^ 3, и возвратно при с? = 1,2. Обозначим ¡Зс := І/Єо, тогда Д. = 0 при й = 1,2 и Д > 0 при (1 ^ 3. Значение Д. является критическим в том смысле, что при ¡3 > Д. = 1/С?о у оператора Ж имеется единственное собственное значение Ао > 0, которое определяется из уравнения /ЗСд = 1. В случае /3 = Д корень Ло = 0 уравнения (Ю\ = 1 является собственным значением оператора Ж лишь при <1 ^ 5.

В следующей теореме приведена классификация асимптотического поведения моментов в зависимости от параметра (3 и размерности решетки.

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия А1-А4. Тогда при всех п Є N и і -> оо

т„(і,х,у) ~ Сп(х,у)ип{Ь), т„(г,ж) ~ С„(х)уп(Ь), (1)

где константы Сп(х, у), Сп{х) > 0 в каждом из указанных ниже случаев определяются рекуррентно с помощью явных уравнений, а функции ип, vn имеют следующий вид:

а) при ¡3 > рс (надкритический случай)

un(t) = vn(t) = enAoi;

б) при ¡3 = /Зс (критический случай)

U„(t) = r1/2(Ini)»-1, C+. II CS- IT ~K3 для d=l

u„{t) vn(t) = (lnt)»"1 для d = 2

Un{t) = r1/2(lni)"-l, vn = tn-l>2 для d = 3

Un(t) = in-1(lni)1"2n, vn = i2n-\\nty-2n для d = 4

Un(t) = tn~\ Vn{t) = i2'1-1 для d^ 5

б) при Р < Рс (докритический случай)

un{t)=r^2, vn(t) = t-V2 для d= 1;

un(t) = (t ln2t)-\ v„(t) = (In t)'1 для d = 2; un{t) = t~d'2, vn{t) = 1 для d > 3.

Таким образом, в размерностях d = 1,2 критический режим имеет место, когда у частицы в источнике появляется в среднем один потомок (Р = рс = 0), что совпадает с определением критичности ветвящегося процесса Гальтона-Ват-сона с непрерывным временем {Р ~ 0). В силу свойств функции Грина критическое значение рс возрастает с увеличением размерности d. Этот факт тесно связан с "усилением" свойства невозвратности случайного блуждания при росте размерности d решетки Zd в случае d ^ 3. Как следствие, с ростом размерности решетки надкритический режим возникает при все большей интенсивности источника, т.е. для его возникновения среднее число потомков одной частицы в источнике должно увеличиваться. Докритический режим в старших размерностях (d > 3) возможен даже при полном отсутствии гибели частиц в источнике (bo = 0). Ввиду утверждения а) теоремы 1.2.1 в надкритическом случае при t оо случайные величины щ(у) и ¡xt имеют предельные распределения.

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия AI-A4. Тогда при ß > ßc в смысле сходимости моментов

lim nt{y) e"Xat = A0GAo(0, y% Ига & = (2)

t-> ОО t-> 00

где £ — некоторая невырожденная случайная величина такая, что Е^'1 = Сп(х) (n € N), а Сп(:с) совпадают с соответствующими функциями в (1). Более того, если ßr — 0{r\rr~l), то набор функций Сп(х) однозначно определяет распределение а соотношения (2) справедливы также и в смысле сходимости по распределению.

В оставшейся части раздела 1.2 исследуются фазовые переходы в В СБ. В теоремах 1.2.3 и 1.2.4 установлено предельное поведение производящих функций и вероятностей продолжения процесса на решетке. Явные асимптотические выражения для вероятностей наличия частиц в произвольной точке в критическом случае найдены в теореме 1.2.5, а предельные распределения для размера популяции частиц в критическом и докритическом случае при различных предположениях о точке старта процесса и для различных размерностей — в теоремах 1.2.6-1.2.10.

В разделе 1.3 мы отказываемся от предположения A4 о конечности дисперсии скачков и заменяем его условием

A4': a{z) = ^¡Й, где а е (0,2), z е Zd и г ф О,

где Н(-) — положительная симметричная функция, отделенная от нуля и бесконечности. При выполнении данного условия дисперсия скачков становится бесконечной.

Теорема 1.3.1. Если а £ (0,2) и для неприводимой функции а(-) выполнено условие A4', то для преобразования Фурье ф(в) функции а(-) справедлива оценка ф{9) ^ —С|ö|a, где в е [—7r,7r]d, а С — некоторая положительная константа.

По этой теореме преобразование Фурье ф(в) функции а(-) имеет неквадратичный рост в нулевой точке максимума, в отличие от случая с конечной дисперсией скачков, что оказывается определяющим при доказательстве следующего критерия возвратности.

Теорема 1.3.2. Пусть X = {Xt)t^0 — случайное блуждание по ЪЛ с генератором d. Если для неприводимой функции о(-) справедливо условие A4', то случайное блуждание X невозвратно при d = 1 для каждого 0 < а < 1 и при d^2 для каждого 0 < а < 2.

По теореме 1.2.2 при выполнении условий А1-А4 критерием экспоненциального роста численностей частиц является неравенство ß > ßc = Gq1. Аналогичный результат для ВСБ с тяжелыми хвостами вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1.3.3. Пусть оператор Ж : i2(Zd) —> l2(Zd) определяется соотношением Ж := ¡й + ß%), где генератор Ы удовлетворяет условиям AI-A3 и A4'. Тогда

а) спектр оператора Ж расположен на вещественной прямой и все его положительные точки (если таковые существуют) являются изолированными собственными значениями;

б) оператор Ж имеет по крайней мере одно положительное собственное значение тогда и только тогда, когда ß > ßc;

в) если ß > ßc, то оператор Ж имеет единственное положительное собственное значение.

В силу теорем 1.3.2 и 1.3.3 утверждения, полученные в теоремах 1.2.1 и 1.2.2 для ВСБ с конечной дисперсией скачков, справедливы для ВСБ с тяжелыми хвостами. Основной эффект для ВСБ по Zd с тяжелыми хвостами заключается в существовании нетривиального критического значения ßc > 0 уже в низких размерностях d ~ 1,2. Это отличает такие ВСБ от ВСБ с конечной дисперсией скачков, для которых нетривиальное критическое значение ßc > О существует только в размерностях d ^ 3.

В главе 2 мы переходим к анализу несимметричных ВСБ с конечным числом источников. Отметим, что в гл. 1 для анализа ВСБ с единственным источником ветвления была предложена схема исследования, основанная на трактовке эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах. Цель настоящей главы — распространить эту схему исследования на модели ВСБ с конечным числом источников ветвления и но-

казать, что основные принципиальные сложности при изучении спектра возникающих линейных операторов могут быть конструктивно преодолены. Особый интерес представляет второй этап предложенной схемы, поскольку первый и третий этапы при переходе к случаю с несколькими источниками не претерпевают существенных изменений. В модели с несколькими источниками ветвления существенным оказывается то обстоятельство, что различные источники могут оказывать различное влияние на процесс. В связи с этим предполагается, что источники ветвления могут быть трех типов:

• в источниках первого типа гибель и размножение частиц происходит без нарушения симметричности случайного блуждания,

• в источниках второго типа нарушается симметричность блуждания за счет введения дополнительного параметра, усиливающего стенень преобладания ветвления или блуждания в источнике,

• наконец, в источниках третьего типа нарушается лишь симметричность блуждания (без размножения или гибели частиц) — такие источники правильнее было бы назвать "псевдо-источниками".

ВСБ с г источниками первого, к источниками второго и тп источниками третьего типа обозначаются ВСБ/г/к/т. В разделе 2.1 рассмотрена простейшая модель такого рода — В СБ/О/1/0, в которой нарушение симметрии блуждания происходит в одном источнике. Формальное описание общей модели ВСБ/г/к/т дается в разделе 2.2.

Модель ВСБ/1/0/0, являющаяся ничем иным как симметричным ВСБ с одним источником, была исследована в гл. 1, где для нее были установлены условия экспоненциального роста численностей частиц как в произвольном узле, так и на всей решетке. Такой характер роста численностей частиц определялся наличием изолированного положительного собственного значения в спектре оператора, описывающего эволюцию средних численностей частиц. Данный анализ существенно опирался на тот факт, что соответствующий эволюционный оператор Ж : 12{ЪЛ) /2(2<г) допускал представление в виде суммы ограниченного самосопряженного оператора ¡й и вполне непрерывного оператора 0Щ (одноточечное возмущение). Необходимые и достаточные условия, при которых подоб-

ного рода возмущения приводят к появлению изолированного положительного собственного значения в структуре спектра эволюционного оператора, не меняя при этом его существенного спектра, указаны в разделе 5.1.

В моделях ВСБ/г/к/т с конечным числом источников возникают более сложные (многоточечные) возмущения генератора симметричного случайного блуждания имеющие вид

где $2 : /Р(Х<!) -> 1р{Ъй), р € [1, оо], — это симметрический оператор, % — 6Х6?Ц, а 5Х = 6Х(-) обозначает вектор-столбец на решетке, принимающий единичное значение в точке х и нули в остальных точках, и правая часть в (3) содержит конечное число слагаемых. В каждом из множеств и = {«¿} и У = {гл,} точки попарно различны, но сами множества и и V могут иметь непустое пересечение. Точки множества У\и отвечают г источникам первого тина в рассматриваемой вероятностной модели, точки множества и П V — к источникам второго типа, а точки множества и \ V — т источникам третьего типа.

В разделе 2.1 исследуется простейший тин несимметричного ВСБ/0/1/0 с нарушением симметрии блуждания в источнике хо = 0, т.е. а(у, 0) = а(у) ^ ,у) = —(1 — оО^щ, а 6 (0,1), и ветвление задается инфинитезимальной производящей функцией ]{и) = и /3 := /'(1). В этом разделе

черта над функцией обозначает, что рассматриваемая функция относится к ВСБ/0/1/0.

В ВСБ/0/1/0, так же как и в ВСБ/1/0/0, существенным свойством является монотонность переходной вероятности р(£) = р(гдо). Однако оператор ¿7 = & + ((а - 1)а-1(0) - 1) при а ф а(0) + 1, где 0 < а < 1, уже не является самосопряженным, а для его матрицы не выполняется свойство однородности (в отличие от матрицы оператора что затрудняет исследование. Тем не менее, и в ВСБ/0/1/0 для решения задачи Коши

справедливо свойство монотонности, сформулированное в теореме 2.1.1 и доказанное в гл. 5. В следующей теореме получены рекуррентные уравнения для

(3)

з

моментов численностей частиц в ВСБ/0/1/0.

Теорема 2.1.2. Моменты mi¡{t,x,y) и mk{t,x) в ВСБ/0/1/0 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

J-*" -

-^ = %?mk + %gk(mi,...,mk-i), к ^ 2,

с начальными условиями тп(0,-,у) = ду(-) и тп(0,-) = 1 соответственно. Здесь Жтк = sfm\¡ + рЩтк есть сокращенная запись для Жтк^,-,у) и Жт^,-), соответственно, а функция gk(mi,... ,mk-i) определяется с помощью явных рекуррентных соотношений.

Применение теоремы 2.1.2 позволяет получить один из основных результатов гл. 2 — теорему 2.1.3. согласно которой эволюция средних численностей частиц в ВСБ/0/1/0 определяется структурой спектра оператора Ж = ¿á +Р'Щ.

Теорема 2.1.3. Спектр оператора Ж расположен на вещественной оси, причем все его положительные точки, если таковые существуют, являются собственными значениями. При этом

а) число А > 0 является собственным значением оператора Ж тогда и только тогда, когда оно является корнем уравнения ¡3 G\ = 1;

б) собственное значение А > 0 оператора Ж простое, и собственный вектор д, отвечающий А, определяется равенством

g(x)=g(0)G^Gx(x,0), g(0) ф 0, z € Zd;

в) спектральный проектор ЕР оператора Ж на одномерное собственное подпространство, отвечающее собственному значению А > 0, имеет вид

^u=(g,u)-S(60g)(6Qu)g^ {g,g) - s(ó0,g}2

где (•, •) — евклидово скалярное произведение в l2(Zd).

Из этой теоремы вытекает, в частности, что ВСБ/0/1/0 является надкритическим, если оператор Ж обладает хотя бы одним положительным собственным значением (теорема 2.1.4). Для надкритического ВСБ/0/1/0 справедливы

соотношения m„(t. х, у) ~ Сп(х, y)enXt, где А — положительное собственное значение оператора Ж (единственное в данном случае), коэффициенты Сп(х,у) вычисляются с помощью явных рекуррентных соотношений (теорема 2.1.5). Аналогичное соотношение mn(t,x) ~ С„(:r)enAt для общей численности частиц устанавливается в теореме 2.1.6. Из этих теорем с использованием метода моментов выводится основной результат для ВСБ/0/1/0.

Теорема 2.1.7. Если ß > ßc, то в смысле сходимости моментов

lim Щ{у) e~lt = Шу), Um ßt e~~xt = (4)

t—t оо г—>оо

где ip\{y) — некоторая явно определяемая функция, £ — невырожденная случайная величина такая, что Ех£п = Сп(х) при п Є N, а величины Сп(х) определены в теореме 2.1.6. Более того, если ßr = 0(rlrr~1), то моменты Ех£" однозначно определяют распределение а соотношения (4) справедливы также и в смысле сходимости по распределению.

В разделе 2.2 изучается ВСБ/r/fc/m, в основе которого лежат три "базовые" модели ВСБ с одним источником - ВСБ/1/0/0, ВСБ/0/1/0 и ВСБ/0/0/1. Важную роль при исследовании несамосонряженных операторов (3), возникающих в эволюционных уравнениях для первых моментов численностей частиц в ВСБ/г/к/т, играет приводимая ниже теорема о "симметризации", сводящая задачу к анализу самосопряженных операторов.

Теорема 2.2.1. Пусть параметры {(¿} и {ßj} в представлении (3) оператора У вещественны и Q > — 1 при і = 1,2,... ,к. Тогда в пространстве l2(Zd) оператор 2> = I + (\/1 + Сг ~~ 1) %ц является обратимым и самосопряженным, а оператор имеет вид /3) = 2bst3) + ßj^vj и является самосопряженным.

Важную роль играет также следующая теорема о локализации собственных значений оператора У.

Теорема 2.2.2. Линейный оператор ограничен при каждом р Є

[1, оо]. При этом множество \ {z Є С : \z - а(0)| ^ |а(0)|}, если оно

не пусто, состоит из собственных значений конечной кратности.

Исследование спектра оператора У осложняется тем фактом, что этот

оператор действует в бесконечномерном пространстве. В следующей теореме анализ собственных значений оператора сводится к конечномерной задаче.

Теорема 2.2.3. Пусть -- резольвента оператора и (•,•) - евклидово скалярное произведение в Тогда А является собственным значением оператора в том и только том случае, когда система уравнений

к г

Ц + Е <+ £ Ч = * =■ • ■ >к>

«=1 3=1

к г

относительно переменных {£/¿1^=1, имеет нетривиальное решение.

В разделе 2.3 для иллюстрации применения общей схемы нахождения условий существования изолированных собственных значений оператора У рассмотрены примеры ВСБ с двумя источниками, в которых удается получить явные уравнения для собственных значений Л > 0 оператора |Л Найдены условия существования как одного, так и двух положительных собственных значений в ВСБ/2/0/0. В надкритическом случае выявлены фазовые переходы в поведении ВСБ в зависимости от числа положительных собственных значений в спектре оператора У.

В главе 3 проводится резольвентный анализ решетчатого лапласиана — генератора простого случайного блуждания на (¿-мерной целочисленной решетке для больших уклонений случайного блуждания. Такого рода анализ представляет интерес в связи с тем, что позволяет получить асимптотические представления для переходной вероятности простого случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени, а также соответствующей ей функции Грина С\(х,у) при произвольном неотрицательном значении параметра А и \у — х\ оо.

Особенность теорем об асимптотическом поведении переходных вероятностей случайного блуждания, используемых в предыдущих главах, заключается в том, что все они устанавливают асимптотики по времени как функции фиксированных пространственных неременных. Эти результаты оказываются малопригодными при исследовании больших уклонений для ВСБ, поскольку

в этом случае необходимы единые "пространственно-временные" асимптотики переходных вероятностей. Получению утверждений такого рода и посвящена настоящая глава. При этом асимптотическое поведение переходных вероятностей при совместном росте как пространственной, так и временной переменной удается описать с помощью явных формул. В частности, оно позволяет ввести шкалу изменения переходной вероятности при изменении времени Ь и пространственной переменной, принимающей значения порядка при различных значениях а ^ 0. Доказаны предельные теоремы об асимптотическом поведении функции Грина переходных вероятностей при больших уклонениях для случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

В ряде работ по теории перемежаемости12,11,37 важную роль играет структура спектра решетчатого лапласиана Д на с одноточечным потенциалом. Положим Щ = хА + РЩ, х > О, где (Ли)(г) := -.1=1(^(2') - ф)). Тогда для оператора хА выполнены условия А1-А4, причем спектр и (А) оператора Д : ^(и1) —> 12(Ъй) совпадает с отрезком [-4^,0]. Отсюда, положив = хА, из результатов главы 1 получаем, что

/ X"1

dÖ

(2n)d

{-хАЩ

(5)

\ Hr,»]" 7

где Д(0) = -2£j=i(l - cos0j)i Є = (9b...,9d). При d ^ 3 интеграл в (5) конечен, т.е. ßc > 0, а при d = 1,2 интеграл в (5) равен бесконечности, и поэтому ßc = 0. При ß > ßc у оператора Щ имеется изолированное собственное значение Ло > 0, а при ß < ßc спектр оператора Щ не имеет неотрицательных собственных значений и совпадает со спектром оператора Д. При ß — ßc ситуация зависит от размерности d. При d < 4 правый край спектра оператора Д не является собственным значением, начиная же с размерности d = 5, правый край спектра сг(Д) становится собственным значением оператора Щ.

Как показано в предыдущих главах, а также в работе М. Кренстона и С. Молчанова39, спектральная бифуркация оператора ответственна за фазовые переходы в моделях ВСБ и гомонолимеров. При больших уклонениях

39 Cranston M., Molclianov S. On phase transitions and limit theorems for homopolymers // Probability and mathematical physics. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. Vol. 42 of CRM Proc. Lecture Notes. P. 97-112.

ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или не работает вообще или по меньшей мере очень сложна. В работе Р. Кармоны, JI. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга13 был предложен новый подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. Однако эта работа не охватывает ВСБ по Ъй с эволюционным оператором Щ средних численностей частиц при больших уклонениях. Для исследования спектра Щ требуется информация о переходных вероятностях и резольвенте оператора яА.

Таким образом, цель гл. 3 — провести анализ резольвенты оператора хА при больших уклонениях случайного блуждания. Примечательно, что в этом случае для переходной вероятности p(t, х, у) и соответствующей ей функции Грина G\(x, у) удается получить явные асимптотические выражения.

Теорема 3.1.2. Справедливо представление

p{t, х, у) = eH^*^hd{2xt, у - х),

где

d

Hd(t, z) = Y, (\A2 + zj -t~Zj arcsinh ,

M^Kminjl, П4({2^)1/4|. При этом функция hd(t, z) имеет вид

hd(t> z) = ----ГШ (1 + *)) .

{uU^+Ф)

где Vd(t, z) —> 0 при выполнении для као/сдой из координат Zj вектора z = (z\,..., Zd) соотношения t2 + z? oo.

Основная трудность в доказательстве этой теоремы преодолевается в теореме 3.1.1, относящейся к случаю d = 1, т.к. при d > 1 переходная вероятность p(t,x, у) является произведением одномерных переходных вероятностей.

С помощью полученного разложения для p(t,x,y) в теоремах 3.1.3-3.1.5 устанавливается шкала изменения переходной вероятности p(t,x,y) при совместном росте как времени t, так и пространственной переменной у — х, при-

25

нимающей значения порядка ¿а, при различных значениях а ^ 0. Приведем в качестве примера одно из таких утверждений для а = 1.

Теорема 3.1.5. Для переходной вероятности р(Ь,х, у) простого случайного блуждания по Ъа при х и у, удовлетворяющих для некоторых С1,С2 > 0 и £ -> оо условию с\Ь ^ \у — о;| ^ сг^ справедливо асимптотическое представление

- Еи Уі «П»пь(2^)+2Х4 Т.и [\11+Ч^-1)

- -. ¿->00.

(4кхіУ^ри і1 +

Наиболее важная часть главы состоит в исследовании функции Грина решетчатого лапласиана, тесно связанного со спектральными свойствами оператора Щ. Одним из основных результатов является теорема 3.2.2, дающая описание функции Грина С\(х, у) для каждого фиксированного Л > 0 при |у — х\ -> оо.

Теорема 3.2.2. Для функции Грина оператора хА при |у — х| -> оо справедливо представление

р IУ а-'l''A,». \ |Н—/ /о, _ г

Gx{x,y) = —-prr-Дл,. ) • (1 + о(1))

\y-x\~ V12/ — У

где о(1) есть величина, стремящаяся к нулю при \у — х\ —> оо равномерно по А € [Ai, Л2] (0 < Ai ^ Л2 < оо) и я 6 [х\(0 < xi ^ х2 < оо), а функции (•) и определяются равенствами

r\t><(v) = vj arcsinh —, v Є I

<d-i

i-i

ad-i

^■=1 / 4\fso + Vj

a so является решением уравнения

Следующая теорема, описывающая случай А —> 0, не является прямым следствием теоремы 3.2.2, хотя при ее доказательстве используются те же идеи.

Теорема 3.2.3. Пусть х > 0. Если А -» 0 и \у — х\у/\ оо (и значит, \у—х\ —> со), то для функции Грина оператора хЬ. справедливо представление

\у-х\ 2

В случае Л = 0 теорему 3.2.2 дополняет представление

^ У) = и " \ 2 ' ^ + ^

4х7Г2| у —

доказанное в теореме 3.2.4. Для случая d = 3 доказательство соотношения (6) иным методом содержится в работе Е.В. Дынкина и А.А. Юшкевича40. Для произвольного d и оператора более общего вида исследование асимптотики соответствующей функции Грина Go (ж, у) проводилось также в работе К. Ушиямы34. В недавней работе П. Кучмента33 представление (6) доказано для функции Грина дифференциального эллиптического оператора на Rd.

В разделе 3.3 приводятся примеры применения теорем 3.1.2 и 3.2.2 для анализа больших уклонений в модели ВСБ/г/0/0 с эволюционным оператором у = яА + Ps^z,- Как следует из теорем 2.2.2 и 2.2.3, спектр оператора У в пространстве I2 состоит из двух компонент: абсолютно непрерывного спектра, совпадающего с отрезком [—2,0], и точечного спектра содержащего не

более чем г неотрицательных собственных значений. Следующие факты являются обобщением аналогичных фактов из гл. 1 для случая с одним источником и гл. 2 для случая с несколькими источниками.

Если d = 1,2 (возвратный случай), то сг.(^) ф 0 для каждого 0 > 0. В частности, существует простое старшее собственное значение Ло (/5) > 0 с отвечающей ему собственной функцией "фо{х, ¡3) > 0.

Если d^ 3, то существует спектральная бифуркация: может быть найдено такое значение Д. > 0, что сг.(Ю = 0 при ¡3 < ¡Зс (в этом случае имеется только

40 Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1007. 231 с.

27

абсолютно непрерывный спектр), а при /3 > /Зс существует собственное значение Хо(Р) > 0 с собственной функцией ipa(x,p) > 0.

Если d > 3 и /3 = /Зс, то в случае d = 3,4 имеем = 0, но при d ^ 5

существует А0(/?с) = 0.

В случае d = 1,2 при надлежащем ft > 0 и 0 < /3 < /Si дискретный спектр содержит только одно собственное значение Ао(/3) > 0.

Если d ^ 3 и Д. < /3 < /Эх, то опять при подходящем выборе ft получаем, что cardcr.(^) = 1. Отметим, что при <¿=1,2 критическим значением называется рс = 0. Для достаточно больших Р во всех размерностях card сг.(Ю = г.

В теореме 3.3.1 найдена асимптотика собственной функции фо(ж,/3) при Вс < Р < fii оператора

■ф0(х,Р) = Wo(0,/3)Ga(0,x-) х .

И 2

Здесь /(х) х д(х) обозначает, что 0 < с < ^ ^ С < со при достаточно больших значениях х. Полученное выражение может быть использовано, в частности, для получения асимптотического представления для средней плотности популяции:

mi(f, 0, у) = /ЗШО, р) + 0(1).

Если Р —>• рс при d ^ 3 или Р —> 0 при d = 1,2, то правая часть в выражении для фо(х,Р) имеет вид:

Фо{х,Р) = Рфо{0, P)G\0(p)(0, х) ж e-V^I'Id+od)).

Эта формула показывает, что при малых А функция Грина Ga(0, х) имеет такую же асимптотику13 как и функция Грина непрерывного лапласиана в Rd.

Другим применением теорем 3.1.2 и 3.2.2 является анализ так называемого фронта популяции. Предположим, что /л(0,0,у) = <50(у) и ¡Зс < Р < fiy. Множество Гt = {у • Eojufi, 0, у) = mi(t, 0, у) ^ С} назовем фронтом популяции. Если In С?д(0, у) ~ — |г/|гд)Ж {у/\у\) при \у\ -> оо, то согласно теореме 3.3.2 фронт популяции приближенно имеет следующий вид:

Глава завершается разделом 3.4, в котором описана детальная схема исследования функции Грина С\(х,у) в случае произвольного симметричного случайного блуждания, порождаемого оператором д/.

В главе 4 проводится сравнение двух моделей ВСБ в случайных средах. В первой из этих моделей размножение и гибель частиц могут происходить в каждом узле решетки, и поэтому такую ветвящуюся среду будем называть пространственно однородной. Во второй модели на решетке выделяется конечное множество центров генерации частиц, т.е. ветвящаяся среда — пространственно неоднородна. В отличие от предыдущих глав интенсивности размножения и гибели частиц предполагаются случайными.

Большое внимание в теории случайных сред, в особенности в контексте проблемы локализации41, уделяется исследованию спектральных свойств оператора Андерсона, представимого в виде суммы разностного лапласиана и случайного потенциала, определяемого случайной ветвящейся средой. Операторы таг кого вида естественным образом возникают при описании ВСБ в случайных средах. Например, для пространственно однородного ВСБ с непрерывным временем, в котором движение частиц на задается простым симметричным случайным блужданием, эволюция средних численностей частиц в произвольной точке решетки, а также на всей решетке описывается оператором + У(х)%;. Отметим, что в этом случае ожидаемая общая численность частиц (т.е. момент первого порядка для размера популяции) удовлетворяет задаче Коши для оператора Андерсона со случайным потенциалом:

Известно10'12'11'22'38, что эволюция ноля mi(t,x) приводит к формированию нерегулярных пространственно-временных структур, характеризующихся образованием редких высоких пиков. Этот феномен носит название "перемежаемость". Изучение перемежаемости12'11'22,38 основано на асимптотическом анали- ' зе моментов (mi), полученных усреднением случайного момента mi по всем

41 Carmona В., Lacroix J. Spectral theory of random Schrodingcu- operators. Probability and its Applications. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1990. xxvi+587 p.

пространственным реализациям, где угловые скобки {•) в гл. 4 обозначают математическое ожидание относительно случайной среды. Перемежаемость проявляется в аномально быстром росте моментов относительно порядка р при t -> оо. Например12'11,22'38, второй момент растет быстрее, чем квадрат первого момента, четвертый момент ведет себя так же но отношению к квадрату второго момента и так далее: (т\) (шх)2, (т\) » (т1)(т\),..., (т2)

(т,,)2, (т^) (тп)(т2),----В [13] рассмотрен случай, когда потенциал У(х)

имеет вейбулловский правый "хвост". Для этого случая были вычислены ляпу-новские экспоненты для моментов всех целочисленных порядков р.

Один из основных результатов главы заключается в получении условий, при которых асимптотическое поведение моментов совпадает в обеих моделях как для численностей частиц в каждом узле решетки, так и для общей численности частиц на всей решетке. Показано, что эти условия выполняются для случайных потенциалов, имеющих "достаточно легкий правый хвост"; таким условиям удовлетворяют, например, распределения Гумбеля и Вейбулла и, как следствие, нормальное распределение.

В разделе 4.1 приводится формальное описание моделей ВСБ в однородной и неоднородной случайной среде для симметричного случайного блуждания, которое задается генератором л/, и ставятся задачи Коши для случайных моментов ВСБ в однородных и неоднородных случайных средах с различными начальными условиями.

Предположим, что ветвящаяся случайная среда формируется парами неотрицательных случайных величин £(х) := £+(я)), х € определенными на вероятностном пространстве (Г2, Р). Элементарный исход ш е П представляет собой реализацию поля £(•). В частности, мы предполагаем, что П = (К^-)2*. Предполагается, что случайное поле £ — пространственно однородно, т.е. распределение Р поля инвариантно относительно сдвигов х х + И при всех х, Н €

Введем на Ъ6- случайное ноле У(х) := - называемое потен-

циалом. Тогда моменты тп(1,х,у), т„(<,х) удовлетворяют цепочке линейных (неоднородных) дифференциальных уравнений, которые удобно представить

как уравнения в банаховом пространстве:

,т„-х),

^ = *тп + V(x)%] mn + ( £ f+( VxeZ11 /

/ \хе.Ъ* /

где п = 1,2,..с начальными условиями т„(0, -,у) = £у(-) и тп(0, •) = 1, где Й ^ 0 и <7п("г 1,... ,тп-х) := для п ^ 2. Отметим, что момен-

ты первого порядка (математические ожидания) удовлетворяют однородному уравнению в банаховом пространстве

^ = dmi + ( V(x,u)Vx ) m\.

(7)

Эти уравнения получены в гл. 1 для оператора si + ß'Vo, описывающего эволюцию первого момента в неоднородной неслучайной среде. В неоднородной среде уравнение для моментов первого порядка принимает вид

^ = stmx + V(0. ш)%гщ. (8)

В разделе 4.2 в теоремах 4.2.2 и 4.2.3 приводятся представления Фейн-мана-Каца для моментов первого порядка как для однородной, так и для неоднородной среды, а также матричные представления исследуемых операторов для размерности d= 1.

В разделе 4.3 установлены условия, при которых асимптотическое поведение моментов (mр), (п ^ 1 ,р ^ 1), для численностей частиц в произвольной точке и на всей решетке одинаково для ВСБ в пространственно однородной и неоднородной случайных средах. Если выполняется условие ({i^v)d) < где 1п+ х := Ina; при х > е и ln+ х := 1 при х < е, и каждая из задач Коши (7) и (8) почти наверное относительно меры Р имеет единственное неотрицательное решение, то верна следующая

Теорема 4.3.1. Пусть

lim / = 0. (9)

i->oo In {eVt) 4 '

Тогда для каждого п = 1,2,... и для всех моментов (т£), справедливо соот-НтГ.)

I 1п(еР"К)

ношение Ит4_юо i^iSl = 1.

Примеры распределений случайного потенциала V, удовлетворяющих условию (9), приводятся в следующих теоремах.

Теорема 4.4.1. Пусть 1пР{У > г} ~ —сг7 при г оо, где 7 > 1 и

с > 0, для каждого р ^ 1. Тогда при Ь —> оо справедливо асимптотическое

/ \ 7/(7—1)

представление 1п(ер™) ~ (7 — 1) , и выполнено условие (9).

Теорема 4.4.2. Пусть 1пР{У > г} ~ — ехр(г/с), при г -» оо, где с> О, для каждого р > 1. Тогда при Ь —> оо справедливо асимптотическое представление 1п(ер^4) ~ срЫаЬ, и выполнено условие (9).

В главе 5 приведены факты теории функций и функционального анализа, использующиеся в предыдущих главах при исследовании ВСБ. Основные результаты - о спектральных свойствах разностных операторов, определенных на многомерных целочисленных решетках, и о предельном поведении сверток функций являются новыми. Для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений — тауберовых теорем, леммы Шура и др. Изложение не использует результаты предыдущих глав.

Раздел 5.1 посвящен линейным операторам в пространствах 1р(Ъй). Необходимость такого раздела обусловлена тем, что в литературе не удалось найти цельного изложения всех требуемых утверждений в достаточно компактном объеме. Здесь даются определения основных операторов, используемых на протяжении всей работы: оператора ^ = 5Х5% — одномерного проектора на "координатный" вектор <5Х, симметричного оператора ¡й, определяемого выражением

(*«)(*):=$>(*-*' ИД

где функция о(-) является абсолютно суммируемой и симметричной.

Ключевым является вопрос о том, как меняется спектр оператора й? при его "одноточечном" симметричном = + ¡ЗЩ или несимметричном = $ + + возмущении, а также при общем многоточечном возмущении

к т кг

® = +Е +Е №+Е . (10)

г=1 7=1 ¡=1 5=1

в котором предполагается, что все точки {х;}, и {Шз} различны.

Такого рода операторы естественным образом возникают в предыдущих главах в правых частях эволюционных уравнений для моментов численностей частиц при различных предположениях о ВСЕ.

При рассмотрении этих операторов предполагаются выполненными условия А1-А4. Основной вопрос при этом — о структуре спектра соответствующих операторов. В ряде случаев соответствующие утверждения элементарны или известны и приводятся для удобства ссылок (теоремы 5.1.1-5.1.5 и некоторые другие). Одним из основных утверждений, используемых в работе, является следующая теорема об условиях существования собственных значений оператора Ж. Обобщение приводимого утверждения дается в теореме 5.1.11.

Теорема 5.1.7. Число А является собственным значением оператора Ж : Р^) —> ¿2(2<г) тогда и только тогда, когда

/МО,

|А — Ф(0)\~2 сів < оо, рвх = 1,

где <2Л = Сл(0,0), (?л(®,0) = ¡[^уГщщМ при х Є ЪЛ, а ф(9) - преобразование Фурье функции а(-).

Собственный вектор / є отвечающий собственному значению А,

определяется равенством /(ж) = /3/(0)(7д(:г,0), /(0) ф 0, и поэтому каждое собственное значение оператора Ж — простое.

Зависимость спектра оператора Ж от размерности решетки выясняется в теореме 5.1.8, а теорема 5.1.9 показывает, что собственный вектор оператора Ж является "знакопостоянным" во всех точках Z<г) исключая начало координат.

В теореме 5.1.10 показано, что точки спектра несимметричного оператора 'ё = 5І + С^о-е/ + /3%, не принадлежащие кругу {г Є С : \г - а(0)| < |а(0)|}, если таковые существуют, являются собственными значениями конечной кратности. Более подробному анализу структуры спектра оператора посвящена теорема 5.1.11, которая с точностью до обозначений повторяет формулировку теоремы 2.1.3, и потому здесь не приводится.

Раздел 5.1 завершается анализом спектральных свойств многоточечных возмущений (10) оператора ¡й. Здесь показывается, что число А ^ сг(^) является собственным значением оператора ї§ : 12(ЪЛ) 12(Ъй) в том и только том

случае, когда некоторая конечномерная система линейных уравнений с явно определяемыми коэффициентами имеет нетривиальное решение. Полученные результаты применяются при доказательстве теоремы 2.2.3.

В разделе 5.2 напоминаются необходимые результаты теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, поскольку метод представления эволюционных уравнений для переходных вероятностей и моментов численностей частиц как дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, используется на протяжении всех предыдущих глав. В теоремах 5.2.1-5.2.3 приводятся основные оценки скорости роста решений линейных уравнений. В теоремах 5.2.4-5.2.6 исследуются уравнения в банаховых пространствах, элементами которых являются линейные операторы, удовлетворяющие так называемому условию Шура. Описаны ситуации, в которых решения таких операторных уравнений обладают специального вида "симметрией", что используется в предыдущих главах при анализе ВСБ с одним источником ветвления.

В разделе 5.3 рассмотрен круг вопросов, связанных с анализом монотонности решений дифференциальных уравнений. Большая часть излагаемых конструкций является обобщением соответствующих постановок для уравнений в конечномерных пространствах и, более того, скалярных уравнений. Необходимость данного раздела вызвана тем, что соответствующие результаты для уравнений в банаховых пространствах нуждаются в более аккуратных доказательствах. Соответствующие утверждения приводятся в теоремах о дифференциальных неравенствах 5.3.1-5.3.6, причем доказательство теоремы 5.3.3 приводится в виде, адаптированным для распространения его на случай бесконечномерных пространств. Традиционно утверждения, связанные с понятием монотонности, формулируются в терминах теории конусов42,43. Мы отказались от такого подхода и привели координатные формулировки, чтобы не загромождать изложение несущественной техникой.

Специально остановимся еще на одном утверждении о монотонности ре-

42 Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

43 Красносельский М. А., Лифшид Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 256 с.

шений, не следующем непосредственно из общих теорем о дифференциальных неравенствах. Представляет интерес вопрос, когда монотонным является не все решение а"(¿), а лишь некоторый функционал от этого решения, например, его норма. В следующей теореме подобного тина информация получена для решений линейного уравнения в гильбертовом пространстве 12{ЪЛ).

Теорема 5.3.7. Пусть 2С — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве 12{ЪЛ), о(3?) С [—<т,0], ст > 0, и пусть х(£) — решение дифференциального уравнения

¿х

— = 2х. ей

Тогда

а) функция 11^(^)11/2(2'«) на полуинтервале [0, оо) монотонно не возрастает и стремится к нулю в случае, когда А = 0 не является собственным значением оператора 5?;

б) функция (ж(4),а;(0)) на полуинтервале [0, оо) монотонно не возрастает и стремится к нулю в случае, когда А = 0 не является собственным значением оператора 5£;

б) для старших производных функции (х(1),х(0)} на полуинтервале [0, оо) выполняются неравенства (—1)"(х^^),х(0)) ^ 0 при п ^ 1.

Утверждение а) приведенной теоремы дополняет теорему 5.2.3. Отметим, что в условиях теоремы 5.3.7 монотонность функций (х^),у) при у ф х(0), вообще говоря, не имеет места. Отметим также, что в теореме 5.3.7 вместо можно взять произвольное гильбертово пространство Е.

Заключительный раздел 5.4 посвящен анализу асимптотического поведения действительных функций. Традиционными инструментами такого анализа являются теоремы об асимптотике интеграла Лапласа и тауберовы теоремы, формулировки которых для удобства ссылок напоминаются в этом разделе. Однако, в ряде ситуаций, возникающих в предыдущих главах, этих теорем недостаточно. Поэтому в разделе 5.4.3 устанавливаются несколько технически более простых, но в то же время более удобных в контексте анализа ВСБ утверждений об асимптотическом поведении сверток так называемых степенно-логарифмических функций. Так, в теореме 5.4.4 находится асимптотика интеграла от

степенно-логарифмической функции, а в теореме 5.4.5 (о свертках) устанавливается асимптотика свертки Jq (p(t — s)x{s) ds степенно-логарифмических на бесконечности функций tp{t) ~ (fot^ilnt)'1 и xiß) ~ Xo^i^nt)v при различных значениях параметров /i, Д, и, v. Утверждение теоремы о свертках донолняют теоремы 5.4.6-5.4.8 о поведении сверток функций в тех случаях, когда вместо асимптотики одной из функций tp{-) и х(') известна лишь оценка скорости ее роста или убывания, либо же явная информация о скорости роста функций <р(-) и х(-) вообще отсутствует.

Список публикаций автора по теме диссертации Монография:

1. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. 104 с. ISBN: 978-5-211-05431-8.

Публикации в научных изданиях из перечня ВАК:

2. Богачев JI. В., Яровая Е. Б. О моментах ветвящегося случайного блуждания в случайной среде // Успехи матем. наук. 2000. Т. 55, № 5(335). С. 173-174.

Л. В. Богачеву принадлежит идея исследования ВСБ с гибелью частиц в случайной среде. Е. Б. Яровой получены теоремы о поведении моментов.

3. Яровая Е. Б. Предельная теорема для критического ветвящегося случайного блуждания на Zd с одним источником // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, № 1. С. 175-176.

4. Яровая Е. Б. Критические ветвящиеся случайные блуждания но решеткам низких размерностей // Дискреты, матем. 2009. Т. 21, № 1. С. 117-138.

5. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий по Zd // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 3. С. 621-622.

6. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705-731.

7. Яровая Е. Б. Модели ветвящихся блужданий и их применение в теории надежности // Автоматика и телемеханика. 2010. № 7. С. 29-46.

8. Яровая Е. Б. Монотонность вероятности возвращения в источник в моделях ветвящихся случайных блужданий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2010. № 2. С. 44-47.

9. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным множеством центров генерации частиц // Доклады Академии наук. 2012. Т. 446, № 3. С. 259-262.

С. А. Молчанову принадлежат постановки задач, Е. Б. Яровая выполнила доказательства основных теорем.

10. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76, № 6. С. 123-152.

С. А. Молчанову принадлежит идея рассмотрения больших уклонений, Е. Б. Яровая выполнила доказательства основных теорем.

11. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Структура популяции внутри распространяющегося фронта ветвящегося случайного блуждания с конечным числом центров генерации частиц // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447, № 3. С. 265-268.

С. А. Молчанову принадлежат постановки задач, Е. Б. Яровая выполнила доказательства основных теорем.

12. Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся блужданий с несколькими источниками ветвления // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 124-140.

Публикации в научных изданиях, входящих в международные системы цитирования:

13. Albeverio S., Bogachev L. V., Molchanov S. A., Yarovaya E. B. Annealed moment Lyapunov exponents for a branching random walk in a homogeneous random branching environment // Markov Process. Related Fields. 2000. Vol. 6, no. 4. P. 473-516.

С. Альвеверио и С. А. Молчанову принадлежат постановки задач и общий план работы. Л. В. Богачеву принадлежат параграфы 3-5, Е. Б. Яровой принадлежат параграфы 6-8.

14. Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. В. Branching random walk with a single source // Communications in difference equations (Poznan, 1998). Amsterdam: Gordon and Breach, 2000. P. 9-19.

С. Альвеверио и Л. В. Богачеву принадлежит параграфы 1,2,5; Е. Б.Яровой принадлежат параграфы 3,4 и доказательства основных теорем.

15. Vatutin V. A., Topchii V. A., Yarovaya Е. В. Catalytic branching random walks and queueing systems with a random number of independent servers // Teor. Imovlr. Mat. Stat. 2003. no. 69. P. 1-15.

B.A. Ватутину и В. А. Тоичию принадлежат параграфы 1,3. Е. Б. Яровой получены доказательства теорем в параграфах 2,4.

16. Yarovaya Е. Critical and subcritical branching symmetric random walks on d-dimensional lattices // Advances in data analysis. Boston, MA: Birkhauser Boston, 2010. Stat. Ind. Technol. P. 157-168.

17. Yarovaya E. B. Supercritical branching random walks with a single source // Comm. Statist. Theory Methods. 2011. Vol. 40, no. 16. P. 2926-2945.

18. Yarovaya E. Symmetric branching walks in homogeneous and nonhomogeneous random environments // Comm. Statist. Simulation Comput. 2012. Vol. 41, no. 7. P. 1232-1249.

19. Yarovaya E. B. Branching Random Walks with Several Sources // Mathematical Population Studies. 2013. no. 20. P. 14-26.

Публикации в прочих рецензируемых научных изданиях и материалах научных конференций:

20. Yarovaya Е. В. Branching symmetric random walk on one- and two-dimensional lattice // Transactions of XXV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Maiori (Salerno), Italy, September 20 - 24. Maiori (Salerno), Italy, 2005. P. 320-321.

21. Yarovaya E. B. Critical and Subcritical Branching Symmetric Random Walk on d-dimensional lattice // Proceedings, XII Int. Conf. Applied Stochastic Mod-

els and Data Analysis (ASMDA) May 29-31 and June 1, 2007, Chania, Crete, Greece / Ed. by С. H. Skiadas. 2007. P. 1-8.

22. Yarovaya E. B. D-dimensional Critical Branching Symmetric Random Walk // Transactions of the XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Ort Braude Colledge, Karmiel, Israel, 2007 / Ed. by Z. Volkovich. 2007. P. 193-195.

23. Яровая E. Б. Две модели ветвящегося случайного блуждания с одним источником по d-мерной целочисленной решетке // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, № 4. С. 765-766.

24. Яровая Е. Б. Об исследовании ветвящихся случайных блужданий но многомерным решеткам // Современные проблемы математики и механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. Т. 4 из сер. "Теория вероятностей и математическая статистика". С. 119-136.

25. Yarovaya Е. В. Supercritical Catalytic Branching Random Walks // The XIII International Conference "Applied Stochastic Models and Data Analysis" (AS-MDA-2009). Selected Papers, Ed. by L. Sakalauskas, C. Skiadas, E. K. Zavad-skas. Vilnius: Gediminas Technical University Publishing House "Technika", 2009. P. 228-232. ISBN: 978-9955-28-463-5.

26. Yarovaya E. B. Three models of non-degenerate processes in random environ- • ments //' Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation / Ed. by A. N. P. S. M. Ermakov, V. B. Melas. Vol. I. St. Petersburg, WM com. Ltd., 2009. P. 1-6.

27. Yarovaya E. B. Branching Walks in Inhomogeneous Random Environments // Proceedings of International Conference "Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis" (SMTDA 2010) June 8-11, Chania, Crete, Greece / Ed. by Y. D. C. Skiadas. 2010. P. 1-8.

28. Яровая E. Б. Симметричные ветвящиеся блуждания с тяжелыми хвостами // Современные проблемы математики и механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. Т. 7 из сер. "Теория вероятностей и математическая статистика". С. 77-84.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж^оо экз. Заказ № IS

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

0520135а(Ш

Яровая Елена Борисовна

Пространственная структура ветвящихся

I

случайных блужданий

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2013

Содержание

Введение ......................................................................5

Глава 1. Симметричные ветвящиеся случайные блуждания . 34

1.1. ВСБ с одним источником ветвления................................36

1.1.1. Описание модели............................................36

1.1.2. Генератор случайного блуждания..........................37

1.1.3. Процесс ветвления в источнике............................43

1.1.4. Основные уравнения........................................45

1.2. Фазовые переходы в ВСБ............................................51

1.2.1. Асимптотическое поведение моментов....................52

1.2.2. Вероятность выживания популяции ......................55

1.2.3. Вероятность наличия частиц в произвольной точке ... 61

1.2.4. Предельное поведение ВСБ................................75

1.3. ВСБ с тяжелыми хвостами..........................................80

1.3.1. Отказ от конечности дисперсии скачков..................80

1.3.2. Критерий возвратности ....................................81

1.3.3. Предельные теоремы........................................87

Глава 2. Несимметричные ветвящиеся случайные блуждания

с конечным числом источников......................................90

2.1. ВСБ с нарушением симметрии блуждания........................94

2.1.1. Основные уравнения........................................95

2.1.2. Свойства эволюционного оператора Ж....................103

2.1.3. Асимптотика моментов......................................105

2.1.4. Предельная теорема........................................109

2.2. ВСБ с источниками трех типов ....................................113

2.2.1. Модель ВСВ/г/к/т........................................116

2.2.2. Основные результаты........................................118

2.3. Фазовые переходы в надкритических ВСБ........................123

2.3.1. ВСБ с источником и "псевдо-источником"................123

2.3.2. ВСБ с двумя источниками..................................124

Глава 3. Пространственно-временная структура ветвящихся случайных блужданий......................................................127

3.1. Переходные вероятности для больших уклонений случайного блуждания............................................................130

3.2. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана 143

3.3. Большие уклонения для ВСБ ......................................163

3.4. Предельные теоремы для функции Грина оператора симметричного блуждания......................................................166

Глава 4. Ветвящиеся случайные блуждания в случайных средах 184

4.1. Случайные среды и потенциалы....................................187

4.1.1. ВСБ в однородной случайной среде........................188

4.1.2. ВСБ в неоднородной случайной среде....................191

4.2. Представление Фейнмана-Каца ....................................192

4.3. Предельная теорема для моментов ................................196

4.4. Моменты для потенциалов вейбулловского и гумбелевского типов 201

Глава 5. Функционально-аналитические методы исследования

ветвящихся случайных блужданий..................................205

5.1. Линейные операторы в пространствах ......................205

5.1.1. Оператор %..................................................209

5.1.2. Оператор si..................................................210

5.1.3. Оператор sü + ..........................................216

5.1.4. Оператор d + ÇT^sé + ß% ................................222

5.1.5. Многоточечные возмущения оператора si................240

5.2. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах . . 244

5.2.1. Основные определения......................................244

5.2.2. Уравнения в гильбертовом пространстве..................247

5.2.3. Операторные дифференциальные уравнения............251

5.3. Дифференциальные неравенства....................................256

5.3.1. Скалярные уравнения......................................256

5.3.2. Уравнения в конечномерных пространствах..............258

5.3.3. Уравнения в бесконечномерных пространствах..........261

5.3.4. Монотонность решения задачи Коши......................263

5.4. Асимптотические методы............................................267

5.4.1. Интеграл Лапласа ..........................................268

5.4.2. Тауберовы теоремы..........................................268

5.4.3. Асимптотическое поведение интегралов..................269

Литература....................................................................284

Введение

Актуальность работы. Диссертация посвящена ветвящимся случайным блужданиям — одной из интенсивно развивающихся областей теории вероятностей и случайных процессов. С помощью ветвящихся случайных блужданий изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, гибнуть и перемещаться по пространству в различных средах по правилам, учитывающим фактор случайности. Ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) является стохастическим процессом, сочетающим в себе свойства ветвящегося процесса и случайного блуждания.

Ветвящиеся процессы описывают явления, связанные с размножением и исчезновением совокупностей объектов. Основные идеи теории ветвящихся процессов появились в исследованиях Ф. Гальтона и Д. Ватсона еще во второй половине XIX века. Однако аксиоматические основы этой теории были заложены лишь в середине прошлого века в фундаментальных исследованиях А.Н. Колмогорова, H.A. Дмитриева, Б.А. Севастьянова, Р. Беллмана и Т. Харриса и получили развитие в многочисленных публикациях современных авторов, в частности, в монографиях Н. Атрея и П. Нея [70], К. Мода [89], 3. Ли [88], П. Ягер-са [86]. Обзор по этой проблематике можно найти в работах В.А. Ватутина и A.M. Зубкова [14,100].

Термин "случайное блуждание" был введен, по-видимому, К. Пирсоном [93]. С помощью случайных блужданий изучаются процессы перемещения частиц под действием некоторого случайного механизма. Широкий круг проблем теории случайных блужданий описан в классических монографиях Ф. Спицера [44] и В. Феллера [46]. Различным подходам к их решению посвящены труды A.A. Боровкова, К.А. Боровкова, Г. Кестена, М.В. Козлова, Я.Г. Синая и других авторов.

В последние годы актуальным стало исследование поведения более сложных стохастических систем с размножением, гибелью и перемещением элемен-

тов в пространстве в зависимости от структуры среды и пространственной динамики, которые не вписываются в рамки классических теорий. Подобные модели возникают в статистической физике [83, 112], химической кинетике [82], теории гомополимеров [77]. Прикладные проблемы, а также логика развития теории случайных процессов привели к формулировке основных принципов ВСБ. Вероятностные модели ВСБ принято описывать в терминах размножения, гибели и блуждания частиц. Основополагающей в этом направлении признана статья Б.А. Севастьянова [41] о ветвящихся процессах с диффузией частиц. Важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся блужданий связаны также с именами A.B. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Реве-са. Однако работы этих и многих других математиков в основном посвящены либо одномерному случаю, либо исходят из предположения об однородности ветвящейся среды. В связи с этим на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц в пространственно неоднородных, "каталитических" средах. Например, в работах [79, 81] рассмотрены супердиффузионные процессы, возникающие как "диффузионный" предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц [80, 98].

Одно из современных направлений анализа ВСБ, возникшее в работах С. Альбеверио, JI.B. Богачева, С.А. Молчанова и автора диссертации [54,67, 68], связано с исследованием процессов на целочисленных решетках с непрерывным временем для пространственно неоднородных или случайных ветвящихся сред, представляющих собой совокупность процессов размножения и гибели частиц в узлах решетки. При этом среды с конечным числом источников ветвления называют неоднородными. Весьма актуальным представляется анализ влияния среды на предельное пространственное распределение частиц. Эта проблема интересна также в связи с исследованием пространственных распределений в случайных средах, в которых интенсивности размножения и гибели частиц случайны. Для таких сред характерно возникновение структур с выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием так на-

зываемых сильных центров, в окрестности которых происходит основной рост процесса [82, 90]. Такие модели используются в теории надежности [62], [99], при исследовании миграции и деления клеточных популяций [111] и других областях. Свойства ВСБ, связанные с неоднородностью, некомпактностью, а также размерностью пространства, служат для объяснения эффектов в более сложных неоднородных структурах [85, 98].

Для понимания особенностей поведения ВСБ фундаментальное значение имеет модель симметричного ВСБ с одним источником ветвления и конечной дисперсией скачков [5, 54]. Эта "точно решаемая" модель позволяет изучить эффекты, обусловленные неоднородностью среды и неограниченностью пространства. В приложениях условие симметричности ВСБ является достаточно ограничительным, в связи с чем возникает необходимость распространения полученных результатов на ВСБ с нарушением симметрии блуждания в источнике [99].

Исследование ВСБ требует развития уже существующих методов, а также создания новых подходов. Традиционный подход связан с представлением ВСБ как ветвящегося процесса с несколькими типами частиц. Он позволил получить [10-13,15] предельные теоремы для критических ВСБ. В диссертации развивается функционально-аналитический подход. Он основан на представлении эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах [66, 68] (см. также [56]) и исследовании спектра операторов, возникающих в правых частях этих уравнений. Такой подход предлагает единую точку зрения на модели ВСБ различных типов — как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках [65]. Он позволяет использовать при изучении моделей математической физики, химической кинетики и др. методы функционального анализа, в равной степени пригодные для исследования как ВСБ с конечным числом источников, так и многих естественнонаучных моделей, не обязательно описываемых в теоретико-вероятностных терминах. В этом контексте предложенный подход можно применять для учета

главных членов "теории возмущений" в соответствии с иерархией каталитических центров.

Одним из принципиальных предположений в ранее проводимых исследованиях В СБ было условие конечности дисперсии скачков случайного блуждания. В этом случае ВСБ оказывается возвратным на одно- и двумерных решетках, но теряет это свойство на решетках более высокой размерности [56]. В последние годы случайные блуждания (без ветвления) с бесконечной дисперсией скачков привлекали внимание многих авторов, см., например, книгу A.A. Боровкова и К.А. Боровкова [71] и библиографию в ней. Подобного рода проблемы актуальны и для ВСБ с "тяжелыми хвостами", которые ранее, по-видимому, не рассматривались.

При изучении поведения сложных случайных систем возникает необходимость анализа ситуаций, когда система частиц испытывает большие уклонения. Иными словами, ведет себя нетипично. Начало современной теории больших уклонений было положено в 1938 году в работе Г. Крамера [76]. В ней исследовались большие уклонения для сумм независимых, одинаково распределенных случайных величин. Изучение больших уклонений траекторий случайных процессов связано с именами A.A. Боровкова, К.А. Боровкова, С.Р. Ва-радана, А.Д. Вентцеля, Д.А. Коршунова, A.A. Могульского, A.A. Пухальского, М.И. Фрейдлина и других авторов. Задачи такого типа актуальны и для ВСБ на многомерных решетках. К сожалению, для ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или неприменима или по меньшей мере очень сложна. В недавней статье М. Кренстона, JI. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга [77], посвященной непрерывной модели гомополимера, где рассматривалось M.d вместо Zd и броуновское движение вместо случайного блуждания, был предложен подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. В рамках этого подхода для исследования спектра эволюционного оператора средних численностей частиц используется информация о переходных вероятностях и функции Грина эволюционного оператора. Анализ резоль-

венты оператора при больших уклонениях случайного блуждания позволяет существенно расширить результаты предыдущих исследований для ВСБ. К исследованию функции Грина обращался ряд авторов, среди которых П. Кучмент [87], К. Ушияма [97], а также С.А. Молчанов и автор диссертации [35, 36].

Аналогичные вопросы возникают в теории случайных сред, в которых интенсивности деления и гибели частиц являются случайными полями, однородными по пространству или по пространству-времени. Такие модели важны не только с точки зрения популяционной динамики, но и, например, как модели реальных физических явлений. Принципиально новым эффектом, типичным для теории случайных сред, оказывается так называемая перемежаемость, т.е. высокая степень локальной иррегулярности поля частиц (или магнитного поля в физике): наличие редких высоких пиков, слоистых структур и т.п. Первые математические работы в этой области принадлежат группе Я.Б. Зельдовича (С.А. Молчанов, A.A. Рузмайкин, Д.Д. Соколов) [24, 112]; см. также цикл работ Ю. Гертнера, С.А. Молчанова, Р. Кармоны [74, 84, 91]. Основным объектом анализа в этих работах было не само поле частиц, а его первая корреляционная функция (плотность), удовлетворяющая параболическому уравнению Андерсона со случайным потенциалом. Математическим проявлением перемежаемости является прогрессивный рост старших моментов поля в сравнении с младшими моментами. Технически это связано с весьма трудной задачей решения системы уравнений для соответствующих корреляционных функций. Анализ явления перемежаемости и связанных с ним особенностей предельного поведения ВСБ в случайных средах до сих пор остается одной из актуальных проблем.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании пространственной структуры ветвящихся случайных блужданий с непрерывным временем и лежащих в их основе случайных блужданий по многомерной решетке с различной пространственной динамикой в неоднородных и случайных средах как при фиксированных пространственных переменных, так и при совместном росте пространственных координат и времени.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Проведена классификация асимптотического поведения моментов и вероятностей продолжения процесса для численностей частиц в ВСБ в зависимости от интенсивности источника, свойств блуждания и размерности пространства, как для симметричного блуждания, так и для блуждания с нарушением симметрии в источнике.

2. Выявлен новый эффект возникновения критических и докритических ВСБ в низких размерностях даже при отсутствии гибели частиц, связанный с отказом от конечности дисперсии скачков случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

3. Введена общая модель ВСБ с конечным числом источников различных типов как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках. Для таких ветвящихся случайных блужданий выявлены фазовые переходы в надкритическом случае, что существенно отличает их от ВСБ с одним источником.

4. Получены явные формулы, описывающие асимптотическое поведение переходных вероятностей простого симметричного случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени.

5. Доказаны предельные теоремы для функции Грина переходных вероятностей при произвольном положительном значении параметра, что позволяет исследовать фронт популяции и найти предельные распределения для полного числа частиц в популяции или числа частиц вблизи границы фронта.

6. Для моделей однородного и неоднородного симметричного ВСБ в случайной среде получены условия, при которых асимптотическое поведение усредненных по среде моментов совпадает для обеих моделей. Показано, что таким условиям удовлетворяют ВСБ со случайным потенциалом, для

которого логарифм распределения "правого хвоста" асимптотически эквивалентен логарифму распределения Гумбеля и Вейбулла.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и случайных процессов, методы теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, методы спектральной теории, методы анализа тригонометрических рядов со знакопостоянными коэффициентами, а также методы асимптотического анализа рядов и интегралов, в частности, тауберовы теоремы, метод перевала и метод интегралов Лапласа.

Автором разработан оригинальный метод оценки скорости роста преобразования Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания с "тяжелыми хвостами", метод анализа резольвенты разностного лапласиана при больших уклонениях для простого случайного блуждания при произвольных значениях параметра, а также предложена общая схема исследования функций Грина переходных вероят