Предельные теоремы и вероятности неравенства для полного и максимального числа потомков ветвящегося процесса Гальтон-Ватсона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Л К А Е M И Я I! А У К С С С Р СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ , ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ .

iia правах рукописи УДК Ш 9.218.20

Карпенко АндроЯ Вячеславович

ПРИШВИНЕ ТЕОРЕМЫ И "ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПОЛНОГО И МАКСШАЛЫЮГО ЧИСЛА ПОТОМКОВ ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА ГАЛЬТОНА -ВАТСОНА

01.01.05 - ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Авторвфе а т диссорташш ira соискание учекой степени кандидата физтсо-матемитических наук

НОВОСИБИРСК - 1990

Работа еЦполнена в Институте математики Сибирского Огдолешн Академии Hays СССР.

Научный руководитель - д.ф.-м.н., прс-фоссор С.В.Нагаоц Официальные оппоненты; л.Ф.-м,н. В.А.Ватутин,

к.ф.-м.н. В.А.Топчий Ведущая организация - Институт математики АН Узбекской ССР им. Романовского

Защита состоится " ''_____1 дай г. в 1В часов на заседании Специализированного совета К 002.28.01 по присуждению ученой стег. и кандидата физико-математических наук в Институте математики СО дн СССР. "

; Адрес, института; 680090, Новосибирск-90, , Университетский пр. 4.

С диссертацией уо^ата ознакомиться в библиотеке института,

Автореферат разослан "___"__________________1900 г.

Учйщй секретарь »

Спэвдадизироранногр сонета К 002.2a.0i

.'• »/у>< ю.л.васидавв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В диссертации изучаются распределения полного числа потомков до момента времени п в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона.

Рассматриваются дпа случая: 1) момент п является моментом вырождения процесса, 2) в момент времени п имеется нснуле; i число потомков. Первый случай в, . процессов Гальтона-Ватсоиа ранее но исследовался. В диссертационной работе особое внимание уделяется изучешш процессов близких к критическому. Полное число потомков в таких процессах ранее не изучалось. D работе также исследуется распределение максимального числа потомков до момента вырождения.

Цоль работ»,. Основной целью диссертационной работы явля-. етс-я изучение асимлтоти.чйски^ свойств распределения по.гшого числа потомков до момента времени, /?., Д таккз изучение свойств распределения максимального числа потомков до момента вырождения.

Научная новизна. Для рассматриваемого в диссертации полного числа потомков получены слодушие новые результаты:

- доказаны предольнш теоремы при фиксированном среднем процесса для первого случая,

- доказаны предельные теоремы для процессов близких к критическому для первого и второго случая.

Кроме того, в работе дается оценка для верон-ьгостей больших уклонений максимального числа потомков до момента вырождения.

Апробация работы. Основные рез:, >татн диссертации докладывались на Б-й международной Вильнгсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (г. Вильнюс, !98Э г.), на заседании семинара по дискретной математике и кибернетике математического Института им. В.А. Стеклова (г. Москва, рук. чл.-корр. АН СССР Б.А. Сзрпстьянов), на заседаниях семинара по теории вероятностей и i.. гтематичэской статистике Института математики СО АН СССР (г. Новосибирск, рук чл.-корр. АН СССР A.A. Боровков).

Ц/бликациии. По тема диссертации автором опубликованы работа [18-201.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 63 наименований. ОбъОм работы - 90 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотрим ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона, начинающийся с одной частицы в нулевом поколении. Через ¿п, п=о,1...г обозначим число потоков в n-ом поколении. Б нашем случае Пусть pv=pJF)=p<z , У=(р^~ распределение случайной величины Zi. Мы будем предполагать, что р0>о. Пусть к -коэффициент размножения, т.е. кр . Если А<%, то процесс

называется докритическкм, если А>1 - надкритическим, если. A~t - критические.

i.

Полоаим г (х)=Е(х л), UU1, Пх)-Г(х). Кн будем исполь-

ГЧ 1

зовать обозначении в=г"(1), L=r'"(D. Пусть х - наименьший из корней уравнении s=rts), o&sii. Известно, что х - вероятность вырождения процесса. Поломим А=г'(\), Заметим, что если АН. то х-1 и, следовательно, ло=/), во=в, Если А>1, то XcJ и aq<i, Во<*>.

Пусть u=uin(n: z^=0) - момент вырождения процесса, s^ ~ l°0zi - полное число потомков до момента п, и = ьшх z

' - О £ i S n '

максимальное число потомков до момента л.

Начало исследованию 1федельного поведения случайной величины было полонено Харрисом в 1948 году в работе Ш. Харрис для А>1 получил теорему о сходимости случайной роличины ,/s при л-»*.

1 П *

При доказательстве этой теоремы Харрис показал, что при >-■», А>1, таi имеет место

S/Aa 5 VA/ÍA-1).

Пайке [21 гюлучял предельные теоракц длн условного распределения i'is <x\ z >0) при .пса. Предельное поведение в случаях А--1, а=1, я>1 оказалось различным. Для докритического

случая имоот möi.о сход. <ость к вырожденному распределению и центральная предельная теорема:

Теорема л. Пусть А<), 0<®. Тогда для любого о(>

.1

¿Im Pt\S /1С+1> n~t\>t\ г >0) а О, о 'л

Ii-*®

гд0 С?1)/А( 1-Л),

Тоорема в. llycib л<1, u«. ;огда

U" Р((Нп)'"г13 -n{C+t))ix\ Z >0) а <Ъ(Х), ч •»<».- '' п

: гдо II * 2D-C11, O.i (L * Btt-Al * Вг/И-А1 + SABI/2AC1~A!X tlx) - стандартный нормальный закон, D надкритическом случав доказана:

Теорема с Пусхь '<Л<®, Тогда суцоств»от последовательность положительных констант (с , пи), с с ,/е -а при

й Л ft* I К

**> таких, что

Ii« eis <с *| г >а) '* p(ViA<A~i)x\ v>o)>, о&х<*>,

■ - ' н

где у - невырожденная случайная величина, для которой; »(v^o) х, имеющая нопрарывное распределение на положительной, полуоси.! '

В критическом случае доказывается сходимость к распределение, заданному преобразованием Лапласа;

Теорема D. [¡усть Ail, &<». Тс.да ' • i

Ия PIS /л2**| гп>0) в Fix), Oix«»,

о/

,где 1 в"*1 dFlx)=l2Btlullcoa9cb(ZB' >1/а,\ о

Ватутиным и Сагитовым {61 получена предельная теорема для совместного распределения Zn и Sn при условии z>n при л-»® для критического процесса Гальтона-Ватсона с одним типом чаотиц. Она получена при более слабом условии, чом у Пэйкса: r(b;=s+ii-s)UaL(i-s]. где azto, и, Их) ..-' медлено меняется при *-»о. Теорема р яплиетси ей частным случаем.

В глаьо 1 диссертационной работы исследуется распредели -ида суммы до момента вырождения. Рассмотрение функционалов от процесса Гальтона- Ватсона до момента иирокдаиия процесса ранее не проводилось. Традиционным было изучение процесса при условии его невырожденил (см., например, теоремы л-н).

Для общего ветвящегося процессу Крампа Мода-Ягерса Топчий 14-71 научал поведение общей численности частиц на вырождающиеся траекториях. Отличие теорем Топчия в том, что в них рассматривается псе траектории процесса, duрождающиеся до момента л, а и нашем у чао - траектории, вырождающиеся точно в момент л. Предельные теоремы, который доказываются в главе 1, являются а некотором смысле локальными по отношению к теоремам ' Торчмя, ''■...-

Кестон, Ней и Спнтцер 18) показали, что для критического процесса nzPtH=pf = u+o(i)i при л-*®. Теорема 1,1 дает асимптотический вид остаточного члена в этом соотношении, а также асимптотику г чн>го момента случайной величина зн при'условии

Теорема Пусть 4«*, W и Eizt\a*6«*, Тогда

при ii-'» :

■с"'"' '•■ ■

1) /'(«=«> V- tiiofn'sa,

2) mj po*(i+Q{'n~s)!.

Дсиыш'ошчасЕий виц P(H*nl длн цекритичоских случаев, нрииоденный в теореме 1,8, является простым следствием из соотношений райоты. Нагаева и Мухамедхановой 101,

Теорема S.a. Пусть • A^eoneui, 0>Q и в случае л<1 в<о. Тогда при п-**

и если 13,йя>¥ osö< е случае л<), то

2) EISJ] HkvJ) ~ (1 + tlfl + ц{п),

t'jl'.j А', кх, 'И liCiiliii

величина, зааирчищ дашосо от вида

{о(п), А<1, <!+o(li в О

остальных случаях.

Отметим, что условное математическое ожидание N=n)

имеет пор.чдок пг п критическом случае и порядок п в некритических. Этот факт позполяст отличать критический процесс oí некритического по величине ¿'N.

Вид математического окидани-., как и вид предельных зако-' ¡ нов (см. теоремы 1.6, 1.6) в докритическом и надкритическом случаях совпадает. Ото объясняется тем, что надкритический процесс эквивалентен на вырождавшихся траекториях докритичос-кому процессу с производящей, функцией г"(х)=п\х!/\

(см., например. С10. теорема а, с. БЭ1). '

Теорема 1.8 даёт оценку вероятностей малых уклонений величины при условии н=п для критического процесса.

Основным результатом первой главы являются предельные теоремы для распределения суммы sH (теоремы 1.6, 1.6); причем в отличие от Пэйкса (теоремы A-D), который исследовал условное распределение PíSn<*| г„>0)• рассматривается альтернативно© условное распределение Р(j ы*п). Самым трудным является, случай, когда одновременно я-«», ш (процессы, близшв к критическим) (теорема 1.6), который у Пэйкса вообще не изучен. Кроме того, рассматривается случай фиксированного среднего, который для условия Zn>o был полноCTbD исследован Пайкой * (теоремы A-D). Для условия при A*conet#f в диссертации доказана теорема 1.6; случав л*} соответствует глэдствиэ 1.0. из теоремы 1*8. Как и у Пэйкса (теоремы A-D) теорема 1.6 оос-тоит из двух частей: теоремы о схош jCTh к вырожденному распределении и центральной предельной теореш.

Пусть (Я *E(SA Nm). . 5. • ; ;

Я i

' ís , Теорема 1.8. Пусть ¿*eanat*i, fl>0 и S случав A<t В<&. Тогда для любого е>о • '

11а Р/Ц/и. - í 1>е| Nan) а о. Если с<® в случае л-ei, то. хроме того,

Ilm P( IS^-I i*i)N.)/TNUZ<x\ «=ftJ a I x),

где фix) - стандартный нормальный закон; i. г зависят только от вила ■(к).

Понятие процеь .а близкого к гчитическом1' ввел и рассмотрение Севастьянов 1111 для ветвящихся процессов с непрерывным ниомонем. Поскольку на практике 7 у дно допустить, что точно ЫЛЮЛИОИО равонство <1*1, предполагается, что л+i.

Близк:-} к критическому процессы Гальтона-Ватсона т.оле-дова. и Нагаов и Мухамодханова [121 и Фахади, Куайн и Вер-il*OHC Г 31'. Они доказали, что

1)в FiZ /а >х\ Z >0) * шГ', '*•?■", U)

г> п 1 1>

Г!"»«-

А-» t

ГДО n*E<Zj V "Пусть А" - класс нспрвдв/тШ на -ромотко неотрицательных цел'х чисел, ч влегворяииих,следующим условиям:

А) К1-1) Pi<F)>p(i>n длг нокотОроро Р0 и любого i'eK,

. В) U« вир Е* 1гР IF)*0,

п-»Ф FCK "

•) PjF1,\>0 ДЛЯ некоторого ag И ЛЦбОГО t'e.K.

Класс л введен Фахади, КуаЯног и Hr.p-Лжопсом ftSI. Мы будем предпе ;агать, что сходими ть при п-о>, осуществляется пг классу распреди-л^мий к.

Асимптотический вид »n, а также f(N=n) для и;?/ чая п-м», л-»' дает тьорема i А. ■

Для процессов, близких к критическому, имеет место: Теорема 1.6. 1) Пус ь И> л11-Л1=г<®. _да

п-»ов

. л-м

IIb PfSH/m <x\ K^n) = G(x,r), xiO,

A-> 1

* ( 3t/ehz((3t.l"2), r*0,

где J a'l'd Glx,rI - <

n " ^ <j(t,r! , 0<r<w,

ost«, -gttfXi nwp¡ каетья в терминах элементарных. «функций. £ Пусть lia nlí -Л|-•». 7'ог.иа л-mi лпб( а р>о

А-» 1 'Í.;'

iib /'f. /п( - ii >t' Н*П) = 0.

n-»»

А"» I . ¡

Если l,<U<V, то, кроме того. '

11а P(tl-A )3'Z(S t}+y)H)/ri Ni,z<x\ N*n) a Ы у' j о и 0 1

г до 'Mx - стандартг й нормальней закон, г известно,

Заметим, что если предолышй закон для Р<7.п/в >х\ ■ п>о) ПрИ ГЫ-v, А-1 (СМ. (1) , НО ЗаПИСИТ ОТ СЕОр^'ТИ СХОиИМОСТН л R t с ростом л, то у пполольного з axon а лля f'ts^/r .<*( N*nl ¡три я-«», - а*i такая зависимость есть. Согласно теореме 1.5 ft' качестве 'ределыш,. могут внступать,, три различных типа гконов й ЗАВИСИМОСТИ ОТ скорости СУ вдмс СТИ А К Í О ростом П, Ú 30iiö

быстрой сходимости (/•=") мы получаем тот »0 Предельный öaitOHi .что и i критическом i „учае ícm. с.' 'Дствие, 1.9}, В one y¡ .рвя* ной скорости сходимости (о<г<-и возникает другой тип отдельных законов G(x,r}, зависящих от,.параметра г.Заммм, что lia glt, r)k3í/»Hit(3t'ui) и líe, g(t, гЛ<*е~',Вазонем0длен-<

г-»О г * ' *' ' * * • г' ' :

ной сходимости 'г=®> имеет меуго сходимос к вырожденному päi <рялслению и центральная ппвлелькая теорема, что щ тог чно случап /итог. t*l. г

главе 2, как и в работе Пэйхса [21, исследуется условное расг;>одолени9 р<3„<хi 7„>а>• но ö отличив, jt последнего рассматривае :я ранее но изучен шй'.лучг»', когда одновременно ti+ъ, А-»1.

Пусть m"=£íSB| ■„ .>.;. П теореме 2.1 находится асимш отческий jH' '.го" и Р(Ы-п) при nvv, л->1. сновннм результатом -втр-рой главы ¡ ляетси с 1 -душам теорема. .

Теорема 8.2. 1) Пусть Ни /i! í-/il=r«o. Тогда

г.-»® A+t

Xln PIS /т°<\r| Z >О) a G°(x, r) , XïO,

n n n

Il -» w

ГДО f O '"tí 0°<x, rl

( f'.i/,/zcoBechf6t71/z, r=o, 1 9jt,r), 0<r<

osi<Œ, <7^( t. ,x) выражается в тесинах элементарных функции, и ±

соответствует 1 и a* i.

2) Пусть Ив пп-Л1=">, дм. Тогда для любого с>о I . п*я>

lia PI15 /л»°-П»е| Ü >0) г и.

_ К П 1 I»

А-» »

Если t<o<®, то, кроме того,

-Не Pm-AJ3,*(S ~(1+iin>/Bnin<x\ Z >0) *<Ых),

?■■.[■' n"*® 0 ' ' n

A* 1

где bíx) - стандартный нормальный закон, i известно. 0) Пусть 11а п\1-А\м, л» i. Тогда

п-»» »•* 1

lia PIS /т°<*| г >0) * }-е"*, V

• .1» В 1 П '

* ■

:■■ А-м ■.. >. ■■ • . ;. , ... .

Отметим, что в теореме В.В в отличие от теоремы 1.6 продельный закон зависит не только от скорости, но и от направления сходимости л к i с ростом п. В теореме выделяется пять различных предельных законов. В зоне быстрой сходимости (г*0) независимо от Направления сходимости получается то хе предельное распределение, что и в критическом случае (теорема D). Теорема о является следствием теоремы 2,2. В зоне умеренной сходимости (0<г«в) доказываема сходимость к предельным распределениям, которые различны в случаях Л<1 и л>и Вели л

стремится к 1 медленно снизу, ми получаем сходимость к

внрошшшому распре не ¿те и иг> и центральную предельную л<орему'.

как и п случае А-сопа1<1, рассмотренном Пэйксом (теорем ^

В), 13 случае медленного стремления Л к з спо-чу, предельным

является показательный закон. Заметим, что Ив ц±И/ г) =

г-»о

1биигсовъсЬ(Ц!и':, 11я г)^1, 11а д^, =

4 г*»Я> " г4*®

В главе 3 изучается максимальное число потомков до момента л. Доказывается неравенство для вероятностей больших уклонений случайной величины Заметим, что величину псепо•• л пали Вайнер С141, Каммврлеи Счач 1161, и Пэйхс, 118),

Теорема 3.1. Для 0<сИ имеет место неравенство

кг г»)

РШгх) &----_-,

а1п Р(7. г ' \ °

Разумеется, это н&равенс№0 можно рвальпр испольйоьать только при наличии оценок для величин, стоящих ц правой части. Различило оценки для ¡'¡2'¿а~>:> при условии 0<в<* дают тер-рема 8.2 и предложения 8,1-Я.4 лиссертациошюа работы. Заметим, что вероятность рггъх}, правда, для более частного случая, оцениваете» в работа Нагаева и Вахрушева П7Ь

Основным результатом третьей главы является нара&екстна д.-.л максимального числа потомков в процессе до момента вырой-деиия. Величины Р1Н и стоящий в правой части это-

П № *

го веравадстпа, можно, в свог очередь, риешить по нараведатву теоремы а,1.

Т орема 8.8, Пусть р>р и в случае- л*? в-и, • Гогдд

для имеет место нараренстао

* ¿фт { - | Р(М^)

где Э1Ц1 р,, 9г, ч>г известен-

Автор выражает глубокую благодарность С.ШНагаозу за постановку задачи, ценные col . га, поддери?>-1Г--^0нимадие * работе.

ЛИТЕРАТУРА

Harri« Т.Е. Branching processes // Ann. fceth. stetiet. -1в4а. -Vol. 1Я. rP. 474-484. ¡t. Pakea A.Q. Sose Halt theorems for fhe tbtul progeny of a ' ranching process // My. appl.probab. -1871*. -Vol. 3, No. i. -P. 176-193.

6. Ватутин В к., Сагйтов С.М. Раздаяшмый критический ветвя-иийся процесс с двумя типами.частиц //Вероятностные задачи дискретной математики; Сб, статей - (Труды МИА.. СССР; Т. 177), -М. : Наука, 19Ö6. -С. 8-ЙО. 4, TopíU V.A. Limit thaoreu for ь critical branching Crump, Hode-Jager« processes / ' Тез. докл. 1 всемирн, конгресс s об-ва им. Бернулли, Ташкент,^ сент. 1986г. -M.: Наука, 1986, rT. 1. -С, 427. б, . Topohl1 у.A. . sit theorems for a critical branching Crump-Mode-Jagerp procesaos // Proç. i Vor Id Congr. of the Bernoulli Soc., Tashkent, sept. 1986. -Utrecht: Science Prese, 1887. -Vol. 2. -P. 717-720. 6, Топчий В.А. Умеренные уклонения для общей численности частиц в критических ветвящихся процессах // Теория вероят-;v;. ностеа К е& применения. -1988. -Т. 89, К S. -C. 406-403.

• '•TV*' Топчий В.А. Свойства обшей «исленности част'ц на вырождающихся т. хекториях ветвящихся процессов // Сиб. мат. жури. -1980. -Т. 23. J8 0. -С. 106-148. 8. Kesten H., Ney Р. , Spitzer P. The- Galton-Wateon process vi tu mean оде arti f ini te verier/ae // Теория вероятностей И её применения. -1966. -Т. 11, * 4. -С. 579-611. а. Нагаев C.B., Мухамедханова Р. 'Некоторые предельные теорема из теории ветвящихся случайных процессов // Предельше теореда и. статистические'MBditu. -Ташкент; Фан, 1966, -С, 90.-112. v -

10. Athraya К.В., (Joy Р.Е. Branching processes. -Darlln а.о. : Springsr-Verlsgf, 1972. -237 p.

11. Cei' стьянон Б. Л. Перехощше явления в ветвящихся случайных процессах // Теория вероятностей vi её при. .нения. -19ЙЗ. -Т. 4, В 2. -С, 121-185.

12. Нагаев С.В., Мухаыедханова Р. Переходные явления о ветвящихся случайных процессах с дискретным временем-// Предельные теореш и статистические ьишоды. -Ташкент: Фан. 1088. -С. ВЗ-В9.

1? Fahady К.В., C'jine II.P., Vere-Jcnas D. Heavy traffic ь^р-

годisatIons act the GaHon-t'atson process // Adv. appl. probab. --1971. -Vol. 3, По,' 2. -P. 232-200. i J. Uainsr II. J. Иозатз of the najuaua In a critical branching process // J. appl. probab. -1384. - э1. 21, Но. 4. -P. 920-S23,

35. Kasaarle К., Schuh II.-J. The янх1пиа In critical C-alton-'Jatson and hearth and death processes H J, appl. probab. -1338. -Vol. 23, Ho. 3. -P. 601-613.

S3. Pakes A.G. Re-чгЬе on the ¡aaxlsa of a nartlngalii водиц»«» tritil application to the aitsola critical Branching ргосозз // J. appl. probab, -133?. -Vol. 24, Ho. 3. -P. 768-772. 17. Нагаев C.B., Вахруыев H.B. Оценка вероятностей больших уклонении для критического процесса Галътшга-Вагсока // Теория вероятностей и её'применения, -1375. -Т. 20, я i. -С, 181-182.

Результаты автора по теме диссертации

10. Нагаев С.Б., Карпенко A.B. Предельные теоремы для полного числа потомков в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона. -Новосибирск, 1987, -86 с. -(Препринт/АН СССР. с»б, стд-ние. Ин-т математики; » 33).

1 Нагаев C.B., Карпеняо A.B. Предельные теоремы для полного числа потомков в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона // Tea. докл. S межлунар. Вильнюсской коиф. по тдор. вер, к мат. статист., Вильивс, ик, . 1088г, -Вильнюс, 1909. -С. 7Ù-B0.

"О. Карпенко A.B. Переходные явления для полного числа потом ков в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона. -Новосибирск, 1890. -ПО с. ~(Препринт/АН СССР. Сиб. отд-нио. Ин--т математики; Jf П),