Предельные теоремы для регулируемых марковских ветвящихся процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

л о ' | * ■ 0

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Ш .В .».РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

УСМАНСБА Гулиора Шарайовна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕСРШ ДЛЯ РЕГУЛИРУЕМЫХ МАРКОВСКИХ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1994

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Университете и Ташкентском Государственном Экономическом Университете,

Научные руководители : доктор физико-математических наук,

профессор И.С.БАДАДБАЕВ,

кандидат физико-математических нвук, с.и.с, С.В.КАВЕРШ.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор М.У.ГАФУРОВ,

кандидат ^язако-математических наук Е.ХУСАИБАЕВ.

Ведущая организация - Математический институт имени В.А.Стекловэ

РАН.

Защита диссертации состоится " №" /ЬР^р^-А^ШдЪ годэ в " ПИ " чоо,, ла заседании сивдиализировавдото Совета Л.015.17.21 при Институте математики имени В.Н.Роыеновсного А15 Республики Узбекистан но едреоу: 700143, Ташнент-Ш, ул.Ф.Ходжаева, 2Э.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослав

«/й " 199$- года.

Учений секретарь

Специализированного Совета ^

доктор 4иэ.-мах.ивук,проф. ЦС, Ш.А.ХАШМОВ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Известно, что в классических схемах ветвящихся процессов (в.п.) предполагается независимость эзолшций существующих в популяции частиц, т.е. когдо время кизни, число произведенных потомков на зависят от наличия других частиц. Такие предположения допустимы при использовании ветвящихся процессов как математических моделей для описания ранних стадий (до насшцешя) многих реальных процессов (в физика, химии, биологии, социологии и других науках). При описании же более поздних стадий, когда взаимодействием частиц пренебречь нельзя, использование теории ветвящихся процессов становится проблематичным.

В связи с этим в конца 60-х годов появились работы, в которых предполагается, что кавдая частица в конце своей «изни дает потсы-отво с вероятностями, зависящими от числа существующих в момент деления частиц. Однако содержательные результаты в этом направлении были получены лишь для процессов с дискретным временем (Севастьянов Б.А., Зубков A.M., И74; Keller О., Kersting G., Rosier U., 1984,-Kersting G., 1992; Klebaner P.C., 1989). P.B,БОЙКО провел ЭНаЛИЗ ряда частных моделей регулируемых марковских ветвящихся процессов с непрерывным временем.

В диссертации исследуются регулируемые марковские в.п., регулируемые марковские в.п. с миграцией, критические процессы Гальтона-Батсона с меняющейся во времени миграцией.

ЦЕЛЬ РАБОТЦ - нахождение достаточных условий регулярности, исследование асимптотики моментов, получение теорем типа "Закона больших чисел*, предельных распределений для числа частиц в моделях, рассматриваемых в диссертации

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. В работе использованы прямые вероятностные 'методы, метод моментов, аппарат производящих функций и преобразований Лвпласа.

НАУЧНАЯ 1ЮВИЗНА. В диссертации при помощи плотностей вероятностей перехода вводятся регулируемые марковские в.п. и регулируемые марковские в.п. с миграцией. Для этих моделей получены предельные теоремы типа "Закона больших чисел", а такие интегральные предельные теоремы для числа частиц.

Для критических процессов Гальтонв-Ватсона с меняющейся во времени миграцией найдены условия слабой сходимости некоторого функци-

онвла от процесса к случайной величина, имеющей либо Г -распределения, дабо равномерное распределение не единичном отрезке.

УЮРЕТЙЧШКАЯ И ИРАКтаЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. ' Результаты и методы исследования работы могут быть полезными в дальнейших исследованиях различных маделе,'! ветвящихся процессов с миграцией и могут быть применены при изучении реальных процессов, когда имеет место взаимодействие частиц.

АПРОБМИЯ. Основные результаты диосертвции докладывались не Всесоюзно;! конференции по предельным теоремам теории вероятностей, посвященной 70-лвташ академика АН УзОСР С.Х.Сиравдинова (Ташкент, май, ЗУЗО г.), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на саюшзре по теории вероятностей и метшатл-ческой статистике в Институте Математики АН РУз.

ПУБЛИКАЦИИ» По результатам выполненных исследований опубликовано пять научных статей.

СТРУКТУРА И ОБЬЕМ ШССЕРМЩ. ?аботв состоит из введения, трех глав и сциска литературы, содержащего 47 наименований. Общий объем работы УО страниц машинописи.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В главе I вводятся регулируемые марковские в.п. (р.м.в.п.)

Uljf»o . (Х.-О.'

Пусть

Рч(1] -P(XTrt-j IXT-£).T.t»®,

L,j 6 ö - ( 0 , i , Я.....3

Марковский процесо X ^ назовем р.м.в.п., если переходные вероятности Рц (t) при t— О иредставиш в виде:

J

Р-: (t) +f(L)D . (Ijt +0(t) , (I) LJ ' L.i 1 IJ-LH

гдо i Z l , j t. -1 , 1 0 t : - символ Кронекарв,

!(•) - некоторая положительная функция на (о,°°) , Г О) — О,

■ осз

и для во ах I £ $ : 21 Р (л) — О

¡=о I]

йолошш для любого <5, т.е. состояние О

является пог лоща щам.

Наряду о процессом ( Уи ^ | ^ ^ ^ , рассмотрим влокешгуы цепь Мариоза { З^^о . образованную следующим образом: пусть , ^ « i7o | - последовательность независимых (по обеш

пераманнш) целочисленных случайных величин (с.в.), одинаково рас-пределеншх для каждого фиксированного I , причем

, х v * р (¿)

к0'-0

и.

Полоаиа S0= 1 , Sjv ~ SrL_± ^ ) - 1 , если и в противном случае .

hi(n,)=E i <» , = E(JjW-ntOi))^, • .....SJ .pftM&t

- P(u>: Xt M -W) , Sj - (ы : .

Введем рад условий:

AI Пусть (j (X) ? (х) ( '-f(X') является полоительнши функциями на ( о , со ) .

- 6 -

; , <((я:)~ ая- ,

- р (ас.) ->■ ^ / х , с, > о 1

ОС<1 , 1Г>0 , сь>0 , (-°о,<*>) .

А2 дважды непрерывно дифференцируема, , являются

либо вогнутыми, либо выпуклыми функциями, б"2^; непрерывно дифференцируема, а ее производная является либо выпуклой, либо вогнутой функцией.

13 Е 11 со - паи I • « А 6- (I) ,

для некоторых 1 < А < , > О ;

к ^ (л) - о (х^**"') , , у^з .

А5 дифференцируема и ^ (я) = С + О (сс?~1) ,

^Х) = Х*"' + о (л*1'* ) ,

А7 -р («) ~ ^ + О С ¿С ) , в{> о Пусть б => 4-и-£ .

ТВОРИЛА 1.1. Пусть выполнены условия А1-АЗ, 6> О . Тогда при , .либо и £с >1Г вероятность вырождения

меньше I и, кроме того,

Р , К =1,2......

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть выполнены условия А1-А4» 1 С > V . Тогда

Р( ^«ПХ^-Г^,»'),«

где ^ - ф- , ^ ~ , г

есть Г-распределения б плотностью

о , Го

р =Л '»>о

Гй) ? в ',.«« ;

Пусть есть максимум тех , для которых

выполнено АЗ. Если выполнены условия А1-АЗ и если /"*< со ,

О < & 4 , $*/(&+$-•)

для воех 3 5 ^ < таос (з, С2.-* , кроме того,

для функции Н при справедливо

. * <* .2= ] р. (д < к ,

а = иа> J

25- .2. * , , , ^ 1

,2: J р (к) < ? а) к ,

где у ^) 0 , Ь —Г «=>

Тогда для процесса X^ справедливо (2).

далее, пусть Шаос. {П.: ^ Ъ ] , т.е. Л-ОО- чис-

ло- "скачков" процесса Х^ за время \ . . . ^

ТЕОРЕМА.. 1.4. Пусть выполнена условия А1-А4, А5?. Д< е) если дополнительно выполнено одно из условий

или , но

((i -otic)"™две Л__L

¿-и - t-*

o)

Xt p.

на Д.

б) в условиях о)

(cueety/* ^ при "t""eo иаД-

в) Если > ^ - ~ ! В < О t то процесс /С^. на регулярен. ТЕОРША 1.5. Пусть выполнены условия AI-A3, А5-А? и

i»0¿-ft л i+U-fi

¿fi > . —•

Тогда распределение

(i) слабо сходится к сгеадартлому нормальному закону на множестве Л» где

A(t) - (bScfi-^t)*-* ,

i-i-jU . ¿ t+f-oi.

д _ í v_ l-o>* \

'1 ч a2- i+s-í,c¿

В главе И дается определение р.м.в.п. с миграцией, А именно, марковский процесс (Zo~¿) будем называть р.м.в.п. с миграцией, если при t о f L ,j е Q

- У -

- fУ +1 (l>o,j>A-i)f(i)p (i)t +

+1 (]> о) &yL f i) i -f-Ifj ==oj(g: (o)t +0C0,

здесь

1(A) - индикатор множества А, Л;! - символ Крояекерп, - некоторая полсилтольявя функция ( (о) = о) О (О<0 , CLc{i) < О лли каждого i е.0, ,

F>(i)>£, j = , j ^ i , <L.(i)20 f

ЗСДИ

oo

Z p со z: a. w

j=°- 'J . ' J

Для этой модели р.м.в.п. получены аналоги теорем 1.1-1,3 и 1.4. б).

В главе Ш рассматриваются процессы Гальтона-Ватсоиа с изменяющейся по времени миграцией . В работах С.В.Нагвева и Л.В.Хан [19,2У] рассматривалась токая модель, однако о однородной со временем миграцией.

Если в [1У,2У] законы миграции частиц одинаковы я но -зависят от времени-, то эдось предполагается, что распределение миграций частиц зависит от времени,я тем самим появляется возможность рассмотреть больший круг проблем. Следует отметить, что ¿юдоль с не. однородной миграцией изучалась ранее ( ianev к.п., Mijov -к.v. ) , но с существенным ограничением, что из популяции моязг эмигрировать лшь одна частица.

Г 1 ~ 10 ~

Пусть " последовательность независимых слу-

чайных величин о распределением:

о-К (*) = Р(г£-*)' % (1) = рсг^-о, ъ-о*..

Ы" Н,0,-Р'с,в* 0 производящей функцией ^ (Б) Процесс ^^ определяется следующим образом:

если

Пусть

*

+ и = ^ в противном случае.

Л4 = 21 ка.ка) -21

оо , £

К~о 14 Далеешодятся условия:

Д1. ГЛЛА, О С"Ь) >0' , ^ гт

Да. \п1к Х,>0 , ,

1 t t

- II -

дз. М/Ох Л, <во т. ал. ¿Г, < «*=>

I г > ь I

Д4. сц,и) = <хк + а* (ь) ,

" = Яг (V -

'г

■и.

где й-Г + , причем

оо №

1ка -Г ^р -о, ¿¿60 =21 (к-н) а...«:)

£ кгп £ .

Основным содержанием главы Ш являются следующие три теоремы. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть выполнены условия Д1, Д2. Тогда при

■ где е. = , Гот. Ас, ^ Л (-¿) 4 та*

Г(.) - гамма функция Эйлера. Пусть = /В '

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть выполнены условия Д1, ДЗ и

•Ч в - ВД^«

меняясь,

ш9. —о, t - оо; ^ «о о<*{■

Тогда при I достаточно больших,имеем

Р (jiii < t сс/еО = £ ( ¿+-0 со) , icefot].

ТБОРМА 3.3. Пусть выполнены условия Д1, Д4, тогда

Авт op выражает признательность профессору И.С.Бзд&пбзеву и к.ф.-ы.н. С.В.Каверину за помощь и внимание в процессе padoru над диссертацией.

Основное содорашиио диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Бадалбаев И.О., Усманова Г.Ш. О свойствах ветвящихся процоссов с неоднородной миграцией. Известия АН УзССР, 1990, ft 3,с.22-26.

2. Бадэлбнэв И.О., Усманова Г.Ш., Салахитдинов PJvl. О свойствах критических ветвящихся процессов с меняющейся миграцией. Узбекский ыат.курнел, 1991, № 2, с.12-16.

3. Усманова Г.Ш. Предельные теоремы для многомерных ветвящихся про-цаосов с иммиграцией-растущей интенсивности. Асимптотические методы в теории вароятностай: и маг.статистике. Ташкент: Фан, 1990 с .108-117.

4. Kaverln S., Usmanova G. On constrolled ilsrkov branching process Abstract in first world conference on the branching processes. Bulgaria,.1993..

6. Усманова Г.Ш. Регулируемые марковские ветвящиеся процессы с миграцией. Деп. в ГФ НТИ ГКНТ РУз, Ташкент,, 1994, й 2056-Уз 94. 16 с.

Г.Ш.Уоменова

Еошкарилувгаи Маркса тармоклякуши яйраанлвр учуп лимит теоремалгр.

Диссвртзциянинг бириичи бобвда, уташ эхтамоллй'ри зичлиги ердзмида, бошкарилувчи Марков тармокланувчи жараенлар синфи киритилган. Олдин ургашган тармокланувчи , жЬраенлар моделларидан фаркли, бу.модбада заррачалар купайиши конуни ва хает даври тирик заррачалар сонигэ узвий богликдир.

Диссертациянивг иккинчи бобвда, ухшаш равшдэ ( утки эхтимоллари зичлиги ердамида ), бошкарилувчи, миграция ли, Марков тармокланувчи «араенлари курилган.

Бу моделлар учун "катта сонлар конуни " типвдаги лимит теоремалар ва заррачалар умукий сони учун интеграл лимит теоромалар исботланган. Шу билан бирга, жараенлар моментларинииг асимптотик узгарши хисоблангаа.

Диссертацияпинг учянчи бобвда, вакт буйича узгарувчи миграцйяли, критик Гальтон-Ватсон яэраеяларидан олинган фуикционалларнинг Г-таксимотга еки текис таксимотга кучсиз якинлашиш шартлари топилган.

O.Sh.Usmanova

IIMIT THEOREMS FOR CONTOOILED MARKOV BRANCHING PROCESSES

The candidate dissertation contains three chapters.

A close of controlled Markov branching processes is introduced by means of transitions' probabolltles rates in the chapter one of the dissertation. This model conducts that the pai'tlclee production low and particles life-lengths depend on the number of existing particles essentially in contrast to early developed branching models.

In the second chapter a class of controlled Markov branching processes with migration is constructed.

For these models a law of large numbers type theorems and integral Unit theorems for number of particles in the ■ process are proved and tha asymptotic behavi or of the moments of these processes are found.

In the third chapter the conditions of weak convergence of the distribution of a functional of the critical Galton-Watson process with varying migration to uniform or T -distribution have been obtained.