Предельные теоремы для критических марковских ветвящихся процессов с миграцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН 1ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им.Б.И.РОМАНОВСКОГО

РГБ ОЛ

На правах рукописи

1 * АПР 1.9гз

■ЯКУБОВ Темур Даыировач

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДНЯ КРИТИЧЕСКИХ МАРКОВСКИХ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С МИГРАЦИЙ!

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая " статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата 1|изико-математичесмх наук

Ташкент - 1995

Работа выполнена в Институте математики им.В.И.Романовского АН РУз.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор |и.С.БЛДАЛБАЕв[

Официальные оппоненты::доктор физико-математических наук, профессор С.В.НАГАЕВ,

доктор физико-математических наук, Ш. А. ЖР АМЕДОВ.

Ведущая организация - Математический институт имени В.А.Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится " IB" a-uJjpxÁ .1995 года в " ,/^'час.. на заседании специализированного Совета Д. 015.17.21 при Институте математики вмени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143,Ташкент-143, ул.ФДоджаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики ш.В.К.Роменоветсого АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан " ¿V" . шгДша, 1995 года.

Учены i секретарь

Спепрэлагароызниого Совета ,[■ Ф

док юр *аэ.-кит.юагЕ, проф. НС, ta&U -Ш.А.ШГООВ

о

,- з -

Актуальность теми. 'К настоящему времени теория ветвящихся случайных процессов стала обширно!) и самостоятельно!) ветвью общеИ теории случайных процессов. Это объясняется тем, что ветвящиеся процессы (в.п.) являются математическими моделями реальных процессов в физике, биологии, социологии и других науках.

.Многочисленные примеры их приложении имеются в известных монографиях Харриса Т. (1966 г.), Севастьянова Б.А. (1971 г.), Atlvreya К., ïiey Ï. (1972?.), Забега ¥. (1975 ).

В 1974 года Севастьянов Б.А., Зубков А.И. [22 J ввели модель У - ветвящихся процессов. Этот класс ветвящихся процессов охватывает хорошо известные схемы ветвящихся процессов с иммиграцией, эмиграцией, миграцией и т.д.

В общем случае в направлении исследований У - ветвящихся процессов заметных продвижении не было. Поэтому исследователи чащо рассматривают конкретные модели if - ветвящихся процессов, что дает возможность всестороннего изучения, предельного поведения рассматриваемых процессов.

Рассматриваемые в диссертации ветвящиеся процессы с миграцией также являются. Jf - ветвящимися процессами, но когда У задается определенным образом. Такие процессы впервые были исследованы в работах Нагаева C.B., Хан Л.В. jj8j[ , Хан Л.В. [27J , получивших ряд теорем о предельном поведении траектории этих процессов, что в рамках общих [f - ветвящихся процессов, конечно, было бы невозможно в силу чрезвычайной общности определения модели У - ветвящихся процессов.

Цель работа - исследование локальных и интегральных свойств траекторий в.п. с миграцией когда дисперсия числа непосредственных потомков в критическом процессе бесконечна.

Методика исследования. В работе использован аппарат производящих функций, преобразований Лапласа, тауберовы теоремы в совокупности с прямыми вероятностныш выкладками.

Научная новизна. Для рассматриваемого класса критических в.п. доказаны локальные и интегральные теоремы для числа частиц а также для распределения периода жизни и .идя условного распределения числа частиц при условии непопадания в нуль в случаях, когда интенсивность миграции ^ = 0 и когда 1>0 .

Теоретическая и практическая значимость. Результаты могут быть применены для приближенного описания реальных случайных процессов, которые учитывают миграцию частиц. Результаты и методы исследования работы могут быть полезными в дальнейших исследованиях ветвящихся процессов, в теории массового обслуживания и т.д.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на конференции молодых ученых Института математики им В.И.Романовского All РУз (1992, 1993г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы, три научные статьи и два тезиса.

Структура и объём диссертации. Работа.состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, содержащего 47 наименований. Общий объём работы 86 страниц машинописи.

Содержание работы. Во введении настоящей диссертации вводятся в.п. с дискретным временем и миграцией частиц.

Пусть на вероятностном пространстве (^SIj^J^I Р) заданы независимые целочисленные случайные величины

где cj^Cß) одинаково распределены по I и (I ' с распределением вероятностей:

о одинаково распределены по (I с вероятностями

где 171 - натуральное фиксированное число и с0 т- *

к=0 %=1 'г

Тогда, ветвящийся процесс Гальтонз-Взтсона с миграцией можно определить через последовательность случайных величин

^ fl О L Z ■. слерущим образом:

(2)

in,

Z~o,Z =

^-Л ^ и 4-1

1 ? » с- -

Здесь ^ _ интерпретируется как число частиц популяции в момент И , - как число потомков, порождаемых

в К + 1 момент времени 0 -той частицой, из существующих в момент времени Ц , (и) - как число мигрантов в момент времени И- . Частица производит потомство по схеме процесса Гальтона-Ватсона, независимо от своего происхождения и независимо друг от друга.

Пусть Р,, (/I) - вероятность перехода из состояния • «

6 в £ за время И

Введем обозначения (см.(1) и (2)): £>° <Х>

к=о ' к-°

Обозначим через ^~ ^ ~ую итеРаЧ!Ш ФУШОД'11 /(5) (

/п. .

0 г=1

Главным! параметрами, определяющими асимптотические свойства траекторий ветвящихся процессов с миграцией являются (см.(1)-(4))

В §1 приводятся вспомогательные результаты, необходимые для докаэательстзо теорем из 5* 2, 3, 4, 5, 6.

15 52 изучено асимптотическое" поведение некоторых харак-

теристик процесса и подучены пределыше теоремы для числа частиц в момент времени /I , когда Ц —*■ . Всюду будем предполагать, что

(6)

¡\ < ^ ; (?)

о-=>

Л + » I

О)

гдо 0< ^ 1 и медленно меняется при

Остановимся на некоторых свойствах теории ветвящихся троцессов.

Известно , что если , то для процес-

:а Гальтона-Ватсона существует стационарная мера, производящая (пункция

которой аналитична в круге |5|< 0 ( ^ - вероятность вырождения),« при = 1 удов-

летворяет функциональному уравнению Абеля

Как показано в ¡40^ , при условии (9) ( 5—* 1~) откуда следует, что обратная к

им)

функция Ц- (&) ,

Х>0 имеет вид

а*г а ,гП

где - м.м.ф. при Ж—»о-= , удовлетворяющая соот-

ношни®

. нии^)^"-1 ■

В ¡38] доказано, что если /(I) — 1 , то

(13)

Введем функцию

^—^

Пусть - множество состоянии марковской цепи

£ К =0, е&г^ ~ веР°ятность того1 что

процесс } 1) , исходя из 0, достигнет сас~

тояния 1 через шагов, ни разу до этого не попадая

в о ,

К, **{&]+!

Теорема I, Пусть выполнены условия (6)-(9).

Если \ — 0 , i , при 11—то

при И —

FW ~ 2Г '

где - положительная постоянная

I

Теорема 2 . Пусть выполнены условия теоремы I. Тогда при (I —* с*=>

где - положительные постоянные, ££

€ .л- то.же,

что и в теореме I.

Теорема 3 . Пусть выполнены условия теоремы I. Тогда при Я —*• о*3

п

■ц

МО)

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы I. Тогда для X £ LoJ]

Теорема 5. Пусть "выполнены условия теоремы I. Пусть, кроме того, ¡^ (и) при Ц —»■ представила в виде

[ < о<=>

ЕслиТ^р — О 'медленно

Тогда

меняясь при^. —>- о«=> j то

2°. Если , , где

медленно меняется при ^ —, то

\ т /

3°. Если

где - медленно меняется приц,—>■&<=> ,

тогда

I-—-'

К оп

Замечание . Если 1 с*0" , то

I П-

М(п)

Га-)

(см. соотношения (9) и (12) ) и соответствует теоремам, доказанным в работе С.В.Нагаева, Л.В.Хан [КЗ^ . В §3 рассматривается случай, когда

Теорема 6 . Пусть выполнены условия (6)-(9) и (14). Тогда при < / , Ц —

р . Ш Ю

ГД0 Л0 - - положительная постоянная.

Теорема 7 . Пусть выполнены условия (6)-'(9) и (14). Тогда при Л-—

>ог

ie£

где , Ч.& - положительные постоянные, то

же, что и в■теореме 6.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда при И —* о0

"а

где - положительная постоянная, ^ * то же, что и в

теореме 6.

В §4 приводится интегральная'.предельная теорема, когда

%>0 и М(^)'—*с*=> при Ч—. Отметим, что полученная теорема является аналогом предельной теоремы, полученной в работе [38^ для процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией. Введем следующие функции

£+£

Р

Т е орем а 9 . Пусть выполнены условия (6), (7), (9) и кроме того, )> =■ I , —»е*=> при Ц—*•<=«=> ,

1(1-5;-^ при . ,ъ>о. 1 Тогда

, И

■

В §5 доказывается теорема о предельном распределении для числа частиц, когда % > 0 и при Ц —»• с*=> Положим т-

0 fc=г+i '

Теорема ,10. Пусть выполнены условия (6Х, (7),

(9) и кроме того, и М(п)-^ при

. Тогда при И—»-с» •

и. ^ . -1

где Ш- ! - положительные постоянные.

В §6 изучаются периоды жизни критического процесса Галь-тока-Ватсана с миграцией. Получены асимптотика хвоста функции распредления периода жизни процесса и условное про-

дельное распределение

Рассмотрим процесс ¿^ , Ц,~-LJ0JLfr,. хсото-

рьы определим следующим образом

(У =о 1У =И.

-1 ) о А—О )

1Г , п+1

~7 ->о

'[ О , 11 = 0.

Согласно А.Л.Зубкову [II] , будем говорить, что период жизни процесса 2„ начинается в момент времени Т и

Ц/ -ь

имеет длину Х0 , если

при + ^ , '

Теорема II. Пусть выполнены условия (6)-(9) и . Тогда для I ПРИ (I—»•

в/ ч

I

где &> - положительная постоянная.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теорема II,

Тогда для < у> 4

i 0

Ш.К.Форманов, ¡Лахмуд Таха Ясин, С.В.Каверин [24J изучали периоды жизни критических процессов Гальтона-Ватсона с миграцией в случае, когда %>0 , %< 0 и (£-) ^ с-3 Периоды жизни упрощенной модели процессов с миграцией рассматривали также Янев Н.М., ¡Дитов К.В. ¡30] . Золотарев В.;Л.

[13] и Слзк ¡40] получил; предельное распределение из теоремы 12 для обыкновенных (без миграции) марковских критических ветвящихся процессов при условии невырождения.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на конференции молодых ученых Института математики им. В.И.Романовского АН РУз. (1992, 1993 гг.).

Автор выражает глубокую признательность своему руководителю профессору Бадалбаеву И.С. за постановку задач и помощь в работе' над диссертацией.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах;

1. Badttlbuev 1.3., Jakubov ll.D. Limit thooreids for a critical Galton-Watson process with migration // Т03.ДОКЛ.У1 Международной Вильнюсской конференции по теории, вероятн, и' мат.статистике.- Вильнюс. - 1993.

2. Badalbaev I.S., Jakubov T.D. Limit theorems for a critical Galton-Watson process with nigration.// Тез.ДОКЛ. I Всемирной конференции по ветвящимся процессам. - Варна. -1993.

3. Якубов Т.Д. Асимптотические свойства критического процесса Гальтона-Ватсона с миграцией // Докл. АН РУэ.-1994.~ U 2.- С. 5-7.

4. Бадалбаев И.О., Якубов Т.Д. Предельные теоремы для критического марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем и миграцией // Рук.деп. в ЙНШ IKHT РУз, - 1994.}} 2153. - УЭ94.-30 а.

5. Якубов Т.Д. Одна предельная теорема для крзтичесхтого процесса Гальтона-Ватсона с миграцией и бесконечным вторым моментом // Узб. Матем. Журнал. - 1994 - й 4.

Т.Д^Якубов

ЖРАЦИЯЛИ КРИТИК МАРКОВ ШОХШУБЧИ ИАРАЙШЛР УЧУН ЛИМИТ ТЕОРЕШАР.

Диссертацияда миграцияли критик Гальтон-Ватсон шохланув-чи жэраёнлари траекториялари таксимотининг асимптотик хосса-лари миграция интенсивлигининг уртз ^ишлати \ — 0 ' ва ^ >0 булганда урганилган.

Диссертация олтита парагрэфдан иборат.

Биринчи параграфда шохланувчи жараёнлар умумий назария-сидан баъзи бир зарур маълумотлэр келтирилган ва ёрдзмчи на-тижалар олинган.

2-3 параграфларда % = 0 булганда звррачалэр-сони учун интеграл ва локал георемалар всботланган.

4-5 парагрэфларда ухшаш теоремалар %>0 булганда олинган.

5 параграфда жараёнлар $зёт даври таксимотининг баъзи. бир хоосалари урганилган ва шартли лимит теорема исботланган.

T.D.Jakubov

LIMIT THEOREMS FOR CRITICAL MARKOV BRANCHING PROCESSES WITH MIGRATION.

In the candidate thesis some asymptotic properties of the distribution of trajectories of the critical Galton-Watson branching processes with migration of particles, when the mean of intensiveness of the migration 1 - 0 and %> 0 , are investigated.

The thesis consists of six paragraphs.

The first one contains certain necessary facts on general theory of branching processes and obtained auxiliary results.

In the §2-3 Integral and Local theorems for the number of particles are proved, when % — 0

Analogous theorems for \ > 0 have been obtained in the §4-5.

In the paragraph 6 some properties of the distribution of the life-period of ^tlie processes are studied and conditional limit theorem is proved.

Пмпхм« к [| • ч t i i 1.03.95г. 3»k»S ■)& Ufe* 100 SKI. 0бь»ы In/д.

0тп»Ч1;вцв на ротапринте ffi АН Р»опу^л*ки Узбвкиот»и г.Твшквит ул. Муми*о»» 13