Предельные теоремы для многотипных ветвящихся процессов с миграцией и с иммиграцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

п „ „ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

Ой

, _ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ЩЕНИ В.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи,

ХАЛИЛОВ Вугар Садулла оглн

ПРВДЕЛШЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ШОГОТИШЫХ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С МИГРАЦИЕЙ И С ИММИГРАЦИЕЙ.

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика.

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1994,

Работа выполнена в Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Научные руководители - доктор физико-математических наук, лрофессор И.С.ВАДАЛВАЕВ, кандидат физико-математических наук АЛИЕВ O.A.

Официальные оппоненты: 'доктор физико-математических наук, профессор Ш.К.ФОРМАНОВ, кандидат физико-математических наук, доцент Г.Т.ТУРШОВ.

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной математики HAH PK.

Завдига'диссертации состоится "Jj>__" Ой&У.уШлУ!. 1994 г.

в 1Ч(Счао. на заседании специализированного совета Д 015.17.21 при Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу:

7000145 г. Ташкент-143, ул. Ф.Ходжаева, 29

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан "Jj?_" iJu^Jxts^fx 1994

г.

УЧЕНЫ,1 СЕКРЕТАРЬ

JÜ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА, г ^

ДОКТОР «¡3. - МАТ. НАУК Ш- J^ <> ' lü.A.XAJ'ÄlOB

Актуальность темы. К настоящему временя теория ветвящихся случайных процессов стала обширной и самостоятельной ветвью ; общей теории случайных процессов. Это объясняется тем, что различные модели ветвящихся процессов (в.п.) являются наглядными и удобными для описания реальных процессов в физике, биологии, социологии и других науках.

Многочисленные примеры их приложения имеются в известных монографиях Харриса Т. (1966 г.), Севастьянова Б.А. (1971 г.), Atbreya К., Key Р. (1972 Г.), Jagers Р. (1975 Г.).

Наряду с исследованиями траекторий классических моделей в.п., таких как процесс Гальтона-Ватсона, марковский в.п., процесс Беллмана-Харисса и др. проявляется все больший интерес к изучения модификаций этих процессов. Например, процессы, учитывающие миграцию частиц, а также зависимость миграционной компоненты от времени, состояния и других факторов.

В связи с этим дальнейшее изучение свойств различных моделей ветвящихся процессов представляется актуальным.

В диссертации исследуются многотипные ветвящиеся процессы с миграцией, которые являются аналогом процессов введенных Нагаевым C.B. и Хан Л.В. (1980 г.). Рассмотрены также многотипные в.п. с иммиграцией растущей интенсивности.

Цель работы, - исследование аоимптотики моментов, получение предельных распределений для вектора частиц в многотилных в.п. с миграцией и иммиграцией.

Методику исследования. В работе использованы прямые вероятностные методы, методы асимптотического анализа (тауберовы теоремы), а.также аппарат производящих функций и преобразований Лапласа.

Научная новизна. Получены предельные теоремы для вектора чаотиц в многотипном в.п. с миграцией. Рассмотрены случаи, когда процесс начинается с большего числа частиц. Изучены асимптотические свойства вероятностей перехода дай этих процессов.

' Доказана теорема о предельном распределении суммы случайного числа случайных векторов в одном специальном случае, с помощью которой получены предельные теоремы для многотипных ветвящихся процессов с растущей иммиграцией.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты могут быть применены для описания многих реальных многомерных процессов, которые учитывают миграцию (иммиграцию и эмиграцию) частиц. Результаты и методы исследования работы могут быть полезными в дальнейших, исследованиях различных моделей ветвящихся процессов с миграцией.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на конференции молодых ученых Института математики им, В.И.Романовского АН РУ (1392 г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы три научные статьи.

Структура я объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем работы 100 страниц машинописи.

Содержание работы. В главе I настоящей диссертации вводятся ыноготипные в,п. с дискретным временем и миграцией частиц. Более точно, пусть имеется с1 типов частиц Т^..., Ту , = ^)- целочисленные неотрицательные случайные

векторы с производящими функциями , 1~1,с1 и

случайный вектор с целочисленными компонентами и множеством

т 5 -

значений из Л(т)= </Д я производящей

функцией ^СЗ) . где КП, - некоторцй фиксированный вектор из ^ . Не ограничивая общности можно считать,что вектор т. имеет целочисленные компоненты. Процесс. ^ = (Хр^), 1,2,... будем называть ветвящимся

процессом с миграцией, начинающимся с ( ^ > ■■■> ^ )

частиц, если он представим в виде

с/

(V V • сг>

/ £ со).*,

где , одинаково распределенные с £ и

соответственно, I - I, с/ независимые при любом ^ и £ случайные векторы.

Величины ¿Г/** , , £1 ^ означают соот-

ветственно число частиц типа 77 в момент времени Ь в процессе, число мигрантов 77 - типа в момент времени Ь и число потомков - у -й частицы типа . 77 в ^ -ом поколении.

Очевидно, что если О , то мы имеем в.п. с иммигра-

цией поэтому в данной главе будем предполагать, что существует Щ. такое, что т. <0 и Р(7.=^г-;)>0 .

Предложенная таким образом модель обобщает на случай с( -типов частиц схему предложенную в [10} я обобщает введенную в [17] модель.многотилного р. п. р миграцией.

Во втором параграфе главы I получен ряд вспомогательных результатов, для производящей функции процесса получено функциональное соотношение, а в § 3 главы I доказаны теоремы для

критических в.п. с митрациеи. ^ с?*/^

Обозначим ЯГ = ~ —

Л

А.1а/|.._

I 1

На протяжении всей работы мы будем предполагать, что матрица

Л непериодична и неразрешима, а Р ее перронов корень, ¿с/

Обозначим и-(и , • И ) , № - (,) соответственно правый и левый собственные векторы матрицы А , соответствующие ее перроновоыу корню. Известно, что и , можно выбирать тач, что их скалярное произведение

Далее, пусть /""(¿,5)- "Ь -Я 'и'тераций ^ (5) , 0Р00 -вероятность перехода процессом ) из 0 в 0 за время £ ни разу до этого не попадая в 0 , 4(5) - (('($), ■■., ))

Мы будем говорить, что выполнено условие I , если ^ - г/ ,

йо)>о, ¡><^> и

где ^ир ¿\1,йги %с!

\S\cl

и выполнено условие ■ , если

^ (У, ¿-¿^КСГ, *-*)), (3)

/ и

где 0< ¿Г< ^ , ¿(X) - медленно менящаяся функция (м.м.ф.) при Х-*-О •

В { 3 главы I доказаны следующие результаты: Теорема 1.1, Если выполнены условия , /

7-0,10 при {. ао

га) ~ (А,Ь)1,

где А0 некотррая положительная постоянная.

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1., имеем

и Р(?0)(1)-сС)и-А,, ¿ел/(0),

......

где А^ , - некоторые положительные константы. Теорема 1.3. В условиях теоремы 1.1

Теорема 1.4,- В уоловиях I ,

где

Следствие из теоремы 1,4. Если выполнены условия теоремы 1.4., то

, /¿н.^% \ _

В случае с/ = i эти теоремы доказаны в [10] . Случаи Л У О был рассмотрен в работе ti1?] . хотя следует отметить, что схема предложенная в [17] беднее введенной в настоящей работе.

В § 4 главы I рассматривается поведение процесса при ) Z I —ар .

Условимся обозначать через Г^- (Ю - функцию распределения (ф.р.) гамма распределения, т.е.

X

' т Í и£Г''е'и и>

о

где Г(') - гамма функция, X У О

Г 0 , если %<Ó,

(&**£)(*) • если

(4)

V г*)

. е

здесь (у) - ф.р., преобразование Лапласа, который имеет вид (с) = , а 6-*Г означает сверт-

ку двух распределений.

Теорема 1.5. Пусть выполнено условие , Л >0

а) если (£,и)при то

4- -*.ап С V

Í ->-ао

где

б) если

fr-^/t Re (о, с*), то

11 п в) Если (ЪМЦ-Ь , (и, 1)1^1 t

£ - второе по величине модуля собственное число матрицы Л I то

(т. Р (т=

ь-^сс \№,

где х. г Ф(') - стандартное нормальное распределение.

Теорема 1.6. Пусть выполнены условия ^ , 12

а) Если (?,и)/Ь ¿^Г Я ¿(О, «О • то

6 ¡Л. № „ -

б) Если (и,*)/р ± , то х-тт. (^у-,^).

Теорема 1.7. Пусть Л ?О Если

~ так, что ± '

где Р. - следующая за / по модулю собственное значение

л

матрицы А . то

где

&т Р( <х Л (р-

где В> - некоторая постоянная.

Во второй главе диссертации изучается с( -тинный процесс Гальтона-Ватсона с иммиграцией растущей интенсивности.

В первом параграфе главы П доказана теорема о предельном распределении суммы случайного числа случайных, векторов ,в одном специальном случае, о .помощью которой во втором параграфе получены предельные теоремы для процессов с растущей иммиграцией.

Пусть С1С V - фиксированное число,

при любом /I £ V - некоторое семейство независимых, одинаково распределенных до / и независимых по 2 с1 -мерных векторов, а

- семейство* (не обязательно незавиоимых) случайных векторов, компоненты которых принимают целые неотрицательные значения. Предположим также, что при любом значении пары. случай-

ный вектор ^(Ъ) и случайные векторы семейства ¥ независимы.

Рассмотрим последовательность сумм

£ =/5 С )

где

л с! ,

II 21 Ц £(*,*). ».в)

Н ы ¿4 V

Суммы вида (0,6) в одномерном случае рассматривались в работах [II, 12] в связи о приложениями к исследованию ветвящихся случайных процессов с иммиграцией. Приводимая ниже теорема дает аппроксимацию характеристической функции нормированной и центрированной суммы вида (0.6) характеристической функцией свертки двух распределений, содержащих нормальный закон. Рассмотрим векторы ^Ч^-^^и

ГЛв С й С* А

Ч Л' б7

Вид , Кп- , приведен в § I главы П.

Теорема 2.1. Если выполнены условия А, В, С из § I главы П, то при И-+-

ММ ( ,4 I €№чА>1 \г

£е мл

где - I , ¿£Д и остаточный член стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале / £ I £ Т • Вид параметров ^^ и также приведен в § I главы П.

В доказанных в § 2 главы П теоремах, получен .более широкий. класс предельных распределений, чем в работах [I, 5] , при более слабых предположениях и процессах размножения и иммиграции,, т.е. допускается зависимость совокупностей частиц иммигрирующих в разные моменты времени.

Пусть ^(П)^(П))- число частиц в момент времени И в ветвящемся процессе с растущей иммиграцией, если в начальный момент У1-0 не было частиц.

Полагая и проведя соответствующие измене-

ния параметров, получена

Теорема 2.3. Пусть f-i > »ш>

конечны, =[г>1еД;, =Д\Д1 и выполнены условия

(2.15), (2.16), (2.23). .

Тогда при П. -*■ оо 1°. если /е Д , то

\мп п,

где , ) имеет с1 -мерное нормальное распреде-

ление с нулевш вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей | Д . || , тде

есж Д^.0 и Д, . ¡¿ей • Лу-р..

Л ЕС» . /ел .

при т —оо , то

Все участвующие в формулировке параметры вычислены.

Теорема 2.3 показывает, что если рост средних- чисел шдлигри-рупци частиц разных типов ыедаеннее экспоненциального, то пре-

- 13 -

„2 лг

дельное распределение в случае с> • £ДЛ • сосредоточено на

в <>

луче, проходящем через начало координат. Если среднее число иммигрирующих частиц хотя бы одного типа растет экспоненциально, то предельное нормальное распределение может быть не вырожденным.

В § 2 также доказаны аналогичные теоремы в докритическом а надкритическом случаях.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре до теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на конференции молодых ученых Института математики им.В.И.Романовского АН РУ (1992 г.). По теме диссертации опубликованы работы [33, 34, 35] .

, Автор выражает глубокую признательность профессору Бадал-баеву И.О. за постановку задач и помощь в работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Рахимов И., Халилов B.C., Абдуллаев А. К многотишым ветвящимся процессам с растущей иммиграцией, Узб.матем.журнал. 1992. JS б - 6. С. 63;

2. Халилов B.C. Ыноготипные ветвящиеся процессы с миграцией, начинающиеся с большого числа частиц. Узб.матем.журнал. 1993. № 2. С. 103.

3. Бадалбаев И.О., Халилов B.C. Предельные теоремы для многотип-ных ветвящихся процессов с миграцией. Д_АН РУ. 1993. Л 8.

С. 7 - II.

В.С.ШИЛОВ

КУП ТИПЛИ ШОХЛАНУВЧИ МИГРАЦИЯМ ВА ШШГРАЩЯШ ЖАРАЙШР УЧУН ТЕОРЕМАЛАР.

Дносертацияшшг биринчя бобида куп тиши миграцияли иохла-нувчи жараёяларнвнг хосил килувчл кул узгарувчя функцпялари учун аооснЗ функционал тенглама келтприб чакарилган. Шу твнг-ламанв урганищ асосида ва таубвр творвмаларикн куллаш асосада

киймата учун, -нинг локал ва интеграл холати учун теорема-лар иоботланган.

Шу бобнинг 4 касмада бошлангш вактда заррачалар оони втар-

симот функцияоини учун п —» асимптотик куринишлари топил-ган.

Иккинчи бобда куп типли иммиграциям усиб борувчя шохланув-ча жараенлар урганилган. Бу кара он да иммиграция заррачалар окв-сгамкг уртача кийматнша узгаришига караб куп улчовли таксимот ' фуккциялар учун бир катор теоремалар исботланган.

Бу теоремалар боглнкли вакторлар тасодифай сондага йигии-днси учуя шу бобнанг биринчи квсмвда олинган натнхалар аооси-да исботланган.

V.S.KHA1IL0V

LIMIT THEOREMS iOR I1YLTITYPE ERAHCHIHG PROCESSES WITH MIGRATION AHD IMMIGRATION.

i

The thesis consists of two chapters. In the first mylti-type branching processes with migration are considered. The local and infegral limit theorems for the number of particles at the time instant t , ao 4 —*•«■>■» ore proved. The aoiyrap-totic of the probability of the first hitting a zero stats is also established.

Ihe initial number of Btatea is assumed to be either constant or growing.

In tha second chapter the focus is on the myltitype branching processes with nonhomogeneous in time growing immigration. The basic result is concorned with the limit theorems for the random vector whose components represent the number of particles of the corresponding type.