Оценки остаточных членов в предельных теоремах для ветвящихся процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГО од

/ ВИСНЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТОМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЕЛЬГАСШ АЛЬ-СИНУСЙ БЕЛЬГАСЕН ^ ^

(Ливия)

оценки ОСТАТОЧНЫХ членов в предельных творпш дж

ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ

01.0Г.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕР АТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1993

Работа выполнена в Ташкентском государственно).! университете на кафедре теория вероятностей и математической статистики.

Научный руководитель - доктор физико-математических нвук,

профессор Ш.К.ФОРМАНОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.С.БАШБАЕВ кандидат физико-математических нвук, доцент Я.А.ХГСАНБАЕВ

Ведущая организация - Институт математики

им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан

Защита состоится I апреля 1993 г. в 1400 часов нв заседании специализированного Совета К 067.02.13 в Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкент1, Вузгородок, ТашГУ, факультет прикладной математики и механики, вуд. 205-А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТаиГУ (Вузгородок).

Автореферат разослан " марта 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических неук, доцент И.МКРЗАЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБУШ

Актуп ныюоть та пи. Ветвящиеся случайные процессы составляют самостоятельное научное направлен.ie а теории вероятностей.

Большинство результатов теории ьетьящихся случайных про- ' цессов, относящихся на период стан селения этой науки, содержатся в монографиях Б. А.Сепостъянова "Ветвящиеся процессы" (11.: Наука, 1971), Т.Е.Харриса "Теория ветвящихся случайных процессов" Ol.: Мир, 1966). Современное состояние этой теории отражено в обзорной статье В.А.Ватутина, Л.П.ЬубксЕа "Ветвящиеся процессы I" (Итоги науки и техники. Сер. теор.вероятн. и пат .статистика. Т.23). Значительное место в теории таких процессов занимают предельные теоремы, относящиеся к асимптотическим поведениям докрптических, критических и надкритических процессов. К настояцзму времени остается малоисследованными оценки скорости сходимости в предельных теоремах даже для более простых моделей ветвящихся процессов.

Цель работы. Основной целы) работы являются оценки остаточных членов в предельных теоремах для марковских ветвящихся процессов как непрерывного, гак и дискретного времени. А также доказательство известных предельных теорем методом Стейна, звииствоваши'м из теории суммирования независимых и слабозави-симнх случайных величин.

Нет оды исследования. В диссертационной работе используст-ся неявные в иды решений основного дифференциального уравнения для производящих функции, в в случае процессов Гальтона-Ват-сона соотЕетствусщие рекуррентные соотношения.

Научная новизна.'В диссертации приведены следующие результат:

- оценка скорости сходимости в предельных теоремах для вероятностей продолкения процессов при условиях существования моментов нецелого порядка в докритическом и критическом случаях;

оценки остаточных членов в соответствующих предельных теоремах для условных распределений при условии невырождения процесса;

~ равномерная оценка скорости сходимости к показательному закону в случае критических процессов;

- доказательства известных .предельных теорем теории

■ ч

ветвящихся процессов методом Сгейнв.

Практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут найти применение в общей теории марковских процессов с дискретным множеством состоянии, асимптотическом анализе более сложных моделей ве'р-вящихся процессов, статистике случайных процессов типа авторегрессии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях профессорско-преподавательского состава Ташкентского госуниверситетв (1991,1992), семинарах отдела теории вероятностей Института математики АН Республики Узбекистан и каз*;едры теории вероятностей и математической статистики Ташкентского госуниверситета.

Структуре и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объем работы 128 страниц машинописи.

СО ДЕРЯ АН Ж РАБОТЫ

Во введении содержатся краткий обзор работ, связанных с темой диссертеции, приведены основные результаты и их сравнения с известными результатами,

' Глава I посвящена оценкам остаточных членов в предельных теоремах для марковских ветвящихся процессов непрерывного времени { 20) , t , заданных производящей функцией

со

/с^) = Ел^' и«-*-

к=о

где последовательность { рх , и О } удовлетворяет условию

со

р * О, рх<0,

с/ = 0

Едесь 2(Ь) число частиц в момент времени t в таком процессе. Считая 2(0) = 1 , полошим

а-, а(и=Р(г(*)>о)

В упомянутой выше монографии Б.А.Севостьянова приведено следующее утверждение. Если &< О ,то для того, чтобы имела место асимптотическая формула

ш = К.еа*(1 +0(1)) (I)

необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл

В свою очередь существование интеграла (2) равносильно сходимости ряда

со Л=i

В.М.Золотарев, р.Мухамедханова при условиях существования

<со ,

получили асимптотическое разложение в равенстве (I) по степеням в а* (в.И.Золотарев. Уточнение ряда теорем теории ветвящихся случайных процессов. Теор. вер. и ее прим. Т.П, 2(1957), 256-265; Р.Мухамедханова. Утешение ряда теорем теории ветвящихся случайных процессов. Труды Института математики ЛН УЗССР. Вып.22, 1961, 41-46).

Мы рассматриваем случай существования моментов нецелого порядка. В связи о этим введем

(М?): о***1 ■

В следуощей теореме приведена оценка величины „о('х)" в равенстве (г).

Теорема 1.1. Пусть СЬ « О и выполнено условие (М^) . Тогда . „ ,

ва)=хеа*(и-о(еВа*)) .

Такие известно, что для докритичеоких процессов (а<0) иыеет место сведувщая предельная теорема. При любом существу-

ет пределы

ßitn P(z(t) =n/z(t)>o) =P*t

t— со > n

где { P^ t Л з 1 } образует распределение вероятностей с производящей функцией

rU.t-^iafjfö)

(В главе Ш приведено другое новое доказательство этого утвера-дения). (J)

Теорема 1.2. Если выполнено условие (-Mg ) . то при t —00

sup I P(z(t) = л/s(t) >о)-Р*\ = о(е aS*)

TL

Кроме этого показано, что

M(z(t)/z(i)>o)-£ = o(eSai)

при t — (теорема 1.3). Пусть

п=о

Хорошо известно, что в теории критических процессов важную роль играет основная лемма, согласно которой для R(t,as) имеется удобное представление при условии

f"(i) .

В § 1.4 исследован случай а -О и /(icj имеет представление

j(i-x) =сс"ые(±) t 0<ы*1,

где £(') медленно меняющаяся в смысле Кара мата функция. Таким образом, в нашем случае в, но функция f(i-x) регулярно меняется в нуле. Установлен следующий аналог основной леммы •

Л(л(б,х)) = - (!+&&,х)) о)

где

к (х) = ) sup (е (t,32)) = О .

Воспользовавшись представлзнием (з) доказана теорема 1.4, в которой приводятся асимптотика вероятностей Q(6) и предельная теорема для условного распределения

3 (л) = P(Q(t)z(6) < oc/z(t) > О)

и

Следует заметить, что приведенное утверидение теоремы 1.4 ранее было доказано В.М.Золотаревим другим методом. (г) Отметим также, согласно теореме 1.5 при условии (Ms )

остаточный член в основной лемме имеет порядок o(t's) . Половим

с = /74 , crjtSQ(u)du ' 5t = macc(~k'cJ'

A = Sup \St(x) ?

X>0 '

где

О , если x< 0 ,

£ X , если cc > 0 .

Теорема 1.6. Существует положительная абсолютная константа А такая, что

^ A5tenir &

ь

По поводу приведенной оценки (О сделаем следующие замечания:

1. Оценка (О подчеркивает замечательное свойство критических ветвящихся процессов, которая заключается в том, что предельное распределение для таких процессов не зависит от начального распределения (т.е. от производящей функции

/О) ). В го не время предельные распределения для z(t) в докритическом (а<0) и надкритическом (а>о) случаях однозначно определяется производяцзй функцией fO) ;

2. Из оценок для вероятностей Q(i) следует, что при больших значениях t величина ^ превосходит щ .

Поэтому из выражения для ¿^ получаем, что основной характеристикой скорости сходимости в (4) является величина t

± /Q (и) du 5 о

Следовательно из (4) вытекает, что

Е(х)

Оценка (5) для процессов Гальтона-Вятсона установлена С.В.Нагаегим и Р.Мухаиедхановой.

В § 1.7 рассмотрен частный случай производящей функции

/(ее) = а(рс-1) + , с1д>тах(0,а)

Вычислив константу -К в асимптотике (I) непосредственно и при помощи интеграла (2), установлено тождество для гипергеометрической функции Гаусса.

Глава II посвящена оценкая остаточных членов в предельных теоремах для процессов Гальтоне-^атссна. Пусть

= ^ > 2л > гг. • • • > • • • ■

образует процесс Гальтона-Ватсона, порожденный производящей функцией

со

случайной величины, представляющей собой число репосредствен-ных потомков одной частицы;

Ря(х) -Р&а-к), Ча-Р(гя>0), г'О) =А

Теорема 2.1. Пусть 1 и выполнено условие ) ■

Тогда при Л — °°

где

¿о Л(1-Рл(о)) Кроме того, известно, что при существуют пределы

61т. Р(гп=к/г11=>о) =Рл* 1 (б)

П — со

где последовательность { Рл образует распределе-

ние вероятностей, производящая функция которого

/><-*;• Е-р/**

А=/ V

удовлетворяет функциональному уравнение

i - Р(Г(сс)) =А(1~ Р(сс)) (7)

Теорема 2.2. Если выполнено условие , то

при л,

su.fi \ Р(гл-1С/га>о) ~Р;\-0(Лп°)

1С

В § 2.4 рассмотрен случай, когда для Р(гс) имеет место представление

рю-в+е-*)"'1^) (6)

где О, €(•) - медленно менявшаяся функция.

Следует отметить, что исследование критических процессов с производящей функцией (8) начато Сэлкои. Существенные результаты для более общих процессов с бесконечными вторыми моментами получены В.А.Ватутиным. Локальные предельные теоремы и асимптотическое поведение ветвящихся процессов с беско-

печными вторыми моментами в нетрадиционной постановке исследованы И.Рахимовым.

Последний § 2.5 посвящен частному случае, когда

F(x) -J +A(x-i)+Bo(l~cc:)1 +с<

где

А>0, 0<о< ssi , Во > max(Л~1, о) Для этого случая, когда установлена оценка

Глава ffl посвящена доказательствам известных предельных reopen ветвящихся процессов методом Стейна.

Ч.стейн С Ch. Stein. -Л Bound, /ог the eszos

in the nazmaß ctppzoximatian to the distúSution.

of sum of dependent zandom uaziaßßes. Pzos. Sixth,

ВвгкСеу SypnoS. math. Stat and РгоВаб. 2,1972, 582-602 ^

предложил новый метод доказательства центральной предельной теоремн для последовательностей слабозависимых случайных величин, основанный на получении определенных дифференциальных и интегральных соотношений для разности двух функция распределения. В последующем этот метод был модифицирован и усовершенствован Д.Н.Тихомировым.

Применение метода Стейна, употребляемого этим названием в "собирательном" виде, в теории ветвящихся случайных процессов осуществлено следующим образом. Воспользовавшись свойствами рассматриваемого процесса, устанавливаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет производящая функция предельного закона. Решая это уравнение, получаем явный вид предельного распределения.

Например, в частности доказано, что функциональное уравнение (7) равносильно дифференциальному уравнении

которое следует решить при условии . Исходя из этого

доказана предельная теорема (б) для докритических процессов Гальтона-Ватсона.

Последняя §3.3 посвящен доказательству предельных теорем методом Стейнв для марковских ветвящихся процессов непрерывного времени с иммиграцией. При этом считается, что в начальный момент времени Ь-О имеется случайное число частиц с производящей функцией , В докритическом критическом случаях (аао) предельные распределения не зввиоят от вида функции Р0(сс) .

Основные результаты диссертации представлена в работах:

1. Айуль-Гасем Аль-Синуси. Оценки остаточных членов в предельных теоремах теории ветвящихся случайных процессов. Деп. ВИНИТИ, К* 2052-В92. - 28 о.

2. Эорманов И.К. Абуль-Гасем Аль-синуси. Доказательства предельных теорем теории ветвящихся случайных процессов методом Стейна. Узбекский математический журнал (в печати).